© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 4 - 1 Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones Medidas de...

© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 4 - 1

Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones

Medidas de Tendencia Central, Variación

y

FormaCapitulo 3


Objetivos de Aprendizaje

1. Explicar Propiedades de Datos Numéricos

2. Describir Medidas de Resumen Tendencia Central Variación Forma

3. Analizar Datos Numéricos Utilizando Medidas de Resumen


Datos NuméricosPropiedades &

Medidas

Datos NuméricosPropiedades

Promedio

Mediana

Moda

Cuartiles

CentralTendencia

Rango

Varianza

Desviación Estándar

Coeficiente de Variación

Variación

Sesgo

Forma


Análisis de Datos Numéricos

No Agrupados


Media o Promedio

1. Medida de Tendencia Central

2. Medida Más Común

3. Actúa como ‘Punto de Balance’

4. Afectado por Valores Extremos (‘Outliers’)

5. Fórmula (Promedio de Muestra)

XX

n

X X X

n

ii

n

n

1 1 2


Media o PromedioEjemplo

1

: 4.21, 5.55, 3.02, 5.13, 4.77, 2.34, 3.54,

3.20, 4.50, 6.10, 0.38., 5.12., 6.46, 6.19, 3.79

64.30 4.29 (redondeado)

15

n

ii

Datos

XX

n


Mediana


2. Valor del Medio en Secuencia Ordenada Si n impar, Valor del Medio de la Secuencia SI n par, Promedio de los 2 Valores del Medio

3. Posición de la Mediana en la Secuencia

4. No se Afecta por Valores Extremos

Posición n 12


MedianaEjemplo

Mediana datos impares

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19, 6.46

Me = 8vo dato Me

Mediana Me

Datos par

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13, 5.55, 6.10, 6.19

Me =1 14 1 15

7.5 avo valor clasificado2 2 2

4.21 4.50 8.71 4.36 (redondeado)

2 2

n


Moda


2. Valor que Ocurre con Más Frecuencia

3. No se Afecta por Valores Extremos

4. Puede No Haber Moda o Varias Modas

5. Puede Ser Usado Para Datos Numéricos & Categóricos


ModaEjemplo

0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,

5.55, 6.10, 6.19, 6.46

Mo = 3.79

0.38, 2.34, 3.02, 3.20, 3.54, 3.79, 3.9, 4.21, 4.50, 4.77, 5.12, 5.13,

5.55, 6.10, 6.19, 6.46

Mo = No hay moda


Ejercicio

Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11.

Describa los precios de laacción en terminos de tendencia central


Cuartiles

1. Dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales

2.Divide los Datos Ordenados en 4 Cuartiles

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3


Cuartiles

1. El Primer Cuartil Q1: El 25% de los valores son

menores que el primer cuartil y el 75% son

mayores que el primer cuartil.2. El segundo Cuartil Q2 es la mediana: el 50% de

los valores son mayores que la mediana y el 50%

son menores.

3. El tercer cuartil Q3 separa el 25% que abarca los

valores que son mas grandes y el 75% son menores


Cuartiles: Reglas

• Regla 1: Si el resultado es un número entero, entonces el cuartil es igual al valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=7, el primer cuartil Q1 es igual a (7+1)/4= segundo valor clasificado.

• Regla 2: Si el resultado es una fracción de mitad (2.5,4.5, etc.), entonces el cuartil es igual al promedio de los valores clasificados correspondientes. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=9, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (9+1)/4= 2.5, la mitad entre los valores clasificados como segundo y tercero.

• Regla 3: Si el resultado no es un número entero ni una fracción de mitad, se redondea al entero más cercano y se selecciona ese valor clasificado. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es n=10, el primer cuartil Q1es igual al valor clasificado como (10+1)/4= 2.75. Se redondea el 2.75 a 3 y se utiliza el valor clasificado como tercero.



Medidas


Promedio

Mediana

Moda

Cuartiles

CentralTendencia

Rango

Varianza



Variación

Sesgo

Forma


Rango

1. Medida de Dispersión

2. Diferencia Entre el Dato Mayor y el Menor

3. Ignora Cómo Están Distribuidos los Datos

Rango X Xl est smallestarg

7 8 9 10 7 8 9 10


Varianza & Deviación Estándar

1. Medidas de Dispersión

2. Medidas Mas Comunes

3. Considera Cómo Están Distribuidos los Datos

4. Muestra Variación Alrededor de la Media

( o )

4 6 8 10 12

X = 8.3

X

X


Fórmula Varianza Muestral

¡n - 1 en denominador! (Use N si es Varianza de Población)S

(X X)

n

(X X) (X X) (X X)

n

ii

n

n

2

2

1

12

22 2

1

1


Fórmula Deviación Estándar de la

Muestra

S S

(X X )

n

(X X ) (X X ) (X X )

n

ii

n

n

2

2

1

12

22 2

1

1



1. Medida de Dispersión Relativa

2. Siempre un %

3. Muestra Variación Relativa a la Media

4. Usado para Comparar 2 o Más Grupos

5. Fórmula (Muestra)

100%

X

SCV


Ejercicio

Usted es el analista financiero para Prudential-Bache Securities. Usted colectó los siguientes precios de acciones de una acción: 17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11.

Describa la volatilidad de los precios de las acciones.



Medidas


Promedio

Mediana

Moda

Cuartiles

CentralTendencia

Rango

Varianza



Variación

Sesgo

Forma


Forma

• El análisis de Forma se basa en la Distribución Agrupada de los Datos, tales como el Histograma y el Polígono de Frecuencias.


Forma

1. Describe Cómo Se Distribuyen los Datos

2. Medidas de Forma Sesgo = Simetría

Sesgo- DerechoSesgo- Izquierdo SimétricaMedia = Mediana = ModaMedia Mediana Moda Moda Mediana Media


Análisis de Datos Numéricos

Agrupados


PASOS A SEGUIR

1. Establecer la Distribución de

Frecuencias

2. Calcular los Estadísticos o

Parámetros


Pasos para la Distribución de

Frecuencias1. Ordene los datos

2. Seleccione el Numero de Clases k

3. Determine el Rango R

3. Compute el Ancho de Clase w

4. Determine las Fronteras de Clases

5. Compute el Punto Medio de la Clase Xi

6. Cuente las Observaciones y Asignelas a las Clases


Número de Clases k

Regla de Sturges

K= 1+3.322(log n)

k= 1+3.322(log10) log10 = 1

k =1+3.322 (1)

k= 1 + 3.322 = 4.3 ≈ 4

K = 4

Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38

n = 10


El RangoR

R = Xmax – Xmin

R = 41 – 21= 20

R = 20

Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38


El Ancho de la Clasew

w = R/k

w = 20/4 = 5

w = 5

Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38


La(s) Frontera(s) o Límites

de las ClasesLi = Límite inferior de la clase. Este será el límite superior de la

clase que la antecede. En nuestro ejemplo

Ls = Límite superior de la clase:se obtiene sumando el ancho de la clase al límite inferior de la clase: Ls = Li + w

La primera clase tendrá como límite inferior al

valor más bajo en el conjunto de datos a ser

agrupados.

En nuestro ejemplo será: 21 + 5 = 26


El Punto Medio de la Clase

Xi

Por ejemplo, el punto medio de la primera clase

sería

221 26 47

23.52 2

i Si

i

L LX

X


Distribución Frecuencia Ejemplo

Datos Crudos: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38

Fronteras (Fronteras Superior + Inferior) / 2

ClasePunto Medio

FrecuenciaAbs Rel %

21 26 23.5 3 .3 30%

26 31 28.5 4 .4 40%

31 36 33.5 1 .1 10%

36 41 38.5 2 .2 20%

Li ≤ < Lsx


Fórmulas

i iX f

n i iX f

Xn

22 ( )i iX f

N

2

2 ( )

1i iX X f

Sn

2 2S S

Promedio Población

Varianza Población

Desviación Estándar Población

Promedio Muestra

Varianza Muestra

Desviación EstándarMuestra


Tabla de Cálculos

Li Xi Lsfi fiXi (Xi –X) fi

21 23.5 26 3 70.5 (23.5-29.4)²(3)=104.43

26 28.5 31 4 114.0 (28.5-29.4)²(4)= 3.24

31 33.5 36 1 33.5 (33.5-29.4)²(1)= 16.81

36 38.5 41 2 76.0 (38.5-29.4)²(2)= 165.62

∑=294 ∑= 290.1

2


Cálculos

29429.4

10i iX f

Xn

Promedio Muestra

Varianza Muestra2

2 ( ) 290.132.34

1 10 1i iX X f

Sn

2 32.34 5.69 (redondeado)S S Desviación Estándar Muestra


La Moda

• La Moda en una distribución de frecuencias es sencillamente la clase que tiene el mayor numero de observaciones. Nos referimos a la clase modal.


La Mediana

1. El primer paso para calcular la Mediana en una distribución de frecuencias es determinar el intérvalo de clase en el que se locliza.

2. Esto se hace mediante el cálculo (n )(½), esto es, se divide el total de datos por dos.

3. En el ejemplo de la tabla es (10)(½) = 5.

4. Notese que como n=10, el quinto valor que representa la Mediana se encuentra entoces en la segunda clase. Esto lo podemos ver siguiendo la frecuencia acumulada (ver tabla).


Tabla de Cálculos

Li Xi Lsfi Fi

cumm F Rel.cumm

21 23.5 26 3 3 .30

26 28.5 31 4 7 .70

31 33.5 36 1 8 .80

36 38.5 41 2 10 1.00


La Mediana(cont…)

5. El próximo paso es el calcular la Mediana mediante la fórmula

= L + donde

M = La mediana

L = Limite inferior de la clase que contiene

la mediana

j = numero de unidades que se requieren

para llegar al 5to valor

f = frecuencia de la clase que contiene la medi

e

e

jM w

f

ana

w = ancho de la clase


La Mediana(cont…)

6. En nuestro ejemplo

L = 26 , j = 2 , f = 4 , w = 5

*** para hallar j, se resta el valor que obtuvimos de la formula (n) )(½), que nos indica donde esta la Mediana, a la frecuencia acumulada de la clase que le antecede. En nuestro caso es 5 – 3 = 2


La Mediana(cont…)

Asi que tenemos

2M = 26 + (5) = 26 + 2.5 = 28.5

4M 28.5

e

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