COMPLEJOS I
1.- Resolver en el conjunto de los números complejos (C)1 las ecuaciones:a) x2 +4=0 b) x2 –2x+2=0 c) 16x4 –1=0 d) x4 –x2 –2=0
Soluciónes: a) x1=2 i, x2= -2 i ; b) x1 = 1+i, x2=1-i ; c) x2 =1/2, x2 =i/2, x3 =-1/2, x4 =i/2; d) x2 = , x2 =- , x3 = i, x4 = -i
2.- Calcular las siguientes potencias de i.a) i 3 b) i 9 c) i 32 d) i
-1 e) i -82
Soluciónes: a) - i ; b) i, ; c) 1 ; d) -i ; e) -1
3.- Escribir en forma binómica y dar el módulo y argumento de
Soluciónes:
4.- a) Escribir en forma binómica el complejo
b) Hallar a para que z sea un imaginario puro.Solución: a) b) a= 2
5.- a) Escribir en forma binómica
b) Hallar m para que el módulo de w sea 1.Solución: a) b) m
6.- Resolver el sistema
(Solución z=i, w=1-i)7.- Hallar dos números complejos sabiendo que . su diferencia es un número real (parte imaginaria
0), su suma tiene de parte real 2 y su producto vale –51+8i.(Solución 7+4i, -5+4i)
COMPLEJOS II
1(?) En el conjunto de los números complejos toda ecuación de grado n tiene n soluciones
1. Si z y w son dos números complejos, demuestra que
2. Sean los complejos y Se pide
(a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de en forma polar y binómica
(b) Calcular (d) Representar gráficamente las raíces cuartas.
3. En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la prolongación de ZO dista 13 cm de O.a) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricosb) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y w
cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.c) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre la longitud de WX hallada en el apartado a)
y el módulo del complejo x - w?
4. Resuelve el sistema
5. Halla el módulo y el argumento del complejo y da en
forma polar y binómica los complejos z, -z, 1/z y . Representa gráficamente los números complejos anteriores.
6. Halla k para que w= sea un número real.
7. Da en forma binómica la solución de la ecuación . ¿Hay algún valor del
complejo a+bi para el que no tenga solución?
8. Resuelve la ecuación:
9. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo y el complejo
SOLUCIONES COMPLEJOS II
1.- Si z y w son dos números complejos, demuestra que
Demostración:a) En forma polar: Si z=m y w=r , como y arg(z)=-arg( ) b) En forma binómica:
2.- Sean los complejos y Se pide
(a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de en forma polar y binómica
(b) Calcular (d) Representar gráficamente las raíces cuartas.
Resolución:
(a) ;
;
b)
c)
d) Los afijos de las raíces cuartas del complejo son los vértices de un cuadrado inscrito en una
circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio
Se cumple: c2=c1·i; c3=c2·i =c1·i2; c4=c3·i= c2·i2 =c1·i3
Cada raíz cuarta se obtien multiplicando la anterior por i=1/2
3. En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la prolongación de ZO dista 13 cm de O.d) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricose) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y w
cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.f) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre la longitud de WX hallada en el apartado a)
y el módulo del complejo x - w?
a)cos(180º-)= -cos = -12/13
b)z=12+5i; w=-12-5i; x=24+0i
c); x - w = 36 - 5i
La longitud del lado WX es el módulo del complejo x - w.
4. Resuelve el sistema
Solución: z = 1+2i, w = -3
5. Halla el módulo y el argumento del complejo y da en
forma polar y binómica los complejos z, -z, 1/z y . Representa gráficamente los números complejos anteriores.
a)
=
|z|=4, arg(z)=29ºb) z =429º =(4cos 29º)+(4sen 29º)i
-z = 4180º+29º = 4209º = 4(cos 209º)+(4sen 209º)i = 4(-cos 29º)+(-4sen 209º)i= 4-29º =(4cos 29º)-(4sen 29º)i
5
12H
Z
X
W
O 13
13
13
- 12
-5
6.-Halla k para que w= sea un número real.
w= =
7.- Da en forma binómica la solución de la ecuación . ¿Hay algún valor del complejo
a+bi para el que no tenga solución?
si a+bi 1+0i ,
Para a+bi = 1 la ecuación dada no tiene solución.
8.- Resuelve la ecuación:
Llamamos ; las soluciones de la ecuación w4 =1 son:
Como , despejando z, obtenemos si w 1 (ver ejercicio anterior).
La ecuación dada tiene tres soluciones:
10. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo y el complejo
, arg(z)= -60º
=
z2 =1-120º =1240º
z3 =1-180º =1240º = -1
z4 =1-240º =1120º =-z
z5 =
w =1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 = 1 + z + z2 - 1 - z - z2 =0
1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, y 1/z (b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.
2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su cociente es imaginario puro.
3.- Calcula: (a) en forma binómica y polar.
(b)
4.- Dados los números complejos z=1150º, v=930º y t= , calcula z·v+t 5.
5.- Halla las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el afijo del complejo =8 + 6i.
6.- Halla el módulo y el argumento del complejo y da z en forma polar y
binómica.
SOLUCIONES COMPLEJOS III
1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, y 1/z
(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.
(a) =-3-4i (b) =2--20º
- z= 3-4i, -w=220º+180º =2200º
2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su cociente es imaginario puro.
z = a + bi w = c + di
Re(z)=2 a=2z+w=3+i
Basta resolver el sistema: z+w=(a+c)+(b+d)i
=0+ki ac+bd=0
W=220º
W=2-20º-W=2200º
1/W
z=-3+4i
-z=3-4iz=-3-4i
1/z
; existen dos soluciones:
3.- Calcula: (a) en forma binómica y polar.
(b)
(a)
(b)
Existen tres raíces cúbicas:
4.- Dados los números complejos z=1150º, v=930º y t= , calcula z·v+t 5.
t= =260º pues y arg(t)=
z·v+t 5z=1150º ·930º +(260º)5= 9180º +32300º =-9+32(cos 300º + i sen 300º)=
5.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el afijo del complejo =8 + 6i.
b
0O
B
A
812
-5
6
13
10
abAOB
sen ( )=
cos ( )=
tg ( )=
Otra forma:
Por el teorema del coseno:
137=169+100 - 2·13·10
6.- Halla el módulo y el argumento del complejo y da z en forma polar y
binómica.
= 475º =
=4(cos 75º + i sen 75º)=
sen 75º =sen(45º+30º)= sen 45º· cos 30º + cos 45º· sen 30º =
cos 75º =cos(45º+30º)= cos 45º· cos 30º - sen 45º· sen 30º =
1.- Módulo de un número complejo. Propiedades.
Halla el módulo del complejo:
2.- Expresa en forma polar w, -w, y siendo w= y
represéntalos gráficamente.
3.- Resuelve la ecuación: (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.
4.- Simplifica las expresiones siguientes y da el resultado en forma binómica:
; ;
SOLUCIONES COMPLEJOS IV
1.- Módulo de un número complejo. Propiedades.
Halla el módulo del complejo:
a) Si z=a+bi es un número complejo, se define su módulo: | z |=
Propiedades:i) | z |=0 z=0ii) | -z |=| z |·iii)iv) | z+w || z |+| w |v) | z |-| w || z-w |
vi) | z·w |=| z |·| w |, en particular, si t ,| t·w |=|t|·| w |, siendo |t| el valor absoluto de tComo consecuencia: | z n
|=| z | n
vii)
b) | 1-i |= ; | 3i+4 | = | 4+3i |= | -3+4i |
Teniendo en cuenta las propiedades vi) y vii):
2.- Expresa en forma polar w, -w, y siendo w= y
represéntalos gráficamente.
;
w = =2120º·1(cos78º+isen78º)=2120º·178º=2198º
-w = -1·2198º =1180º·2198º =2378º =218º
= 2 -198º =2162º
3.- Resuelve la ecuación: (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.
(z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.
La ecuación z4=1 tiene 4 soluciones:
La ecuación z2=3+4i tiene dos soluciones:
Llamamos x+yi=z;
(x+yi)2=3+4i x2 +2xyi -y2 = 3+4i
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
w
w1/w
- w198º
para
Las soluciones son: z5=-2-i y z6=2+i
La ecuación (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0 tiene pues seis soluciones:
z1 = 1+i, z2 = -1+i, z3= -1-i, z4 = 1-i, z5=-2-i y z6=2+i
Los afijos de z1 , z2 , z3 y z4 son los vértices de un cuadrado
inscrito en la circunferencia de centro el origen de
coordenados y radio .
Como z5 y z6 son opuestos, sus afijos son simétricos
respecto al origen de coordenadas.
4.- Simplifica las expresiones siguientes y da el resultado en forma binómica:
; ;
A=
=
B=
C=
-2
-1
0
1
2
-3 -1 1 3
z1
z3
z2
z4z5
z6
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