JUAN GERARDO GARCÍA SALAZAR
Cálculo Diferencial
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CAPITULO I
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Cálculo Diferencial
1
Prólogo
El propósito de la elaboración de este libro, radica ante todo hecho el facilitar la
compresión del CÁLCULO DIFERENCIAL y la obtención de soluciones a problemas
con cierto grado de dificultad, así mismo, su propósito es el servir en el análisis de
principios y aplicaciones fundamentales de las matemáticas.
En este libro encontrará problemas en los cuales su solución quizás no sea
única, pero se otorgan las bases para su desarrollo y comprensión.
Un ejemplo especifico de lo anterior, es cuando se usan funciones
trigonométricas, y su solución depende de qué tanto se haya desarrollado una
identidad.
De esta manera, en todos aquellos problemas a resolver, se otorgan las bases
específicas y concretas para lograr resultados satisfactorios e inclusive en aquellos
problemas que implique un alto grado de dificultad.
La elaboración de este libro fue con gran atención, análisis y el con gran
propósito de que resulte de gran apoyo al lector. Sin embargo, si resulta algún error en
su contenido, se agradecerá noblemente el hacerlo saber a servidor.
Juan Gerardo García Salazar Correo: [email protected]
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“Como un homenaje póstumo a mis padres”
“A mi esposa e hijos”
“A mis hermanos”
“Y a todos los alumnos y ex alumnos del Instituto Tecnológico de Agua Prieta”
E = MC2
Einstein tenía razón
Juan Gerardo García Salazar
Agua Prieta, Sonora 2007
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ÍNDICE
Capitulo I Números reales
1.1 Clasificación de los números reales.---------------------------------------------------------5
1.2 Representación gráfica de los números reales y sus propiedades----------------6
1.3 Valor absoluto y sus propiedades.------------------------------------------------------------ 6
1.4 Desigualdades y sus propiedades ------------------------------------------------- ----------7
Ejemplos resueltos de desigualdades ------------------------------------------------------------8
Ejemplos resueltos de valor absoluto --------------------------------------------------------- 12
Ejercicios diversos para resolver--------------------------------------------------------------- 14
Capitulo II Funciones
2.1. Definición.------------------------------------------------------------------------------------------ 16
2.2. Ecuación.------------------------------------------------------------------------------------------- 17
2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas ---------------------------------------------23
2.4. Operaciones con funciones.------------------------------------------------------------------30
Problemas propuestos ----------------------------------------------------------------------- ------32
Capitulo III Limites y continuidad
3.1. Idea de límite--------------------------------------------------------------------------------------- 35
3.2 Teorema sobre límites---------------------------------------------------------------------------36
3.3. Continuidad.----------------------------------------------------------------------------------------42
Ejercicios propuestos-------------------------------------------------------------------------------- 47
Capitulo IV Derivadas
4.1 Incrementos y Diferenciales ----------------------------------------------------------------- 49
4.2 Definición de derivada ------------------------------------------------------------------------- 54
4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.------------------------------------------ 56
4.4 Derivadas sucesivas.-----------------------------------------------------------------------------65
4.5. Derivadas implícitas----------------------------------------------------------------------------- 67
4.6. Derivada de Funciones Trigonométricas ------------------------------------------------72
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4.7. Derivadas de funciones inversas e implícitas-------------------------------------------80
4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.---------------------------- 83
4.9. Derivadas de funciones hiperbólicas--------------------------------------------------- 91
Ejercicios propuestos------------------------------------------------------------------------------ 94
Capitulo V. Aplicaciones de derivadas
5.1 ley de velocidad y aceleración --------------------------------------------------------------- 96
5.2 Concavidad ----------------------------------------------------------------------------------------100
5.3 Problemas sobre máximos y mínimos criterio primera y segunda derivada104
5.4 Aplicación de máximos y mínimos ------------------------------------------------------ 108
Ejercicios para resolver --------------------------------------------------------------------------- 123
Capitulo VI Sucesiones y series
6.1. Desarrollo de una función en serie.------------------------------------------------- 128
6.2. Diferencia entre sucesión y serie----------------------------------------------------- 128
6.3. Convergencia y divergencia.----------------------------------------------------------- 128
6.4. Sucesión acotada --------------------------------------------------------------------------129
6.5. Series Aritméticas.------------------------------------------------------------------------129
6.6. Series geométricas ----------------------------------------------------------------------- 129
6.7. Derivación de series de potencias----------------------------------------------------130
6.8. Serie de McLaurin -------------------------------------------------------------------------132
6.9. Serie de Taylor ------------------------------------------------------------------------------134
6.10. Aplicaciones ------------------------------------------------------------------------------ 134
Bibliografía -----------------------------------------------------------------------------------------139
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CAPITULO I NUMEROS REALES
1.5 Números reales
1.6 Representación gráfica de los números reales
1.7 Valor absoluto y sus propiedades
1.8 Desigualdadaes y sus propiedades
1.1 Números reales
El conjunto de los números reales se establece, como el resultado de un proceso
gradual de aplicación de otros conjuntos que son:
1) Números naturales 1, 2, 3, 4,......, que se utilizan para contar y que se
denominan también números enteros positivos. La suma o multiplicación de
números naturales, es otro natural.
2) Números racionales positivos o fracciones positivas (p / q).
Son los cocientes de dos números enteros positivos; por ejemplo 3/5, 4/8,
121/11 (el conjunto de los números naturales esta incluido en el de los
racionales positivos 3/1, 8/2, etc.
3) Números irracionales positivos. Son los números no racionales como
2,....etc.
4) Cero. Se introduce en el sistema numérico de forma que puedan realizarse
operaciones como 5-5 ,3/4, -3/4, etc. Tiene la propiedad de que cualquier
número multiplicado por el da cero y cero dividido entre cualquier número
diferente a cero es igual a cero (0/q = 0).
5) Números negativos. Son los números enteros, racionales e irracionales
antepuestos del signo menos de la resta como por ejemplo: -3,-3/2,-3.
El conjunto de los números reales. Esta formado por los números racionales e
irracionales, tanto positivos como negativos y el número cero.
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1.2 Representación gráfica de los números reales
Los números reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una
recta. Para ello se elige un punto de la misma que represente al cero y se toma como
el origen, los enteros positivos se representan hacia la derecha de este origen y los
enteros negativos hacia la izquierda. Los números racionales también se pueden
representar también tomando en cuenta sus signos para su colocación.
-3/2 1/2
(Negativos) (Positivos)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
La posición de los números reales, establece un orden en el conjunto de dichos
números. Si un punto A de la recta esta situado a la derecha de otro B de la recta, el
número correspondiente A es mayor que B (A >B) o también en el número
correspondiente a B es menor que A (B < A). Los signos > y < son signos de
desigualdad.
1.3 El valor absoluto de un número: Es el correspondiente al número
prescindiendo el signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrando el
número entre dos barras verticales. Por ejemplo:
│-6│ =6 │-b│ =b │3/4│= 3/4 │x - a│= x – a
│x│ = x si x > 0; │-x│ = x si x < 0 ; │0│=0
Intervalo: Es la distancia comprendida entre dos números distintos en la recta
numérica.
Intervalos finitos: Sean a y b dos números tales que a < b, el conjunto de todos los
números x comprendidos en a y b reciben el nombre de intervalo abierto a a b y se
escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un
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intervalo abierto no contiene a sus extremos.
1.4 Desigualdades y sus propiedades
a (a, b) b
Intervalo abierto: a < x < b
Intervalo cerrado: Si a x b un intervalo cerrado si contiene sus extremos.
a [ a, b] b
Intervalo cerrado: a ≤ x≤ b
Intervalos infinitos. Sea a un número cualquiera.
El conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el nombre de intervalo
infinito. Otros intervalos infinitos son definidos por x a, x a, x a.
Intervalo x ≥ a
Intervalo x < a
Constante y variable en el intervalo a < x < b:
1) Cada uno de los símbolos a y b representan un solo número que se denomina
una constante.
2) El símbolo x representa un número cualquiera del conjunto de números y se
denomina variable.
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-2 -1 0 1 2 +
Las desigualdades como: 3x – 5 > 0 y x ² - 5x – 24 ≤ 0, también definen intervalos
sobre una escala numérica.
Ejemplos resueltos:
Ejemplo 1. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad, dar el
intervalo solución e ilustrar la solución en la recta numérica.
5x + 2 > x – 6
Sumamos (-x) a ambos miembros de la desigualdad.
5x - x + 2 > -6
4x + 2 > -6
Sumamos (-2) a ambos miembros
4x > -6 –2
4x > -8
Dividimos ambos lados entre 4 tenemos:
x > -8/4
Intervalo (-2, + )
Ejemplo 2. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad.
x > -2
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____x____ < 4 x 3
x - 3
Se deben de considerar 2 casos:
Caso 1. x – 3 > 0 esto es, x > 3
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por x – 3 obtenemos:
x < 4x - 12
Sumando (-4x) en ambos miembros obtenemos
-3x < -12
Dividiendo en ambos lados entre -3 y cambiando el sentido de la desigualdad
tenemos.
El intervalo (4,)
Caso 2. x – 3 < 0 esto es x < 3
Multiplicando ambos lados por x – 3 obtenemos:
x > 4x – 12
-3x < -12
x debe ser menor que 4 y también menor que 3 así la solución al caso 2 es el
intervalo (- , 3).
x > 4
x < 4
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Las soluciones combinadas son los intervalos (- , 3) y (4, +)
Ejemplo 3. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad.
( x + 8 ) ( x + 9) > 0
La desigualdad se satisface cuando ambos factores tengan el mismo signo, esto es
x + 8 > 0 y x + 9 >0 o si x + 8 <0 y x + 9 < 0.
Caso 1.
x + 8 > 0 y x + 9 > 0 esto es:
x > -8 y x > -9
De este modo ambas desigualdades cumplen si x > -8 lo cual es el intervalo (-8, +).
Caso 2.
x + 8 < 0 y x + 9 < 0 esto es:
x < -8 y x < -9
Ambas desigualdades se cumplen si x < -9, lo cual es el intervalo ( -, -9).
Por lo tanto si combinamos las soluciones para los casos 1 y 2 tenemos intervalo
(-, -9) y (-8, +).
Ejemplo 4. Resolver.
3 – 1 > 1 + 1
x 4 x
Sumando ¼ a cada lado obtenemos
0 1 2 3 4 5 6
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3 > 1 + 1 + 1
x x 4
3 > 1 + 5
x x 4
Sumamos –1 a cada lado obtenemos
x
3 - 1 > 5
x x 4
2 > 5
x 4
Multiplicando cada lado por ½
1 > 5 vemos que 1 > 0 y en particular x >0
x 8 x
Como 1 y 5 tiene el mismo signo podemos invertir y cambiar el sentido de la
x 8
desigualdad
Luego entonces el conjunto solución es 0 < x < 8 o (0, 8)
5 5
Ejemplo 5.
Encontrar el conjunto de todos los números x que satisfacen a
3x – 7 > 0 , 4x + 2 < 0 y -3x + 5 > 0
x < 8
5
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Los números reales x deben satisfacer simultáneamente las 3 condiciones. De aquí
que:
3x - 7 > 0 4x + 2 < 0 -3x + 5 >0
3x > 7 4x < -2 -3x > -5
El conjunto solución es el conjunto vacío 0, pues x no puede satisfacer a las 3
condiciones a un mismo tiempo.
Ejemplo 6. Resolver para x
3x + 2 = 5 esta ecuación será satisfecha si
3x + 2 = 5 o 3x + 2 = -5
Son 2 soluciones a la ecuación dada.
Ejemplo 7. Resolver para x
3x + 2 = 4x + 3
se satisface si
3x + 2 = 4x + 3 o 3x + 2 = - (4x + 3 )
3x –4x = 3 – 2 3x + 2 = -4x –3
-x = 1 3x + 4x = -3 –2
x < 7/3 x < -1/2 x < 5/3
x = 1 x = -7/3
x = -1
x = -5/7
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Ejemplo 8. Encontrar el conjunto de todos los números que satisfagan
x – 3 = x + 7
Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos
(x – 3)² = (x + 7)²
Recordando que
│x - a│² = (x –a)²
x² - 6x + 9 = x² +14x + 49
-6x –14x = 49 - 9
-20x = 40
El conjunto solución es {-2}.
Ejemplo 9. Resolver.
│y – 7 │< /3, > 0
│ y –7 │< /3 si solo si - < y – 7 <
3 3
Sumando 7 a ambos lados tenemos:
7 – < y < + 7 Por lo tanto el conjunto de solución es:
3 3
x = -2
(7 - , 7 + )
3 3
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Ejercicio núm. 1 a
Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad. Dar el intervalo
solución e ilustrar la solución en la recta numérica.
1.- 3x + 4 > x – 8
2.-3x + 5 > 3 - x
3.- 2x –1 < 0
3 2
4.- x - 1 < __x__
2 – x 3 - x
5.- __4___ ≤ 2
5 - x
6.- ___1___ ≥ ___4___
2x - 1 3 – 2x
7.- 5 ≤ 3 – 2x < 0
8.- (x – 3) (x + 5) >0
9.- 1 – x – 2x² > 0
10.- 4 x + 2 > __5 x + 3
2 3
11.- 3 < __6x - 2_ < -2
2x – 1
12.- 0 < 11y – 3 < -2
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y – 1
13.- x+ 1 < __x__
2 – x 3 + x
14.- 2x² - 6x + 3 < 0
Ejercicio 1 b.
Resolver.
1.- │3x – 8 │ = 2
2x – 3
2.- │ 2x + 3 │ = │4x + 5 │
3.- x + 2 = 5
x – 2
4.- │x – 8 │= x – 5
5.-│ x + 3 │ = x + 3/5
6.- │3x │> │6 – 3x │
7.- __5___ > __1__
2x – 1 x – 2
8.- _6- 5x_ > 1/2
3x + 2
9.- __3x - 2_ > _3_
8x + 3 5
10.- │9 – 2 x │ > 4
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11.- │4x – 1 │ < - 4
12.- │5x + 1 │= x – 3
13.-
14.- 5x – 3 = │2x - 1 │
15.-
7x > 1 x + 5
3 2
_1 > _3__
x+ 3 2x+3
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Capitulo II Funciones
2.1. Definición.
2.2. Ecuación.
2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas
2.4. Operaciones con funciones.
2.1. Definición. El conjunto de todas la parejas ordenadas de números reales se
llama el plano numérico y cada pareja ordenada (x, y) se llama un punto en el plano
numérico.
Podemos identificar la región R con puntos en un plano geométrico (espacio
bidimensional).Se escoge una recta horizontal en el plano geométrico y se le llama eje
x. se escoge un recta vertical y se le llama eje y .El punto de intercesión entre x e y se
llama origen y se denota por la letra o.Se escoge una unidad de longitud,
establecemos la dirección positiva en el eje x a la derecha del origen y la dirección
positiva en el eje y arriba del origen.
Asociamos una pareja ordenada de números reales (x, y) con un punto “P” en el
plano geométrico. La distancia de P desde el eje y se llama abscisa o coordenada x
de P y se denota por x. la distancia de P desde el eje x se llama la ordenada o
coordenada y de P y se denota por y. La abscisa y la ordenada de un punto se llaman
las coordenadas cartesianas rectangulares del punto; a cada punto le corresponde
una única pareja coordenada (x, y) y a cada pareja (x, y) se le asocia un solo punto.
Esta correspondencia uno a uno se llama un sistema de coordenada cartesiana
rectangular.
Las figuras ilustran un sistema de coordenadas artesianas rectangulares.
POSITIVO I
POSITIVO
I
POSITIVO
NEGATIVO II
POSITIVO IV
NEGATIVO IV
y
x
´ x
NEGATIVO III
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(2 ,1)
(-2, -3)
(-3, 2)
(0, 1)
y
y
´
x
´
x
a) Sistema coordenado dividido en cuadrantes y signos según cuadrantes.
b) Algunos puntos coordenados cartesianos.
2.2. Ecuación.- Es una expresión de igualdad que contiene una o mas incógnitas o
variables, como x, y, z; se utilizan en matemáticas para definir una ley o una teoría.
La ecuación es una identidad si es valida para cualquier valor de la incógnita como:
(x + b) ² = x² + 2bx +b²
Y es condicionada solo si es cierta para determinados valores.
Función.- Es un conjunto de parejas ordenadas de números (x, y) en el cual dos
parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer número.
El conjunto de todos los valores posibles de x se llama el dominio de la función y
el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango de la función.
La restricción es que dos parejas ordenadas distintas no puedan tener el
mismo primer número.
Ejemplo 1.- Si se da la ecuación y ² -x = 2 trazar su gráfica.
Despejando tenemos: y ² = x +2, y = ±( x +2
Y
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Tabulando tenemos:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 ±1 ±(2 ±( 3 ±2 ±(5 ±(6 ±(7
Se traza la gráfica
��
No es función si se grafica en relacion a la raiz ±, ya que losvalores de x no son unicos, de
acuerdo a la definición de funcion, por ejemplo en x ( - 1 hay p( (-1,1) y otro punto p2 (-1.-1),
empleando Mathcad dando la ecuación se obtiene directamente su grafica y con este software se
deduce si es o no funcion.
Ejemplo 2.- Discutir y bosquejar la gráfica de x ² - 4x - 8y + 4 = 0
Pasos:
Se completa el cuadrado en los términos que contiene a x.
x ² -4x= 8y-4
x ² -4x +4 =8y
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
y´
x´ x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
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4
3
2
1
0
1
2
3
4
4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
(x-2)² = 8y
Analíticamente
(x-h)² = 4 p (y-k)
Es la ecuación de una parábola con p =2 vértice (2,0), foco (2,2) y directriz
y = -2 eje de simetría x =2
Dominio valores de x (-,+), Rango valores de y (,+)
Si es funcion de acuerdo a la definición los valores de x no se repiten, más sin
embargo los de y si se pueden repetir.lo mismo que en el anterior si se usa Mathcad
se puede obtener su grafica en forma directa
Ejemplo 3.- Trazar la gráfica de la ecuación y = | x + 4 |
Por definición de valor absoluto tenemos:
y = x + 4 si x + 4 >0
y
y = - (x + 4) si x + 4 <0
o equivalente
y = x + 4 si x > -4
y
y
x
D´
0
f (2, 2)
R
D
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y = - (x + 4) si x< -4
Tabular con algunos valores que satisfacen la ecuación dada.
X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
Y 4 5 6 7 3 2 1 0 1 2 3
Se traza la gráfica:
Ejemplo 4.- Trazar la gráfica de la ecuación.
(2x + y – 1) (4y + x²) = 0
Solución.
Por la ecuación de los números reales de que a b = 0 a = 0 o b = 0 tenemos de
la ecuación dada que:
2 x + y – 1= 0
y
Despejando y en 1 y 2 tenemos que
y = -2x + 1
y
y = -1 x²
4
4 y +y ² = 0
8
6
4
2
y
y´
x´
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
4
1
2
x
Dominio x (-,+), Rango valores de y (0,+)
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Tabulando tenemos:
X 0 1 2 3 4
Y 1 -1 -3 -5 -7
Para y = - 1 x²
4
Dominio x (-,+), Rango valores de y (-,+)
Ejercicios., Realíce los ejercicios y compruebelos pormedio de un software de
matematicas se recomienda usuar el software Mathcad (en cualquiera de sus
versiones).
1.- Discutir y bosquejar la gráfica de y²- 6y –2x –11= 0 trace su gráfica.
En los ejercicios del 2 al 15 trace la gráfica de la ecuación.
2.- y² = x-3
3.- y = x-5
x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
y 0 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4
-5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x´ x
y´
y
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4.- y = 4x²
5.- y = 2x -5
6.- 4x² + 9y² =36
7.- 4x²-y² =0
8.- x² = y + 5
9.- y = 6x –3
10.- y =10
11.- (y²- x + 2) (y +√ x-4) = 0
12.- (x –2y +3) (y - x²) =0
13.- y² = -2x
14.-y =│x – 4 │-│x-2│
15.-y =5x³
16.-y² = 4 –x²
17.- y = x² - 5
18.-x² + y² = 25
19.-(x + 3y) (y – x²)= 0
20.-y = x³ - 3
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2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas
Funciones
Definiciones
1. Constantes. En las investigaciones matemáticas intervienen dos clases de
cantidades: unas que son constantes y otras que son variables.
Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias.
Así en la expresión y = 5x + 2, 5 y 2 son constantes absolutas porque nunca cambian;
pero en x²+ y² =a², que en la ecuación de una circunferencia, representa el radio y se
puede suponer circunferencias grandes y pequeñas, en las que a tendrá diferentes
valores y solo permanecerá constante en un problema determinado. A esta segunda
clase de constante se le llama parámetros.
En la ecuación y = mx + b, m y b son parámetros.
2. Variables. Las variables son de 2 clases: independientes y dependientes.
El radio de una circunferencia puede variar independientemente de cualquier otra
magnitud, mientras que la superficie del círculo varía forzosamente, al variar l radio: El
radio en este caso, variable dependiente.
Análogamente dado y = x ² -12x + 32, a todo cambio de x corresponde otro para y; x
es la variable independiente y y es la variable dependiente.
3. Función. A la variable dependiente se le llama función de x en un intervalo, cuando
a todo valor de x de ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, un valor
para y.
Valor de una función. Para saber el valor que adquiere una función dada, cuando a la
variable independiente se le asigne un valor particular, basta sustituir esa variable por
dicho valor.
Así, por ejemplo, dada la función
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f(x) = 5x² + 2 cos x
f (0) = 5 (0) + 2 cos (0) = 2
f (1) = 5 (1) ² + 2 cos ( 1) =
= 5 + 2 (.5393) = 6.0786
f(-x) = 5 (-x) ² + 2cos (-x)
= 5x² + 2 cos x =f(x)
Las funciones pueden ser algebraicas y trascendentes.
Función algebraica de una variable independiente. Es aquella en que la
dependencia puede expresarse con las operaciones algebraicas: suma y resta con un
número limitado de factores, división y potencia con exponentes constantes ya sea
entero o fraccionario, positivo o negativo. Por ejemplo:
2x + 5 , ax + b , x + 4 , 4x² + 2 , ax ⅔
3x – 5
Función algebraica de una variable. Es una función que no puede ligarse a la
variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas, efectuadas
en un número limitado de veces; por ejemplo:
2x , log А x , sen x , ang tan x
Ejemplos de funciones forma gráfica y operaciones con funciones:
Ejemplo 1
Sea la función h el conjunto de todas las parejas ordenadas (x , y) tales que:
y = │ x │
Encontrar el dominio y el rango de h y trazar la gráfica de h.
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Solución:
El dominio de h es (-, + )
El rango como es valor absoluto no hay valores negativos para y entonces el rango
de h es (0, + )
Ejemplo 2.
-4 si x< -2
Si y -1 si –2 ≤ x ≤ 2
3 si 2 < x
x x´
y
y´
1
-1 1
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27
Encontrar el dominio y el rango de la función y trazar la gráfica de la función.
Solución:
Solo es una interpretación de datos
Ejemplo 3.
√ (25 - x²) si x < 5
Si y =
x - 5 si 5 < x
Solución
y = √ 25 - x²
y = x - 5
x 0 1 2 3 4 5
y 5 √24 √21 4 3 0
y´
y
x´ x
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6
5
4
3
2
1
0
1
2
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28
x 5 6 7 8
y 0 1 2 3
DOMINIO: (- , +)
DOMINIO: I
RANGO: (0, +)
Función inversa: Hay pares de funciones cuyas curvas representativas tienen la
particularidad de que a todo punto de la una, corresponde a otro de la segunda,
ligados entre si, a saber: la abscisa de un punto de la una, es igual a la ordenada de
uno de la segunda y viceversa.
Como ejemplo, considere las funciones siguientes:
Ejemplo
y ² = 4x x ² = 4y
y = √ 4x x = √ 4y
y = √ 4x x = √ 4y
A todo punto de la primera curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con
respecto a la bisectriz del ángulo x o y.
x 0 1 2 3 4
y 0 ±2 ± √8 ± √12 ±4
x 0 1 2 3 4
y 0 ±2 ± √8 ± √12 ±4
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29
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Representando en la misma gráfica las funciones 1, 2 antes consideradas, se
obtienen dos parábolas, simétricas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante del
ángulo de los ejes.
Ejemplo 2.
Escríbase la función inversa de la función y desee en un mismo diagrama, la gráfica
de ambas funciones.
(y – 4)² = (2 – x)³
Intercambiando la x y la y se obtiene:
(x – 4)² = (2 – y)³
Tabulando la ecuación primitiva se tiene
x 2 1 0 -1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x´ x
y
y´
x´ x
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30
y 4 5/3 6.8/1.2 9.2/-1.2
X
Ejemplo 3.
¿Basta para obtener la función inversa de y = 2 + (x – 4)³, tomar el recíproco del
exponente del binomio x – 4?
Solución
No, porque se tendría
y – 2 = (x – 4)⅓; o sea: (y –2 )³ = x –4
y la función inversa es: x –2 = ( y –4) ³
2.4. Operaciones con funciones
Si f es la función que tiene como dominio valores de x y como rango valores de y , el
7
6
5
4
3
2
1
2
3
y´
y
-1 0 1 2 3 4
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31
símbolo f(x) denota el valor particular de y que corresponde al valor de x.
Ejemplo 1.
Dada f(x) = __x - 1__ hallar f(0), f(-1) , f(2 a), f(1/x) , f(x + h)
x² + 2
Cada uno de estos valores se sustituye en la función original obteniéndose un valor
particular con respecto a la función dada.
f(0)= __0 – 1_ = -1/2
0 + 2
f(-1) = __-1 –1__ = - 2/3
(-1) ² + 2
f(2 a) = __2a – 1__ = __2a – 1 __
(2 a)² + 2 4a² + 2
f(1/x) = __(1/x) – 1__ = __x – x ² __
(1/x)² + 2 1 +2x²
f(x + h) = __x + h – 1__ = ___x + h – 1 ____
(x + h )² + 2 x² + 2xh + h² + 2
Ejemplo 2.
Dada
g (x) = √3x -1
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32
Encontrar
g (x +h ) – g(x) _ ; h ≠ 0
h
Solución
g (x +h ) – g(x) _ = _√ 3 ( x + h ) – 1 _- √ 3x – 1
h h
Aplicando el principio del binomio conjugado para racionalizar el denominador de que
a² -b² = (a – b) (a + b) tenemos:
= (√3x + 3h – 1 - √3x – 1 ) ( (√3x + 3h – 1 + √3x – 1)
h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1)
= (3x + 3h – 1) - (3x – 1 ) = ___________3h _______
h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1) h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1)
Cancelando h por división se tiene que:
Problemas propuestos
En cada uno de los ejercicios la función es el conjunto de todas las parejas ordenadas
(x , y) que, satisfacen la ecuación dada. Encontrar el dominio y el rango de la función y
trazar la gráfica de la función.
g (x +h ) – g(x) _ = ___________3h _______
h √3x + 3h – 1 + √3x – 1
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33
Ejercicio 2 a.
1.-f(x) = - √ 16- x²
x si x ≥ 0
2.-f (x) =
-1 si x ≤ 0
3.-g (y) = y² /2
4.- r (t) = - │t – 3│
3 si t < 2
5.- g (t) = t + 2 si 2 ≤ t < 4 0
0 si t ≥4
6.- f (x) = __x³ - 2x²__
x – 2
6x + 7 si x ≤ -2
7.- y =
4 – x si -2 < x
x ² - 4 si x < 3
8.- f (x) =
2x – 1 si 3 ≤ x
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34
g (x +h ) – g(x)
h
9.- f (x) = __(x² + 3x – 4 ) ( x² – 5x + 6)
(x ² - 3x + 2) (x – 3)
10.- f (x) = │5x - 2 │
11.- Escríbase la función inversa de cada una de las funciones siguientes y dese en un
mismo diagrama la gráfica de ambas funciones.
a) x² = 5 y
b) y = x⅔
c) y = 2 + (x – 4)³
d) (y – 4)² = (3 – x)³
12.- Si la función implícita (y – 4) ² = (3 – x) ³ se intercambian los exponentes, ¿se
obtiene la función inversa de la función dada?
Ejercicio 2b.-
1.- Dada f (x) = 2x² + x encontrar:
a) f (-3)
b) f (2x³)
c) f (x + h )
d) f (2x + 3 )
e) f (x³ - 3)
f)
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35
2.- Dada f (x) = √3x² – x encontrar
g (x +h ) – g(x)
h
3.-Dada f (x) = ³ √2x² – 1
a) f (-1/2)
b) f (3/4ª)
c) g (x +h ) – g(x)
h
4.- Dadas f (x) = √x – 2 ; g (x) = √x² – 1 encontrar:
a) f + g
b) f – g
c) f/g
d) F (x) = (f o g ) x = f [g(x) ]
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36
III Capitulo
Límites y continuidad
3.1. Idea de límite
3.2 Teorema sobre límites
3.3. Continuidad.
3.1. Sea el cuadrado ABCD de 4 cm. De lado (ver fig.) construya una serie de
cuadrados, de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los
vértices del segundo, los puntos medios e los lados de este sean los vértices del
tercero, y así sucesivamente.
El área de la superficie del cuadrado ABCD = 16 cm ² el cuadrado EFGH, es la mitad
del cuadrado ABCD; por lo tanto, el área de los triángulos HAE, EBF, FCG, y GDH
que quedan en el cuadrado ABCD, después de haber construido el cuadrado EFGH
es la mitad del primer cuadrado, luego:
El área de los triángulos del primer cuadrado es igual a 8 cm² por consideraciones
análogas se obtiene el área de los demás triángulos.
Haciendo la suma de todos ellos se tiene:
Área e los triángulos 1° cuadrante: = 8 cm²
Área e los triángulos 2° cuadrante: = 4 cm²
Área e los triángulos 3° cuadrante: = 2 cm²
Área e los triángulos 4° cuadrante: = 1 cm²
Área e los triángulos 5° cuadrante: = .5 cm²
H
A
D C
B A
E
F
G
H
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37
Área e los triángulos 6° cuadrante: = .25 cm²
Área e los triángulos 7° cuadrante: = .125cm²
Área e los triángulos 8° cuadrante: = .0625 cm²
Área e los triángulos 9° cuadrante: = .03125 cm²
Suma = 15.96875 cm²
Por los resultados anteriores se observa que:
1° Los números 8, 4, 2,1 etc., forman una progresión geométrica decreciente de
razón 0.5
2° El valor de un término se acerca tanto mas a cero cuando mayor sea el número de
términos que lo proceden.
3° La suma de los términos es constantemente inferior a 16, y tanto mas próxima a
este número cuando mas términos se tomen en la progresión.
Se dice, en casos como este, que la suma tiende a un límite que en el problema que
se esta considerando, es 16.
Notación:
Se escribe lim s = 16
n
3.2. Teorema sobre límites
I.- Si f(x) = c constante, tendremos lim f(x) = c
x a
lim f(x) = A lim f(x) = B Resulta:
x a x a
II.- lim Kf(x) = KA siendo K una constante.
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38
x a
III.- lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A B
x a x a
IV.- lim [f (x) * g (x)] = lim f (x) * lim g (x) = A * B
x a x a
V.- lim f (x) = ___________ _______ = A
g (x) lim g (x) B Siempre y cuando B = 0
x a
VI.- lim Nf (x) = N lim f (x) = N A siempre que N A sea un número real.
Ejercicios resueltos
Si f (x) = x² - 2x +3 encontrar
a) lim __f( x) – f (1)___
x→ 1 x – 1
b) lim __f(1 + h ) – f (1)___
h→ 0 h
Solución
a) lim __f( x) – f (1) = lim _x²- 2x + 3 – 2_= lim __ x² – 2x + 1 = lim (x–1)²
x→ 1 x – 1 x→ 1 x – 1 x→ 1 x – 1 x→1 (x – 1)
= lim ( x – 1 ) = 0
x→1
lim f(x) = c
x a
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39
b) lim __f(1 + h ) – f (1) = lim __(1 + h ) – 2 (1 + h ) + 3 -2 = lim 1+2h+h²–2 –2h +1
h→ 0 h h → 0 h h→0 h
Ejercicio 2
Si G(x) = -√ 16 - x², encontrar lim _G( x) – G (1)
x→1 x – 1
o sea H (x) = __G( x) – G(1) , x ≠ 1
x – 1
H( x) = _-√16 – x +√ 15 = _(-√16- x²+ √15) (√16 - x² + √15)
x – 1 (x – 1 ) (√16 - x² √15)
H( x) = _______x²-1 __ = _(x – 1 ) (x + 1 )
(x – 1) (√16 - x² +√15) (x – 1) (√16 - x² + √15)
Como x≠ 1 cancelado el término x -1 tenemos que
H( x) = __ x + 1 ____
√16 - x² + √15
Por lo tanto
lim H (x) = lim __G( x) – G(1) = _ 1 + 1 = ___2____ =__2___
h→0 x – 1 √16 - 1 + √15 √15 + √15 2 √15
= lim _h²_= lim =0
h→0 h h→0
lim __G( x) – G(1) = 1__
h→0 x – 1 √15
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Cálculo Diferencial
40
Ejercicio 3
Encontrar lim = _-√z - 5 __
z 25 z - 25
sea f (z) = _-√z - 5 z ≥ 0 z ≠ 25
z– 25
f (x) = __(√z- 5 ) (√z + 5) = _ z - 25 = ___1____ por lo tanto
h 0 (z – 25 ) ( √z + 5) (z – 25 ) (√z +5 √z + 5
Ejercicio 4
lim __t³ -1___
t 1 t – 1
Por productos notables se tiene que
a³ - b² = (a – b) ( a² + ab + b²) (
lim __t³ - 1 = lim __(t + 1) (t² + t +1 ) = lim (t² +t +1)
t 1 t+1 t 1 (t + 1) t(1
Sustituyendo valores se tiene que
�
lim __√z- 5 = lim _ z - 25 = ___1____
z25 z – 25 z25 √z +5 10
lim (t² +t +1) = 3
t1
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Cálculo Diferencial
41
Ejercicio 5
�� lim __4 – x ² = lim _ (4 – x ² )_ ( 3 +√x² + 5) __= lim _ (4 – x ² )_( 3 +√x² + 5)
���x 2 3- √x² + 5 x→2 ( 3- √x² + 5) ( 3 +√x² + 5) x( 2 9 - x² - 5
� lim _ (4 – x ² )_ ( 3 +√x² + 5) dividiendo entre ( 4- x² )
x2 ( 4- x² )
�= lim (3 +√x² + 5) sustituyendo
x2
���= 3+ √ (2)² + 5 = 3 +√ 4 + 5 = 3+ √9 = 6
Ejercicio 6
lim _ 2x – x ² _
x ( x² - 4 )
En límites al infinito se dividen los términos entre el mayor exponente tomando en
cuenta que: A ÷ = 0
Ejercicio 7
y² 4 4
lim _ y ² + 4 _ = lim y ² + y ²_ = lim _ 1 + y ² __ = -1
y y - 4 y y - 4 y 1 - 4
y y y
Ejercicio para resolver (2c)
Calcular
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42
1.- lim _ (3x – 1) ² _
x 1 ( x + 1)³
2.- lim _ x – 2 _
x 2 x² - 4
3.- lim _(x + h )³ – x ³_
h 0 h
4.- lim _ y ³ + 8 _
y-2 y - 2
5.- lim _ 8t³ – 27 _
t 2/3 √ ( 4t² - 9 )
�
6.-.- lim √_ y² –9 _
y ( -3 ) ( 2y² +7y+3
7.- lim _ x ² +3x + 2_
x ( -1 ) x² + 4x + 3
8.- = lim (y³ – 2y ² + 3y - 4)
x ( -1 )
9.- lim __x – 1 ___
x 1 √x² + 3 - 2
10.- lim __4x³ +2 x ² - 5
x 8x + x² +2
11.- x ² + 4_
x x + 4
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Cálculo Diferencial
43
12.- ( x ² + 1 -x )
x
13.- _3x - 3 -x _
x- 3x + 3-x
14.- lim x² + 5x + 6 _
x x + 1
15.- lim x² - 16
x - 4 x + 4
16.- lim x³ + 8
x-2 x + 2
3.3. Continuidad
Consideremos la función f definida por:
f (x) = _x² + x - 6 _
x + 3
La función esta definida para todos los valores excepto cuando x = -3, ya que al
aplicar este valor:
f (x) = _(-3)² + (3) - 6 _ = _6 __=
3 - 3 0 (no esta definido)
Si resolvemos la ecuación por factorización en el denominador tenemos que:
f (x) = _(x + 3) + (x-2) _ = x - 2
x - 3
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Cálculo Diferencial
44
4
3
2
1
0
-1
-2
3
4
La gráfica consiste en todos los puntos de la recta
Debe incluirse el valor x = -3 para localizar la discontinuidad, se sustituyen los valores
en la nueva forma de f(x).
En el punto P (-3, -5) se establece un salto geométrico, la función deja de ser
continua en dicho punto.
Se dice que la función es continua en a , si cumple con las siguientes condiciones.
i) f(a) existe
ii) lim f(x) existe
x a
iii) lim f( x) = f(a)
x a
Ejercicios resueltos
Ejemplos
1. Especifique en que puntos la función es discontinua
X 0 1 2 -3
y -2 -1 0 -5
y
y
´
x
´ x
5 4 3 2 1 0 2 3 4 5
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Cálculo Diferencial
45
F (x) = x³ - 27_
x ² - 9
Tiene una discontinuidad evitable en x = 3 presenta también una discontinuidad infinita
en x = -3
Resolviendo por factorización algebraica tomando en cuenta que
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) y que a² - b ² =(a – b) (a+ b) tenemos que
f (x) = _(x - 3) + (x²+3x + 9) _ = x² +3x + 9
( x - 3) –(x + 3 ) x + 3
si f (x) =-3 f (x) =_( -3)² + (-3) + 9 _ = 9 =
3 - 3 0
2.- Diga si la siguiente función es discontinua
f (x) = x³ - 27_ ; x 3
x - 3
f (3) = 9 es discontinua en el punto
x = 3 porque:
i) f(3) = 9 existe
ii) lim f(x) = 27 existe
x3
iii) lim f(x) f(3)
x3
La discontinuidad se puede evitar asignando a la función
f (x) = x³ - 27_ el valor f(x) =27
x - 3
f (x) = _(x - 3) + (x²+3x + 9) _ = x² +3x + 9
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Cálculo Diferencial
46
( x - 3) –(x + 3 )
f (3)= (3)² +3 (3) + 9 =2
3. Sea f(x) definida por:
(2x + 3) + (x - 1) _ si x =1
f(x) = x - 1
2 si x =1
Al realizar operaciones para f(x) la función queda como:
2x + 3 si x 1
f(x) =
2 si x 1
Tabulando y realizando la gráfica tenemos:
Se verifica que hay un salto en la gráfica cuando x = 1 investigando las condiciones
para que f sea continua tenemos:
f(1) = 2 satisface la condición i (existe)
Lim f(x) = 2 (1) + 3 = 5; satisface la condición ii (existe)
x -1 0 1 2
y 1 3 5 7
X
y
P1 (1,2)
P2 (1,5) NO INCLUIDO
x´
y´
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
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47
x 1
lim f(x) = 5 pero f(1) = 2 no satisface a la condición iii se concluye que f es
x 1
discontinua en 1.
Ejercicio 4
Sea la función f definida por
2x + 3 si x 3
f(x) =
2 si x 3
Tabulación
x 0 1 2 3 4 5 6
y 3 2 1 0 1 2 3
Nota: Para localizar el punto donde existe el salto siempre se debe tomar en cuenta
dicho valor, evitando por medio de operaciones algebraicas que nos quede de la forma
a/0 ya que no esta definido.
Condiciones
de continuidad:
f(3) = 2 existe
lim f(x) = 0
pero f (3) = 2
No cumple con la condición
iii, por lo tanto f es
discontinua en 3.
y
x´ x
P1 (0,3)
y´
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
1
2
P2 (3,0)
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Cálculo Diferencial
48
2. Ejercicios a realizar
En los siguientes ejercicios trazar la gráfica de la función, establecer donde la función
es discontinua mostrar por que:
x² +6x - 16 _ si x ≠±1
1. f(x)= x ² - 4
1 si x ≠± 1
1 + x si x< - 2
2. f(x) =
2 – x si -2 ≤ x ≤2
2x – 1 si 2 < x
x² +x - 2 _ si x ≠ -2
3. f(x)= x +2
-3 si x =-2
27 – x ³ si x ≠ 3
4. f(x)= 3 - x
5 si x =3
x² +3x+ 2 _ si x ≠ 2
5. f(x)= x -2
2 si x =-2
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49
2x + 5 si x -5/2
6. f(x) =
3 si x -5/2
x² +x - 6 _ si x ≠ -3
7. f(x)= x-2
1 si x =-3
x² - 4 _ si x ≠ 2
8. f(x)= x² -16
2 si x =-2
9. g (x) = | 2x + 5 |
_ 1___ si x ≠ -2
10.f(x)= x + 2
0 si x =-2
-2X + 3 si x< -1
11.- h(x) =
-2x3 si x > -1
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Cálculo Diferencial
50
IV.- Derivadas
4.1 Incrementos y Diferenciales
4.2 Definicion de derivada
4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.
4.4 Derivadas sucesivas.
4.5. Derivadas implicitas
4.6. Derivada de Funciones Trigonométricas
4.7. Derivadas de funciones inversas e implícitas
4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
4.9. Derivadas de funciones hiperbolicas
4.1. Incremento.
El incremento Δ x de una variable x es el aumento y disminución que experimenta
desde un valor x = x de su campo de variación. Así pues ∆ x = x1 - x o bien
x1 = x + ∆ x
Si se da un incremento ∆ x a la variable x, es decir x pasa de x = x
a x = x +∆ x la función del valor y = f (x) debera incrementada en
∆y = f (x + ∆x1) – f (x ) a partir del valor y = f (x ).
∆y = incremento de y
∆x = incremento de x
El cociente anterior es otra interpretación de derivada y se define por un límite.
lim ∆y = lim f (x + ∆x) – f (x )
∆y → 0 ∆x ∆x→0 ∆x
o bien
lim ∆y = lim f (x + ∆x) – f (x)
∆y → 0 ∆x ∆x→0 ∆x
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Cálculo Diferencial
51
Derivación de Incrementos
Para derivar por incrementos basta realizar una sustitución directa de la función en el
cociente respondiente.
Así por ejemplo:
Ejemplo 1.- Hallar la derivada de y = x² + 5x
Por medio de incrementos
Solución:
Si Δ y = lim __f(x +Δx) – f (x)
Δ x Δx → 0 Δ x
Sustituyendo según sea la función dada tenemos:
lim Δ y = lim __(x +Δx)² + 5 (x + ∆x) – ( x² + 5x )
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
lim Δ y = lim __x² +2xΔx + Δ x² + 5x + 5∆x – x² - 5x
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
lim Δ y = lim __2xΔx + Δ x² + 5∆x
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
Factorización tenemos:
lim Δ y = lim __Δx +(2x + 5 + Δ x)
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
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Cálculo Diferencial
52
lim Δ y = lim 2x + 5 + ∆x
Δx → 0 Δ x Δx→0
lim
Δx → 0
Ejemplo 2.-
Y=√ 5x + 2
lim Δ y = lim _√ 5_(x +Δx) + 2 - √5x + 2
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
lim Δ y = lim _√ 5x+5Δx + 2 - √5x + 2
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
Racionalizando el numerador tenemos:
lim Δ y = lim _(√ 5x + 5Δx+ 2 - √5x + 2) (√ 5x + 5Δx+ 2) +√5x + 2)
Δx →0 Δ x Δx → 0 Δ x (√ 5x + 5Δx+ 2) + ( √5x + 2)
lim Δ y = lim _(5x + 5Δx+ 2 ) – (5x + 2)___
Δ x Δx →0 Δ x (√ 5x + 5Δx+ 2) + (√5x + 2)
lim Δ y = lim _______________5_______________
Δx →0 Δ x Δx → 0 √ 5x + 5Δx+ 2 + √5x + 2
Si ∆ x →Φ, sustituyendo ∆ x = Φ tenemos:
lim Δ y = lim _______________5______
Δx →0 Δ x Δx → 0 √ 5x + 2 + √5x + 2
Δ y = lim 2x+ 5
Δ x
Δ y = lim ____5_____
Δ x 2 √ 5x + 2
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53
Ejemplo 3.-
Dado f (x) = ³√ x² + 2x = (x² + 2x) ⅓
Encontrar la derivada por incremento:
lim Δ y = lim __[ (x +Δx )² + 2 (x + ∆x) ] – ( x² +2x)⅓
Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x
Δ y = lim _ (x² +2xΔx +Δ x ² + 2x +2 ∆x)⅓ -( x² +2x)⅓
Δ x Δx → 0 Δ x
Tomando en consideración que ( a-b) ( a² + ab + b² ) = a³ - b³ tenemos:
Δ y = lim _[(x² + 2xΔx+ Δ x ² +2x+2 Δ x)⅓ - (x² + 2x)⅓] [(x²+2xΔx+ Δx ²+2x+2∆x )⅔
+ (x² + 2x + 2 Δ x)⅓ ( x² + 2x )⅓ + (x² + 2x )⅓ + (x² + 2x )⅔]
Δ x [(x²+2xΔx+Δx²+2x +2 Δx)⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]
Δ y = lim x² + 2xΔx+ Δ x ² +2 Δ x +2x -x²-2x
Δ x [(x²+2xΔx+Δx²+2x +2 Δx)⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]
Δ y = lim ________Δx (2x + Δ x +2)______________________________________
Δ x 0 Δx [(x²+2xΔx +Δx² + 2x +2Δx )⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]
Haciendo Δ x = 0 tenemos:
= _______ 2x + 2_________
( x² + 2x) ⅔ + (x² + 2x) ⅓ ( x² + 2x) ⅓ +(x² + 2x )⅔
= _______ 2x + 2_________
( x² + 2x) ⅔ + (x² + 2x) ⅓ ( x² + 2x) ⅓ +(x² + 2x )⅔
= _______ 2x + 2_________
3 (x² + 2x) ⅔
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54
Problemas para resolver
Encontrar la derivada por incrementos de las siguientes funciones:
1.- f (x ) = 5x² - 2x + 2
2.- g(x) = √ 8x + 1
3.- y = ³√ 5x² + 2x
4.- y = 2x -1
3x + 2
5.- y = (5x² - x ) (2x + 1)
6.- y= (9x + 1)²
7.- f (x) = (5x + 3)³
8.- y= (2x + 3) ⅓
9.- f (x) = (2x + 1 ) ½
10.- y = (8x² - 6) ½
x - 2
11.-y = (3x –1)²
12.-y = 5x + 3
Δ y = lim =____ 2x + 2___
Δ x Δ x0 3 ³√(x² + 2x)²
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55
4x – 6
13.-y =(x + 2)²
(x – 2)²
14.-y =3(5x + 6)²
(3x + 2)³
15.-y =√7x + 6
16.-y = 3x – 1
8x²+7
17.-y = 1/2x²+ 1/3x
18.-y = ___6___
8x³- 3x²
4.2 Definicion de derivada
La deriva de una función f es aquella función denotada por f´ tal que su valor de
función en cualquier número x en el dominio de f esta dada por:
M (x1) = f´ (x) = lim f(x + x ) – f(x)
x→0 x
Otros símbolos usados en lugar de f´ (x) son:
f´ (x) = dy/dx = Dxy
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56
La notación y´ se usa también para la derivada de y con respecto a una variable
independiente.
Denotemos la deferencia de las abscisas de Q y P por x tal que x= x2 – x1
X puede ser positivo o negativo. La teniente de la recta secante PQ esta definido por
M PQ = f(x2) – f(x1)
x
ya que x2 = x1 + x entonces
M PQ = f(x1 + Δ x ) – f(x1)
Δ x
Si la función es continua en x1 entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto
P[ x1, f (x1) ] es:
La recta a través de P que tiene pendiente M (x1) definida como
M (x1) = lim f(x1 + Δ x ) – f(x1) si el limite existe
Δ x 0 Δ x
y´
y
Δ x= f(x2) – f(x1)
Q = [x2, f(x2)]
x´ x
P[x1, f(x1)]
-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
-2
-3
-4
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57
4.3. Derivadas de Funciones Algebraicas Simples
La operación de encontrar derivada de una función se llama diferenciación. La cual
puede efectuarse aplicando la formula de pendiente. Sin embargo este proceso es
demasiado tedioso, se establecen teoremas que permitan encontrar la derivada en
ciertas funciones más fácilmente.
1.-Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero
D x c = O
2.-Derivada de una variable con respecto a si misma
La derivada de una variable con respecto a ella misma, es 1
D x x =1
3.- Derivada de una potencia de x
Para obtener la derivada de una potencia de la variable independiente multiplíquese el
exponente por la base y como exponente póngase el que tenía pero disminuido en una
unidad.
i) Dx XM
= Mx M–1
ii) Dx X-M = -M x – M – 1
iii) Dx X R/S = _r x R/S –1
s
4.-Derivada de una suma de funciones
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58
La derivada de una suma de funciones, es igual a la suma algebraica de las derivadas
de esas funciones.
Dx (u + v + z) = Dxu +Dxv +Dxz
5.- Derivada del producto de varias funciones
i) La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la
derivada e la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.
ii) Para hallar la derivada del producto de varias funciones, multiplíquese la derivada
de cada función por las demás funciones, y súmese los productos.
Dx (uvz) = uvDxz + uzDxv + vzDxu
6.- Derivada de una función de función (Derivada en cadena)
La derivada de una función de función es = a la deriva de la función y con respecto a la
función intermediaria u multiplicada por la derivada de esta con respecto a la variable
independiente.
Dx y = (Duy) (Dxu)
Dx uⁿ= nuⁿ-¹ Dxu
7.- Derivada de un cociente
Para obtener la derivada de un cociente, multiplíquese al denominador por la derivada
del numerador, réstese del resultado el producto del numerador, por la derivada del
denominador, y divídase la diferencia entre el cuadrado del denominador.
Dx u = Udxv -vDxu
v v²
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59
8.- Derivada de un radical
La derivada de un radical del segundo orden es = a la derivada del radicando, entre el
duplo del radical.
i) Dx √u = Dxu
2√u
ii) si el radical no es del Segundo orden tenemos.
i) Dx m√u = __Dxu___
M M√uM-1
Resumen de fórmulas de derivación de funciones algebraicas.
En las fórmulas u, v, w, son funciones derivables de x.
1.- Dx c = 0 siendo c una constante
2.- Dx x = 1
3.- Dx (u + v+ w) = Dxu + Dxv + Dxw
4.- Cu = Cdxu
5.-Dxuv= uDxv + vDxu
6.-Dx (uvw) = uvDxw + uwDxv + vwDxu
7.-Dx (u) = (1) C≠0
C C
8.-Dx (C) = C Dx (1) = -C * Dxu
U u u²
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60
9.- Dx (u) = vDxu - uDxv
v v²
10.- Dx xM= m XM-¹
11.- Dx (UM)= m X M-1 Dxu
12.-Dx √u = Dxu
2√u
13.-Dx m√u = __Dxu___
M M√ u M-1
Ejercicios resueltos
Derivar las siguientes funciones
1. y = 1 + 3 + 2
x x² x³
y = x –1 + 3x-2 + 3x-3
Ampliando fórmula
Dx cx M = MCX M-1 tenemos:
y´= -x –2 + 3(-2x-3) + 2( -3x –4)
y´= -x –2 -6-3 -6x –4
y´= - 1 - 6 - 6
x² x³ x4
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61
2.- Y = 2x 1/2 + 6x1/3 – 2x 3/2
Aplicando la formula anterior tenemos:
y´= 2 (+ 1 x –1/2) + 6 (- 1 x –2/3) – 2 (3 x 1/2)
2 3 2
y ´= x –1/2 + 2x –2/3 – 3x 1/2
y´ = _1_ + _2_ - 3 x 1/2
x1/2 x 2/3
3.- f (x) = √x² + 6x + 3 empleando Dx √u = Dxu
2√u
f´(x) = Dx (x² + 6x + 3)
2 √x² + 6x + 3
= ___2x + 6 ___ = ___2(x+3)__
2√x² + 6x + 3 2√x² + 6x + 3
f´(x) = ___x + 3__
√x² + 6x + 3
4. f(x) = 5 x7 Dx (CxN) =C n x N-1
f´(x) = (5) (7) x 7-1 = 35x6
f´(x) = 35x6
5. Dada f(x) = 8x5 – 3x² + 76 encontrar Dxy
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62
Dx (u + v + z) = Dxu + Dxv + Dxz
Dxy = (5) (8) x5-1 – (3) (2) x 2-1 + Dx (76)
Dxy = 40 x4- 6x
6. (3x-2) (x + 4)
u = 3x – 2
v =x + 4
Dxuv = uDxv + vDxu
Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) Dx(x+4) +(x+4) Dx (3x-2)
Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) (1) +(x+3) (3)
Dx [(3x-2) (x+4)] = 3x –2 +3x + 9
Dx (3x-2) (x+4) = 6x + 7
7. f(x) = 2x³ + 4
x² -4x+1
u = 2x³ + 4
v= x² - 4x + 1
Dx u = vDxu – u Dxv Aplicando fórmula tenemos
V v²
Dx 2x³ + 4 = (x² - 4x + 1) Dx (2x³ + 4) - (2x³ + 4) (x²- 4x + 1)
x² - 4x + 1 (x² - 4x + 1)²
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63
Derivando
Dxy = 6x4 – 24x³ + 6x² - 4x4 + 8x³- 8x + 16
(x² - 4x + 1)²
Dxy = 2x4 – 16x³ + 6x²- 8x + 16
(x² - 4x + 1)²
8. Derivada de un radical
Obtener la derivada de:
a) 5√x²
b) 4√2x³
c) √a+x
√a-x
a) Dx 5√x²
Dx M√u = __Dxu___ Aplicando la fórmula tenemos
M M√u M-1
Dx 5√x² =_Dx x² = _2x = __2x___ = ___2__
55√(x²)4 55√x8 5x 5√x³ 55√x³
Dx 5√x² = _ 2__
55√x³
b) Dx 4√x³ = __Dx 2x³ =__6x²__ = __3__
44√(2x³)³ 44√8x9 24√8x
Dx 4√x³ = ___3__
24√8x
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64
c) Dx a + x usando la fórmula de
√ a-x
Dx √u = Dxu tenemos
2√u
Dx a_+_x (a-x) Dx(a+x) - (a+ x) Dx (a-x)
Dx a + x = ______ a – x____ = ___ ________(a-x)²_________
√ a-x a + x a + x
2 √ a – x 2 √ a – x
_(a –x)_( a + x)____ = ___2a__ = ___a__ = a √ a – x
a + x a + x √ a + x √ a + x
2√ a – x 2√ a – x √ a – x
Ejercicios para resolver
Obténgase la derivada de las funciones siguientes:
1. y = x4
2. f(x) = 1 x4 – 1 x³ + 2x²
4 3
3. y = 3x9 – 2x6 + x³ - 1
4. y = x² (3x²- 49 (x + 1)
5. f(x) = √ x²- a²
6. y = (x –2) √x²+2x
7. y = x² + 4√ x – x³ + _2_
√x³
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65
8. y = (x² - 2) √x² + 1
3
9. y = _ x – a_
√2ax – x²
10. y = 3 – 2x
3(2-x)²
11. f(x) =__5x – 2_
√25x²– 4
12. f(x) = (2x + 1 ) 4
3x - 1
13. g(t) = ( 2t² + 1)
3t² + 1
14. f(r) = (r² + 1)³ ( 2r + 5)²
15. y = √ x² + 1 + √x² - 1
√ x² +1 - √x² - 1
Racionalizar el denominador
16. f(t) = _2 + _6_
√ t ³√t
17. y = 3x ½ - x3/2 + 2x –1/2
18. f(x) = x -1
√ x + 1
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66
19. s = t² + 2
3 – t²
20. Ø = 3r + 2
2r + 3
21. f(x) = x √3- 2x²
4.4 Derivadas sucesivas
Ejemplo 1.
Calcule la derivada indicada
a) 5x5 – 8x² + x – 2 ; f´´´(x)
Se calcula la primera derivada
dy = 15x 4 – 16x + 1
dx
Se calcula la segunda derivada
d²y = 60x³ - 16
dx²
Se calcula la tercera derivada
d³y =180 x²
dx³
b) f(x) = √2- 3x² , f´´(x)
Primer derivada
Si Dx √u = Dxu
²√u
Segunda derivada
f´(x) = __-3x__
√2 – 3x²
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67
si Dx u = vDxu - uDxv
v v²
-3√2 – 3x² + (3x) (-6x) -3√2 – 3x² - 9x²
f´´(x) = √2 – 3x² Dx (-3x)-(-3x) Dx√2 – 3x² =________ _2√2 – 3x² =______ √2–3x²
(√2 – 3x²)² 2 – 3x² 2 – 3x²
Obteniendo común denominador tenemos
-6 + 9x² - 9x²
f´´(x) = __√2 – 3x²__ =______-6_______
2 – 3x² (2 – 3x²) ( √2–3x²)
f ´´ (x) = ______-6______
(2 – 3x²) 3/2
c) y = (x² + 2x)1/3 , y´´
Primer derivada
Por derivada en cadena tenemos:
Dx uM = M u M-1 Dxu
y´ = 1/3 (x² + 2x) –2/3 Dx (x² + 2x)
y´ = __2x + 2___
3(x² + 2x) 2/3
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Segunda derivada
y´´ = 3(x² + 2x )2/3 Dx (2x + 2) - (2x + 2) Dx3(x²+ 2x )2/3
[3 (X² + 2x) 2/3]2
y´´ = 6(x² + 2x )2/3 - (2x + 2) (2) (x² + 2x) –1/3 (2x+ 2 )
9 (x² + 2x) 4/3
y´´ = 6(x² + 2x)2/3 - (4x + 4) (2x + 2)
(x² + 2x) 1/3____
9 (x² + 2x) 4/3
y´´ = 6x² + 12x –8x² - 16x - 8
(x² + 2x ) 1/3____ = _ __-2x² - +4x + 8______
9 (x² + 2x) 4/3 9(x² + 2x)1/3 (x² + 2x) 4/3
y´´ = -2 (x² + 2x + 4)
9(x² + 2x)5/3
4.5 Derivadas Implícitas
Si y es una función de x definida por la ecuación:
y = 6x² + 8x - 1
Entonces y esta definida explícitamente en términos de x y podemos escribir
y = f (x)
Donde f(x) = 6x² + 8x – 1
Sin embargo existen funciones que no están definidas explícitamente como por
ejemplo:
3x³ -x² = 2y5 - 4y4
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69
En este tipo de función no la podemos resolver explícitamente para y como una
función de x, pero pueden existir una o mas funciones f tales que y = f (x) entonces
tenemos:
3x³ -x² = 2[f(x)]5 - 4[ f(x)]4
En este caso establecemos que y esta definida implícitamente como función de x.
Ejemplo 1.
Derivar 3x³ -x² = 2y5 - 4y4
Dx (3x³ - x²) = Dx (2y5 -4y4)
9x² -2x = 10y4 Dxy –16y³ Dxy
9x² - 2x = (10y4 - 16y³) Dxy
Despejando tenemos:
Ejemplo 2.
Dada (x + y )² - (x – y )² = x4 + y4 encontrar Dxy . Diferenciando implícitamente con
respecto a x tenemos:
Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 Dxu tenemos:
2( x+ y) Dx (x+y) – 2 (x-y) Dx (x-y) = 4x³ + 4y³ Dxy
2( x+ y) (1+Dxy) – 2 (x-y) (1-Dxy) = 4x³ + 4y³ Dxy
(2 x+ 2y) (1+Dxy) – (2x-2y) (1-Dxy) = 4x³ + 4y³ Dxy
Dxy = 9x² - 2 x
10y4- 16 y³
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70
2 x+ 2xDxy+ 2y+2yDxy-2x + 2xDxy +2y –2yDxy = 4x³ + 4y³ Dxy
4y+ 4xDxy = 4x³ + 4y³ Dxy
(4x- 4y³) Dxy = 4x³ + 4y
Dxy =4x³ - 4y
4x - 4y³
Ejemplo 3.
__y___ = 2 + x³
x -y
Derivando implícitamente tenemos:
__(x -y) Dxy – yDx (x- y)___ = 3 x²
(x –y)²
__(x -y) Dxy – y (1-Dxy)___ = 3 x²
(x –y)²
xDxy – y Dxy – Y +Dxy = 3x² * (x- y )²
Dxy (x – y + 1) = 3x² * ( x+ y )²
Dxy =x³ - y
x - y³
Dxy =3x³ (x –y)²
(x - y + 1)
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Ejemplo 4.
y + xy = 3x³
Derivando implícitamente tenemos:
Dxy + 1 (xy) –1/2 [ xDxy + y] = 9 x²
2
Dxy + xDxy + y = 9x²
2 xy
2 xy * Dxuy + xDxy + y = 18x² xy
(2xy) Dxy = 18x²xy – y
Ejemplo 5.
x² y³ = x4- y4
Derivando tenemos:
x² Dx (y³) + y³Dx(x²) = Dx (x4) – Dx (y4)
3x²y²Dxy + 2y³x = 4x³ - 4y³ Dxy
(3x²y² + 4y³) Dxy = 4x³-2y³x
Dxy = 18x² xy – y
(2 xy + x)
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72
Ejercicios para resolver:
Encontrar Dxy por diferenciación implícita:
1. dx +dy =12x²y
2. xy +2x =y
3. (2x + 3)dx =3ydy
4. yx - xy =9
5. 1 + 1 = 1
d x d y
6. x² + 4y² + 6x – 4y = 0
7. (2x + 3y)dx = 5y² + 1
8. dx - 4y = 10 xy
dy 9. 5x³ + 5y³ =xy
10. xy +y = 5xy
11. 5xy = x - 1
12. 3x² -3y = x - 3
13. 7xy + 6y = x²y
14. 12xy – 9y² = 5x
Dxy= 4x³ -2y³x
3x²y² + 4y³
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73
15. –(5x + 8) = y – 3
16. 3x²y = 4y + 5x
17. (2x- 3y) y = -5
18. -xy = y² + 4
19. 3x- 2y = -x
20. 5y – 9x = 3xy
21. (2x) (9y + 3)= -7x
22. (3x) (4x – 6y) = y
23. Ln(x² - y ) = -y²
24. . Ln ( 2x + 3y) = -xy
25. . ( x3 + y2) = 4y
26. . Ln (8y – 4x) = 9xy
27. . – ( 10xy –y) = y2
28. .log( 9x2 + 3y2) = 25y
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74
4.6 Derivada de Funciones Trigonométricas
Fórmulas más comunes de este tipo de derivadas:
1. Dx sen u = Cos u Dxu
2. Dx sen Mu= Msen M-1u Cos u Dxu
3. Dx cos u = -sen u Dxu
4. Dx cox Mu= -Mcos M-1 u sen u Dxu
5. Dx tan u = sec2u Dxu
6. Dx tan Mu = Mtan M-1 u sec2u Dxu
7. Dx cot u= - csc2u Dxu
8. Dx cotM u= -csc²u Dxu
9. Dx sec u = sec u tan u Dxu
10. Dx sec Mu= MsecMu tan u Dxu
11. Dx csc u = -csc u cot u Dxu
12. Dx cscMu = -McscMc cot u Dxu
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75
Ejemplos:
1. y = x – 1 sen 4x
2 8
Dxy = 1 – 1 Dx (sen 4x) Dx 4x
2 8
Dxy = 1 – 1 cos 4x (4)
2 8
Por identidad trigonométrica podemos tener también como resultado:
Si sen²a = 1 – 1 cos 2 a entonces:
2 8
2. y = 2sen6x + 3cos 2x
Dxy =2Dx (sen6x) Dx (6x) Dx (6x) + 3Dx (cos2x) Dx (2x) = 2 cos6x (6)-3cos 2x (2)
3. y = csc 2x
y = (csc 2x)1/2
Dxy = 1 – 1 cos 4x
2 8
Dxy = sen² 2x
Dxy= 12cos 6x –6cos2x
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76
Por derivada en cadena DxuM= MuM-1 Dxu
y´= 1 (csc 2x) –1/2 Dx (csc 2x)
2
y´= 1 (csc 2x) –1/2 (-csc 2x) (ctg 2x) Dx 2x
2
y´= -1 (csc 2x)1/2 (ctg 2x) (2)
2
Por fórmula tenemos:
Dx cscMu = -M csc Mu cot u Dxu
y = csc 2x = (csc 2x)1/2
y = -1csc1/2 2x cot 2x Dx (2x)
2
y = -1 (csc 2x )1/2cot 2x (2)
2
4. f(x) = cot (3- 5x²)
Dx cot u = -csc²u Dxu
f´(x) = -csc² (3-5x²) Dx(3 –5x²)
f´(x) =-csc² (3 –5x²) (-10x)
y´= -cot 2x csc 2x
y =- cot 2x csc 2x
f´(x) =10x csc² (3 –5x²)
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Cálculo Diferencial
77
5. y = sen4 x - 1
x
Dx senMu= M senM-1u cos u Dxu
Usando formula tenemos:
Dxy = 4sen³ x - 1 cos x - 1 Dx x - 1
x x x
Dxy = 4sen³ x - 1 cos x - 1 (1)
x x x²
6. y = 1 + sen x
1 –sen x
Multiplicando numerador y denominador por 1 – sen x tenemos:
y = (1 + sen x) (1- sen x)
(1 –sen x) (1- senx)
y = 1 + sen² x
(1 –sen x)²
y = 1 + sen² x
1 –sen x
Tomando en cuenta que:
cos² x =1 – sen ²x entonces:
y =_cos x__
1- sen x
Dxy = 4 sen³ x- 1 cos x-1
x² x x
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Cálculo Diferencial
78
Derivando tenemos:
y´= (1 - sen x) Dx cosx – cos x Dx (1- sen x)
(1 –sen x)²
y´= (1 - sen x) (-senx) – (cosx) –( cos x)
(1 –sen x)²
y´= - sen x + sen²x + cosx²
(1 –sen x)²
Tomando en cuenta que sen²x + cos²x = 1 tenemos:
y´= 1- sen x
(1 –sen x)
Hallar la derivada:
1. DxY = ______1_______
(sec 2x –1 )2/3
DxY = (sec 2x –1 )2/3
Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 tenemos:
DxY = - 3 (sec 2x – 1) – 5/2 DxY (sec 2x – 1)
2
DxY =- 3 (sec 2x – 1) – 5/2 DxY (sec 2x tan 2x) (2)
2
y´= __1____
1 –sen x
Dx = _-3 sec 2x tan 2x_______
Dy (sec 2x –1 )5/2
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Cálculo Diferencial
79
2. y = 1 tan x sen x
2
Por derivada de un producto dxuv = vdxu + u dxv tenemos:
Dy = 1 tan x Dx sen x + sen x Dx 1 tan x
Dx 2 2
Dy = 1 tan x cos x + 1 sen x sec²x
Dx 2 2
Sí tan x = sec x y sec x = ___1__
cos x cos x
Sustituyendo las identidades en el resultado tenemos:
Dy = 1 sen x (cos x) + 1 (___1_____)²
Dx 2 cos x 2 cos x
3. y = 4 cos5 (a² - 2x²)
De la derivada
Dx cos M u = -M cos M-1 u sen u Dx u tenemos:
dy =- (4) 5 cos 5 (a²-2x²) sen (a²-2x²) (-4x)
dx
Dy = 1 sen x + __sen x
Dx 2 2cos²x
dy =80 cos5 (a²-2x²) sen (a²-2x²)
dx
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Cálculo Diferencial
80
4. y = 4 csc³ x
De la fórmula Dx cscMu= –M cscMu cot u Dxu
dy = -(4) (3)csc³ x4 cot x4 (5x4)
dx
5. y = sen x – x cos x + x² +4x +3
y´= cos x- x Dx cos x + cos x Dx (-x) + 2x +4
y´= cos x + x sen x – cos x + 2x + 4
dy = -60 x 4csc³ x4 cot
dx
y´= x sen x + 2x + 4
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Cálculo Diferencial
81
Ejercicios para resolver
Encuentre las derivadas de las funciones dadas, reduzca si es posible por medio de
identidades trigonométricas.
Nota: Algunas derivadas trigonometricas son mas sencillas de resolver haciendo uso
de sus identidades, ya que en el caso por ejemplo de sen2 x + cos2 x = 1, al hacer uso
de la identidad seria la derivada de una constante lo cual nos daria como resultado
cero
1. y = 2 tan x³
2. r = sen t cos 2t + 5t² -8
3. r = 1 cos³ 5
3
4. y = 2 sec² 2x
3 sen 2x
5. y =sen ² (3x – 2)
6. y = (sen x) (cos x)
sec x
7. y = 1 cos ³ x – cos x
3 5 5
8. y = - csc 4x cot 4x
9. r =_2 tan t__
1 – cot t
10. r = 3 sec 2t tan 2t
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Cálculo Diferencial
82
11. y = [cos (3x –2) – sen (6x –9)]
12. y = sec² 2x
3 sen 2x
13. y= x² sen x + 2x cos x – 2 sen x
14. r = 1 cot ³ t – 1 sen t cos t
3 3
15. y= 2a cos ³ 3x – (cos 2x )1/2
4.7 Derivadas de funciones inversas e implícitas
1. Dx ang sen u = _Dxu = -Dx ang cos u
1 – u ²
2. Dx ang tan u = Dxu = -Dx ang cot u
1 – u ²
3. Dx ang sec u = __Dxu = -Dx ang csc u
u u ²-1
NOTA: Dx angsen u = Dx arc sen u
Dx angtan u = Dx arc tan u
Dx angsec u = Dx arc sec u
Ejemplos
Obténgase la derivada de las funciones siguientes:
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Cálculo Diferencial
83
1. y = ang sen a/x
Dxy = Dx (a/x) = - (a/x²) = -(a/x²) =
1-(a/x)² x² - a² x² - a²
x² x
2. y = ang tan x / c
Dxy= Dx (x / c) = 1 / c = 1 /c
1 + (x / c) 1 + x² c²+ x²
c² c²
3. y = ang sec x²/a²
Dxy =__ Dx (x² / a2)___ =__2x / a²__ = __2a2 x___
x² ( x² )² - 1 x² x2 – a2 a² x² x2-a2
a² a² a² a²
4. y = ang cos 1- x
1 + x
- D xy (1- x) ( 1 + x ) (-1) - (1 – x) (1)
Dxy = _____( 1+ x) = _______(1 + x )²_______
1 - (1 – x ) ² 1 - ( 1 – x)²
1 + x 1 + x
-____a_____
x x²- a²
Dxy= __c___
c² + x²
Dxy= __2a²___
x x2 – a2
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Cálculo Diferencial
84
_ _ + 2__
- 1 – x –1 + x - _____ - 2__________
Dxy = _____( 1+ x)²_ = _______(1 + x )²_______
(1 – x ) ²- (1- x)² 1 2x + x² - 1 + 2x - x²
(1 + x)² 1 + x
Dxy = __( 1+ x)²_ = __-2__(1 + x )²__ = _____+2______ =
4x 4x (1 + x)² 2x (1 + x)
1 + x
Ejercicios para resolver
Obténgase La derivada de las funciones siguientes, posteriormente de un valor
opcional y resuelva con Math cad:
1. y = 6 ang sen b/2x
2. y = 3x² ang tan 5x
3. y = ang cos a - x²
a² + x²
4. y = ang sec x – 2
x + 2
5. y = 8x ang cot 9x – 6
6. y = 1 arc tan (b tan x)
ab a
7. y = y² sen x + y = arctan x encontrar dy
dx
8. y = x arc csc 1 + 1 + x²
Dxy = ___1____
(1 + x) x
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Cálculo Diferencial
85
x
9. y = arc tan 3x²
10. y = x²- 4 + 1 arc sec x
x² 2 2
4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas y derivadas de
funciones hiperbólicas
El número e
e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...............+ 1 +...............= 2.71828
2! 3! 4! n!
Bases generales para exponenciales y logarítmicas y derivadas de funciones
hiperbólicas
1. In u N = n In u
2. In uM u N = In u M + In u N
3. In u M = In uM– In u N
u N
4. e LN U = u
5. Y = log 10 x = In x
6. Y = log e x = In x
Bases generales para funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas.
1. sen h u = e U – e-U
2
2. cos h u = e U – e-U
2
3. tan h u = sen h u = e U – e-U
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Cálculo Diferencial
86
cos h u e U + e-U
4. cot h u = ___1___ = = e U +e-U ; u = 0
tan h u e U - e-U
5. sec h u = ____1_____ = ____2____
cos h u e U + e -U
6. csc h u = _____1_____ = ____2_____; u = 0
sen h u e U - e –U
7. sen h –1 u = In (u + 1 + u²)
8. cos h –1 u = In (u + u² - 1); u > = 1
9. tan h –1 u =1 In 1 + u ; u² < 1
2 1 – u
10. cot h –1 u = 1 In u + 1 ; u² > 1
2 u - 1
11. sec h –1 u = In 1 + 1 – u² 0 = < u < = 1
u
12. csc h –1 u= In (1 + 1 – u²) u = 0
u ¦ u ¦
Fórmulas de derivación
1. Dx log u = 1 log u Dx u
u
2. Dx In u= 1 Dx u
u
3. Dx au = a
u In a Dx u
4. Dx eu = e
u Dx u
5. Dx sen h u = cos h u Dx u
6. Dx cos h u = sen h u Dx u
JUAN GERARDO GARCÍA SALAZAR
Cálculo Diferencial
87
7. Dx tan h u = sec h² u Dx u
8. Dx cot h u = -csc h²u Dx u
9. Dx sec h u = - sec h²u Dx u
10. Dx csc h u = -csc h² u Dx u
11. Dx sen h –1 u= ___1___ Dx u
1 + u²
12. Dx cos h –1 u= ___1___ Dx , u > 1
u² - 1
13. Dx tan h –1 u= ___1___ Dx u
1 + u²
14. Dx cot h –1 u= ___1___ Dx u
1 + u²
15. Dx sec h –1 u = ___-1___ Dx u
u 1 + u²
Ejemplos resueltos:
Encuentre la derivada de las funciones siguientes:
1. y = In ( 5x² + 6 x)³
De acuerdo a las propiedades de los logaritmos tenemos:
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Cálculo Diferencial
88
y =3 In ( 5x² + 6 x)
Usando la formula Dx In u = 1 Dxu tenemos:
u
dy = ____3___ Dx (5x² + 6x)
dx 5x² + 6x
dy = _3_(10 + 6)_
dx 5x² + 6x
2. y = In ³ (5x² + 6x)
Para derivar esta función se usa una derivada de cadena, la función en si es:
y = [In (5x² + 6x)]³
Empleando derivada en cadena y derivada logarítmica tenemos:
dy =3[ In (5x² + 6x)]² Dx In (5x² + 6x)
dx
dy =3[ In (5x² + 6x)]². ___1____ Dx (5x² + 6x)
dx 5x² + 6x
dy =3[ In (5x² + 6x)]²._10x + 6___
dx 5x² + 6x
dy = _30+18_
dx 5x² + 6x
dy =3 In² (5x² + 6x)._(10x + 6)___
dx 5x² + 6x
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Cálculo Diferencial
89
3. y =In (x² + 3 ) (x³ + 5 )
Empleando la propiedad del producto logarítmico de In (u) (v) = Inu + Inv tenemos:
y = In (x² + 3) (x³ + 5 ) = In (x² + 3 ) In (x³ + 5)
Derivando tenemos:
y´ = __1__ Dx (x² + 3) + __1___ Dx (x³ + 5)
x² + 3 x³ + 5
y´= __2x ___ + __3x²___
x² + 3 x³ + 5
Obteniendo común denominador tenemos:
y´= __2x (x³ + 5) +3x²_(x² + 3)__
(x² + 3) (x³ + 5)
y´= __2x4 + 10x + 3x4+ 9x²__
(x² + 3) (x³ + 5)
y´= __5x4 + 9x² + 10x__
(x² + 3) (x³ + 5)
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Cálculo Diferencial
90
4. y = In _ 5 x²__
(4x– 2)³
Por propiedad logarítmica de una división e que In u = Inu – Inv tenemos que:
v
y´ = In 5x² - In (4x – 2)³
y´= In 5x² - 3In (4x – 2)
Derivando tenemos:
y´= __1 ___ Dx 5x² - __3___ Dx (4x-2)
5x² 4x –2
y´= __10x ___ - __12___
5x² 4x – 2
y´= __(10x) (4x – 2) – (12) (5x²)__
(5x²) (4x -2)
y´= __40 x² – 20x - 60x²) __
(5x²) (4x -2)
y´= __-20 x² – 20x __
(5x²) (4x -2)
y´= __5x (– 4x-4) __
5x² (4x -2)
y´= - _4x+ 4 __
x (4x -2)
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Cálculo Diferencial
91
f ´(x)= -8tan 4x
5. f(x) = In (cos 4x)²
f(x) =2 In cos 4x
Derivando tenemos:
f´(x)= __2___ Dx cos 4x
cos 4x
f´(x)= __(2)(4) (-sen4x)__
cos 4x
f´(x)= - 8 _sen4x__
cos 4x
Por identidades trigonométricas donde sen = tan tenemos:
cos
6. f ´(x) = In (4x + x²-1 )
f´(x) =___1 ___ Dx (4x + x²-1 )
4x +x²-1
f´(x) =___1 ___ . (4x + 2 )
4x +x²-1 2x² - 1
4x² - 1 + 1
f´(x) =_x²-_1 ___
4x x²-1
f´(x) = __4x² - 1 +1____
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Cálculo Diferencial
92
4x( x²-1) ( x²-1)
f´(x) = __4x² - 1 +1____
4x( x²-1)
Ejercicios para resolver:
Resuelva por derivación y aplique leyes logaritmicas si es necesario.
Nota: de forma semejante al uso de identidades trigonometricas, el uso de leyes
logaritmicas facilita la derivación de un logaritmo
1. f(x) = In (sen5x)²
2. f(x) = In (6x + 5x² - 2x)
3. (x) = In (a + x)² - In (b + 2x)²
4. y = In (sec²6x) ½
5. y = In 32x² - 2x
6. y = In (sen 2x)
cos 2x
7. y = In 1 + cos x
1 - cos 2x
8. y = In ___sen__
1 + cos 2x
9. y = In [(5x² - 8)³ 2x – 1)]
f´(x) = __4 x² - 1 +1_
4x³ - 4x
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Cálculo Diferencial
93
10. y = In [ sen 2x + cos 3x]
11. y = In ³ 7x² - 8x
12. y = In (3x – 1 )1/2 (4x + 2) ¼
13. y = In 6 cos 3x cos 2x
14. y = In( 1 + x²)
( 1 - x²)
15. y = In cos 5x
sen 5x
4.9. Derivadas hiperbólicas
Las fórmulas de derivadas hiperbólicas son semejantes a las fórmulas elementales de
derivación de funciones trigonométricas.
Resolver por derivación:
1. y = sen²h (1 – x²)
Se puede indicar también como:
y = [senh (1 – x²)]²
Por derivación en cadena tenemos:
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Cálculo Diferencial
94
Dxy = 2[senh (1 – x²)] Dx senh (1-x²)
Dxy = 4x [ senh (1 – x²) cosh (1-x²)]
2. y = tanh (3 + x²)
Dxy = 2x sech² (3 + x²)
3. y = In senh x
Dxy = ___1_____ * cosh x
sen h x
Dxy = cosh x = cot h x
sen h x
4. y = 4 cos5 h (a² - 2x²)
Dxy = (4) (5) cos5h (a² - x²) Dx cosh (a² - x²)
Dxy = 20 cos5h (a² - x²) [-senh (a² - 2x²) (-4x)]
Dxy = 80 cos5h (a² - x²) senh (a² - 2x²)
5. y = sen4h x – 1
x
Dxy = 4 sen³h x – 1 cos x - 1
x x
6. y = sen h mx sen h M x
Dxy = M sen h M-1 x (sen h Mx cos h x + senh x sen h x cosh Mx)
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Cálculo Diferencial
95
Dxy = M sen h M-1 x sen h (Mx + x)
Dxy = M sen h M-1 x[ sen h (M + 1) x]
7. y = 1 – cosh x
Empleando Dx u = Dx u tenemos:
2u
8. y =__cos h x =
1 – senh x
Dxy = (1 - sen h x) Dx cos h x – cosh x Dx (1 – senh x)
(1 – senh x)²
Dxy = (1 - sen h x) )(-senh x) - cos h x (– cosh x)
(1 – senh x)²
Dxy = 1 - sen h x
(1– senh x)²
Dxy = ___sen h x___
21 – cosh x
Dxy = ____1 ____
1– senh x
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Cálculo Diferencial
96
Resuelva los siguientes ejercicios por medio de derivación hiperbólica
1. g(x) = ex sech x
2. g(x) = tanh x
3. y = 1 sec² h 2x – csch 4 2x
3
4. y = senh x 1 + cos ²h x
cos ³ h x
5. y = cos h (x-1)
6. y = 5 sen h 6x
7. y = __senh x_
2 + cosh x
8. y = tanh 2x
coth 2x
9. y = (1 - x² ) senh 6x
10. y = [sec h (9 – x²) ] 1/2
11. y = e –x senh x cosh x
12. y = 1 + 2 sen h (x – 3 )²
13. y = (sen²h x ) (cos²h x)
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Cálculo Diferencial
97
14. y =1 + x²
tan h 2x
15. y =__e 5x___
cos h 6x
16.- y = tan h 10x
17.- y = (cos²h x)
18.- y = tanh 4x
cosh 4x
19.- y = __senh3 x_
4 + cosh3 x
20.- ( cosh 3x)2 - ( senh 3x)2
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Cálculo Diferencial
98
V.- Aplicaciones de derivadas
5.1 ley de velocidad y aceleración
5.2 Concavidad
5.3 Problemas sobre máximos y mínimos criterio primera y segunda derivada
5.4 Aplicación de maximos y minimos
Problemas reueltos y problemas propuestos
5.1 Ley de velocidad y aceleración
Generalmente en esta ley se parte de una distancia dada para localizar su velocidad
comouna primera derivada y la aceleración de una particula lanzada verticalmente u
horizontalmente, como una aplicación a Fisica dependiendodelos datos del problema,
puede aplicarse esta ley para vectores, lanzamiento de proyectiles, los resultados
pueden ser comprobados por medio de calculadora cientifica o por medio de un
software matematico como lo es el Math Cad, con la ventaja de que por medio de un
software matematico podemos obtener no solo una solucion si no todo un desarrollo a
cierto problema dado ya que con la calculadora solo obtenemos la solucion grafica de
la curva mas no el desarrollo matematico del problema es recomendable usar
cualquiera de estos metodos para su comprobación.
Ejemplo:
Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación del movimiento.
S = 1 t² + _4t_
2 t +1
Donde S es la distancia dirigida de la partícula desde el origen en t segundos. Si v
m/seg. es la velocidad instantánea en t seg. y a m/seg² es la aceleración instantánea
en t seg. ; encontrar t, 5, y v, cuando a = 0.
Solución:
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Cálculo Diferencial
99
i) Cuando se deriva la distancia con respecto a t se tiene la velocidad.
v = ds
dt
ds = t + (t + 1) Dt (4t) – (4t) Dt ( t+1)
dt (t + 1)²
ds = t + (t + 1) (4) – 4t
dt (t + 1)²
ds = t + 4t+4 –4t
dt (t + 1)²
v = t +__4___
(t + 1)²
ii) Si se deriva la velocidad con respecto a t se obtiene la aceleración o sea:
a = d² s = dv
dt² dt
d² S = 1 + Dt 4(t + 1)-2
dt²
d² S = 1 – __8__
dt² (t + 1)³
a = 1- __8__
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Cálculo Diferencial
100
(t + 1)³
Haciendo a = 0 tenemos:
1 - __8__ = 0
(t +1)³
(t + 1)³ - 8 = 0
(t + 1 )³
(t + 1)³ - 8 = 0
(t + 1)³ = 0
t + 1 = ³√8
t = 1 seg.
Cuando t = 1 sustituimos en S y en v
S = 1 (1)² + (4) (1) = 2.5 mts.
2 1 + 1
S = 2.5 mts.
v = 1 + __4__ = 2
(1 + 1)²
v = 2 mts/seg
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Cálculo Diferencial
101
Ejercicios para resolver:
i) Encontrar la primera y segunda derivada de la función definida por la ecuación dada.
1.- f(x) = √x³ + 1
2.- f(x) = x3 + 3x2 -6x
3.- f(x) = (4x² -x) –3/4
4.- f(x) =x√1 –x²
5.-g(x)= √ 1 +1
x²
6.-S(t)=_ 4t³_
t² + 1
7.- h(x) = 3x + 1
√x
8.-G(t)= 3 –4 + 7
t t²
9.-S(t) = 3t²_
t + 1
10.-f(x) = 2- √x__
2 +√x
11.- G(x) = _1__
√3+2x²
12.- h(y)= ³√ 2y³+5
13.-S(t) = ³√3t+1
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Cálculo Diferencial
102
14.- G](z) = √2z + √ z/2
ii) Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación del
movimiento dada, donde S mts. Es la distancia dirigida de la partícula desde el
origen en t seg. Encontrar el tiempo cuando la aceleración instantánea es cero y
luego encontrar la distancia dirigida de la partícula desde el origen, así como su
velocidad.
a) S = ___125___ - 2 t² donde t ≥0
16t+32 5
b) S =-9t² + 2 √2t + 1
5.2. Concavidad (Derivadas de orden superior)
Teore
ma
Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c entonces:
i) Si f´ (c) >0 la grafica de f es cóncava hacia arriba en [c, f, (c )]
ii) Si f´´ ( c)<0 la grafica de f es cóncava hacia abajo en [c , f,(c)]
iii) La gráfica tiene un punto de inflexión si f´´ (c). Existe y f´´ (c) = 0
Ejemplo 1
[c, f(c )]
x
y
x
y
c
i
)
[c, f(c )]
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Cálculo Diferencial
103
Si f (x) =x³ -6x² + 9x +1
Se obtiene la primera y segunda derivada
f´(x) =3x² -12x + 9
f´´(x)= 6x-12
f´´(x) Existe para todos los valores de x el único punto de inflexión para el que
f´´(x) = 0 es cuando x =2
Se debe determinar cuando la función es cóncava hacia abajo y cuando es cóncava
hacia arriba tomando en cuenta que si f´´ (x) >0 es cóncava hacia arriba y si f´´ (x)<0
es cóncava hacia abajo.
Se establecen intervalos:
- < x < 2, f´´ (x) siempre es negativo, entonces es cóncava hacia abajo.
2<x < , f´´ (x) siempre es positivo, entonces es cóncava hacia arriba.
Si x= 2 f´´ (x) = 0 entonces la grafica tiene un punto de inflexión.
(cambia la concavidad)
Tabulación
Ejemplo 2
Si g(x) = x³ +3x²-3x-3
x 0 1 2 3 4
y 1 5 3 1 5
P (2,3) Punto de
inflexión
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
2
3
(2,3)
y
y´
x´ x
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104
Encontrar su concavidad y los puntos de inflexión:
Solución:
Se obtiene la primera y segunda derivada, se busca el número para el cual g´´ (x) = 0
g´(x) = 3x² + 6x –3
g´´ (x) =6x + 6
Para que g´´ (x)= 0 x=-1
Para que g´´(x) = 0 x= -1
En x = -1 tenemos el punto de inflexión
Se establecen intervalos:
- < x < -1, f´´ (x) <0 siempre es negativo, entonces es cóncava hacia abajo.
-1<x < , f´´ (x) >0 siempre es positivo, entonces es cóncava hacia arriba.
x = -1 f´´ (x) = 0 entonces la grafica tiene un punto de inflexión.
(cambia la concavidad)
Tabulación
g(x) =x³+3x² - 3x -3
Ejercicios para resolver.
Determine si la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y
x -3 -2 -1 0 1 2
y 6 7 2 -3 -3 11
P (-1,2) Punto de inflexión
x´
5 4 3 2 1 -1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-2
-3
(2,3)
y
y´
x
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Cálculo Diferencial
105
de, su punto de inflexión, trace su gráfica.
1.- f(t) = t³ - 9t² + 6t –3
2.- g(x) = ___x___
x²-1
3.- f(x)= 16x⁴ +32x³+24x²-5x-20
4.-f(x)= (2x-x²)²
5.- f(x)= _x - 5__
x + 2
6.-f(x) =x² - 4
7.-f(x) = 3x³- 1
8.-f(x) = _2x_
x² + 2
9.- f(x) = 4x² - 1
10.-f(x)= x² + 4
x – 1
11.-f(x) = 4x – 1
12.-f(x) = x + 2
x – 6
13.-f(x) = ___x___
x³ - 3
14.-f(x) = (3x² -2)²
15.-f(x) = 5x + 3
16.-f(x) = __3x__
x² - 2
17.-f(x) = 5x³ + 3x²- x + 1
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Cálculo Diferencial
106
5.3. Máximos y mínimos criterio de la primera y segunda derivada.
Si se da una función f(x) y un arco AB de la cuerva representativa de esa función, si
para un valor determinado de a de la variable independiente x, el intervalo
comprendido entre los puntos de A y B, la ordenada correspondiente al punto de la
abscisa OC=a es mayor que cualquier otro punto de la abscisa x; o sea , si
f (a) > f (x)
Se dice que f(a) es el valor máximo de la función o punto máximo; sí
f (a) < f (x)
Se dice que f(a) es el valor mínimo de la función o punto mínimo
f(a) > f(x) f(a) < f(x)
Criterio de la primera derivada
Dada una función, para saber si tiene máximo o mínimo, se tienen los siguientes
pasos:
i) Se obtiene f´(x) a partir de la función dada;
ii) Obténgase la raíz o raíces reales de la ecuación dada;
iii) Analícese como varia, f´(x) en la proximidad de la raíz o raíces. Si a es la
raíz de f´(x) y f´(x) pasa de + a -, f(x) es mínimo y f(a) es ese valor máximo.
iv) Si f´(x) pasa de menos a mas en una vecindad de a, f(a) es mínimo
v) f(x) no tiene ni máximo ni mínimo en el punto f(a), si f´(x) no cambia de
y
A B
C
x
D
D
C
B
A
y
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Cálculo Diferencial
107
signo.
Criterio de la segunda derivada.
I) obtengase f´(x) y f´´ (x)
II) Calculese la raiz o raices de f´ (x) = 0
III) Sustituyase x por el valor de la raiz o de las raices en f´´ (x)
IV) Si a es una raiz y f´´ (a) < 0, hay maximo, si f´´ (a)> 0 hay minimo
Ejercicios resueltos
1. Examínese si tiene máximo o mínimo las siguientes funciones:
a) y =x² - 4x + 1
Derivando tenemos: y´= 2x – 4
Resolviendo para y´= 0, tenemos:
2x – 4 = 0
x= 4/2
si x < 2 si x > 2
Punto crítico (1,-2)
Observaciones:
Si x < 2, y´ es negativa
Si x > 2, y´ es positiva
f´(x) pasa de – a +; por lo tanto, tiene un mínimo; sustituyendo el valor de x = +2
tenemos:
f(2) = (2)² - 4(2) + 1
f(2) = -3
El mínimo esta en el punto P (2, -3)
f(x) = 1/3x³ - 3/2 x² - 10x derivando tenemos:
f´ (x)= x² - 3x –10
x 3 4 5
y 2 4 6 x -1 0 1 2
y -6 -4 -2 0
x = 2
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108
Resolviendo para f´ (x) = 0 tenemos:
x²- 3x –10= 0
(x +2) (x +5) =0
x1= -2 x2= 5
Si se dan valores para x < -2 y para x > -2, f´(x) pasa de positiva a negativa, luego
f(-2) es máxima ; sustituyendo en f(x) x =-2 tenemos:
f(-2) = 1/3 (-2)³ - 3/2 (-2)² - 10(-2)
f(-2) = 34/3
En el punto P(-2, 34/3) tenemos un máximo.
Si x< 5, f´(x)> 0; f´(x) pasa de negativa a positiva; luego f (5) es mínimo sustituyendo
x=5 en la función original, tenemos:
f (5) = 1/3 (5)³ - 3/2 (5)² - 10(5)
f (5) = -(275/6)
En el punto P2 (5, -275/6) tenemos un mínimo.
b) y = x4 -6x² +10
Derivando obtenemos:
y´ = 4x³ -12x
Resolviendo para y´ = 0 tenemos:
4x³ - 12x = 0 x1 = 0
x(4x² -12 x) = 0
4x² = 12 x² = 3
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109
x= ± 3 x2 = -3 x3 = 3
Si x< -3, y´ es negativa si -3 <x < 0, y´ es positiva en x = -3 hay un mínimo,
sustituyendo en y tenemos:
y = (-3)⁴ - 6(-3)² + 10
= 1
P1 (-3, 1) tenemos un mínimo
Si 0< x< 3 y´ es negativa, en x = 0 hay un máximo entonces si sustituimos en y
tenemos:
y = (0)⁴ - 6(0)² + 10
= 10
En el punto P2 (0,10) tenemos un máximo finalmente si x >3, y´ es positiva en x >3,
existe un mínimo sustituyendo en y tenemos:
y = ( 3) ⁴ - 6 (3)² + 10
y = 1
P3 (3, 1) tenemos un mínimo
En esta función contamos con 2 mínimos y un máximo.
NOTA: Pueden existir más de un máximo y más de un mínimo dependiendo de la
función dada, así como también puede no existir máximo ni mínimo.
5.4 Aplicaciones de Máximos y Mínimos
1. De todos los rectángulos de perímetro constante. ¿Cuál es el área máxima?
y
x
x = base
y = altura
P =2x + 2y
1
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110
x = p/4
x = y
p = perímetro
Se debe relacionar el perímetro con el área y ponerlos en relación una sola variable,
para obtener su derivada:
Si A = área del rectángulo
Despejando y de 1 tenemos:
A = x (p-2x)
2
Sustituyendo en 2 tenemos:
A = _p x-2x² (consideramos a p como constante)
2
Derivamos A
A´ = P – 4x Si A´ = 0 2
= P – 4x =0
2
4x = p
Sustituimos en y = p – 2x
2
y = _P – 2 (P/4) = P – P/2 _ = P/2 =P
2 2 2 4
Como x = y el rectángulo considerado es un cuadrado.
2 A = xy
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111
2. ¿Para que el valor de x resulte mínima la distancia del punto p (x,0) a los puntos
A (8,8) y B (3, 2)
Por geometría analítica se obtiene que la distancia de punto a punto es:
P1 P2 = (X1 – X2)² + (Y1 – Y2)²
La distancia del punto P (x, 0) a cada uno de los puntos es
S = AP + PB
S = (X – 8)² + (8)² + (X- 3)² + (2)²
Derivando obtenemos:
Dx U = DxU
2 U
S´= ____2(x-8) + ____2(x – 3)__
2 (x – 8)² + 64 2(x – 3 )² + (2)²
S´= ___x-8 __ + ____x – 3__
(x – 8)² + 64 (x – 3 )² + 4
Sí S´ =0
S´= ___x-8 __ + ____x – 3__ = 0
(x – 8)² + 64 (x – 3 )² + 4
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112
S´= (_x-8) ((x- 3)²+4) +(x – 3) ((x-8)²+64) = 0 despejando tenemos
((x – 8)² + 64 ) ((x – 3 )² + 4
S´= (x-8) ((x- 3)²+4) =(x – 3) ((x-8)²+64)
S´= (x²-1+6x +64) (x² - 6x +9+4) = (x² - 6x + 9 ) (x²-16x +64 + 64)
S´= (x⁴- 22x³ + 173 x²- 592x + 832 = x⁴- 22x³+ 233x² - 912 x+ 1152
Igualando a cero y reduciendo términos semejantes tenemos
(-60x² + 320x – 320 =0) (-1/20)
Por fórmula cuadrática general tenemos:
x1 = 16 + (16)² - 4 (3)(16) = 4
6
x1 = (16)² - 4 (3)(16) = 4/3
6
Sustituyendo en S tenemos:
S1 = (4-8)² + 64 + (4 + 3)² + 4
= 8.94 + 2.60
S2 = (4/3 –8)² + 64 + (4/3 –3)² + 4 = 10.41 + 2.60
Distancia mínima s1= 11.17 para que la distancia sea mínima x= 4
y el punto P (4, 0), graficando tenemos:
3x² - 16x + 16 =0
S1 = 11.17
S2 =13.01
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113
3. Se quiere apuntalar la pared de un edificio por medio de una viga apoyada sobre
una pared paralela de 10 metros de altura, situada a una distancia de 8 metros de la
primera. Hallar la longitud L de la viga corta que se puede emplear al efecto.
L = longitud de la viga
x = distancia del pie de la viga al de la pared paralela.
y = distancia del suelo al extremo superior de la viga.
8
7
6
5
4
3
2
1 -8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 -1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-3
-4
-5
A (8,8)
P (4,0)
y
y´
x´
x
B (3,2)
10
L
x+8
y
8
L
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114
Planteo del problema
Por teorema de Pitágoras tenemos:
Se forman según la figura, 2 triángulos rectángulos y por semejanza de triángulos
rectángulos tenemos:
y = x+ 8
10 x
Sustituyendo 2 en 1 para transformar L con respecto a
una sola variable
L = (x + 8)²+ (10 (x + 8) )²
x
(x + 8)²+ 100 (x + 8) ² = x² (x+ 8)²+ 100 (x + 8) ²
x² x²
Factorización tenemos:
= 1 x² (x+ 8)²+ (x² +100)
x
L = x + 8 x ² +100
x
Derivando L tenemos:
L´ = x Dx [ (x+8) x²+100] – [ (x+8) x²+100 Dx X]
x²
1 L = (x+8)² + y²
y= 10 (x + 8)
x
2
3
x
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115
L´ = x [2x (x+8) + x²+100] – [ (x+8) x²+100 ]
2 x² + 100 ___________________________
x²
Obteniendo común denominador y realizando operaciones tenemos:
L´ = 2x ³+8x²-x³-8x²-100x-800
x² x² +100
L´ = x ³-800
x² x² +100
Si L´= 0 tenemos:
L´ =__x ³-800 =0
x² x² +100
Despejando tenemos:
x³ - 800 = 0
x =³800
Sustituyendo en 3 tenemos:
L= 9.28 + 8 (9.28)² + 100
9.28
Longitud de la viga
1. El área total e una caja de base cuadrada es de 12m².¿Que dimensiones debe
tener para que su volumen sea máximo?
i) Se presentara la caja dándole valores con literales a sus dimensiones
x = 9.28 m
L= 25.40 m
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116
x = lado de la base cuadrada
y = altura de la caja
ii) Se indica o se forma la ecuación a partir de los datos:
Área total = suma de áreas que forman la caja
AT =2x² + 4xy
2x² +4xy = 12m²
Despejando y tenemos:
y = 12 – 2x²
4x
Fórmula 1
iii) Se pide encontrar volumen, se relaciona el área dada, despejando una de
sus variables y sustituyéndose en la ecuación del volumen según se haya
planteado:
Volumen = v = x² y
Fórmula 2
Sustituimos 1 en 2 , entonces tenemos:
y = 6- x²
2x
v = x² y
y
x
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Cálculo Diferencial
117
V = x² (6 – x²)
2x
V = 1 (6 x– x³)
2
iv) Se deriva el volumen, y se hace la derivación igual a cero se obtienen los
valores de una de las variables.
Dxv = 1 ( 6 – 3x²) Si Dxv = 0
2
1 (6 – 3x²) = 0
2
6 – 3x² = 0
x²=2
x= 2
La dimensión no puede ser negativa
La dimensión en 1 tenemos:
y = 6 – X² = 6 –(2²) = 6 – 2 = 4 = 2 M
2x 22 22 22 2
Racionalizando el denominador tenemos:
y = 22= 22 = 2 M
2 2 2
x = 2 M
y = 2 M
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Cálculo Diferencial
118
v) Conclusión: Todas las aristas son iguales por lo tanto la caja es de forma
cúbica.
2. El área total de la página de un libro es de 96 in². Los márgenes superiores e
inferior son de 1 ½ in y los laterales de 1 in. Que dimensiones debe tener la
página para que el área impresa sea máxima; y ¿cual será esta área máxima?
Se representa por medio de un dibujo la página tomando en cuenta los datos dados.
i) Se transforma al lenguaje algebraico según figura.
AT = 96
AT=xy
xy = 96
Área impresa
Se sustituye 1 en 2
y = 96
x
A = (x-2) (y –3)
1
2
y – 3
x –
x
y
x
1´´
1 1/2´´
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Cálculo Diferencial
119
x = 8
A = (x-2) (96 –3)
x
A = 102-3x -192
x
ii) Se deriva se hace la derivada igual a cero , se encuentra el valor de unas de
las variables.
Derivando tenemos:
A´ = -3 +192 = -3x² + 192 = 0
x² x²
3x² = 192
x² = 64
x = 64
x = -8 no tiene sentido, entonces:
Sustituyendo en 1 tenemos:
y = 96
x
y = 96
8
x = 8
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Cálculo Diferencial
120
Las dimensiones de la página son:
xy = 96
(8) (12) = 96 in²
El área máxima impresa es:
A = (x-2) (y –3)
A = (6) (9)
3. Hállense las dimensiones de un triángulo isósceles inscrito dentro de una
circunferencia de radio r.
i) Área del triangulo
A = 1 (2x) (y)
2
ii) Por la figura aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
y = 12
A = 54 in²
A = xy 1
y-r r
x
y
x = semi -base
y = Altura
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121
r² = x² + (y – r )²
r² = x² + y² – 2ry + r ²
-y² +2ry = x²
Sustituyendo 2 en 1 tenemos:
A = y 2ry – y²
Derivando, igualando a cero y resolviendo tenemos:
AC = y (2r – 2y) + 2ry – y²
2 2ry – y²
A´ = _y (r – y)__ + 2ry – y² = 0
2ry – y²
A´ = ry – y² ´+2ry – y² = 0
2ry – y²
3 ry – 2ry ² = 0
y (3r – 2y) =0
Sustituyendo 2 tenemos:
A = 2ry – y²
x = 2r (3 r) – (3 r)²
2 2
x = 2ry – y² 2
y = 3 r
2
c
?
A
x
y
B
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Cálculo Diferencial
122
x = 3r² – 9r²
4
x = 3r²
4
Semibase
Base = 2 (r /2) 3
Por teorema de Pitágoras tenemos:
AC =(AB)² + (BC)² = (r 3 )² + (3 r)² =3r² + 9r² = 12r² = 2r 3
2 2 4 4 4 2
Conclusión: Los lados del triángulo son iguales por lo tanto es un triángulo
equilátero.
4. El barco A se encuentra 60 millas al norte del barco B, a las 10 a.m. El barco A
navega en dirección este a 20 millas / hora, y el B en dirección norte a 16 millas
/ hora. Encontrar la distancia d(t) entre los 2 barcos, t horas después de las 10
a.m. Encontrar también la razón del cambio de la distancia entre ellos. ¿En que
momento será la distancia mínima?
x = (r/2) 3
Base = r 3
AC = r3
A
B
C
d(t)
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Cálculo Diferencial
123
Después de t horas AC = 20t
BA = 60 –16t por lo tanto:
d(t) = (20t) ²+ (60 – 16t)²
= 656t² -1920t + 3600
= 16 (41t² -120 + 225)
d(t) = 4 41t² -120t + 225
La razón de cambio d(t) es:
d´(t)= __164t + 240__
41t²-120t +225
si d´(t) = 0 Entonces:
d´(t)= __164t + 240__ = 0
41t²-120t +225
164t –240 =0
t = 240
164
t = 60
41
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Cálculo Diferencial
124
Valor critico
Si tabulamos encontramos que:
d´ (t) < 0 para t < 60 y
41
d´ (t) > 0 para t > 60 entonces
41
d (60/41) es un mínimo. En consecuencia los barcos estarán a distancia mínima
relativa a las 10:00 a.m. + 60/41 hr. =10+1.463 hr. o los barcos estarán a distancia
mínima relativa a las 11:28 a.m
Ejercicios para resolver:
Use el criterio de la primera y segunda derivada para deducir si tiene maximo
minimo compruebe con calculadora cientifica overifique con Math Cad
1. Un fabricante de cajas de estaño desea hacer uso de piezas de estaño de
dimensiones de 18 x 15 pulg. Cortando cuadrados iguales de las cuatro
esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que
será cortado, si se quiere obtener una caja abierta que tenga el mayor volumen
posible de cada pieza de estaño.
x
x
x
x
15
18
x
x
x
x
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Cálculo Diferencial
125
2. hallar las dimensiones del cono recto circular de volumen mínimo que se pueda
circunscribir a una esfera de 8cm. de diámetro.
3. Hallar 2 números positivos cuya suma sea 20 y:
a) su producto sea máximo.
b) La suma de sus cuadrados sea mínima
c) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo de otro sea
máximo.
4. Hállese las dimensiones de la figura inscrita para que su área resulte máxima.
a) triangulo isósceles en una circunferencia de radio r = 5cms.
A
E
C
Y
D
8
B
r = 8
√y² - 64
A
F
y - r
y
x
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Cálculo Diferencial
126
A = xy
r = x² + (y – r)²
A= área del triangulo
r = radio de la circunferencia según figura
b) Cilindro en unas esfera de radio r
Volumen del cilindro (según figura)
V = 2x² y
r = x² +y²
5. Se intenta bardear un campo rectangular con 600m de material y después
subdividir el campo en 2 partes con una barda paralela a uno de los lados. De
todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación, ¿Cuáles son
las dimensiones del que tiene área máxima?
x
y r
A = Área
A = x y y
x
x
x y
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Cálculo Diferencial
127
A
B C
D
E
A
y
x
r
6. U rectángulo de perímetro P se hace girar alrededor de uno de sus lados
generando un cilindro e todos los rectángulos que se sujetan a la condición del
perímetro dado.¿Cuál es el que genera un cilindro de volumen máximo?
P = perímetro
P = 2x + 2y
Volumen suponiendo que la rotación se hace alrededor del eje marcado x
V= y² x
7. De todos los cilindros circulares rectos, que se pueden inscribir en un cono
circular recto dado, mostrar que el máximo volumen, tiene una altura que es un
tercio de la del cono.
y
x
Por semejanza de
triángulos
AB = BC
CD = DE
Volumen del cilindro
V =x² y
x
JUAN GERARDO GARCÍA SALAZAR
Cálculo Diferencial
128
8.- Un hombre de pie en una embarcadero tirando de una cuerda se propone
acercar su lancha al mismo. La cuerda esta atada a la embarcación al nivel del
agua, y el hombre la sostiene a 20ft. Por arriba del nivel de esta. Si la longitud de la
cuerda entre las del hombre y la lancha se reduce a razón de 60 ft/min. ¿con que
rapidez se acerca la lancha al embarcadero en el momento en que hay 30ft., de
cuerda en tensión?.
y
x
20´
dy = 60 ft
dt
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Cálculo Diferencial
129
VI Sucesiones y series
6.1. Desarrollo de una funcion en serie.
6.2. Diferencia entre sucesion y serie
6.3. Convergencia y divergencia.
6.4. Sucesion acotada
6.5. Series Aritmeticas.
6.6. series geometricas
6.7. Derivación de series de potencias
6.8. Serie de McLaurin
Se llama sucesion a una lista de numeros dados en cierto orden. En matematicas
las sucesiones obedecen a una regla generadle acuerdo con la cual se forman los
numeros sucesivos de la lista. Por ejemplo, en la sucesion:
1, 3, 7, 15,21,………
Cada número se obtiene doblando el anteriory sumando 1 al resultado
6.2. Diferencia entre sucesion y serie
Mientras que una sucesion es una simple lista, una serie, es la suma de los terminos
de una sucesion.
Una sucesion se definecomo un conjunto de terminos:
a1 , a2,a3,…………, an ……..
junto con una regla para obtener el termino n-esimo an llamado tambien termino
general. Por ejemplo, en la sucesion 2, 4, 6,8,…. El termino general an es igual a 2n.
Una sucesion de n terminos, donde n es un número positivo. Es una sucesion
finita. Una sucesion que prosigue indefinidamente en una sucesion infinita.
6.3 Convergencia y divergencia.
Si el termino n-esimo an de una sucesion infinita a1,a2,a3,………,antiende a un
numero M cuando n tiende a infinito, se dice que M es es el limite de la sucesion
infinita. Por ejemplo en la sucesion de fracciones 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,……. Los
terminos se hacen cada vez más pequeños a medida que n aumenta o sea, que 1/n
tiende a cero.Por lo tanto, el límite de la sucesion cuando n→ es cero.
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130
Más sin embargo el límite de una sucesion no necesariamente es igual a cero. La
sucesion 2,3/2,4/3,5/4,6/5,…., tienen como termino general 1 + (1/n) y su limite es 1,
las sucesiones como esta, que tienen limite se llaman convergentes.
Si los terminos de la sucesion se hacen cada vez mayores como:
3, 6, 9,12,……., no existe límite. Se dice que es una sucesion divergente.
6.4. Sucesion acotada. Es cuando la sucesion carece de límites, pero sus
terminos estan por valores maximos y minimos, se dice que es oscilante finita,
Por ejemplo, - ½, 2/3, -3/4, 4/5,……., donde an = (- 1n ) n/( n + 1).
6.5. Series Aritmeticas. Una sucesion aritmetica es una serie del tipo :
a1, a2, a3, ………, donde la diferencia entre terminos sucesivos es una constante d
llamada razon. Ello significa que ai - ai – 1, para todo i ≥ 2. si a es el primer
termino la sucesion de terminos viene dada por:
a, + a +d, a + 2d, a + 3d +…….
Por ejemplo si a = 3 y d = 2, la serie aritmetica es 3+5+7+9+…….el termino general
viene dado por an = a + ( n – 1)d.
6.6 Series geometricas. Una serie geometrica es aquella en que la razon entre
terminos sucesivos es constante, este numero llamado razonse representa por r.
En una serie geometrica, por lo tanto, a2 / a1 = r, a3 / a2 = r en general ai / a i – 1 = r
para todo i. Si a es el primer termino de la serie geometrica su sucesion viene
dada por: a, ar, ar2, ar3, ……Por ejemplo si a = 4 y r = 3, la srie geometrica es 4, +
12 + 36 + 108 + …….El termino n-esimo de una serie geometrica vienedado por
an = arn – 1
La suma de los n primeros terminos de una serie geometrica se representa por
Sn y viene dada por la expresión:
Sn = a + ar + ar2 + ar3 +....+ ar n – 1
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131
6.7. Derivación de series de potencias
Dada una funcion y = f(x) es util, en algunos casos, especialmente para el cálculo de
valores numericos, expresarla en forma de serie de potencias ascendentes de la
variable x, es decir, en forma:
f(x) = A + Bx + Cx² + Dx³ + ………..
Serie que sera valida para valores apropiados de x. estas series pueden ser derivadas
o integradas termino a termino.
Ejemplo.- desarrollar sen x en serie de potencias.
Sen x = A + Bx + Cx² + Dx³ + ………..
En que los coeficientes A, B, C, etc., llamados coeficientes indeterminados, son
constantes por determinar.
Derivando sucesivamente se obtiene:
Cosx = B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³ +……….
-senx = 2ỊC + (3) (2) Dx + (4) (3) Ex² + (5) (4) Fx³ +……..,
-cosx = 3ỊD + (4) (3) (2) Ex + (5) (4) (3) Fx² +….,
senx = 4Ị E + (5) (4) (3) (2) Fx +………,
cosx = 5! F +….
Observamos que la funcion dada y todas sus derivadas Sucesivas, son continuas
para x = 0, igualando a cero y en cada una de las derivadas, se obtendra el valor de
cada uno de los diversos coeficientes coeficientes, resulta:
A = 0, B = 1, C = 0, D = - 1/ 3! , E = 0, F = 1/ 5!
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Considerando de acuerdo a los principios trigonometricos que sen (0) = 0 y que
cos(0) = 1.
De acuerdo a este principio sustituyendo estos coeficientes podemos obtener en forma
general lo siguiente:
Senx = x - x³ / 3! +…….+ (-1) n + ¹ (x 2n + ¹)/ (2n – 1!)
De tal forma que si x = 1 entonces tenemos:
Sen (1) = 1 – 1/ 3! + 1/5! – 1/ 7! + 1/9! - ……
1 = 1.0000000
1/ 5! = .0083333 1/ 3! = .1666666
1/7! = .0001985 1/ 9! = .0000027 de donde tendriamos:
1 + 1/ 5! + 1/ 9! = 1.00833369 - 1/ 3! – 1/7! = - .1668651 o sea que:
sen1 = 1.0083360 - .168651 = .8414709
o sea, sen 57,2958º = sen 57º 17´44.80´´ = .8415709.
Todo este procedimiento puede ser comprobado por medio de una calculadora
cientifica o desarrollandolo por medio de un software matematico. El angulo
correspondiente se obtiene en la calculadora aplicando el inverso del angulo o arc sen
de .8415709, las sucesiones y series son importantes para comprender el desarrollo,
matematico en este caso de una funcion trigonometrica.
Procediendo de manera semejante se puede obtener la funcion coseno.
Cosx = 1 – x2 / 2! +x4/ 4! – x6/ 6! +……..+ (- 1)
n+1( x2n -1)/ (2n – 2)!
De acuerdo a las identidades trigonometricas se pueden obtener los valores de las
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133
otras funciones trigonometricas como por ejemplo la tan x = senx / cosx, o sea:
Tanx = x + x3/ 3 + 2x5/15 +17x7/315 +……….
6.8. Serie de Maclaurin
Consiste en desarrollar f(x) en serie de potencias de x por medio de derivadas
sucesivas.
Si f(x) = A + Bx + Cx2 + Dx3 + E x4 + Fx5 +……….
f(x) ´ = B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³ + 5Fx4……….,
f(x) ´´ = 2ỊC + (3) (2) Dx + (4) (3) Ex² + (5) (4) Fx³ +……..,
f(x) ´´´ = 3ỊD + (4) (3) (2) Ex + (5) (4) (3) Fx² +….,
f(x) iv = 4Ị E + (5) (4) (3) (2) Fx +………,
f(x) v = 5! F +………..,
Igualando x = 0 en las derivadas sucesivas, luego sustituyanse los valores hallados
para los coeficientes indeterminados, se obtiene:
f(x) = f(0) + f´(0)x /1! + f´´(0)x2/2! + f´´´(0)x3 +……..+ f n(0) x
n / n!
Esta es la Serie de Maclaurin
Aplicaciones
Desarrollese en serie ln (1+x) y obtengase una formula para elcalculo de los
logaritmos naturales.
Derivando sucesivamente f(x) = ln (1+x) se obtiene:
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134
f(x) ´ = 1 / ( 1+x)
f(x) ´´ = -1 /( 1+x)2
f(x) ´´´ = (1) (2) / ( 1+x)3
f(x) iv = - (1) (2) (3) / ( 1+x)4
f(x) v =(1) (2) (3) (4) / ( 1+x)5
f(0) = 0, f(0) ´ = 1. f(0) ´´ = -1, f(0) ´´´ = 2!, f(0) iv = -3!, f(0) v = 4!, etc.,
Valores que sustituidos enla Serie de Maclaurin dan:
Ln (1+x) = x – x2 /2 + x3 / 3 – x4 / 4 + x5 / 5 - x6 / 6 +………
Si x = 1 entonces tenemos:
Ln (2) = 1 – ½ + 1/3 -1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 - …………
Como converge lentamente, conviene transformarla en otra, realizando un cambio
de signo para x y restando las dos funciones, de tal forma que tendriamos:
Ln ( 1+x) – ln (1 – x ) = ln( 1+x) ÷ ln (1 – x )
= 2( x + x3 / 3 + x5 / 5 + x7 / 7 + x9 / 9 + ........)
Hagase (1+x) ÷ (1 – x) = (1 + m) / m, despejando se obtiene x = 1 / (2m + 1), entonces
tendriamos:
Ln (1 + m) / m = ln (1 + m) – ln (m), (de acuerdo a leyes de logaritmos)
= 2[1 / (2m + 1) + 1 / 3 (2m + 1)3 + 1 / 5(2m + 1)5 +……..], de donde
si m = 1 entonces tenemos:
ln 2 = 2[ 1/3 + 1/ (9)3 + 1/ (15)5 + 1/ (21)7 + …….]
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El denominador de cada uno de los sumandos que figuran en el parentesis es de
la forma de:
32m – 1(2m – 1)
6.9. Series de Taylor. Es posible demostrar por medio del calcul, que muchas
funciones pueden expresarse en forma de series. El Teorema de Taylor, establece
que, en ciertas condiciones, una funcion f(x) puede expresarse como suma de
derivadas:
f(x) = f(a) + f ´ (a) ( x – a) / 1! + f´´ (a) ( x – a)2 / 2! + .......+ f( n – 1)
(a) ( x – a) ( n – 1) / ( n –
1) + Rn , donde el termino Rn es el resto que puede escribirse como:
Rn = fn (ε) (x – a ) / n! Donde a< ε<x
En el caso de a = 0 la Serie de Taylor se llama Serie deMcLaurin
f(x) = f(0) + f´(0)x /1! + f´´(0)x2/2! + f´´´(0)x3 /3! +……..+ f n(0) x
n / n!
6.10. Aplicaciones
Problema 1
Desarrollar f(x) = 2x3 - 4x2 + 5x - 3
En series de potencias de x – 1
f(x) = 2x3 - 4x2 + 5x – 3 f(1) = 0
f´(x) = 6x2 -8x + 5 f´(1) = 3
f´´(x) = 12x – 8 f´´(1) = 4
f(x) ´´´ = 12 f(1) ´´´ = 12
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136
Sustituyendo en la formula de la serie de taylor tenemos:
f(x) = f(a) + f´(a)(x – a) /1! + f´´(a)(x – a)2/2! + f´´´(a) (x – a)3 / 3! + f iv(a) (x – a)
4 /
4! +……..+ f n(a) (x – a)
n / n!
f(x) = 3(x – 1) + 2(x – 1)2 + 2(x – 1)3
Problema 2
Calcular sen 31º. El valor del sen x y del cos x para x = 30º, son conocidos, sen30º =
.500, cos 30º = .8660.
Haciendo a = 30º = π / 6, x – a = 1 º = π / 180 = .01745, sustituyendo en la formula de
la serie de Taylor tenemos:
sen31º = sen 31 π / 180
=sen π / 6 + π / 180 cos π / 6 – 1/2! (π / 180)2 sen π / 6 – 1/3! (π / 180)3 cos π / 6
= .5000000 + .0151117 - .0000761 - .0000008
= .51511117 - 0000769
= .5150348.
El resultado puede ser comprobado por medio de una calculadora cientifica, pero es
importante que por medio de la serie de Taylor nos demos cuenta de donde surge el
resultado obtenido por la calculadora, e inclusive el software matematico no realiza la
comprobacion ni desarrolla este tipo de serie.
Algunas identidades trigonometricas tienen su base en la serie de Taylor, como por
ejemplo cos (x + y) = cosx cosy – senx seny, dicha funcion es de la forma de f(x + a)
se sustituye x por x + a en la serie de Taylor, quedando de la siguiente forma:
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f(x + a) = f(a) + f´(a)(x ) /1! + f´´(a)(x )2/2! + f´´´(a) (x )3 / 3! + f iv(a) (x )
4 / 4!
+……..+ f n(a) (x )
n / n!
f(x)= cos x
f´(x ) = - sen x
f(x) ´´ = -cos x
f(x) ´´´ = sen x
f(x) iv = cos x
f(x) v = - sen x. etc…….
Sustituyendo en f (x + a) tenemos:
cos (x + y) = cos x – senx y/1! – cos x y2 / 2! + sen x y3/ 3! + cos x y4 / 4! – senx y5 / 5!
+ …………
Factorizando tenemos:
Cos (x + y) = cos x ( 1 - y2 / 2! + y4 / 4! + y6 / 6! +…) – senx ( y – y3 / 3! + y5 / 5! - ….)
El primer parentesis es el valor del cos y y el segundo lo es del sen y por lotanto
tenemos que:
cos (x + y) = cosx cosy – senx seny.
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Problemas para resolver.
Desarrollar en serie, según la formula de Taylor y comprobar por medio de
calculadora cientifica los que sean posibles, o use software de matematicas.
1.- f(x) = sen 46º
2.- f(x) = cos 31º
3.- f(x) = 2x3 – 5x 2 + 8x – 1 en funcionde de x – 2
4.- f(x + y) = sen (x + y)
5.- f(x) = 5x2 – 8x + 6 en funcion de x + 3
6.- f(x) = sen de 61º
7.- f(x) = 4x3 - 3x2 + 2x – 1
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Cálculo Diferencial
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Bibliografía
1. Guía de estudios para calculo
Autor: Joseph Consoló
Autor: Joseph P. Mokansky
Editorial Continental
2. Calculo Diferencial e integral con geometría analitica
Autor: Louis Leithol
Editorial Harla
3. Calculo diferencial e integral
Autor: Agustín Anfossi
Editorial Progreso
4. Calculo diferencial e integral con geometría analítica
Autor: Earl W. Swokowski
Editorial Iberoamerica
5. Calculo diferencial integral
Autor: Frank Ayres
Serie Shaum
6. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes.
Autor: I. Bronshtein K. Semendiaev
Ediciones Quinto Sol.
7. Math Cad
Versión 2005
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