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INTRODUCCIÓN
A continuación se trabajaran diferentes ejercicios con el fin de poner en prácticalos temas tratados en la unidad # ! as" lorar $ue se comprendan los principios%le!es ! propiedades de las relaciones ! funciones% los campos de aplicación ! lasparticularidades $ue tiene la amplia ama de funciones& As" mismo% se estudiaranlas funciones trionom'tricas% (l estudio de la trionometr"a se centra en elestudio de los Triánulos% la palabra se deri)a del ! metres de medicirieoTrionom $ue sinifica Triánulo&
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O*+(TI,O-
.lantear alternati)as de solución de las /unciones% Trionometr"a e0ipernometr"a ! sus propiedades&
Identificar los fundamentos de las /unciones% Trionometr"a e
0ipernometr"a&
(1plicar ! anali2ar los fundamentos de las /unciones% Trionometr"a e
0ipernometr"a&
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Resol)er cada uno de los siuientes problemas propuestos3
4& Determine el dominio de la función fx=√ 4 x−3
x2−4 Respuesta de la
estudiante 5ar"a Alejandra 5antilla 6ambrano&
-olución3 Se debe verfificar que4 x−3≥0 x
≠−2 x ≠2
oseax≥ 3
4 x≠2,entonces , el dominio dela funciónesDf =¿∪(2,∞)
& Determine el rano de la función fx= x+6
√ x−5 Respuesta de la estudiante
5ar"a Alejandra 5antilla 6ambrano&
-olución3 y=
x+6
√ x−5=fx ,entonces,
y2=( x+6√ x−5 )
2
=( x+6 )2
x−5 Entonces ,
( x−5 ) y 2=( x+6 )2→ x2+12 x+36=( x−5) y2
o sea que al trasponer los terminos dela derecha haciala izquierda , se obtiene
laecuación de seundo rado en
x : x2+(12− y2 ) x+36+5 y2=0o seaque
x=−(12− y2 )!√ (12− y2 )
2
−4 (1)(36+5 y2)2(1)
x=−12+ y2 !√ 144−24 y2+ y4−144−20 y2
2
x=−12+ y2
!√ y4
−44 y2
2
que se verifica si y solosi y4−44 y2≥0
o sea si y2 ( y2−44 ) ≥0 y como y2≥04 y∈ " ,entonces ,
basta con que y2−44≥0
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loque se verifica si y solo si
( y+√ 44 ) ( y−√ 44 )≥0,o seasi,
( y+2√ 11 ) ( y−2√ 11 )≥0
i¿ y+2√ 11≥0 y−2√ 11≥0ó
ii¿ y+2√ 11#0 y−2√ 11#o sea si
i¿ y−2√ 11 y ≥2√ 11ó si
ii¿ y #−2√ 11 y
#2√ 11
i¿ s1= [2√ 11,∞ )ó ii¿ s2=¿
$ero y ≥0 ∀ x en el dominiode la función, por lo tanto ,
el ranode la función est% dado por
s1= 2 √ 11 , ∞) o sea el rano dela función es
"f =¿
3. Dadas las funciones & ( x )=2 x−1
2' ( x )= x2+2 Determine
a¿( f +)(2)b¿( f −)(2 ) c ¿( fx)(3 )d ¿( f / )(−3) Respuesta del estudiante 7uis Alberto
*ola8os
¿( 2 x+12 −( x2+2 ))(2 )
¿(2 x+1−2 ( x
2
)2 ) (2 )
¿( 2 (2 )+1−2( (2 )2+2)
2 )
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¿(3−2 (6 )2 )
¿
(
3−12
2
)(f −)(2)=
9
2
c ¿(f ∗)(3)
¿(2 x−
1
2 −( x2
+2)) (3 )
¿(2 x−1−2 ( x2+2 )
2 ) (3 )
¿( 2 (3 )−1−2 ( (3 )2+2)
2 )
¿(6−1−2 (9+2 )2 )
¿(9(11)2 )
(fx )(3 )=99
2
d ¿( f )(−3 )
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¿( 2 x−1
2
( x2+2))(3 )
¿( 2 x−1
2
( x2+1)1 ) (3 )
¿( 2 x+12( x2+2)) (3 )
¿( 2 (−3 )+12((−3 )2+2) )
¿( −52 (11) )
( f )(−3 )=−522
4. Dadas las funciones f ( x )=√ x+2' ( x )= x2+1 Determine
a¿ (f ( ) x b¿ ( ( f ) ( x ) c ¿ (f + )( x ) d ¿ ( f − )( x ) Respuesta del estudiante 7uis Alberto
*ola8os
a¿ (f ( ) x
( &o )( x )=f (( x ))
¿ f ( x2−1 )+2
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( &o )( x )=√ x2+1
b¿ ( ( f )( x )
(( f )( x )= (f ( x ) )
¿ (√ x+2 )
(√ x+22)−1
¿ x+2−1
(( f )( x )= x+1
c ¿ ( f + )( x )
(f + )( x )=f ( x )+ ( x )
¿√ x+2+ x2−1
(f + )( x )= x2+√ x+2−1
d ¿ (f − )( x )
(f − )( x )=f ( x )− ( x )
¿√ x+2−( x2−1)
(f − )( x )=√ x+2+1− x2
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9& ,erifi$ue la siuiente identidad3 Respuesta de la estudiante 5ar"a /ernanda5antilla
2 senx cosx−cosx
1−sex+sen2 x−cos2 x=cotx
2 senx cosx−cosx
1−sex+sen2 x−cos2 x=cotx
2 senx cosx−cosx
sen2 x+cos2−senx+sen2 x−cos2 x
=cotx
2 senx cos x−cosx
sen2 x−senx+sen2 x
=cotx
cosx (2 senx−1 )senx (2 senx−1 )
=cotx
cosx
senx=cotx
cotx=cotx
:& Demuestre la siuiente identidad% usando las definiciones de las di)ersasidentidades ;iperbólicas fundamentales3
tanh2 x
1−tanh2 x=senh2 x
tanhxsech
2 x=senh2 x
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tanhx
1
1
cosh2 x
=senh2 x
tanhx cosh2=senh2 x
senhx
coshx∗cosh2 x=senh2 x
senhx coshx=senh2 x
= metros
de altura% desciende == metros ;asta tocar tierra en un luar A& ?Con $ueánulo descendió@ ?u' distancia ;a! entre la base del edificio ! el luar A@ Respuesta dada por el estudiante 7uis Alberto 5onto!a
a) cos)=
100m
200m
cos)=0,5)=cos−1(0,5)
)=60(
¿90 (−60 (
#30 (
X
200 m
40
m
60
¿?
60°
A
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b¿a2+b2=c2
(200m )2−¿ (100m )2
x=√ ¿
x=√ 40000m2−10000m2
x=√ 30000m2
x=173,205m
B& Desde lo alto de un lobo se obser)a una ciudad A con un ánulo de 9=% !otra ciudad *% situada al otro lado ! en l"nea recta% con un ánulo de :=&-abiendo $ue el lobo se encuentra a una distancia de : ilómetros de laciudad A ! a > ilómetros de la ciudad *& Determine la distancia entre las
ciudades A ! *& Respuesta de la estudiante 5a!ra Alejandra *arbosa
X
64
5060°
XAXB
B A
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x= x*+ x+
x*=(cos50 ( ) (6 m )=3,86 m
x+= (cos60( ) (4 m)=2 m
x=3,86 m+2 m=5,86 m
E& (ncuentre el )alor de 1 $ue satisface la siuiente ecuación para ánulosentre =F 1 F G:=& Respuesta de la estudiante 5a!ra Alejandra *arbosa
2cos2 x+√ 3Sen x=1
√ 3Senx=−1−2cos2 x
√ 3Sen x+1=−1−2cos2 1 H4
¿− (1+2cos2 x−1 )
√ 3Sen x+1=−(1+cos2 x )
√ 3Sen x+1=−1−cos2 x
√ 3Sen x+2=−cos2 x
√ 3Sen x+2=−[cos2 x−Sen2 x ]
¿− [1−Sen2 x−Sen2 x ]
√ 3Senx+2=1+2Sen2 x
2Sen2 x−√ 3Sen x−1=0→ "ealizandouna r%ficaencontramos los valoresde x paralos cuales laecu
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x1=203,33
x2=336,66