© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 4 - 1
Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones
Medidas de Tendencia Central, Variación
y
FormaCapitulo 3
© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 4 - 2
Objetivos de Aprendizaje
1. Explicar Propiedades de Datos Numéricos
2. Describir Medidas de Resumen Tendencia Central Variación Forma
3. Analizar Datos Numéricos Utilizando Medidas de Resumen
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Datos NuméricosPropiedades &
Medidas
Datos NuméricosPropiedades
Promedio
Mediana
Moda
Cuartiles
CentralTendencia
Rango
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Variación
Variación
Sesgo
Forma
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Análisis de Datos Numéricos
No Agrupados
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Media o Promedio
1. Medida de Tendencia Central
2. Medida Más Común
3. Actúa como ‘Punto de Balance’
4. Afectado por Valores Extremos (‘Outliers’)
5. Fórmula (Promedio de Muestra)
XX
n
X X X
n
ii
n
n
1 1 2
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Media o PromedioEjemplo
1
: 4.21, 5.55, 3.02, 5.13, 4.77, 2.34, 3.54,
3.20, 4.50, 6.10, 0.38., 5.12., 6.46, 6.19, 3.79
64.30 4.29 (redondeado)
15
n
ii
Datos
XX
n
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Mediana
1. Medida de Tendencia Central
2. Valor del Medio en Secuencia Ordenada Si n impar, Valor del Medio de la Secuencia SI n par, Promedio de los 2 Valores del Medio
3. Posición de la Mediana en la Secuencia
4. No se Afecta por Valores Extremos
Posición n 12
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MedianaEjemplo
Mediana datos impares
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Me = 8vo dato Me
Mediana Me
Datos par
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19
Me =1 14 1 15
7.5 avo valor clasificado2 2 2
4.21 4.50 8.71 4.36 (redondeado)
2 2
n
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Moda
1. Medida de Tendencia Central
2. Valor que Ocurre con Más Frecuencia
3. No se Afecta por Valores Extremos
4. Puede No Haber Moda o Varias Modas
5. Puede Ser Usado Para Datos Numéricos & Categóricos
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ModaEjemplo
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,
5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Mo = 3.79
0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,
5.55, 6.10, 6.19, 6.46
Mo = No hay moda
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Ejercicio
Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11.
Describa los precios de laacción en terminos de tendencia central
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Cuartiles
1. Dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales
2.Divide los Datos Ordenados en 4 Cuartiles
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
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Cuartiles
1. El Primer Cuartil Q1: El 25% de los valores son
menores que el primer cuartil y el 75% son
mayores que el primer cuartil.2. El segundo Cuartil Q2 es la mediana: el 50% de
los valores son mayores que la mediana y el 50%
son menores.
3. El tercer cuartil Q3 separa el 25% que abarca los
valores que son mas grandes y el 75% son menores
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Cuartiles: Reglas
• Regla 1: Si el resultado es un número entero, entonces el cuartil es igual al valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=7, el primer cuartil Q1 es igual a (7+1)/4= segundo valor clasificado.
• Regla 2: Si el resultado es una fracción de mitad (2.5,4.5, etc.), entonces el cuartil es igual al promedio de los valores clasificados correspondientes. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=9, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (9+1)/4= 2.5, la mitad entre los valores clasificados como segundo y tercero.
• Regla 3: Si el resultado no es un número entero ni una fracción de mitad, se redondea al entero más cercano y se selecciona ese valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=10, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (10+1)/4= 2.75. Se redondea el 2.75 a 3 y se utiliza el valor clasificado como tercero.
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Datos NuméricosPropiedades &
Medidas
Datos NuméricosPropiedades
Promedio
Mediana
Moda
Cuartiles
CentralTendencia
Rango
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Variación
Variación
Sesgo
Forma
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Rango
1. Medida de Dispersión
2. Diferencia Entre el Dato Mayor y el Menor
3. Ignora Cómo Están Distribuidos los Datos
Rango X Xl est smallestarg
7 8 9 10 7 8 9 10
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Varianza & Deviación Estándar
1. Medidas de Dispersión
2. Medidas Mas Comunes
3. Considera Cómo Están Distribuidos los Datos
4. Muestra Variación Alrededor de la Media
( o )
4 6 8 10 12
X = 8.3
X
X
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Fórmula Varianza Muestral
¡n - 1 en denominador! (Use N si es Varianza de Población)S
(X X)
n
(X X) (X X) (X X)
n
ii
n
n
2
2
1
12
22 2
1
1
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Fórmula Deviación Estándar de la
Muestra
S S
(X X )
n
(X X ) (X X ) (X X )
n
ii
n
n
2
2
1
12
22 2
1
1
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Coeficiente de Variación
1. Medida de Dispersión Relativa
2. Siempre un %
3. Muestra Variación Relativa a la Media
4. Usado para Comparar 2 o Más Grupos
5. Fórmula (Muestra)
100%
X
SCV
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Ejercicio
Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11.
Describa la volatilidad de los precios de las acciones.
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Datos NuméricosPropiedades &
Medidas
Datos NuméricosPropiedades
Promedio
Mediana
Moda
Cuartiles
CentralTendencia
Rango
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Variación
Variación
Sesgo
Forma
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Forma
• El análisis de Forma se basa en la Distribución Agrupada de los Datos, tales como el Histograma y el Polígono de Frecuencias.
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Forma
1. Describe Cómo Se Distribuyen los Datos
2. Medidas de Forma Sesgo = Simetría
Sesgo- DerechoSesgo- Izquierdo SimétricaMedia = Mediana = ModaMedia Mediana Moda Moda Mediana Media
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Análisis de Datos Numéricos
Agrupados
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PASOS A SEGUIR
1. Establecer la Distribución de
Frecuencias
2. Calcular los Estadísticos o
Parámetros
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Pasos para la Distribución de
Frecuencias1. Ordene los datos
2. Seleccione el Numero de Clases k
3. Determine el Rango R
3. Compute el Ancho de Clase w
4. Determine las Fronteras de Clases
5. Compute el Punto Medio de la Clase Xi
6. Cuente las Observaciones y Asignelas a las Clases
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Número de Clases k
Regla de Sturges
K= 1+3.322(log n)
k= 1+3.322(log10) log10 = 1
k =1+3.322 (1)
k= 1 + 3.322 = 4.3 ≈ 4
K = 4
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
n = 10
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El RangoR
R = Xmax – Xmin
R = 41 – 21= 20
R = 20
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
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El Ancho de la Clasew
w = R/k
w = 20/4 = 5
w = 5
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
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La(s) Frontera(s) o Límites
de las ClasesLi = Límite inferior de la clase. Este será el límite superior de la
clase que la antecede. En nuestro ejemplo
Ls = Límite superior de la clase:se obtiene sumando el ancho de la clase al límite inferior de la clase: Ls = Li + w
La primera clase tendrá como límite inferior al
valor más bajo en el conjunto de datos a ser
agrupados.
En nuestro ejemplo será: 21 + 5 = 26
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El Punto Medio de la Clase
Xi
Por ejemplo, el punto medio de la primera clase
sería
221 26 47
23.52 2
i Si
i
L LX
X
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Distribución Frecuencia Ejemplo
Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
Fronteras (Fronteras Superior + Inferior) / 2
ClasePunto Medio
FrecuenciaAbs Rel %
21 26 23.5 3 .3 30%
26 31 28.5 4 .4 40%
31 36 33.5 1 .1 10%
36 41 38.5 2 .2 20%
Li ≤ < Lsx
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Fórmulas
i iX f
n i iX f
Xn
22 ( )i iX f
N
2
2 ( )
1i iX X f
Sn
2 2S S
Promedio Población
Varianza Población
Desviación Estándar Población
Promedio Muestra
Varianza Muestra
Desviación EstándarMuestra
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Tabla de Cálculos
Li Xi Lsfi fiXi (Xi –X) fi
21 23.5 26 3 70.5 (23.5-29.4)²(3)=104.43
26 28.5 31 4 114.0 (28.5-29.4)²(4)= 3.24
31 33.5 36 1 33.5 (33.5-29.4)²(1)= 16.81
36 38.5 41 2 76.0 (38.5-29.4)²(2)= 165.62
∑=294 ∑= 290.1
2
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Cálculos
29429.4
10i iX f
Xn
Promedio Muestra
Varianza Muestra2
2 ( ) 290.132.34
1 10 1i iX X f
Sn
2 32.34 5.69 (redondeado)S S Desviación Estándar Muestra
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La Moda
• La Moda en una distribución de frecuencias es sencillamente la clase que tiene el mayor numero de observaciones. Nos referimos a la clase modal.
© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 4 - 45
La Mediana
1. El primer paso para calcular la Mediana en una distribución de frecuencias es determinar el intérvalo de clase en el que se locliza.
2. Esto se hace mediante el cálculo (n )(½), esto es, se divide el total de datos por dos.
3. En el ejemplo de la tabla es (10)(½) = 5.
4. Notese que como n=10, el quinto valor que representa la Mediana se encuentra entoces en la segunda clase. Esto lo podemos ver siguiendo la frecuencia acumulada (ver tabla).
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Tabla de Cálculos
Li Xi Lsfi Fi
cumm F Rel.cumm
21 23.5 26 3 3 .30
26 28.5 31 4 7 .70
31 33.5 36 1 8 .80
36 38.5 41 2 10 1.00
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La Mediana(cont…)
5. El próximo paso es el calcular la Mediana mediante la fórmula
= L + donde
M = La mediana
L = Limite inferior de la clase que contiene
la mediana
j = numero de unidades que se requieren
para llegar al 5to valor
f = frecuencia de la clase que contiene la medi
e
e
jM w
f
ana
w = ancho de la clase
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La Mediana(cont…)
6. En nuestro ejemplo
L = 26 , j = 2 , f = 4 , w = 5
*** para hallar j, se resta el valor que obtuvimos de la formula (n) )(½), que nos indica donde esta la Mediana, a la frecuencia acumulada de la clase que le antecede. En nuestro caso es 5 – 3 = 2
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La Mediana(cont…)
Asi que tenemos
2M = 26 + (5) = 26 + 2.5 = 28.5
4M 28.5
e
e
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