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Geometra2010
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Clase N 12Circunferencia y Crculo II
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APRENDIZAJES ESPERADOS
Resolver ejercicios que involucren teoremas dengulos en la circunferencia.
Aplicar proporcionalidad de trazos y segmentos enla circunferencia.
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1.Teoremas fundamentales - ngulos
Contenidos
1.1 ngulo del centro y ngulo inscrito
1.2Igualdad de ngulos inscritos
1.3Tringulo inscrito en una semicircunferencia
1.4Cuadriltero inscrito en una circunferencia
1.5Teorema del ngulo exterior
1.6Teorema del ngulo interior
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2.3 Teorema de las tangentes
2.4 Teorema de las cuerdas
2.5 Cuadriltero circunscrito a una circunferencia
2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1Teorema de las secantes
2.2Teorema de la tangente y la secante
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1. Teoremas fundamentales (ngulos)
1.1 ngulo del centro y ngulo inscritongulo del centro: Tiene el vrtice en el centro de lacircunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 40, entonces = 40
O: centro de la circunferencia
40
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ngulo inscrito: Tiene el vrtice en la circunferencia, ymide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:Si el arco AB = 50, entonces = 25
50
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Corolario:Si un ngulo inscrito y un ngulo delcentro subtienden el mismo arco,entonces el ngulo del centro es el
doble del ngulo inscrito.
2
Adems, se cumple que:
= g + d
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Ejemplo:
En la figura, si arco AB mide 70, entonces el ngulo delcentro AOB tambin mide 70 y el ngulo inscrito ACB
mide 35.
O: centro de la circunferencia
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1.2 Igualdad de ngulos inscritosSi dos o ms ngulos inscritos subtienden el mismo
arco, stos son iguales.
= b = g
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1.3 Tringulo inscrito en una semicircunferenciaTodo tringulo inscrito en una semicircunferencia es
rectngulo con hipotenusa igual al dimetro.
180
O: centro de la circunferencia
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1.4 Cuadriltero inscrito en una circunferenciaEn todo cuadriltero inscrito en una circunferencia,
los ngulos opuestos son suplementarios.
+ b = 180
g + d = 180
Ejemplo:
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1.5 Teorema del ngulo exteriorSi es ngulo exterior de la circunferencia,
entonces:
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1.6 Teorema del ngulo interiorSi es ngulo interior de la circunferencia,
entonces:
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2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:
PA PD = PB PC
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Ejemplo:
12
20
6
x
12 PD = 20 6
12 PD = 120
PD= 10
PA PD = PB PC
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
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2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:
(PA)2 = PC PD
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2.3 Teorema de las tangentes
PA = PC
Sean PA y PC dos tangentes, entonces:
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2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP PB = CP PD
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2.5 Cuadriltero circunscrito
a + c = b + d
5 + c = 7 + 8c = 10
Ejemplo:
Sea ABCD cuadriltero circunscrito a la circunferencia,
entonces:
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Equipo Editorial: Patricia Valds
Olga Orchard
Pablo Espinosa
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