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INTRODUCCIÓN

 A continuación se trabajaran diferentes ejercicios con el fin de poner en prácticalos temas tratados en la unidad # ! as" lorar $ue se comprendan los principios%le!es ! propiedades de las relaciones ! funciones% los campos de aplicación ! lasparticularidades $ue tiene la amplia ama de funciones& As" mismo% se estudiaranlas funciones trionom'tricas% (l estudio de la trionometr"a se centra en elestudio de los Triánulos% la palabra se deri)a del ! metres de medicirieoTrionom $ue sinifica Triánulo&

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O*+(TI,O-

.lantear alternati)as de solución de las /unciones% Trionometr"a e0ipernometr"a ! sus propiedades&

Identificar los fundamentos de las /unciones% Trionometr"a e

0ipernometr"a&

(1plicar ! anali2ar los fundamentos de las /unciones% Trionometr"a e

0ipernometr"a&

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Resol)er cada uno de los siuientes problemas propuestos3

4& Determine el dominio de la función fx=√ 4 x−3

 x2−4   Respuesta de la

estudiante 5ar"a Alejandra 5antilla 6ambrano&

-olución3 Se debe verfificar que4 x−3≥0 x

≠−2 x ≠2

oseax≥  3

4 x≠2,entonces , el dominio dela funciónesDf =¿∪(2,∞)

& Determine el rano de la función fx= x+6

√  x−5  Respuesta de la estudiante

5ar"a Alejandra 5antilla 6ambrano&

-olución3 y=

 x+6

√  x−5=fx ,entonces,

 y2=(   x+6√  x−5 )

2

=( x+6 )2

 x−5  Entonces ,

( x−5 ) y 2=( x+6 )2→ x2+12 x+36=( x−5) y2

o sea que al trasponer los terminos dela derecha haciala izquierda , se obtiene

laecuación de seundo rado en

 x : x2+(12− y2 ) x+36+5 y2=0o seaque

 x=−(12− y2 )!√ (12− y2 )

2

−4 (1)(36+5  y2)2(1)

 x=−12+ y2 !√ 144−24 y2+ y4−144−20 y2

2

 x=−12+ y2

!√  y4

−44  y2

2

que se verifica si y solosi y4−44 y2≥0

o sea si y2 ( y2−44 ) ≥0 y como y2≥04  y∈ " ,entonces ,

basta con que y2−44≥0

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loque se verifica si y solo si

( y+√ 44 ) ( y−√ 44 )≥0,o seasi,

( y+2√ 11 ) ( y−2√ 11 )≥0

i¿ y+2√ 11≥0 y−2√ 11≥0ó

ii¿  y+2√ 11#0 y−2√ 11#o sea si

i¿ y−2√ 11 y ≥2√ 11ó si

ii¿ y #−2√ 11 y

#2√ 11

i¿ s1= [2√ 11,∞ )ó ii¿ s2=¿

 $ero y ≥0 ∀ x en el dominiode la función, por lo tanto ,

el ranode la función est% dado por

s1= 2 √ 11 , ∞) o sea el rano dela función es

 "f =¿  

3. Dadas las funciones   & ( x )=2 x−1

2' ( x )= x2+2 Determine

a¿( f +)(2)b¿( f −)(2 ) c ¿( fx)(3 )d ¿( f / )(−3)  Respuesta del estudiante 7uis Alberto

*ola8os

¿( 2 x+12   −( x2+2 ))(2 )

¿(2 x+1−2 ( x

2

)2   ) (2 )

¿( 2 (2 )+1−2( (2 )2+2)

2   )

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¿(3−2 (6 )2   )

¿

(

3−12

2

  )(f −)(2)=

9

2

c ¿(f ∗)(3)

¿(2 x−

1

2   −( x2

+2)) (3 )

¿(2 x−1−2 ( x2+2 )

2   ) (3 )

¿( 2 (3 )−1−2 ( (3 )2+2)

2   )

¿(6−1−2 (9+2 )2   )

¿(9(11)2   )

(fx )(3 )=99

2

d ¿( f  )(−3 )

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¿( 2  x−1

2

( x2+2))(3 )

¿( 2 x−1

2

( x2+1)1 ) (3 )

¿(   2 x+12( x2+2)) (3 )

¿(   2 (−3 )+12((−3 )2+2) )

¿(   −52 (11) )

( f  )(−3 )=−522

4. Dadas las funciones f  ( x )=√  x+2' ( x )= x2+1 Determine

a¿ (f ( ) x b¿ ( ( f  ) ( x ) c ¿ (f + )( x ) d ¿ ( f − )( x )  Respuesta del estudiante 7uis Alberto

*ola8os

a¿ (f ( ) x

( &o )( x )=f  (( x ))

¿ f  ( x2−1 )+2

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( &o )( x )=√  x2+1

b¿ ( ( f  )( x )

(( f  )( x )= (f  ( x ) )

¿ (√  x+2 )

(√  x+22)−1

¿ x+2−1

(( f  )( x )= x+1

c ¿ ( f  + )( x )

(f + )( x )=f  ( x )+ ( x )

¿√  x+2+ x2−1

(f + )( x )= x2+√  x+2−1

d ¿ (f − )( x )

(f  − )( x )=f  ( x )− ( x )

¿√  x+2−( x2−1)

(f − )( x )=√  x+2+1− x2

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9& ,erifi$ue la siuiente identidad3 Respuesta de la estudiante 5ar"a /ernanda5antilla

2 senx cosx−cosx

1−sex+sen2 x−cos2 x=cotx

2 senx cosx−cosx

1−sex+sen2 x−cos2 x=cotx

2 senx cosx−cosx

sen2 x+cos2−senx+sen2 x−cos2 x

=cotx

2 senx cos x−cosx

sen2 x−senx+sen2 x

=cotx

cosx (2 senx−1 )senx (2 senx−1 )

=cotx

cosx

senx=cotx

cotx=cotx

:& Demuestre la siuiente identidad% usando las definiciones de las di)ersasidentidades ;iperbólicas fundamentales3

tanh2 x

1−tanh2 x=senh2 x

tanhxsech

2 x=senh2 x

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tanhx

1

1

cosh2 x

=senh2 x

tanhx cosh2=senh2 x

senhx

coshx∗cosh2 x=senh2 x

senhx coshx=senh2 x

= metros

de altura% desciende == metros ;asta tocar tierra en un luar A& ?Con $ueánulo descendió@ ?u' distancia ;a! entre la base del edificio ! el luar  A@ Respuesta dada por el estudiante 7uis Alberto 5onto!a

a)  cos)=

100m

200m

cos)=0,5)=cos−1(0,5)

)=60(

¿90 (−60 (

#30 (

 X

200 m

40

m

60

¿?

60°

A

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b¿a2+b2=c2

(200m )2−¿ (100m )2

 x=√ ¿

 x=√ 40000m2−10000m2

 x=√ 30000m2

 x=173,205m

B& Desde lo alto de un lobo se obser)a una ciudad A con un ánulo de 9=% !otra ciudad *% situada al otro lado ! en l"nea recta% con un ánulo de :=&-abiendo $ue el lobo se encuentra a una distancia de : ilómetros de laciudad A ! a > ilómetros de la ciudad *& Determine la distancia entre las

ciudades A ! *& Respuesta de la estudiante 5a!ra Alejandra *arbosa

X

64

5060°

XAXB

B A

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 x= x*+ x+

 x*=(cos50 ( ) (6 m )=3,86 m

 x+= (cos60( ) (4 m)=2 m

 x=3,86 m+2 m=5,86 m

E& (ncuentre el )alor de 1 $ue satisface la siuiente ecuación para ánulosentre =F 1 F G:=& Respuesta de la estudiante 5a!ra Alejandra *arbosa

2cos2 x+√ 3Sen x=1

√ 3Senx=−1−2cos2 x

√ 3Sen x+1=−1−2cos2  1 H4

¿− (1+2cos2 x−1 )

√ 3Sen x+1=−(1+cos2 x )

√ 3Sen x+1=−1−cos2 x

√ 3Sen x+2=−cos2 x

√ 3Sen x+2=−[cos2 x−Sen2 x ]

¿− [1−Sen2 x−Sen2 x ]

√ 3Senx+2=1+2Sen2 x

2Sen2 x−√ 3Sen x−1=0→ "ealizandouna r%ficaencontramos los valoresde x paralos cuales laecu

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 x1=203,33

 x2=336,66