Vectores
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Transcript of Vectores
-
Definicin geomtrica
Vector: Segmento orientado
Elementos
Direccin Sentido Mdulo
-
Definicin algebraica: Vector en
funcin de sus componentes
kcjbiacba
c
b
a
v
),,(
jbiabab
av
),(
y
z
x
-
Mdulo de un vector
2
1
a
aa
aaa
a
2
22
1
||
||2
aa
3
2
1
a
a
a
a
aaa
a
2
2
3
22
1
||
||2
aaa
-
Vector definido por dos puntos
12
12
21yy
xxPP);( 111 yxP );( 222 yxP
12
12
12
21
zz
yy
xx
PPEn el espacio
En el plano
-
Direccin de un vector en R2
El ngulo medido en radianes que forma
el vector con el semieje positivo de
abscisas.
20
a
bba tan,v Sea
-
Operaciones con vectores
Adicin
Sustraccin
Multiplicacin por un escalar
-
Operaciones con vectores en
funcin de sus componentes Adicin:
Sustraccin:
3
2
1
3
2
1
y
b
b
b
b
a
a
a
aDados
33
22
11
:es diferencia vector el ,
ba
ba
ba
s
,
3
2
1
3
2
1
y
b
b
b
b
a
a
a
aDados
33
22
11
:es suma vector el ,
ba
ba
ba
s
-
Operaciones con vectores en
funcin de sus componentes
Multiplicacin por un escalar:
resulta , 2
1
a
aaDado
2
1
a
aa
-
ngulos directores y cosenos
directores de un vector
coscos 11
aa
a
a
coscos 22
aa
a
a
coscos 33
aa
a
a
-
Propiedad
1coscoscos 222
Expresin de un vector en funcin
de sus cosenos directores
cos
cos
cos
aa
Consecuencia: Vector unitario de igual direccin y
sentido que un vector dado
-
ngulo de dos vectores
Sean u y v dos vectores diferentes de cero.
Entonces el ngulo entre u y v est
definido como el ngulo no negativo ms
pequeo entre las representaciones de u
y v que tienen el origen como punto inicial.
-
ngulo de dos vectores
uvuvuv
uvuvuv
2
222
cos...2
pero
vu
vu
.
arccos
v
-uv-u
-
Condicin de paralelismo
Condicin de perpendicularidad
v
u
v
u
v
u
v
u
3
3
2
2
1
1
0... 332211 uvuvuv
-
Teorema
Sea v un vector diferente de cero. Entonces
para cualquier otro vector u el vector
es ortogonal a v
vv
vuuw
2
-
Producto escalar
Proyeccin: Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyeccin de u sobre v, est definida por:
La componente de u en la direccin de v es el escalar:
cos..
vuvu
vv
vuuv
2proy
2v
vu
-
Producto vectorial o producto cruz
Encontrar que resulte perpendicular
a los vectores
z
y
x
x
3
2
1
3
2
1
y
b
b
b
b
a
a
a
a
ba
bbb
aaa
kji
ba
321
321
-
Mdulo del producto vectorial
sen..
bac
Significado geomtrico del mdulo del producto
vectorial
El mdulo del
producto vectorial ,
es numricamente
igual al rea del
paralelogramo que
tiene por lados a
ba y
ba
b
a
h
-
Propiedades del Producto Vectorial
abba
bababa ...
cabacba
baba//
-
Producto Mixto
cos
cbacba
cb
b
ca
Interpretacin Geomtrica
-
Producto Mixto en funcin de las
componentes de los vectores
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba
-
Volumen de un paraleleppedo
conocidos cuatro de sus vrtices
ADACABV
1
1
1
1
321
321
321
321
ddd
ccc
bbb
aaa
V