Límites de funcións - edu.xunta.gal · Páxina 5 5) COMPARACION DE INFINITOS Cando x) f f e x) f...

Páxina 1

LÍMITES DE FUNCIÓNS

1º) DEFINICIÓN :

Diremos que o límite dunha función y = f(x) nun punto x = a é o número k, k)x(flimax

, se para

calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen indefinidamente ó punto a, a

correspondente sucesión de valores da variable dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k

Y Tanto a como k poden ser:

+, -, ou números reais, sendo este caso o que está representado

no gráfico

y = f(x)

k + (máis infinito) : representa “algo” máis positivo que calquera

número real positivo que fixemos

- (menos infinito): representa “algo”máis negativo que calquera

número negativo que fixemos

a X

No caso de que a e k sexan números reais a definición expresa a

pola esquerda pola dereita idea intuitiva de que cando x está moi cerca de a entón y=f(x) esta

moi cerca de k

2º) INTERPRETACIÓNS GRÁFICAS E NUMÉRICAS: Exemplos

a) k)x(flimx

( 12

x

xlimx

) b) k)x(flim x

x

x 2lim 1

x

()

Cando os valores de x aumentan en positivo os Cando os valores de x decrecen en negativo os

correspondentes valores de y estan moi cerca de 1 correspondentes valores de y estan moi cerca de –1

A idea de límite pódese interpretar numéricamente

x x 2y f ( x )

x

x x 2y f ( x )

x

1 3 -1 1

10 1,2 -10 -0,8

100 1,02 -100 -0,98

1000 1,002 -1000 -0,998

10000 1,0002 -10000 -0,9998

A medida que x

aumenta en

positivo

Os valores de y

acheganse cada vez

máis a 1

A medida que

x aumenta en

negativo

Os valores de y

acheganse cada

vez máis a -1

x

x)x(fy

2

x

x)x(fy

2

Páxina 2

3) LÍMITES LATERAIS

Diremos que o límite dunha función y = f(x) pola dereita dun punto x = a é o número k,

( k)x(flimax

) se para calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen

indefinidamente ó punto a, por valores maiores que a, a correspondente sucesión de valores da variable

dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k

Diremos que o límite dunha función y = f(x) pola esquerda dun punto x = a é o número k

( k)x(flimax

), se para calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen

indefinidamente ó punto a, por valores menores que a, a correspondente sucesión de valores da variable

dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k

a) pola dereita de x = 2 42

)x(flimx

b) pola dereita de x = 0 x

limx

1

0

pola esquerda de x = 2 22

)x(flimx

pola esquerda de x = 0 x

limx

1

0

Temos o seguinte resultado : que unha función teña límite nun punto equivale a que esa función teña

límite pola dereita, pola esquerda dese punto e ademáis coincidan. Asi nos dous exemplos anteriores non

hai límite, inda que si hai límites laterais.

Nos dous exemplos seguinte os límites pola dereita e a esquerda coinciden, e polo tanto hai límite

c)

)x(flimax

. (

21 1

1

)x(limx

) d)

)x(flimax

. (

2

1 1

1

)x(limx

)

Cando x está moi cerca de 1 os correspondentes Cando x está moi cerca de 1 os correspondentes

valores de y aumentan en positivo indefinidamente valores de y decrecen en negativo indefinidamente

Exercicio : Fai táboas de valores para simular numéricamente o límite, en cada un dos apartados

21

1

)x()x(fy

21

1

)x()x(fy

x)x(fy

1

2xse 2x

2xse x)x(fy

Páxina 3

4) CÁLCULO DE LÍMITES

Sempre o primeiro paso será substituir o valor ó que se acerca x na expresión da función y = f(x). Se da

un número real o límite está acabado. (Exemplo : 3

5

3

232

3

x

xlimx

)

Podemos usar as propiedades dos límites respecto das operacións:

Límite da suma (resta) é igual a suma (resta)dos límites

Límite do producto é igual ó producto dos límites

Límite do cociente é igual ó cociente dos límites ( Sempre que as expresións dos cocientes teñan

sentido)

Límite dunha potencia é igual ó límite da base elevado ó límite do expoñente (Sempre que as

expresións das potencias teñan sentido)

Estes resultados estan resumidos e xeneralizados a outros casos ( cando aparecen infinitos ):

Lim (f+g)

Lim g

+ - L

Lim

f

+ + IND +

- IND - -

K + - K+L

Lim (f.g)

Lim g

+ - 0 L > 0 L < 0

Lim

f

+ + - IND + -

- - + IND - +

0 IND IND 0 0 0

K > 0 + - 0 KL KL

K< 0 - + 0 KL KL

Páxina 4

Lim (f/g)

Lim g

+ - 0 L > 0 L < 0

Lim

f

+ IND IND IND () + -

- IND IND IND () - +

0 0 0 IND 0 0

K > 0 0 0 IND () K/L K/L

K< 0 0 0 IND () K/L K/L

Lim (f g)

Lim g

+ - 0 L > 0 L < 0

Lim

f

+ + 0 IND + 0

0 0 IND () IND 0 IND ()

1 IND IND 1 1 1

0<K<1 0 + 1 KL K

L

K>1 + 0 1 KL K

L

En definitiva os casos indeterminados son : -, K/0, 0.(), 0/0, /, 0, 0

0,

1

Páxina 5

5) COMPARACION DE INFINITOS

Cando xlim f ( x )

e xlim g( x )

, entón f(x) é un infinito de orde superios a g(x) se :

x

f ( x )lim

g( x ) o que equivale a

x

g( x )lim 0

f ( x )

1) Calquera función exponencial de base maior que 1 é un infinito de orde superior a calquera potencia

a)x

10x

2lim

70x b)

8

xx

23xlim 0

3'7

2) Calquera función exponencial de base maior que 1 e calquera potencia é un infinito de orde superior a

calquera función logarítmica

a)x

x10

2lim

49.log ( x ) b)

3

x7

5xlim

log ( x ) c) 2

xx

log ( x )lim 0

e

3) Dada dúas potencias de x, a de maior exponente é un infinito de orde superior

a) 1

2

3 3

x x

x xlim lim

xx

b)

433 4x x

5x 5xlim lim 0

xx c)

30

25x

xlim

1234.x

4) Dadas dúas función exponenciais de base maior que 1 , a de maior base é un infinito de orde superior

a)

x

xx

8lim

3'7 b)

x

xx

2lim 0

35.8

5) Se nunha suma hai varios sumandos infinitos, a orde da suma é a do sumando de maior orde

a) 20 x x

x xlim x 4 lim 4

b) 20 19 3 20

x xlim x 450.x 27.x 123 lim x

Páxina 6

6) LÍMITES DE POLINOMIOS

a) LÍMITES INMEDIATOS : cando substituimos o valor de x na función da un número real

27748373 23

2

.xxlimx

972727 22

2

)()x(limx

b) LÍMITES INFINITOS : os valores de x tenden a + ou - Temos entón a seguinte regra que é a que usaremos na práctica: o límite cando x tende a infinito dun

polinomio coincide co límite cando x tende a infinito do término de máis alto grado dese polinomio :

).().(x 2lim)xx(limxx

222 222

).().(x 2lim)xx(lim -x x

222 333

7) LÍMITES NO INFINITO DE COCIENTE DE POLINOMIOS. (INDETERMINACIÓN /)

Como sempre o primeiro paso será substituir o valor de x na función. Se da un número real o límite estaría

rematado. Usaremos que o límite dun cociente é igual ó cociente dos límites, e, os límites de polinomios.

Chegamos así á indeterminación / que neste caso resolverémola dividindo o numerador e o

denominador entre o término de máis alto grado

Aparecen tres casos :

a) Grado do numerador maior que o grado do denominador : O límite é sempre +, ou, -

52

3232

3

x

xxlimx

Indeterminado

Razoadamente :

3

3 3 3 3 2 2

22x x x

33 3

3x 2x 3 2 33

3x 2x 3 3 0 0 3x x x x xlim lim lim2 52x 52x 5 0 0 0

x xx x

Ou tamén así :

22

3

2

3lim

2

3lim

52

323lim

2

3

2

3 x

x

x

x

xx

xxx

o límite da + xa que inicialmente era + / +. Se fose - / + o resultado sería - ( funciona a regra dos

signos)

b) Grado do numerador igual ó grado do denominador : O límite é igual á división dos coeficientes dos

términos de máis alto grado

52

3232

2

x

xxlimx

Indeterminado

Razoadamente :

2

2 2 2 2 2

22x x x

22 2

3x 2x 3 2 33

3x 2x 3 3 0 0 3x x x x xlim lim lim52x 52x 5 2 0 2

2xx x

Ou tamén así :

2

3

2

3lim

2

3lim

52

323lim

2

2

2

2

xxx x

x

x

xx

Páxina 7

c) Grado do numerador menor que o grado do denominador : O límite é sempre cero

52

3233

2

x

xxlimx

Indeterminado

Razoadamente :

2

2 3 3 3 2 3

33x x x

33 3

3x 2x 3 3 2 3

3x 2x 3 0 0 0 0x x x x x xlim lim lim 052x 52x 5 2 0 2

2xx x

Ou tamén 033

lim2

3lim

52

323lim

3

2

3

2

xx

x

x

xx

xxx

A indeterminación / pode aparecer noutros límites que non son cocientes de polinomios inda que é o

caso máis típico e necesitaremos outros métodos para resolvelos, como facer operacións previas para

simplificar a expresión

8) INDETERMINACIÓNS DO TIPO 0/0 Aparecerán sobre todo en cocientes de polinomios onde se anulan simultáneamente o numerador e o

denominador. A solución será descompoñer en factores o numerador e o denominador para poder eliminar

o factor común que os anula. E como en tódolos casos ás veces convén facer algunha operación previa que

simplifique a expresión. Para factorizar usaremos estes métodos :

Se é posible sacar factor común :

0

02

0

x

xxlimx

Indeterminado. Entón 111

00

2

0

)x(limx

)x(xlim

x

xxlim

xxx

Se é posible aplicar igualdades notables :

Diferencia de cadrados = Suma x Diferencia

0

0

2

42

2

x

xlimx


22

2

4

22

2

2

)x(limx

)x)(x(lim

x

xlim

xxx

Cadrado dunha suma. Cadrado dunha resta

0

0

1

122

1

x

xxlim

x


1

1

12

1

2

1

2

1

)x(limx

)x(lim

x

xxlim

x x x

0

0

2

442

2

x

xxlim

x


2

2

44

2

2

2

2

2

)x(limx

)x(lim

x

xxlim

x x x

Se temos un polinomio de 2º grado cbxxa 2 sempre podemos factorizalo así

)xx)(x-(xa cbxxa 1

2

2 onde x1 e x2 son as solucións da ecuación 0 cbxxa 2

0

0

372

2322

2

2

1

xx

xxlim

x


2

2

132

2

122

372

232

2

1

2

12

2

2

1

x

xlim

)x)(x(

)x)(x(

limxx

xxlim

x x x

Regra de Ruffini. Sempre podemos usar o número ó que se acerca x como primeiro número para dividir por

Ruffini

2

3

4

1

422

122

16208

43

223

23

2

x

xlim

)x)(x)(x(

)x)(x)(x(lim

xxx

xxlim

2xx x

Neste caso empezaríamos dividindo por Ruffini entre 2 :

Páxina 8

9) INDETERMINACIÓNS

Normalmente operando na expresión da función convertense nun límite directo ou ben noutra

indeterminación coñecida:

0

12

0

3

4

12

2

322 xx

limx

Indeterminado

operando:

0

0

4

63

4

1223

4

12

2

3222222

x

xlim

x

xlim

xxlim

xxx

)( Indeterminado. Hai que factorizar:

4

3

2

3

22

23

22

xlim

))(x(x-

)(x-lim

xx

Se na expresión da función hai unha resta na que polo menos aparece unha raíz cadrada funciona bastante

ben multiplicar e dividir pola expresión conxugada.

xxxlimx

32 Indeterminado

Entón :

)()()(

))((

xxx

xlim

xxx

xxxlim

xxx

xxxxxxlimxxxlim

xxxx 3

3

3

3

3

333

22

22

2

222

Usamos que suma por diferencia é igual a diferencia de cadrados. Chegamos asi ata unha

indeterminación

que resolveremos como no caso do cociente de polinomios dividindo entre o termino de

maior grao:

2 2 2x x x x

2

3x 3x

3x 3 3 3x xlim lim lim lim23 1 0 1x 3x x x 3x x x 3x x

1 1xx x x x

Ou así : )3(

3lim

2 xxx

x

x

)(

3lim

2 xx

x

x

)(

3lim

xx

x

x 2

3

2

3lim

x

x

x

Páxina 9

Páxina 10

ASÍNTOTAS. ( Como exemplo do cálculo de límites ) Asíntotas horizontais. A recta y = k é asíntota horizontal da función y = f(x) se existe algún dos

límites:

lim ( ) lim ( )x x

f x k ou f x k

Como moito dúas asíntotas horizontais

A gráfica pode cortar á asíntota horizontal pero na maioría dos casos a partir dun punto permanece por

encima ou por debaixo dela

Convén estudiar se a gráfica da función aproxímase á asíntota por encima ou por debaixo.

Asíntotas verticais. A recta x = a é unha asíntota vertical da función y = f(x) se existe algún dos

seguintes límites:

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

x a

x a

x a

f x

f x

f x

Pode haber infinitas asíntotas verticais

Nos cocientes de funcións están nos ceros do denominador que non anulan o numerador

Páxina 11

Asíntotas oblicuas. A recta y = m.x +n , con m 0, é unha asíntota oblicua de y=f(x) se existe algún

dos límites lim[ ( ) ] lim[ ( ) ]x x

f x mx n f x mx n

0 0 ou con mf x

xf x mx

x x

lim

( )lim[ ( ) ] e n =

m ten que ser un número real non nulo e n un número real

Se unha función ten asíntotas oblicuas en + ou - entón non pode ter horizontais e recíprocamente.

A gráfica da función pode cortar a asíntota oblicua.

Convén estudiar se a gráfica da función aproxímase á asíntota por encima ou por debaixo.

Unha función racional ten asíntotas oblicuas se o grado do numerador é unha unidade maior que o grado

do numerador, e pódense calcular efectuando a división

Exercicios :

1) a)

4

12

2

322 xx

limx

b)

1

3

1

121 x

x

x

xlimx

c)

xx

x

x

xlimx 4

2

4 24 d)

20

142

x

x

xlimx

2) a) 1

xxlimx

b) )( 1152

xxxlimx

c) 121 22

xxxxlimx

LÍMITES INMEDIATOS e

1. a) 1

4lim(2 6)x

xx

b)

3

2 1lim

4 2x

x

x

c)

0lim

2x

x

x d)

3

2lim

5 7x

x

x

2. a)

2

2

0

3 1lim

2

x

x

x

x

x

b)

2

3

5 3 6lim

2 4x

x x

x x

b)

3. a)4

4 2

3 7 1lim

2 3x

x x

x x x

b)

7

5 5

6lim

8x

x

x x

c)

2 12 3

2

3 2lim

1

x

x

x

x

x

d)

24 7lim

2 1x

x

x

e)24 7

lim2 1x

x

x

4. Dada

2 4 0

( ) 2 10

5

x se x

f x xse x

. Fai a gráfica da función e calcula :

a) 2

lim ( )x

f x

b) 2

lim ( )x

f x

c) 0

lim ( )x

f x

d)0

lim ( )x

f x

5. Debuxar catro gráficas de funcións que verifiquen:

Páxina 12

a) 3

lim ( ) 2x

f x

b) lim ( )x

f x

c) lim ( ) 3x

f x

d) 2

lim ( )x

f x

6. Tendo en conta a seguinte gráfica, correspondente a unha función y = f(x),. calcula os seguintes límites e

indica cales serían as asíntotas:

a) lim ( )x

f x

b) lim ( )x

f x

c) 1

lim ( )x

f x

d) 1

lim ( )x

f x

e) 1

lim ( )x

f x

f) 0

lim ( )x

f x

g) 0

lim ( )x

f x

h) 0

lim ( )x

f x

i) 5

lim ( )x

f x

j) 5

lim ( )x

f x

k) 5

lim ( )x

f x

Límites de funcións - edu.xunta.gal · Páxina 5 5) COMPARACION DE INFINITOS Cando x) f f e x) f...

Documents

Transcript of Límites de funcións - edu.xunta.gal · Páxina 5 5) COMPARACION DE INFINITOS Cando x) f f e x) f...