Probabilidade e Estatística
Ewerton Rocha Vieira
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B), para P(B) > 0.
P(A|B) =P(B|A)P(A)
P(B), para P(B) > 0.
Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B), para P(B) > 0.
P(A|B) =P(B|A)P(A)
P(B), para P(B) > 0.
Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B), para P(B) > 0.
P(A|B) =P(B|A)P(A)
P(B), para P(B) > 0.
Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B), para P(B) > 0.
P(A|B) =P(B|A)P(A)
P(B), para P(B) > 0.
Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Exemplo
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Exemplo 1:
Exemplo
Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então
P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)
P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.
Exemplo 1:
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação
Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.
A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.
Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Exemplo de variável aleatória discretaExemplo 2:
Podemos obter uma descrição gráfica dos possíveis valores de X .
Exemplo de variável aleatória discretaExemplo 2:
Podemos obter uma descrição gráfica dos possíveis valores de X .
Função de Probabilidade
Definição
Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveisx1, . . . , xn, a função de probabilidade é uma função tal que
1 f (xi) > 0,
2
n∑i=1
f (xi) = 1,
3 f (xi) = P(X = xi).
No exemplo 2 a função f (x) é uma função de probabilidade
Função de Probabilidade
Definição
Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveisx1, . . . , xn, a função de probabilidade é uma função tal que
1 f (xi) > 0,
2
n∑i=1
f (xi) = 1,
3 f (xi) = P(X = xi).
No exemplo 2 a função f (x) é uma função de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
No exemplo 2, qual a probabilidade de encontrarmos três ou menosbits com erro. Em outras palavras, P(X ≤ 3)?
Definição
A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatóriadiscreta X, denotada por F (x), é
F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x
f (xi).
Para uma variável aleatória discreta X, F (x) satisfaz as seguintespropriedades:
1 F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x
f (xi),
2 0 ≤ F (x) ≤ 1,
3 Se x ≤ y, então F (x) ≤ F (y).
Função de distribuição cumulativa
No exemplo 2, qual a probabilidade de encontrarmos três ou menosbits com erro. Em outras palavras, P(X ≤ 3)?
Definição
A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatóriadiscreta X, denotada por F (x), é
F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x
f (xi).
Para uma variável aleatória discreta X, F (x) satisfaz as seguintespropriedades:
1 F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x
f (xi),
2 0 ≤ F (x) ≤ 1,
3 Se x ≤ y, então F (x) ≤ F (y).
Exemplos de função de distribuição cumulativa
Exemplo 3: Determine a função de probabilidade de X , a partir daseguinte função de distribuição cumulativa
F (x) =
0,6561 x ≤ 0,0,9477 0 < x ≤ 1,0,9963 1 < x ≤ 2,0,9999 2 < x ≤ 3,1 3 < x .
Exemplo 4: Suponha que uma produção diária de 850 peçasfabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentosdo consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, semreposição. Seja a variável aleatória X o número de peças nãoconformes na amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa deX?
Exemplos de função de distribuição cumulativa
Exemplo 3: Determine a função de probabilidade de X , a partir daseguinte função de distribuição cumulativa
F (x) =
0,6561 x ≤ 0,0,9477 0 < x ≤ 1,0,9963 1 < x ≤ 2,0,9999 2 < x ≤ 3,1 3 < x .
Exemplo 4: Suponha que uma produção diária de 850 peçasfabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentosdo consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, semreposição. Seja a variável aleatória X o número de peças nãoconformes na amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa deX?