CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA
MECÁNICA DINÁMICA
SECCIÓN 204N1
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
(Parte I) (Contenido correspondiente a parcial #3)
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por
efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones
relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea para
efectos de estudios a este nivel.
En otras palabras, se entiende por cuerpo rígido a aquel cuya forma no
varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas. Eso supone que la
distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resuelta invariable a lo
largo del tiempo.
Sin embargo, en la realidad todos los cuerpos se deforman, aunque sea de
forma mínima al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las
máquinas y estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente
rígidas.
4.1: ¿Qué es un cuerpo rígido?
¿En qué consiste la cinemática de partículas?
La cinemática de cuerpos rígidos se encarga del estudio de las relaciones existentes
entre el cuerpo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes
partículas que forman un cuerpo rígido.
MOVIMIENTOS POSIBLES DE UN CUERPO RÍGIDO
EN EL PLANO
TRASLACIÓN
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN
EJE FIJO
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
EN EL ESPACIO
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN
PUNTO FIJO
MOVIMIENTO GENERAL
4.2: Posibles movimientos de un cuerpo rígido
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO
RÍGIDO
Este tipo de movimiento ocurre cuando toda línea recta que pertenezca
al cuerpo en estudio mantiene la misma dirección durante el movimiento.
También, puede observarse que en la traslación todas las partículas que
constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas
trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación
rectilínea; si las trayectorias so líneas curvas, el movimiento es una traslación
curvilínea.
4.2.1: Traslación:
Es importante tener en cuenta que cuando un cuerpo rígido experimenta
un movimiento de traslación, en cualquier instante considerado, todos los puntos
de dicho cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración.
Además, en el caso de la traslación rectilínea, las direcciones de la
velocidad y aceleración de todas las partículas serán las mismas durante el
movimiento.
Adicionalmente, en la traslación curvilínea, la velocidad y aceleración
cambian su dirección y magnitud en cada instante del movimiento.
𝑟𝐵=𝑟𝐴+𝑟𝐵/𝐴
De lo anterior se puede deducir que el vector de posición relativa de B
con respecto a A, se mantiene siempre constante a lo largo del movimiento, por
lo tanto:
𝑟𝐵=𝑟𝐴+𝑟𝐵/𝐴
;derivando con respecto al tiempo
𝑑𝑟𝐵
𝑑𝑡=𝑑𝑟𝐴
𝑑𝑡+
𝑑𝑟𝐵/𝐴
𝑑𝑡
𝒗𝑩 = 𝒗𝑨
𝒂𝑩 = 𝒂𝑨
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO
RÍGIDO
Este movimiento es aquel en el que las partículas que forman el cuerpo
rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el
mismo eje fijo, llamado eje de rotación. Cuando este eje interseca al cuerpo
rígido, las partículas localizadas SOBRE el eje tienen velocidad cero y aceleración
cero.
Debido a que cada partícula se mueve en un plano determinado, se
afirma que la rotación del cuerpo alrededor de un eje fijo es un movimiento
plano.
4.2.2: Rotación alrededor de un eje
fijo:
4.2.2.1: Conceptos
básicos
Donde: • P: punto perteneciente al cuerpo
rígido. • B: proyección del punto P sobre el eje
de rotación del cuerpo rígido. •
𝐫 : vector de posición del punto P con
respecto al origen de un sistema de referencia fijo.
•𝐁𝐏
: vector de posición del punto P con
respecto al centro del plano al que pertenece.
• θ: posición angular del vector BP . • Φ: ángulo formado entre el vector de
posición r y el eje de rotación del cuerpo rígido.
•𝛚 : velocidad angular
•𝐯 : vector velocidad en el punto P
𝐵𝑃=
𝑟 ∗ sin ∅
4.2.2.2: Rotación alrededor de un eje fijo.
Aceleración angular constante:
Cuando la aceleración es constante, es decir, α=αc entonces al integrar
las ecuaciones se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan la
velocidad angular, la posición angular, la posición angular de un
cuerpo y el tiempo. Dichas ecuaciones son similares a las
desarrolladas para movimiento rectilíneo uniforme en la unidad I. Dichas
ecuaciones son las siguientes:
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼0 ∗ 𝑡
𝜃 = 𝜃0 +𝜔0 ∗ 𝑡 +1
2𝛼𝑐 ∗ 𝑡
2
𝜔2 = 𝜔02 + 2 ∗ 𝛼𝑐 ∗ 𝜃 − 𝜃0
Para determinar el desplazamiento del
punto analizado, se puede observar en la
imagen que, al asumir un desplazamiento
angular diferencial del vector BP, la
longitud del arco descrito se calcula como:
𝒅𝒔 = 𝑩𝑷 ∗ 𝒅𝜽 𝒅𝒔 = 𝒓 ∗ 𝐬𝐢𝐧∅ ∗ 𝒅𝜽
4.2.3: Movimiento de un punto P perteneciente a un cuerpo
rígido:
Cuando un cuerpo rígido gira, un punto
perteneciente a dicho cuerpo (denominado
P) se desplaza a lo largo de una trayectoria
circular de radio r con centro en el punto
B.
Si se divide la expresión anterior entre dt, se obtiene:
d𝑠
𝑑𝑡= 𝑟 ∗ sin ∅ ∗
𝑑𝜃
𝑑𝑡
v = 𝑟 ∗ sin ∅ ∗ ω
v = ω ∗ 𝑟 ∗ sin ∅
reordenando :
recordando el concepto de producto
vectorial, entonces :
v = ω 𝐱 𝑟 VELOCIDAD DE UN PUNTO
PERTENECIENTE A UN CUERPO
RÍGIDO
El vector velocidad del punto P que se analiza, viene dado por:
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡=𝜔 𝑥
𝑟
𝒗 =
𝝎 𝒙
𝒓
Por su parte, sabiendo que la aceleración se define como la derivara de la
velocidad con respecto al tiempo, se tiene que:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡=𝑑
𝜔 𝑥
𝑟
𝑑𝑡=𝑑𝜔
𝑑𝑡𝑥 𝑟 + 𝜔 𝑥𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝒂 =
𝜶 𝒙
𝒓 +
𝝎 𝒙
𝝎 𝒙
𝒓
donde:
• Velocidad angular: 𝜔 = ω 𝑘
• Aceleración angular: α = α 𝑘
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO
RÍGIDO
Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general,
experimenta una combinación de traslación y rotación. Las traslación se presenta
en un plano de referencia, mientras que la rotación se desarrolla alrededor de un
eje perpendicular al plano de referencia.
4.2.4: Movimiento plano general:
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