Vectores  Un    vector    en    el    plano,    se    denota    por    un    par    ordenado    de    números    reales    y    la    notación  x, y    se  emplea  en  lugar  de   ( x, y)  para  evitar  la  confusión    entre  vector  y  punto.  V2  es  el  conjunto  de  todos  los  pares  ordenados  (x,  y).   Un  vector  en  el  plano  es  un  par  ordenado  de  números  reales x, y  ,  Los  números  x  y  y  son  las  componentes  del  vector x, y  .   Sea    el    vector    A    el    par    ordenado    de    números    reales   a1, a2      Si    A    es    el    punto   (a1, a2 )  ,  entonces    el    vector    A    puede    representarse    geométricamente    por    el    segmento    dirigido    OA  este  segmento  dirigido  es  una  representación  del  vector  A.   La    representación    particular    de    un    vector    con    su    punto    inicial    en    el    origen    se    denomina  representación  de  posición  del  vector.   El    vector   0, 0  ,    se    denomina    vector    cero    y    se    denota    por    0;    esto    es,   0 = 0, 0  cualquier  punto  es  una  representación  del  vector  cero.    

   Para  escribir  en  los  vectores  en  r2  se  utilizan  varias  notaciones.  Forma  vectorial:  

𝑥𝑦= 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜  𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 𝑡𝑑  

Forma  Paramétrica:  𝑥 = 𝑝! + 𝑡𝑑!  𝑦 =  𝑝!  +  𝑡𝑑!  

Forma  normal:  𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝  

Forma  general:  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐  

 

 

 

 

 

 

Definición  de  vector:  Segmento  de  recta  dirigido  que  representa  el  desplazamiento  de  un  punto  inicial  a  un  punto  final.  

Suma  de  vectores  

𝑉 = [𝑎, 𝑏]              𝑈 = [𝑐,𝑑]    

𝑅 = [𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑]  

Resta  de  vectores  

𝑉 = [𝑎, 𝑏]              𝑈 = [𝑐,𝑑]  

𝑅 = [𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑]  

Magnitud  de  un  vector  

𝑉 = [𝑥, 𝑦]                

𝑉 =   𝑥! + 𝑦!  

Producto  escalar  

𝑉 = [𝑥, 𝑦]              Un  escalar  k  

𝑅 = [𝑘𝑥, 𝑘𝑦]  

Producto  Punto  

𝑉 = [𝑎, 𝑏]              𝑈 = [𝑐,𝑑]  

R =   (a ∗ c)  +  (b ∗ d)    

Producto  Cruz  

Solo  existe  para  vectores  en  R3  y  el  vector  resultante  es  ortogonal  a  ambos.    

𝑉 = [𝑎, 𝑏, 𝑐]              𝑈 = [𝑑, 𝑒, 𝑓]  

𝑅 = [ 𝑏𝑓 − 𝑐𝑒 , 𝑐𝑑 − 𝑎𝑓 , 𝑎𝑒 − (𝑏𝑑)]  

 

 

 

 

 

Vector  Unitario  

Tiene  tamaño    1.          Formula:       !| ! |

 

Angulo  entre  dos  vectores    

   cos!!( !∗!! ∗| ! |

)    

Distancia  entre  dos  vectores  

  |𝑈 − 𝑉|  

Proyecciones  

Si  el  ángulo  formada  entre  los  dos  es  igual  a  cero  entonces  la  proyección  nos  da  el  vector  cero,  de  lo  contrario  nos  da  el  vector  formado  por  la  proyección  de  U  en  V.  

𝑃𝑟𝑜𝑦  𝑣  𝑈 =𝑈 ∗ 𝑉𝑉 ∗ 𝑉

∗ 𝑉  

Ejemplos  

1. Determine  el  área  del  paralelogramo  con  vertices  P=(2,2,-­‐1)  Q=(3,0,5)  R=(-­‐2,0,7)  

𝑃𝑄 = [1,−2,6]  

𝑄𝑅 = [−5,0,2]  

Área  =  ||𝑃𝑄  𝑥  𝑄𝑅||    

 

 

 

 

Ejercicios  para  practicar  

 

 

 

 

Respuestas  

1. A(7,-­‐1)  

2. 𝑉 = !!,− !

!  

3. D(0,1)  4. 26  

 

Rectas en R3

Una recta en R3 es la intersección de dos planos.

Forma Normal:

𝑛! ∙  𝑥! =  𝑛! ∙  𝑃!  (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜  1)

𝑛! ∙  𝑥! =  𝑛! ∙  𝑃!  (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜  2)

Forma General:

𝑎!𝑥 +  𝑏!𝑦 +  𝑐!𝑧 =  𝑑!  (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜  1)

𝑎!𝑥 +  𝑏!𝑦 +  𝑐!𝑧 =  𝑑!  (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜  2)

Forma Vectorial:

𝑥𝑦𝑧=  

𝑃!𝑃!𝑃!

+  𝑡𝑑!𝑑!𝑑!

Forma Paramétrica:

𝑥 =  𝑃! +  𝑡𝑑!

𝑦 =  𝑃! +  𝑡𝑑!

𝑧 =  𝑃! +  𝑡𝑑!

Ecuaciones Simétricas:

𝑥 −  𝑃!𝑑!

=  𝑦 −  𝑃!𝑑!

=  𝑧 − 𝑃!  𝑑!

Ejercicio de ejemplo:

Obtenga la ecuación en forma vectorial de la recta en R3 que pasa por los puntos A(2,3,1) y B(-2,5-1).

Para expresar la ecuación en forma vectorial es necesario un punto conocido y el vector dirección.

El vector dirección (  𝐴𝐵 =  𝑑) se encuentra con la resta de las componentes de los puntos dados.

Por lo tanto el vector dirección es:

𝑑 = −2− 2 , 5− 3 , −1− 1 = [−4,2,−2]

Utilizamos cualquiera de los puntos dados, por conveniencia escogemos el punto A.

La ecuación queda así:

𝑥𝑦𝑧=  

231+  𝑡

−42−2

𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠  𝑒𝑛  ℝ!  

 

Ø  Tiene  2  parámetros  y  2  vectores  dirección  los  cuales  no  son  paralelos  entre  sí  Ø Formas:  

o Forma  vectorial  

!=!+𝑠

!+𝑡

!  

o Ecuaciones  paramétricas    𝑥 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  𝑦 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  𝑧 = 𝑝! + 𝑠𝑢! + 𝑡𝑣!  

 

o Forma  normal  

!=!×!  

!∙!=!∙!  

o Forma  general  𝑎𝑏𝑐∙𝑥𝑦𝑧=𝑎𝑏𝑐∙𝑝!𝑝!𝑝!  

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑  o Ecuaciones  paramétricas    

𝑥 −𝑝!𝑑!

=𝑦 −𝑝!𝑑!

=𝑧 −𝑝!𝑑!

= 𝑡  

 

 

 

 

Ø Distancia  de  un  punto  fuera  del  plano  al  plano    

 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑦

! !!!  

 

 

 

 

 

 

 

Encontrar  los  nombres  de  las  diferentes  formas  de  los    𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠  𝑒𝑛  ℝ!  

P   Q   W   E   R   T   Y   U   I   O   P   G   A  

L   A   B   Z   I   Q   U   Z   G   E   X   E   S  

K   W   R   U   N   S   Y   X   F   D   S   N   D  

J   D   P   A   Q   W   T   C   S   C   W   E   F  

N   M   O   B   M   E   R   V   A   V   A   R   F  

O   J   I   Y   V   E   C   T   O   R   I   A   L  

R   S   U   A   R   Q   T   Z   X   G   Q   L   G  

M   R   T   P   A   Q   Y   R   p   T   B   V   H  

A   T   F   S   E   E   R   F   I   S   N   C   J  

L   G   J   A   H   H   J   O   P   C   M   X   K  

D   B   S   F   U   C   K   Q   Q   A   A   Z   L  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Editores    

Sergio  Gómez-­‐13423  

Roberto  Chiroy-­‐13027  

Daniel  Orozco-­‐13312  

Diego  Jacobs-­‐13160