COMPLEJOS I

1.- Resolver en el conjunto de los números complejos (C)1 las ecuaciones:a) x2 +4=0 b) x2 –2x+2=0 c) 16x4 –1=0 d) x4 –x2 –2=0

Soluciónes: a) x1=2 i, x2= -2 i ; b) x1 = 1+i, x2=1-i ; c) x2 =1/2, x2 =i/2, x3 =-1/2, x4 =i/2; d) x2 = , x2 =- , x3 = i, x4 = -i

2.- Calcular las siguientes potencias de i.a) i 3 b) i 9 c) i 32 d) i

-1 e) i -82

Soluciónes: a) - i ; b) i, ; c) 1 ; d) -i ; e) -1

3.- Escribir en forma binómica y dar el módulo y argumento de

Soluciónes:

4.- a) Escribir en forma binómica el complejo

b) Hallar a para que z sea un imaginario puro.Solución: a) b) a= 2

5.- a) Escribir en forma binómica

b) Hallar m para que el módulo de w sea 1.Solución: a) b) m

6.- Resolver el sistema

(Solución z=i, w=1-i)7.- Hallar dos números complejos sabiendo que . su diferencia es un número real (parte imaginaria

0), su suma tiene de parte real 2 y su producto vale –51+8i.(Solución 7+4i, -5+4i)

COMPLEJOS II

1(?) En el conjunto de los números complejos toda ecuación de grado n tiene n soluciones

1. Si z y w son dos números complejos, demuestra que

2. Sean los complejos y Se pide

(a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de en forma polar y binómica

(b) Calcular (d) Representar gráficamente las raíces cuartas.

3. En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la prolongación de ZO dista 13 cm de O.a) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricosb) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y w

cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.c) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre la longitud de WX hallada en el apartado a)

y el módulo del complejo x - w?

4. Resuelve el sistema

5. Halla el módulo y el argumento del complejo y da en

forma polar y binómica los complejos z, -z, 1/z y . Representa gráficamente los números complejos anteriores.

6. Halla k para que w= sea un número real.

7. Da en forma binómica la solución de la ecuación . ¿Hay algún valor del

complejo a+bi para el que no tenga solución?

8. Resuelve la ecuación:

9. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo y el complejo

SOLUCIONES COMPLEJOS II

1.- Si z y w son dos números complejos, demuestra que

Demostración:a) En forma polar: Si z=m y w=r , como y arg(z)=-arg( ) b) En forma binómica:

2.- Sean los complejos y Se pide

(a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de en forma polar y binómica

(b) Calcular (d) Representar gráficamente las raíces cuartas.

Resolución:

(a) ;

;

b)

c)

d) Los afijos de las raíces cuartas del complejo son los vértices de un cuadrado inscrito en una

circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio

Se cumple: c2=c1·i; c3=c2·i =c1·i2; c4=c3·i= c2·i2 =c1·i3

Cada raíz cuarta se obtien multiplicando la anterior por i=1/2

3. En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la prolongación de ZO dista 13 cm de O.d) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricose) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y w

cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.f) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre la longitud de WX hallada en el apartado a)

y el módulo del complejo x - w?

a)cos(180º-)= -cos = -12/13

b)z=12+5i; w=-12-5i; x=24+0i

c); x - w = 36 - 5i

La longitud del lado WX es el módulo del complejo x - w.

4. Resuelve el sistema

Solución: z = 1+2i, w = -3

5. Halla el módulo y el argumento del complejo y da en

forma polar y binómica los complejos z, -z, 1/z y . Representa gráficamente los números complejos anteriores.

a)

=

|z|=4, arg(z)=29ºb) z =429º =(4cos 29º)+(4sen 29º)i

-z = 4180º+29º = 4209º = 4(cos 209º)+(4sen 209º)i = 4(-cos 29º)+(-4sen 209º)i= 4-29º =(4cos 29º)-(4sen 29º)i

5

12H

Z

X

W

O 13

13

13

- 12

-5

6.-Halla k para que w= sea un número real.

w= =

7.- Da en forma binómica la solución de la ecuación . ¿Hay algún valor del complejo

a+bi para el que no tenga solución?

si a+bi 1+0i ,

Para a+bi = 1 la ecuación dada no tiene solución.

8.- Resuelve la ecuación:

Llamamos ; las soluciones de la ecuación w4 =1 son:

Como , despejando z, obtenemos si w 1 (ver ejercicio anterior).

La ecuación dada tiene tres soluciones:

10. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo y el complejo

, arg(z)= -60º

=

z2 =1-120º =1240º

z3 =1-180º =1240º = -1

z4 =1-240º =1120º =-z

z5 =

w =1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 = 1 + z + z2 - 1 - z - z2 =0

1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, y 1/z (b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.

2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su cociente es imaginario puro.

3.- Calcula: (a) en forma binómica y polar.

(b)

4.- Dados los números complejos z=1150º, v=930º y t= , calcula z·v+t 5.

5.- Halla las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el afijo del complejo =8 + 6i.

6.- Halla el módulo y el argumento del complejo y da z en forma polar y

binómica.

SOLUCIONES COMPLEJOS III

1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, y 1/z

(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.

(a) =-3-4i (b) =2--20º

- z= 3-4i, -w=220º+180º =2200º

2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su cociente es imaginario puro.

z = a + bi w = c + di

Re(z)=2 a=2z+w=3+i

Basta resolver el sistema: z+w=(a+c)+(b+d)i

=0+ki ac+bd=0

W=220º

W=2-20º-W=2200º

1/W

z=-3+4i

-z=3-4iz=-3-4i

1/z

; existen dos soluciones:

3.- Calcula: (a) en forma binómica y polar.

(b)

(a)

(b)

Existen tres raíces cúbicas:

4.- Dados los números complejos z=1150º, v=930º y t= , calcula z·v+t 5.

t= =260º pues y arg(t)=

z·v+t 5z=1150º ·930º +(260º)5= 9180º +32300º =-9+32(cos 300º + i sen 300º)=

5.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el afijo del complejo =8 + 6i.

b

0O

B

A

812

-5

6

13

10

abAOB

sen ( )=

cos ( )=

tg ( )=

Otra forma:

Por el teorema del coseno:

137=169+100 - 2·13·10

6.- Halla el módulo y el argumento del complejo y da z en forma polar y

binómica.

= 475º =

=4(cos 75º + i sen 75º)=

sen 75º =sen(45º+30º)= sen 45º· cos 30º + cos 45º· sen 30º =

cos 75º =cos(45º+30º)= cos 45º· cos 30º - sen 45º· sen 30º =

1.- Módulo de un número complejo. Propiedades.

Halla el módulo del complejo:

2.- Expresa en forma polar w, -w, y siendo w= y

represéntalos gráficamente.

3.- Resuelve la ecuación: (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.

4.- Simplifica las expresiones siguientes y da el resultado en forma binómica:

; ;

SOLUCIONES COMPLEJOS IV

1.- Módulo de un número complejo. Propiedades.

Halla el módulo del complejo:

a) Si z=a+bi es un número complejo, se define su módulo: | z |=

Propiedades:i) | z |=0 z=0ii) | -z |=| z |·iii)iv) | z+w || z |+| w |v) | z |-| w || z-w |

vi) | z·w |=| z |·| w |, en particular, si t ,| t·w |=|t|·| w |, siendo |t| el valor absoluto de tComo consecuencia: | z n

|=| z | n

vii)

b) | 1-i |= ; | 3i+4 | = | 4+3i |= | -3+4i |

Teniendo en cuenta las propiedades vi) y vii):

2.- Expresa en forma polar w, -w, y siendo w= y

represéntalos gráficamente.

;

w = =2120º·1(cos78º+isen78º)=2120º·178º=2198º

-w = -1·2198º =1180º·2198º =2378º =218º

= 2 -198º =2162º

3.- Resuelve la ecuación: (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.

(z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0.

La ecuación z4=1 tiene 4 soluciones:

La ecuación z2=3+4i tiene dos soluciones:

Llamamos x+yi=z;

(x+yi)2=3+4i x2 +2xyi -y2 = 3+4i

-1

0

1

-2 -1 0 1 2

w

w1/w

- w198º

para

Las soluciones son: z5=-2-i y z6=2+i

La ecuación (z4+4)·(z2 - 3- 4i ) = 0 tiene pues seis soluciones:

z1 = 1+i, z2 = -1+i, z3= -1-i, z4 = 1-i, z5=-2-i y z6=2+i

Los afijos de z1 , z2 , z3 y z4 son los vértices de un cuadrado

inscrito en la circunferencia de centro el origen de

coordenados y radio .

Como z5 y z6 son opuestos, sus afijos son simétricos

respecto al origen de coordenadas.

4.- Simplifica las expresiones siguientes y da el resultado en forma binómica:

; ;

A=

=

B=

C=

-2

-1

0

1

2

-3 -1 1 3

z1

z3

z2

z4z5

z6