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CAPITULO I
LA INTEGRAL INDEFINIDA
1.
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCINUna funcin F(x) se llama Antiderivadade otra funcin f(x) continua sobre un
intervalo I si se verifica que: F(x) = f(x), x I.
F(x) = x4es una Antiderivada de f(x) = 4x3 x , pues:
F(x) = f(x) => 4x3= 4x3
Sin embargo la funcin G(x) = x4+ C es tambin una Antiderivada de
f(x) = 4x3pues se verifica:
]Cx[dx
d[G(x)]
dx
d 44x3= f(x) , x ,
OBSERVACIONES:
1. Si F(x) es una Antiderivada particular de f(x) en I entonces la
Antiderivada Generalde f(x) en I esta dada por la funcin G(x) = F(x)+C
f(x) = 4x3tiene su Antiderivada general en G(x) = x4+ C pues:
G(x) = 4x3= f(x) x I.
2. De (1) se deduce que si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I cualquier
otra Antiderivada de f en I es una curva paralela al grfico de y = F(x)
F(x) = x4 G(x) = x4+ 1 H(x) = x41
y
x
1xG(x)4
4
xF(x)
1xH(x)4
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2. DEFINICIN (INTEGRAL INDEFINIDA)
Si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I. La I ntegral I ndefi nidade f(x) es el
conjunto de las Antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y es denotado por:
CF(x)dxf(x) Donde:
- C R y es llamado constante de integracin
- f(x) es llamado integrando
- f(x) dx es llamado elemento de integracin
- x es la variable de integracin
- es el smbolo de la integralOBSERVACIONES:
De la definicin anterior se deduce:
1. f(x)(x)F'C}{F(x)dx
d}dxf(x){
dx
d
Por lo cual se dice que la integracin es la operacin inversa de ladiferenciacin.
2. dxf(x)dx(x)F'dxC}'{F(x)dx}'dxf(x){}dxf(x)d{ 3. Si f es derivable en I entonces una primitiva o antiderivada de f es f
entonces:
Cf(x)dx(x)'f
4. dx(x)'fd{f(x)} de (3) se deduce:
Cf(x)d{f(x)} Ejemplos:
- 1n,C1n
xdxx
1nn
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Pues:n
n1n
x1n
x1)(nC)
1n
x(
dx
d
- Cx3
1C
12
xdxx
312
2
Pues:2
23
x3
x(3)C)
3
x(
dx
d
- Csen xdxxcos
Pues: xcosC)(sen xdx
d
- Cxcosdxsen x
- Cxctgdxxcsc2 NOTA: Todas estas integrales son llamadas integrales inmediatas pues se
verifica que Cf(x)dx(x)'f
PROBLEMAS
1. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones
a) f(x) = 3x + 2 => C2xx2
3F(x)
2
b) f(x) = 3 cos 4x => C4xsen4
3F(x)
c) f(x) =sec x tg x => CxsecF(x)
2. Encontrar las funciones F(x) tal que
a) F(x) = 3x2 , F(1) = 2
dx3xdx(x)'F2
)d(xd{F(x)} 3
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F(x) = x3+ C Antiderivada general
F(1) = (1)3+ C = 2 => C = 1
1xF(x)3
Antiderivada particular
b)
F(x) = sen 2x , F(/3) = 1
dx2xsendx(x)'F
)2
2xcosd(d{F(x)}
C2xcos
2
1F(x) Antiderivada general
1C)3
2(cos
2
1)3/F( =>
4
3C
4
32xcos
2
1F(x) Antiderivada particular
3. La pendiente de una curva en cualquier punto ( x , y ) de ella es igual a
4x + 6. Si la curva pasa por el punto ( 1 , 1 ) de una ecuacin de ella.Sea: F(x) = 4x + 6
dx)64x(dx(x)'F
C6x2xF(x)2
C6x2xF(x)y2
Ecuacin general de la curva
Como F(x) pasa por ( 1 , 1 ) satisface su ecuacin
C6(1)2(1)12
=> C =7
76x2xF(x)2
Ecuacin particular de la curva
4. En cada punto de una curva cuya ecuacin es y = F(x); yD2x = 6x2 y en
el punto ( 1 , 2 ) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuacin de la
curva.
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Sea: F(x) = 6x 2
dx)26x(dx(x)''F
C2x3x(x)'F2
Para x = 1 , y = F(1) =8
C2(1)3(1)82
=> C = 7
72x3x(x)'F2
dx)72x3x(dx(x)'F2
C7xxxF(x)y 23 Ecuacin general de la curva
Como pasa por ( 1 , 2 ) satisface su ecuacin
C7(1)(1)(1)223
=> C =5
57xxxF(x)23
Ecuacin particular de la curva
5. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones
a) f(x) = x2+ 2x3 => Cx2
1x
3
1F(x)
43
b) f(x) = 3 sec4x => Cxtgxtg3F(x)3
c)bax
1f(x)
=> Cbax
a
2F(x)
6.
Encontrar la funcin tal que:
a)x
2(x)'F , F(1) = 4
x
dx2dx(x)'F
)xd(4d{F(x)}
Cx4F(x) Antiderivada general
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4C14F(1) => C = 0
x4F(x) Antiderivada particular
b)
2
sen xx(x)'F , 2
1)2/F(
dxsen xxdx(x)'F2
)xcos21
d(d{F(x)}2
Cxcos
2
1F(x)
2 Antiderivada general
2
1C)2/(cos
2
1)2/F(
2 =>
2
1C
2
1xcos
2
1F(x)
2 Antiderivada particular
c) 2x9x(x)'F , 1)5F(
dxx9xdx(x)'F2
})x9(31
d{d{F(x)}3/22
C)x9(3
1F(x)
3/22 Antiderivada general
1C])5(9[31)5F( 3/22 => 3
11C
3
11)x9(
3
1F(x)
3/22 Antiderivada particular
7. La pendiente de una curva en un punto cualquiera ( x , y ) de ella es igual
a cos x. Encontrar una ecuacin si esta pasa por el punto ( /2 , 2 )
Sea: F(x) = cos x
dxxcosdx(x)'F
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Csen xF(x)y Ecuacin general de la curva
Como pasa por ( /2 , 2 ) satisface su ecuacin
C
2
sen2 => C = 1
1sen xF(x) Ecuacin particular de la curva
2.1.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Proposicin: Si f y g son funciones que admiten Antiderivadas en I
entonces lo mismo sucede con f g; Kf donde K es constante
a) dxg(x)dxf(x)dx]g(x)f(x)[
b) dxf(x)Kdxf(x)K2.2.FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIN
1. Cudu
2. CuLndu
u
3. 1n,C1n
uduu
1nn
4. Cedue uu
5. 0a,CaLn
adua
uu
6. Cucosduusen
7. Cusenduucos
8. CucosLnCusecLnduutg
9.
CusenLnduuctg
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10. CutgusecLnduusec
11. CuctgucscLnduucsc
12.
Cutgduusec2
13. Cuctgduucsc2
14. Cusecduuu tgsec
15. Cucscduuctgucsc
16. Cucoshduusenh
17. Cusenhduucosh
18. CucoshLnduutgh
19. CusenhLnduuctgh
20. Cutghduusech 2
21. Cuctghduucsch 2
22. Cusechduuu tghsech
23.
Cucschduuctghucsch
24. 0a,C)
a
u(tgarc
a
1
ua
du22
25. 0a,Cau
auLn
2a
1
au
du22
26.
0a,Cau
au
Ln2a
1
ua
du
22
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27. 0a,C)a
u(senarc
ua
du
22
28.
CauuLnau
du 22
22
29. 0a,Ca
usecarc
a
1
auu
du
22
30. 0a,C])a
u(senarcauau[
2
1duua
22222
31. C]auuLnaauu[2
1duau 22
22222
PROBLEMAS
1. Evaluar:
dx
x6
4
2
C)6
x
(senarc4x)6(
dx
4I 22
2. Evaluar:
dxe52x
Ce2
1)dx2(e
2
1I
52x52x
3. Evaluar:
dx)73x(sen
C)73x(cos3
1)dx3()73x(sen
3
1I
4. Evaluar:
dx5
322x
1xx
C)
5
6(Ln
)
5
6(
25
3dx)5
6(25
3dx
5
6
25
3dx
5
32
25
3I
x
x
x
x
x
xx
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3. MTODOS DE INTEGRACIN
3.1.INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE
Si en la integral dxf(x) se sustituye:
(u)x
du(u)'dx
Entonces:
du(u)'(u)][fdxf(x) OBSERVACIONES:
1.
Despus de la integracin la variable u ser reemplazada por su
expresin en funcin de x teniendo en cuenta que (u)x . La
eleccin de (u)x debe hacerse de modo que se pueda calcular la
integral du(u)'(u)][f 2. En ciertos casos es preferible hallar la sustitucin de la variable en la
forma:
(x)u
dx(x)'du
PROBLEMAS
1. dx)34x(3
Hacemos: u = 4x + 3
du = 4 dx
Cu16
1duu
4
1)dx4()34x(
4
1I
433
C)34x(16
1I
4
2.
dxe 57x
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Hacemos: u = 7x + 5
du = 7 dx
Ce7
1due
7
1)dx7(e
7
1I
uu57x
Ce7
1I
57x
3.
dx54xx
8x3x23
2
Hacemos: u = x3+ 4x2+ 5
du = ( 3x2+ 8x ) dx
CuLnu
dudx
54xx
8x3xI
23
2
C54xxLnI 23
4. dx2xcos212xsen
Hacemos: u = 1 + 2 cos 2xdu =4 sen 2x dx
Cu6
1duu
4
1dx2xcos212xsen4
4
1I
3/2
C)2xcos21(6
1I
3/2
5. 2x8
dxx
Hacemos: u = 8 + x2
du = 2x dx
Cuu
du
2
1
x8
dx2x
2
1I
2
Cx8I 2
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6. dx)4x(x33/2
Hacemos: 4xu3/2
dxx23du
Cu6
1duu
3
2dx)4x(x
2
3
3
2I
4333/2
C)4x(6
1I
43/2
7.
dxx
xtg2
Hacemos: xu
x2
dxdu
C2uutg2du)1usec(2duutg2dx
x2
xtg2I
222
Cx2xtg2I
8. dx)cosh x1(senh x
3
Hacemos: u = 1 + cosh x
du = senh x dx
C2u
1
u
dudx
)cosh x1(
senh xI
233
C)cosh x1(2
1I
2
3.2.MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES
Dadas las funciones u = u (x) y v = v (x) diferenciables en I entonces se
tiene que:
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d (uv) = u dv + v du
Aplicando integral a ambos miembros se tiene:
duvdvu(uv)d
duvdvuuv
duvuvdvu Frmula de I ntegracin por PartesOBSERVACIN:
1. En la prctica se sigue los siguientes pasos:
Identificar:
dx(x)'g(x)f Normalmente se hace:
(x)fu dx(x)'gdv
dx(x)'fdu (x)gv
La frmula de integracin por partes indica que:
dx(x)'f(x)g(x)g(x)fdx(x)'g(x)f NOTA:
Para descomponer el elemento de integracin dados en dos factores u y dv
normalmente se elige como u aquellos que se simplifican con la
derivacin xn(n N), arc tg x, arc senx, arc sec x, etc.
Pri oridad para la variable u:Estableceremos un orden de prioridad parala variable u
1. Ln x
2. xn , n N
3. ekx
Es decir:
Si uno de los factores es una funcin logartmica tal funcin tendrque tomarse como u.
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Si no existe funcin logartmica pero si una potencia de x esta se
convierte entonces en la variable u.
Si no existe funcin logartmica ni potencia de x se toma entonces
como u la funcin exponencial. Si se tiene en cuenta este orden de prioridad se evitaran muchos
intentos fallidos al elegir u y dv.
PROBLEMAS
1. dxxsecx2
Hacemos: xu dxxsecdv 2
dxdu xtgv
CxsecLnxx tgdxxtgxx tgdxxsecxI2
CxcosLnxx tgI
2. dxx
Ln x3
Hacemos: Ln xu 3x
dxdv
x
dxdu
22x
1v
32323x
dx
2
1
2x
Ln x
2x
dx
2x
Ln xdx
x
Ln xI
C4x
)1Ln x2(C
4x
1
2x
Ln xI
222
3. dxxxtgarc
2
Hacemos: xtgarcu 2x
dxdv
2x1
dxdu
x
1v
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)x1(xdx
x
xtgarcdx
x
xtgarcI
22
dx)x1(x
x)x1(
x
xtgarc
)x1(x
dx
x
xtgarcI
2
22
2
dxx1x
x
dx
x
xtgarcI
2
dxx12x
2
1
x
dx
x
xtgarcI
2
Cx1Ln2
1xLn
x
xtgarcI 2
Cx1
xLn
x
xtgarcI
2
4. dx)Ln x(sen2
Hacemos: z = Ln x
x = ez
dx = ez
dz
dzzsenedx)Ln x(senI2z2
Hacemos: zeu dz2
2zcos1dzzsendv
2
dzeduz
4
2zsen
2
zv
dz)42zsen
2
z(e)
4
2zsen
2
z(eI
zz
dz2zsene41
dzez2
1)
4
2zsen
2
z(eI
zzz (1)
dzezIz
1
Hacemos: u = z dv = ezdz
du = dz v = ez
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1
zzzzz
1 CeezdzeezdzezI (2)
dz2zseneIz
2
Hacemos: zeu dz2zsendv
dzeduz
2zcos2
1v
dz2zcose21
2zcose2
1dz2zseneI
zzz
2
dz2zcose
2
12zcose
2
1I
zz
2
Hacemos: zeu dz2zcosdv
dzeduz
2zsen2
1v
]dz2zsene2
12zsene
2
1[
2
12zcose
2
1I zzz2
]dz2zsene2
12zsene
2
1[
2
12zcose
2
1I zzz2
dz2zsene41
2zsene4
12zcose
2
1I
zzz
2
2
zz
2 I4
12zsene
4
12zcose
2
1I
2zsene412zcose
21I
41I zz22
2zsene4
12zcose
2
1I
4
5 zz2
2
zz
2 C2zsene5
12zcose
5
2I (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
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)C2zsene5
1
2zcose5
2(
4
1)Ceez(
2
1)
4
2zsen
2
z(eI
2
z
z1
zzz
2
z
z
1
zzzz
C4
12zsene
20
1
2zcose10
1C
2
1e
2
1ez
2
12zsene
4
1ez
2
1I
21
zzzC
4
1C
2
12zcose
10
12zsene
5
1e
2
1I
C2zcose10
12zsene5
1e2
1Izzz
C)Ln x2(cosx10
1)Ln x2(senx
5
1x
2
1I
3.3.INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA
Si el integrando contiene una expresin de la forma 22 ua , 22 ua ,
22 au donde ( a > 0 ) a menudo es posible realizar la integracin
haciendo una sustitucin trigonomtrica lo cual nos da una integral que
tiene funciones trigonomtricas.
1 CASO:Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante
la sustitucin:
senau
Se elimina el radical pues:
cosacosasen1asenaaua 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el tringulo:
22 ua
ua
a
usen
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2 CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante
la sustitucin:
tgau
Se elimina el radical pues:
secasecatg1atgaaua 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el tringulo:
3 CASO:Si la integral contiene el radical 22 au ( a > 0 ) mediante
la sustitucin:
secau
Se elimina el radical pues:
tgatga1secaasecaau 2222222
Para regresar a la variable original u se emplea el tringulo:
NOTA:
En ciertos casos en lugar de las sustituciones trigonomtricas es preferible
emplear las sustituciones hiperblicas
Para 22 ua la sustitucin es: tghau => sechaua 22
Para 22 ua la sustitucin es: senhau => coshaua 22
Para 22 au la sustitucin es: coshau => senhaau 22
22 ua u
a
22 au u
a
a
utg
a
usec
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PROBLEMAS
1. dxx4x 22
Hacemos: sen2x
dcos2dx
)dcos2()sen2(4)sen2(dxx4xI 2222
)dcos2()sen1(4)sen4(I 22
dcossen16dcossen1sen16I2222
dsen16dsen16d)sen1(sen16I4222
d)2
2cos1(16d
2
2cos116I
2
d)2cos1(4d)2cos1(8I2
d)2cos2cos21(4d)2cos1(8I
2
d2cos4d2cos8d4d2cos8d8I2
d2cos4d4d2cos4d4I22
d)4cos1(2d4d2
4cos14d4I
d4cos2d2d4cos2d2d4I
C4sen2
12)d4(4cos
2
12I
C4sen2
12)d4(4cos
2
12I
C2coscossen22C2cos2sen2I
C]sencos[cossen22I 22 (1)
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Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (1):
C])2
x()
2
x4([)
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
2222
C]
4
x
4
x4[)
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
222
C)2
x2()
2
x4()
2
x(2
2
xsenarc2I
22
Cx4)x2(x4
1
2
xsenarc2I 2
2
2.
dx
1x4cosxcos
sen x
2
Hacemos: u = cos x
du =sen x dx
14uu
dudx
1x4cosxcos
sen xI
22
3)2u(
duI
2
Hacemos: sec32u
dtgsec3du
d3)sec3(
tgsec3
3)2u(
duI
22
d
tgtgsecd
1sectgsecd
3sec3tgsec3I
22
2x4
x2
2
xsen
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1CtgsecLndsecI (1)Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (1):
1
2
C3
14uu
3
2uLnI
1
2
C3
14uu2uLnI
12 C3Ln14uu2uLnI
C14uu2uLnI 2
Como: u = cos x
C1xcos4xcos2xcosLnI 2
3. 3xx
dx
24
Hacemos. senh3x
dcosh3dx
d3)senh3()senh3(
cosh3
3xx
dxI
2424
d1senhsenh
cosh
9
1d
3senh3senh9
cosh3I
2424
dcsch91
senh
d
9
1d
coshsenh
cosh
9
1I
4
44
3
14uu2
2u
3
2usec
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dcsch)1ctgh(91
dcschcsch9
1I
2222
Hacemos: u = ctgh
du =csch d
du)1u(91
)dcsch()1ctgh(9
1I
222
Cu9
1u
27
1C)uu
3
1(
9
1I
33
Como: u = ctgh
Cctgh9
1ctgh27
1I
3
Volviendo a la variable original
3
xsenh
3
3xcosh
2
x
3xctgh
2
C)x
3x(
9
1)
x
3x(
27
1I
23
2
C]1)x
3x(
3
1[)
x
3x(
9
1I
222
C]13x
3x[)
x
3x(
9
1I
2
22
C)3x
3x2()
x
3x(
9
1C)
3x
3x3x()
x
3x(
9
1I
2
22
2
222
C3x)27x
32x(I
2
3
2
7/26/2019 apuntes de calculo II
23/360
Identidad
senhcoshe
senhcoshLneLn
senhcoshLn
OBSERVACIONES:
1. Si una integral es de la forma
dx)xa,x(f 22n dx)ax,x(f 22
n
Donde:
-
n es un nmero entero impar positivo
Es preferible usar la sustitucin:
222xaz
222axz
2. Para calcular la integral
n22 )ku(duI
Se puede usar la sustitucin trigonomtrica:
u = k tg
Tambin la frmula de reduccin dada por:
1n2221n222
)ku(
du
1)(n2k
32n
)ku()1n(2k
uI , n 2
PROBLEMAS
1.
dxx4
x
2
3
Hacemos: 22 x4z
dxx2dz2z => dxxdzz
7/26/2019 apuntes de calculo II
24/360
)dzz(z
z4)dzz(
z
z4)dxx(
x4
xI
2
2
2
2
2
Cz
3
14zdz)z4(I
32 Cx4)8x(
3
1C)x4(
3
1x44I 2
23/222
2. dx)1x(2x
42
3
Hacemos: 1xz2
dx2xdz
dz)z
1
z
1(dz
z
1z)dx2x(
)1x(
xI
43442
2
C)1x(3
1
)1x(2
1C
3z
1
2z
1I
322232
3.
32 )52xx(
dx
32 ]4)1x([dx
I
Donde: k = 2
n = 3
13221322 ]4)1x([
dx
1)(3(2)2
32(3)
]4)1x([1)(32(2)
1x
I
2222 ]4)1x([
dx
16
3
]4)1x([16
1xI (1)
221 ]4)1x([dx
I
Donde: k = 2
n = 2
7/26/2019 apuntes de calculo II
25/360
122212221 ]4)1x([
dx
1)(2(2)2
32(2)
]4)1x([1)(22(2)
1xI
4)1x(
dx
8
1
]4)1x([8
1xI 221
121C)
2
1x(tgarc
16
1
]4)1x([8
1xI
(2)
Reemplazando (2) en (1):
}C)2
1x(tgarc
16
1
]4)1x([8
1x{
16
3
]4)1x([16
1xI 1222
C)2
1x(tgarc
256
3
)52xx(128
)1x(3
)52xx(16
1xI
222
3.4.INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES QUE CONTIENEN
UN TRINOMIO CUADRADO
Se presentan 4 casos que son:
1
CASO: rqxpxdx
2
2 CASO: rqxpx
dx
2
3 CASO:
dxrqxpx
bax2
4 CASO: dx
rqxpx
bax2
En los casos 1 y 2 basta completar cuadrados en el trinomio y aplicar las
frmulas elementales: 23, 24, 25 26. En los casos 3 y 4 se usa el
siguiente artificio:
b2p
aq)q2px(
2p
abax
La expresin ( 2px + q ) es la derivada del trinomio cuadrado entonces:
7/26/2019 apuntes de calculo II
26/360
3 CASO:
dx
rqxpx
]b2p
aq)q2px(
2p
a[
dxrqxpx
baxI
22
rqxpx
dx)
2p
aqb(dx
rqxpx
q2px
2p
aI
22
rqxpxdx
)2p
aqb(rqxpxLn
2p
aI
2
2 (1)
rqxpx
dxM
2 (2)
Reemplazando (2) en (1):
M)2p
aqb(rqxpxLn
2p
aI 2
4 CASO:
dxrqxpx
]b
2p
aq)q2px(
2p
a[
dxrqxpx
baxI22
rqxpx
dx)
2p
aqb(dx
rqxpx
q2px
2p
aI
22
rqxpx
dx)
2p
aqb(rqxpx
p
aI
2
2 (1)
rqxpx
dxN
2 (2)
Reemplazando (2) en (1):
N)2p
aqb(rqxpx
p
aI 2
NOTA:
Las integrales M y N son de los CASOS 1 y 2 respectivamente
7/26/2019 apuntes de calculo II
27/360
PROBLEMAS
1.
dx
82xx
7x4
2
Donde:p = 1 q = 2
a =7 b = 4
4)1(2
)2()7(]2)x12([
)1(2
747x
11)22x(
2
747x
dx
82xx
]11)22x(2
7[
dx82xx
7x4I
22
82xx
dx11dx
82xx
22x
2
7I
22
9)1x(dx1182xx7I
22
Hacemos: sec31x
dtgsec3dx
d9)sec3(
tgsec31182xx7I
2
2
d1sec
tgsec1182xx7I
2
2
dtgtgsec
1182xx7I2
1
2CtgsecLn1182xx7I (1)
Volviendo a la variable original
7/26/2019 apuntes de calculo II
28/360
Sustituyendo en (1):
1
22
C3
82xx
3
1xLn1182xx7I
122 C3Ln1182xx1xLn1182xx7I
C82xx1xLn1182xx7I 22
3.5.INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS E
HIPERBLICAS
Daremos una tabla de identidades que son importantes para resolver
ciertos tipos de integrales de funciones trigonomtricas e hiperblicas.
NOTA:
1. 1ucosusen 22 1. 1usenhucosh 22
2. 1utgusec 22 2. 1utghusech 22
3. 1uctgucsc22
3. 1ucschuctgh 22
4.2
2ucos1usen
2 4.2
12ucoshusenh
2
5.2
2ucos1ucos
2 5.2
12ucoshucosh
2
6. ucosusen22usen 6. ucoshusenh22usenh
7. usenucos2ucos 22 7. usenhucosh2ucosh 22
I. INTEGRALES DE LA FORMA
dxxcosxsen
nm
y dxxcoshxsenh
nm
Se consideran dos casos:
3
82xx2
1x
3
1xsec
7/26/2019 apuntes de calculo II
29/360
1 CASO:Uno de los exponentes m n es un entero impar positivo
Si m es impar positivo se factoriza sen x dx ( senh x dx ) y se
expresa los senos (senos hiperblicos) restantes en funcin de
cosenos (cosenos hiperblicos) usando la identidad:xcos1xsen
22 1xcoshxsenh 22
PROBLEMAS
1. dxxsenh3
)dxsenh x(xsenhdxxsenhI23
)dxsenh x()1xcosh(I 2
Hacemos: u = cosh x
du = senh x dx
Cuu3
1du)1u(I
32
Como: u = cosh x
Ccosh xxcosh3
1I
3
Si n es impar positivo se factoriza cos x dx ( cosh x dx ) y se
expresa los cosenos (cosenos hiperblicos) restantes en funcin
de senos (senos hiperblicos) usando la identidad:
xsen1xcos22
xsenh1xcosh 22
PROBLEMAS
1. dxxcosh3
)dxcosh x(xcoshdxxcoshI23
)dxcosh x()xsenh1(I2
Hacemos: u = senh x
du = cosh x dx
7/26/2019 apuntes de calculo II
30/360
Cu3
1udu)u1(I
32
Como: u = senh x
Cxsenh31senh xI 3
2 CASO: Ambos exponentes m y n son enteros pares y mayores o
iguales que cero. En este caso se usan las identidades:
2
2xcos1xsen
2
2
12xcoshxsenh
2
2
2xcos1xcos
2 2
12xcoshxcosh
2
NOTA:
Al efectuar las operaciones se obtienen trminos que contienen
potencias pares e impares de cos 2x. Los trminos que tienen las
potencias impares se integran teniendo en cuenta el 1 CASO. Los
trminos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando
sucesivamente las frmulas indicadas.
PROBLEMAS
1. dx3xcos3xsen42
dx)3xcos(3xsendx3xcos3xsenI22242
dx]2
6xcos1[)2
6xcos1(I
2
dx)6xcos1()6xcos1(81
I2
dx)6xcos6xcos21()6xcos1(81
I2
dx)6xcos6xcos6xcos1(
8
1I
32
7/26/2019 apuntes de calculo II
31/360
dx)6xcos2
12xcos16xcos1(
8
1I
3
dx)6xcos12xcos21
6xcos2
1(
8
1I
3
dx)6xcos6xcos12xcos21
6xcos2
1(
8
1I
2
dx]6xcos)6xsen1(12xcos21
6xcos2
1[
8
1I
2
dx)6xcos6xsen6xcos12xcos21
6xcos2
1(
8
1I
2
dx)6xcos6xsen12xcos21
2
1(
8
1I
2
dx6xcos6xsen81
dx12xcos16
1dx
16
1I
2
dx6xcos6xsen81
12xsen192
1x
16
1I
2
Hacemos: u = sen 6x
du = 6 cos 6x dx
)dx6xcos6(6xsen481
12xsen192
1x
16
1I
2
duu481
12xsen192
1x
16
1I
2
Cu144
112xsen
192
1x
16
1I
3
Como: u = sen 6x
C6xsen144
112xsen
192
1x
16
1I
3
II. INTEGRALES DE LA FORMA
dxxsecxtg nm ;
dxxcscxctg nm
7/26/2019 apuntes de calculo II
32/360
dxxsechxtghnm ; dxxcschxctgh
nm
Se consideran dos casos:
1
CASO: Si m es un entero impar positivo se factoriza tg x sec x
( ctg x csc x dx ) tgh x sech x dx ( ctgh x csch x dx ) y se expresa
las tangentes (cotangentes) tangentes hiperblicas (cotangentes
hiperblicas) restantes en trminos de secantes (cosecantes) secante
hiperblico (cosecante hiperblico) mediante la identidad:
1xsecxtg22
xsech1xtgh22
1xcscxctg
22
xcsch1xctgh22
PROBLEMAS
1. dxxsenxcos
4
3
dxxcscxctgdxsen x1
.xsen
xcosdx
xsen
xcosI
3
3
3
4
3
)dxxctgxcsc()1xcsc()dxxcscxctg(xctgI22
Hacemos: u = csc x
du =csc x ctg x dx
)dxxctgxcsc()xcsc1(I2
Cu3
1
udu)u1(I
32
Como: u = csc x
Cxcsc3
1xcscI
3
2
CASO:Si n es un entero par positivo se factoriza secx dx
( cscx dx ) sechx dx ( cschx dx ) y el resto de los secantes
(cosecantes) secantes hiperblicos (cosecantes hiperblicos) se
7/26/2019 apuntes de calculo II
33/360
transforman en trminos de tangente (cotangente) tangente
hiperblico (cotangente hiperblico) usando la identidad:
xtg1xsec22
xtgh1xsech 22
xctg1xcsc 22 1xctghxcsch 22
PROBLEMAS
1. dxxtgxsec
4
4
)dxxsec(xtg
xtg1)dxxsec(
xtg
xsecdx
xtg
xsecI
2
4
22
4
2
4
4
)dxxsec()xtg1
xtg
1(I
2
24
Hacemos: u = tg x
du = secx dx
C
u
1
3u
1du)
u
1
u
1(I
324
Como: u = tg x
Cxctgxctg3
1C
xtg
1
xtg3
1I
3
3
2. xcosxsen
dx
53
dxxsecxcscxcosxsendx
xcosxsen
dxI
5/23/2
5/23/253
)dxxsec(xsecxcscI21/23/2
)dxxsec(xsecxsecxcscI 22/233/2
)dxxsec(xsecxtg)dxxsec(xsec
xsec
xcscI
223/222
3/2
3/2
7/26/2019 apuntes de calculo II
34/360
)dxxsec()xtg1(xtgI223/2
)dxxsec()xtgxtg(I21/23/2
Hacemos: u = tg x
du = secx dx
Cu3
2
u
2du)uu(I
3/2
1/2
1/23/2
Como: u = tg x
Cxtg3
2xctg2Cxtg
3
2
xtg
2I 3
3/2
1/2
III. INTEGRALES DE LA FORMA
dxnxcosmxsen ; dxnxcoshmxsenh
dxnxsenmxsen ; dxnxsenhmxsenh
dxnxcosmxcos ; dxnxcoshmxcoshPara calcular estas integrales se usan las frmulas:
]n)x(msenn)x(msen[2
1nxcosmxsen
]n)x(mcosn)x(mcos[2
1nxsenmxsen
]n)x(mcosn)x(mcos[2
1
nxcosmxcos
]n)x(msenhn)x(msenh[2
1nxcoshmxsenh
]n)x(mcoshn)x(mcosh[2
1nxsenhmxsenh
]n)x(mcoshn)x(mcosh[
2
1nxcoshmxcosh
7/26/2019 apuntes de calculo II
35/360
PROBLEMAS
1. dx5xcoshxsenh2
dx5xcosh)2
12xcosh
(dx5xcoshxsenhI
2
dx5xcosh21
dx2xcosh5xcosh2
1I
dx5xcosh21
dx]2)x(5cosh2)x(5cosh[2
1
2
1I
dx5xcosh
2
1dx)3xcosh7xcosh(
4
1I
dx5xcosh21
dx3xcosh4
1dx7xcosh
4
1I
C5xsenh10
13xsenh
12
17xsenh
28
1I
3.6.INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR
FRACCIONES PARCIALESSea la funcin racional
Q(x)
P(x)(x)f ; Df = { x R / Q(x) 0 }
P(x), Q(x) son polinomios de grados m y n (m, n N) respectivamente.
Funcin Racional Propia
Q(x)P(x)(x)f es propia si se verifica esta condicin m < n
Funcin Racional I mpropia
Q(x)
P(x)(x)f es impropia si se verifica esta condicin m n
PROBLEMAS
1.3xx
12xxf(x)
3
24
=> f(x) es una funcin racional impropia
7/26/2019 apuntes de calculo II
36/360
2.2x
1xf(x)
3
3
=> f(x) es una funcin racional impropia
3.
2x
xf(x)
2
=> f(x) es una funcin racional propia
NOTA:
Toda fraccin impropia puede ser expresada como la suma de un
polinomio y de una fraccin propia es decir:
Q(x)
R(x)(x)C
Q(x)
P(x)(x)f , Donde: Gr [R(x)] < Gr [Q(x)]
Por lo tanto:
Q(x)
R(x)(x)C
Q(x)
P(x) => dxQ(x)
R(x)dxC(x)dx
Q(x)
P(x)
Donde: dxC(x) es elementalPROBLEMAS
1. 1x
23xxf(x)
3
6
44x
24x
xx
23xx
4xxxx
1 x23xx
2
2
223
3
1x
6)4xx(
1x
23xxf(x)
23
Donde:
4xxC(x)2
6R(x)
7/26/2019 apuntes de calculo II
37/360
1xQ(x)
OBSERVACIN:
1. Veremos el mtodo de integracin para fracciones propias el cual se
basa en que Toda fraccin racional propia puede ser descompuestaen la suma de fracciones simples.
TEOREMA
Cualquier polinomio Q(x) de grado n 1 con coeficientes reales puede ser
expresado como un producto de factores lineales y cuadrticos siendo
estos irreducibles en el sistema de los nmeros reales.
CASOS1 CASO:Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite es
decir: Q(x) = ( xa1) ( xa2) ( xa3) ( x an), donde no hay
dos aiidnticas en este caso escribimos a la fraccin propia:
n
n
3
3
2
2
1
1
ax
A.. .
ax
A
ax
A
ax
A
Q(x)
P(x)
Donde: A1, A2, A3, , Anson constantes que van a ser determinadosPROBLEMAS
1.
dx82xx
14x4xx2
24
64x18
64x168x
x28x
16x4x2x
14x4x2x
8x2xx8x2x
8x2xx14x4 x
2
2
23
23
2
234
224
dx)
82xx
6418x82xx(dx
82xx
14x4xxI
2
2
2
24
7/26/2019 apuntes de calculo II
38/360
dx82xx
6418xdx)82xx(I
2
2
dx
82xx
6418x8xxx
3
1I
2
23 (1)
dx
)2x()4x(
6418xdx
82xx
6418xI
21
2x
B
4x
A
)2x()4x(
6418x
)4xB()2xA(6418x
4BBx2AAx6418x 4B)2A(B)xA(6418x
3
14B,
3
68A
644B2A
18BA
dx)
2x
14/3
4x
68/3(dx
)2x()4x(
6418xI1
2xdx
3
14
4x
dx
3
68I1
C2xLn3
144xLn
3
68I1 (2)
Reemplazando (2) en (1):
C2xLn3
144xLn3
688xxx3
1I
23
2 CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos estn
repetidos por lo que si ( x ai ) es un factor que se repite p veces
entonces correspondientes a este factor habr la suma de p fracciones
parciales es decir:
i
p
2pi
3
1pi
2pi
1pi ax
A
...)ax(
A
)ax(
A
)ax(
A
)ax(
P(x)
7/26/2019 apuntes de calculo II
39/360
Donde: A1, A2, A3, , Apson constantes que van a ser determinados
PROBLEMAS
1.
dx
1xxx
1xx23
2
dx
)1x(1)x(
1xxdx
1xxx
1xxI
2
2
23
2
1x
C
)1x(
B
1x
A
)1x(1)x(
1xx22
2
)1x()1xC()1xB()1xA(1xx22
)1xC()1xB()12xxA(1xx222
CCxBBxA2AxAx1xx222
)CBA()xB2A()xCA(1xx22
4
5C,
2
1B,
4
1A
1CBA
1B2A
1CA
dx]
1x
5/4
)1x(
1/2
1x
1/4[dx
)1x(1)x(
1xxI
22
2
1xdx
4
5
)1x(
dx
2
1
1x
dx
4
1I
2
C1xLn4
5
)1x(2
11xLn
4
1I
3 CASO:Los factores de Q(x) son lineales y cuadrticos y ninguno de
los factores cuadrticos se repite correspondiente al factor cuadrtico
x2+ px + q en el denominador. Esta fraccin parcial es de la forma:
qpxx
BAx
2
Ejemplo:
7/26/2019 apuntes de calculo II
40/360
22xx
CBx
3x
A
)22xx()3x(
1x22
2
ms conveniente:
22xx
C2)B(2x
3x
A
)22xx()3x(
1x22
2
PROBLEMAS
1. dx1xx3
5
dx
1x
xdxxdx)
1x
xx(dx
1x
xI
3
22
3
22
3
5
dx)1xx()1x(x
x3
1dx
1x
xx
3
1I
2
23
3
23 (1)
dx)1xx()1x(x
I2
2
1
1xx
C)12xB(
1x
A
)1xx()1x(
x22
2
)1xC()1x)(12xB()1xxA(x22
)1xC()1x2xB()1xxA(x222
CCxBBx2BxAAxAxx222
)CBA()xCBA()x2BA(x
22
0C,3
1B,
3
1A
0CBA
0CBA
1B2A
dx
1xx
12x
3
1
1x
dx
3
1dx]
1xx
1)(2x3
1
1x
3
1
[I221
7/26/2019 apuntes de calculo II
41/360
C1xxLn3
11xLn
3
1I 21 (2)
Reemplazando (2) en (1):
C1xxLn311xLn
31x
31I 23
C1xLn3
1x
3
1I 3
3
4 CASO:Los factores de Q(x) son lineales y cuadrticos y algunos de
los factores cuadrticos se repiten si x2+ px + q es un factor que se
repite n veces entonces correspondiente a este factor habr la suma de
n fracciones parciales es decir:
qpxx
BxA..
q)px(x
BxA
q)px(x
BxA
q)px(x
BAx2
nn1n2
22n2
11n2
Ejemplo:
92xx
F2)E(2x
9)2x(x
D2)C(2x
9)2x(x
B2)A(2x
9)2x(x
1x2223232
2
PROBLEMAS
1.
dx)2x(
1xx22
3
2x
DC(2x)
)2x(
BA(2x)
)2x(
1xx22222
3
)2xD()2x(C(2x)BA(2x)1xx223
2DDx4Cx2CxB2Ax1xx233
2D)(B4C)x2A(Dx2Cx1xx233
0D,
2
1C,1B,
2
1A
12DB
1C42A
0D
1C2
7/26/2019 apuntes de calculo II
42/360
dx]
2x
(2x)2
1
)2x(
1(2x)2
1
[dx)2x(
1xxI
22222
3
dx
2x
2x
2
1
)2x(
dxdx
)2x(
2x
2
1I 22222
22222 )2x(dx
dx2x
2x
2
1dx
)2x(
2x
2
1I
222
2 )2x(
dx)2x(Ln
2
1
2)(x2
1I (1)
221 )2x(dxI
Hacemos: tg2x
dsec2dx2
d)1tg(sec
4
2d
]2)tg2([
sec2I
22
2
22
2
1
dcos42
sec
d
4
2d
sec
sec
4
2I
2
24
2
1
d2cos8
2d
8
2d
2
2cos1
4
2I1
Ccossen8
2
8
2C2sen
16
2
8
2I1
(*)
Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (*):
2
x2x2
2
xtg
7/26/2019 apuntes de calculo II
43/360
C)2x
2()
2x
x(
8
2)
2
x(tgarc
8
2I
221
C2)(x4
x)
2
x(tgarc
8
2I
21
(2)
Reemplazando (2) en (1):
C2)4(x
x)
2
x(tgarc
8
2)2x(Ln
2
1
2)(x2
1I
2
2
2
C)2
x(tgarc
8
2)2x(Ln
2
1
)2x(4
2xI
2
2
3.7.
INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOMTRICAS
En general las funciones que contienen combinaciones de funciones
trigonomtricas no son integrables por medio de procedimientos
elementales. Veremos algunos casos en los que la expresin a integrarse
puede ser racionalizada.
INTEGRALES DE LA FORMA
dx)sen x,xcosR( Un integrando que contiene una funcin racional de sen x y cos x se puede
reducir a una funcin racional en la variable z por medio de la sustitucin
z = tg (x/2). Obtenindose de esta una integral que va a quedar de la
siguiente forma:
222
2
z1
dz2)
z1
2z,
z1
z1R(dx)sen x,xcosR(
Luego la integral del segundo miembro es la integral de una funcin
racional en la variable z.
OBSERVACIN:
Para obtener:
7/26/2019 apuntes de calculo II
44/360
2
2
z1
z1xcos
2z1
z2sen x
2z1
dz2dx
Nos valemos de la sustitucin:
)2x(tgz
1
z)
2
x(tg
)z1
1()
z1
z(2)
2
x(cos)
2
x(sen2)
2
x(2sensen x
22
2z1z2sen x
2
2
2
2
22)
z1
z()
z1
1()
2
x(sen)
2
x(cos)
2
x(2cosxcos
2
2
z1
z1xcos
)2x(tgz =>
2xztgarc => ztgarc2x
2z1
dz2dx
PROBLEMAS
1. xcos3sen x2
dx
Hacemos: )2
x(tgz
2z1
z2sen x
2
2
z1
z1xcos
2z1
dz2dx
)z1
z13(
z1
2z2
z1
dz2
xcos3sen x2
dx
I
2
2
2
2
1
z2z1
x/2
7/26/2019 apuntes de calculo II
45/360
2222 z332zz22dz
2)z3(12z)z2(1
dz2I
6)1z(
dz2
52zz
dz2
52zz
dz2I
222
)61z()61z(dz
2I
61z
B
61z
A
)61z()61z(
1
)61B(z)61A(z1
)61B(z)61A(z1
])B16()A16([)zBA(1
62
1B,
62
1A
11)B6(1)A6(
0BA
dz]61z
62
1
61z
62
1
[2I
61zdz
6
1
61z
dz
6
1I
C61zLn
6
161zLn
6
1I
C61z
61zLn
6
1I
Como: )2
x(tgz
C61)
2
x(tg
61)2
x(tg
Ln6
1
I
7/26/2019 apuntes de calculo II
46/360
OBSERVACIN:
1. La sustitucin z = tg (x/2) ofrece la posibilidad de integrar cualquier
funcin racional de sen x y cos x sin embargo en la prctica conduce
a menudo a funciones racionales demasiado complicadas por estarazn en algunos casos es preferible usar la sustitucin:
xtgt
1
txtg
2
t1
tsen x
2t1
1xcos
ttgarcx =>2
t1
dtdx
Esta sustitucin debe ser usada cuando la funcin racional
trigonomtrica tiene la forma:
dx)xsen,xcosR(
kn ; k, n son nmeros enteros pares
dx)xtgR( PROBLEMAS
1.
dxxcos3
xcos2xsen
2
22
Hacemos: xtgt
2t1
tsen x
2t1
1xcos
2t1
dtdx
22
2
2
2
2
2
2
22
t1
dt
.)
t1
1(3
)t1
1(2)
t1
t(
dxxcos3
xcos2xsen
I
1
t2t1
x
7/26/2019 apuntes de calculo II
47/360
22
2
2
2
22
2
t1
dt.
1)t3(1
2t
t1
dt.
t1
13
t1
2
t1
t
I
dt
)t1()3t2(
2t
t1
dt.
1t33
2tI
22
2
22
2
2222
2
t1
DC(2t)
3t2
BA(6t)
)t1()3t2(
2t
)3tD(2)3tC(2t)(2)tB(1)tA(6t)(12t22222
23232 3Dt2D6Ct4CtBtB6At6At2t
2D)(B4C)t(6A3D)t(B6C)t(6A2t232
3D,0C,8B,0A
22DB
0C46A
13DB
06C6A
2222 t1
dt3
3t2
dt8dt]
t1
3
3t2
8[I
C])
3
2
t(tgarc
3
2
1[
3
8ttgarc3
t3
2
dt
3
8
t1
dt3I
22
C)2
t3(tgarc
23
38ttgarc3I
Como: t = tg x
C)2
xtg3(tgarc
23
38)xtg(tgarc3I
C)2
xtg3
(tgarc3
64
3xI
7/26/2019 apuntes de calculo II
48/360
3.8.INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES
En la seccin anterior hemos visto que las funciones racionales poseen
integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de
funciones elementales esto no sucede con las funciones irracionales salvoen casos particulares.
Ahora vamos a estudiar ciertas funciones irracionales cuya integral puede
ser expresada como una suma finita de funciones elementales para esto es
necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de
la nueva integral sea una funcin racional.
I. INTEGRALES DE LA FORMA
dx])
dxc
bxa(,...,)
dxc
bxa(,xR[ k
n
km
in
im
Donde:
- R es una funcin irracional en la variable x
-
k
n
km
i
n
im
)dxc
bxa(,...,)dxc
bxa(
mi, , mk ; ni, , nk Z
i
i
n
m ; i = 1, 2, , k es nmero racional
Para que:
])dxc
bxa(,...,)
dxc
bxa(,xR[ k
n
km
in
im
Se transforme en una funcin racional en la variable t se hace el
cambio de variable:
dxc
bxat
n
Donde:- n es el M.C.M. [ n1, n2, , nk]
7/26/2019 apuntes de calculo II
49/360
n
n
tdb
atcx
dt
)tdb(
n t)dacb(dx
2n
1n
PROBLEMAS
1. 3 xxdx
1/31/23 xxdx
xx
dxI
n = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6Hacemos: x = t6
dx = 6t5dt
dtttt
6dt)(t)(t
6t
xx
dxI
23
5
1/361/26
5
1/31/2
dt1t
t
6dt)1t(t
t
6I
3
2
5
1
1t
t
tt
t
1tttt
1 t t
2
2
223
3
1tdt
6dt)1tt(6dt)1t
11tt(6I
22
C1tLn6t3t2tI23
Como: t = x1/6
C1)(xLn6x)3(x)2(xI 1/61/621/631/6
7/26/2019 apuntes de calculo II
50/360
C1xLn6x3x2xI 1/61/61/31/2
C1xLn6xx3x2I663
2. 128x32x)52x(
dx
)32x(432x)832x(dx
I
n = M.C.M. [ 1 , 2 ] = 2
Hacemos: 2x3 = t
dx = t dt
4t8t
dt
4tt)8t(
dtt
4tt)8t(
dttI
222222
4)2t(dt
84tt
dtI
22
Por Frmula Elemental: ( por sustitucin t + 2 = 2 tg )
C)2
2t(tgarc
2
1I
Como: 32xt
C)2
232x(tgarc
2
1I
II. INTEGRALES DE LA FORMA
rqxpx)ax(
dx
2n , n N
Para evaluar este tipo de integrales se emplea la sustitucin:
t
1ax
2tdtdx
7/26/2019 apuntes de calculo II
51/360
PROBLEMAS
1. 2x3x)1x(
dx
2
Hacemos:t11x
2t
dtdx
2)t
1t(3)t
1t(t
1
t
dt
2x3x)1x(
dxI
2
2
2
22
2
2
2t1)(t3t1)(tt
1
t
dt
I
22
2t1)(t3t1)(t
dtI
t1
dt
t1
dt
2t3t3t12tt
dtI
222
Ct12I
Como:1x
1t
C1x
2x2C1x
112I
2. 4x2xx
dx
22
Hacemos:t
1x
2t
dtdx
7/26/2019 apuntes de calculo II
52/360
4)t
1(2)
t
1()
t
1(
t
dt
4x2xx
dxI
22
2
22
12t4t
dtt
4t2t1
dtt
4t
2
t
1
t
1
t
dt
I22
22
2
Hacemos:4
1)28t(
8
1t
dt
12t4t
4
1)28t(
8
1
I2
12t4t
dt
4
1dt
12t4t
28t
8
1I
22
12t4t
dt
4
112t4t
4
1I
2
2
4
1t
2
1t
dt
8
112t4t
4
1I
2
2
16
3)
4
1t(
dt
8
112t4t
4
1I
2
2
Por Frmula Elemental: ( por sustitucin tg4
3
4
1t )
C4
1t
2
1t
4
1tLn
8
112t4t
4
1I 2
2
C4
12t4t14t
Ln8
1
12t4t4
1
I
22
7/26/2019 apuntes de calculo II
53/360
C12t4t14tLn8
112t4t
4
1I 2
2
Como:x
1t
C1x
2
x
41
x
4Ln
8
11
x
2
x
4
4
1I
22
Cx
42xx1
x
4Ln
8
1
4x
42xxI
22
Cx
42xxx4Ln81
4x42xxI
22
III.INTEGRALES DE LA FORMA
dx)cbxax,xR(2
Donde:
-
)cbxax,xR(
2
es una funcin racional de las
variables x , cbxax 2
Esta integral puede ser reducida mediante las sustituciones de Euler,
las que permiten el integrando en una funcin racional en una sola
variable t se presentan tres casos:
1 CASO:( c 0 ) Se hace el cambio de variable:
ctxcbxax2
Donde los signos se eligen de forma tal que los clculos se
simplifiquen. Sin embargo de cualquiera de las elecciones siempre se
obtiene una funcin racional en la variable t.
PROBLEMAS
1.
dxxx1xxx112
2
7/26/2019 apuntes de calculo II
54/360
dx
1xxx
1xx1dx
xx1x
xx11I
2
2
2
2
Hacemos: 1tx1xx2
222)1tx()1xx(
12t xxt1xx222
2t xxtxx222
)2txt(x)1x(x2
2txt1x2
2t1xxt2
2t1)1t(x2
1t
2t1x
2
dt)1t(
2t)(2t)(11)2(tdx 22
2
dt)1t(
1)t(t2dx
22
2
dt)1t(
)1tt(2.
]1)1t
2t1
(t[)1t
2t1
(
]1)1t
2t1(t[1
I22
2
22
2
dt)1t(
)1tt(.
]1)1t
2t1(t[)
1t
2t1(
)1t
2t1(t
2I22
2
22
2
dt
)1t(
)1tt(.
]1)1t
2t1(t[
t2I
22
2
2
7/26/2019 apuntes de calculo II
55/360
dt
)1t(
)1tt(.
]1t
1t)2t1(t[
t2I
22
2
2
2
dt
)1t()1tt(.
)1t
1t2tt(
t2I22
2
2
22
dt
)1t(
)1tt(.
)1t
1tt(
t2I
22
2
2
2
dt1t
2tdt
1t
t2dt
)1t(
)1tt(.
)1t
1tt(
t2I 2222
2
2
2
C1tLnI 2
Como:x
11xxt
2
2
222
x
11xx21xxt
C1x
11xx21xxLnI
2
22
Cx
1xx22xLnI
2
2
2 CASO:( a 0 ) Se hace el cambio de variable:
txacbxax2
Donde la seleccin de los signos es arbitraria y se eligen
fundamentalmente de manera que se simplifique los clculos.
PROBLEMAS
1. dx2x2xx2
7/26/2019 apuntes de calculo II
56/360
Hacemos: tx12x2x2
222)xt()22xx(
222
x2t xt22xx 2t xt22x
2
2t2x2t x2
2t)22t(x2
)1t(2
2tx
2
dt)1t(2
22ttdx
2
2
dt
)1t(2
22tt.]t
)1t(2
2t[]
)1t(2
2t[I
2
222
dt
)1t(
22tt.])1t(2t)2t([]
)1t(
2t[
8
1I
2
22
2
2
dt
)1t(
22tt.)2t2t2t(]
)1t(
2t[
8
1I
2
222
2
2
dt
)1t(
22tt.)22tt(]
)1t(
2t[
8
1I
2
22
2
2
dt)1t(
)22tt()2t(
8
1I 4
222
dt14t6t4tt
816t12t6t4tt
8
1I
234
2456
816t13t4t
ttt46t4tt
14t6t4t t816t12t6t4t t
23
223456
2342456
__________________
7/26/2019 apuntes de calculo II
57/360
dt)14t6t4tt
816t13t4tt(
8
1I
234
232
dt
14t6t4tt
44tt)412t12t4t(
8
1dtt
8
1I
234
2232
dt
)1t(
44tt
8
1dt
14t6t4tt
412t12t4t
8
1t
24
1I
4
2
234
233
dt)1t(
44tt
8
114t6t4ttLn
8
1t
24
1I
4
22343
dt)1t(
44tt
8
1
)1t(Ln8
1
t24
1
I 4
243
dt)1t(
44tt
8
11tLn
2
1t
24
1I
4
23 (1)
dt)1t(
44ttI
4
2
1
1tD
)1t(C
)1t(B
)1t(A
)1t(44tt
2344
2
3221)D(t1)C(t1)B(tA44tt
1)3t3tD(t1)2tC(t1)B(tA44tt2322
D3Dt3DtDtC2CtCtBBtA44tt2322
D)CB(At3D)2CB(t3D)C(Dt44tt232
0D,1C,2B,1A
4DCBA
43DC2B
13DC
0D
dt])1t(
1)1t(
2)1t(
1[dt)1t(
44ttI 2344
2
1
7/26/2019 apuntes de calculo II
58/360
2341 )1t(dt
)1t(
dt2
)1t(
dtI
1231C
1t
1
)1t(
1
)1t3(
1I
(2)
Reemplazando (2) en (1):
C)1t(8
1
)1t(8
1
)1t(24
11tLn
2
1t
24
1I
23
3
C)1t(24
)1t(3)1t(311tLn
2
1t
24
1I
3
23
C)1t(24
36t3t33t11tLn
2
1t
24
1I
3
23
C)1t(24
79t3t1tLn
2
1t
24
1I
3
23
Como: 22xxxt 2
C)22xx1x(24
22xx)96x()1315x6x(
22xx1xLn2
1
24
)22xxx(I
32
22
232
3 CASO: Cuando las raices del trinomio ax + bx + c son reales es
decir: )xx()xx(acbxax 212
; se hace el cambio de
variable:
)xx(t)xx()xx(acbxax 1212
, x1< x2
PROBLEMAS
1.
dx
6x5xx
6x5xx
2
2
Hacemos: )2x(t)3x()2x(6x5x2
7/26/2019 apuntes de calculo II
59/360
222 )2x(t])3x()2x([
22)2x(t)3x()2x(
)2x(t3x2
22t2x t3x
22t23x tx
22t23)t1(x
2
2
t1
t23x
dt)t1(
2tdx
22
dt)t1(
2t.
t)2t1
2t3(
t1
2t3
t)2t1
2t3(
t1
2t3
I22
2
2
2
2
2
2
2
2
dt)t1(
2t.
)t1(2t)2t3(t2t3
)t1(2t)2t3(t2t3I
22222
222
dt)t1(
2t.
t22t2t3t2t3
t22t2t3t2t3I
22332
332
dt
)t1(
t.
3t2t
3t2t2dt
)t1(
2t.
3t2t
3t2tI
222
2
222
2
dt
)1t(
t.
)1t()32t(
)1t()32t(2dt
)1t(
t.
3t2t
3t2t2I
22222
2
dt)1t()1t(
t.
)1t()32t(
)1t()32t(2I
22
dt)1t()1t()32t(
6t4t
I 3
2
7/26/2019 apuntes de calculo II
60/360
1t
E
)1t(
D
)1t(
C
1t
B
32t
A
)1t()1t()32t(
6t4t233
2
1)(t1)3)(tE(2t1)1)(t3)(tD(2t
1)3)(tC(2t1)3)(tB(2t1)(t1)A(t6t4t
2
332
3E)3D3C3BA(
tE)2D5C7B2A(t5E)3D2C3B(
tE)2D3B(2At2E)2B(A6t4t
2
342
500
49E,
50
19D
5
1C,4
5B,125
288A
0E3D3C3B3A
6ED2C5B7A2
45E3D2CB3
0E2D3B2A
02E2BA
1tdt
500
49
)1(t
dt
50
19
)1(t
dt
5
1
1t
dt
4
5
32t
dt
125
288I
23
C1tLn500
49
1)(t50
19
1)(t10
11tLn
4
532tLn
125
144I
2
Como:2x
65xxt
2
C12x
65xxLn500
49
1)2x
65xx(50
19
1)2x
65xx(10
1
12x
65xxLn
4
53
2x
65xx2Ln
125
144I
2
22
2
22
7/26/2019 apuntes de calculo II
61/360
3.9.INTEGRALES DE LA FORMA
dx)bxa(xpnm
Donde: m, n y p son nmeros racionales (se entiende que a y b son
constantes reales no nulos). A una expresin de la forma
dx)bxa(xpnm
se le llama Binomio Diferencial. El destacado
matemtico ruso ms eminente del siglo XIX: Pafnuty Lvovich
Chevyshev, demostr que la integral de los binomios diferenciales, con
exponentes racionales puede expresarse mediante funciones elementales
solamente en los casos siguientes, (siempre que a 0 y b 0):
CASO I: p es un nmero entero
CASO II:n
1m es un nmero entero
CASO III: pn
1m
es un nmero entero
Si ninguno de los nmeros p, n
1m , pn
1m
es entero, la integral no
puede ser expresada por funciones elementales.
En los 3 casos, mediante sustituciones adecuadas, la integral del binomio
diferencial puede reducirse a la integral de una funcin racional.
CASO III:Si p es un nmero entero, la sustitucin ser:
rzx
Donde:
- r es el M.C.M. de los denominadores de las
fracciones m y n.
CASO III:Sin
1m es un nmero entero, la sustitucin ser:
snzbxa
Donde:
7/26/2019 apuntes de calculo II
62/360
- s es el denominador de la fraccin p (por ser p un
nmero racionals
rp , r y s son nmeros enteros
coprimos).
CASO III:Si pn
1m
es un nmero entero, la sustitucin ser:
nsnxzbxa sn zbax
Donde:
- s es el denominador de la fraccin p.
PROBLEMAS1.
dx)x1(x
21/31/2
En la integral2
1m ,
3
1n y 2p (p es un nmero entero)
r = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6
Hacemos: 6zx
dzz6dx5
)dz6z(])(z1[)(zdx)x1(xI521/361/2621/31/2
dz)z1(
z6)dz6z()z1(zI
22
85223
dz]
)z1(
34z32zz[6dz
1z2z
z6I 22
2
2424
8
dz)z1(
34z6dz)32zz(6I
22
224
dz)z1(
34z618z4zz
5
6I
22
235 (1)
dz
)z1(
34zI
22
2
1
7/26/2019 apuntes de calculo II
63/360
Hacemos: z = tg
dz = sec2 d
)dsec(
sec
3tg4)dsec(
])tg(1[
3)tg(4I
2
4
22
22
2
1
d)cos3sen4(dsec
3tg4I
22
2
2
1
d]2
2cos33)2cos1(2[I1
d)2cos2
1
2
7(d)2cos
2
3
2
32cos22(I1
111 Ccossen2
1
2
7C2sen
4
1
2
7I (*)
Volviendo a la variable z
Sustituyendo en (*):
1221C)
1z
1()
1z
z(
2
1ztgarc
2
7I
121C
)1z(2
zztgarc
2
7I
(2)
Reemplazando (2) en (1):
]C)1z(2
zztgarc
2
7[618z4zz
5
6I 12
35
C1z
3zztgarc2118z4zz
5
6I
2
35
Como:1/6
xz
1
z1z2
ztg
7/26/2019 apuntes de calculo II
64/360
C1x
x3xtgarc21x18x4x
5
6I
3
6665/6
2. dx)x2(x1/42/31/3
En la integral3
1m ,
3
2n y
4
1p => 2
n
1m
Hacemos: 42/3 zx2 => 2zx 42/3
dzz4dxx3
2 31/3
=> dzzx6dx 31/3
)dzz6x()z(xdx)x2(xI
31/31/441/31/42/31/3
dz)2zz(6dzz)2z(6dzzx6I484442/3
Cz5
12z
3
2I
59
Como: 1/42/3 )x2(z
C)x2(5
12)x2(
3
2I
5/42/39/42/3
3. 1/666 )x65(xdx
dx)x65(xI1/666
En la integral 6m , 6n y 61p => 1pn
1m
Hacemos: 666 xzx65 => 66 z165x
dzz6dx)6x(6557
=> dzzx65
1dx
57
dzzxzx
65
1)dzzx
65
1()xz(xI
5717571/6666
Cz325
1dzz
65
1I
54
7/26/2019 apuntes de calculo II
65/360
Como:x
)x65(z
1/66
C
x325
)x65(I
5
5/66
4.
INTEGRALES DE LAS FORMAS
1. C(x)Qdxe(x)P axnax
n e
01
2n
2n
1n
1n
n
nn bxb...xbxbxb(x)Q
2. C]...
a
(x)'''P
a
(x)''P
a
(x)'PP(x)[
a
edxeP(x)
32
axax
3. ].. .a(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axcosdxaxsenP(x)
4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P[
a
axsen5
(5)
3
4.
].. .
a
(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axsendxaxcosP(x)
4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P[
a
axcos
5
(5)
3
5.
cbxax
dxcbxax.(x)Qdx
cbxax
(x)P
2
2
1n2
n
Qn1(x) se escribe con coeficientes indeterminados. Se deriva ambos miembros
y encontramos los valores de estos coeficientes indeterminados de Qn1(x) y elvalor de
6. Ccosh xbsenh xaLnBAxdxcosh xbsenh xa
cosh xdsenh xc
Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B
7. Cxcosbsen xaLnBAxdxxcosbsen xa
xcosdsen xc
Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B
7/26/2019 apuntes de calculo II
66/360
PROBLEMAS
1. dxe)52x6x8x(4x23
Ce)bxbxbxb(dxe)52x6x8x(4x
01
2
2
3
3
4x23
Derivando ambos miembros
]e)bxbxbxb([dx
de)52x6x8x(
4x
01
2
2
3
3
4x23
4x
10
21
2
32
3
3
4x23
e])bb4(
x)b2b4(x)3bb4(x4b[e)52x6x8x(
8
9b,
2
1b,0b,2b
5b4b
22b4b
63b4b
84b
0123
10
21
32
3
Ce)
8
9x
2
12x(dxe)52x6x8x(I
4x34x23
2. dxe)3xx(6x3
C]...a
(x)'''P
a
(x)''P
a
(x)'PP(x)[
a
edxeP(x)
32
axax
x3xP(x)3
3x3(x)'P2
x6(x)''P
6(x)'''P
C])6(
6
)6(
6x
6
33x3xx[
6
eI
32
23
6x
C]361
6x
21x3xx[
6eI
23
6x
7/26/2019 apuntes de calculo II
67/360
C]16x1818x108x36x[216
eI
236x
C]17102x18x36x[216eI 23
6x
C)17102x18x36x(216
1I
6x23 e
3. dx2xsen)12x2x(4
].. .a
(x)P
a
(x)''P
P(x)[a
axcos
dxaxsenP(x) 4
(4)
2
C]...a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P[
a
axsen5
(5)
3
1x2x2P(x)4
2x8(x)'P3
2x24(x)''P
x48(x)'''P
48(x)P(4)
])2(48
)2(
24x12x2x[
2
2xcosdx2xsen)12x2x(I
42
244
C])2(
48x
2
28x[
2
2xsen3
3
C]6x14x[2
2xsen]36x12x2x[
2
2xcosI
324
C2xcos)1x3xx(2xsen)2
13x2x(I
243
4. dxxcosx4
7/26/2019 apuntes de calculo II
68/360
].. .a(x)P
a
(x)''PP(x)[
a
axsendxaxcosP(x)
4
(4)
2
C]...
a
(x)P
a
(x)'''P
a
(x)'P[
a
axcos
5
(5)
3
4
xP(x)
3x4(x)'P
2x12(x)''P
x24(x)'''P
24(x)P (4)
C])1(
24x
1
4x[
1
xcos]
)1(
24
)1(
12xx[
1
sen xdxxcosxI
3
3
42
244
Csen x)2412xx(xcos)24x4x(I243
5.
dx
54xx
3x
2
3
cbxax
dxcbxax.(x)Qdx
cbxax
(x)P
2
2
1n2
n
54xx
dx54xx.)CBxAx(dx
54xx
3x
2
22
2
3
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
)2x()CBxAx()54xx()B2Ax(3x223
)2C5B(x)C6B10A(x)2B10A(3A x3x233
15,20C,5B,1A
02C5B
0C6B10A
02B10A
33A
7/26/2019 apuntes de calculo II
69/360
54xx
dx1554xx.)20x5x(dx
54xx
3xI
2
22
2
3
1)2x(
dx1554xx)20x5x(I
2
22 (1)
1)2x(
dxI
21
Hacemos: x + 2 = tg
dx = sec2 d
dsecdsec
sec
d1tg
sec
1)2x(
dx
I
2
2
2
21
11 CtgsecLnI (*)
Volviendo a la variable original
Sustituyendo en (*):
12
12
1 C54xx2xLnC2x54xxLnI (2)
Reemplazando (2) en (1):
]C54xx2xLn[1554xx)20x5x(I1
222
C54xx2xLn1554xx)20x5x(I 222
6. dxcosh x2senh xcosh x
Ccosh x2senh xLnBAxdxcosh x2senh x
cosh x
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
1
2x 54xx2
2xtg
7/26/2019 apuntes de calculo II
70/360
)senh x2cosh x(B)cosh x2senh x(Acosh x
cosh x)B2A(senh x)2BA(cosh x
3
1
B,3
2
A1B2A
02BA
Ccosh x2senh xLn3
1x
3
2dx
cosh x2senh x
cosh x
7.
dxxcos3sen x2
xcossen x5
Cxcos3sen x2LnBAxdxxcos3sen x2
xcossen x5
Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador
)sen x3xcos2(B)xcos3sen x2(Axcossen x5
xcos)2B3A(sen x)3B2A(xcossen x5
1B,1A
1B23A
53B2A
Cxcos3sen x2Lnxdxxcos3sen x2
xcossen x5
5. FRMULAS RECURSIVAS
Cuando una integral Independe de un parmetro real n, generalmente un valor
entero, se trata de hallar una frmula que relacione In con In1 y ciertas
funciones conocidas, o sino una frmula que relacione In con In1 , In2 yciertas funciones conocidas.
PROBLEMAS
1. Probar que dxexIxn
n satisface la frmula de recurrencia
(reduccin): 1nxn
n I
nex
1I
Hacemos: nxu dxedv x
7/26/2019 apuntes de calculo II
71/360
dxnxdu 1n xe
1v
dxex
nex
1I
x1nxn
n
1n
xn
n I
nex
1I
2. Evaluar dxexI5x2
2
Esta integral corresponde a nI para n = 2 y = 5; entonces
1nxn
n Inex
1I
)I
1nex
1(
nex
1I 2n
x1nxn
n
2n2
x1n
2
xn
n I
)1n(nex
nex
1I
Donde:
Ce
1dxedxexII
xxx0
02n ( n = 2 )
Ce
1.
)1n(nex
nex
1I
x
2
x1n
2
xn
n
Ce
)1n(nex
nex
1I
x
3
x1n
2
xn
n
Ce]
)1n(nx
nx
1[I
x
3
1n
2
n
n
Para n = 2 y = 5
Ce])5(
)12(2x
)5(
2x
5
1[I
5x
3
12
2
2
2
Ce)125
2x
25
2x
5
1(I
5x2
2
7/26/2019 apuntes de calculo II
72/360
CAPITULO II
LA INTEGRAL DEFINIDA
1.
SUMATORIASDados m y n Z tales que m n y f una funcin definida para cada i Z con i
variando entre m y n; m i n el smbolo
n
mi
)i(f => Representa la suma de los trminos f (m), f (m+1), , f (n)
Es decir:
(n)f.. .2)(mf1)(mf(m)f)i(f
n
mi
Donde:
(sigma) = Smbolo de la sumatoria
i = ndice o variable ya que se puede usar otra letra
m = Limite inferior
n = Limite superior
Ejemplos:
1. 54325
2i
i5
2i
eeeee)i(f
2. xtg.. .xtgxtgxtgxtgxtg(k)f 3n12963n
1k
3kn
1k
OBSERVACIN:
1.
En la sumatoria
n
mi
)i(f existen ( nm + 1 ) sumandos y son f (m),
f (m+1), , f (n)
Particularmente si m = 1 , n 1
n
1i
)i(f existen n sumandos
1.1.PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
1. C)1mn(Cn
mi
, C es constante
7/26/2019 apuntes de calculo II
73/360
2.
n
mi
n
mi
n
mi
)i(g)i(f])i(g)i(f[
Propiedades Telescpicas
3.
1)(mf(n)f])1i(f)i(f[
n
mi
4. 1)(mf(m)f(n)f1)(nf])1i(f)1i(f[n
mi
Si m = 1 y n 1 => Las propiedades anteriores tienen la forma
1. CnCn
1i
, C es constante
2.
n1i
n
1i
n
1i
)i(g)i(f])i(g)i(f[
3. (0)f(n)f])1i(f)i(f[n
1i
4. (0)f(1)f(n)f1)(nf])1i(f)1i(f[n
1i
1.2.FRMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA
1.2
)1n(ni
n
1i
2.6
)12n()1n(ni
n
1i
2
3.4
)1n(ni
22n
1i
3
4.30
)1n9n6n()1n(ni
23n
1i
4
PROBLEMAS
1. Determinar una frmula para
n
2k2 1k
1
n
2k
n
2k
n
2k2 ]1k
B
1k
A
[)1k()1k(
1
1k
1
7/26/2019 apuntes de calculo II
74/360
1k
B
1k
A
)1k()1k(
1
)1k(B)1k(A1
)BA(k)BA(1
2
1B,
2
1A
1BA
0BA
n
2k
n
2k
n
2k2
]1k
1
1k
1[
2
1]
1k
1/2
1k
1/2[
1k
1
Sabemos:
1)(mf(m)f(n)f1)(nf])1k(f)1k(f[n
mk
Adems:
1k
11)(kf
;
k
1(k)f ;
1k
11)(kf
](1)f(2)f(n)f1)(nf[2
1
1k
1
n
2k 2
]2
3
n
1
1n
1[
2
1]1
2
1
n
1
1n
1[
2
1
1k
1
n
2k2
])1n(2n
)1n(3n)1n(22n[
2
1
1k
1
n
2k2
])1n(2n
2n3n[
2
1]
)1n(2n
3n3n22n2n[
2
1
1k
1
22n
2k 2
)1n(4n
2n3n
1k
1
2n
2k2
)1n(4n
)23n()1n(
1k
1
n
2k2
2.
100
1k
2k
2xsen
Sabemos:
7/26/2019 apuntes de calculo II
75/360
(0)f(n)f])1k(f)k(f[n
1k
Adems:
2xsen(k)f
2k
; 2xsen1)(kf)1k(2
2xsen2xsen]2xsen2xsen[02n
n
1k
22k2k
12xsen]2xsen
2xsen2xsen[
2nn
1k2
2k2k
12xsen]
2xsen
11[2xsen
2nn
1k
2
2k
12xsen2xsen)2xsen
12xsen(
2nn
1k
2k
2
2
)12xsen
2xsen()12xsen(2xsen
2
22n
n
1k
2k
Si n = 100
)12xsen
2xsen()12xsen(2xsen2
2200100
1k
2k
)2xsen1
2xsen()12xsen(2xsen
2
2200
100
1k
2k
)2xcos
2xsen()2xsen1(2xsen
2
2200
100
1k
2k
)2xsen1(2xtg2xsen 2002100
1k
2k
3. Determinar la frmula de
n
1kk
kk
6
32
n
1kkk
n
1kkk
k
kk
kn
1kkk
kkn
1kk
kk
]2
1
3
1[]
32
3
32
2[
32
32
6
32
n
1kk
n
1kk
n
1kk
kk
21
31
632 (1)
7/26/2019 apuntes de calculo II
76/360
Sabemos:
(0)f(n)f])1k(f)k(f[n
1k
Adems:
k3
1(k)f ;
1k3
11)(kf
0n
n
1k1kk
3
1
3
1]
3
1
3
1[
13
1]
3
3
3
1[
n
n
1kkk
13
1]31[
3
1
n
n
1kk
13
1
3
1)2(
n
n
1kk
)3(2
1
2
1
3
1
n
n
1k
k
(2)
Adems:
k2
1(k)f ;
1k2
11)(kf
0n
n
1k1kk
2
1
2
1]
2
1
2
1[
12
1]
2
2
2
1[
n
n
1kkk
12
1]21[
2
1
n
n
1kk
12
1
2
1)1(
n
n
1kk
n
n
1kk
2
11
2
1
(3)
7/26/2019 apuntes de calculo II
77/360
Reemplazando (2) y (3) en (1):
nn
n
1kk
kk
2
11
)3(2
1
2
1
6
32
nn
n
1kk
kk
2
1
)3(2
1
2
3
6
32
nn
n1n1n1nn
1kk
kk
32
3232
6
32
n
n1n1n1nn
1kk
kk
6
3232
6
32
2. CLCULO DEL REA DE UNA REGIN PLANA POR
SUMATORIAS
2.1.PARTICIN DE UN INTERVALO CERRADO
DEFINICIN:Sea [ a , b ] un intervalo cerrado una particin de [ a , b ]
es toda coleccin P de puntos x0, x1, , xntales que:
a = x0< x1< x2< < xn= b
NOTACIN
P = { x0, x1, , xn}
OBSERVACIONES:
1.
Toda particin P del intervalo [ a , b ] divide en n subintervalos alintervalo cerrado [ a , b ].
2. La longitud de cada subintervalo [ xi1, xi]para i = { 1, 2 , , n } se
denota con ix = xixi1 se verifica que:
abxn
1ki
3.
Se llama norma de la particin P al nmero:}n,...2,1,i;x{MaxP i
0x 1x 2x nx
1ix ixa b
...................
7/26/2019 apuntes de calculo II
78/360
Dado por el mximo del incremento de todos los subintervalos.
4. Cuando el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos que tiene la
misma longitud. La longitud de cada subintervalo es:
nabx
En este caso los extremos de cada subintervalo son:
x0= a, x1= a + x , x2= a + 2 x , , xi= a + i x , , xn= b
2.2.APROXIMACIN DEL REA DE UNA REGIN POR REAS DE
RECTNGULOS INSCRITOS
Sea f: [ a , b ] R una funcin continua y no negativa ( f (x) 0 ) en el
intervalo cerrado [ a , b ]. Sea la regin plana limitada por las graficas
y = f (x), x = a , x = b; dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos
de igual longitud.
Como f es continua en el intervalo [ a , b ] => es continua en cada
subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo existe un nmero
en cada subintervalo para el cual f tiene un valor mnimo absoluto. Sea ci
este nmero en el i-esimo intervalo [ xi1, xi]
ax0 bxn
1x 2x
x x
x
y
(x)fy
.....
x x x xa b
0x 1x 2x nx
x2
x
..........
7/26/2019 apuntes de calculo II
79/360
Entonces f (ci ) es el valor mnimo absoluto de f en el i-esimo intervalo.
Construimos n rectngulos cada uno con base x y altura f (ci )
Las sumas de las reas de estos n rectngulos es:
x)(cf.. .x)(cfx)(cfx)(cfSn n321
n
1ii x)(cfSn
Sn es una aproximacin al rea de la regin . Si el rea de la regin es
A Sn.
Si n crece el nmero de rectngulos crece y la regin sombreada tiende a
aproximarse a la regin . Por lo tanto si n crece sin lmite entonces Sn
se aproxima a un lmite el cual es A (medida del rea de la regin ).
1i
x ixic
)(cf i
a b
(x)fy
y
x
x
ic
)(cf i
a b
(x)fy
y
x
x1c ..
)(cf1
7/26/2019 apuntes de calculo II
80/360
DEFINICIN:Si f es continua en el intervalo [ a , b ] con f (x) 0 ,
x [ a , b ] y es la regin acotada por la curva y = f (x) , Eje x ,
x = a , x = b. Dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos cada uno
de longitud: nabx
y denotamos el i-esimo subintervalo por
[ xi1 , xi ] entonces si f (ci ) es valor mnimo absoluto de f en este
intervalo. La medida del rea de la regin esta dada por:
b
a
n
1i
in
dx(x)fx)(cfLimA
2.3.APROXIMACIN DEL REA DE UNA REGIN POR REAS DE
RECTNGULOS CIRCUNSCRITOS
El procedimiento es similar al anterior solo que en este caso tomamos
como altura de los rectngulos el valor mximo de f en cada subintervalo
por lo tanto:
_b
a
n
1i
in
dx(x)fx)(dfLimA
A = rea de la regin
f (di) = valor mximo absoluto de f
NOTA: En conclusin la medida del rea de la regin es la misma si se
calcula tomando los rectngulos inscritos o circunscritos es decir:
_
b
a
b
a dx(x)fdx(x)fA
y
x
)(df i
)(df 1
a b1d idx
....
(x)fy ASn:Donde
7/26/2019 apuntes de calculo II
81/360
PROBLEMAS
1. Encontrar el rea de la regin acotada por la curva y = x , el eje x
y la recta x = 2, tomando rectngulos inscritos y circunscritos.
Por rectngulos inscritos
Particin de [ 0 , 2 ]
x0= 0 , x1= 0 + x , x2= 0 + 2x , , xi1= 0 + (i1)x ,
xi= 0 + i x , , xn= 2
n
1i
1in
x)(xfLimA (1)
f representa el mnimo absoluto en xi1y seria f (xi1 )
xi1= (i1)x
f (x) = x
f (xi1 ) = [ (i1)x ]
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i x)1i(x]x)1i([x)(xf
n
1i
2
3
n
1i
32n
1i
1i )1i(n
8)
n
2()1i(x)(xf
n
1i3
n
1i3
n
1i
2
3
n
1i
2
3
n
1i
1i 1n
8i
n
16i
n
8)1i2i(
n
8x)(xf
(n)n
8]
2
1)(nn[
n
16]
6
1)(2n1)(nn[
n
8x)(xf
333
n
1i
1i
1ix ix 20x
y
2xy
7/26/2019 apuntes de calculo II
82/360
222
n
1i
1in
8]
n
1)(n[8]
n
1)(2n1)(n[
3
4x)(xf
22
n
1i
1in
8)
n
1
n
1(8)
n
12()
n
11(
3
4x)(xf
)n
1(8)
n
12()
n
11(
3
4x)(xf
n
1i
1i
(2)
Reemplazando (2) en (1):
])0(8)2()1(3
4[])
n
1(8)
n
12()
n
11(
3
4[LimA
n
3
8
A u
Por rectngulos circunscr itos
n
1i
in
x)(xfLimA (1*)
f representa un valor mximo absoluto en xiy es f (xi)
xi= i x
f (x) = x
f (xi ) = [ i x ]
n
1i
2
3
n
1i
32n
1i
32n
1i
2n
1i
i in
8)
n
2(ixix]xi[x)(xf
)n
12()
n
11(
3
4]
6
1)(2n1)(nn[
n
8x)(xf
3
n
1i
i
(2*)
Reemplazando (2*) en (1*):
1ix ix 20x
y
2xy
7/26/2019 apuntes de calculo II
83/360
)2()1(3
4])
n
12()
n
11(
3
4[LimA
n
3
8A u
2. Encontrar el rea de la regin sobre el eje x y a la izquierda de x = 1,
acotada por la curva y = 4x , el eje x y x = 1
Particin de [2 , 1 ] => [2 , 0 ] , [ 0 , 1 ]
Por rectngulos inscritos
En [2 , 0 ] la particin es: x0=2 , x1=2 + x , x2=2 + 2x , , xi1=2 + (i1) x , xi=2 + i x , , xn= 0
n
1i
1in
1 x)(xfLimA (1)
En [ 0 , 1 ] la particin es: x0= 0 , x1= 0 + x , x2= 0 + 2x ,
, xi1= 0 + (i1) x , xi= 0 + i x , , xn= 1
n
1i
in
2 x)(xfLimA (2)
A = A1+ A2 (3)
En [2 , 0 ] :
xi1=2 + (i1)x
f (x) = 4x
f (xi1 ) = 4[2 + (i1)x ] f (xi1 ) = 4[ 44 (i1)x + (i1) x ]
y
x22 10
2x4y
4
7/26/2019 apuntes de calculo II
84/360
f (xi1 ) = [ 4 (i1)x(i1) x ]
n
1i
22n
1i
1i x]x)1i(x)1i(4[x)(xf
n
1i
322n
1i
1i ]x)1i(x)1i(4[x)(xf
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i x)1i(x)1i(4x)(xf
n
1i
32n
1i
2n
1i
1i )n
2()1i()
n
2()1i(4x)(xf
n
1i
23
n
1i2
n
1i
1i )1i(n
8)1i(
n
16x)(xf
n
1i
2
3
n
1i2
n
1i
1i )1i2i(n
8)1i(
n
16x)(xf
n
1i3
n
1i3
n
1i
2
3
n
1i2
n
1i2
n
1i
1i 1n
8i
n
16i
n
81
n
16i
n
16x)(xf
(n)n
8]
2
1)(nn[
n
16
]6
1)(2n1)(nn
[n
8
(n)n
16
]2
1)(nn
[n
16
x)(xf
33
322
n
1i1i
)
n
1(8
)n
1
n
1(8)
n
1(2)
n
1(1
3
4)
n
1(16)
n
1(18x)(xf
2
2
n
1i
1i
)n
1(8)
n
12()
n
11(
3
4)
n
1(18x)(xf
n
1i
1i
(4)
Reemplazando (4) en (1):
])n
1(8)
n
12()
n
11(
3
4)
n
1(18[LimA
n1
388)0(8)2()1(
34)1(8A1
7/26/2019 apuntes de calculo II
85/360
3
16A1 u (1*)
En [ 0 , 1 ] :
xi= i x
f (x) = 4x
f (xi ) = 4[ i x ]
f (xi ) = [ 4i x ]
n
1i
32n
1i
22n
1i
i ]xix4[x]xi4[x)(xf
n
1i
32n
1i
n
1i
32n
1i
n
1i
i )n1(i)
n1(4xix4x)(xf
]6
1)(2n1)(nn[
n
1)n(
n
4i
n
11
n
4x)(xf
3
n
1i
2
3
n
1i
n
1i
i
)n
12()
n
11(
6
14x)(xf
n
1i
i
(5)
Reemplazando (5) en (2):
3
14)2()1(
6
14])
n
12()
n
11(
6
14[LimA
n2
3
11A2 u (2*)
Reemplazando (1*) y (2*) en (3):
3
27
3
11
3
16
A
9A u
3. LA INTEGRAL DEFINIDA (INTEGRAL DE RIEMANN)
DEFINICIN:Si f es continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ] y si P dada
por P = { x0, x1, x2, , xn} es una particin del intervalo [ a , b ] entonces:
n
1iii
0p
x)_x(fLimdx(x)f
b
a
Si el lmite existe y es finito donde:
7/26/2019 apuntes de calculo II
86/360
n
1iii x)
_x(f es llamada Suma de Riemann
}n,.. .2,1,i/xxx{MaxP 1iii
i
_
x = Es un nmero arbitrario en el i-esimo intervalo [ xi1, xi]
NOTA:
La ventaja de la aproximacin dad por la Suma de Riemann cuando f es
continua, esta en la libertad de elegir los i_x que pertenecen al i-esimo
intervalo [ xi1 , xi] tal es as que puede elegirse a i_x como el promedio del
subintervalo [ xi1, xi] es decir:
2
xxx 1iii_
OBSERVACIONES:
1. Si la P 0 entonces el nmero de rectngulos tiende al infinito
n + , de esto se deduce:
n
1iii
nx)
_x(fLimdx(x)f
b
a
Donde:
a = Lmite inferior
b = Lmite superior
2.
Al valor comn de las integrales superior e inferior se da el nombre de
Integral Definida (Riemann)y se denota por:
_b
a
b
a
b
a dx(x)fdx(x)fdx(x)f
3. ...du(u)fdt(t)fdx(x)fb
a
b
a
b
a
4.
Sea f (x) continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ]
7/26/2019 apuntes de calculo II
87/360
Si f (x) 0 , x [ a , b ] => b
adx(x)f)A(
Si f (x) 0 , x [ a , b ] =>
b
adx(x)f)A(
DEFINICIN: Si f es una funcin definida en el punto a se define la
integral: 0dx(x)fa
a
PROPOSICIN: Si f es una funcin continua en el intervalo I = [ a , b ]
entonces f es integrable en I.
3.1.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f es integrable en [ a , b ] y k es constante entonces
b
a
b
a dx(x)fkdx(x)fk
b
adx(x)f)A(
x
y
(x)fy
a b
b
adx(x)f)A(
x
y
(x)fy
a b
(x)fy
7/26/2019 apuntes de calculo II
88/360
2. Si k es constante; f (x) = k , x [ a , b ]
)ab(kdxkdx(x)fb
a
b
a
3. Si c [ a , b ] , f es integrable sobre [ a , c ] y [ c , b ] f es
integrable sobre [ a , b ] y se tiene
b
c
c
a
b
a dx(x)fdx(x)fdx(x)f
4. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] entonces
b
a
b
a
b
a dx(x)gdx(x)fdx](x)g(x)f[
5.
Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] y f (x) 0 , x [ a , b ]
entonces:
0dx(x)fb
a
6. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] y f (x) g (x)
g (x) f (x) , x [ a , b ] entonces:
b
a
b
a dx(x)gdx(x)f
b
a
b
a dx(x)fdx(x)g
respectivamente
7. Si f es integrable sobre el intervalo [ A , B ] y si a, b [ A , B ] tal que
b < a
a
b
b
a dx(x)fdx(x)f
8. Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] => f es integrable sobre
[ a , b ] y se tiene:
b
a
b
adx(x)fdx(x)f
9. Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , m y M son respectivamente
los valores mnimo absoluto y mximo absoluto de f en el
intervalo [ a , b ] tal que m f (x) M , x [ a , b ]
7/26/2019 apuntes de calculo II
89/360
)ab(Mdx(x)f)ab(mb
a
10.
TEOREMA:Si f esta definida sobre [ a , b ] , si g es integrable sobre[ a , b ] y f (x) = g (x) para todo excepto un nmero finito de puntos
en x [ a , b ] => f (x) es integrable sobre el intervalo [ a , b ]
b
a
b
a dx(x)gdx(x)f
11. INVARIANCIA FRENTE A UNA TRASLACIN: Si f es
integrable sobre [ a , b ] => cualquier c R, se tiene:
cb
ca
b
a dxc)(xfdx(x)f
cb
ca
b
a dxc)(xfdx(x)f
12. DILATACIN O CONTRACCIN DEL INTERVALO DE
INTEGRACIN: Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces para
cualquier nmero real c 0, se tiene que:
cb
ca
b
a dx)
c
x(f
c
1dx(x)f
b/c
a/c
b
a dx(cx)fcdx(x)f
13. Si f es seccionalmente continua sobre [ a , b ] entonces f es integrable
sobre [ a , b ]
m
M
(x)fy
y
xa b
)ab(m )ab(M
7/26/2019 apuntes de calculo II
90/360
b
x
x
x
x
a
b
a 23
2
12
1
1
dx(x)fdx(x)fdx(x)fdx(x)f
4. T
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