2CEF

7/17/2019 2CEF

http://slidepdf.com/reader/full/2cef 1/26

Índice

Enunciado del Problema....................................................................2

Solución.............................................................................................3

Grados de Libertad Nodales..............................................................4

Vector Carga......................................................................................5

Matri de !igide................................................................................"

Ecuación de !igide # Condición de Contorno..................................$

Es%ueros...........................................................................................&

!esultados........................................................................................''

(iagrama de )lu*o.............................................................................'2

+so de Matlab...................................................................................'3

Conclusiones................................................................................... '"

1

7/17/2019 2CEF


SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA

(TRACCION CON DEFORMACION TERMICA)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

(ado la siguiente ,laca triangular- cu#o es,esor es constante- t'5/mm-

calcular los es%ueros en cada elemento %inito # la reacción en el a,o#o

considerando 0ue 1a# incremento de tem,eratura de '2/C. +tiliar n

elementos %initos.

Considerar:

P 5/N

t es,esor6 '5/ mm

E 3./7'/5 N8mm2

9 $./gr:%8cm3 "$-457'/:; N8mm3

< ''='/:; C:'

2

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SOLUCION:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran 3 elementos %initos. Para %acilitar los c>lculos los elementos

%initos tendr>n longitud de '25- '25 - '25- '25 -25/ # 25/mm.

? los es,esores lo calculamos tomando el ,unto medio de cada elemento

%inito@

La base de cada elemento %inito

( )

5.1872

375

5.5622

375750

75.8432

5.937750

25.10312

5.9371125

75.1218

2

11255.1312

25.14062

5.13121500

6

5

4

3

2

1

==

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

b

b

b

mmb

mmb

mmb

3

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Entonces- el modelado del cuer,o serAa el siguiente@

? las >reas se calculan de la siguiente relación@

t xb A11=

Cuadro de conectiBidad@

e

N(S G(L le

mm6

e

mm26'6 26 ' 2

' ' 2 ' 2 '25 2'/&3$2 2 3 2 3 '25 '$2$'33 3 4 3 4 '25 '54;$$4 4 5 3 4 '25 '2;5;3

5 5 ; 5 ; 25/ $43"5; ; " ; " 25/ 2$'25

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (ec!"# De$%&''ien!")

traBDs del gra%ico se muestran los grados de libertad nodales globales@

4

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Luego el Bector de des,laamiento ser>@

(onde ' / ,ues la ,laca esta em,otrada # los dem>s des,laamientos

son incógnitas 0ue tendr>n 0ue ser calculadas.

*. ECTOR CARGA

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( ) N T A E

Axl y F

N T A E Axl y

F

N T A E Axl y

F

N T A E Axl y F

N T A E P Axl y

F

N T A E Axl y

F

N T A E Axl y

F

N T A E Axl y

F

N T A E

Axl y

F

N T A E Axl y

F

N T A E Axl y

F

N RT A E R Axl y

F

801.275)***(2

801.275)***(2

402.827)***(2

402.827)***(2

6.50620)***(2

554.620)***(2

455.758)***(2

455.758)***(2

355.896)***(2

355.896)***(2

1034)***(2

1034)***(2

6

66

7

6

66

6

5

55

6

5

55

5

4

44

5

4

44

4

3

33

4

3

33

3

2

22

3

2

22

2

1

11

2

11111

1

=∆+=

=∆−=

=∆+=

=∆−=

=∆−+=

=∆−=

=∆+=

=∆−=

=∆+=

=∆−=

=∆+=

+=∆−+=

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

5

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( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) N T A E

Axl y F F

N T A E Axl y Axl y

F F F

N T A E P

Axl y Axl y

F F F

N T A E Axl y Axl y

F F F

N T A E Axl y Axl y

F F F

N T A E Axl y Axl y

F F F

N RT A E R Axl y

F F

801.275)***(2

2.1103)***(22

51448)***(22

01.1379)***(22

81.1654)***(22

36.1930)***(22

11034)***(12

5

26

77

5

326

6

5

66

4

325

5

4

55

4

324

4

3

44

3

323

3

2

33

2

212

2

1

22

1

11

11

=∆−==

=∆−+=+=

=∆−++=+=

=∆−+=+=

=∆−+=+=

=∆−+=+=

+=∆−+==

α

α

α

α

α

α

α

[ ] N

F

F

F

F

F

F

F

F

=

=

7

6

5

4

3

2

1

1

6

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7

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naliando las %ueras en cada elemento %inito@

1ora analiamos las %ueras ,ara todo el cuer,o@

8

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Entonces- el Bector carga se e7,resarAa de la siguiente manera

9

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10

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1ora analiamos las %ueras ,ara todo el cuer,o@

Entonces- el Bector carga se e7,resarAa de la siguiente manera

11

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+. MATRI, DE RIGIDE,

continuación ,asamos a calcular la matri de !igide Global- 0ue esta

determinada ,or la siguiente ecuación@

!eem,laando ,ara los Balores calculados # utiliando la tabla de

conectiBidad obtenemos@

12

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)inalmente@

13

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mm

N x K

i

−

−−

−−

−−

−−

−

=∫

75.9375.930000

75.9325.6565.562000

05.56275075.46800

0075.468187525.14060

00025.1406337575.1968

000075.196875.1968

105

-. ECUACIONES DE RIGIDE, CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigide est> determinada ,or la siguiente ecuación@

∫ ∫ = Q K F

ii

Lo 0ue con nuestros Balores calculados tenemos@

14

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−

−− −−

−−

−−

−

=

6

5

4

3

2

5

0

75.9375.930000

75.9325.6565.562000

05.56275075.46800

0075.468187525.14060

00025.1406337575.1968

000075.196875.1968

10

Q

QQ

Q

Q

x

Para obtener los des,laamientos tomamos la siguiente submatri@

15

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09.3403272

38.6806838

75.6807426

77.8530202

53.10213346

−−−

−−

−−

−

=

6

5

4

3

2

5

75.9375.93000

75.9325.6565.56200

05.562187525.14060

0025.140633755.1968

00075.19683375

10

Q

Q

Q

Q

Q

x

!esolBiendo este sistema de ecuaciones obtenemos@

mmQ

mmQ

mmQ

mmQ

mmQ

1.32021

1.01952

0.81685

0.70517

0.31258

6

5

4

3

2

=

=

=

=

=

? ,ara obtener la reacción en el em,otramiento tómanos la siguiente

submatri@

16

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[ ] [ ]

−=+−

6

5

4

3

2

5

1

0

000075.196875.19681077.35730495

Q

Q

Q

Q

Q

x R

!esolBiendo obtenemos@

N R 7.06421000-1=

/. ESFUER,OS

Para calcular los Balores de los es%ueros ,or elemento- a,licamos la

siguiente ecuación@

[ ] T EQQ

l

E e

i

i

e

e ∆−

+−

= )(

111 α σ

(onde@

T E e

∆)( α 3='/5

=''='/:;

6=''/3;3 2mm

N

? obtenemos lo siguiente@

17

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[ ] 21

1

5

1 0.09852773630.31258

0

11250

103

mm

N x

=→−

−

= σ σ

[ ] 22

2

5

2 0.1143943630.70517

0.31258

11250

103

mm

N x

=→−

−

= σ σ

[ ] 23

3

5

3 0.0170043630.81685

0.70517

11667.166

103

mm

N x

=→−

−

= σ σ

[ ] 24

3

5

4 0.010899363

1.01952

0.8168511

667.166

103

mm

N x

=→−

−

= σ σ

18

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[ ] 25

3

5

5 0.0065393631.32021

1.01952

11667.166

103

mm

N x

=→−

−

= σ σ

0. RESULTADOS)inalmente- los resultados son mostrados en la siguiente tabla@

N R 7.06421000-1 =

21 0.0985277mm

N =σ

22 0.114394mm

N =σ

23

0.017004mm

N =σ

24 0.010899

mm

N =σ

25 0.006539mm

N =σ

. DIAGRAMA DE FLUO

FNFCF

FNG!ES (E (SCNSNES @ E- %- t- H

VEC!ES@ L- - P

19

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CLC+L (E VEC!ES

)

++

+

+

2

22

22

2

3

23

12

1

1

γ

γ γ

γ γ

γ

AL

P AL AL

AL AL

R

AL

A

I

−

−+−

−+−

−

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

00

0

0

00

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

!)!MCFN (E EC+CFN M!FCFL

++

+

2

22

22

2

3

23

12

1

γ

γ γ

γ γ

γ

AL

P AL AL

AL AL

AL

A

−

−+−

−+

−−

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

00

0

00

001

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

6

5

4

3

2

1

Q

Q

Q

Q

Q

R

FMP!ESFJN (E !ES+L(S

54321654321 ,,,,,,,,,, Esf Esf Esf Esf Esf QQQQQ R

)FN

3. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

clcKconstantes%ormat longIE 3/////I

%$=&.$'='/:;6I

20

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t'5/Idt''/I7''='/:;6I

Kcondicion de contornocontorno'I nin,ut OFngrese el N de elementos %initos de la ,rimera ,arte n6 @O6Imin,ut OFngrese el N de elementos %initos de la segunda ,arte m6 @O6I Kcalculo de numero de nodosnnodos'@nm'IKcalculo del Bector LL5//8n6.=ones'-n6-5//8m6.=ones'-m6Kcalculo del Bector QQN''2//:3//8n@:;//8n@;//3//8nIQN2;//:3//8m@:;//8m@/3//8mI

1QN'-QN2Kcalculo del Bector PPeros'-nm'6IPn'6'////Kcalculo del Bector 1 t.=1IKCalculo del Bector %uera masica,esoe%=/.5.=.=LI,esoglobal,esoe-//-,esoeKcalculo del Bector %uera,or de%ormacion termicadtele7=dt=E6.=Idtglobal:dtele-//-dteleKcalculo de Bector %uera total

),esoglobalPdtglobalKCalculo de la matri de rigideReleE.=.8LIRglobaldiagRele-//-Rele6:diagRele-'6:diagRele-:'6Kresolucion de la ecuacion matricial ).Kintroduccion de las condiciones de contornonconsetdi%%nnodos-contorno6IMRglobalncon-ncon6I)M)ncon6IMinBM6=)M6OIKcalculo de los de,laamientoserossiennodos-26-'6Incon6M

Kcalculo de es%ueroses%E.=di%%66.8LO:E=7=dt!Rglobal=:)O

RESULTADO DEL PROGRAMA:

Fngrese el N de elementos %initos de la ,rimera ,arte n6@2

Fngrese el N de elementos %initos de la segunda ,arte m6@3

21

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L

'./e//2 =

2.5////////////// 2.5////////////// '.;;;;;;;;;;;;;;"

'.;;;;;;;;;;;;;;" '.;;;;;;;;;;;;;;"

4

'/5/ "5/ 5// 3// '//

P / / '//// / / /

%e$"5&"6'&

'./e//3 =

'.545/"5/ 2.;4$"/ '.5&4'25/ /."$4$/ /.3&24/ /./&$'//

d!5&"6'&

:5"'"25// ';335/// '3;'25// '/$&//// '/$&//// 5445///

F

'./e//" =

:5."'"/&54&25 '.;33";4$" '.3;24/&4'25 './$&/"$4$ './$&/3&24

/.5445/&$'

75&"6'&

'./e//5=

22

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'$&/ :'$&/ / / / /

:'$&/ 324/ :'35/ / / /

/ :'35/ 2"// :'35/ / /

/ / :'35/ 2';/ :$'/ /

/ / / :$'/ '/$/ :2"/

/ / / / :2"/ 2"/

8

/

/.3/25$2'/;4$'4$'

/.;/5'""435555555

/.$/;$5354$$$$$$&

'.//$52;2"'''''''

'.2'/'&;5"'''''''

e$9

/./&$52""""""""4"

/.''43&4$$$$$$;2;

/./'"//4///////43

/./'/$&&&&&&&&&&2 /.//;53&&&&&&&&"3

R

'./e//4 =

:'. ////"/;3'&&&$&5

/.///////////'3/4

:/.///////////42$4

23

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/.////////////"45

/.///////////'4&/

:/.////////////4;;

1.CONCLUSIONES

1. La fuerza másica total del cuero e! este caso articular !o "ar#a or el !$mero de !odos. E sto ocurre ,or0ue el cuer,o es de %orma triangular. Encuer,os 0ue ,resentan geometrAas no triangulares o no rectangulares elnmero de elementos si a%ecta al c>lculo del Bolumen total.

%. La "ariaci&! de temeratura !o afecta al "alor de la reacci&!.

(e los resultados ,ara una Bariación de tem,eratura de / # ''/ gradoscentAgrados.

P'#' T;<=

8 / /./52&3& /.'2"/34 /.'2"/44 /.'2"/5/ /.'2"/53

e$9 /./;352 /./$$&' /.////' /.////''/./////;5

R './e//4 = :'.///"/;32 :/.//// /.//// :/./////.////

P'#' T;< 11

8 / /.3/25$2'/;4$'4$' /.;/5'""435555555

/.$/;$5354$$$$$$& './/$52;2"'''''''

'.2'/'&;5"'''''''

e$9 /./&$52""""""""4" /.''43&4$$$$$$;2;

/./'"//4///////43 /./'/$&&&&&&&&&&2

/.//;53&&&&&&&&"3

24

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R './e//4 = :'.///"/;32 :/.//// /.////:/.//// /.////

Se obtiene una misma !eacción :'.///"/;326 # esto sucede ,or0ue el

cuer,o tiene un solo nodo %i*o '/6. Si el cuer,o tendrAa dos nodos%i*os entonces las reacciones BariarAan ,or e%ecto de la Bariación detem,eratura.

'. Los resultados de matla( rese!ta! u! mar)e! de error e! el

cálculo dereaccio!es.

Veamos las reacciones 0ue se obtiene ,ara cinco elementos %initos

! :'. ///"/;3'&&&$&5 /.///////////'3/4

:/.///////////42$4 /.////////////"45

/.///////////'4&/ :/.////////////4;;

Se ,lantea 0ue el error se arrastra ,or los redondeos 0ue se realian en

cada una de las o,eraciones.

*. A medida que se toma mayor número de elementos finitos mejor

será el resultado encontrado, tal y como vemos en los resultados

de 3 y 4 elemento finitos

+. El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor

deformación por ende de los esfuerzos en 1000 veces más, por

tanto es muy necesario hacer un estudio con análisis con

elementos finitos a una pieza mecánica si este va a trabajar a

constantes cambios de temperatura.

25

7/17/2019 2CEF


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