Semana 3: Formulacin de modelos de programacin lineal en general y solucin con software1. Al gerente de AFP Horizonte se le ha pedido invertir $1000,000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigacin de inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategia de inversin variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO

123456

Precio ($/accin)4576110172322

Devolucin esperada (%)30201512107

Categora de riesgoAltoAltoAltoMedianoMedianoBajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para este fin, la administracin de pensin Horizonte ha especificado las siguientes pautas:

1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75 por ciento de la cartera.

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30 por ciento de la cartera.

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de AFP Horizonte ha especificado que la cantidad invertida en los fondos 1, 2 y 3 deben estar en relacin 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la relacin 1:2.

Con estas pautas Qu cartera usted debe recomendar para maximizar la mxima tasa esperada de retorno? 2. Un distribuidor de ferretera planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaos de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaos 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12. Adems:

a) El peso combinado de los tamaos 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.

b) El peso de los tamaos 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras.

c) Cualquier tamao de tornillo debe ser al menos el 10 por ciento del paquete total.

Construya un modelo programacin lineal para determinar la composicin del paquete que ocasionar un costo mnimo.

3. Un problema de produccin: En una planta se pueden fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C y D) en cualquier combinacin. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro mquinas, se muestra en la tabla 1. Cada mquina est disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por libra, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las mquinas 1 y 2, y de $1 por hora para las mquinas 3 y 4. El costo del material para cada libra del producto A es de $3. El costo del material es de $1para cada libra de los productos B, C y D. Formule un modelo de programacin lineal que maximice la utilidad para este problema.

TABLA

Tiempo de mquina (minutos por libra de producto)

MAQUINADEMANDA

PRODUCTO1234MXIMA(libras)

A10536100

B6384400

C5433500

D2421150

4. Una compaa desea hacer una nueva aleacin con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad12Aleacin

345

% de aluminio6025452050

% de zinc1015455040

% de plomo3060103010

Costo ($/libra)2220252427

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleacin a costo mnimo. Formule un modelo de programacin lineal para este problema.5. Un problema de programacin: Un cierto restaurante opera 7 das a la semana. A las camareras se las contrata para trabajar seis horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 das consecutivos y despus tener 2 das consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la siguiente tabla se presentan las necesidades de contratacin.

Necesidades de contratacin de camareras

DIALunesMartesMircolesJueves Viernes SbadoDomingo

NUMERO MINIMO DE HORAS DE CAMARERAS NECESARIAS150200400300700800300

Supngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el nmero de camareras contratadas tiene que ser un nmero entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mnimo. Formule este problema como un programa lineal.

6. Planificacin de personal. Una empresa de seguridad tiene a su servicio la vigilancia de un aeropuerto y debe cubrir las necesidades de personal durante los seis perodos de 4 horas en que est dividido el da, como se recoge en la siguiente tabla:

Perodo de tiempoDuracin del perodoNecesidades de personal

112 AM 4 AM27

24 AM 8 AM30

38 AM 12 PM52

412 PM 4 PM56

54 PM 8 PM67

68 PM 12 AM48

Los vigilantes trabajan en turnos de 8 horas seguidas, con 6 cambios posibles de turno a lo largo de las 24 horas, correspondientes a las horas de comienzo y finalizacin de los perodos en la tabla anterior. El director de personal de la empresa desea conocer cuntos vigilantes deben trabajar en los diferentes turnos de ocho horas de manera que todos los perodos sean cubiertos y el total de personal utilizado sea mnimo.7. McSalsa produce dos salsas para carne: Diablo picante y Barn rojo (la ms suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las frmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, as como la informacin acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. Mc Salsa puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programacin lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.

INGREDIENTEPRECIO DE VENTA

SALSAABPOR LITRO ($)

Diablo picantecuando menos 25%cuando menos 50%$3.35

Barn rojocuando mucho 75%@$2.85

Costo por litro$1.60$2.59

@ = No existe restriccin

8. Se desea determinar la forma ptima de maximizar los beneficios derivados de la elaboracin de 3 tipos de chocolates cuyos ingredientes son: cacao, leche, azcar.

La primera mezcla debe tener por lo menos 50% de cacao y 25% de azcar cuando ms y se vende a 3 soles el kilo. La segunda mezcla debe tener 25% de cacao por lo menos y 50% de azcar cuando ms y se vende a 2.50 soles el kilo. La tercera mezcla se vende a 2 soles el kilo.

Se sabe que slo existe 100 kilos de cacao, 100 kilos de azcar y 60 litros de leche. Cada kilo de cacao vale 1.30 soles, de azcar 1.50 soles, un litro de leche en 1.50 soles. Establecer las proporciones del cacao, leche y azcar que conformarn las mezclas.

9. Se hace un pedido a una papelera de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1,000 de 56 pulgadas. Si la papelera tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho, cmo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mnimo desperdicio de papel? Formular un programa lineal para este objetivo.10. Dos aleaciones A y B se hacen de cuatro metales diferentes I, II, III, IV de acuerdo con las especificaciones siguientes.AleacinEspecificaciones

AA lo ms 80% de I A lo ms 30% de II

Al menos 50% de IV

BEntre 40% y 60% de II

Al menos 30% de III

A lo ms 70% IV

Los cuatro metales se extraen de diferentes minerales cuyos constituyentes en porcentaje de estos metales, cantidad mxima disponible y costo por tonelada se tabulan como sigue.

MineralCantidad max. (tons)Constituyentes (%)Precio ($ / ton)

IIIIIIIVOTROS

11000201030301030

22000102030301040

33000557020050

Los precios de venta de las aleaciones A y B son 200 y 300 $/tonelada.

Formule el problema como un modelo de programacin lineal eligiendo la funcin objetivo apropiada que har el mejor uso de la informacin dada

11. La compaa Bata es la ms grande productora de zapatos, como usted sospecha, existe una estimacin de alta demanda, con un mximo en los meses de invierno y un mnimo en los meses de verano. Conociendo los costos y el pronstico por trimestre; formule un programa de programacin lineal que minimice los costos y satisfaga la demanda.

Pronstico de ventas

Trimestre1234

Pares50,000150,000200,00052,000

Costo de llevar inventario

$3.00 Por par de zapatos por trimestre

Produccin por empleado

1,000 pares de zapatos por trimestre

Fuerza de trabajo regular

50 trabajadores

Capacidad en horas extras

50,000 pares de zapatos

Capacidad de subcontratar (Maquila) 40,000 pares de zapatos

Costo de produccin regular

$50.00 por par de zapatos

Costo de produccin en horas extras $75.00 por par de zapatos

Costo de produccin subcontratada $85.00 por par de zapatos

12. La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por da y la ciudad 2 produce 400 toneladas por da. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 2, y cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura por da. El costo de incinerar la basura es US$ 40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineracin reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos depsitos. Cada depsito puede recibir a lo ms 200 toneladas de cenizas por da. El costo es de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las distancias en millas se muestran en la tabla.

Formule el problema de programacin lineal que se puede usar para minimizar los costos.Incinerador 1Incinerador 2

Ciudad 1305

Ciudad 23642

Botadero 1Botadero 2

Incinerador 158

Incinerador 296