Vectores
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1
ALGEBRA LINEAL
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…Propósito y Descripción de la Asignatura …
Un primer curso de álgebra lineal sirve para que el alumno adquiera cierta capacidad de abstracción y de formalización de las ideas matemáticas, en un contexto donde los razonamientos lógicos encadenados son sencillos.
El propósito de esta asignatura es presentar los temas de álgebra lineal desarrollando ideas intuitivas, apoyadas por representaciones geométricas los temas más abstractos.
Durante el desarrollo del curso se revisan los contenidos relacionados con: geometría de vectores, sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes hasta llegar a los espacios vectoriales, transformaciones lineales y valores característicos.
Desarrollar habilidades para resolver ejercicios a través de aplicaciones en el ámbito la administración y la economía.
Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones.
Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través del estudio del álgebra lineal.
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Contenidos
Programa SinópticoVectoresMatrices Sistemas de ecuacionesDeterminantesEspacios vectoriales
Transformaciones linealesAplicaciones
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Evaluaciones
Cátedra 1 (25%)
Cátedra 2 (35%)Prueba recuperativa: contenidos de cátedra 1 + cátedra 2
Cátedra 3 (40%)
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Vectores geométricos
En términos simples, un vector (derivado del latín vehere que significa "llevar") es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Dado un vector en el plano, que es el único que analizaremos, es conveniente representarlo por medio de una flecha. La longitud de la flecha la magnitud del vector y la
cabeza de la flecha indica su dirección.
Desde el punto de vista algebraico un vector se presenta de diversas formas, así, una matriz, un polinomio, un operador diferencial o integral representan vectores en el ámbito del álgebra lineal o cálculo diferencial.
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Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes Escalares (Números reales)
LongitudÁreas, Volumen, Perímetro TemperaturaValores: monedaVelocidad
Magnitud Vectoriales.
FuerzaSalto en paracaídasTrayectoria de aviónFlujo de Agua
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VECTOR GEOMÉTRICO
La representación de vectores geométricos se efectúa mediante segmentos orientados como sigue:
Recta
Segmento
Vector
Punto inicial
Punto final
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Vectores iguales
Dos vectores y son iguales, si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección.
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Suma de vectores
Para efectuar la suma de vectores geométricos se procede como sigue: ubicamos los vectores de manera que el punto terminal de uno coincida con el punto inicial del otro, como se muestra la figura.
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Vector inverso aditivo
El vector nulo tiene la propiedad de que: v+0=v+0=0 Para cada vector existe un único vector (-v) tal que:
v+(-v)=0 (-v ) es el vector con la misma magnitud que v, pero cuyo sentido es opuesto al de v como se muestra en la figura.
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Diferencia de vectores
Consideremos dos vectores geométricos: u y w, la diferencia u – v se efectúa de sumando el vector u con el vector inverso aditivo de v
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Ponderado de un vector..
Si k es un escalar y u un vector, el producto escalar ku se define como un vector cuya magnitud es k veces la magnitud de u
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Combinación lineal de dos vectores
Sean u y v dos vectores. El vector w es combinación lineal de los vectores de u y v, si existen escalares a y b tales que: w= au + bv
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Representación de vectores en el plano
Para representar vectores en el plano usamos un sistema coordenado rectangular. Sea un vector con punto inicial en el origen y punto final P=(a,b) en entonces podemos representar u en términos de los vectores canónicos de posición i y i: u=ai+bj
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Vector de posición
Si v es es un vector con punto inicial P1=(x1,y1) y con punto terminal P2=(x2,y2), entonces el vector v es igual al vector de posición:
v=(x2-x1)i+(y2-y1)jObserve que un vector de posición tiene inicio en el origen
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Vectores Algebraicos
En R3 y R2 se definen dos operaciones, a saber, la adición de vectores y la ponderación de un escalar por un vector.
DEFINICIÓN.
Sean u=(u1,u2,….un) y v=(v1,v2,…vn) elementos de Rn y sea cun escalar.La adición y multiplicación escalar se definen como sigue:
Adición: u + v = (u1+v1, u2+v2,…. un+vn)Multiplicación Escalar : cu = (cu1, cu2,…cun)
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Producto escalar o punto
Sean u = (u1,u2,…un), v = (v1,v2,…vn) ∈ Rn, entonces el producto escalar se define como:
u·v = (u1,u2,….un) ·(v1,v2,…vn) = u1v1+u2 v2+…..un vn
Observe que el producto punto asigna un número real a cada par de vectores.
Ejemplo.Sean los vectores u=(-3,4,7) y v=(2,-6, 4). Hallar u·v.
Solución.
u·v = (-3)×(2)+(4) ×(-6)+(7) ×(4)= -6-24+28 = -2
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Resumen de propiedades
Sean u, v, y w vectores en Rn y sean c y d escalares.a) u + v = v + ub) u + (v + w) = (u + v) + wc) u + 0v = 0v + u = ud) u + (–u) = 0v
e) c(u + v) = cu + cvf) (c + d )u = cu + dug) c(du) = (cd)uh) 1u = u
Sean u, v, y w ∈ Rn y sea k un escalar. Entonces:a) u·v = v·u b) (u + v) ·w = u·w + v·wc) ku·v = k(u·v) = u·kv d) u·u ≥ 0, y u·u = 0 si y sólo si u = 0
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Ejercicios
1. Sean los vectores:u = (2, 5, –3), v = ( –4, 1, 9), w = (4, 0, 2).
Determine el vector: 2u – 3v + w.
2. Considere los vectores en R2:u=(-1, 2), v=(3, -3/4), w=(0.5; -9)
a) Resuelve la ecuación : 2u-kv = -3.5w para la constante k.b) Encuentre un vector z = (a, b) tal que: -3u+4z = 6v-w
3. Considere los vectores en R2:u=(-1, 2, 5), v=(3, -3, 0), w=(0.5; -9, 3)
a) Calcular: w· v +13b) Calcular la expresión: u ( w· v)-w (u· v) c) Resuelve la ecuación para k, (2u-v)· w = -3.5w +10k b) Encuentre un vector z=(a, b) tal que: -3u+4z = 6v-w
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Norma o Longitud de un vector
El concepto de norma está relacionado con la longitud de un vector: u = (u1, u2…, un) en Rn , se define por:
( ) ( )2 21 nu u u= + +L
u u u= ⋅
Observe que: La norma de un vector puede ser escrita en términos del producto punto
Ejemplo.Hallar el valor de M = 2x+6y-3z si el módulo de u= (8-2x, 5x+3z, 2y+z) es igual a cero.
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PROPIEDADES
Definición. Se llama vector unitario al vector cuya longitud es 1. es unitario si y sólo si 1u u =
) 0, vector
b) , vector,
) , desigualdad triangular
a u u
ku k u u k R
c u v u v
≥ ∀
= ∀ ∈
+ ≤ +
Observación. El procedimiento para construir un vector unitario en la misma dirección de un vector dado se llama normalización del vector.
Ejemplo
( ) ( )22 2El vector 2, 1,3 es tal que 2 1 3 14
noes un vector unitario.
u u
u
= − = + − + =
1 2 1 3El vector normalizadoes (2, 1, 3) , , .14 14 14 14
u −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Vectores unitarios
Cualquier vector v = (v1, v2, v3) puede representarse por sus vectores canónicos
i = (1,0,0) ; j = (0,1,0) y k = (0,0,1)
v = (v1, v2, v3) = v1 (1,0,0) + v2 (0,1,0) + v3 (0,0,1)
v = v1i + v2j + v3k
Eje x
Eje y
Eje z
ij
k v
Observación.Se dice que el vector v es combinación lineal de los vectores canónicos
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Ejemplo
Sea w= (2, –1, 3). a) Normalice este vector.b) Escribe el vector inicial de modo que tenga norma 4
Solución.
Este vector es un vector unitario en la dirección de (2, –1, 3).
2 2 2(2, 1, 3) 2 ( 1) 3 14.w = − = + − + =
1 2 1 3(2, 1, 3) , , .14 14 14 14
−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
El vector normalizado es
La norma de (2, –1, 3) es √14
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Ángulo entre vectores
El ángulo de dos vectores no nulos v y w se define como el ángulo θ, que forman los vectores cuando tienen origen común.
cosθ ⋅→ =
u vu v
EJEMPLODetermina el ángulo entre los vectores u = (1, 0, 0) y v = (1, 0, 1)
Solución11)0,(1,0)0, 1,( =⋅=⋅ vu
2
2 2
2
2
2
1
1 0 0 1
0 1 2
= + +
= + + =
=
v
u
,2
1cos =⋅
=vuvuθ
Así, el ángulo entre u y v es 45°.
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Ángulo entre vectores
De la definición de ángulos de vectores se tiene que:
( )Si , u y v son ortogonales2
0uu v vπ∠ = → → ⋅ =
( )Si , 0º u y v son paralelosu v u v u v∠ = → → ⋅ = ⋅
( )Si , u y v son opuestos u v uu v vπ∠ = → → ⋅ = − ⋅
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Ejercicios
a. Determinar para qué valores de x e y los vectores u = (-2, 3, y) y v = (x, -6, 2) son paralelos. Solución. x=4 , y=-1
b. Si u = (x+1, 3x-2) y v = (1-x, x). Hallar el valor de x para que u+5v sea paralelo a w = (1,-7). Solución. x=2
c. Los vectores u y v forman un ángulo de 45° y el módulo de u es 3. Hallar el módulo de v, de modo que (u-v) sea perpendicular a u. Solución. 3√2.
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Dirección de un vector en R2
Cada vector no nulo u = (a1, a2) le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo θ formado por el vector u y el eje x.
11
22cos
asen a u senua a u cosu
θ θ
θ θ
⎧ = → =⎪⎪⎨⎪ = → =⎪⎩
0 00 360θ≤ ≤
( ) ( ) ( )1 2, cos , cos ,u a a u u sen u senθ θ θ θ= = =
Por lo tanto, un vector queda determinada por magnitud y su dirección
( )Si 1, entonces cos ,u u senθ θ= =
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Ejercicios
a. Hallar el valor de a para que los vectores u = (-2,1,5) y v = (a, 2, 6), sean perpendiculares.
b. Dados los vectores libres u = (3, -4) y v = (-2, 1). Determina el ángulo que forman.
c. Calcular ||u - v|| sabiendo que ||u||=13, ||v||=19 y || u+v||=24.Solución. ||u - v||=22
d. Hallar un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a u = (2,0,1) y v = (3,-1, 2). Solución. w =( 4/√6)(1, -1, -2)
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Producto vectorial o Cruz
Sean v=(v1,v2,v3) y w=(w1,w2,w3) vectores de R3, entonces el producto vectorial se define como:
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
v v v v v vv w i j k
w w w w w w× = ⋅ − ⋅ + ⋅
1 2 3
1 2 3
i j kv w v v v
w w w× =
( )( ) ( )( )2 5 5 6 10 305
640
25
D − − = − −= = −=−
Ejemplo
Calcular las operaciones indicadas para los vectores u y v si u = (2,3,-1) y v = (4,- 2,4)
a) b) c) u v v v v u× × ×
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Propiedades del producto vectorial
Sean u, v y w vectores del espacio, λ( lamda) y τ(tau) escalares, entonces se cumple que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
1)
2)
3) 4) Si 05) 0
) 00
6
v
v v
E
v w v
v u
w
u w v u w u v
v w w vw v w v
vv
λ τ λτ
λ
× = ×
× + = × + ×
× = − ×
= → × =
×
=
=
×
⋅ → Ver figura
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Interpretación geométrica del producto vectorial
Teorema. Suponga que los vectores u y v forman un ángulo θ (theta), entonces: ( )u v u v sen θ× = ⋅ ⋅
El número ||u×v|| admite una interpretación geométrica, en efecto
La altura h es igual ||v||senθ, es decir h = ||v||senθ, además el área del paralelogramo es base por altura: A=||u||||v||senθ = ||u×v||
EjemploHallar el área del paralelogramo formado por los vectores u=(1, 3, 7) y v=(-2, -4, 3).Sol. √166 u2
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Teorema. Dos vectores u y v son paralelos si y sólo si u×v=0v
Ejemplo.a) Dados los vectores u=(-1, 2, 3), v=(-2,3,1) ¿son paralelos estos vectores?
b) Determina el área del triángulo de la figura sombreada si:F=(3, -2, 4), E= (5, 12, 5) y G=(- 6, 2, 7)
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Producto Mixto
Sean u, v y w vectores, no coplanares. El producto mixto de u, v yw se denota por [u v w]= u·(v×w)
( )1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
u v w v v vw w w
× ⋅ =
Ejemplo.Calcular [u v w] para los vectores
u=(8,-1, 1), v=(-4, 3, 2) y w=(-3,2,-3)
Propiedades.[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]
a)
b)
c)v w
u v w u v w v w u w u v
u v w u v w v w comp u
u v w wu v v wu×
= ⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×
= ⋅ × = ×
= =
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Interpretación Geométrica del producto mixto
El volumen de un paralelepípedo se define como el área de la base por su altura. Si u, v y w son vectores no coplanarios, entonces
2
2
( )
( )
( )
u v
V u v h
V u v proj w
u v wV u v u vu v
u v wV u v u vu v
V u v w
×
= × ⋅
= × ⋅
× ⋅= × ⋅ ×
×
× ⋅= × ⋅ ×
×
= × ⋅
Ejemplo.Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores u=(8,-1, 1), v=(-4, 3, 2) y w=(-3,2,-3)
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Ejercicios
a. Hallar un vector u de longitud 6√3 y que tiene la misma dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo del eje x. Solución: (9, 3√3)
b. Si u = (3, -1, -2) , v = (2, 3, 1). Hallara) (u+3v)×(2u-v) Sol. (-20, 28, -44)b)||(u+v)×(u-v)|| Sol. 2√185
c. ( ) ( )Si 7, 3 y 4. Hallar 12 3 2 7u v u v M u v u v= = ⋅ = − = + ⋅ +
![Page 36: Vectores](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/563dbb79550346aa9aad7b13/html5/thumbnails/36.jpg)
Prof. Luis A. Hernández. 36
Ejercicios
a. Dados los vectores u=(-5, 2) y v=(3, -4). Hallar un vector unitario de sentido opuesto al vector u-v.Solución. (4/5, -3/5)
b. Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:
u = (2, 6, -4), v = (3, 2, 7) y w = (3, 4, 3).Solución. 46u3
![Page 37: Vectores](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/563dbb79550346aa9aad7b13/html5/thumbnails/37.jpg)
37
OPTATIVO
Ecuación de la recta y el plano
![Page 38: Vectores](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/563dbb79550346aa9aad7b13/html5/thumbnails/38.jpg)
Prof. Luis A. Hernández. 38
Ecuación vectorial de la recta
Una recta queda determinada cuando se conoce un punto y un vector director de la misma. Vector director es aquel que tiene la misma dirección de la recta.
En el sistema de coordenadas, supongamos que una recta L pasa por el punto P=(x0, y0, z0) y el vector director es v=(a,b,c). Sea Q otro punto de la recta L, entonces el vector PQ es paralelo a v, es decir, PQ = tv, o sea Q-P = tv, t∈R. De donde Q= P+tv.
![Page 39: Vectores](https://reader031.fdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/563dbb79550346aa9aad7b13/html5/thumbnails/39.jpg)
Prof. Luis A. Hernández. 39
Ecuación de la recta
Sea P=(x0, y0, z0), v=(a,b,c) y Q = (x, y, z) un punto cualquiera de la recta, entonces
La ecuación vectorial es
(x, y, z) = (x0, y0, z0), +t(a,b,c) , t∈R
De la ecuación anterior obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta
x – x0 = ta → x = ta + x0y – y0 = tb → y = tb + y0z – z0 = tc → z = tc + z0
Para cada valor que le demos a t, se obtiene un punto de la recta y si le damos todos los valores de los números reales, se obtienen todos los puntos.
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Ecuación de la recta
Despejando t en cada ecuación anterior, obtenemos la ecuación simétrica de la recta
0 0 0x x y y z za b c− − −
= =
Siempre que todas las componentes del vector director (en las ecuaciones paramétricas) son no nulas, a, b, c ≠ 0.
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Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(1, -2, 3) y tiene como vector director a v = (-1, 4, 0).
SOLUCIÓN
)0,4,1()3,2,1(),,( −+−= λzyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=
−=
342
1
zyx
λλ
03
42
11 −
=+
=−− zyx
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación vectorial:
Ecuación simétrica:
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Ecuación del plano
Sea P0= (x0, y0, z0) un punto del espacio y n = (a, b, c). El plano πque pasa por el punto P0 y es perpendicular al vector n se define como el conjunto de puntos P = (x, y, z) tales que:
(P-P0)⋅n = 0 (ecuación vectorial)
( )0 00P P n P n P n− ⋅ = → ⋅ = ⋅
Si reemplazamos las coordenadas P, P0 y n se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0
0 0 0
, , , , , , , ,
d
P n P nx y z a b c x y z a b c
ax by cz ax by cz
ax by cz d
→ ⋅ = ⋅
→ ⋅ = ⋅
→ + + = + +
→ + + =
1442443
(Ecuación cartesiana)
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Ecuación del plano
Observe que los coeficientes de x, y y z son las coordenadas de n. Por ejemplo en la ecuación: 2x-5y+6z = 4 su normal es n = (2, -5, 6)
Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P0=(1,3,2) y cuya normal es n = (-1,3,4)
Ejemplo
Solución
( )( ) ( ) ( ) ( )
0 00
, , 1,3, 4 1,3, 2 1,3, 43 4 1 9 83 4 16
P P n P n P n
x y zx y zx y z
− ⋅ = → ⋅ = ⋅
→ ⋅ − = ⋅ −
→ − + + = − + +→ − + + =
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Ejemplo
Hallar la ecuación del plano plano que pasa por P=(2,1,-1) y tiene vector normal n = (-1, 1, 3). Sol. -1(x –2)+1(y –1) +3(z +1) = 0 ⇒ -x+y+3z = -4
¿Corta el plano a la recta L: x = 1 – 2t; y = 2 – 3t; z = 2 + 2t ? Sol. - (1 - 2t) + (2 – 3t) + 3(2 + 2t) = -4 ⇒ t = -11/5
El punto intersección es Q(27/5, 43/5, -12/5)
Pruebe que Q = (1, -6, 1) pertenece al plano halladoSol. -x+y+3z = -4 → -1 – 6 + 3(1) = -4
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•Una recta L pasa por el punto (2,-1,0) y es perpendicular al plano x + 2y – z = 12, determina el punto de intersección.
Solución
La recta tiene dirección el vector (1, 2, -1)
Reemplazando las coordenadas en la ecuación del plano
12)()21(2)2( =−−+−++ ttt
Sustituyendo en x, y, z:
Resolvemos para t→ t=2
422 =+=x3221 =×+−=y
2−=z
( ) ( ) ( ) { }, , 2, 1, 0 1, 2,1 2 , 1 2 ,x y z t x t y t z t= − + → = + = − + = −
Ejemplo
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Encuentre el punto de intersección de la recta que pasa por el punto(1,3,4) y cuya dirección es (-3,2,5) y el plano 3x -2y – 4z =218.
Hallar el plano que contiene a los puntos A(1, 0, -1), B(3, 1, 4) y C(2, -2, 0).
Ejemplos
Solución. (28,-15, -41)
Solución. n = (11, 3,-5), 11x + 3y –5z = 16