Cómo es este libro - Tinta frescatintafresca.com.ar/catalogo/i/secu_mate/mate_es2_comoes.pdfColage...
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Conclusiones Pistas para resolver los problemas Natalia Julián Denise Bruno 01 CONTENIDOS >Los números naturales >Iniciación a las prácticas algebraicas >Potenciación y radicación >Permutaciones, variaciones y combinaciones Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos. Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números? Los números naturales Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales. 30 | Capítulo 2 | Los números enteros © Tinta fresca ediciones | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 31 © Tinta fresca ediciones | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 Potenciación y radicación 74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada. a. –3×(–3) ×(–3) ×(–3) ×(–3) = b. –7×(–7) ×(–7) ×(–7) = c. –9×(–9) ×(–9) ×(–9) ×(–9) ×(–9) = d. –1×(–1) ×(–1) = 75. Calculen el resultado de estas operaciones. a. (–6) 2 = b. (–1) 10 = c. 10 5 = d. (–1) 23 = e. 1 23 = f. 1 10 = 76. Escriban qué le responderían a Julián. En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1) 10 que en 1 10 , pero no pasó lo mismo con (–1) 23 y 1 23 . No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro. 77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué? b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué? c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué? 78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo. a. (–3) 18 + (–3) 53 b. (–57) 4 c. (–5) 18 ×(–5) 31 d. (–3) 71 e. (–5) 49 f. 7 35 g. –5 74 h. [–17 + (–40)] 4 i. 5 12 j. ( –17) 4 + (–40) 4 k. (–2) 12 l. (–5) 18 + (–5) 31 m. ((–5) 7 ) 2 n. (–5) 14 o. ((–5) 7 ) 7 79. ¿Es posible calcular el valor de msi m 7 = –16.384y m 6 = 4.096con una calculado- ra común? ¿Por qué? 80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p 3 = –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron. a. (2×p) 3 b. (–p) 6 c. (p– 1) 3 d. (p: 4) 3 e. p 3 ×p 3 81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b 2= 16.384y c 5= –32, sin cal- cular los valores de by de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron. a. (–2×b) 2 ×(–3 ×c) 5 b. b 6 ×c 10 c. c 5 : b 2 d. c 5 : (3 ×b) 2 ¡ ¡ Para abreviar una multiplicación entre factores iguales se puede usar la potenciación. Es decir, si aes un número entero y nes un número natural: an= a × a ×…× a n veces Por ejemplo: –4 × (–4) = (–4)2(menos cuatro al cuadrado) 8 × 8 × 8 = 83(ocho al cubo). * Las propiedades de la potenciación de números naturales están enunciadas en la página 10. 82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta- blecieron. a. (–58) 25 . . . . 0 b. (–65) 64 . . . . 0 c. (–5) 43 . . . . 5 43 d. (–3) 58 . . . . 3 58 83. Calculen las siguientes raíces. a. 3 √ ______ –1.000 b. 4 √ ___ 81 c. 3 √ ____ 125 d. 5 √ ________ –100.000 84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué? b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué? 85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme- ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta. a. √ _____ 4.900 b. 4 √ _____ –256 c. √ _____ –144 d. 5 √ ______ –1.024 86. Los chicos intentan resolver √ ____ –25 ×√ ____ –64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? 87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo. a. 3 √ ___________ (–32) + (–64) = b. 3 √ ____ (–2) 3 = c. 3 √ ____ –32 + 3 √ ____ –64 = d. 3 √ ___ 27 : 3 √ ___ –8 = e. 3 √ __________ (–8) ×(–27) = f. 3 √ _______ 27 : (–8) = g. 3 √ ___ –8 × 3 √ ____ –27 = h. 3 √ _______ (–27) : 8 = 88. Usen que 3.375 = 5 3 × 3 3 para calcular 3 √ _____ 3.375 y 3 √ ______ –3.375 . Escriban cómo lo resolvieron. 89. Usen que –11.664 = –81 × 144para calcular √ ______ 11.664 . Escriban cómo lo usan. 90. Usen que 7.776 = 32 × 243para calcular 5 √ _____ 7.776 y 5 √ ______ –7.776 . Escriban cómo lo resolvieron. ¡ ¡ Laradicaciónes la operación inversa de la potenciación. Por ejemplo, √ ___ 16 = 4 (la raíz cuadrada de 16 es 4) porque 16 = 4 2 . 5 √ ____ –32 = –2 (la raíz quinta de –32 es igual a –2) porque –32 = (–2) 5 . ¡ ¡ Si ay bson números enteros y my nson números naturales se verifica que: •a n ×a m = a n + m •a n : a m = a n – m , para cualquier adiferente de 0. • (a n ) m = a n x m •(a ×b) n = a n ×b n •(a : b) n = a n : b n para cualquier bdiferente de 0. • Si nes par n √ _____ a×b = n √ __ a × n √ __ b para cualquier ay b positivos o 0. • Si nes impar n √ _____ a×b = n √ __ a × n √ __ b • Si nes par n √ ____ a : b = n √ __ a : n √ __ b para cualquier ay b positivos. • Si nes par (n √ __ a )m = n √ ___ a m para cualquier apositivo. •Si nes impar (n √ __ a )m = n √ ___ a m . No se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Yo hice√ ____ –25×√ ____ –64= √ ___________ (–25) × (–64) =√ _____ 1.600= 40. Para mi no está bien porque√ ____ –25y√ ____ –64 no existen entonces no se pueden usar las propiedades. Secuencias de actividades Definiciones © Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 Cómo es este libro Contenidos que se desarrollan en el capítulo. CONTENIDOS > Los números naturales > Iniciación a las práctica Los nú Descripción histórica del tema y planteo de interrogantes que se resuelven con los contenidos del capítulo. ¡ ¡ Si a y b son números enteros y m y n son números naturales se verifica que: ¡ ¡ Para abreviar una multiplicación entre factores iguales se pu usar la potenciación * Las propiedades de la potenciación de núme naturales están enunc en la página 10. Carl Friedrich Gauss fue un matemático 1855. Según cuentan los historiadores, realizar cálculos mentales. Tenía tanta h en los cálculos que había hecho su pad Una anécdota famosa cuenta que cua su maestro quería que los alumnos se rato, por lo tanto les pidió que sumara naturales. El maestro no salía de su aso en seguida la mano y dio la respuesta compañeros ni siquiera había termin números que tenía que sumar. Gauss 87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cál cómo hicieron para decidirlo. a. 3 √ ___________ (–32) + (–64) = b. 3 √ ____ (–2) 3 = c. e. 3 √ __________ (–8) ×(–27) = f. 3 √ _______ 27 : (–8) = g 88. Usen que 3.375 = 5 3 × 3 3 para calcular 3 √ ____ 3.37 Escriban cómo lo resolvieron. 89. Usen que –11.664 = –81 × 144para calcu 90. Usen que 7.776 = 32 × 243para calcular 5 √ Escriban cómo lo resolvieron. 3 Actividades de integración para la evaluación de los aprendizajes al finalizar cada capítulo. Aprender con la calculadora Actividades para resolver con calculadora científica o común. Aprender con la computadora Actividades para resolver en una computadora con programas de difusión gratuita o de uso común, indicados en el diseño curricular. Integrar lo aprendido
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Conclusiones
Pistas para resolver los problemas
Natalia
Julián
Denise
Bruno
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
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n√
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• Si n es par
n√
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n√
__a :
n√
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para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.propiedades.
Secuencias de actividades
Bruno
Definiciones
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Contenidos que se desarrollan en el capítulo.
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
Descripción histórica del tema y planteo de interrogantes que se resuelven con los contenidos del capítulo.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
3
Actividades de integración para la evaluación de los aprendizajes al finalizar cada capítulo.
Aprender con la calculadoraActividades para resolver con calculadora científica o común.
Aprender con la computadoraActividades para resolver en una computadora con programas de difusión gratuita o de uso común, indicados en el diseño curricular.
Integrar lo aprendido
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