130 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

Y en vi r tud de la fórmula (4), obtenemos:

p' cotg p. = — = a, es decir, p. = arccotg a = const.

P

Ejercicios

Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las fun­ciones:

1 1 1. y = x 3. Resp.: 3x2. 2. y = —. Resp.: - —.

1 1 _ 1 3. y B V x Resp.: — — . 4. y = Resp.:

2 V x Vx 2xVx 5. y = sen2 x. Resp.: 2 sen x eos x. 6. y = 2x2 - x Resp.: 4x - 1.

Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:

7. y = x 3; a) Cuando x = 1. Resp.: 3. b) Cuando x = - 1 . Resp.: 3; construir la gráfica.

8. y = — . a) Cuando x = —. Resp.: - 4 . b) Cuando x = 1. Resp.: - 1; x 2

construir la gráfica.

— " 1 nr 9. y = Vx cuando x = 2. Resp.: — V2.

7 ' 2

Hallar las derivadas de las funciones:

10. y = x* + 3x2 - 6. Resp.: y ' = 4x3 + 6x.

11. y = óx 3 - x 2. Resp.: y' = 18x2 - 2x.

x ' x 2 • 5x< 2x 12. y = - x. Resp.: y = - 1.

a + b a - b a + b a — b x 3 - x 2 + 1 3x2 - 2x

13. y = . Resp.: y' = .

x 2 2x 14. y = 2ax3 h c. Resp.: y' = 6ax2 .

b b 7 _5_ 5 3

15. y = 6 x T + 4x 2 + 2x. Resp.: y' = 21x T + 1 0 x T + 2.

_ 1 V T 1 1 16. y = V3x + ^'x + —. Resp.: y' = — + — — .

x 2Vx 3>^x2 x 1

(x + iy Mx + lHx-l) 17. y = - — . Resp . y1 ; .

x~ 2x~

18. y

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 131

x m x2 n2 _ 1 m 2x 2n 2

m <• _ * III ¿.II

+ - + - , + - 2 - R e s P - : / = r + -T — r -x « 2 x 2 m x 2 n 2 x 1

_ _ 2 1 1 19. y = ^ x 2 - 2</x + 5. Resp.: V = — — —.

3 ^x Vx

ax2 b 5 1 3 _ 1 1 _ 1 20. y = —— + — — — . Resp.: y' = —axi bx 2 + — x *.

'v'x xVx v.x 3 2 6

21. y = (1 + 4x 3 ) ( l + 2x2). Resp.: y' = 4x( l + 3x + 10x3).

22. y = x(2x - l)(3x + 2). Resp.: y' = 2(9x2 + x - 1).

23. y = (2x - l ) ( x 2 - 6x + 3. Resp.: y' = 6x2 - 26x + 12.

2x< 4 x 3 ( 2 b 2 - x 2 ) 24. y = . Resp.: y' = b2 - x2 (b2 - x 2 ) 2

• a — x 2a 25. y = . Resp.: y ' = -

a + x (a + xY

' 3 /2(3 + / 2 ) 2<¡. / ( O = -. Resp.: / ' ( / ) =

1 + t1' " (1 + t2)2 '

u x < s + 4 ^ r, ( s + 2)(s + 4) 27. /(s) = — . Resp.: f(5) = .

• s + 3 (s + 3?

x1 + 1 x 4 - 2x3 - 6x2 - 2x + 1 28. y = — — i - . Resp.: y =

x 2 - x - 2 (x2-x-2Y

29. y = . Resp.: >' = i x'" - a'" {Xm _ a-yt

30. y = (2x2 - 3) 2. Resp.: y' = 8x(2x2 - 3).

31. y = {x2 + a2)K Resp.: y = 10x(x2 + a 2) 4.

32. y = Vx 2 + a2. Resp.: y' =

33. y = (a + x)Va - x. Resp.: y' =

V x T + f l J

a - 3x

2 V Ü - X

1

(1 - x)VT - x

2x2 - 1 1 + 4x2

3->- y = — • Resp.: y' = xVTTx 2" *~- ' 3 • x 2 (l + x 2) 2

36. y = -f/x2 + í + T Resp.: y' = — ' + 1 - . 3^(x2 + x + l ) 2

x + Vx

132 CALCULO D I F E R E N C I A L E INTEGRAL

37. y = (1 + Vx?. Resp.: y ' = ( 1 * ^ = ) '

39. y = sen2 x. Resp.: y ' = sen 2x.

40. y = 2 sen x + eos 3x. Resp.: y ' = 2 eos x - 3 sen 3x.

41. y = tg. ( « + * ) . Resp.: y' = c o s 2 ( ^ + ¿ j ) -

sen x 1 42. y = . Resp.: y = 1 + eos x 1 + eos x

43. y = sen 2x eos 3x. Resp.: y' = 2 eos 2x eos 3x - 3 sen 2x sen 3x.

44. y = cotg 2 5x. Resp.: y ' = - 10 cotg 5x esc2 5x.

45. y = t sen t + eos t. Resp.: y ' = r eos f.

46. y = sen3 t eos f. Resp.: y ' = sen2 í (3 eos2 t — sen2 / ) .

a sen 2x 47. y = a Veos 2x. Resp.: y' = — V eos 2x

O <t> <I> 48. r = a sen3 —. Resp.: r' = a sen2 — eos —.

3 • 3 3 x x i , / * '* ) tg — + cotg — 2x eos x + sen2 x I tg — + cotg —

45). y = 1 L . R e S p . : y = _ , \ 2—' x 7 x 2 sen2 x

( X \ X X 1 — eos2 y j . Resp.: y' = 2a sen3 — eos —.

51. y = — tg 2 x. Resp.: y ' = tg x se2 x.

52. y = ln eos x. Resp.: y = - tg x.

33. y = ln tg x. Resp.: y' = sen 2x

54. y = ln sen2 x. Resp.: y' = 2 cotg x.

ls * - 1 D

5». y = . Resp.: y = sen x + eos x. SC X

« * / 1 + sen r . 1 56. y = ln \ . Resp.: y' =

V 1 - ¿en Í ' eos x

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 1 133

5 7 . y = i n t g ( ^ + | ) . R e s p , v ^ - i ^ .

58. y = sen (x + a) eos (x + a). Resp.: y ' = eos 2 (x + 2).

eos (ln x)

x se2 ( ln x)

59. f(x) = sen ( ln x) . Resp.: f(x) =

60. / (x) = tg (ln x) . Resp.: / ' (x) = X

>

61. / (x) = sen (eos x) . Resp.: f'(x) = sen x eos (eos x) .

1 • ' " dr u < 62. r = — tg 3 $ - tg $ + 4>. Resp.: = tg* <t>.

3 dí>

63. / ( x ) = (x cotg x ) 2 . Resp.: / ' (x) = 2x cotg x (cotg x - x esc2 x) .

a 64. y = ln (ax + b). Resp.: y ' =

65. y = log (< (x 2 + 1). Resp.: y' =

66. y = l n - . Resp.: y =

ax + b

2x

(x 2 + l ) ln a

1 - x r 1 - x'

2x — eos x 67. y = log 3 (x2— sen x). Resp.: y' =

1 + x 2 4x 68. y = ln . Resp.: y' =

(x 2 — sen x) ln 3

1 - x*

2x + 1 69. y = ln (x 2 + x). Resp.: y ' =

70. y = ln (x 3 - 2x + 5). Resp.: y' =

x 2 + x

3x2 - 2

x 3 - 2x + 5

71. y = x ln x. Resp.: y' = ln x + 1.

3 l n 2 x 72. y = l n 3 x. Resp.: y' = .

x

1 73. y = ln (x + V I + x 2 ) . Resp.: y' =

74. y = ln (ln x). Resp.: y ' =

V I + x 2

1

x ln x

. : f ( * ) = T

— . . . . \ i + x _ . . . .

ÍO. / ( x ) = Jr, y/ T .

CÁLCULO D I F E R E N C I A L E INTEGRAL

76. Vx 2 + 1 - x n 2

W = l n v x * - i + x * R e s p " : m • - " " v l ^ •

77. y a + Va 2 + x f Va 2 + x2

= Va2 + x2 - a ln . Resp.: y'

78. y = ln (x + V~cM- a2) -

81.

87.

x

V"x2~Ta2

79. y = -

Resp.: y' =

eos x 1 x „ 1 : + — ln tg —. Resp.: y = — .

2 sen2 x 2 2 sen3 x

x

Vx 2 T a 2 "

sen x 1 + sen2 x 80. y = — • Resp.: y' =

2 eos2 x 2 eos3 x

y = i - tg 2 x + ln eos x. Resp.: y' = tg 3 x. 82. y = e« . Resp.: y' = ae<".

y = e*x+5. Resp.: y' = 4e 4 x+ 5. 84. y = a*1. Resp.: 2xa<2 ln a.

y = Resp.: y' = 2(x + 1)7*,+2* ln 7.

y = c a 2- x ' . Resp.: y' = — 2xc a '-* J ln c.

y = aeV*. Resp.: y' =

r = a ' ° 8 . Resp.:

>VT 2 V T

dr ain e ln a

i. r = a0. Resp.: r = a8 ln a.

d9

= e* (1 - x 2 ) . Resp.: y = ex (1 - 2x - x 2 ) .

ex - 1 „ 2c« Resp.: y =

92. y = ln

e* + 1

1 + e -. Resp.: y' =

(e» + l ) 2

1

1 + e* a * 1 f_ _ *

y = ( C - e •»). Resp.: y' = y (e f l + e • ) .

y = esenx Resp.: y' = e s e n* eos x.

y =a'«n*. Resp.: y' = na1' n x se2 nx ln a.

y = e c o s 1 sen x. Resp.: y' = ecosx (eos x - sen2 x).

y = ln sen x. Resp.: y' = e* (ctg x + ln sen x).

y = x"e s c n*. Resp.: y' = x"-lescnx (n + x eos x).

y = x*. Resp.: y' = xx (ln x + 1).

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 135

101. y = xtnx. Resp.: y' = x 1 " 1 " 1 ln x 2 .

102. y = e*'. Resp.: y' = e* (1 + ln x)x*.

, . , í = ( i ) " - . R e s p , >. = „ ( £ ) " ( . + . „ ¿ ) .

/ sen x - \ 104. y = x 5 c n x . Resp.: x s e n x I — 1- ln x eos x J .

105. y = (sen x><. Resp.: (sen x> l ( ln sen x + x cotg x).

106. y = (sen x)l'x. Resp.: y' = (sen x ) ' » x ( l + sec2 x ln sen x).

1 - e* e2-» 1 107. y = t g - . Resp.: y' = -1 + e* (1 + e*)2 l - e*

eos2

1 + ex

eos V1 - 2* 108. y = sen V I - 2X. Resp.: y = _ _ _ — 2 X ln 2 2V1 - 2X

109. y = 10* 'Í * Resp.: y' = 10* •« x ln 10 ( tg x + — - — J . \2 x /

. Calcular las derivadas de las siguientes funciones hallando previamente sus logaritmos:

V (x- l) 2 P 7 3 V (x - l ) 2 \ x 2 + 1 x - i J :

m y = (x + i>3vTx-=TF R e s p , v . = ( x + i m T 3 2 j r x

^ ( x - 3)2 ^ ( x - 3) 2

/ 3 3 __2 \ X \x + 1 + 4 ( x - 2 ) 5 ( x - 3 ) J '

, . , ( *+ l ) 2 , (x + l)(5x 2 + 14x + 5) 112. y = — . Reso ' v =

(x + 2) 3(x + 3)< P y (x + 2)<(x + 3)5

113. y = fczjy R e s p ; y = - 161x2 + 480x - 271 -</{%- 2^{x - 3) 7 60^(x - l ) 3 V ( x - 2 ) ^ ( x - 3)

x(l + x 2 ) n 1 1 + 3x2 -2x*

m - v = T í ^ r - R e s p - : y =

10

(1 - X 2 ) 2

115. y = x\a + 3x)3(a - 2xY. Resp.: y' = 5x4(a + 3x)2(a - 2x)(a 2 + 2ax - 12x2).

116. y = aresen —. Resp.: y' =

117. y = (arasen x)2. Resp.: y' =

a Va 2 - x2

2 aresen x

VI - x2

136 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E INTEGRAL

118. y = arctg {x* + 1). Resp.: y = y - — + i y .

2* „ , 2 119. y = arctg — - j - . Resp.: y = J - J—.

- 2x 120. y = arceos (x 2 ) . Resp.: y' = , — - j = = r

2x

arceos x , _ (x + V I - x 2 arceos x) 121. y = Resp.: y = — i - =

' x x 2 V1 - x 2

122. y = aresen t ± L . Resp.: y' = - = ^ = = f .

x 123. y = xVa 2 - x 2 + a 2 aresen —. Resp.: y' = 2Va 2 - x 2.

124. y = V a 2 - x2 + a aresen i Resp.: y' = ^ /

v + a du 1 125. u = arctg . Resp.:

a + x

1 — av dv 1 + v 2

1 x V T x 2 + 1 126. y = —— arctg . Resp.: y' =

V T 1 - x 2 x* + x2 + J

x 127. y = x aresen x. Resp.: y ' = aresen x +

128. / ( x ) = arceos (ln x) . Resp.: f'(x) = -

yJX^x2

1

129. / ( x ) = aresen V sen x. Resp.: f ( x ) =

x V 1 — l n 2 x

eos x 2 V sen x — sen2 x

VI - eos x i n . _ 1

(0 < x < Tt). Resp.: y' = —. 1 + eos x 2

earctg x 131. y = earctg x. Resp.: y' =

1 + x 2

gJC g-x 2 l. y = arctg . Resp.: y ' =

e' + e-<

ln x I . y = jaresen x, Resp.: y' = ¿aresen * ̂ aresen X +

V I - x 2

. „ , eos x ( + 1 en los cuadrantes 1.° y 4.° 134. x = aresen (sen x) . Resp.: y = - • = , , , ,

eos x j - 1 en ios cuadrantes 2.° y 3.°

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L

4 sen x 4 135. y = arctg . Resp.: y' =

3 + 5 eos x 5 + 3 eos x

a A / x — a 2a3

136. y = arctg — h ln \ . Resp.: y = . x V j + a x 4 - a4

\_

, / 1 + * \ 1 ~ . x 2

137. y = ln - — arctg x. Resp.: y' = - . V 1 - x / 2 1 - x 4

3x2 1 x* + 1 138. y = — — — + ln V 1 + x 2 + arctg x. Resp.: y' = 3*J c . r * x< + x* '

1 , x + 1 1 2x - 1

m y = T Vx 2-ZTTT + 7T a r c t g " T T ' R e s p - : y = , 1 + x V"2~+ x 2 . x v ' T w 4 V T

110. y = ln — 7 = + 2 arctg -. Resp.: y' = . 1 - x V 2 + x 2 6 1 - x 2 v * 1 + x*

x2" - 1 2« | x I» 141. y = arceos . Resp.: y ' = -

x 2" + 1 r x(x 2" + l )

Derivación de funciones implícitas:

¿y Calcular , si:

dx dy 2p

142. y 2 = 4px. Resp.: = . 143. x 2 + y 2 = a2. Resp. dx y

dy b2x 144. b 2x 2 + a2y2 = a2b2. Resp.: .

dx a2y

dy 2a 145. y 3 - 3y + 2ax = 0. Resp.:

1 1 " dy . / y 146. x 2 + y 2 = aT Resp.: —— = - i / -

2 2 2 147. x 3 + y 3 = a 3. Resp.:

dx dy

148. y 2 - 2xy + b2 = 0. ~

ax 3(1 - y 2 )

dx""" " V x

3 <*> \ y

I 7-

dx y — x

dy ay — x 2

149. x ' + y 3 - 3axy = 0. Resp.: = dx y 2 — ax

138 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

dy 1 + y sen (xy) 151. eos (xy) = x. Resp.: =

dx x sen (xy)

dy ":,'•• - - .;:' " Hallar para las funciones dadas paramét r i camente :

dx

dy b 152. x = a eos t, y = b sen t. Resp.: = cotg t.

dx a dy t

153. x = a(t - sen / ) ; y = a{l - eos f). Resp.: = cotg —. dx 2

dy b 154. x = a eos3 /; y — b sen3 t. Resp.: = tg /.

dx a lat Sat2 dy 2t

155. x = - ; y = -• Resp.: 1 + 1 + t2 dx 1 - t2

du 156. u = 2 ln cotg s, v = tg s + cotg s. Demuéstrese que = tg 2s.

ds

Hallar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:

1 V T 157. -x = eos í, y = sen í en el punto x = — —, y = —y. Construyase la grá-

1 fica. Resp.: ——.

V T

vi" 158. x = 2 eos t, y = sen í en el punto x = 1, y = . Construyase la grá-

1 fica. Resp.:

2

2 V3

159. x = a(t - sen ?), y = a ( l - eos t) cuando t = —. Construyase la grá­

fica. Resp.: 1.

160. x = a ees3 t, y = a sen3 t cuando t = —. Construyase la gráfica. Res-4

puesta: — 1.

161. Un cuerpo lanzado al vacío, formando con la horizontal un ángulo a, describe, por acción de la gravedad, una curva (parábola) cuyas ecua-

gt2

ciones son x = v 0 eos at, y --= v„ sen af (g = 9,8 m/s 2). Sabiendo que a = b0*( i»0 = 50 m/seg, determinar la dirección del movimiento cuandu: 1) / = 2 seg; 2) t = 7 seg. Construir la gráfica. Resp • 1) tg <p, = 0,948, cp, = 43° 30'; 2) tg q>2 = - 1,012, <p2 = + 134' 7'.

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 139

Hallar las diferenciales de las funciones siguientes:

162. y = (a 2 - x 2 ) 5 . Resp.: dy = - 10x(a2 - a 2) 4 dx.

, xdx 163. y = V 1 + x2. Resp.: dy = •

V 1 + x 2

164. y = y tg 3 x + tg x. Resp.: dy = se4 x dx.

x ln x , , . ' „ . ln x dx 165. y = - — j - + ln (1 - x). Resp.: dy = — - .

i - x ( l - xy Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones:

166. y = 2x2 - x cuando x = 1, Ax = 0,01. Resp.: Ay = 0,0302, dy = 0,03. 167. Dada y = x 3 + 2x. Hállese Ay y dy cuando x = - 1, Ax = 0,02. Respues­

ta: Ay = 0,098808, dy = 0,1.

u n n 168. Dada y = sen x. Hállese dy cuando x = —, Ax = —. Resp.: dy = — =

= 0,00873. 3 1 8 3 6

V T i 169. Sabiendo que sen 60° = —— = 0,866025; eos 60° = —, hallar los valores

aproximados de sen 60* 3' y sen 60° 18'. Comparar los resultados con datos tabulares. Resp.: sen 60" 3 '= 0,866461; sen 60* 18' » 0,868643.

170. Hallar el valor aproximado de tg 45° 4'30". Resp.: 1,00262.

171. Sabiendo que log 1 0 200=2,30103, hallar el valor aproximado de loe, 0 200.0. Resp.: 2,30146.

Derivadas de diversas órdenes.

172. y = 3x3 - 2x2 + 5x - 1. Hallar y". Resp.: 18x - 4.

_ 42 JL 173. y = V x 3 . Hallar y". Resp.: x 5 .

125

174. y = x 6. Hallar y<6>. Resp.: 6!.

C M(M + 1)C 175. y = . Hallar y". Resp.: x" x"+ 2

176. y = Va 2 - x 2. Hallar y". Resp.: -

177. y = 2Vx. Hallar y<4>. Resp.: -

a2

(a 2 - x 2 ) V a 2 - x 2

15

178. y = ax2 + bx + c. Hallar y'". Resp.: 0.

179. ,{x) = ln (x + 1). Hallar P(x). Resp.: -( x + l ) 4

140 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

180. y = tg x. Hallar y'". Resp.: 6 sec4 x - 4 sec2 x.

181. y = ln sen x. Hallar y'". Resp.: 2 ctg x cosec2 x.

182. / ( X ) = Vsec 2x'. Hallar f\x). Resp.: /"(*) = 3 [f(x)V - /(*)•

183. y = -y^y- Hallar /<4>(x). Resp.: { l ^ x ) S -

q cPp 4a3

184. p = (q2 + a2) arctg - . Hallar — . Resp.: ( q 2 - q 2 y •

• « i _ i _ d^y y 185. y = y (e- + e Hallar — . Resp.:

186. y = eos ax. Hallar y<">. Resp.: a" eos f ax+Wy J .

187. y = a*. Hallar y<">. Resp.: ( ln a"Ja*.

( n - D! 188. y = ln (1 + x). Hallar y<»>. Resp.: ( - 1)"- '— - .

(1 + x)"

1 - x n! 189. y = . Hallar y<">. Resp.: 2 ( - 1)"-1 + x (1 + x>'+« 190. y = e'x. Hallar y ( , l ) . Resp.: ex(x + n).

( n - 1)! 191. -y = x"- ' ln x. Hallar y'"». Resp.: .

x

192. y = sen2 x. Hallar y<">. Resp.: - 2"-' eos ^ 2x + y n j •

193. y = x sen x. Hallar yM. Resp.: x sen ^ x + yH^-n eos |

194. Si y = e* sen x, demuést rese que y" — 2y' + 2y = 0.

cP-y 4a2

195. y 2 = 4ax. Hallar . Resp.: . dx 2 y 3

¿P-y d 3y b* 3b*x 196. bx 2 + a 2y 2 = a2b2. Hallar — y — . Resp.: ; .

dx 2 dx} a 2y 3 a*ys

d2y r 2

197. x 2 + y 2 = r 2. Hallar — - . Resp.: -. dx 2 y 3

d3y 198. y 2 - 2xy = 0. Hallar . Resp.: 0.

dx 3

d3p 2(5 + 8p2 + 3p«) 199. p s tg (<p + p). Hallar . Resp.: — .

dy1 p8

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 141

200. sec <p • eos p = C. Hallar — - . Resp.: (Pp tg 2 p - tg 2 <p

dep2 ' tg 3 p

¿Py (1 - e**'j(e* - ey) 201. M + x =2e>' + y. Hallar — . Resp, ^ + ^

d 2y 2a3xy 202. y 3 + x 3 - 3ÍIXV = 0. Hallar — — . Resp.: - — - .

7 dx 2 (y 2 - ax) 3

(Py 1 203. x = a ( í - sten f), y = a ( l - eos í). Hallar ——. Resp.: -

dx 2 4a sen4 ( T ) (Py

204. x = a eos 2i, y = b sen2 /. Demuéstrese que = 0. dx 2

d3y 3 eos í 205. x = a eos f, y = a sen f. Hallar . Resp.: -dx 3 a2 sen5 í

d 2» cP-'+i 206. Demuéstrese que —— (sh x) = sh x; (sh x) = ch x.

dx2" . d x 2 n + I

Ecuaciones de la tangente y de la normal.

Longitudes de la subtangente y de la subnormal.

207. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x 3 - 3x2 - x + 5 en el punto M(3, 2). Resp.: tangente 8x - y - 22 = 0; normal x + 8y - 19 = 0.

208. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal, así como las longi­tudes de la subtangente y subnormal de la circunferencia x 2 + y 2 = r 2

en el punto M(x\, y¿). Resp.: tangente xxi + yyi = r 2; normal Xiy —

- y,x = 0; sT = \ — ; S N — I — x\

209. Demostrar que la subtangente correspondiente a un punto arbitrario de la parábola y 2 = 4px queda dividida por el vértice en dos partes iguales y que la subnormal es constante e igual a 2p. Construir la grá­fica.

210. Hallar la ecuación de la tangente en el punto AÍ(X| , yj): a) A la elipse x 2 y 2 xxi yy, x 2 v 2

— + — = 1. Resp.: + = 1. b) A la hipérbole — = 1. a2 b7 a? h- a2 b2

xxx yy, Resp.: = 1.

a2 b2

211. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva de Agnesi

y - — en el punto donde x = 2a. Resp.: tangente x + 2v = 4a; 4a2 + x 2

normal v + 2x - 3a.

142 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

212. Demostrar que la normal a la curva 3y = 6x - 5x3 en el punto

M ( 1, y J, pasa por el origen de las coordenadas.

213. Demostrar que la tangente a la curva ( ~~ ) + ( ) = 2 e n e l P u n t 0

x y M(a, b) viene dada por la ecuación — H = 2.

a b

214. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y 2 = 20x que forma con el eje Ox un ángulo de 45°. Resp.: y = x + 5 [en el punto (5, 10)].

215. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia, paralelas a la recta 2x + 3y = 6. Resp.: 2x + 3y ± 26 = 0.

216. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 4x2 - 9y2 = 36, per­pendiculares a la recta 2y + 5x = 10. Resp.: no existen tales tangentes.

217. Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = m, com­prendido entre los ejes de coordenadas, queda dividido por el punto de tangencia en dos partes iguales.

L — — 218. Demostrar que el segmento de tangente a la astroide x 3 + y 3 = a 3, com­

prendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud constante.

219. Hallar el ángulo a de corte de las curvas y = ax e y = bx. Respuesta: ln a — ln b

tg a = . 1 + ln a • ln b

220. Hallar las longitudes de la subtangente, subnormal, tangente y normal de la cicloide x = a(9 — sen 9), y = a ( l — eos 9) en el punto en que

•K _

9 = —. Resp.: sT = a; sN = a; T = a V 2; A/ = aV2.

221. Hallar los valores sT, sN, T y N para la hipocicloide de x = 4a eos3 /, sen4 t

y = 4a sen3 t. Resp.: sT = - 4a sen2 / eos t; sN = - 4a ; T = eos /

= 4a sen2 t; N = 4a sen2 t tg t.

Problemas diversos

Calcular las derivadas de las funciones:

sen x 1 / TZ x \222. y = - — ln tg - - — Resp.: y' = -

2 eos2 x 2 \ 2 / eos1

1 1 223. y = aresen —. Resp.: y' =

x r ' I x I V x 2 - 1 sen x

224 y = aresen (sen x). Resp.: y' = I sen x

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 143

a - b rctg I

1

2 l a - b x \ 225. y = — 7 - — • arctg — — - tg - (a > 0, b > 0).

v a 2 — b2 \ + b 2 /

Resp.: y' = a + b eos x

226. y = x . Resp.: y' = -—¡

227. y = aresen v 1 — x 2. Resp.: y' = — •—¡ • • » | x | V1 - x 2

228. De las fórmulas para calcular el volumen y la superficie de la esfera 4 dv . . .

v = — i t r 3 y s = izr2, se deduce que = s. Explicar el significado géo-3 dr

métr ico de este resultado. Hallar la relación análoga entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

229. En el triángulo ABC, el lado a se expresa en función de los otros dos lados b, c y el ángulo A formado por estos últ imos, mediante la fór­mula a = V b2 — c2 — 2bc eos A. Siendo invariable b y c, a es función

da del ángulo A. Demostrar que = ha, donde ha es la altura del trian­

do guio correspondiente a la base a. Interpretar el significado geométrico de este resultado.

230. Empleando el concepto de diferencial, interpretar el origen de las fór-b b

muías aproximadas v a2 + b = a -\ -v^a3 + b » a -\ donde \b\ 2a 3a 1 1

es un número pequeño, en comparación con a.

231. E l per íodo de oscilaciones de un péndulo es T = n ^ ~• ¿Oué influencia

tiene sobre el error, al calcular el valor del per íodo T, un error del 1 % cometido al medir:

1) la longitud del péndulo /; 2) la aceleración de la fuerza de la

gravedad g? Resp.: 1) * — %; 2) = — %.

232. La tractriz tiene la propiedad de que en cada uno de sus puntos, el segmento de tangente T es de longitud constante. Demostrar esto:

1) dada la ecuación de la tractriz:

fl a _ Va 2 - y 2

x = V a2 - y 2 + ln J ( a > 0);

2 a + V a2 — y 2

2) dadas las ecuaciones paramét r icas :

t x = a(ln tg — + eos / ) , y = a sen t.

233. Demostrar que la función y = Cxe~x + C2e-2x satisface la ecuación y + 3y' + 2y = (Cj y C2 son constantes).

144 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

234. Suponiendo que y = ax sen x, z = e* eos x, demostrar que

y" = 2z, z" = - 2y.

235. Demostrar que la función y = sen (m aresen x) satisface la ecuación

(1 - x2) y" - xy + m2y = 0.

y 236. Demostrar que si (a - bx)ex = x , se tiene:

. X dx2 \ d x y )