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Índice
Enunciado del Problema....................................................................2
Solución.............................................................................................3
Grados de Libertad Nodales..............................................................4
Vector Carga......................................................................................5
Matri de !igide................................................................................"
Ecuación de !igide # Condición de Contorno..................................$
Es%ueros...........................................................................................&
!esultados........................................................................................''
(iagrama de )lu*o.............................................................................'2
+so de Matlab...................................................................................'3
Conclusiones................................................................................... '"
1
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SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION CON DEFORMACION TERMICA)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
(ado la siguiente ,laca triangular- cu#o es,esor es constante- t'5/mm-
calcular los es%ueros en cada elemento %inito # la reacción en el a,o#o
considerando 0ue 1a# incremento de tem,eratura de '2/C. +tiliar n
elementos %initos.
Considerar:
P 5/N
t es,esor6 '5/ mm
E 3./7'/5 N8mm2
9 $./gr:%8cm3 "$-457'/:; N8mm3
< ''='/:; C:'
2
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SOLUCION:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran 3 elementos %initos. Para %acilitar los c>lculos los elementos
%initos tendr>n longitud de '25- '25 - '25- '25 -25/ # 25/mm.
? los es,esores lo calculamos tomando el ,unto medio de cada elemento
%inito@
La base de cada elemento %inito
( )
5.1872
375
5.5622
375750
75.8432
5.937750
25.10312
5.9371125
75.1218
2
11255.1312
25.14062
5.13121500
6
5
4
3
2
1
==
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
b
b
b
mmb
mmb
mmb
3
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Entonces- el modelado del cuer,o serAa el siguiente@
? las >reas se calculan de la siguiente relación@
t xb A11=
Cuadro de conectiBidad@
e
N(S G(L le
mm6
e
mm26'6 26 ' 2
' ' 2 ' 2 '25 2'/&3$2 2 3 2 3 '25 '$2$'33 3 4 3 4 '25 '54;$$4 4 5 3 4 '25 '2;5;3
5 5 ; 5 ; 25/ $43"5; ; " ; " 25/ 2$'25
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (ec!"# De$%&''ien!")
traBDs del gra%ico se muestran los grados de libertad nodales globales@
4
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Luego el Bector de des,laamiento ser>@
(onde ' / ,ues la ,laca esta em,otrada # los dem>s des,laamientos
son incógnitas 0ue tendr>n 0ue ser calculadas.
*. ECTOR CARGA
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) N T A E
Axl y F
N T A E Axl y
F
N T A E Axl y
F
N T A E Axl y F
N T A E P Axl y
F
N T A E Axl y
F
N T A E Axl y
F
N T A E Axl y
F
N T A E
Axl y
F
N T A E Axl y
F
N T A E Axl y
F
N RT A E R Axl y
F
801.275)***(2
801.275)***(2
402.827)***(2
402.827)***(2
6.50620)***(2
554.620)***(2
455.758)***(2
455.758)***(2
355.896)***(2
355.896)***(2
1034)***(2
1034)***(2
6
66
7
6
66
6
5
55
6
5
55
5
4
44
5
4
44
4
3
33
4
3
33
3
2
22
3
2
22
2
1
11
2
11111
1
=∆+=
=∆−=
=∆+=
=∆−=
=∆−+=
=∆−=
=∆+=
=∆−=
=∆+=
=∆−=
=∆+=
+=∆−+=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
5
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( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) N T A E
Axl y F F
N T A E Axl y Axl y
F F F
N T A E P
Axl y Axl y
F F F
N T A E Axl y Axl y
F F F
N T A E Axl y Axl y
F F F
N T A E Axl y Axl y
F F F
N RT A E R Axl y
F F
801.275)***(2
2.1103)***(22
51448)***(22
01.1379)***(22
81.1654)***(22
36.1930)***(22
11034)***(12
5
26
77
5
326
6
5
66
4
325
5
4
55
4
324
4
3
44
3
323
3
2
33
2
212
2
1
22
1
11
11
=∆−==
=∆−+=+=
=∆−++=+=
=∆−+=+=
=∆−+=+=
=∆−+=+=
+=∆−+==
α
α
α
α
α
α
α
[ ] N
F
F
F
F
F
F
F
F
=
=
7
6
5
4
3
2
1
1
6
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7
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naliando las %ueras en cada elemento %inito@
1ora analiamos las %ueras ,ara todo el cuer,o@
8
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Entonces- el Bector carga se e7,resarAa de la siguiente manera
9
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10
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http://slidepdf.com/reader/full/2cef 11/26
1ora analiamos las %ueras ,ara todo el cuer,o@
Entonces- el Bector carga se e7,resarAa de la siguiente manera
11
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http://slidepdf.com/reader/full/2cef 12/26
+. MATRI, DE RIGIDE,
continuación ,asamos a calcular la matri de !igide Global- 0ue esta
determinada ,or la siguiente ecuación@
!eem,laando ,ara los Balores calculados # utiliando la tabla de
conectiBidad obtenemos@
12
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http://slidepdf.com/reader/full/2cef 13/26
)inalmente@
13
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mm
N x K
i
−
−−
−−
−−
−−
−
=∫
75.9375.930000
75.9325.6565.562000
05.56275075.46800
0075.468187525.14060
00025.1406337575.1968
000075.196875.1968
105
-. ECUACIONES DE RIGIDE, CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigide est> determinada ,or la siguiente ecuación@
∫ ∫ = Q K F
ii
Lo 0ue con nuestros Balores calculados tenemos@
14
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−
−− −−
−−
−−
−
=
6
5
4
3
2
5
0
75.9375.930000
75.9325.6565.562000
05.56275075.46800
0075.468187525.14060
00025.1406337575.1968
000075.196875.1968
10
Q
Q
Q
x
Para obtener los des,laamientos tomamos la siguiente submatri@
15
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09.3403272
38.6806838
75.6807426
77.8530202
53.10213346
−−−
−−
−−
−
=
6
5
4
3
2
5
75.9375.93000
75.9325.6565.56200
05.562187525.14060
0025.140633755.1968
00075.19683375
10
Q
Q
Q
Q
Q
x
!esolBiendo este sistema de ecuaciones obtenemos@
mmQ
mmQ
mmQ
mmQ
mmQ
1.32021
1.01952
0.81685
0.70517
0.31258
6
5
4
3
2
=
=
=
=
=
? ,ara obtener la reacción en el em,otramiento tómanos la siguiente
submatri@
16
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[ ] [ ]
−=+−
6
5
4
3
2
5
1
0
000075.196875.19681077.35730495
Q
Q
Q
Q
Q
x R
!esolBiendo obtenemos@
N R 7.06421000-1=
/. ESFUER,OS
Para calcular los Balores de los es%ueros ,or elemento- a,licamos la
siguiente ecuación@
[ ] T EQQ
l
E e
i
i
e
e ∆−
+−
= )(
111 α σ
(onde@
T E e
∆)( α 3='/5
=''='/:;
6=''/3;3 2mm
N
? obtenemos lo siguiente@
17
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[ ] 21
1
5
1 0.09852773630.31258
0
11250
103
mm
N x
=→−
−
= σ σ
[ ] 22
2
5
2 0.1143943630.70517
0.31258
11250
103
mm
N x
=→−
−
= σ σ
[ ] 23
3
5
3 0.0170043630.81685
0.70517
11667.166
103
mm
N x
=→−
−
= σ σ
[ ] 24
3
5
4 0.010899363
1.01952
0.8168511
667.166
103
mm
N x
=→−
−
= σ σ
18
7/17/2019 2CEF
http://slidepdf.com/reader/full/2cef 19/26
[ ] 25
3
5
5 0.0065393631.32021
1.01952
11667.166
103
mm
N x
=→−
−
= σ σ
0. RESULTADOS)inalmente- los resultados son mostrados en la siguiente tabla@
N R 7.06421000-1 =
21 0.0985277mm
N =σ
22 0.114394mm
N =σ
23
0.017004mm
N =σ
24 0.010899
mm
N =σ
25 0.006539mm
N =σ
. DIAGRAMA DE FLUO
FNFCF
FNG!ES (E (SCNSNES @ E- %- t- H
VEC!ES@ L- - P
19
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CLC+L (E VEC!ES
)
++
+
+
2
22
22
2
3
23
12
1
1
γ
γ γ
γ γ
γ
AL
P AL AL
AL AL
R
AL
A
I
−
−+−
−+−
−
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
00
0
0
00
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
!)!MCFN (E EC+CFN M!FCFL
++
+
2
22
22
2
3
23
12
1
γ
γ γ
γ γ
γ
AL
P AL AL
AL AL
AL
A
−
−+−
−+
−−
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
00
0
00
001
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
6
5
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
R
FMP!ESFJN (E !ES+L(S
54321654321 ,,,,,,,,,, Esf Esf Esf Esf Esf QQQQQ R
)FN
3. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
clcKconstantes%ormat longIE 3/////I
%$=&.$'='/:;6I
20
7/17/2019 2CEF
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t'5/Idt''/I7''='/:;6I
Kcondicion de contornocontorno'I nin,ut OFngrese el N de elementos %initos de la ,rimera ,arte n6 @O6Imin,ut OFngrese el N de elementos %initos de la segunda ,arte m6 @O6I Kcalculo de numero de nodosnnodos'@nm'IKcalculo del Bector LL5//8n6.=ones'-n6-5//8m6.=ones'-m6Kcalculo del Bector QQN''2//:3//8n@:;//8n@;//3//8nIQN2;//:3//8m@:;//8m@/3//8mI
1QN'-QN2Kcalculo del Bector PPeros'-nm'6IPn'6'////Kcalculo del Bector 1 t.=1IKCalculo del Bector %uera masica,esoe%=/.5.=.=LI,esoglobal,esoe-//-,esoeKcalculo del Bector %uera,or de%ormacion termicadtele7=dt=E6.=Idtglobal:dtele-//-dteleKcalculo de Bector %uera total
),esoglobalPdtglobalKCalculo de la matri de rigideReleE.=.8LIRglobaldiagRele-//-Rele6:diagRele-'6:diagRele-:'6Kresolucion de la ecuacion matricial ).Kintroduccion de las condiciones de contornonconsetdi%%nnodos-contorno6IMRglobalncon-ncon6I)M)ncon6IMinBM6=)M6OIKcalculo de los de,laamientoserossiennodos-26-'6Incon6M
Kcalculo de es%ueroses%E.=di%%66.8LO:E=7=dt!Rglobal=:)O
RESULTADO DEL PROGRAMA:
Fngrese el N de elementos %initos de la ,rimera ,arte n6@2
Fngrese el N de elementos %initos de la segunda ,arte m6@3
21
7/17/2019 2CEF
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L
'./e//2 =
2.5////////////// 2.5////////////// '.;;;;;;;;;;;;;;"
'.;;;;;;;;;;;;;;" '.;;;;;;;;;;;;;;"
4
'/5/ "5/ 5// 3// '//
P / / '//// / / /
%e$"5&"6'&
'./e//3 =
'.545/"5/ 2.;4$"/ '.5&4'25/ /."$4$/ /.3&24/ /./&$'//
d!5&"6'&
:5"'"25// ';335/// '3;'25// '/$&//// '/$&//// 5445///
F
'./e//" =
:5."'"/&54&25 '.;33";4$" '.3;24/&4'25 './$&/"$4$ './$&/3&24
/.5445/&$'
75&"6'&
'./e//5=
22
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'$&/ :'$&/ / / / /
:'$&/ 324/ :'35/ / / /
/ :'35/ 2"// :'35/ / /
/ / :'35/ 2';/ :$'/ /
/ / / :$'/ '/$/ :2"/
/ / / / :2"/ 2"/
8
/
/.3/25$2'/;4$'4$'
/.;/5'""435555555
/.$/;$5354$$$$$$&
'.//$52;2"'''''''
'.2'/'&;5"'''''''
e$9
/./&$52""""""""4"
/.''43&4$$$$$$;2;
/./'"//4///////43
/./'/$&&&&&&&&&&2 /.//;53&&&&&&&&"3
R
'./e//4 =
:'. ////"/;3'&&&$&5
/.///////////'3/4
:/.///////////42$4
23
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/.////////////"45
/.///////////'4&/
:/.////////////4;;
1.CONCLUSIONES
1. La fuerza másica total del cuero e! este caso articular !o "ar#a or el !$mero de !odos. E sto ocurre ,or0ue el cuer,o es de %orma triangular. Encuer,os 0ue ,resentan geometrAas no triangulares o no rectangulares elnmero de elementos si a%ecta al c>lculo del Bolumen total.
%. La "ariaci&! de temeratura !o afecta al "alor de la reacci&!.
(e los resultados ,ara una Bariación de tem,eratura de / # ''/ gradoscentAgrados.
P'#' T;<=
8 / /./52&3& /.'2"/34 /.'2"/44 /.'2"/5/ /.'2"/53
e$9 /./;352 /./$$&' /.////' /.////''/./////;5
R './e//4 = :'.///"/;32 :/.//// /.//// :/./////.////
P'#' T;< 11
8 / /.3/25$2'/;4$'4$' /.;/5'""435555555
/.$/;$5354$$$$$$& './/$52;2"'''''''
'.2'/'&;5"'''''''
e$9 /./&$52""""""""4" /.''43&4$$$$$$;2;
/./'"//4///////43 /./'/$&&&&&&&&&&2
/.//;53&&&&&&&&"3
24
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R './e//4 = :'.///"/;32 :/.//// /.////:/.//// /.////
Se obtiene una misma !eacción :'.///"/;326 # esto sucede ,or0ue el
cuer,o tiene un solo nodo %i*o '/6. Si el cuer,o tendrAa dos nodos%i*os entonces las reacciones BariarAan ,or e%ecto de la Bariación detem,eratura.
'. Los resultados de matla( rese!ta! u! mar)e! de error e! el
cálculo dereaccio!es.
Veamos las reacciones 0ue se obtiene ,ara cinco elementos %initos
! :'. ///"/;3'&&&$&5 /.///////////'3/4
:/.///////////42$4 /.////////////"45
/.///////////'4&/ :/.////////////4;;
Se ,lantea 0ue el error se arrastra ,or los redondeos 0ue se realian en
cada una de las o,eraciones.
*. A medida que se toma mayor número de elementos finitos mejor
será el resultado encontrado, tal y como vemos en los resultados
de 3 y 4 elemento finitos
+. El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor
deformación por ende de los esfuerzos en 1000 veces más, por
tanto es muy necesario hacer un estudio con análisis con
elementos finitos a una pieza mecánica si este va a trabajar a
constantes cambios de temperatura.
25
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