Conclusiones

Pistas para resolver los problemas

Natalia

Julián

Denise

Bruno

01CONTENIDOS

> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas

> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?

Los números naturales

Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.

30 | Capítulo 2 | Los números enteros

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723

Potenciación y radicación

74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.

a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =

c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =

75. Calculen el resultado de estas operaciones.

a. (–6)2 = b. (–1)

10 = c. 10

5 = d. (–1)

23 = e. 123

= f. 110 =

76. Escriban qué le responderían a Julián.

En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.

No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.

77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?

78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a. (–3)18

+ (–3)53 b. (–57)

4 c. (–5)18× (–5)

31 d. (–3)71 e. (–5)

49

f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]

4 i. 512 j. ( –17)

4 + (–40)

4

k. (–2)12 l. (–5)

18 + (–5)

31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)

14 o. ( (–5)7 ) 7

79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7

= –16.384 y m6

= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?

80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p

3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.

a. (2×p)3 b. (–p)

6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)

3 e. p3× p

3

81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.

a. (–2× b)2× (–3 ×c)

5 b. b6× c

10 c. c5 : b

2 d. c5 : (3 ×b)

2

¡¡Para abreviar una

multiplicación entre

factores iguales se puede

usar la potenciación. Es

decir, si a es un número

entero y n es un número

natural:

an = a × a ×…× a

n veces

Por ejemplo:

–4 × (–4) = (–4)2 (menos

cuatro al cuadrado)

8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).

*Las propiedades de la

potenciación de números

naturales están enunciadas

en la página 10.

82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.

a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)

64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)

58 . . . . 358

83. Calculen las siguientes raíces.

a.3√

______–1.000 b.

4√

___81 c.

3√

____125 d.

5√

________–100.000

84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?

b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?

85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.

a. √_____4.900 b.

4√

_____–256 c. √

_____–144 d.

5√

______–1.024

86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √

____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a.3√

___________(–32) + (–64) = b.

3

√____

(–2)3 = c.

3√

____–32 +

3√

____–64 = d.

3√

___27 :

3√

___–8 =

e. 3√

__________(–8)× (–27) = f.

3√

_______27 : (–8) = g.

3√

___–8 ×

3√

____–27 = h.

3√

_______(–27) : 8 =

88. Usen que 3.375 = 53

× 33

para calcular 3√

_____3.375 y

3√

______–3.375 .

Escriban cómo lo resolvieron.

89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.

90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√

_____7.776 y

5√

______–7.776 .

Escriban cómo lo resolvieron.

¡¡La radicación es la

operación inversa de la

potenciación.

Por ejemplo,

√___16 = 4 (la raíz cuadrada

de 16 es 4) porque

16 = 42.

5√

____–32 = –2 (la raíz quinta

de –32 es igual a –2)

porque –32 = (–2)5.

¡¡Si a y b son números

enteros y m y n son

números naturales se

verifica que:

• an× am = an + m

• an : am = an – m,

para cualquier a diferente

de 0.

• (an) m = an x m

• (a × b)n = an× bn

• (a : b)n = an : bn

para cualquier b diferente

de 0.

• Si n es parn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

para cualquier a y b

positivos o 0.

• Si n es imparn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

• Si n es par

n√

____a : b =

n√

__a :

n√

__b

para cualquier a y b

positivos.

• Si n es par ( n√

__a )m =

n√

___

am

para cualquier a positivo.

• Si n es impar ( n√

__a )m =

n√

___am .

No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.

Yo hice√____–25 ×√

____–64 =

√___________(–25) × (–64) =√

_____1.600 = 40.

Para mi no está bien porque√____–25 y√

____–64

no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.propiedades.

Secuencias de actividades

Bruno

Definiciones

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11.

723 Cómo es este libro

Contenidos que se desarrollan en el capítulo.

01CONTENIDOS

> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas

> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?

Los números naturales

Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.

Descripción histórica del tema y planteo de interrogantes que se resuelven con los contenidos del capítulo.

30 | Capítulo 2 | Los números enteros

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Potenciación y radicación

74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.

a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =

c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =

75. Calculen el resultado de estas operaciones.

a. (–6)2 = b. (–1)

10 = c. 10

5 = d. (–1)

23 = e. 123

= f. 110 =

76. Escriban qué le responderían a Julián.

En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.

No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.

77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?

78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a. (–3)18

+ (–3)53 b. (–57)

4 c. (–5)18× (–5)

31 d. (–3)71 e. (–5)

49

f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]

4 i. 512 j. ( –17)

4 + (–40)

4

k. (–2)12 l. (–5)

18 + (–5)

31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)

14 o. ( (–5)7 ) 7

79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7

= –16.384 y m6

= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?

80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p

3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.

a. (2×p)3 b. (–p)

6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)

3 e. p3× p

3

81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.

a. (–2× b)2× (–3 ×c)

5 b. b6× c

10 c. c5 : b

2 d. c5 : (3 ×b)

2

¡¡Para abreviar una

multiplicación entre

factores iguales se puede

usar la potenciación. Es

decir, si a es un número

entero y n es un número

natural:

an = a × a ×…× a

n veces

Por ejemplo:

–4 × (–4) = (–4)2 (menos

cuatro al cuadrado)

8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).

*Las propiedades de la

potenciación de números

naturales están enunciadas

en la página 10.

82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.

a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)

64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)

58 . . . . 358

83. Calculen las siguientes raíces.

a.3√

______–1.000 b.

4√

___81 c.

3√

____125 d.

5√

________–100.000

84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?

b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?

85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.

a. √_____4.900 b.

4√

_____–256 c. √

_____–144 d.

5√

______–1.024

86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √

____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a.3√

___________(–32) + (–64) = b.

3

√____

(–2)3 = c.

3√

____–32 +

3√

____–64 = d.

3√

___27 :

3√

___–8 =

e. 3√

__________(–8)× (–27) = f.

3√

_______27 : (–8) = g.

3√

___–8 ×

3√

____–27 = h.

3√

_______(–27) : 8 =

88. Usen que 3.375 = 53

× 33

para calcular 3√

_____3.375 y

3√

______–3.375 .

Escriban cómo lo resolvieron.

89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.

90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√

_____7.776 y

5√

______–7.776 .

Escriban cómo lo resolvieron.

¡¡La radicación es la

operación inversa de la

potenciación.

Por ejemplo,

√___16 = 4 (la raíz cuadrada

de 16 es 4) porque

16 = 42.

5√

____–32 = –2 (la raíz quinta

de –32 es igual a –2)

porque –32 = (–2)5.

¡¡Si a y b son números

enteros y m y n son

números naturales se

verifica que:

• an× am = an + m

• an : am = an – m,

para cualquier a diferente

de 0.

• (an) m = an x m

• (a × b)n = an× bn

• (a : b)n = an : bn

para cualquier b diferente

de 0.

• Si n es parn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

para cualquier a y b

positivos o 0.

• Si n es imparn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

• Si n es par

n√

____a : b =

n√

__a :

n√

__b

para cualquier a y b

positivos.

• Si n es par ( n√

__a )m =

n√

___

am

para cualquier a positivo.

• Si n es impar ( n√

__a )m =

n√

___am .

No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.

Yo hice√____–25 ×√

____–64 =

√___________(–25) × (–64) =√

_____1.600 = 40.

Para mi no está bien porque√____–25 y√

____–64

no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.

30 | Capítulo 2 | Los números enteros

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Potenciación y radicación

74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.

a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =

c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =

75. Calculen el resultado de estas operaciones.

a. (–6)2 = b. (–1)

10 = c. 10

5 = d. (–1)

23 = e. 123

= f. 110 =

76. Escriban qué le responderían a Julián.

En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.

No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.

77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?

78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a. (–3)18

+ (–3)53 b. (–57)

4 c. (–5)18× (–5)

31 d. (–3)71 e. (–5)

49

f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]

4 i. 512 j. ( –17)

4 + (–40)

4

k. (–2)12 l. (–5)

18 + (–5)

31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)

14 o. ( (–5)7 ) 7

79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7

= –16.384 y m6

= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?

80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p

3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.

a. (2×p)3 b. (–p)

6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)

3 e. p3× p

3

81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.

a. (–2× b)2× (–3 ×c)

5 b. b6× c

10 c. c5 : b

2 d. c5 : (3 ×b)

2

¡¡Para abreviar una

multiplicación entre

factores iguales se puede

usar la potenciación. Es

decir, si a es un número

entero y n es un número

natural:

an = a × a ×…× a

n veces

Por ejemplo:

–4 × (–4) = (–4)2 (menos

cuatro al cuadrado)

8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).

*Las propiedades de la

potenciación de números

naturales están enunciadas

en la página 10.

82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.

a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)

64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)

58 . . . . 358

83. Calculen las siguientes raíces.

a.3√

______–1.000 b.

4√

___81 c.

3√

____125 d.

5√

________–100.000

84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?

b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?

85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.

a. √_____4.900 b.

4√

_____–256 c. √

_____–144 d.

5√

______–1.024

86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √

____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a.3√

___________(–32) + (–64) = b.

3

√____

(–2)3 = c.

3√

____–32 +

3√

____–64 = d.

3√

___27 :

3√

___–8 =

e. 3√

__________(–8)× (–27) = f.

3√

_______27 : (–8) = g.

3√

___–8 ×

3√

____–27 = h.

3√

_______(–27) : 8 =

88. Usen que 3.375 = 53

× 33

para calcular 3√

_____3.375 y

3√

______–3.375 .

Escriban cómo lo resolvieron.

89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.

90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√

_____7.776 y

5√

______–7.776 .

Escriban cómo lo resolvieron.

¡¡La radicación es la

operación inversa de la

potenciación.

Por ejemplo,

√___16 = 4 (la raíz cuadrada

de 16 es 4) porque

16 = 42.

5√

____–32 = –2 (la raíz quinta

de –32 es igual a –2)

porque –32 = (–2)5.

¡¡Si a y b son números

enteros y m y n son

números naturales se

verifica que:

• an× am = an + m

• an : am = an – m,

para cualquier a diferente

de 0.

• (an) m = an x m

• (a × b)n = an× bn

• (a : b)n = an : bn

para cualquier b diferente

de 0.

• Si n es parn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

para cualquier a y b

positivos o 0.

• Si n es imparn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

• Si n es par

n√

____a : b =

n√

__a :

n√

__b

para cualquier a y b

positivos.

• Si n es par ( n√

__a )m =

n√

___

am

para cualquier a positivo.

• Si n es impar ( n√

__a )m =

n√

___am .

No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.

Yo hice√____–25 ×√

____–64 =

√___________(–25) × (–64) =√

_____1.600 = 40.

Para mi no está bien porque√____–25 y√

____–64

no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.

30 | Capítulo 2 | Los números enteros

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Potenciación y radicación

74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.

a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =

c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =

75. Calculen el resultado de estas operaciones.

a. (–6)2 = b. (–1)

10 = c. 10

5 = d. (–1)

23 = e. 123

= f. 110 =

76. Escriban qué le responderían a Julián.

En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.

No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.

77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?

78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a. (–3)18

+ (–3)53 b. (–57)

4 c. (–5)18× (–5)

31 d. (–3)71 e. (–5)

49

f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]

4 i. 512 j. ( –17)

4 + (–40)

4

k. (–2)12 l. (–5)

18 + (–5)

31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)

14 o. ( (–5)7 ) 7

79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7

= –16.384 y m6

= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?

80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p

3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.

a. (2×p)3 b. (–p)

6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)

3 e. p3× p

3

81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.

a. (–2× b)2× (–3 ×c)

5 b. b6× c

10 c. c5 : b

2 d. c5 : (3 ×b)

2

¡¡Para abreviar una

multiplicación entre

factores iguales se puede

usar la potenciación. Es

decir, si a es un número

entero y n es un número

natural:

an = a × a ×…× a

n veces

Por ejemplo:

–4 × (–4) = (–4)2 (menos

cuatro al cuadrado)

8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).

*Las propiedades de la

potenciación de números

naturales están enunciadas

en la página 10.

82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.

a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)

64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)

58 . . . . 358

83. Calculen las siguientes raíces.

a.3√

______–1.000 b.

4√

___81 c.

3√

____125 d.

5√

________–100.000

84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?

b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?

85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.

a. √_____4.900 b.

4√

_____–256 c. √

_____–144 d.

5√

______–1.024

86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √

____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a.3√

___________(–32) + (–64) = b.

3

√____

(–2)3 = c.

3√

____–32 +

3√

____–64 = d.

3√

___27 :

3√

___–8 =

e. 3√

__________(–8)× (–27) = f.

3√

_______27 : (–8) = g.

3√

___–8 ×

3√

____–27 = h.

3√

_______(–27) : 8 =

88. Usen que 3.375 = 53

× 33

para calcular 3√

_____3.375 y

3√

______–3.375 .

Escriban cómo lo resolvieron.

89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.

90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√

_____7.776 y

5√

______–7.776 .

Escriban cómo lo resolvieron.

¡¡La radicación es la

operación inversa de la

potenciación.

Por ejemplo,

√___16 = 4 (la raíz cuadrada

de 16 es 4) porque

16 = 42.

5√

____–32 = –2 (la raíz quinta

de –32 es igual a –2)

porque –32 = (–2)5.

¡¡Si a y b son números

enteros y m y n son

números naturales se

verifica que:

• an× am = an + m

• an : am = an – m,

para cualquier a diferente

de 0.

• (an) m = an x m

• (a × b)n = an× bn

• (a : b)n = an : bn

para cualquier b diferente

de 0.

• Si n es parn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

para cualquier a y b

positivos o 0.

• Si n es imparn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

• Si n es par

n√

____a : b =

n√

__a :

n√

__b

para cualquier a y b

positivos.

• Si n es par ( n√

__a )m =

n√

___

am

para cualquier a positivo.

• Si n es impar ( n√

__a )m =

n√

___am .

No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.

Yo hice√____–25 ×√

____–64 =

√___________(–25) × (–64) =√

_____1.600 = 40.

Para mi no está bien porque√____–25 y√

____–64

no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.

01CONTENIDOS

> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas

> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?

Los números naturales

Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.

30 | Capítulo 2 | Los números enteros

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

31

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es S

. A.

| Pr

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ida

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otoc

opia

. Ley

11.

723

Potenciación y radicación

74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.

a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =

c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =

75. Calculen el resultado de estas operaciones.

a. (–6)2 = b. (–1)

10 = c. 10

5 = d. (–1)

23 = e. 123

= f. 110 =

76. Escriban qué le responderían a Julián.

En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.

No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.

77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?

78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a. (–3)18

+ (–3)53 b. (–57)

4 c. (–5)18× (–5)

31 d. (–3)71 e. (–5)

49

f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]

4 i. 512 j. ( –17)

4 + (–40)

4

k. (–2)12 l. (–5)

18 + (–5)

31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)

14 o. ( (–5)7 ) 7

79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7

= –16.384 y m6

= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?

80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p

3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.

a. (2×p)3 b. (–p)

6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)

3 e. p3× p

3

81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.

a. (–2× b)2× (–3 ×c)

5 b. b6× c

10 c. c5 : b

2 d. c5 : (3 ×b)

2

¡¡Para abreviar una

multiplicación entre

factores iguales se puede

usar la potenciación. Es

decir, si a es un número

entero y n es un número

natural:

an = a × a ×…× a

n veces

Por ejemplo:

–4 × (–4) = (–4)2 (menos

cuatro al cuadrado)

8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).

*Las propiedades de la

potenciación de números

naturales están enunciadas

en la página 10.

82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.

a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)

64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)

58 . . . . 358

83. Calculen las siguientes raíces.

a.3√

______–1.000 b.

4√

___81 c.

3√

____125 d.

5√

________–100.000

84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?

b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?

85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.

a. √_____4.900 b.

4√

_____–256 c. √

_____–144 d.

5√

______–1.024

86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √

____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.

a.3√

___________(–32) + (–64) = b.

3

√____

(–2)3 = c.

3√

____–32 +

3√

____–64 = d.

3√

___27 :

3√

___–8 =

e. 3√

__________(–8)× (–27) = f.

3√

_______27 : (–8) = g.

3√

___–8 ×

3√

____–27 = h.

3√

_______(–27) : 8 =

88. Usen que 3.375 = 53

× 33

para calcular 3√

_____3.375 y

3√

______–3.375 .

Escriban cómo lo resolvieron.

89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.

90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√

_____7.776 y

5√

______–7.776 .

Escriban cómo lo resolvieron.

¡¡La radicación es la

operación inversa de la

potenciación.

Por ejemplo,

√___16 = 4 (la raíz cuadrada

de 16 es 4) porque

16 = 42.

5√

____–32 = –2 (la raíz quinta

de –32 es igual a –2)

porque –32 = (–2)5.

¡¡Si a y b son números

enteros y m y n son

números naturales se

verifica que:

• an× am = an + m

• an : am = an – m,

para cualquier a diferente

de 0.

• (an) m = an x m

• (a × b)n = an× bn

• (a : b)n = an : bn

para cualquier b diferente

de 0.

• Si n es parn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

para cualquier a y b

positivos o 0.

• Si n es imparn√

_____a× b =

n√

__a ×

n√

__b

• Si n es par

n√

____a : b =

n√

__a :

n√

__b

para cualquier a y b

positivos.

• Si n es par ( n√

__a )m =

n√

___

am

para cualquier a positivo.

• Si n es impar ( n√

__a )m =

n√

___am .

No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.

Yo hice√____–25 ×√

____–64 =

√___________(–25) × (–64) =√

_____1.600 = 40.

Para mi no está bien porque√____–25 y√

____–64

no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.

3

Actividades de integración para la evaluación de los aprendizajes al finalizar cada capítulo.

Aprender con la calculadoraActividades para resolver con calculadora científica o común.

Aprender con la computadoraActividades para resolver en una computadora con programas de difusión gratuita o de uso común, indicados en el diseño curricular.

Integrar lo aprendido

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