Vectores (problemas)

FÍSICA PROBLEMARIO DE VECTORES

PROFESOR: MIGUEL MOLINA RIVERA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA AGRICOLA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

CHAPINGO, MÉXICO.

Hallar el vector resultante de dos vectores fuerza de 4N y 3N, aplicando el punto 0 y formando un ángulo de:

a) 90° y b) 60°

Datos:

𝐹1 = 4𝑁

𝐹2 = 3𝑁

𝜃 = 90°

𝜃 = 60°

Incógnita

𝑅 =?

Formulas

𝑅 = √𝐹12 + 𝐹2

2

𝛾 = tan−1 (𝐹2

𝐹1⁄ )

𝑅𝑋 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑅𝑌 = 𝐹2 𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2

𝛾 = tan−1 (𝑅𝑌𝑅𝑋

⁄ )

Desarrollo

a) 𝑅 = √4𝑁2 + 3𝑁2

𝑅 = 5𝑁

𝛾 = tan−1(3𝑁4𝑁⁄ )

𝛾 = 37°

b) 𝑅𝑋 = 4𝑁 + (3𝑁) cos 60°

𝑅𝑋 = 5.5𝑁

𝑅𝑌 = (3𝑁) sin 60°

𝑅𝑌 = 2.59𝑁

𝑅 = √5.5𝑁2 + 2.59𝑁2

𝑅 = 6.09𝑁

𝛾 = tan−1(2.59𝑁5.5𝑁⁄ )

𝛾 = 25° 12´58.22"

Cuatro vectores fuerza coplanarios están aplicados a un cuerpo en un punto 0. Hallar su resultante.

Datos:

𝐴 = 80𝑁

𝑎 = 0°

𝐵 = 100𝑁

𝑏 = 45°

𝐶 = 110𝑁

𝑐 = 30°

𝐷 = 160𝑁

𝑑 = 20°

Incógnita

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 − 𝐶 cos 𝑐 − 𝐷 cos 𝑑

Y

X A

B C

D

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷 sin 𝑑

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 80𝑁 cos 0° + 100𝑁 cos 45° − 110𝑁 cos 30° − 160𝑁 cos 20°

𝑅𝑌 = 100𝑁 sin 45° + 110𝑁 sin 30° − 160𝑁 sin 20°

𝑅𝑋 = −94.90𝑁

𝑅𝑌 = 70.99𝑁

𝑅 = √−94.90𝑁2 + 70.99𝑁2

𝑅 = 118.51𝑁

𝛾 = tan−1(70.99𝑁−94.90𝑁⁄ )

𝛾 = −36° 47´54.05"

Sabiendo que el módulo del vector resultante de otros dos, correspondientes a sendas fuerzas perpendiculares, es de 100N, y que otro de ellos forma un ángulo de 30° con dicha resultante, hallar esta fuerza.

Datos:

𝑅 = 100𝑁

𝛾 = 30°

Incógnita:

𝑅𝑋 =?

Formula

𝑅𝑋 = 𝑅 cos 30°

R=110N

r=30°

Desarrollo

𝑅𝑋 = 100𝑁 cos 30°

𝑅𝑋 = 86.60𝑁

Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que forman un ángulo recto es de 10N, y que uno de ellos es de 6N, calcular el otro.

Datos:

𝑅 = 10𝑁

𝑅𝑋 = 6𝑁

Incógnita

𝑅𝑌 =?

Formula

𝑅2 = 𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2

Desarrollo

𝑅2 − 𝑅𝑌2 = 𝑅𝑋

2

𝑅𝑌2 = 𝑅2 − 𝑅𝑋

2

𝑅𝑌 = √𝑅2 − 𝑅𝑋2

𝑅𝑌 = √10𝑁2 − 6𝑁2

𝑅𝑌 = 8𝑁

R

Rx

La velocidad de un bote en agua en reposo es de 8 km/h. sabiendo que la velocidad de la corriente del río es de 4 km/h, hallar el ángulo que debe formar, con la orilla, la ruta del bote para que alcance un punto de la orilla enfrente al de partida.

Datos:

𝐵 = 8 𝑘𝑚/ℎ

𝐴 = 4 𝑘𝑚/ℎ

Incógnita

𝛾 =?

Formula

𝛾 = sin−1(𝐴𝐵⁄ )

Desarrollo

𝛾 = sin−1 (4

𝑘𝑚ℎ

8𝑘𝑚ℎ

⁄ )

𝛾 = 30°

Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 km/h. Sabiendo que la velocidad de la marea es de 5 km/h y dirigida hacia el oeste. Calcular el módulo y dirección y sentido del vector, velocidad resultante del barco.

Datos

𝐴 = 12 𝑘𝑚/ℎ

𝐵 = 5 𝑘𝑚/ℎ

Incógnitas

Rio

A

B

A

B

ɣ R

R A

B

r

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2

𝛾 = tan−1 (𝐴

𝐵)

Desarrollo

𝑅 = √12 𝑘𝑚/ℎ2 + 5 𝑘𝑚/ℎ2

𝑅 = 13 𝑘𝑚/ℎ

𝛾 = tan−1 (12 𝑘𝑚/ℎ

5 𝑘𝑚/ℎ⁄ )

𝛾 = 67° 22´48.48"

Un motociclista se dirige hacia el norte con una velocidad de 50 km/h. La velocidad del viento es de 30 km/h soplando hacia el oeste. Calcular la velocidad aparente del viento observada por el motociclista.

Datos

𝐴 = 50 𝑘𝑚/ℎ

−𝐴 = −50 𝑘𝑚/ℎ

𝐵 = −30 𝑘𝑚/ℎ

Incógnita

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅 = √𝐵2 + −𝐴2

A

-A

B

R

ɣ

𝛾 = tan−1(−𝐴𝐵⁄ )

Desarrollo

𝑅 = √(−30𝑘𝑚/ℎ)2 + (−50 𝑘𝑚/ℎ)2

𝑅 = 58.31 𝑘𝑚/ℎ

𝛾 = tan−1 (−50 𝑘𝑚/ℎ

−(30𝑘𝑚/ℎ)⁄ )

𝛾 = 59° 2´10.48"

Descomponer un vector fuerza de 1000N que forma un ángulo de 53° con la horizontal en sus componentes verticales y horizontales.

Datos

𝐴 = 1000𝑁

𝑎 = 53°

Incógnitas

𝐴𝑋 =?

𝐴𝑌 =?

Formulas

𝐴𝑋 = 𝐴 cos 𝑎

𝐴𝑌 = 𝐴 sin 𝑎

Desarrollo

𝐴𝑋 = (1000𝑁) cos 63°

𝐴𝑋 = 601.82𝑁

𝐴𝑌 = (1000𝑁) sin 63°

𝐴𝑌 = 798.64𝑁

Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 20N. La cuerda forma un ángulo de 30° con el suelo. Hallar el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente al cuerpo.

A

AY a

Datos

𝐴 = 20𝑁

𝑎 = 30°

Incógnita

𝐴𝑌 =?

Formula


Desarrollo

𝐴𝑌 = (20𝑁) sin 30°

𝐴𝑌 = 10𝑁

Un bloque prismático de peso W = 300N se apoya sin rozamiento sobre un plano inclinado 25° con la horizontal.

a) Hallar las componentes de W normal y paralela al plano. b) ¿Qué fuerza F paralela al plano será necesario aplicar al cuerpo para que ascienda por la rampa?

Datos

𝑤 = 300𝑁

𝑎 = 25°

Incógnitas

𝑤𝑋 =?

𝑤𝑌 =?

𝐹 =?

Formulas

𝑎 + 𝑏 = 90°

Y X

a

w

𝑤𝑋 = −𝑤 cos 𝑏

𝑤𝑌 = 𝑤 sin 𝑏

𝐹 = −𝑤𝑋

Desarrollo

𝑏 = 90° − 𝑎

𝑏 = 90° − 25° = 75°

𝑤𝑋 = −(300𝑁) cos 25°

𝑤𝑋 = −77.65𝑁

𝑤𝑌 = (300𝑁) sin 75°

𝑤𝑌 = 289.78𝑁

𝐹 = +77.65𝑁

Nota: el signo + significa que va hacia arriba del plano.

Hallar la mínima fuerza F paralela a un plano inclinado sin rozamiento, de 18m de longitud, que es necesario aplicar a un cuerpo de peso w = 900N, para arrastrarlo sobre el hasta una plataforma situada a 5m del suelo.

Datos

𝐵 = 18𝑚

𝐴 = 5𝑚

𝑤 = 900𝑁

Incógnitas

𝐹 = −𝑤𝑋

Formulas

𝑤𝑋 = −𝑤 cos 𝑏

A

a

B

w

d d

𝑎 + 𝑑 = 90°

𝑎 = sin−1(𝐴𝐵⁄ )

Desarrollo

𝑎 = sin−1(5𝑚18𝑚⁄ )

𝑎 = 16° 7´39.43"

𝑑 = 90° − 𝑎

𝑑 = 73° 52´20.57"

𝑤𝑋 = −(900𝑁) cos 73° 52´20.57"

𝑤𝑋 = −250𝑁

𝐹 = −(−250𝑁) = 250𝑁

Hallar la resultante de los cinco vectores fuerza coplanarios A = 19N, B = 15N, C = 16N, D = 11N, E = 12N formando ángulos de a = 0°, b = 60°, c = 45°, d = 30°, e = 90° como se indica.

Datos

𝐴 = 19𝑁 , 𝑎 = 0°

𝐵 = 15𝑁 , 𝑏 = 60°

𝐶 = 16𝑁 , 𝑐 = 45°

𝐷 = 11𝑁 , 𝑑 = 30°

𝐸 = 12𝑁, 𝑑 = 90°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Y

X A

B

C

D E

b c

d

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏 − 𝐶 cos 𝑐 − 𝐷 cos 𝑑

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷 sin 𝑑 − 𝐸

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 19𝑁 + 15𝑁 cos 60° − 16𝑁 cos 45° − 11𝑁 cos 30°

𝑅𝑋 = 5.66𝑁

𝑅𝑌 = 15𝑁 sin 60° + 16𝑁 sin 45° − 11𝑁 sin 30° − 12𝑁

𝑅𝑌 = 6.80𝑁

𝑅 = √(5.66𝑁)2 + (6.80𝑁)2

𝑅 = 8.85𝑁

𝛾 = tan−1(6.80𝑁5.66𝑁⁄ )

𝛾 = 50° 13´39.34”

Un telescopio que mira hacia una estrella fija, situada en la vertical del lugar presenta una inclinación de 20.5 segundos con dicha vertical. Debido al movimiento orbital de la tierra, el telescopio está animado de una velocidad de 27.76 km/seg., formando un ángulo recto con la dirección de la estrella. De estos datos, deducir la velocidad de la luz.

Datos

𝛼 = 20.5"

𝑉 = 29.76𝑘𝑚

𝑠𝑒𝑔

Incógnita

Dirección de la

velocidad de la luz

α

𝐶 =?

Formula

tan 𝛼 =𝑉

𝐶

Desarrollo

𝐶 tan 𝛼 = 𝑉

𝐶 =𝑉

tan 𝛼

𝐶 =29.76 𝑘𝑚/𝑠𝑒𝑔

tan(20.5")

𝐶 = 299, 436.1275 𝑘𝑚/𝑠𝑒𝑔

Si un vector forma con los ejes X y Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4N. Calcular:

a) Sus componentes en X, Y y Z. b) El ángulo que forma con el eje Z.

Datos

𝐴 = 4𝑁

𝑎𝑋 = 60°

𝑎𝑌 = 60°

Incógnitas

𝐴𝑋, 𝐴𝑌, 𝐴𝑍 =?

Formulas

𝐴𝑋 = 𝐴 cos 𝑎𝑋

Z

Y

X 60°

Ay

Az

Ax

60°

𝐴𝑌 = 𝐴 cos 𝑎𝑌

𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑌 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑍 = 1

𝐴𝑍 = 𝐴 cos 𝑎𝑍

Desarrollo

𝐴𝑋 = (4𝑁) cos 60°

𝐴𝑋 = 2𝑁

𝐴𝑌 = (4𝑁) cos 60°

𝐴𝑌 = 2𝑁

𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑍 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑌

cos 𝑎𝑍 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑌

𝑎𝑍 = cos−1 [√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑌]

𝑎𝑍 = cos−1 [√1 − 𝑐𝑜𝑠260° − 𝑐𝑜𝑠260°]

𝑎𝑍 = 45°

𝐴𝑍 = 𝐴 cos 𝑎𝑍

𝐴𝑍 = (4𝑁) cos 45°

𝐴𝑍 = 2.83𝑁

Se tiene el siguiente diagrama de fuerzas coplanarias.

Calcular:

a) La fuerza resultante b) El ángulo que se forma con el eje X

Datos

𝐴 = 5𝑁, 𝑎 = 60°

𝐵 = 7𝑁, 𝑏 = 30°

A

B

a

b

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏

𝑅𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2

𝛾 = tan−1 (𝑅𝑌

𝑅𝑋⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 5𝑁 cos 60° + 7𝑁 cos 30°

𝑅𝑋 = 8.56𝑁

𝑅𝑌 = 5𝑁 sin 60° − 7𝑁 sin 30°

𝑅𝑌 = 0.83𝑁

𝑅 = √(8.56𝑁)2 + (0.83𝑁)2

𝑅 = 8.60𝑁

𝛾 = tan−1(8.60𝑁8.56𝑁⁄ )

𝛾 = 5° 32´17.65"

Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: A = 6N, B = 3N y C = 4N, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje X positivo, 45°, 30° y 60°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo y el ángulo que forman con el eje X y la resultante de dichas fuerzas.

Datos

Y

X

A

a

B

b

C

c

𝐴 = 6𝑁, 𝑎 = 45°

𝐵 = 3𝑁, 𝑏 = 30°

𝐶 = 4𝑁, 𝑐 = 60°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 + 𝐶 cos 𝑐

𝑅𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏 − 𝐶 sin 𝑐

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 6𝑁 cos 45° + 3𝑁 cos 30° + 4𝑁 cos 60°

𝑅𝑋 = 8.84𝑁

𝑅𝑌 = 6𝑁 sin 45° − 3𝑁 sin 30° − 4𝑁 sin 60°

𝑅𝑌 = 2.28𝑁

𝑅 = √(8.84)2 + (2.28)2

𝑅 = 9.13𝑁

𝛾 = tan−1(2.28𝑁8.84𝑁⁄ )

𝛾 = 14° 27´44.83"

Descomponer las fuerzas de 20N que forman un ángulo 45° en las direcciones a y b indicadas en la figura.

Y

f = 45°

F

X

b 30°

c

∢𝑏

a

Datos

𝐹 = 20𝑁

𝑓 = 45°

∢𝑎 = 0°

∢𝑏 = 30° + 𝑐

Incógnitas

𝐹𝑎 =?

𝐹𝑏 =?

Formulas

𝐹𝑎 = 𝐹 cos 𝑓

𝐹𝑏 = 𝐹 cos ∢𝑏

𝑐 + 𝑓 = 90°

Desarrollo

𝐹𝑎 = 20𝑁 cos 45°

𝐹𝑎 = 14.14𝑁

𝑐 = 90° − 𝑓

𝑐 = 90° − 45°

𝑐 = 45°

∢𝑏 = 30° + 45° = 75°

𝐹𝑏 = 20𝑁 cos 75°

𝐹𝑏 = 5.18𝑁

Dados los siguientes vectores �⃗� = 3�̂� − 2𝑗̂ y �⃗⃗� = −4�̂� + 𝑗̂, calcular:

a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje X

c) El vector 𝐶 = 2�⃗� − 3�⃗⃗� y el vector unitario en la dirección y sentido del vector 𝐶

Datos

�⃗� = 3�̂� − 2𝑗̂

�⃗⃗� = −4�̂� + 𝑗̂

Incógnitas

a) �⃗� + �⃗⃗�

|�⃗� + �⃗⃗�|

b) �⃗� − �⃗⃗� 𝜃 =?

c) 𝐶 =? �̂� =?

Desarrollo

�⃗� + �⃗⃗� = (3�̂� − 2𝑗̂) + (−4�̂� + 𝑗̂)

�⃗� + �⃗⃗� = (3�̂� − 4�̂�) + (−2𝑗̂ + 𝑗̂)

�⃗� + �⃗⃗� = −�̂� − 𝑗̂

�⃗� − �⃗⃗� = (3�̂� − 2𝑗̂) − (−4�̂� + 𝑗̂)

�⃗� − �⃗⃗� = (3�̂� − 2𝑗̂) + 4�̂� − 𝑗 ̂

�⃗� − �⃗⃗� = 3�̂� + 4�̂� − 2𝑗̂ − 𝑗̂

�⃗� − �⃗⃗� = 7�̂� − 3𝑗̂

𝜃 = tan−1(−37⁄ )

𝜃 = −23° 11´54.93"

𝐶 = 2(3�̂� − 2𝑗̂) − 3(−4�̂� + 𝑗̂)

𝐶 = 6�̂� − 4𝑗̂ + 12�̂� − 3𝑗̂

𝐶 = 18�̂� − 7𝑗 ̂

|𝐶| = √(18)2 + (−7)2

|𝐶| = 19.31

𝐶̂ =𝐶

|𝐶|=

18�̂� − 7𝑗̂

19.31

Encontrar la magnitud de la suma de un desplazamiento de 15km, y un desplazamiento de 25km cuando el ángulo entre ellos es de 135°.

135°

B

A b

Datos

𝐴 = 15 𝑘𝑚

𝐵 = 25 𝑘𝑚

𝑏 = 180° − 135° = 45°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 − 𝐵 cos 𝑏

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 15 𝑘𝑚 − 25 𝑘𝑚 cos 45°

𝑅𝑋 = −2.68 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = 25𝑘𝑚 sin 45°

𝑅𝑌 = 17.68 𝑘𝑚

𝑅 = √(−2.68)2 + (17.68)2

𝑅 = 17.88 𝑘𝑚

𝛾 = tan−1(17.68 𝑘𝑚−2.68 𝑘𝑚⁄ )

𝛾 = −81° 22´49.84"

Un autobús viaja 23 km sobre una carretera recta que esta 30° al norte del este. ¿Cuáles son las componentes este y norte de su desplazamiento?

Y

X

A

a

N

S

E

O

Datos

𝐴 = 23 𝑘𝑚

𝑎 = 30°

Incógnitas

𝐴𝑋 =?

𝐴𝑌 =?

Formulas

𝐴𝑋 = 𝐴 cos 𝑎


Desarrollo

𝐴𝑋 = (23 𝑘𝑚) cos 30°

𝐴𝑋 = 19.92 𝑘𝑚

𝐴𝑌 = (23 𝑘𝑚) sin 30°

𝐴𝑌 = 11.5 𝑘𝑚

Un receptor GPS te indico que tu casa se encontraba a 15 km en una dirección de 40° al norte del oeste, pero el único camino conduce directamente al norte. Si tomaste ese camino y caminaste 10 km, ¿Qué distancia y en qué dirección tendrás que caminar para llegar a tu casa?

Datos

𝐴 = 15 𝑘𝑚

𝑎 = 40°

𝐵 = 10 𝑘𝑚

Incógnitas

𝑅 =?

R

B A

a

ɣ

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 cos 𝑎

𝑅𝑌 = 𝐴 sin(𝑎 − 𝐵)

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 15 𝑘𝑚 cos 40°

𝑅𝑋 = 11.49 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = 15𝑘𝑚 sin 40° − 10𝑘𝑚

𝑅𝑌 = −0.36 𝑘𝑚

𝑅 = √(11.49 𝑘𝑚)2 + (−0.36 𝑘𝑚)2

𝑅 = 11.496 𝑘𝑚

𝛾 = tan−1(−0.36 𝑘𝑚11.49 𝑘𝑚⁄ )

𝛾 = −1° 47´40.49"

Para la figura anterior obtenga el vector resultante

Datos:

𝐴 = 3𝑁

𝐵 = 4𝑁

Incógnitas

𝑅 =?

Y

X

B = 4N

A = 3N

ɣ

𝛾 =?

Formulas

𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2

𝛾 = tan−1(𝐴𝐵⁄ )

Desarrollo

𝑅 = √(3𝑁)2 + (4𝑁)2

𝑅 = 5𝑁

𝛾 = tan−1(3𝑁4𝑁⁄ )

𝛾 = 36° 52´11.63"

Dos vectores de 8N y 5N forman un ángulo de 60 °. ¿Cuál es su suma vectorial?

Datos

𝐴 = 8𝑁

𝐵 = 5𝑁

𝑏 = 60°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏


𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

b A

𝑅𝑋 = 8𝑁 + 5𝑁 cos 60°

𝑅𝑋 = 10.5𝑁

𝑅𝑌 = 5𝑁 sin 60°

𝑅𝑌 = 4.33𝑁

𝑅 = √(10.5𝑁)2 + (4.33𝑁)2

𝑅 = 11.36𝑁

𝛾 = tan−1(4.33𝑁10.5𝑁⁄ )

𝛾 = 22° 24´37.15"

Obtenga la resultante de los siguientes vectores

Datos

𝐴 = 6 𝑘𝑚

𝐵 = 4 𝑘𝑚 , 𝑏 = 45°

𝐶 = 8 𝑘𝑚

𝐷 = 3 𝑘𝑚

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = −𝐴 − 𝐵 cos 𝑏 + 𝐷

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2

D

C B

A

b


𝑅𝑋⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = −6 𝑘𝑚 − (4 𝑘𝑚)(cos 45°) + 3 𝑘𝑚

𝑅𝑋 = −5.83 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = (4 𝑘𝑚)(sin 45°) + 8 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = 10.83 𝑘𝑚

𝑅 = √(−5.83 𝑘𝑚)2 + (10.83 𝑘𝑚)2

𝑅 = 12.3 𝑘𝑚

𝛾 = tan−1(10.83 𝑘𝑚−5.83 𝑘𝑚⁄ )

𝛾 = −61° 42´20"

Hallar la suma de los siguientes vectores, 3m dirigidos al este; 12 metros dirigidos 40° al NE y 7m dirigido 60° al SO.

Datos

𝐴 = 3 𝑚

𝐵 = 12𝑚, 𝑏 = 40°

𝐶 = 7 𝑚, 𝑐 = 60°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏 + 𝐶 cos 𝑐

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 − 𝐶 sin 𝑐

A

B

b

C

c

N

S

E

O

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


𝑅𝑋⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 3𝑚 + 12𝑚 (cos 40°) − 7𝑚 (cos 60°)

𝑅𝑋 = 8.69𝑚

𝑅𝑌 = 12𝑚 (sin 40°) − 7𝑚 (sin 60°)

𝑅𝑌 = 1.65 𝑚

𝑅 = √(8.69𝑚)2 + (1.65𝑚)2

𝑅 = 8.85𝑚

𝛾 = tan−1(1.65 𝑚8.69 𝑚⁄ )

𝛾 = 10° 45´3.48"

El nudo O está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas por lo que los vectores representativos w = 100lb, A y B se podrán trazar de manera que formen un triángulo cerrado. Obtenga a los vectores A y B.

Datos

𝑤 = 100 𝑙𝑏

𝜃 = 30°

Incógnitas

𝐴 =?

𝑎 =?

A

B

w

30°

A

B

w 30°

a

𝐵 =?

Formulas

tan 𝜃 =𝐵

𝑤

cos 𝜃 =𝐴

𝑤

𝑎 + 𝜃 = 90°

Desarrollo

𝑤 tan 𝜃 = 𝐵

𝐵 = 𝑤 tan 𝜃

𝐵 = (100 𝑙𝑏) tan 30°

𝐵 = 57.74 𝑙𝑏

𝑤 cos 𝜃 = 𝐴

𝐴 = 𝑤 cos 𝜃

𝐴 = (100 𝑙𝑏) cos 30°

𝐴 = 86.60 𝑙𝑏

𝑎 + 30° = 90°

𝑎 = 60°

Hallar la resultante y la equilibrante de una fuerza horizontal de 7N y una fuerza de 12N que forme un ángulo de 60° con la horizontal.

Datos

𝐴 = 7𝑁

𝐵 = 12 𝑁

B

R

A

b ɣ

e

E

Y

X

𝑏 = 60°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

𝐸 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏


𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

𝐸 = 𝑅 , 𝑒 = 𝛾

Desarrollo

𝑅𝑋 = 7𝑁 + 12 𝑁 (cos 60°)

𝑅𝑋 = 13 𝑁

𝑅𝑌 = 12 𝑁 (sin 60°)

𝑅𝑌 = 10.39𝑁

𝑅 = √(13 𝑁)2 + (10.39 𝑁)2

𝑅 = 16.64 𝑁

𝛾 = tan−1(10.39 𝑁13 𝑁⁄ )

𝛾 = 38° 37´58.53"

𝐸 = 16.64 𝑁

𝑒 = 38° 37´58.53"

Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos 300m al Oeste, 200m al Norte, 350m al Noroestes y 150m al Sur. Calcular:

a) La distancia que recorre. b) El desplazamiento resultante.

Datos

𝐴 = 300𝑚, 𝑎 = 0°

𝐵 = 200𝑚, 𝑏 = 90°

𝐶 = 350𝑚, 𝑐 = 45°

𝐷 = 150𝑚, 𝑑 = 90°

Incógnitas

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 =?

𝑅 =?, 𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = −𝐴 + 𝐶 cos 𝑐

𝑅𝑌 = 𝐵 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 300𝑚 + 200𝑚 + 350𝑚 + 150𝑚 = 1000𝑚

𝑅𝑋 = −300𝑚 + (350𝑚) cos 45°

𝑅𝑋 = −52.51𝑚

N

S

E

O A

B

C

D

R

ɣ

𝑅𝑌 = 200𝑚 + (350𝑚) sin 45° − 150𝑚

𝑅𝑌 = 297.49𝑚

𝑅 = √(−52.51𝑚)2 + (297.49𝑚)2

𝑅 = 302.09𝑚

𝛾 = tan−1(297.49 𝑚−52.51 𝑚⁄ )

𝛾 = −79° 59´23.36"

Un jinete y su caballo cabalgan 600 m a Este, 400m en dirección Noroeste y 200m al Norte. Calcular: a) La distancia total que recorre. b) El desplazamiento resultante.

Datos

𝐴 = 600𝑚, 𝑎 = 0°

𝐵 = 400𝑚, 𝑏 = 45°

𝐶 = 200𝑚, 𝑐 = 90°

Incógnitas

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =?

𝑅 =? , 𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = −𝐴 + 𝐵 cos 𝑏

𝑅𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


𝑅𝑋⁄ )

A

B

C

Desarrollo

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 600𝑚 + 400𝑚 + 200𝑚 = 1200𝑚

𝑅𝑋 = −600𝑚 + (400𝑚) cos 45°

𝑅𝑋 = −317.16𝑚

𝑅𝑌 = (400𝑚) sin 45° + 200𝑚

𝑅𝑌 = 482.84𝑚

𝑅 = √(−317.16𝑚)2 + (482.84𝑚)2

𝑅 = 577.69𝑚

𝛾 = tan−1(482.82 𝑚−317.16 𝑚⁄ )

𝛾 = −56° 42´1.97"

Mediante una cuerda un niño jala un carrito de juguete con una fuerza de 80N, la cual forma un ángulo de 40° con el eje horizontal.

Calcular: a) El valor de la fuerza que jala al carro horizontalmente. b) El valor de la fuerza que tiende a levantar al carro.

Datos

𝐹 = 80 𝑁

𝑓 = 40°

Incógnitas

𝐹𝑋 =?

𝐹𝑌 =?

Fórmulas

𝐹𝑋 = 𝐹 cos 𝑓

𝐹𝑌 = 𝐹 sin 𝑓

Desarrollo

f

𝐹𝑋 = (80 𝑁) cos 40°

𝐹𝑋 = 61.28

𝐹𝑌 = (80 𝑁) sin 40°

𝐹𝑌 = 51.42 𝑁

Hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal la siguiente suma de vectores.

Datos

𝐹 = 38 𝑁

𝑔 = 30°

𝐺 = 30 𝑁

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐹 + 𝐺 cos 𝑔

𝑅𝑌 = 𝐺 sin 𝑔

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 38 𝑁 + (30𝑁) cos 30°

𝑅𝑋 = 63.98𝑁

𝑅𝑌 = (30 𝑁) sin 30°

𝑅𝑌 = 15 𝑁

𝑅 = √(63.98 𝑁)2 + (15 𝑁)2

g = 30°

F = 38N

𝑅 = 65.71 𝑁

𝛾 = tan−1(15 𝑁63.98 𝑁⁄ )

𝛾 = 13° 11´40.52"

En la siguiente suma de vectores, encontrar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal.

Datos

𝐹1 = 400 𝑁

𝑓2 = 140°

𝐹2 = 250 𝑁

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = −𝐹1 + 𝐹2 cos 40°

𝑅𝑌 = 𝐹2 sin 40°

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = −400𝑁 + (250𝑁) cos 40°

𝑅𝑋 = −208.49 𝑁

𝑅𝑌 = (250 𝑁) sin 40°

𝑅𝑌 = 160.70 𝑁

𝑅 = √(−208.49 𝑁)2 + (160.70 𝑁)2

𝑅 = 263.23 𝑁

F1 = 400N

f2 = 140°

F2 = 250N

g = 40°

𝛾 = tan−1(160.70 𝑁−208.49 𝑁⁄ )

𝛾 = −37° 37´27.59"

Dos personas jalan, mediante una cuerda cada una, un baúl de madera, como se ve en la figura, una de las personas aplica una fuerza A de 300 N con un ángulo de 18° respecto al Este. Determine la fuerza B que debe aplicar la otra persona y el ángulo que debe formar respecto al Este para que el baúl se desplace hacia el Este con una fuerza resultante de 450N.

Datos

𝐴 = 300 𝑁

𝑎 = 18°

𝑅 = 450 𝑁, 𝛾 = 0°

Incógnitas

𝐵 =?

𝑏 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 = 𝑅

𝑅𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏 = 0

Desarrollo

𝑅𝑋 = (300𝑁) cos 18° + 𝐵 cos 𝑏 = 450𝑁

𝑅𝑌 = (300𝑁) sin 18° − 𝐵 sin 𝑏 = 0

𝐵 sin 𝑏 = (300𝑁) sin 18°

𝐵 sin 𝑏 = 450𝑁 − (300𝑁) sin 18°

sin 𝑏

cos 𝑏= tan 𝑏 =

(300𝑁) sin 18°

450𝑁 − (300𝑁) sin 18°

tan 𝑏 = 0.5629

𝑏 = tan−1(0.5629)

A

E

B

a

b

𝑏 = 29° 22´35.34"

𝐵 =(300𝑁) sin 18°

sin 𝑏

𝐵 =(300𝑁) sin 18°

sin(29.37648383)

𝐵 = 189𝑁

Encontrar las resultantes de la suma de los siguientes vectores:

Datos

𝐹1 = 4𝑁

𝐹2 = 3𝑁, 25°

𝐹3 = 2.5𝑁

𝐹4 = 2𝑁, 40°

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝐹𝑋 = 𝐹1 + 𝐹2 cos 25° − 𝐹4 cos 40°

𝐹𝑌 = 𝐹2 sin 25° + 𝐹3 − 𝐹4 sin 40°

𝑅 = √𝐹𝑋2 + 𝐹𝑌

2

𝛾 = tan−1 (𝐹𝑌𝐹𝑋

⁄ )

Desarrollo

𝐹𝑋 = 4𝑁 + 3𝑁 cos 25° − 2𝑁 cos 40°

40°

25°

F3

F4

F1

F2

𝐹𝑋 = 5.1869𝑁

𝐹𝑌 = 3𝑁 sin 25° + 2.5𝑁 − 2𝑁 sin 40°

𝐹𝑌 = 2.4822𝑁

𝑅 = √(5.1869 𝑁)2 + (2.4822 𝑁)2

𝑅 = 5.75 𝑁

𝛾 = tan−1(2.4822 𝑁5.1869 𝑁⁄ )

𝛾 = 25° 36´

Calcular el producto escalar de los siguientes vectores.

Datos

�⃗� = 3𝑁, 35°

𝑑 = 4𝑚

𝜃 = 35°

Incógnita

�⃗� ∙ 𝑑 =?

Formula

�⃗� ∙ 𝑑 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃

Desarrollo

�⃗� ∙ 𝑑 = (3𝑁)(4𝑚) cos 35°

�⃗� ∙ 𝑑 = 9.83 𝑁𝑚

Calcular el producto vectorial de los siguientes vectores.

d = 4m Θ = 35°

40°

F = 25N

𝑑 = 5𝑚

Datos

𝑑 = 5𝑚

𝐹 = 25𝑁

𝜃 = 40°

Incógnita

|�⃗� × 𝑑| =?

Formula

|�⃗� × 𝑑| = 𝐹 𝑑 sin 𝜃

Desarrollo

|�⃗� × 𝑑| = (25𝑁)(5𝑚) sin 40°

|�⃗� × 𝑑| = 80.35 𝑁𝑚

El vector �⃗� × 𝑑 sale de la hoja y es perpendicular al plano formado por �⃗� 𝑦 𝑑 que es de la hoja.

La rapidez de un bote en agua estancada es 𝑉 = 20 𝑘𝑚ℎ⁄ . Si el bote debe viajar en dirección transversal a la de

un río cuya corriente tiene una rapidez de 𝑉2 = 12 𝑘𝑚ℎ⁄ , ¿A qué ángulo aguas arriba debe apuntar la proa del

bote?

Datos

𝑉1 = 20 𝑘𝑚ℎ⁄

𝑉2 = 12 𝑘𝑚ℎ⁄

Incógnita

𝜃 =?

Formula

sin 𝜃 =𝑉2

𝑉1

θ

V2

V1

R Corriente del río

Desarrollo

sin 𝜃 =12 𝑘𝑚

ℎ⁄

20 𝑘𝑚ℎ⁄

𝜃 = sin−1 (12 𝑘𝑚

ℎ⁄

20 𝑘𝑚ℎ⁄

)

𝜃 = 36° 52´11.63"

Un viaje en aeroplano implica tres etapas y dos escalas. La primera etapa es en dirección Este durante 620 km, la segunda etapa es en dirección Sureste 45° durante 440 km, y la tercera etapa es en dirección 53° al Suroeste, durante 550 km. ¿Cuál es el desplazamiento total de y la resultante del aeroplano?

Datos

𝐷1 = 620 𝑘𝑚 , 𝐸

𝐷2 = 440 𝑘𝑚, 45° 𝑆𝐸

𝐷3 = 550 𝑘𝑚, 53° 𝑆𝑂

Incógnita

𝑅 =?

𝛾 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝐷1 + 𝐷2 cos 45° − 𝐷3 cos 53°

𝑅𝑌 = −𝐷2 sin 45° − 𝐷3 sin 53°

𝑅 = √𝐹𝑋2 + 𝐹𝑌

2

𝛾 = tan−1 (𝐹𝑌𝐹𝑋

⁄ )

𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2 + 𝐷3

Desarrollo

𝑅𝑋 = (620 𝑘𝑚) + (440 𝑘𝑚) cos 45° − (550 𝑘𝑚) cos 53°

D1

45° D2

D3

53°

𝑅𝑋 = 600 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = −(440 𝑘𝑚) sin 45° − (550 𝑘𝑚) sin 53°

𝑅𝑌 = −750 𝑘𝑚

𝑅 = √(600 𝑘𝑚)2 + (−750 𝑘𝑚)2

𝑅 = 960 𝑘𝑚

𝛾 = tan−1(−750 𝑘𝑚600 𝑘𝑚⁄ )

𝛾 = 51° , En el cuarto cuadrante

𝐷 = 620 𝑘𝑚 + 440 𝑘𝑚 + 550 𝑘𝑚 = 1610 𝑘𝑚

Un explorador camina 22 km en dirección Norte, y a continuación camina en una dirección de 60° al Sureste durante 47 km. ¿Cuál es el desplazamiento resultante y el total?

Datos

�⃗� = 22 𝑘𝑚, 𝑁

�⃗⃗� = 47 𝑘𝑚, 60° 𝑆𝐸

Incógnitas

𝑅 =?

𝛾 =?

𝐷 =?

Formulas

𝑅𝑋 = +𝐵 cos 60°

𝑅𝑌 = 𝐴 −B sin 60°

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2


𝑅𝑋⁄ )

60° �⃗�

�⃗⃗�

𝐷 = 𝐴 + 𝐵

Desarrollo

𝑅𝑋 = (47 𝑘𝑚) cos 60°

𝑅𝑋 = 23.5 𝑘𝑚

𝑅𝑌 = (22 𝑘𝑚) −(47 km) sin 60°

𝑅𝑌 = −18.7 𝑘𝑚

𝑅 = √(23.5 𝑘𝑚)2 + (−18.7 𝑘𝑚)2

𝑅 = 30 𝑘𝑚

𝛾 = tan−1(−18.7 𝑘𝑚23.5 𝑘𝑚⁄ )

𝛾 = 38° 30′

𝐷 = 22 𝑘𝑚 + 47 𝑘𝑚 = 69 𝑘𝑚

Un avión vuela a 90 𝑘𝑚ℎ⁄ en la dirección 0° y es arrastrado por un viento de 50 𝑘𝑚

ℎ⁄ en la dirección de 90°. ¿Cuál

es la velocidad resultante?

Datos

𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ = 90 𝑘𝑚

ℎ⁄ , 0°

𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ = 50 𝑘𝑚

ℎ⁄ , 90°

Incógnitas

𝑅 =?

𝜃 =?

Formulas

𝑅𝑋 = 𝑉1

𝑅𝑌 = 𝑉2

𝑅 = √𝑅𝑋2 + 𝑅𝑌

2

𝜃 = tan−1 (𝑅𝑌𝑅𝑋

⁄ )

Desarrollo

𝑅𝑋 = 90 𝑘𝑚ℎ⁄

𝑅𝑌 = 50 𝑘𝑚ℎ⁄

𝑅 = √(90 𝑘𝑚ℎ⁄ )

2

+ (50 𝑘𝑚ℎ⁄ )

2

𝑅 = 103 𝑘𝑚ℎ⁄

𝜃 = tan−1 (50 𝑘𝑚

ℎ⁄

90 𝑘𝑚ℎ⁄

⁄ )

𝜃 = 29°

Sume

�⃗�

�⃗⃗�

𝐶

=4�̂�2�̂�6�̂�

+

5𝑗̂7𝑗̂4𝑗̂

+8�̂�3�̂�2�̂�

�⃗⃗� = 12�̂� + 16𝑗̂ + 13�̂�

Reste

�⃗� = 9�̂� + 8𝑗̂ − 3�̂�

�⃗⃗� = 5�̂� + 3𝑗̂ − 2�̂�

Solución

−�⃗�

�⃗⃗�=

9�̂� +−5�̂� −

8𝑗̂ −3𝑗̂ +

3�̂�2�̂�

�⃗⃗� = 4�̂� + 5𝐽 − 1�̂�

Obtenga el producto punto 0 escalar de los siguientes vectores.

�⃗� = 3�̂� + 2𝑗̂ − 5�̂�

�⃗⃗� = 2�̂� + 4𝑗̂ − 3�̂�

Solución

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (3�̂� + 2𝑗̂ − 5�̂�) ∙ (2�̂� + 4𝑗̂ − 3�̂�)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (3)(2) + (2)(4) + (−5)(−3)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = 5 + 16 + 15 = 26

Obtenga el producto cruz o vectorial de los siguientes vectores

�⃗� = 4�̂� + 5𝑗̂ + 6�̂�

�⃗⃗� = 3�̂� + 2𝑗̂ + 2�̂�

�⃗� × �⃗⃗� = |�̂�43

𝑗̂52

�̂�62

�̂�43

𝑗̂52

|

�⃗� × �⃗⃗� = �̂�(5)(2) + 𝑗̂(6)(3) + �̂�(4)(2) − �̂�(3)(5) − �̂�(2)(6) − 𝑗̂(2)(4)

�⃗� × �⃗⃗� = 10�̂� + 18𝑗̂ + 8�̂� − 12�̂� − 8𝑗̂ − 15�̂�

�⃗� × �⃗⃗� = −2�̂� + 8𝑗̂ − 7�̂�

Obtenga el vector unitario en la dirección y sentido del siguiente vector.

�⃗� = 4�̂� + 5𝑗̂ − 8�̂�

Solución

|�⃗�| = √(4)2 + (5)2 + (−8)2

|�⃗�| = √16 + 25 + 64

|�⃗�| = √105

�̂� =�⃗�

|�⃗�|=

4�̂�

√105+

5𝑗̂

√105−

8�̂�

√105

Obtenga el producto punto 0 escalar de los siguientes vectores

�⃗� = 9�̂� − 5𝑗̂ − 4�̂�

�⃗⃗� = 4�̂� − 2𝑗̂ + 3�̂�

Solución

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (9�̂� − 5𝑗̂ − 4�̂�) ∙ (4�̂� − 2𝑗̂ + 3�̂�)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (9)(4) + (−5)(−2) + (−4)(3)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = 36 + 10 − 12 = 34

Obtenga el producto cruz 0 vectorial de los siguientes vectores.

𝑐 = 4�̂� + 7𝑗̂ − 3�̂�

𝑑 = −3�̂� + 5𝑗̂ − 6�̂�

Solución

𝑐 × 𝑑 = |�̂�4

−3

𝑗̂75

�̂�

−3−6

�̂�4

−3

𝑗̂75

|

𝑐 × 𝑑 = �̂�(7)(−6) + 𝑗̂(−3)(−3) + �̂�(4)(5) − �̂�(−3)(7) − �̂�(5)(−3) − 𝑗̂(−6)(4)

𝑐 × 𝑑 = −42�̂� + 9𝑗̂ + 20�̂� + 15�̂� + 24𝑗̂ + 21�̂�

𝑐 × 𝑑 = −27�̂� + 33𝑗̂ + 41�̂�

Obtenga un vector unitario en la dirección y sentido del vector

�⃗� = −7�̂� − 5𝑗̂ − 4�̂�

Solución

|�⃗�| = √(−7)2 + (−5)2 + (−4)2

|�⃗�| = √49 + 25 + 16

|�⃗�| = √90

�̂� =�⃗�

|�⃗�|= −

7�̂�

√90−

5𝑗̂

√90−

4�̂�

√90


�⃗� = −5�̂� − 8𝑗̂

Solución

|�⃗�| = √(−5)2 + (−8)2

|�⃗�| = √25 + 64

|�⃗�| = √89

�̂� =�⃗�

|�⃗�|= −

5�̂�

√89−

8𝑗̂

√89


�⃗� = 4�̂� − 8𝑗̂

Solución

|�⃗�| = √(4)2 + (−8)2

|�⃗�| = √16 + 64

|�⃗�| = √80

�̂� =�⃗�

|�⃗�|=

4�̂�

√80−

8𝑗̂

√80

Obtenga el ángulo entre los vectores

�⃗� = −4�̂� − 5𝑗̂

�⃗⃗� = −3�̂� − 2𝑗̂

Solución

�⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗�| |�⃗⃗�| cos 𝜃

𝜃 = cos−1 (�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�| |�⃗⃗�|)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (4)(−3) + (−5)(−2)

�⃗� ∙ �⃗⃗� = −12 + 10 = −2

|�⃗�| = √(4)2 + (−5)2

|�⃗�| = √16 + 25 = √41

|�⃗⃗�| = √(−3)2 + (−2)2

|�⃗⃗�| = √9 + 4 = √13

𝜃 = cos−1 (−2

(√41)(√13)) = 94° 58′11.07"

Vectores (problemas)

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