UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

EXTENSIÓN IXCÁN-TULANCURSO DE MATEMATICAS I

Autor: Ing. Agr. José Horacio Ramírez Pérez

LABORATORIO 6ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. INTRODUCCION

Las ecuaciones de primer grado son importantes en muchos problemas de aplicación. Pero antes de aprender a resolver los problemas de aplicación, el estudiante deberá conocer las propiedades más importantes que rigen a estas operaciones matemáticas. Este tema será nuevamente discutido en los Laboratorios números 2, 3, 4 y 6 del curso de Matemática II.

Estas ecuaciones se les conocen también como Ecuaciones lineales, dado que al graficarlas se obtiene una línea recta. Estas ecuaciones se caracterizan porque la incógnita aparece elevada a la uno. Cuando la incógnita esta elevada a la 2, se dice que la ecuación es de segundo grado o cuadrática. Estas ecuaciones de segundo grado se desarrollarán en el laboratorio 7. Veamos pues de que se trata este tema.

2. DEFINICIONES PREVIASAntes de empezar a resolver los ejercicios de ecuaciones definiremos algunos conceptos

que son importantes que el estudiante comprenda correctamente.

2.1. IGUALDAD

Se entiende por igualdad, a toda aquella expresión matemática en la que dos cantidades o más tienen el mismo valor. Lo que deberá tener claro el estudiante es que aunque las cantidades tengan diferente expresión estas tienen el mismo valor. Por ejemplo:

En el primer caso, significa que x, es igual a la suma de los valores de y más el valor de z. Para el segundo caso, dice que 5 veces el valor de x es igual a 9 veces el valor de x más 12.

2.2. ECUACION

Ecuación es toda aquella igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de estas incógnitas. Las incógnitas que regularmente se utilizan son las últimas letras del abecedario, siendo estas: x, y, z, u, v.

En el ejemplo 1, las dos expresiones matemáticas son ejemplos de ecuaciones, ya que las expresiones presentan un signo de igualdad, entre sus miembros.

2.3. MIEMBROS Y TÉRMINOS

1

Toda ecuación de cualquier grado, tiene dos miembros. Se le llama miembros a cada uno de los lados de toda ecuación, mientras los términos son cada una de las cantidades que se encuentran separadas por signos más o menos, en cada uno de los miembros. Veamos estos conceptos en el segundo ejemplo:

Note que en el miembro izquierdo hay tres términos, los cuales son: 5x, +12 y -6x, mientras en el miembro derecho hay dos términos, los cuales son: 15x y -35. Observe que los dos miembros están unidos por un signo de igualdad, lo que significa que el miembro izquierdo debe ser igual al miembro derecho en cantidades matemáticas.

2.4. RAICES DE UNA ECUACION

Las raíces de una ecuación son todos aquellos valores que hacen verdadera una ecuación. Cuando decimos verdadera, estamos diciendo que valor debe tener la incógnita para que el resultado final del miembro izquierdo sea igual al miembro derecho. Veamos el ejemplo 3.

El único valor que hace verdadera esta ecuación es el número 8, ya que al sustituir el 8 por el valor de la incógnita, o sea, sustituir el 8 por la x, queda:

Observe que en los dos miembros se obtiene el mismo resultado de 36. Sí se sustituye por otro valor diferente de 8, la respuesta es diferente y por lo tanto la proposición es falsa.

OJO: Todas las ecuaciones lineales solo tienen una raíz.

2.5. AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES

Este axioma dice: Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Recuerde que en las ecuaciones, al final la relación se da entre dos cantidades y por ello se plantea así el axioma.

A partir de este axioma se derivan dos reglas o principios importantes (en algunos textos son 6 reglas, en otros 5).

PRINCIPIO DE ADICION: Sí a los dos miembros de una ecuación se suman o restan la misma cantidad, la igualdad se mantiene.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Esta cantidad no puede ser cero (0).

2.6. RESOLVER UNA ECUACION

2

Cuando se indica resolver una ecuación, significa que se deben encontrar las raíces que hacen verdadera la proposición. Es decir, los valores que dan los mismos valores en los dos miembros, como lo hicimos en el ejemplo 3. Vea el ejemplo 3.

Resolveremos la ecuación del ejemplo 3, usando el axioma fundamental de las ecuaciones. En forma general podemos decir, que debemos dejar la incógnita en el lado izquierdo (miembro izquierdo) y los valores constantes (las cantidades que no tienen la incógnita en el lado derecho, o sea, el miembro derecho).

Debemos pasar el -4 al lado derecho, para ello sumamos +4 a los dos lados, quedando:La resta de -4 y +4 da 0. +12+4 da +16. Pasemos ahora el 3x, por lo que debemos restar un -3x en ambos lados, quedando:Restando 5x-3x, queda 2x. El 3x-3x, da 0. Quedando:Sumando el 0+16, queda 16. Por lo tanto:Como sólo me interesa el valor de x, no el de 2x, por eso divido los dos lados por 2, quedando:Dividiendo 2x/2, queda x y dividiendo 16/2, queda 8, o sea:Por lo que x vale 8. Este es el único valor que hace verdadera la ecuación.

Para estar seguro si nuestros procedimientos fueron los correctos, la mejor forma de comprobarlo es a través de la prueba, la cual consiste en colocar en lugar de la x el valor de 8. Estas palabras como que ya las dijimos. Efectivamente, las utilizamos para hacer la prueba en el ejemplo 3, por lo que ya no lo haremos aquí.

Sólo quiero llamar la atención en lo que en el algebra de ecuaciones se conoce como transposición de términos, los cual lo veremos con el ejemplo anterior. Estudie y entienda bien este procedimiento, le ayudará mucho para resolver cualquier tipo de ecuación: Veamos pues:

Para eliminar el -4 del lado derecho debemos sumarle un +4 y lograr que nos quede 0, pero también le sumamos +4 al otro lado, quedando:Note que en el lado izquierdo al final, con este -4 y +4 queda 0, pero del otro lado quedo +4. O sea, que el -4 que estaba al lado izquierdo paso al lado derecho como +4. O sea paso al otro lado con signo cambiado, es decir, de -4 a +4.En el caso de 3x que esta del lado derecho debemos pasarlo al lado izquierdo, por lo que debemos agregarle un -3x a los dos lados: Note en el siguiente paso, como en el lugar de 3x del lado derecho queda 0, pero del lado izquierdo queda el mismo 3x pero como -3x. O sea, que al cambiarlo de lado, queda la misma cantidad pero con signo cambiado.Sumando el 0+16, queda 16. Por lo tanto:

Esta es la forma que se enseña en la mayoría de centros de educación básica, media y universitaria, pero el fundamento lo da este ejemplo resuelto de la forma formal. Debe destacarse que esta es la forma más sencilla de enseñar a resolver las ecuaciones lineales, por

3

lo que nosotros también lo usaremos, pero haciendo las aclaraciones correspondientes. Todas las ecuaciones que resolveremos se basarán en la transposición de términos.

3. ECUACIONES CON UNA INCÓGNITALas ecuaciones lineales con una incógnita se presentan en tres formas, las cuales tienen

sus procedimientos para resolverlas. Estudie bien estos procedimientos. Veamos cada uno de los casos.

3.1. SIN SIGNOS DE AGRUPACIONLos ejercicios que resolveremos en este apartado se encuentran en la página 127 del Algebra de Baldor. Entre paréntesis se

presenta el problema y segundo el ejercicio. En este caso, problema 6, del ejercicio 78.

Resuelva la siguiente ecuación y haga su prueba respectiva (6.78).

Lo primero es pasar el 21 del lado izquierdo al lado derecho con signo cambiado, o sea de +21 a -21.Observe donde escribo el -21, a la par del 27, porque son términos constantes, o sea no tienen a la incógnita. Restando 27 y -21, por ser cantidades con signos diferentes queda:6. Pasando el -8x al otro lado queda:Note como el -8x paso al otro lado como +8x. Ahora se deben restar con -6x, dado que tienen signos diferentes, por lo queda: 2x. Positivo porque es mayor +8x.Dividiendo los dos lados por 2, para que quede sólo x, queda:Dividiendo 2x/2 queda x y dividiendo 6/2, da 3, por lo que la respuesta es:

Haciendo la prueba o verificación queda:

Copiamos la ecuación original.En lugar de la x, escribo el 3 obtenido como respuesta y hago las multiplicaciones recordando que, signos diferentes en la multiplicación da como resultado un número negativo:Deduzca de donde se obtuvo -18 y -24. Ahora restando queda:Dado que en los dos miembros se obtuvo el mismo resultado, se concluye que el 3 es la única respuesta a esta ecuación.

Resolveremos otra ecuación más complicada: Resolveremos la 12.78

Lo primero es reducir los términos semejantes. O sea, restar el 101 y el -33 y así los demás.La –x se obtuvo de restar -4x con +3x, quedando –x porque -4 es mayor en valor absoluto a +3. Lo mismo ocurre con el 101 y el -33 y el 108 y el -100. Haciendo la transposición de términos queda:Note como el -16x paso al otro lado como +16x. y el +68 pasó al otro lado como -68. Restando los términos porque tienen signos diferentes, queda:Observe como quedan las cantidades con sus signos. Dividiendo los dos lados por 15, queda:Dividiendo 15x/15 queda x y dividiendo -60/15, da -3, por lo que la respuesta es:

Como -60 es negativo y 15 es positivo, la respuesta es -3.

3.2. CON SIGNOS DE AGRUPACION

4

Las ecuaciones con signos de agrupación se resuelven eliminando los signos de agrupación, empezando siempre de adentro hacia fuera y recordando que: Un signo + indica copiar las cantidades con sus mismos signos, mientras que un signo -, indica cambiarle el signo a todas las cantidades que están dentro de ese signo de agrupación. Con esas ideas en mente, resolvamos un par de ejemplos, poniéndole mucha atención a los ejercicios:

Resuelva la siguiente ecuación: 3.79

En este caso se eliminan los paréntesis. Como delante de los paréntesis (5-3x) y (8x+11) no aparece signo, se considera que el signo es +. Recuerde la regla. Signo + no cambia y signo – cambia.Observe como cambian los signos de las cantidades que están dentro de los paréntesis (-4x+6) y (-8+3x), ya que ellos tienen un signo – delante de ellos. Reduciendo términos semejantes queda:Se restan -3x+4x y 5-6; se restan también 8x-3x y se suman 11+8. Transponiendo términos queda:Observe el cambio de signo de las cantidades al transponerlas. Reduciendo queda:Dividiendo los dos lados por -4 queda:Observe que en la división del lado en donde está la incógnita se divide entre el coeficiente numérico junto con su signo. Por lo que la respuesta es -5. Haga la prueba en clase.

Veamos otro ejemplo. 10.79.

En este caso se eliminan los paréntesis. Los corchetes se quedan aún. Recuerde si es signo + o signo -.Observe como cambian los signos de las cantidades que están dentro de los paréntesis. Reduciendo términos semejantes queda:Observe como se suman -5x-2x y -3x-4x. Lo mismo ocurre con -4-3. Eliminando los corchetes, queda:Observe el cambio de signo de las cantidades al eliminar los corchetes. Reduciendo términos semejantes queda:Al transponer los términos queda:Reduciendo términos semejantes queda. Dividiendo los dos lados por -14, queda.Observe como nos llevamos el signo del 14.

Como las dos cantidades tienen los mismos signos, la respuesta es positiva. Hacer la prueba en clase.

5

3.3. CON PRODUCTOS INDICADOSCuando las ecuaciones presentan productos indicados, estas se resuelven realizando las multiplicaciones correspondientes

y recordando las leyes de los signos. En este caso será muy común ver números con paréntesis sin ningún signo entre ellos, lo que significa multiplicación. Ver laboratorio 4, Algebra Básica, en las propiedades 18,19 y 20. Resolveremos un par de ejemplos:

Resuelva la siguiente ecuación: 2:80.

En este caso se eliminan los paréntesis. Vea los casos del 5, el 16 y el 3. Realizando las multiplicaciones queda:Estudie bien de donde se obtuvo el 5x y -5. Así también para las demás cantidades. Reduciendo términos semejantes queda:Observe como se suman 5x y 32x. Se restan -5 y 48, quedando +43. Se restan 6x y –x. Transponiendo:Observe el cambio de signo de las cantidades transpuestas. Reduciendo términos semejantes queda:Dividiendo los dos lados por 32, queda:

Hacer la prueba en clase.

Resuelva la siguiente ecuación: 8:80

Dado que entre los paréntesis no hay signos se sobreentiende que es multiplicación. Multiplicando 3x por 4x y 3x por -3, y así para -4, queda:Como las 12x2 aparecen en los dos miembros con el mismo signo se cancelan. Reduciendo términos semejantes queda:Transponiendo términos:Reduciendo términos semejantes queda:Dividiendo los dos lados por 13, queda:

Hacer la prueba en clase.

Otros ejemplos más complejos los resolveremos en clase. Debe entregar el ejercicio 81, en forma completa.

4. ECUACIONES SIMULTANEAS CON DOS INCOGNITAS4.1. DEFINICIONES PREVIAS4.1.1. ECUACIONES SIMULTANEAS. Se dice que dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas,

si se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Es decir, si los valores que hacen verdadera una ecuación son los mismos que hacen verdadera las otras ecuaciones.

4.1.2. SISTEMA DE ECUACIONES. Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones es una serie de valores que tienen las incógnitas y que hacen verdaderas todas las ecuaciones.

4.2. METODOS DE RESOLUCION

6

Los métodos que se utilizan para resolver las ecuaciones simultáneas con dos incógnitas son 4. Hay otros métodos, pero en este laboratorio sólo utilizaremos estos cuatro: 1) Método de igualación; 2) Método de sustitución; 3) Método de suma y resta; y 4) Método grafico.

4.2.1. METODO DE IGUALACIONEste método consiste en despejar una variable en las dos ecuaciones. Despejar significa dejar sola la variable sin ninguna

operación o coeficiente. Seguidamente se igualan las dos ecuaciones y se eliminan los denominadores si los hay. Se hace la transposición de términos y se determina el valor de la incógnita como si fuera una ecuación con una incógnita,

que de hecho así es. Habiendo encontrado el valor de una incógnita se encuentra el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor de esta incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones dadas y se resuelve. Veamos un par de ejemplos:

Resuelva la siguiente ecuación simultánea: 1:176

Cada ecuación se presenta con un subíndice que indica que ecuación es. Ver el caso de los números pequeños del 1 y el 2. Despejaremos primero la x en la ecuación 1.

Como se forma una nueva ecuación por ello se nombra como ecuación número 3. Vea que del miembro izquierdo sólo queda la incógnita x. Despejando ahora la ecuación 2, queda:Ya que hemos despejado x, debemos ahora igualar las ecuaciones 3 y 4. Vea la forma como igualamos las ecuaciones. Observe que ahora sólo aparece una incógnita.

Pasando el 7 a multiplicar al miembro izquierdo queda:

Observe que al pasar el 7 a multiplicar se queda el miembro derecho sin denominador. Multiplicando el 7 queda:Transponiendo las y Reduciendo términos semejantesDividiendo los dos lados por -45, queda:Vea como los dos signos iguales dan como resultado un número positivo.Por lo tanto, y vale 4. Ya que encontramos este valor de y, podemos encontrar el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Lo encontraremos en la ecuación 1.Sustituyendo el valor de y queda:

Multiplicando por 6.Transponiendo y restando queda:

x = 3, y=4 Respuesta del sistema.

Resolveremos otro ejemplo: Ahora la número 5:176

Esta ecuación ya se presenta ordenada. Despejaremos ahora la y en la ecuación 1.

7

Vea que del miembro izquierdo sólo queda la incógnita y. Despejando ahora la ecuación 2, queda:

Observe como ya no aparece el 0, se sumo con +3x. Igualando las ecuaciones queda:

Pasando el 16 a multiplicar al miembro derecho y el 4 al miembro izquierdo queda:

Multiplicando queda:Transponiendo

Reduciendo términos semejantesDividiendo los dos lados por -28, queda:Vea como los dos signos iguales dan como resultado un número positivo.El 1/3 se obtuvo de dividir 28 entre 28 y el 84 entre 28. Podemos encontrar el valor de y, en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Lo encontraremos en la ecuación 2.Sustituyendo el valor de x queda:

Multiplicando por -3

Dividiendo por -3

Transponiendo el 1

Dividiendo por 4

Respuesta del sistema.

4.2.2. METODO DE SUSTITUCIONEn el método de sustitución, se despeja una variable en cualquiera de las 2 ecuaciones y esta se sustituye en lugar de la

incógnita despejada en la otra ecuación. Se hacen las multiplicaciones correspondientes y se encuentra el valor de la incógnita. Con este valor encontrado se encuentra el valor de la otra incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones dadas. Veamos un par de ejemplos: Resolveremos los dos ejemplos anteriores para que concluya al final que por cualquiera de los 4 métodos, la respuesta es la misma. Veamos pues:

Cada ecuación se presenta con un subíndice que indica que ecuación es. Ver el caso de los números pequeños del 1 y el 2.

8

Despejaremos primero la x en la ecuación 1.

Sustituyendo la x en la ecuación 2 queda:

Vea la forma de sustituir la ecuación 3 en la ecuación 4. Resolviendo la ecuación queda:Observe que el 7 sólo afecta al paréntesis. Reduciendo términos semejantes queda:Transponiendo el 189:Reduciendo términos semejantesDividiendo por -45 queda:Vea como los dos signos iguales dan como resultado un número positivo.Por lo tanto, y vale 4. Ya que encontramos este valor de y, podemos encontrar el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Lo encontraremos en la ecuación 1.Sustituyendo el valor de y queda:

Multiplicando por 6.Transponiendo y restando queda:

x = 3, y=4 Respuesta del sistema. Observe que es la misma respuesta obtenida con el método anterior.

Resolveremos otro ejemplo: Ahora la número 5:176

Despejaremos ahora la x en la ecuación 2.

Transponiendo la y

Dividiendo por -3

Cancelando el signo menos.Vea que del miembro izquierdo sólo queda la incógnita x. Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 1, queda:

Sacándole tercera al 9 y al 3, queda:

Multiplicando queda:

Reduciendo términos semejantes:Dividiendo por 7

9

Simplificando

El 1/4 se obtuvo de dividir 7 entre 7 y el 28 entre 7. Podemos encontrar el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Lo encontraremos en la ecuación 1.Sustituyendo el valor de y queda:

Multiplicando por 16

Dividiendo por 4

Transponiendo el 4

Dividiendo por 9

Sacando tercera al 3 y al 9, queda:Respuesta del sistema. Es la misma respuesta del sistema anterior.

4.2.3. METODO DE SUMA Y RESTA(O REDUCCION)Es el método más sencillo para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado. Consiste en multiplicar las dos

ecuaciones por los coeficientes numéricos de las incógnitas a cancelar en forma cruzada. Si estos coeficientes tienen los mismos signos a uno de los dos se le coloca signo menos (-) y se multiplican. Esta operación permitirá cancelar una incógnita y se encuentra el valor de la incógnita, seguidamente se encuentra el valor de la otra incógnita. Resolvamos los mismos ejemplos:

Resuelva la siguiente ecuación simultánea: 1:176

De acuerdo a como están las ecuaciones, es más conveniente cancelar la y y multiplicar por 2 la ecuación 2. Veamos como queda.

Observe que el 2 multiplicará a toda la ecuación 2. La ecuación 1 sólo se copia como está y los resultados de la multiplicación se colocan debajo de la ecuación 1.El 2 multiplica al 7x, al -3y y al 9. Observe que se cancela el +6y con el -6y y solamente queda la incógnita x, encontrando el valor de x.

Dividiendo por 15 ambos lados queda:

Sustituyendo el valor de x queda:

10

Transponiendo queda.

Dividiendo por 6 queda:

x = 3, y=4 Respuesta del sistema. La misma respuesta de los dos métodos anteriores.

Resolveremos otro ejemplo: Ahora la número 5:176

En esta ecuación se hace más fácil multiplicar la ecuación 2 por 3, para que las equis tengan los mismos coeficientes pero signos diferentes.

Cancelando las equis y sumando las y, queda:Sacándole séptima al 7 y al 28, queda:

Sustituyendo el valor de y queda:

Multiplicando por 16

Dividiendo por 4

Transponiendo el 4

Dividiendo por 9

Sacando tercera al 3 y al 9, queda:Respuesta del sistema. Es la misma respuesta de los dos sistemas anteriores.

4.2.4. METODO GRAFICOPara resolver el sistema por el método grafico, es como graficar dos funciones lineales, sólo que se debe despejar la

incógnita y y se valúan las funciones. Otra forma es encontrar dos puntos de la ecuación y graficarlos en el plano cartesiano, luego trazar la grafica de esta ecuación. De la misma forma se procede para la otra ecuación. El punto en donde se interceptan las dos ecuaciones es la solución del sistema.

11

Esta forma la explicaremos en clase. Debe entregar el ejercicio 178 en forma completa.

5. ECUACIONES SIMULTANEAS CON TRES INCÓGNITASComo ya dijimos anteriormente, este método es el más sencillo para resolver cualquier sistema de ecuaciones, por lo que lo

utilizaremos aquí para resolver un sistema con tres incógnitas. Las incógnitas más utilizadas son la x, la y y la z. Para resolver este sistema se toman dos ecuaciones cualesquiera y se cancela una incógnita, utilizando el método de suma y resta. Luego se toman otras dos ecuaciones y se cancela la misma incógnita cancelada inicialmente, para obtener dos ecuaciones con dos incógnitas. Estas dos nuevas ecuaciones se resuelven por suma y resta, obteniéndose el valor de una incógnita. En estas ecuaciones se encuentra el valor de la otra incógnita. Con los valores de estas dos incógnitas se encuentra el tercer valor, utilizando cualquiera de las ecuaciones dadas. Veamos un par de ejemplos:

5.1. METODO DE SUMA Y RESTAResuelva el siguiente sistema: 1:186

Como se presenta el sistema, es más fácil cancelar la y, ya que la misma presenta los signos cambiados, aunque se podría cancelar también la z, pero hay que multiplicar las ecuaciones por el 2 y el 3. Tomaremos inicialmente las ecuaciones 1 y 2, y las sumaremos.

Como las y, tienen signos diferentes se cancelan y las demás incógnitas se suman, dando origen a la ecuación 4. Observe que ya sólo hay 2 incógnitas. Tomaremos ahora las ecuaciones 1 y 3, volviendo a cancelar las y.

Observe como se reducen los términos semejantes. Como quedo la ecuación se pudo dividir toda por 2, pero al compararla con la ecuación 4, se observa que se pueden cancelar las 2 equis, por lo que la dejaremos así. Note que en las ecuaciones 4 y 5, quedan las mismas incógnitas. Ahora tomamos estas ecuaciones y cancelaremos la x. Para ello le cambiare signos a toda la ecuación 5, vea como queda:

Observe como se cancela el +2x con el -2x. Ahora ya sólo está la z, encontrando su valor, que es igual a 3.

Con este valor de z, encontramos el valor de x, ya sea en la ecuaciones 4 o 5, siendo más fácil encontrarlo en la ecuación 4. En lugar de la z, sustituiremos su valor de 3. Veamos cual es el valor de x.

12

+

+

Ahora ya tenemos 2 valores. La x que es igual a 1 y la z que es igual a 3. Encontremos el valor de y, en cualquiera de las tres primeras ecuaciones, siendo en este caso más fácil encontrarlo en la ecuación 1. Encontremos su valor entonces:

Observe en esta ecuación 1, que en lugar de las incógnitas sustituyo los valores encontrados.Sumando los términos semejantes

Restando queda:

x = 1, y=2, z=3 Respuesta del sistema. Hacer la prueba en clase.

Otros ejemplos los resolveremos en clase. Resuelva las primeras 12 operaciones del ejercicio 186.

6. BIBLIOGRAFIA

1. Jagdish C. Arya. ; Robin W. Lardner. 1,992. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Tercera Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. Impreso en México. 870 paginas.

2. Aurelio Baldor. 2,001. Algebra. Décima octava reimpresión. Grupo Patria Cultural. Impreso en México. 576 paginas.

13