8/17/2019 Calculo científico
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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Marzo de 2013
MAT 2605 - Cálculo Cient́ıfico I - Tarea N◦
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Se entregan solamente los problemas 4, 8 y 9 (de los cuales solamente 2 ser án corregidos).
Plazo de entrega: hasta la clase del jueves 11 de Abril 2013.
1. Tenemos una maquina con una mantisa de m digitos. Sea = 6 · 10−m. Cuales son los resultadosde las siguiente operaciones de punto flotante con redondeo:
a) (1 + 2
) + 2
b) 1 + ( 2
+ 2
)
c) ((1 + 2
) + 2
)− 1d) (1 + (
2 +
2))− 1
2. Hallar una forma de evaluar sin pérdida de d́ıgitos significativos las siguientes expresiones cerca de
x = 0 para α > 0:
a) (α + x)n − αnb) α−√ α2 − xc) 1− cos xd) sin(α + x)− sin α
3. Investiguemos el uso de la serie de Taylor para calcular ex. Haga un programa que aproxime elvalor de e−12 evaluando el desarrollo de Taylor hasta el grado n de la función ex en x = −12, paran = 1,..., 100. Comparar con el valor exacto. Cuáles son las principales fuentes de error? Realizarotra estimación de e−12 con otro método que evite los problemas del método anterior (sugerencia:
considerar 1/ex).
4. Sea f (x) =∞
k=1
1
k(k + x).
a) Verif́ıque que f (1) = 1.
b) Use la parte a) para comprobar que f (x) = 1 +∞
k=1
1− xk(k + 1)(k + x)
.
c) Evaluar con el computador la aproximación de f (0) sumando los primeros 20 y luego losprimeros 100 términos de ambas series para f (x) y compare con el resultado exacto f (0) =π2/6. Cuál de las dos series converge mas rápido al resultado exacto?
5. La integral E n = 1
0 xnex−1dx satisface la recursión E n = 1− nE n−1 (n ≥ 1) y E n tiende a 0 para
n →∞. Para aproximar E 10, cuál de los siguientes dos métodos es más estable (explicar):i) Usar la recursíon a partir del valor conocido para E 0.
ii) Usar la recursión en sentido contrario: E n−1 = (1−E n)/n a partir del valor de E 20, lo cuál seaproxima por 0.
6. Para α > 0 dado, consideremos el problema de resolver la ecuación (x − 2)α = C con C > 0 yx > 2. Estudie el condicionamiento absoluto y relativo respecto perturbaciones en C .
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