y f x) = f x j = 1 2 m f x f x f x)) o D u h 2 o D h 0 · Derivadas parciales de orden superior (1)...
Transcript of y f x) = f x j = 1 2 m f x f x f x)) o D u h 2 o D h 0 · Derivadas parciales de orden superior (1)...
Derivada direccional (1)
Seaf : D ⊂ Rn −→ Rm
x = (x1, ··, xi , ··, xn) −→ y = f (x) = (y1, ··, yj , ··, ym).
Siendoyj = fj (x) = fj (x1, ··, xi , ··, xn) , j = 1, 2, ··, m
f (x) = (f1 (x) , ··, fj (x) , ··, fm (x)).
Sea c ∈o
D, sea una direccion u = (u1, u2, · · · , un), sea h ∈ R tal que
c + hu ∈o
D.
Se define la derivada de f en el punto c, segun el vector u, allımite, que denominamos f ′ (c; u) o Duf (c), si existe:
f ′ (c; u) = Duf (c) = limh→0
f(c+hu)−f(c)h Si es ‖u‖ = 1, se habla de
derivada direccional de f en c en la direccion u.
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada direccional (2)
Sera
limh→0
f (c + hu)− f (c)
h= lim
h→0
(f1 (c + hu)− f1 (c + hu)
h,
f2 (c + hu)− f2 (c + hu)
h, · · ·
fm (c + hu)− fm (c + hu)
h
)
es decir
f ′ (c; u) = Duf (c) =
= limh→0
f (c + hu)− f (c)
h= (f ′1 (c; u) , f ′2 (c; u) , · · · , · · · f ′m (c; u))
luego hemos de aprender a manejarnos con funciones reales devariable vectorial o de varias variables.
Si consideramos la base canonica {ei}i=1, ··,n, u =n∑
i=1
uiei .
A las derivadas segun los vectores basicos, derivadas direccionales,se las denomina derivadas parciales, y existen n, que denotamos
fxi (c) ≡ fei (c) ≡ ∂f (c)
∂xi≡ ∂f
∂xi
∣∣∣∣c
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada parcial (1)
En el caso de funciones reales de dos variables, tenemos
Derivada parcial segun x:
fx (x , y) =∂f
∂x(x , y) = lim
h→0
f (x + h, y)− f (x , y)
h
en este caso es: c = (x , y) y u = (1, 0)
Derivada parcial segun y :
fy (x , y) =∂f
∂y(x , y) = lim
k→0
f (x , y + k)− f (x , y)
k
en este caso es: c = (x , y) y u = (0, 1)
Si tenemos una funcion real de n variables, la derivada parcial conrespecto a ei , i = 1, 2, · · · , n, en un punto (a1, a2, · · · , an) sera
limhi→0
f (a1, a2, · · · , ai + hi , · · · an)− f (a1, a2, · · · , ai , · · · an)
hi= l ∈ IR
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada parcial (2)
Si estamos en un punto genererico (x1, x2, · · · , xn), la derivadaparcial con respecto a ei , sera
limhi→0
f (x1, x2, · · · , xi + hi , · · · xn)− f (x1, x2, · · · , xi , · · · xn)
hi=
= l (x1, x2, · · · , xn)
¿Que estamos haciendo?: Hemos supuesto constantes lascomponentes x1, x2, · · · , xi−1, xi+1, · · · xn y variable a lacomponente xi , y hemos calculado un lımite como si estuviesemosen funciones reales de una variable: xi . Luego practicamenteactuaremos del modo siguiente para calcular las derivadas parciales:Suponemos que son constantes todas las variables excepto aquellacon respecto a la cual estamos calculando la derivada.Escribiendose
∂f (x1, x2, · · · , xn)
∂xi≡ fxi = l (x1, x2, · · · , xn) , i = 1, 2, · · · , n
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada parcial (3): Ejemplo
z = x3y 2 + x2 + y 2 + 45xy :∂z
∂x= 3x2y 2 + 2x + 45y
:∂z
∂y= 2x3y + 2y + 45x
u = cos(x3y 2z + x2y
):
∂u
∂x=[−sen
(x3y 2z + x2y
)] (3x2y 2z + 2xy
):
∂u
∂y=[−sen
(x3y 2z + x2y
)] (2x3yz + x2
):
∂u
∂z=[−sen
(x3y 2z + x2y
)] (x3y 2
)
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Interpretacion de la derivada parcial si IR2 (1)
Supongamos que tenemos
f : A ⊂ IR2 −→ IR(x , y) −→ z = f (x , y)
Sea un punto (a, b) ∈ A y sea P tal que P (a, b, f (a, b)).
A
B
C
D
P
y = b
x=a
Planox=a
Planoy=b
A
D
B
C
P P
b ab+k a+h
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Interpretacion de la derivada parcial si IR2 (2)
Consideremos los puntos pertenecientes a la superficie y que estanen el plano y = b, estos puntos forman la curva CPB, que estadefinida por {
z = f (x , y)y = b
→ z = f (x , b)
por lo que se trata de una funcion de una variable, cuya graficaesta en el plano y = b, es decir{
(x , y , z) ∈ IR3 |y = b, z = f (x , b)}
Consideremos los puntos pertenecientes a la superficie y que estanen el plano x = a, estos puntos forman la curva APD, que estadefinida por {
z = f (x , y)x = a
→ z = f (a, y)
por lo que se trata de una funcion de una variable, cuya graficaesta en el plano x = a, es decir{
(x , y , z) ∈ IR3 |x = a, z = f (a, y)}
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Interpretacion de la derivada parcial si IR2 (3)
Si queremos conocer la variacion de la funcion z = f (x , y) en elplano y = b en el punto x = a, es lo mismo que conocer lavariacion de la funcion z = f (x , b), por lo que podemos plantear laexistencia de la derivada de esa funcion con respecto a la variable x
limh→0
f (a + h, b)− f (a, b)
h=
∂f
∂x
∣∣∣∣(a, b)
Si queremos conocer la variacion de la funcion z = f (x , y) en elplano x = a en el punto y = b, es lo mismo que conocer lavariacion de la funcion z = f (a, y), por lo que podemos plantear laexistencia de la derivada de esa funcion con respecto a la variable y
limk→0
f (a, b + k)− f (a, b)
k=
∂f
∂y
∣∣∣∣(a, b)
Es decir, a traves de las derivadas parciales conocemos la variacionde la funcion en dos direcciones “privilegiadas”, las paralelas a losejes
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Interpretacion de la derivada direccional si IR2
A=(a, b)
B=(a+h, b+k) el punto A = (a, b) = cel punto B = (a + h, b + k) = c + vsi D ∈ AB es D = c + tv, t ∈ IR , 0 ≤ t ≤ 1
Si queremos conocer la variacion de la funcion en el punto (a, b),segun una direccion definida por el vector (h, k), haremos losiguiente:
limt→0
f (B)− f (A)
t= lim
t→0
f (c + tv)− f (c)
t= f ′ (c; v)
Es decir, a traves de las derivada direccional conocemos lavariacion de la funcion en cualquier direccion
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada parcial (4): Ejemplo
Sea: f (x , y) =
{x + y si xy = 01 si xy 6= 0
calculemos sus derivadas
parciales en el punto c = (0, 0),
fx (0, 0) =∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f (0 + h, 0)− f (0, 0)
h= lim
h→0
(0 + h)− (0)
h= 1
fy (0, 0) =∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f (0, 0 + k)− f (0, 0)
k= lim
k→0
(0 + k)− (0)
k= 1
Si ahora calculamos la derivada direccional en el punto c = (0, 0)en una direccion definida por el vector v = (v1, v2), v1v2 6= 0
f (1) (c; v) = Dvf (c) =∂f
∂v(0, 0) = lim
h→0
f (c + hv)− f (c)
h=
= limh→0
f ((0, 0) + h (v1, v2))− f (0, 0)
h= lim
h→0
f (hv1, hv2)− f (0, 0)
h=
= limh→0
1− 0
h→ @ existe derivada direccional en solo dos direcciones
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivada parcial (5): Ejemplo
Sea: f =
{ xyx2+y2 si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)Sus derivadas parciales son
(x , y) 6= (0, 0): fx =∂f
∂x=
y − xy (2x)
(x2 + y 2)2 , fy =∂f
∂y=
x − xy (2y)
(x2 + y 2)2
(x , y) = (0, 0):
limh→0
f ((0, 0)+h(1, 0))−f (0, 0)h = lim
h→0
(0+h)0
(0+h)2+02−0
h = limh→0
0h = 0
limk→0
f ((0, 0)+k(0, 1))−f (0, 0)k = lim
k→0
0(0+k)
02+(0+k)2−0
k = limk→0
0k = 0
Las derivadas en (x , y) = (0, 0), en cualquier direccion,distintas a las de los ejes, (v1, v2) , v1v2 6= 0:
limh→0
f ((0, 0)+h(v1, v2))−f (0, 0)h = lim
h→0
(0+hv1)(0+hv2)(0+hv1)2+(0+hv2)2−0
h = limh→0
v1v2v21
+v22
h →∞
Tanto f =
{xy
x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)como f (x, y) =
{x + y si xy = 01 si xy 6= 0
no
son continuas en (0, 0).
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivadas parciales de orden superior (1)
Si f : X ⊂ IRn → IR es tal que existen todas las derivadas parciales
en un conjunto abierto A, A ⊂◦
X , podemos definir las n funciones
fxi : A ⊂ IRn → IR
x → fxi (x) =∂f (x)
∂xi
Si estas funciones a su vez admiten derivadas parciales, podemosdefinirlas y las representamos
fxjxi ≡∂fxi (x)
∂xj
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivadas parciales de orden superior (1): Ejemplos
z = x3 + y 3 + 3x2y ⇒
zx = 3x2 + 6xy
{zx2 = 6x + 6yzxy = 6x
zy = 3y 2 + 3x2
{zyx = 6xzy2 = 6y
z = sen (x + y) + x3y2 ⇒
zx = cos (x + y) + 3x2y2
{zx2 = −sen (x + y) + 6xy2
zxy = −sen (x + y) + 6x2y
zy = cos (x + y) + 2x3y
{zyx = −sen (x + y) + 6x2y
zy2 = −sen (x + y) + 2x3
Si observamos en los dos casos, sucede que zxy = zyx , nospreguntamos: ¿es independiente el resultado del orden dederivacion parcial sucesiva cuando se deriva respecto a lasdiferentes variables?, es decir es:
∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi, i 6= j
Existen varios teoremas que nos dan las condiciones suficientes
para que ası suceda, nosotros vamos a suponer que se cumple
siempre, es decir se cumple la igualdad de las derivadas cruzadas.Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Derivadas parciales de orden superior (2)
Si las derivadas parciales de orden 2, o de segundo orden, sontambien derivables se pueden calcular las derivadas terceras y asısucesivamente, si es que existen. Ası si tenemos
∂pf
∂xα11 · · · ∂xαk
k · · · ∂xαnn, α1 + · · ·+ αk + · · ·+ αn = p
es∂
∂xk
(∂pf
∂xα11 · · · ∂xαk
k · · · ∂xαnn
)=
∂p+1f
∂xα11 · · · ∂xαk+1
k · · · ∂xαnn
siendo independiente el orden de derivacion.
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Notacion de Monge
Si z = f (x , y), en algunos textos se utiliza la siguiente notacion
∂f
∂x= p,
∂f
∂y= q,
∂2f
∂x2= r ,
∂2f
∂y 2= t,
∂2f
∂x∂y= s
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Funcion diferenciable
Sea: f : D ⊂ IRn −→ IRm , c ∈ B (c; r) ⊂o
D,v ∈ Rn | c + v ∈ B (c; r) , decimos que f es diferenciable en c si existeuna funcion lineal
Tc : Rn −→ Rm | f (c + v)− f (c) = Tc (v) + ‖v‖Ec (v)
siendo Ec (v)→ 0, cuando v→ 0. Es decir
lim|v|→0
f (c + v)− f (c)− Tc (v)
‖v‖= 0
Tc (v) es la parte principal del incremento de la funcion cuandopasamos de un punto c a un punto c + v.Llamamos diferencial de la funcion f en el punto c a Tc .
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Relacion entre diferencial y derivada direccional (1)
Si f es diferenciable en c con diferencial Tc , entonces la derivadadireccional f
′(c; u) existe para cada u ∈ Rn y se tiene
Tc (u) = f′
(c; u)
• Si u = 0, aplicando la definicion es f′
(c; 0) = 0; si la funcion es diferenciable,
f (c + 0)− f (c) = Tc (0) + ‖0‖Ec (0)⇒ 0 = Tc (0)
• si u 6= 0, u = hv,
f (c + hv)− f (c) = Tc (hv) + ‖hv‖Ec (hv)⇒por ser Tc una aplicacion lineal
f (c + hv)− f (c) = hTc (v) + |h| ‖v‖Ec (hv)⇒f (c + hv)− f (c)
h= Tc (v) +
|h|h‖v‖Ec (hv)
y tomando lımite cuando h→ 0
limh→0
f (c + hv)− f (c)
h= lim
h→0
(Tc (v) +
|h|h‖v‖Ec (hv)
)f
′(c; v) = Tc (v) + lim
h→0
|h|h ‖v‖Ec (hv)⇒ f
′(c; v) = Tc (v)
pues por ser diferenciable es limh→0
|h|h‖v‖ Ec (hv) = ±1 ‖v‖ lim
h→0Ec (hv) = 0
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Determinacion de la aplicacion lineal T
En las funciones reales de variable real, el concepto de diferenciable nos llevaba a escribir d f = f ′ (x0) d x
cuando pasamos del punto x0 al punto x0 + d x y nos medıa el la parte principal del incremento.
En el caso de funciones vectoriales de variable vectorial, ladiferencial de la funcion en un punto c cuando pasamos del puntoc al punto c + v es la parte principal del incremento de la funcion yescribimos d f = Tc (v) = f
′(c; v), que siguiendo la notacion de las funciones reales de
variable real, suele escribirse
d f = Tc (v) = f′
(c; v) = f′
(c) (v)
ahora bien, al ser lineal Tc , si expresamos el vector v comocombinacion lineal de los vectores basicos
Tc (v) = Tc
(k=n∑k=1
vkek
)=
k=n∑k=1
vkTc (ek) =k=n∑k=1
vk f′
(c; ek) =k=n∑k=1
vk∂f (c)
∂xk
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IR
d f = Tc (v) =k=n∑k=1
vk∂f (c)
∂xk=
(∂f (c)
∂x1, · · · , ∂f (c)
∂xk, · · · , ∂f (c)
∂xn
)v1
·vk·
vn
y si el vector v = (d x1, · · · , d xk , · · · , d xn), escribimos
d f = Tc (v) =
(∂f (c)
∂x1, · · · , ∂f (c)
∂xk, · · · , ∂f (c)
∂xn
)d x1
·d xk·
d xn
El diferencial es el producto de dos matrices. A la matriz fila se ledenomina vector gradiente del campo escalar f (c), y se escribe
grad f (c) = ∇ f (c) =
(∂f (c)
∂x1, · · · , ∂f (c)
∂xk, · · · , ∂f (c)
∂xn
)puede existir el gradiente y no ser diferenciable.
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IRm (1)
Hemos visto que Tc (v) =k=n∑k=1
vk∂f (c)
∂xk, recordando que
∂f (c)
∂xk=
(∂f1 (c)
∂xk, · · · , ∂fj (c)
∂xk, · · · , ∂fm (c)
∂xk
)resulta
d f =
d f1
...d fj
...d fm
=
∂f1 (c)
∂x1· · · ∂f1 (c)
∂xk· · · ∂f1 (c)
∂xn· · · · · · · · ·
∂fj (c)
∂x1· · · ∂fj (c)
∂xk· · · ∂fj (c)
∂xn· · · · · · · · ·
∂fm (c)
∂x1· · · ∂fm (c)
∂xk· · · ∂fm (c)
∂xn
d x1
...d xk
...d xn
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IRm (2)
Es importante resaltar que la diferencial de una determinada funcion quedependa de n variables es un punto generico es una funcion que dependede las n variables, x1, x2, · · · , xn, que definen el punto y de las ncomponentes del vector, d x1, d x2, · · · , d xn, que define el cambio deposicion del punto.A la matriz
∂f1 (c)
∂x1· · · ∂f1 (c)
∂xk· · · ∂f1 (c)
∂xn· · · · · · · · ·
∂fj (c)
∂x1· · · ∂fj (c)
∂xk· · · ∂fj (c)
∂xn· · · · · · · · ·
∂fm (c)
∂x1· · · ∂fm (c)
∂xk· · · ∂fm (c)
∂xn
se le llama matriz jacobiana de las funciones f1, · · · , fj , · · · , fm con
respecto a las variables x1, · · · , xk , · · · , xn.
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Jacobiano
En el caso m = n es posible hallar el determinante de la matrizanterior, que se denomina jacobiano, y se representa por
∂ (f1, ·, fj , ·, fn)
∂ (x1, ·, xk , ·, xn)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f1 (c)
∂x1· · · ∂f1 (c)
∂xk· · · ∂f1 (c)
∂xn...
......
......
∂fj (c)
∂x1· · · ∂fj (c)
∂xk· · · ∂fj (c)
∂xn...
......
......
∂fn (c)
∂x1· · · ∂fn (c)
∂xk· · · ∂fn (c)
∂xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Aplicaciones IR2 → IR : Plano tangente (1)
Cuando pasamos del punto P (x0, y0, f (x0, y0)) al punto
A (x0 + h, y0, f (x0 + h, y0)) nos movemos en el plano y = y0, y la
curva que une los puntos P y A es la interseccion de la superficie
z = f (x , y) con el plano y = y0. Que es una curva plana y que, si
tiene tangente en el punto P, la pendiente viene definida por la
derivada de f (x , y0) con respecto a la variable x en el punto
x = x0, que es la derivada parcial de la funcion f (x , y) con
respecto a la variable x en el punto (x0, y0).
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Aplicaciones IR2 → IR : Plano tangente (2)
Cuando pasamos del punto P (x0, y0, f (x0, y0)) al puntoC (x0, y0 + k, f (x0, y0 + k)) nos movemos en el plano x = x0, y la curva que unelos puntos P y C es la interseccion de la superficie z = f (x , y) con el plano x = x0.Que es una curva plana y que, si tiene tangente en el punto P, la pendiente vienedefinida por la derivada de f (x0, y) con respecto a la variable y en el punto y = y0,que es la derivada parcial de la funcion f (x , y) con respecto a la variable y en elpunto (x0, y0).
Si en el punto P (x0, y0, f (x0, y0)), consideramos todas las curvascontenidas en la superficie que pasan por el punto P y suscorrespondientes rectas tangentes y consideramos el plano, siexiste, que contiene a todas las rectas tangentes es el planotangente. En particular contiene:• A la recta tangente en P a la curva que une los puntos P y Aque esta contenida en el plano y = y0.• A la recta tangente en P a la curva que une los puntos P y Cque esta contenida en el plano x = x0.Las direcciones de estas rectas son respectivamente:(
1, 0,∂f (x0, y0)
∂x
),
(0, 1,
∂f (x0, y0)
∂y
)Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Aplicaciones IR2 → IR : Plano tangente (3)
Ya que el plano tangente viene definido por un vector que esperpendicular a las direcciones anteriores, el vector que lo definesera: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
1 0∂f
∂x
0 1∂f
∂y
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −(∂f
∂x,∂f
∂y, −1
)
La ecuacion del plano tangente en el punto P (x0, y0, f (a, b)) :si (x , y , z) es un punto generico perteneciente al plano tangente,el vector: (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) esta contenido en el planotangente y su producto escalar con uno cuya direccion seaperpendicular al plano tangente sera nulo:(
∂f
∂x,∂f
∂y, −1
)• (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) = 0⇒
z − f (x0, y0) = (x − x0)∂f (x0, y0)
∂x+ (x − x0)
∂f (x0, y0)
∂y
donde las derivadas parciales estan particularizadas en el punto(x0, y0).
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion
Hiperplano
Si tuviesemos una aplicacion f de Rn en R se habla del hiperplanotangente, cuya ecuacion en un puntoP (a1, a2, · · · , an, f (a1, a2, · · · , an)), sera:
z − f (a1, a2, · · · , an) =
j=n∑j=1
(xj − aj)∂f
∂xj
∣∣∣∣(a1, a2, ··· , an)
Por ejemplo si queremos calcular el plano tangente en el punto(1, 2, 37) a la superficie z = x2 + 9y 2, sera,
∂f
∂x
∣∣∣∣P0
= 2x |(1, 2) = 2,∂f
∂y
∣∣∣∣P0
= 18y |(1, 2) = 36, x2 + 9y 2∣∣P0
= 1+36 = 37
z − 37 = 2 (x − 1) + 36 (y − 2)
Varias Variables: Derivacion y diferenciacion