Viga_sobre_lecho_elástico

1

VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO

Profesor: Ing. Daniel E. Weber

J.T.P.: Ing. Sebastián Romero

Cimentaciones U.T.N. – Facultad Regional Santa Fe – 2009

E-Mail: [email protected]

La viga sobre lecho elástico constituye el caso lim ite de una viga continua sobre apoyos elásticos, cuando la distancia entre l os apoyos tiende a cero

Viga sobre apoyos elásticos

P1 P2q1

q2

Principios

2

Viga sobre lecho elastico

P1 P2q1

q2

Lecho elástico el medio retiene la viga cuando tiend e a levantarseisótopohomogéneoelástico de variación lineal

P1 P2 q1 q2

cm

Kg

cm

cm

Kg

yi

piCK

3

2

=→==

piC

yi ∗= 1

balastodeeCoeficientCK ==

Para una viga de esta clase, puede suponerse que la flecha de la misma es igual al asentamiento que experimenta el terreno situado debajo.

C es la medida de la rigidez elástica del terreno. Coeficiente de Balasto.

3

La teoría de la viga flotante sobre lecho elástico, permite deducir la ecuación general que expresa la presión del suelo en función de las abscisas de cada punto de la viga:

( )xfpi =

Y por lo tanto del asentamiento:

( )xfC1

yi =

Deducción de la fórmula para la deformación:

( )xfy =

La viga tiene un ancho b y está solicitada por una carga continua cualquiera.

La presión del suelo es p = C.y

( ) ( ) dxyCqbdxpqb ⋅⋅−⋅=⋅−⋅

x

y

dx

q

p

x

y

dx

p

P1P2 P3

Viga flotante solicitada por una carga continua

Viga flotante solicitada por una carga discontinua

Un elemento de longitud dx está sometido a una carga

( )dx

xdf'y =

( )IE

M

dx

xfd''y

2

2

⋅−==

( )IE

Q

dx

xfd'''y

3

3

⋅−==

( ) ( )yCqbIE

1IE

j

dx

xfd''''y

4

4

⋅−⋅⋅⋅

=⋅

== [ ] ( )yCqbcm/kgj ⋅−⋅=

4


La ecuación diferencial es entonces:

( )yCqIE

b

dx

yd4

4

⋅−⋅⋅

=

Para vigas con cargas aisladas y tramos en los que q = 0. La ecuación anterior se simplifica:

yIEbC

dx

yd4

4

⋅⋅⋅−=

Suponiendo vigas con I constante (momento de inercia):

4a4IEbC ⋅=⋅⋅

Donde: 4IE4

Cba

⋅⋅⋅= Elasticidad del medio


La ecuación:

Toma la forma:

yIEbC

dx

yd4

4

⋅⋅⋅−=

Cuya integral es:

( ) ( ) ( ) ( )axseneAaxcoseAaxseneAaxcoseAy ax4

ax3

ax2

ax1

−− +++=

Donde: A1; A2; A3; A4 son constantes que dependen de las condiciones de borde

0ya4dx

yd 44

4

=⋅⋅+

5

Vigas Flotantes con una sola carga en el centro:

Para la figura a) las constantes de la ecuación, quedan determinadas por las condiciones:

Para x = 0 debe ser y’ = 0

Para x = L/2 debe cumplirse M = 0 y Q = 0 o sea que y’’ = y’’’ = 0

Además:

∫ =⋅⋅⋅2/L

0 2P

dxybC

De ellas se obtiene:

LbP

P 00 ⋅⋅χ=

LbP

P 11 ⋅⋅χ=

8LP

M M0⋅⋅χ=


En la siguiente tabla figuran valores para c0; c1; cM en función de l = a.L donde:

4IE4

Cba

⋅⋅⋅=

0,000,100,730,941,00c1

1,711,641,181,011,00c0

0,700,740,921,001,00cM

p3.02.01.00l

Si l>p los dos extremos de la viga se levantan y separan del suelo, fig. b). En ese caso se efectúan los cálculos con:

π=⋅=λ 'La'

Elasticidad del medio

6


Ejemplo:

B = 150 cm

D = 60 cm

L = 6,00 m

P = 100 Tn

C = 5 Kg/cm2

E = 210 t/cm2

Calcular M0; P0 y P1

Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladasiguales y aplicadas a distancias iguales entre si:

El origen del eje de abscisas x, se considera situado en el punto medio de la distancia comprendida entre dos cargas consecutivas.

Además: ∫ =⋅⋅⋅2/L

0 2P

dxybC

De ellas se obtiene:Lb

PP 00 ⋅

⋅χ=

LbP

P 11 ⋅⋅χ=

0M0

LPM

χ⋅−=

Para x = 0 y x = L/2 debe ser y’ = 0

1M

1

LPM

χ⋅=

7

16,0

46,0

1,90

0,27

4.0

56,430,725,124,224cM0

18,613,512,512,112,0cM1

2,321,351,081,011,00c1

0,000,610,920,991,00c0

3/2 pppp3.02.01.00l

Calcular con los datos del problema anterior.

Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladasiguales y aplicadas a distancias iguales entre si:

Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada:

El origen del eje de abscisas x, se hace coincidir con el punto de aplicación de la carga.

Una vez establecidas las constantes A1; .....; A4 las funciones y = f(x), y’ e y’’ permiten establecer las siguientes fórmulas:

( ) ( )axe

axsenaxcosb2Pa

p+⋅

⋅⋅=

( ) ( )axe

axsenaxcosa4

PM

−⋅⋅

=

( )axe

axcos2P

Q ⋅=

Estas ecuaciones representan las líneas de influencia de los valores de p, M y Q en el punto 0.

8


Estas líneas de influencia se hallan en la Tabla 1. En función de sus ordenadas h pueden calcularse p0; M0 y Q0, con las ecuaciones:

piiPb2

ap η⋅⋅

⋅⋅= ∑

∑ η⋅⋅⋅

= MiiPa40

1M

∑ η⋅⋅= QiiP21

Q

Para el caso de dos cargas, se toma el origen de x, en el punto de aplicación de la primer carga.

( )2M21M1 PPa40

1M η⋅+η⋅⋅

⋅=

Ejemplo:

B = 150 cm

D = 60 cm

a = 0,0043 cm-1

P1 = 100 Tn

P2 = 50 Tn

Distancia entre cargas = 2,33 m

Calcular M; Q y p en el punto de aplicación de la carga P1


Tabla 1 – Vigas Continuas, Pórticos, Placas y Vigas Flotantes sobre LechoElástico – Ing. J. Hahn

9

Viga Flotante de longitud finita:

Para el caso de vigas flotantes de sección prismática y longitud finita, los coeficientes para el cálculo de M, Q y p han sido determinados.

Estos valores figuran en las tablas 6 a 16 en función de las longitudes elásticas l = a.L comprendidas entre l = 0 y l = 8

Ejemplo:

Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas aisladas. Se supone a = 0,002 cm-1

De aquí resulta l = 0,002 . 1000 = 2

Se utiliza la tabla 7

Las curvas para momentos se determinaron por separado para P1 = 100 Tn y P2 = 20 Tn.

Por ejemplo para el punto 1 de aplicación de P1 se tiene:

Tm6,84m10T100100

46,8M1 =⋅⋅=


Los coeficientes h de P1 se leen en la columna xi/L = 3/10 = 0,3 y los de P2

en la columna xi/L = 8/10 = 0,8

Suponiendo que el ancho de la viga flotante es b = 2 m, las presiones del suelo, en los puntos A y 1 de la viga serán:

LbPP 22P11P

A ⋅⋅η+⋅η=σ

( ) 2A m/T41,9

m10m2T2074,0T10003,2 =

⋅⋅−+⋅=σ

21 m/T01,8

m10m2T2026,0T10055,1 =

⋅⋅+⋅=σ

10


Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas P = 80 T situadas cada una a 2 m de su respectivo extremo. Son C = 1 kg/cm3 y a = 0,002 cm-1, b = 1,5 m: (utilizar la tabla 20)

2p m/T83,10m10m5,1T8003,2

Lb

Pp =

⋅⋅=

⋅⋅η

=

Tm88,32m10T80100

11,4LPM M =⋅⋅=⋅⋅η=


Datos:

L = 5,00 m

b = 2,00 m

P = 60 Tn

h = 0,50 m

C = K = 5 kg/cm3

E = 210 Tn/cm2

Calcular M; p; y (en el centro y extremos de la viga)

C = K

P

4IE4

Cba

⋅⋅⋅=

12hb

I3⋅= La ⋅=λ

11

Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado:

Cuando en el origen A de la viga actúa una carga aislada PA o un Momento MA, las ecuaciones de las curvas M, Q y p son:

Caso a (carga PA): ( )AMAax

Pa1

Pe

axsena1

M ⋅η⋅=⋅⋅=

( ) ( )AQAax

PPe

axsenaxcosQ ⋅η−=⋅−−=

( )APAax

Pba

Pe

axcos2ba

p ⋅η⋅=⋅⋅⋅=

Caso b (momento MA): ( ) ( )AMAax

MMe

axsenaxcosM ⋅η=⋅+=

( )AQAax

MaMe

axsen2aQ ⋅η⋅−=⋅⋅⋅−=

( ) ( )[ ]AP

2

Aax

2

Mba

Me

axsenaxcos2ba

p ⋅η⋅−=⋅−⋅⋅−=

Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado:

En la tabla 5 figuran ya determinados en función de a.x, los valores de los coeficientes h. La flecha yA y el ángulo de giro aA, en el punto A se deducen:

Caso a (carga PA): AA PbCa2

y ⋅⋅⋅=

A

2

A PbC

a2 ⋅⋅

⋅−=α

Caso b (momento MA): A

2

A MbC

a2y ⋅

⋅⋅−=

A

3

A MbC

a4 ⋅⋅

⋅−=α

12

Viga de Fundación Elástica (T.P. N° 11):

Determinar el asentamiento diferencial máximo que se produce en la fundación de tres columnas de un edificio cuyas dimensiones se indican en la figura:

1,00 3,00 6,00 0,50

Sección I II III IV V

C1=70Tn C2=80Tn C2=130Tn

E = 210.000 Kg/cm2

C = 5000 Tn/m3

b = 1,50 m

h = 1,10 m

VIGA INFINITA 2,33 m

Calculo de la presión reactiva y descensoP1 P2

b

x

P1 [kg] = 100000 Para P1 en x = 0 a ∗ x = 0,00000 ea∗x

= 1,00000 sen (ax)= 0,0000P2 [kg] = 50000 cos (ax)= 1,000b [cm] = 150d [cm] = 60 1,000

E [kg/cm2] = 210000

K [kg/cm3] = 5,17 Para P2 en x = 233 a ∗ x = 1,00 ea∗x

= 2,72355 sen (ax)= 0,842516

I [cm4] = 2700000 cos (ax)= 0,538671

0,5071270,004300161

[Kg/cm2]

px=0 (P1)= 1,433387 1,796841

px=0 (P2)= 0,363455 yo [cm] = po / K = 0,347552

=∗∗

∗= 4

4 IE

bKa

( )eax

axaxsen

b

aPp

cos

2

+∗∗∗=

=+=eax

Paxaxsen cos

1η

=+=eax

Paxaxsen cos

2η

( ) ( ) ( )2120100 212

PPPP PPb

appp ηη ∗+∗∗=+=

( ) ( ) =+= 20100 PP ppp

E [kg/cm2]

K [kg/cm 3]

Ejemplo 1:

13

Calculo del momento

ηM(P1)=1

ηM(P2)= -0,11156

5489440,00 [Kgcm]

Calculo del esfuerzo de corte

ηQ(P1)= 1

ηQ(P2)= 0,1977824

-54944,6 [Kg]

2,33

Po [Kg/cm2] = 1,79684143 P1 [Kg] = 100000 P2 [Kg] = 50000

yo [cm] = 0,347551534po

Mo [Kgcm] = 5489440,00 yo

Qo [Kg] = -54944,5604Mo Qo

( )eax

axsenax

a

PM

−∗∗

= cos

4

( )eax

Maxsenax −= cosη

( ) ( ) ( ) =∗+∗∗∗

=+= 2120100 214

1PMPMPP PP

aMMM ηη

eax

axPQ

cos

2∗−=

eax

Qaxcos=η

( ) ( ) ( ) =∗+∗∗−=+= 2120100 212

1PQPQPP PPQQQ ηη

Ejemplo 2:

0,22 0,220,200,13 0,13

1,726

0,826 0,45 0,45

0,500,30

0,05

0,15

0,90

φφφφ 12mm.

φφφφ 16mm. φφφφ 16mm. φφφφ 16mm.

φφφφ 12mm.

φφφφ 12mm.

1c/1m. a cada lado alternados cada 50 cm

Estribo φ 8mm

Estribo φ 6mm

0,30

0,052

0,052

0,196

0,13

0,06 0,0350,035

0,023

Estribo φ 6mm

0,036

0,036

φφφφ 16mm.

Platea Transformador

14

CALCULO DE REACCIÓN EN VIGA SOBRE LECHO E LÁSTICO

Cb [t/m3] = 6500 0,500875

b [m] = 2 L [m]= 10,00

Eb [t/m2] = 3400000

I [m4] = 0,01519 4,00 L/10= 1,00

L´ = λλλλ /a = 10,00

1,00 P1 [ton]= 70,00 P2 [ton]= 80,00

λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

λλλλ >ππππ la viga se despega del suelo

XP1/L= 0,10 ηηηηP1 = 5,32 4,06 2,52 1,19 0,33 -0,08 -0,22 -0,2 -0,13 -0,05 0,04de tabla viga finita para λ=5

18,62 14,21 8,82 4,165 1,155 -0,28 -0,77 -0,7 -0,455 -0,175 0,14

XP2/L= 0,40 ηηηηP2 = -0,57 0,33 1,27 2,16 2,62 2,16 1,35 0,64 0,14 -0,22 -0,51de tabla viga finita para λ=5

-2,28 1,32 5,08 8,64 10,48 8,64 5,4 2,56 0,56 -0,88 -2,04

16,34 15,53 13,9 12,805 11,635 8,36 4,63 1,86 0,105 -1,055 -1,9

Reacción por tramo [ton] 31,87 29,43 26,705 24,44 19,995 12,99 6,49 1,965 -0,95 -2,955 149,98

Verificación [ton] 31,87 61,3 88,005 112,445 132,44 145,43 151,92 153,885 152,935 149,98 #¡REF!

=∗= ∗ 11

PLb

Ppo η

=∗= ∗ 22

PLb

Pop η

∑ =0P

XP1 [m] =

== ∗∗∗

44 IbE

bb ca

XP2[m] =

CALCULO DE MOMENTOS EN VIGA SOBRE LECHO ELÁS TICO

Cb [t/m3] = 6500 0,500875

b [m] = 2 L [m]= 10,00

Eb [t/m2] = 3400000

I [m4] = 0,0151875 4,00 L/10= 1,00

L´ = λλλλ /a = 10,00

1,00 P1 [ton]= 70,00 P2 [ton]= 80,00

0,10,4

λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00


XP1/L= 0,10 100ηηηηMP1 = 0 4,06 -1,05 -2,02 -1,77 -1,14 -0,57 -0,21 -0,04 0,01 0de tabla viga finita para λ=5

0 56,84 -14,7 -28,28 -24,78 -15,96 -7,98 -2,94 -0,56 0,14 0

XP2/L= 0,40 100ηηηηMP2 = 0 -0,14 0,07 1,53 5,12 1,24 -0,51 -0,9 -0,62 -0,21 0de tabla viga finita para λ=5

0 -2,24 1,12 24,48 81,92 19,84 -8,16 -14,4 -9,92 -3,36 0

0 54,6 -13,58 -3,8 57,14 3,88 -16,14 -17,34 -10,48 -3,22 0

=∗∗∗∗=100

111 bLPMo Mη

∑ =0M

XP1 [m] =

== ∗∗∗

44 IbE

bb ca

XP2[m] =

XP1 / L =

XP2 / L =

=∗∗∗∗=100

122 bLPMo Mη

15

CALCULO DEL CORTE EN VIGA SOBRE LECHO E LÁSTICO

Cb [t/m3] = 6500 0,500875 0,1 0,4

b [m] = 2 L [m]= 10,00

Eb [t/m2] = 3400000

I [m4] = 0,0151875 4,00 1,00

L´ = λλλλ /a = 10,00 P2 [ton]= 80,00

1,00 P1 [ton] = 70,00

λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00


XP1/L= 0,10 ηηηηQP1 = 0 -0,529 -0,199 -0,017 0,055 0,064 0,047 0,026 0,009 0 0de tabla viga finita para λ=5

0 -74,06 -27,86 -2,38 7,7 8,96 6,58 3,64 1,26 0 0

XP2/L= 0,40 ηηηηQP2 = 0 -0,012 0,068 0,24 -0,515 -0,27 -0,093 0,004 0,041 0,036 0de tabla viga finita para λ=5

0 -1,92 10,88 38,4 -82,4 -43,2 -14,88 0,64 6,56 5,76 0

-156,32 0 -75,98 -16,98 36,02 -74,7 -34,24 -8,3 4,28 7,82 5,76 0

== ∗∗ bPQoQ 11η

∑ =0Q

XP1 [m] =

== ∗∗∗

44 IbE

bb ca

XP2[m] =

XP1 / L = XP2 / L =

L/10 =

== ∗∗ bPQoQ 22η

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