UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA ... · todos los contenidos que me...
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
Incidencia del programa K-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones, con
los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad Educativa
“Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017
Proyecto Socio-Educativo como requisito parcial para optar por el grado de
Licenciatura en Ciencias de la Educación, Mención Matemática y Física
Plazarte Alomoto Flavio Paulino
C.C. 050321911-5
AUTOR
MSc. Edwin Vinicio Lozano
C.C: 100210849-4
TUTOR
Quito, 25 noviembre de 2016
ii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, Flavio Paulino Plazarte Alomoto, en calidad de autor del trabajo de investigación
realizado sobre “INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-BRUCH EN LA ENSEÑANZA
DE OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS ESTUDIANTES DE NOVENO
AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA
“EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO LECTIVO 2016-2017
por la presente autorizo a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR, hacer uso de
todos los contenidos que me pertenecen o de parte de los que contienen esta obra, con fines
estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente autorización,
seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los artículos 5, 6, 8; 19 y
demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su Reglamento.
Quito, a los 25 días del mes de noviembre de 2016
Plazarte Alomoto Flavio Paulino
C.C. 0503219115
Mail. [email protected]
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Proyecto Socioeducativo, presentado por el Sr. Plazarte Alomoto
Flavio Paulino, para optar por el Titulo o Grado de Licenciatura en Ciencias de la Educación,
mención: Matemática y Física; cuyo Título es: INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-
BRUCH EN LA ENSEÑANZA DE OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS
ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO
LECTIVO 2016-2017, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes
para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del tribunal examinador
que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 25 días del mes de noviembre de 2016
MSc. Edwin Vinicio Lozano
C.C: 100210849-4
iv
APROBACIÓN DEL JURADO O TRIBUNAL
El Tribunal constituido por MSc. Paco Bastidas. MSc. Ximena Pinos y MSc. Verónica Maila.
Luego de receptar la presentación oral del trabajo de titulación previo a la obtención del título
(o grado académico) de Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención Matemática y
Física, presentado por el (la) señor (a/ita) Flavio Paulino Plazarte Alomoto.
Con el título Incidencia del programa K-bruch en la enseñanza de operaciones con
fracciones, con los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad
Educativa “Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017.
Emite el siguiente veredicto: (aprobado/reprobado)……………………………………
Fecha:………………………………………
Para constancia de lo actuado firman:
Nombre Apellido Calificación Firma
Presidente MSc. Paco Bastidas ……………… ……………………..
Vocal 1 MSc. Ximena Pinos ………………. ……………………..
Vocal 2 MSc. Verónica Maila ………………. ……………………..
v
DEDICATORIA
El presente trabajo lo quiero dedicar con mucho cariño a mi madre que ha sido ejemplo de
amor, sacrificio y perseverancia; a mi padre que con su carácter ha sabido guiarme por el
camino del bien; a mis hermanos que han sido pilar fundamental y que nunca dejaron de
confiar en mis capacidades, a mi novia y en especial, éste trabajo lo dedico con infinito amor
a mi hijo que durante todo este tiempo se ha convertido en el motor que me impulsa a seguir
adelante.
vi
AGRADECIMIENTO
A Dios por darme la oportunidad de vivir y por estar junto a mí en cada paso que doy, a mi
familia que siempre está apoyándome, a mis maestros que marcaron cada instante de mi vida,
a mi Tutor MSc. Edwin Lozano y en especial a todas aquellas personas que han contribuido
en mi formación personal y profesional. A todos, GRACIAS.
vii
ÍNDICE DE CONTENIDOS
PORTADA ............................................................................................................................. i
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ................................................ ii
APROBACIÓN DEL TUTOR ........................................................................................... iii
APROBACIÓN DEL JURADO O TRIBUNAL .............................................................. iv
DEDICATORIA ................................................................................................................... v
AGRADECIMIENTO ........................................................................................................ vi
ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................. vii
LISTA DE TABLAS ........................................................................................................... ix
LISTA DE GRÁFICOS O FIGURAS ............................................................................... x
LISTA DE ANEXOS .......................................................................................................... xi
RESUMEN......................................................................................................................... xiii
ABSTRACT ....................................................................................................................... xiv
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1
CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 3
1. EL PROBLEMA ...........................................................................................................3
1.1. Planteamiento del problema ............................................................................................... 3
1.2. Formulación del problema ................................................................................................ 11
1-3. Objetivos ............................................................................................................................ 12
Justificación ............................................................................................................................... 12
CAPÍTULO II .................................................................................................................... 14
2. MARCO TEÓRICO ...................................................................................................14
2.1. Antecedentes del problema ............................................................................................... 14
2.2. Fundamentación teórica .................................................................................................... 15
2.3. Definición de términos básicos .......................................................................................... 48
2.4. Fundamentación legal ........................................................................................................ 49
2.5. Caracterización de variables .............................................................................................. 51
CAPÍTULO III ................................................................................................................... 52
3. METODOLOGÍA .......................................................................................................52
3.1. Diseño de la investigación .................................................................................................. 52
3.1.1. Enfoque de la investigación ........................................................................................ 52
viii
3.1.2. Modalidad del trabajo de grado ................................................................................. 53
3.1.3. Nivel de profundidad de la investigación .................................................................... 53
3.1.4. Tipo de investigación .................................................................................................. 54
3.1.5. Pasos para el desarrollo de la investigación ............................................................... 54
3.2. Población y muestra ........................................................................................................... 55
3.2.1. Población ..................................................................................................................... 55
3.2.2. Muestra ....................................................................................................................... 55
3.3. Operacionalización de variables ........................................................................................ 56
3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos ............................................................. 58
3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de evaluación ............................................... 59
3.5.1. Validez ......................................................................................................................... 59
3.5.2. Confiabilidad ............................................................................................................... 60
CAPÍTULO IV ................................................................................................................... 72
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ........................................72
4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los estudiantes: ............................... 72
CAPÍTULO V..................................................................................................................... 90
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................90
5.1. Conclusiones ...................................................................................................................... 90
5.2. Recomendaciones .............................................................................................................. 90
REFERENCIAS ................................................................................................................. 91
ANEXOS ............................................................................................................................. 95
ix
LISTA DE TABLAS
Tabla N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016………………………………. 9
Tabla N° 2: Escala estimativa de calificaciones según la LOEI………………………… 46
Tabla N° 3: Población…………………………………………………………………... 55
Tabla N° 4: Operacionalización de las variables……………………………………….. 57
Tabla N° 5: Validez del texto base……………………………………………………... 59
Tabla N° 6: Validez de los instrumentos de evaluación …….………………………… 60
Tabla N° 7: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica…………………….... 61
Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 1……………………… 63
Tabla N° 9: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 2………………………. 65
Tabla N° 10: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 3…………………...... 67
Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación sumativa……………………. 69
Tabla N° 12: Niveles de confiabilidad………………………………………………….. 71
Tabla N° 13: Interpretación de resultados……………………………………………… 71
Tabla N° 14: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo
experimental………………………………………………………………………….. 73
Tabla N° 15: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo
de control………………………………………………………..………………………. 73
Tabla N° 16: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo experimental……….. 76
Tabla N° 17: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo de control…………. 76
Tabla N° 18: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo experimental……….. 79
Tabla N° 19: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo de control………….. 79
Tabla N° 20: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo experimental……….. 82
Tabla N° 21: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo de control………….. 82
Tabla N° 22: Resultados de la evaluación sumativa del grupo experimental………….. 85
Tabla N° 23: Resultados de la evaluación sumativa del grupo de control…………….. 85
Tabla N° 24: Registro de evaluaciones del grupo experimental……………………….. 88
Tabla N° 25: Registro de evaluaciones del grupo de control………………………….. 88
x
LISTA DE GRÁFICOS O FIGURAS
Gráfico N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016……………………………. 9
Gráfico N° 2: Modalidades de las estrategias magistral, grupal e individual……… 31
Gráfico N° 3: Modalidades de las técnicas escrita, verbal y audiovisual……………. 33
Gráfico N° 4: Vista inicio del programa……………………………………………. 37
Gráfico N° 5: Pantalla principal del ejercicio……………………………………… 37
Gráfico N° 6: Parte de las estadísticas………………………………………………. 38
Gráfico N° 7: Configuración de la apariencia de k-bruch………………………….. 39
Gráfico N° 8: Resolución de tareas, opción Aritmética…………………………….. 40
Gráfico N° 9: Comparación de dos fracciones………………………………………. 41
Gráfico N° 10: Conversión de un número entero o decimal a fracción…………….. 42
Gráfico N° 11: Conversión de Número mixto a fracción impropia………………… 43
Gráfico N° 12: Media aritmética de la evaluación diagnóstica……………………... 74
Gráfico N° 13: Media aritmética de la evaluación formativa 1…………………….. 78
Gráfico N° 14: Media aritmética de la evaluación formativa 2…………………….. 81
Gráfico N° 15: Media aritmética de la evaluación formativa 3…………………….. 84
Gráfico N° 16: Media aritmética de la evaluación sumativa……………………….. 87
Gráfico N° 17: Valore de Z teórica y Z calculada……………………………………… 89
xi
LISTA DE ANEXOS
ANEXO N° 1: Designación de tutor para la realización del proyecto ..................... 96
ANEXO N° 2: Autorización de la Rectora de la Unidad Educativa Emaús
de Fe y Alegría para la realización del proyecto ....................................................... 97
ANEXO N° 3: Validación del documento base por parte de la Lcda. Mayra
Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............................. 98
ANEXO N° 4: Validación del documento base por parte del MSC. William
Carrera, docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física ........... 99
ANEXO N° 5: Validación del documento base por parte del MSc. Milton
Coronel docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física ......... 101
ANEXO N° 6: Validación de instrumentos de evaluación diagnóstica por
parte de la Lcda. Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad
Educativa Emaús ..................................................................................................... 103
ANEXO N° 7: Validación de la evaluación formativa 1 por parte de la Lcda.
Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............. 104
ANEXO N° 8: Validación de la evaluación formativa 2 por parte de la Lcda.
Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............. 105
ANEXO N° 9: Validación de la evaluación formativa 3 por parte de la Lcda.
Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............. 106
ANEXO N° 10: Validación de la evaluación sumativa por parte de la Lcda.
Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............. 107
ANEXO N° 11: Validación de la evaluación diagnóstica por parte del MSc.
Milton Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de
Matemática y Física ................................................................................................ 108
ANEXO N° 12: Validación de la prueba formativa 1 por parte del MSc. Milton
Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática
y Física .................................................................................................................... 109
ANEXO N° 13: Validación de la prueba formativa 2 por parte del MSc. Milton
Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática
y Física .................................................................................................................... 110
ANEXO N° 14: Validación de la prueba formativa 3 por parte del MSc. Milton
Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de
Matemática y Física ................................................................................................ 111
ANEXO N° 15: Validación de la sumativa por parte del MSc. Milton Coronel,
docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y
Física ....................................................................................................................... 112
xii
ANEXO N° 16: Validación prueba diagnóstica por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 113
ANEXO N° 17: Validación de la prueba formativa 1 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 114
ANEXO N° 18: Validación de la prueba formativa 2 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 115
ANEXO N° 19: Validación de la prueba formativa 3 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 116
ANEXO N° 20: Validación de la prueba sumativa por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 117
ANEXO N° 21: Nómina de estudiantes del grupo experimental ........................... 118
ANEXO N° 22: Nómina de estudiantes del grupo de control ................................ 119
ANEXO N° 23: Instrumentos de evaluación .......................................................... 120
ANEXO N° 24: Certificado de traducción del resumen ........................................ 135
ANEXO N° 25: Certificado de revisión ortográfica .............................................. 136
ANEXO N° 26: Diagrama UVE (V Heurística) ..................................................... 137
ANEXO N° 27: Fotografías del grupo experimental ............................................. 138
ANEXO N° 28: Fotografías del grupo de control .................................................. 142
ANEXO N° 29: Solicitud dirigido al colegio para la realización de la práctica .... 145
ANEXO N° 30: Constancia donde se realizó la investigación ............................... 146
ANEXO N° 31: Texto Base ....................................................................................... i
xiii
TEMA: INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-BRUCH EN LA ENSEÑANZA DE
OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS ESTUDIANTES DE NOVENO
AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA
“EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO LECTIVO 2016-2017
Autor: Plazarte Alomoto Flavio Paulino
Tutor: MSc. Lozano Edwin Vinicio
RESUMEN
La presente investigación tiene por objetivo dar a conocer el beneficio que brinda al docente
de matemáticas la utilización de un programa educativo para impartir sus clases. Para ello se
utilizó una investigación cuasi-experimental y se determinó la incidencia del programa k-
bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones con el noveno año de educación general
básica. Se trabajó con dos grupos; un experimental y uno de control, en el grupo
experimental se dieron clases utilizando el programa k-bruch, mientras que en el grupo de
control se dictaron clases de la forma tradicional. Esta investigación tiene un carácter
cuantitativo porque se utilizó la recolección de datos dando como resultado después de
realizar cálculos estadísticos el rechazo de la hipótesis de investigación y la aceptación de la
hipótesis nula. La modalidad de este proyecto es socio-educativo con un nivel de profundidad
exploratoria, descriptiva y correlacional.
PALABRAS CLAVES: MATEMÁTICAS, RENDIMIENTO ACADÉMICO,
CORRELACIONAL, K-BRUCH, CUASI-EXPERIMENTAL, HIPÓTESIS DE
INVESTIGACIÓN, HIPÓTESIS NULA, SOCIOEDUCATIVO.
xiv
THEME: INCIDENCE OF THE K-BRUCH PROGRAM IN THE TEACHING OF
OPERATIONS WITH FRACTIONS WITH THE NINE-YEAR STUDENTS OF
BASIC GENERAL EDUCATION OF THE "EMAÚS" EDUCATIONAL UNIT OF
THE CITY OF QUITO DURING THE YEAR 2016-2017
Author: Plazarte Alomoto Flavio Paulino
Advisor: MSc. Edwin Lozano
ABSTRACT
The present research aims to make known the profit that gives the teacher of mathematics the
use of an educational program to teach their classes. For this, a quasi-experimental
investigation was used and the insidence of the k-bruch program was determined in the
education of operations with fractions with the ninth year of basic general education. We
worked with two groups, one experimental and one control, in the experimental group classes
were given using the k-bruch program, while in the control group classes were given in a
traditional way. This research has a quantitative character because the data collection was
used resulting in statistical calculations, the rejection of the research hypothesis and the
acceptance of the null hypothesis. The modality of this project is socio-educational with an
exploratory depth, descriptive and correlational.
DESCRIPTORS: MATHEMATICS, ACADEMIC PERFORMANCE, CORRELATION,
K-BRUCH, QUASI-EXPERIMENTAL, RESEARCH HYPOTHESIS, NULL
HYPOTHESIS, SOCIOEDUCATIVE.
(Traducido por: Raúl Isaías Caza Pantusina
C. I: 1706488556. Registro 1005-06-69046
1
INTRODUCCIÓN
En mi corta experiencia como docente he podido observar que una de las mayores
dificultades que presentan los estudiantes en las instituciones educativas del país es en la
asignatura de matemática, lo cual afecta al rendimiento académico, esto se debe a que los
docentes utilizan estrategias tradicionales en el proceso de enseñanza, generando de ésta
manera rechazo por parte de los estudiantes hacia la asignatura.
La presente investigación se realizó en la unidad educativa “Emaús” de Fe y Alegría con los
estudiantes de noveno año de educación general básica. La institución se encuentra ubicada al
sur de la ciudad de Quito, sector Pío XII, en las calles Juan Vizuete 56 – 515 y Cajiao.
Con la presente investigación se invita a que los docentes utilicen las TICs en la enseñanza de
operaciones con fracciones para de este modo lograr en los educandos un aprendizaje
significativo en la que todos y cada uno de ellos sean partícipes de su propio conocimiento,
para lo cual se realizó un texto base referente a operaciones con fracciones, el mismo que se
aplicó a dos grupos de estudiantes, uno experimental y el otro de control.
El trabajo de grado consta de cinco capítulos en los que se hace referencia:
Capítulo I, consta del planteamiento del problema, análisis externo, análisis crítico o interno,
análisis a futuro o prognosis, formulación del problema,, objetivo general, objetivos
específicos y justificación.
Capítulo II, consta de la fundamentación teórica que tiene relación con el problema de
estudio; es decir conceptos, leyes, definiciones, teorías y otros que se pueden incluir,
caracterización de variables, además en este capítulo se encuentra la fundamentación legal,
misma que ampara la realización de esta investigación.
Capítulo III, consta de la metodología, el diseño de la investigación, el tipo de investigación,
en este capítulo además se define la población, muestra, contiene la matriz de
operacionalización de variables, la validez y la confiabilidad de los instrumentos de
evaluación utilizados durante la investigación.
Capítulo IV, consta de la tabulación e interpretación de los resultados obtenidos a través de
los instrumentos de evaluación aplicada a los estudiantes durante la investigación, además
2
analiza las hipótesis mediante la prueba general para realizar la toma de decisiones
estadísticas.
Capítulo V, consta de las conclusiones y recomendaciones basadas en la interpretación de
resultados.
Se adjunta además las referencias bibliográficas y netgrafía así como los anexos.
3
CAPÍTULO I
1. EL PROBLEMA
1.1. Planteamiento del problema
Análisis externo o contextualización histórico-social
En las instituciones educativas del país se puede evidenciar la poca utilización de recursos
tecnológicos en la enseñanza de la matemática por parte del docente. Esto hace que la
educación continúe siendo tradicionalista y que no esté acorde con el avance de la ciencia y
tecnología. No sucede así con los estudiantes, ya que según un estudio realizado por el INEC
(Instituto Nacional de Estadísticas y Censo), de 2012 a 2015 se registra un incremento de
10,9 puntos en el equipamiento de computadoras portátiles en los hogares, alcanzando el
24,8% de hogares que la disponen; mientras que en las computadoras de escritorio se registra
un incremento de 1,3 puntos porcentuales, alcanzando así el 27,7% de hogares que disponen
de un computador de escritorio. En cuanto a la tecnología celular, el 89,5% de los hogares
dispone de al menos un teléfono celular. Esto quiere decir que en la sociedad en la que nos
desenvolvemos se han instalado las tecnologías de la información y comunicación y que
tanto adultos como niños convivimos con ellas.
La educación debe ser el medio por el cual se alcancen actitudes, comportamientos y
propósitos de la sociedad, de una sociedad globalizada, llamada sociedad de la información y
comunicación; es en este campo que la educación y los modelos de aprendizaje deben ser
coherentes con las prácticas y filosofías de la misma.
En la actualidad, si un docente aplica una educación tradicionalista en su aula de clase,
generalmente conllevaría a formar individuos utilizando métodos y medios que no son
coherentes con las necesidades del mundo actual. Se hace indispensable contar con personas
hábiles para el traspaso y análisis de información, razón por la cual, considero es necesario
hacer un cambio en el modelo de educación que estamos empleando en nuestras aulas.
A criterio personal, cambiar el modelo de educación implicaría un cambio en materia de
formación docente. Por tanto, es necesario que en las universidades del país, la formación de
profesores contemple la inclusión de las tecnologías de la información y comunicación, solo
4
así la sociedad se verá fortalecida con docentes actualizados, emprendedores e innovadores
en el campo de la educación.
La Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría no es ajena a esta problemática, ya que en el
periodo lectivo 2015-2016, debido a que los docentes de matemática no utilizaban recursos
tecnológicos, se incrementó un horario para utilizar el laboratorio de computación para
enseñar matemática mediante el empleo de las TICs, el cual no fue utilizado.
Si no se soluciona esta problemática, los estudiantes de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y
Alegría seguirán educándose bajo métodos e instrumentos tradicionalistas, alejados de las
necesidades e intereses de la sociedad del conocimiento.
Necesidades de la educación contemporánea
Desde los inicios de nuestros tiempos se puede decir que ya existía educación, basada en
acciones y reacciones de la rudimentaria vida social, pese a que los pueblos primitivos de esa
época carecían de maestros, de escuelas y de doctrinas pedagógicas; la importancia de esta
historia educativa para cualquier educador es que permite el conocimiento del pasado de la
humanidad. En sociedades civilizadas contemporáneas se encuentran educadores,
instituciones educativas y teorías pedagógicas, es decir hallamos una acción planeada,
consiente y sistemática.
Para Sautel, S. (2006), “Abordar la problemática educativa contemporánea supone
intertextualizar datos y problemas del espacio social de nuestro tiempo con aportes teóricos
provenientes del campo de las ciencias humanas”.
A criterio de la autora, los cambios que se pueden dar en la educación actual siempre tendrán
como punto de partida el medio que nos rodea tomando en cuenta que el conocimiento en el
siglo XXI va de la mano de la práctica y la tecnología.
Según Plaza (2006), “La educación es el proceso de preparar al hombre para la vida,
desarrollándose sus capacidades, que le permitan enfrentarse positivamente en el medio en el
que se desenvuelve e integrarse a él, considerando a la educación como un medio de
socialización”.
De acuerdo a la definición del autor la sociedad es una influencia directa o indirecta en la
educación de cada persona, y, que depende de cada individuo para que la misma se vea
5
reflejada de forma positiva o negativa; de una u otra forma la educación es un proceso
gradual y sistemático que permite mejorar el nivel de vida de una persona dentro de la
sociedad y en la que el educador se convierte en una guía orientadora para el educando.
Batalloso (2006) en su obra, La educación como responsabilidad social, menciona “La
educación es un fenómeno complejo que está inmerso en prácticas personales, sociales,
culturales e históricas muy amplias. Todo acto educativo estará influenciado por dichas
prácticas, en consecuencia, la educación necesitará de un razonamiento cualitativo diferente
con el fin de evitar las deformaciones y obstáculos que impiden el desarrollo pleno de la
persona”.
Según el autor, la educación está presente en cada una de las actividades que realicen las
personas, mismas que influenciaran en su formación. Al mismo tiempo deduce que todas las
personas estamos capacitados para recibir y perfeccionar virtudes a lo largo de nuestras vidas;
es de vital importancia que los educadores impartan valores y hábitos adecuados con el fin de
lograr una buena inserción de sus educandos en la sociedad así como su desarrollo pleno.
Necesidades de la formación de docentes
Para lograr un rendimiento efectivo en los estudiantes es necesario la adecuada formación de
un docente, de su compromiso y de lo que pretenda lograr en sus educandos, de la forma
como apoya los procesos de aprendizaje individuales. En la actualidad un docente debe ser
competitivo y poseer conocimientos que enfrenten la realidad de la sociedad, no solo en el
campo científico sino también tecnológico y ser además un excelente motivador. Mucho se
dice que hoy en día un docente es simplemente un guía y que los estudiantes son los
verdaderos protagonistas de su propio aprendizaje.
Cuadrado (2010) en su artículo “Los docentes en la actualidad” menciona que los docentes
deben cumplir varias funciones que son:
1. El docente tendría que conocer a su alumnado y establecer el diagnóstico de sus
necesidades, es decir, conocerán las características individuales y grupales de los
estudiantes donde se desarrolla su docencia.
2. Los docentes tendrán que preparar sus clases; es decir organizar y gestionar situaciones
de aprendizaje y planificar clases tomando en cuenta las necesidades de los estudiantes y
el currículo:
6
a. El docente tendrá que diseñar estrategias de enseñanza y aprendizaje para que los
estudiantes logren un aprendizaje autónomo y que, a la vez, logre motivación en ellos.
b. Los docentes tienen que aprovechar los recursos y aplicaciones didácticas, incluidas
las TICs. al momento de planificar sus clases.
3. Los docentes tienen que buscar y preparar materiales que motiven a sus estudiantes, para
de esta manera, mantener el interés y desarrollar las actividades de la asignatura.
4. La docencia debe estar centrada en los educandos, considerando la diversidad, por lo
tanto, los docentes deben:
a. Mantener el orden y la disciplina durante las clases.
b. Informar a los estudiantes los objetivos, contenidos y las actividades a realizarse en la
asignatura.
c. Proporcionar fuentes de información.
d. Fomentar la participación de los estudiantes en todas las actividades.
e. Fomentar la colaboración y el trabajo en equipo, desarrollando así, las habilidades
expresivas y comunicativas entre los estudiantes.
5. Colaborar con la gestión de los centros.
6. Mantener buenas relaciones de trabajo tanto con sus colegas como con los estudiantes.
7. Estar en contacto con los familiares y animarles a participar en la vida del centro
educativo.
8. Dominar la materia y actualizar los conocimientos.
9. Proporcionar a los estudiantes una atención frecuente.
Se puede concluir que un docente debe ser creativo y buscar los medios más adecuados para
llegar de manera positiva a cada uno de sus estudiantes y lograr de esta manera un proceso de
enseñanza-aprendizaje efectivo.
En este proceso, la familia juega un papel muy importante, ya que es en los hogares en donde
se enseñan buenos hábitos y sobre todo valores que le permiten a un estudiante enfrentarse a
la sociedad.
Según el autor antes mencionado, un docente debe cumplir, además, con algunas
competencias básicas que se contemplan en cuatro dimensiones fundamentales que son:
1. Conocimiento de la materia que se va a impartir y de la cultura de la nueva sociedad del
conocimiento.
7
2. Competencias pedagógicas como tutorías, técnicas de investigación-acción, habilidades
didácticas, conocimientos psicológicos y sociales. Los docentes deben actuar de manera
eficiente, reaccionando con rapidez ante los problemas que se puede ocasionar.
3. Habilidades instrumentales y conocimiento de nuevos lenguajes: Los docentes deben
tener una cierta formación en las TIC para poder utilizarlas en las clases con los
estudiantes.
4. Características personales: Todo mundo no sirve para ser docente, ya que se necesita
madurez, seguridad, autoestima e imaginación.
Necesidades en la enseñanza de Matemática
En la actualidad es de vital importancia contar con profesores especialistas en el área, que no
exista una excesiva movilidad de los mismos, ya que esto impide seguir una misma línea
metodológica; que los profesores no se agobien por terminar los programas y contenidos, sino
que, por el contrario, interioricen conceptos y procedimientos en cada uno de los estudiantes.
Por otra parte la formación docente debe ser adecuada para el uso de metodologías y
materiales TIC.
Godino, Batanero y Font (2003) señalan que cuando el docente tiene en cuenta el tipo de
Matemática que quiere enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza, debe reflexionar
sobre las necesidades de aprendizaje del estudiante, y menciona las siguientes:
1. Que los estudiantes lleguen a comprender y a apreciar el papel de la matemática en la
sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo que la Matemática ha
contribuido a su desarrollo.
2. Que los estudiantes lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la
clase de preguntas que un uso inteligente de la Matemática permite responder, las formas
básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.
3. Que los estudiantes desarrollen el razonamiento matemático, más que los procedimientos
de memorización.
4. Que los estudiantes formulen conjeturas, invención y la resolución de problemas,
descartando el énfasis en la búsqueda mecánica de respuestas.
8
De acuerdo con el autor, los estudiantes deben estar preparados no solo para resolver
problemas cuya respuesta ya la conocemos, sino también, para resolver problemas de la vida
cotidiana, en donde aplicará todos sus conocimientos y habilidades matemáticas.
Análisis crítico
La Unidad Educativa “EMAÚS” de Fe y Alegría se creó en el año de 1965, la institución se
encuentra ubicada al sur de la ciudad de Quito, sector Pio XII, en las calles Juan Vizuete 56 –
515 y Cajiao, es de tipo fiscomisional y labora en la jornada matutina, la básica superior y el
bachillerato disponen de un total de tres profesores en el área de Matemática y Física; en
noveno año de E.G.B existen tres paralelos A, B y C, los cuales constan de 31, 29 y 30
estudiantes respectivamente.
Durante el tiempo compartido en la Institución he podido observar que uno de los mayores
problemas que presentan los estudiantes es en la asignatura de Matemática, las posibles
causas pueden ser: falta de profesores especializados en el área, ya que en años anteriores han
existido varios cambios de docentes en un solo período o se han cubierto estas vacantes con
personal no especializado en docencia; la realidad socio-económica del sector y la poca
capacitación docente en métodos de enseñanza, ya que por ejemplo no se utilizan las TIC.
Se realizó un análisis con el promedio de matemática obtenido en el periodo lectivo 2015 –
2016, obteniendo los siguientes resultados:
9
TABLA N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016
Periodo 2016-2016
N° de estudiantes
Estudiantes 8 “B” Estudiantes 8 “C”
32 34
Estudiantes con calificaciones ≤4
0
1
Estudiantes con calificaciones de 5 - 6
7
7
Estudiantes con calificaciones de 7 - 8
16
15
Estudiantes con calificaciones de 9 - 10
7
7
Estudiantes que aprobaron
30
30
Estudiantes que reprobaron
1
3
Estudiantes que desertaron
1
1
Fuente: Secretaría de la Institución
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Gráfico N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016
Fuente: Secretaría de la Institución
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador)
10
Se puede observar que en el periodo lectivo 2015 – 2016 la mayoría de los estudiantes tiene
una calificación comprendida entre 7 y 8 puntos en los paralelos B y C de octavo año de
Educación General Básica; dichos resultados, según la escala estimativa de la LOEI significa
que los estudiantes alcanzan los aprendizajes requeridos. Se puede observar que entre los dos
paralelos cuatro estudiantes reprobaron el año escolar, esto significa en porcentajes el 6,25%.
El promedio general de octavo año paralelo B es de 7,23/10 y el promedio general de octavo
año paralelo C es de 7,12/10.
Prognosis
De lo expuesto anteriormente se puede deducir que la Matemática es una de las asignaturas
más importantes, ya que está presente en todos los aspectos de nuestra vida cotidiana; en la
actualidad son la forma más útil e importante de caminar hacia un mejor futuro debido a que
vivimos una generación que todos los días avanza en cuanto a ciencia y tecnología y la
Matemática es parte fundamental de las mismas.
En educación la Matemática es importante porque tiene una serie de beneficios tales como
favorecer el desarrollo del razonamiento y el pensamiento analítico, desarrolla la habilidad de
investigar, la capacidad de pensar y fomenta la sabiduría; por todo esto es necesario
incorporar nuevas actividades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de modo que beneficie
la comprensión de los estudiantes y se obtenga un mejor rendimiento académico por parte de
los mismos. Además es indispensable el uso de las TIC durante el proceso.
(Sunkel, 2006) En su documento: Las TIC en la educación en América Latina menciona “La
incorporación de las TIC a la educación es un proceso altamente dificultoso, pues supone el
injerto de un modelo (con sus conceptos, discursos y prácticas) originado en el exterior de los
sistemas de enseñanza”.
Se puede decir que el uso de las Tic en los centros educativos se vuelve dificultoso debido a
que los docentes no tuvieron una adecuada formación durante su vida universitaria, es decir
aprendieron con modelos tradicionales, esto se ve reflejado en la mayoría de los casos ya que
como profesionales no se han capacitado en el uso de las tecnologías en la información y
comunicación, por tanto no la aplican con sus estudiantes o se las torna tedioso.
Carneiro (2008), en su obra Los desafíos de las TIC para el cambio educativo menciona
“Enfrentar el desafío de integrar las tecnologías de la información en las instituciones
11
educativas requiere como paso previo acordar el objetivo que se espera lograr y la forma y el
momento como éste será evaluado”.
Según el autor, parte del problema es definir claramente los propósitos que se persiguen con
la introducción de recursos digitales en los centros educativos, no se trata solo de aquello,
sino también de la debida preparación y actualización docente en el manejo de las TIC; no es
suficiente contar con centros educativos previstos con laboratorios de computación u otras
tecnologías si no se cuenta con el personal capacitado.
1.2. Formulación del problema
El rendimiento académico en la asignatura de Matemática de los estudiantes de noveno año
de educación general básica de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría es bajo, en
parte debido a que la mayoría de los docentes utilizan métodos tradicionales en el proceso de
enseñanza, es decir no se toma en cuenta que los estudiantes de hoy en día viven en una era
digital en la que se hace indispensable el uso y manejo de las tecnologías de la información y
comunicación TIC.
Con lo señalado anteriormente se da a conocer el siguiente problema de investigación:
¿Cómo influye el uso del programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones
con los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad Educativa
“Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017?
Al aplicar un programa informático se logra un mejor proceso de enseñanza- aprendizaje ya
que se capta de mejor manera la atención de los estudiantes, siempre y cuando exista la
disponibilidad de los mismos.
Hipótesis general
Hi: El uso del programa educativo k-bruch incide significativamente en el proceso de
enseñanza de operaciones con fracciones en los estudiantes de noveno año de educación
general básica del grupo experimental con respecto al grupo de control.
12
Ho: El uso del programa educativo k-bruch no incide significativamente en la enseñanza de
operaciones con fracciones en los estudiantes de noveno año de educación general básica del
grupo experimental con respecto al grupo de control.
1-3. Objetivos
Objetivo general
Determinar la influencia del uso del programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con
fracciones, en los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad
Educativa “EMAÚS” de Fe y Alegría, de la ciudad de Quito durante el periodo lectivo 2016-
2017.
Objetivos específicos
1. Elaborar un documento base relacionado con la solución de operaciones con fracciones
para estudiantes de noveno año de educación general básica.
2. Aplicar el programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones.
3. Diseñar instrumentos de recolección de información, análisis e interpretación de
resultados.
4. Determinar a través de parámetros estadísticos la influencia del uso del programa k-bruch
en la enseñanza de operaciones con fracciones.
Justificación
Uno de los fines de la educación es proporcionar a hombres y mujeres un mínimo de
habilidades que necesitan y que les asegure una capacitación laboral que les permita
abastecer sus necesidades; despertar interés y gusto por el conocimiento; hacerlos capaces de
criticar; ponerlos en contacto con las realizaciones culturales y morales de la humanidad y
enseñarles a apreciarlas.
En la actualidad los estudiantes utilizan en gran medida la tecnología, razón por la cual
considero que para enseñar Matemática es necesaria la utilización de programas que llamen y
motiven su atención; en el currículo debe existir métodos que incorpore el uso de las TIC en
los centros educativos.
13
Para (Real Pérez, 2013), Las TIC pueden llegar a jugar un papel muy importante en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, pero si se utilizan correctamente. Es
más si su uso no es el adecuado, pueden llegar a trazar un camino tortuoso pasando de ser una
potente herramienta a una barrera que impide el proceso.
El presente trabajo propone soluciones para problemas presentes en el proceso de enseñanza
de la matemática tales como repetición de metodologías tradicionales por periodos largos de
tiempo, poca participación de los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje, falta de
elementos motivacionales hacia los estudiantes, la poca comprensión de los conocimientos y
la falta de procesos analíticos para resolver problemas.
El presente proyecto es de interés no solo para los estudiantes, sino también para docentes y
autoridades al ser novedoso y un aporte práctico que contribuirá a la inclusión de recursos
TIC, mismos que facilitan el aprendizaje y aportan directamente con la mejora del
rendimiento académico de los estudiantes en la asignatura de matemática. El programa k-
bruch es una herramienta indispensable para la comprensión y aprendizaje de operaciones
con fracciones ya que pone en práctica capacidades y destrezas de los estudiantes tales como
concentración, cooperación, dinamismo y resolución de problemas.
14
CAPÍTULO II
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes del problema
En la actualidad se puede evidenciar que ya no sirve la escuela ni los modelos pedagógicos de
hace cien años. El avance de la ciencia y tecnología ha dado pie a una futura sociedad que
demanda individuos creativos, emprendedores, críticos, autónomos, con altos dotes sociales y
competentes en las TIC, es por esta razón que se hace indispensable el uso de medios
tecnológicos para la enseñanza de Matemática.
Molero, M (1998) en su trabajo titulado LOS MEDIOS TECNOLÓGICOS Y LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, recuperado de http://www2.caminos.upm.es.
Menciona que:
La introducción de las nuevas tecnologías en la educación está imponiendo una reforma del
currículo tanto en contenidos como en lo que se refiere a los cambios metodológicos y
didácticos que hay que realizar para encontrar el lugar apropiado de los medios informáticos
en el proceso de aprendizaje.
Además aduce que existen muchos factores metodológicos favorables a utilizar medios
tecnológicos en la clase de matemáticas como los siguientes:
Facilita la adquisición de conceptos: Utilizar el computador como instrumento para
adquirir conceptos o profundizar en ellos, permite detectar esquemas no suficientemente
precisos y transformarlos en otros más adecuados.
Permite el tratamiento de la diversidad: Ayuda a crear un ambiente de trabajo grato y
estimulante que respeta las peculiaridades y el ritmo de aprendizaje del estudiante.
Fomenta el trabajo en grupo: El trabajo en el computador se puede realizar en grupo,
permitiendo a los estudiantes explicar sus ideas, estableciendo la comunicación y el
enriquecimiento de pensamientos.
Valora positivamente el error: Pone en manifiesto los errores de los estudiantes, adquiere
una dimensión positiva y es una condición necesaria para superarlos.
Capacidad para representar gráficamente la información: Simular información gráfica y
numérica es un apoyo indiscutible para el estudio de funciones o estadística.
15
Es un elemento motivador: En la actualidad es el medio habitual del estudiante en su vida
cotidiana. (Págs. 126 y 127).
Caraballo y González (2009), en su trabajo, Herramientas para la enseñanza y el
aprendizaje. Software libre, mencionan: La incorporación de tecnología informática a la
enseñanza de la Matemática cubre la necesidad de poner a disposición de docentes y
estudiantes nuevas herramientas que faciliten la enseñanza y el aprendizaje de conceptos y
contenidos. Ayuda a resolver problemas y lo que es más importante contribuye a desarrollar
nuevas capacidades cognitivas.
Menciona además que de acuerdo con Azinian (1998) algunas de las posibilidades que brinda
la utilización de este tipo de aplicaciones esta relacionadas con la:
Interactividad e inmediatez: Brinda la posibilidad de producir modificaciones, dar
respuestas y requerir acciones, con inmediatez y fluidez; permite, entre otras cosas, la
exploración dinámica de representaciones y el control de una secuencia de acciones.
Capacidad de almacenamiento y recuperación de información: Esta capacidad,
combinada con la citada en primer término, facilita la visualización del proceso dinámico
de obtención de un producto después de una serie de transformaciones. Así el estudiante
puede revisar su estrategia de construcción y hacer consciente su proceso de pensamiento,
desarrollando estrategias meta cognitivas (aprendizaje significativo).
Múltiples formas de representación en un mismo medio: textual, gráfica, tabular, auditiva,
icónica y espacial. Dado que los conceptos se materializan mediante una representación y
el aprendizaje de un concepto está asociado al desarrollo de la capacidad de traducir de
uno a otro tipo de representación.
Los autores mencionan además que la exploración visual permite al alumno “lograr una
comprensión intuitiva de los conceptos, proveyendo un fundamento cognitivo sobre el cual
pueden construirse teorías matemáticas significativas”.
2.2. Fundamentación teórica
Paradigma
Gimeno (1981) define: “El paradigma es una representación de la realidad que supone un
alejamiento o distanciamiento de la misma. Es representación conceptual, simbólica y por
16
tanto indirecta, que al ser necesariamente esquemática se convierte en una representación
parcial y selectiva de aspectos de esa realidad, focalizando la atención en lo que se considera
importante y despreciando aquello que no lo es y aquello que no aprecia como pertinente a la
realidad que considera”.
De acuerdo al autor paradigma es un conjunto de creencias, supuestos e ideas sujetas a
teorías, por medio de las cuales percibimos y operamos nuestra realidad.
Para Briones (1999) paradigma es “Una concepción del objeto de estudio de una ciencia, de
los problemas generales a estudiar, de la naturaleza de sus métodos y técnicas, de la
información requerida, y finalmente, de la naturaleza de explicar, interpretar o comprender
según el caso los resultados de la investigación realizada”.
Según Latorre (1996) paradigma es “Un sistema de creencias y actitudes, compartido por un
grupo de científicos, que fundamenta los supuestos epistemológicos y metodológicos de la
investigación”.
Por lo anteriormente citado se puede decir que paradigma es un conjunto de prácticas que
definen una disciplina científica pero que a la vez, tiene relación con las experiencias,
creencias y valores que conforman la imagen de una sociedad o de las personas que la
conforman.
Tipos de paradigmas
Paradigma conductista
El paradigma conductista se fundamenta en el empirismo, en el que se puede lograr un
conocimiento mediante las sensaciones, ideas y asociaciones entre el sujeto y el objeto.
Hernández (2010), menciona que:
El conductismo operante de Skinner, aduce que el profesor es considerado como una persona
dotada de competencias aprendidas, que transmite conforme a una planificación realizada en
función de objetivos específicos.
El alumno es considerado como un receptor de las informaciones, su misión es aprender lo
que se le enseña, menciona además que el aprendizaje en el paradigma conductista constituye
un cambio en la conducta.
17
En el paradigma conductista las estrategias y técnicas de aprendizaje son aquellos
condicionamientos (clásico, condicionado, operante y semántico) aplicados a los estudiantes
para lograr un aprendizaje. Se dice que estos condicionamientos son esquemas de instrucción
que se basan en determinar y describir en términos claros y precisos los objetivos que se
desean lograr con la enseñanza.
La evaluación en el paradigma conductista se centra en el producto, es decir, en las
ejecuciones mecánicas de las acciones repetitivas sin dar cabida a la reflexión sobre la
conducta ejecutada, las cuales deben ser medibles y cuantificables, y, el criterio de
comparación a utilizar para su valoración son los objetivos establecidos.
Ertmer y Newby (1993) mencionan que “El profesor debe organizar condiciones ambientales
de tal forma que los estudiantes puedan dar las respuestas correctas en la presencia de los
estímulos correspondientes y recibir refuerzos por las respuestas correspondientes”.
Para el enfoque conductista de Román y Diez (1989), “El aprendizaje es la manifestación
externa de una conducta sin importar los procesos internos que se dan en la mente del sujeto,
objeto del mismo”.
Castro (1999), indica: “Una evaluación basada en criterios conductistas se orienta hacia la
evaluación de los productos y no de los procesos de aprendizaje. Evaluación por objetivos
expresados en función de conducta esperada. Evaluación externalista, destaca la importancia
de la retroalimentación. Cuantificación de las conductas, la atención centrada en las
conductas de tipo cognoscitivo y psicomotriz. Evaluación de conductas y posibilidad de
respuesta, precisión de indicadores. Valoración de los cambios en el alumno como resultado
de aprendizaje”.
De lo anteriormente citado se podría decir que, el paradigma conductista defiende el uso de
procedimientos experimentales para estudiar la conducta de un individuo y que considera
además el entorno como un conjunto de estímulos y respuesta.
Paradigma cognitivo
Para Hernández (2010), “El paradigma cognitivo está enfocado principalmente a cuestiones
del pensamiento, solución de problemas y el procesamiento de la información”.
Según el autor se considera al profesor parte de un alumno activo que aprende
significativamente, que puede aprender a aprender.
18
El estudiante es un sujeto activo procesador de información, que posee competencia cognitiva
para aprender y solucionar problemas.
La enseñanza es un proceso sociocultural, mediante el cual, una generación transmite saberes
y contenidos valorados culturalmente, que se expresan los distintos currículos tanto los
niveles básicos como en los superiores, dichos contenidos serán aprendidos por los alumnos
de manera significativa.
Los cognitivistas mencionan que todas las estrategias descritas pueden utilizarse
simultáneamente e incluso se pueden hacer combinaciones a criterio del profesor.
La evaluación son los valores de los procesos mentales que desarrollan los alumnos durante
el proceso de aprendizaje y los resultados de los mismos.
Paradigma Histórico Social
Formulado por el psicólogo de origen ruso Lev Vigotsky, se fundamente en que la historia y
la cultura juegan un papel determinante en la explicación del seguimiento y desarrollo de las
funciones psicológicas superiores. Resalta la forma de expresión vial externa que los
procesos psicológicos tienen antes de ser internos o individuales. El lenguaje como
instrumento cultural se integra a la psiquis individual.
Según Hernández (2010), las características de éste paradigma son las siguientes:
El profesor debe intentar en su enseñanza la creación y construcción conjunta de zonas de
desarrollo próximo de los alumnos por medio de las estructuras de sistemas de andamiaje
flexibles y estratégicos.
El alumno debe ser entendido como un ser social, producto y protagonista de las
múltiples interacciones sociales en las que se involucran a lo largo de su vida social y
extracurricular.
El creador de este paradigma, Vigotsky (1920), menciona “El individuo aunque importante,
no es la única variable en el aprendizaje. Su historia personal, su clase social y
consecuentemente sus oportunidades sociales, su época histórica y las herramientas que tenga
a su disposición son variables que no solo apoyan al aprendizaje sino que son parte integral
de él”.
19
Ausubel (1976), señala “El aprendizaje se dará de manera progresiva dentro del campo
sociocultural del desarrollo cognoscitivo, alternando los factores genéticos, culturales habla-
social, habla-egocéntrica, habla-interior”.
Paradigma constructivista
El paradigma constructivista está relacionado al desarrollo cognitivo y tiene sus raíces
inmediatas en la teoría de Piaget sobre el desarrollo de la inteligencia, denominada
epistemología genética, en donde la génesis del conocimiento es el resultado de un proceso
dialéctico de asimilación, acomodación, conflicto y equilibración. Asume que el
conocimiento es una construcción mental resultado de la actividad cognoscitiva del sujeto
que aprende.
El modelo constructivista concibe la enseñanza como una actividad crítica y al docente como
un profesional autónomo que investiga reflexionando sobre su práctica. Concibe que aprender
es arriesgarse a cometer errores, ya que los mismos, cometidos en situaciones didácticas
deben considerarse como momentos creativos.
Según este paradigma aprendemos construyendo nuestra propia estructura cognitiva, es decir
la enseñanza no es una simple transmisión de conocimientos, sino la organización de métodos
de apoyo que permiten a los alumnos construir su propio saber.
Modelo educativo
Los modelos educativos son, una representación arquetípica o ejemplar del proceso de
enseñanza –aprendizaje, en la que se exhibe la distribución de funciones y la secuencia de
operaciones en la forma ideal que resulta de las experiencias recogidas al ejecutar una teoría
del aprendizaje. (Castro, C. s.f).
Tunnermann, C. (2008), menciona que “El modelo educativo es la concreción, en términos
pedagógicos, de los paradigmas educativos que una institución profesa y que sirve de
referencia para todas las funciones que cumple (docencia, investigación, etc.) a fin de hacer
realidad su proyecto educativo”.
Por lo citado anteriormente se podría decir que modelo educativo es un patrón de conceptos
que permite esquematizar las partes y los elementos de un programa de estudio, que varían de
acuerdo a un periodo y que dependen del contexto social.
20
Para Zubiría (2006), los modelos pedagógicos se clasifican en cuatro grupos:
1. Modelo pedagógico heteroestrcturante.
2. Modelo pedagógico autoestructurante de la escuela activa.
3. Modelo pedagógico autoestructurante y los enfoques constructivistas.
4. Modelo pedagógico dialogante.
Modelo pedagógico heteroestructurante
Propuesto por el investigador francés Louis Not (1983), éste modelo fue propuesto para hacer
referencia a los métodos tradicionales en los que los alumnos son vistos como un objeto, el
saber es una condición externa a la clase, la educación es un proceso de asimilación basado
en la repetición y la copia, la escuela como un espacio para reproducir conocimiento y
además centrada en el maestro y en la que los propósitos y contenidos son el aprendizaje de
información y el cumplimiento de las normas.
La escuela tradicional fue creada para formar obreros y empleados que en aquella época
demandaba el mundo laboral, su intención era formar en niños y jóvenes actitudes de
sumisión, obediencia y cumplimiento.
Para la escuela tradicional el niño recibe los conocimientos de las normas acumuladas por la
cultura y desde el exterior.
En el modelo heteroestructurante la creación del conocimiento se realiza por fuera del salón
de clase. La acción y el rol del maestro es el eje central de todo proceso (magistrocentristas).
La escuela es transmisora de la cultura humana. La construcción del conocimiento es algo
externo al estudiante y la enseñanza es la manera de garantizar su asimilación. Es
conveniente y necesario el uso de métodos receptivos (clase magistral).
La función de la escuela, en este modelo, es transmitir saberes específicos, valoraciones y
normas cultural y socialmente aceptadas, los contenidos son constituidos por las
informaciones social e históricamente acumuladas y por las normas socialmente aceptadas,
como estrategias metodológicas se usa la exposición magistral basada en la atención y la
reiteración, la evaluación consiste en determinar el nivel de asimilación de los conocimientos
y normas transmitidos.
21
Modelo pedagógico autoestructurante de la escuela activa
Henao, C. (s.f), en su documento Modelos Pedagógicos menciona: “A finales del siglo XIX,
factores históricos, científicos y sociales, produjeron una profunda revolución en la
concepción pedagógica que condujo a la aparición de la escuela activa”.
Menciona además, que hechos como la revolución francesa, el darwinismo y los avances de
la psicología del niño fueron las corrientes científicas que nutrieron la Escuela Nueva,
llamada también escuela activa.
La escuela activa explica el aprendizaje desde el activismo , es decir, “se aprende haciendo”,
el conocimiento será efectivo en la medida en que se base en la experiencia; la escuela debe
crear condiciones para facilitar la manipulación y la experimentación por parte de los
estudiantes. El niño pasa a ser el centro de los procesos educativos, y, tanto los programas
como los métodos tendrán que partir de sus necesidades, motivaciones e intereses.
En este modelo el fin de la escuela no puede estar limitado al aprendizaje; debe preparar al
individuo para enfrentar la vida. La escuela debe hacer sentir feliz al estudiante, la finalidad
de la educación no debe ser solamente cognitiva e instructiva, por el contrario, debe permitir
al estudiante actuar y pensar a su manera, favoreciendo su desarrollo espontáneo, en el cual el
maestro cumpla un papel de segundo orden y se libere el ambiente de restricciones y
obligaciones propias de la escuela tradicional. El docente deja su connotación de maestro y se
convierte en guía, acompañante o en facilitador.
En conclusión de acuerdo a este modelo, la escuela debe preparar al estudiante para la vida;
la naturaleza y vida misma deben ser estudiadas, por lo tanto, los contenidos no deben estar
separados de ellas.
Modelo pedagógico autoestructurante y los enfoques constructivistas
El modelo constructivista postula el papel activo del sujeto en el proceso de
conceptualización y reconoce la existencia de elementos personales, matices y acepciones en
la representación individual. Enfatiza la construcción personal sobre la cultura, dicha
posición conduce a desconocer el proceso de meditación cultural en los procesos psíquicos
superiores.
22
Afirma que las construcciones previas inciden de manera significativa en los aprendizajes
nuevos y se sustenta en la teoría de asimilación de Auzubel. Esta teoría permite distinguir
entre los tipos de aprendizaje y la enseñanza, el aprendizaje puede ser significativo o
repetitivo, dependiendo de la relación de lo aprendido con la estructura cognitiva. Cuando los
nuevos conocimientos se vinculen de una manera clara y estable con los conocimientos
previos del estudiante, se hablará de aprendizaje significativo.
Según este modelo, la finalidad de la educación es alcanzar la comprensión cognitiva, para
favorecer el cambio conceptual; ha reivindicado la finalidad de la educación vinculada con la
comprensión y el cambio conceptual, ha reconocido el papel activo del estudiante en todo
proceso de aprendizaje, superando de esta manera, la visión acumulativa y mecánica de la
Escuela Tradicional.
Las corrientes relacionadas directamente con el constructivismo enfatizarán la comprensión y
el cambio conceptual como intensiones educativas esenciales. Se destacan los trabajos
relacionados con las inteligencias múltiples.
Modelo pedagógico dialogante
Zubiria, J. (2006), en su obra hacia una pedagogía dialogante menciona “La función esencial
de la escuela es garantizar el desarrollo cognitivo, valorativo y praxiológico de los
estudiantes. La esencia de la escuela debe consistir en el desarrollo y no en el aprendizaje”.
Para la pedagogía dialogante es tan importante la dimensión cognitiva, como la socioafectiva
y la práxica. La pedagogía dialogante debe reconocer las diferentes dimensiones humanas y
la obligación que tenemos escuelas y docentes de desarrollar cada una de ellas, esto implica
que para la pedagogía dialogante es tan importante el conocer como el hacer y el ser. Su
finalidad última debe ser la de garantizar mayores niveles de pensamiento, afecto y acción.
Lamentablemente en la actualidad nos podemos dar cuenta que no es así, la mayor parte de
escuelas entrega pescados a sus estudiantes, es decir no fomentan el aprendizaje de los
mismos. Las condiciones socio-históricas actuales exigen un cambio profundo en las
finalidades de la educación. Los propósitos de la educación debe ser garantizar un mayor
desarrollo del pensamiento, el afecto y la acción; en pocas palabras debe enseñarnos a pensar,
amar y actuar.
23
El modelo dialogante es innovador ya que hace una sumatoria de todos los modelos
anteriores a él y anexa el diálogo continuo entre maestros y estudiantes. Que el niño pregunte
y que todo gire en torno a esa pregunta, que el maestro favorezca el diálogo y la mediación.
Modelo pedagógico de la Institución
En la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría se aplica el modelo pedagógico crítico
social; éste modelo destaca la naturaleza social de la persona, en la forma en que se pone
mayor énfasis a las conductas sociales y como tal, influye y mejora el aprendizaje académico.
La función del modelo es preparar a los ciudadanos en una cultura democrática, que a la vez
destaca la vida personal y social, asegura un orden social, democrático y productivo. El
principio rector es la conducta cooperativa, las tareas requieren de la interacción social, para
de esta manera mejorar el rendimiento académico de los estudiantes, toda vez que son
estimulantes desde el punto de vista social e intelectual.
El desarrollo de la conducta social productiva combina las habilidades y los conocimientos
académicos. A la primera mitad del siglo XX se pueden reconocer como principales
representantes, generadores de modelos pedagógicos sociales de educación a personajes
como Aristóteles, Platón y Marco Aurelio; educadores cristianos medievales como Tomás de
Aquino y renacentistas como Juan Amos Comenio, John Dewey entre otros.
El modelo crítico social concibe a las instituciones educativas como pequeñas sociedades
productivas en las que la cultura escolar cooperativa incentiva a utilizar una diversidad de
modelos de enseñanza para la adquisición de conocimientos y el desarrollo de habilidades.
Que la escuela se organice como una democracia en miniatura, en la que los alumnos
participen en el desarrollo del sistema social y a través de la experiencia aprendan
gradualmente cómo aplicar el método científico para mejorar la sociedad humana es lo que
propone John Dewey.
Las situaciones de aprendizaje son generadas por experiencias que promueven la
participación de todos y cada uno en el grupo y por ende en su propio conocimiento. El
profesor y el alumno comparten la responsabilidad, por lo que investigan en forma
permanente, analizan, reflexionan en discusiones, ubicando así el énfasis en el proceso.
24
El tipo de evaluación es el propuesto en el modelo constructivista, ya que la institución se
interesa por los procesos y a la vez por el producto final. Evalúa en diferentes momentos: al
inicio, durante y al final de un periodo con formas pertinentes para cada situación.
Teorías del aprendizaje
Antón, L. (s. f), en su documento teorías contemporáneas del aprendizaje menciona: “El
aprendizaje forma parte del bagaje teórico y práctico que debe usar el maestro en su qué
hacer educativo. Utiliza esta categoría en la actividad escolar para observar el
comportamiento del alumno en la adquisición de conocimientos y modos de
comportamiento”.
Popper, K. (1957) señala “Todas las teorías son experimentos, hipótesis provisionales puestas
a prueba para ver si funcionan; y toda demostración experimental es sencillamente el
resultado de las pruebas llevadas a cabo con mi espíritu crítico, en un intento de averiguar
dónde yerran nuestras teorías”.
Schunk, D. (2012), en su obra Teorías del Aprendizaje, menciona “La teoría sin experiencia
podría ser engañosa porque tendería a subestimar los efectos de factores situacionales.
Cuando se utiliza de manera apropiada, la teoría proporciona un marco de referencia para la
toma de decisiones educativas”.
A criterio del autor, la práctica educativa influye en la teoría. La experiencia puede confirmar
los pronósticos teóricos o sugerir revisiones. Las teorías se modifican cuando la investigación
y la experiencia revelan evidencia conflictiva o sugieren que se deben incluir otros factores.
Los profesionales de la educación deberían preguntarse cómo podrían aplicar los principios
del aprendizaje y los hallazgos de la investigación dentro y fuera de la clase, es decir, luchar
por integrar la teoría, la investigación y la práctica.
Una teoría intenta explicar una serie de fenómenos educativos, al mismo tiempo que sugiere
métodos de control de dichos fenómenos; es un conjunto de definiciones, proposiciones y
conceptos relacionados. Es una explicación racional, coherente, científica y filosóficamente
fundamentada acerca de lo que debe entenderse por aprendizaje, las condiciones en que se
manifiesta el mismo y las formas que adopta; esto es, en qué consiste, cómo ocurre y a qué da
lugar el aprendizaje.
25
Teoría de La Gestalt
Esta teoría hace referencia al aprendizaje mediante canales sensoriales (percepción) o de la
memoria (pensamiento, inteligencia y resolución de problemas); Gestalt analizó las diversas
áreas de la psicología como son actitudes, el aprendizaje, la motivación y la percepción,
centrándose más en la última.
En educación, el maestro aplica la teoría de la Gestalt al intentar buscar recursos que llamen
la atención de los estudiantes como son proyectores, pancartas videos y programas
informáticos que desarrollen la percepción de los estudiantes y de esta manera lograr un
aprendizaje significativo en los mismos.
Teoría sociocultural de Vigotsky
Esta teoría enfatiza la participación activa de los niños con su ambiente, considerando el
crecimiento cognoscitivo como un proceso colaborativo. Vigotsky afirmaba que los niños
aprenden a través de la interacción social. Adquieren habilidades cognoscitivas como parte de
su inducción a una forma de vida. Las actividades compartidas ayudan a los niños a
interiorizar las formas de pensamiento y conducta de la sociedad y a apropiarse de ellas.
Recalca las relaciones sociales en los procesos de aprendizaje, y, argumenta que la
construcción del pensamiento es un acto individual y a la vez social. Los educandos
construyen el conocimiento individualmente y, al mismo tiempo, unos con otros; de esta
manera, la educación se coordina con el desarrollo de la persona a través de lo que Vigotsky
denominó “zona de desarrollo próximo”, que es la distancia entre el nivel real de desarrollo
del niño expresada de modo espontáneo y autónomo, y el nivel de desarrollo potencial
manifestada gracias al apoyo de otra persona. Este concepto es definitivo para explicar cómo
se entre mezclan el desarrollo cognitivo y la cultura; al mismo tiempo que se producen
conocimientos y formas sobre cómo enseñarlos y cómo se construye el saber sociocultural.
El aprendizaje despierta en el educando una serie de procesos evolutivos internos capaces de
operar, es en este campo que la teoría sociocultural ha reforzado el concepto de la interacción
social como mecanismo para el desarrollo, ya que cuando el educando está en interacción con
las personas que lo rodean y en cooperación con alguien que se le parece, tarda menos en
resolver problemas. Con ello, aparte de permitir que los iguales ejerzan el papel de
mediadores, se favorece la interiorización de los procesos cognitivos y sociales implicados.
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En conclusión la teoría de Vigotsky se basa principalmente en el aprendizaje sociocultural de
cada individuo y por lo tanto en el medio en el cual se desarrolla.
Teoría de Piaget
Piaget, nacido en Neuchatel en 1896, fue el creador de un sistema teórico complejo que
pretende dar cuenta de casi todas las facetas del desarrollo cognitivo humano. Su obra es sin
duda la que más impacto ha tenido en el desarrollo de la psicología evolutiva del siglo XX,
siendo incluso hoy en día, una referencia para dar sentido al estado actual de la disciplina.
Piaget abrió ámbitos de estudio a la investigación psicológica, conceptualizándolos de tal
manera que sus propuestas se convirtieron en un referente para investigaciones posteriores.
Sus estudios sobre el nacimiento de la inteligencia y desarrollo cognitivo temprano y su
propuesta de que el objeto es algo que se construye en los primeros meses ha dado lugar a
varias investigaciones. Sus estudios sobre conceptos como el pensamiento formal y las
operaciones lógicas siguen siendo el punto de partida de innumerables trabajos sobre el
pensamiento infantil.
La teoría de Piaget señala que el desarrollo cognitivo se logra de acuerdo con tres factores: la
maduración biológica, programada genéticamente; la actividad, la capacidad de actuar y
aprender sobre el ambiente al adquirir maduración física; y la transmisión social, el
aprendizaje con los demás; sin esta última se tendría que reinventar los conocimientos que ya
se poseen en el aspecto cultural.
Teoría de David Ausubel
Ausubel señala que el aprendizaje significativo es una integración y organización de la
información dentro de la estructura cognitiva de cada individuo. Durante mucho tiempo se
consideró que el aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto no es así en su
totalidad, ya que el aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta a un
cambio en el significado de la experiencia.
Para Ausubel, la experiencia humana no solo implica pensamiento, sino también afectividad
y si se consideran en conjunto se capacita al individuo para enriquecer el significado de su
experiencia. Para entender la labor docente se consideran tres elementos del proceso
educativo: los profesores y su manera de enseñar; l estructura de los conocimientos que
27
conforman el currículo, el modo en que éste se produce y el entramado social en el que se
desarrolla el proceso educativo.
De acuerdo con el autor, lo anterior se desarrolla dentro de un marco psicoeducativo, puesto
que la psicología educativa trata de explicar la naturaleza del aprendizaje en el salón de clases
y los factores que lo influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los principios
para que los profesores descubran por si mismos los métodos de enseñanza más eficaces,
puesto que intentar descubrir métodos por ensayo y error es un procedimiento ciego y , por
tanto innecesariamente difícil.
Teorías computacionales
Este tipo de teorías son de origen psicológico y son las que se ocupan o se aplican para la
adquisición de conocimientos pro medio de un sistema de procesamiento. Algunas se
desarrollan enmarcadas en la inteligencia artificial sin buscar una compatibilidad con los
datos psicológicos, mientras que otras respetan los límites de la metáfora computacional e
intentan ser psicológicamente relevantes, es decir se adapta a los datos que se conocen por
encima del procesamiento humano de la información.
Aunque el aprendizaje ha sido uno de los más clamorosos olvidos del enfoque del
procesamiento de información en los últimos años, están aumentando considerablemente los
esfuerzos por elaborar teorías del aprendizaje basados en supuestos computacionales. (Pozo,
J. 1997).
A criterio del autor, las teorías relacionadas con un programa computacional son pocas, pese
a que el avance de la ciencia y tecnología así lo demanda. Son pocos los centros educativos
que disponen de algún programa computacional para enseñar las diferentes asignaturas como
por ejemplo matemática, a esto se suma la poca preparación docente en temas relacionados
con la computación e informática.
Método didáctico
De Mattos (1963), menciona que: “Método didáctico es la organización racional y práctica de
los recursos y procedimientos del instructor, con el propósito de dirigir el aprendizaje de los
participantes hacia los resultados previstos y deseados”.
Según el mismo autor existen tres elementos básicos del método didáctico:
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Lenguaje didáctico: es el medio de comunicación y orientación del que se vale el profesor
para guiar a los alumnos en su aprendizaje.
Medios auxiliares y material didáctico: Son los instrumentos de trabajo que el instructor
y alumnos necesitan para ilustrar y conectar lo que se ha estudiado.
Acción didáctica: Activa el estudio mediante tareas, ejercicios, debates, demostraciones o
trabajos realizados.
Procedimiento didáctico
Bastidas, P. (2000), menciona que: “Proceso didáctico es el conjunto de actividades
específicas, realizadas por el profesor y el alumno, que han de seguirse para cumplir con los
objetivos del sistema de enseñanza-aprendizaje”
Para Comenio, J. (s. f), la didáctica tiene por objeto de estudio la conducción de la actividad
del sujeto al aprendizaje, coordinando el ajuste de los contenidos con el aprendizaje de los
estudiantes. La didáctica se auxilia de otras disciplinas para su estudio, como lo son la
psicología educativa y la planeación.
Para Comenio la educación no era solo la formación del niño en la escuela o en la familia, era
un proceso que afecta la vida de la persona a largo plazo; ya que la educación era el eje de la
vida de las personas. El nivel de dificultad de lo que se enseña al alumno debe ir de la mano
de acuerdo al nivel de desarrollo del mismo.
Los aspectos fundamentales de su didáctica son:
Proceder por etapas
Examinar lo aprendido personalmente, sin ceder ante la autoridad de los adultos.
Actuar personalmente “autopraxis”.
Estrategia
Para Rajadell, (1992), una estrategia didáctica equivale a la actuación secuenciada
potencialmente consciente del profesional en educación, guiada por uno o más principios de
la didáctica, encaminada hacia la optimización del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Las estrategias de aprendizaje son los procedimientos mentales que el estudiante realiza para
aprender, es la cadena de operaciones cognoscitivas que el estudiante ejecuta con el fin de
29
procesar la información; cabe señalar que se trata de procedimientos mentales porque el
aprendizaje es un fenómeno mental y psíquico que aunque está condicionado por la
enseñanza, depende mucho del sujeto que desea aprender, (Ferreiro, 2006).
Para Kindsvatter, citado por Logroño (2014) las estrategias de enseñanza pueden ser:
Estrategia magistral, Estrategia grupal y estrategia individual.
Estrategia magistral
Bastidas, P. (2004), refiriéndose a una estrategia magistral menciona: “Son aquellas en las
que el profesor administra, guía, conduce, controla y desarrolla las actividades del proceso de
enseñanza-aprendizaje”.
De acuerdo con el autor, esta estrategia se caracteriza por ser el docente quien guía todo el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes, es una de las estrategias más utilizadas
pero que no garantiza la eficacia del aprendizaje, es decir, no se consigue un desarrollo
integral en los educandos.
La estrategia magistral, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, considera al profesor como
un ente activo y a los estudiantes como sujetos pasivos; se podría decir que es una estrategia
unidireccional ya que el docente envía información o indicaciones a un grupo de discentes
que se limitan a recibir dicha información, cabe recalcar que en ocasiones pueden intervenir
con preguntas.
Entre estas estrategias se tiene:
Conferencia.
Demostración
Demostración práctica
Estrategia grupal
Para Izquierdo, (1997), el aprendizaje en grupo es un proceso de transformación mutua,
debido a que el estudiante se ve influenciado por el grupo y por el contrario, el grupo se
modifica por el accionar de cada uno de sus miembros, es decir el aprendizaje es un proceso
de construcción mutua que parte de problemas, los mismos que mediante el análisis, reflexión
y esfuerzos grupales pueden ser resueltos o presentar alternativas de solución.
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A criterio de Díaz y Hernández (2002), mediante esta estrategia los estudiantes mejoran sus
relaciones interpersonales, aprenden valores y habilidades sociales en forma efectiva,
aprenden de mejor manera, y lo que es más importante, les agrada ir a la escuela. En un
trabajo grupal cada individuo comparte ideas, objetivos, metas y soluciones en torno a un
tema, tarea o contenido de aprendizaje.
A través de la participación en equipos se logra que la mayoría de los miembros del grupo
intervengan en las discusiones generadas al realizar una determinada actividad, (Rojas, 1999).
Terán y Pachano, (2005), consideran que el docente que asuma el trabajo cooperativo como
estrategia de aprendizaje, debe promover un ambiente favorable donde prevalezca el respeto
y la confianza, para que todos los estudiantes tengan la oportunidad de expresar sus ideas, sus
dudas, de hacer comentarios y críticas con el propósito de contribuir a propiciar los inter-
aprendizajes.
Entre estas estrategias se tiene:
Rejas.
Taller.
Equipos de trabajo.
Estrategia individual
Para Oviedo, referenciado por Bastidas (2004), la estrategia individual es un modelo de
instrucción individualizado sobre la base de un programa estructurado para cada alumno. El
propósito de esta estrategia es el cumplimiento de tareas de aprendizaje específicas, diseñadas
para que sean realizadas por los estudiantes de un determinado nivel. El eje de esta estrategia
es la adquisición individual de conocimientos concretos en el contexto de una flexible
estructura de tiempo.
Entre estas estrategias se tiene:
Trabajo individual (deberes y tareas)
Estudio documental (consulta bibliográfica)
31
Gráfico N° 2: Modalidades de las estrategias magistral, grupal e individual
Fuente: Estrategias didácticas
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Técnica
Ferreiro (2006), considera que una técnica es el recurso o habilidad que permite realizar algo
de forma correcta y fácil siguiendo una secuencia de pasos: por ende, las técnicas didácticas
son medios y procedimientos empleados para lograr los objetivos planteados en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Busot, citado por Bastidas (2004), indica, la técnica es la forma de utilizar un instrumento o
recurso, el cual sirve de apoyo para enseñar, es así que las técnicas hacen referencia al con
qué se enseña y deben responder a la finalidad del curso, de un conjunto de clases o de una
clase determinada.
Bastidas (2004), referencia a Marcano y señala que el docente puede utilizar muchos recursos
(ayudas externas) para facilitar en el alumno el procesamiento, codificación y recuperación
de la información. Estos recursos se denominan genéricamente “procesadores de
información”.
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Para Oviedo, citado por Bastidas (2004), se presentan tres tipos de técnicas: técnica de
estimulación audiovisual, técnica de estimulación escrita y técnica de estimulación verbal.
Técnica audiovisual
Entre estas técnicas se tiene:
Cartel
Computador
Internet
Correo electrónico
Plataformas
Técnica escrita
Entre estas técnicas se tiene:
Diagrama
Esquema
Flujograma
Mapa conceptual
Mentefacto
Poligrafiado
Pizarrón
Solución de problemas
Técnica verbal
Entre estas técnicas se tiene:
Anécdota
Pregunta
Relato de experiencias
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Gráfico N° 3: Modalidades de las técnicas escrita, verbal y audiovisual
Fuente: Técnicas didácticas
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
La informática
La informática se refiere al procesamiento automático de información mediante dispositivos
electrónicos y sistemas computacionales. Los mismos que deben contar con la capacidad de
cumplir tres tareas básicas: entrada (captación de la información), procesamiento y salida
(transmisión de los resultados), el conjunto de estas tres tareas se conoce como algoritmos.
Sanguano, C. (2013), en su tesis de titulación menciona: “La informática es considerada
como una ciencia que se encarga del estudio del uso metódico y razonado de la información,
con la finalidad de colaborar en la resolución de problemas de tipo social, económico,
educativo y político.
34
La educación y la informática
En la actualidad el desarrollo del proceso de interaprendizaje se sustenta en los recursos
didácticos audiovisuales, mismos que se fundamentan en la tecnología informática
multimedia. En la actualidad existen enormes empresas dedicadas al desarrollo de software
didáctico, es de esta manera cómo surge la informática educativa.
Sánchez, citado por Cervantes, G. y Milán, M. (s. f). Menciona que: “La informática
educativa es una disciplina que estudia el uso, efectos y consecuencias de las tecnologías de
la información y el proceso educativo”.
El mismo autor menciona que la informática educativa es una disciplina que intenta acercar al
aprendiz al conocimiento y manejo de modernas herramientas tecnológicas como el
computador; además pretende indicar cómo el estudio de esta tecnología contribuye a
potenciar y expandir la mente, de manera que los aprendizajes sean más significativos y
creativos.
De acuerdo con el autor el desafío que presenta la informática en el sector educativo es la
aplicación racional y pertinente de las nuevas tecnologías de la información en el desarrollo
del qué hacer educativo propiamente dicho.
A pesar de que la informática presenta grandes beneficios en el campo educativo, se podría
decir que existen muchas instituciones que no tienen un programa estructurado en función de
objetivos evidentes.
Pueda ser que no todos los efectos, al momento de usar un computador, sean positivos dentro
del currículo escolar pero si se podría decir que desempeña un papel determinante en el
momento en que los estudiantes y el maestro lo utilizan como un instrumento para cumplir un
fin específico.
La matemática y la informática
En todas las épocas los seres humanos siempre han estado estrechamente ligados a los
avances científico-tecnológicos en cada una de sus etapas, con el único objetivo de aportar al
mejoramiento social, económico y político de una nación. A través de la historia se han dado
importantes descubrimientos científicos y tecnológicos que han cambiado para siempre la
forma de vivir las personas.
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La computación, el internet, y de manera general, la informática han abierto un mundo de
posibilidades de gran impacto en la enseñanza, particularmente en la enseñanza de la
matemática.
La matemática y la informática van de la mano, ya que para desarrollar programas
informáticos se requiere de amplios conocimientos matemáticos; esta rama ha contribuido al
desarrollo de las civilizaciones desde el inicio de nuestras generaciones mediante la
computación y la informática. Por el contrario una vez desarrollados programas informáticos
estos son de gran ayuda a la humanidad, debido a que son fuente principal para encontrar
métodos matemáticos para solucionar problemas en particular, entre los programas más
conocidos están geogebra, matlab, wiris, polypro, k-bruch, entre otros.
La matemática y su nueva forma de enseñarla
En la actualidad no se han encontrado modelos satisfactorios que permitan aprovechar al
máximo la aparición de herramientas tan satisfactorias como la calculadora y el computador,
herramientas que si no se las usa de manera adecuada pueden hacer desaparecer el fin mismo
de la matemática en educación; dicho fin es el desarrollo del pensamiento lógico –
matemático. Es necesario que los estudiantes comprendan procesos matemáticos.
Las instituciones educativas y las entidades rectoras de la educación deben elaborar planes y
proyectos que incluyan el uso adecuado de herramientas tecnológicas para la enseñanza –
aprendizaje de las matemáticas; ya que es indispensable aplicar procesos que simplifiquen
ciertas operaciones numéricas y que vayan a la par con el desarrollo científico y tecnológico.
Software educativo
Con este nombre se refiere a programas educativos para ordenador, cuya finalidad específica
es ser utilizados como medio didáctico ya que facilitan el proceso de enseñanza –
aprendizaje. La función del software educativo es imitar la labor tutorial personalizada que
realiza un docente en el aula; este tipo de programas presentan modelos de representación del
conocimiento en consonancia con los procesos cognitivos que desarrollan los estudiantes.
Algunas de sus características son las siguientes:
Son programas creados con finalidad didáctica.
36
Son interactivos, ya que contestan inmediatamente la acción de los alumnos y permiten
un intercambio de información entre el ordenador y el estudiante.
Utilizan el ordenador como soporte.
Individualizan el trabajo, no es necesario la presencia del docente para realizar
determinadas actividades.
Son fáciles de usar, no necesitan grandes conocimientos en computación o informática
para poder realizar una tarea.
Programa k-bruch
K-bruch es un programa informático para el entorno de ventanas KDE cuyas funciones
permiten practicar cálculos con fracciones. Pertenece al paquete educativo kdeedu y se
distribuye bajo la Licencia Pública General (GPL). El programa suministra diferentes
ejercicios para realizar operaciones con fracciones, como factorizaciones, conversiones y
comparaciones, comprobando las entradas del usuario y haciéndole indicaciones. Fue
programado por Sebastián Stein en el año 2002.
Uso del programa k-bruch
Al iniciar k-bruch, el programa le ofrece dos modos: modo estilo libre que es el de
entrenamiento y modo aprendizaje donde podrá entender lo que son las fracciones. Puede
acceder a uno u otro modo pulsando la imagen correspondiente:
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Gráfico N° 4: Vista inicio del programa
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
Si se elige el modo aprendizaje, se desplegará una pantalla en la que le permite realizar el
ejercicio.
Gráfico N° 5: Pantalla principal del ejercicio
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
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En esta pantalla se puede resolver cualquier operación con fracciones, la misma está dividida
en cinco partes:
La barra de menú con tres opciones: Archivo, Preferencia y Ayuda.
La barra de herramientas, donde puede alternar entre los diferentes ejercicios.
Las opciones a la izquierda, donde puede configurar la dificultad y otros parámetros de
las tareas.
La parte de la tarea, donde tiene que introducir el resultado de la tarea.
La parte de las estadísticas, donde podrá ver cuántas tareas han sido realizadas o resueltas
correctamente.
A continuación, una explicación de la parte de las estadísticas:
Gráfico N° 6: Parte de las estadísticas
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En esta parte de la pantalla se podrá ver:
A la izquierda, cuántas tareas han sido resueltas.
A la derecha, en verde, cuántas tareas han sido resueltas correctamente.
A la derecha, en rojo, cuántas tareas han sido resueltas incorrectamente.
A la derecha, en amarillo, cuántas tareas han sido omitidas.
Se puede ajustar algunas opciones generales en cuanto a la forma en que se muestran las
tareas seleccionando la opción Preferencias → Configurar k-bruch , se desplegará la siguiente
pantalla:
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Gráfico N° 7: Configuración de la apariencia de k-bruch
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
Se observan dos pestañas para el ajuste de las preferencias:
Colores: Permite elegir los colores de las diferentes partes de una expresión matemática,
los números, el signo de la operación y la barra de fracción.
Tipos de letra: permite elegir un tipo de letra para la tarea.
Las preferencias guardadas se restauraran la próxima vez que se inicie.
Ejercicio:
Aritmética
En esta opción, debe resolver la tarea proporcionada, para lo cual es necesario introducir la
parte entera de una fracción, así como el numerador y el denominador. La dificultad puede
ser ajustada mediante las opciones que se encuentran a la izquierda.
Existen varias opciones de dificultad para las tareas generadas:
Número mixto: Indica si las fracciones se muestran o no como número mixto en la
expresión de la pregunta, ejemplo: 14
5=
9
5
Número de términos: El número de términos es de 2 a 5.
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Máximo denominador: El número más alto que utiliza k-bruch como denominador
principal en las tareas que se genere es de un mínimo de 10 hasta un máximo de 50.
Respuesta: establece si la fracción se muestra o no como número mixto, se puede
establecer como forma reducida.
Operaciones: En la tarea se pueden utilizar las opciones: suma, resta, multiplicación y
división.
Una vez resuelto el ejercicio proporcionado se debe introducir el resultado en los tres cuadros
de entrada. En el cuadro de la izquierda se debe introducir la parte entera de la fracción, en el
cuadro superior el numerador y en el cuadro inferior el denominador. Una vez introducido el
resultado, presionar el botón Comprobar y se mostrará el resultado correcto o incorrecto.
Gráfico N° 8: Resolución de tareas, opción Aritmética
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En este caso, la tarea se resolvió de manera incorrecta. La respuesta correcta se muestra de
dos formas diferentes: normal reducida y como número mixto.
Comparación
Esta opción permite comparar dos fracciones dadas. Debe indicar qué fracción es mayor que
la otra utilizando el signo de comparación correcto.
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Gráfico N° 9: Comparación de dos fracciones
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En el gráfico se muestra el resultado a la derecha, en verde, con la expresión Correcto, si la
respuesta es correcta. Si la respuesta es incorrecta, aparecerá un cuadro rojo con la expresión
Incorrecto. Accede a la siguiente tarea pulsando el botón Nueva.
Conversión
Al utilizar esta opción se puede convertir un número entero o decimal en una fracción, para lo
cual se debe introducir el numerador y el denominador que se crea es igual al número dado.
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Gráfico N° 10: Conversión de un número entero o decimal a fracción
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En el ejercicio propuesto se puede observar un número decimal periódico ya que la parte
decimal está señalada con una barra, esto significa que se repite infinitas veces. Una vez
introducido el numerador y el denominador como respuesta, pulse el botón comprobar y k-
bruch comprobará su entrada y presentará el resultado correcto o incorrecto.
Números mixtos
En esta opción se puede convertir un número mixto en una fracción impropia y viceversa.
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Gráfico N° 11: Conversión de Número mixto a fracción impropia
Fuente: Programa k-bruch
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En la imagen anterior se puede ver en la parte izquierda del signo igual, un número mixto,
esto quiere decir que su resultado será una fracción impropia. Tras introducir el numerador y
el denominador se debe pulsar el botón Comprobar, posteriormente el programa le indicará el
resultado correcto o incorrecto según sea el caso. Finalmente acceda a una nueva tarea
pulsando el botón Nueva.
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Evaluación de aprendizajes
La evaluación es un proceso permanente de información y reflexión que tiene por objetivo
contribuir a la mejora de la calidad de la enseñanza y aprendizaje, por tanto es recomendable
que ésta se dé antes, durante y después de un determinado proceso, de tal manera que permita
la regulación de las interrelaciones, detectar las dificultades que se van presentando,
averiguar las posibles causas y actuar de forma oportuna antes de que el proceso concluya.
De acuerdo al artículo 184 de la LOEI. “Es un proceso continuo de observación, valoración y
registro de información que evidencia el logro de objetivos de aprendizaje de los estudiantes
y que incluye sistemas de retroalimentación, dirigidos a mejorar la metodología de enseñanza
y los resultados de aprendizaje”.
Existen tres tipos de evaluación: Diagnóstica, formativa y sumativa.
Evaluación diagnóstica
El propósito de esta evaluación es verificar el nivel de preparación de los estudiantes antes de
enfrentarse a los objetivos que se espera, logren al final de un proceso.
Con esta evaluación se consigue lo siguiente:
Establecer el nivel académico del estudiante antes de iniciar una etapa en el proceso de
enseñanza – aprendizaje.
Identificar aprendizajes previos que marcan el punto de partida de una nueva unidad o un
tema nuevo.
Detectar dificultades que impidan el logro de los objetivos planteados.
Diseñar actividades orientadas a la nivelación de aprendizajes.
Detectar destrezas y objetivos que han sido superadas para de esta manera evitar la
repetición de contenidos y optimizar el tiempo.
Plantear objetivamente ajustes o modificaciones en el programa.
Establecer metas razonables a fin de emitir juicios de valor sobre los logros escolares y
con todo ello adecuar el tratamiento pedagógico a las características y peculiaridades de
los estudiantes.
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Evaluación formativa
Es una actividad sistemática y continua que tiene por objeto sintetizar e interpretar
información, para de esta manera facilitar la toma de decisiones orientadas a la
retroalimentación del estudiante, modifica y mejora el aprendizaje durante el proceso de
enseñanza.
Algunas de las características de la evaluación formativa son:
Es procesual ya que habitualmente se aplica durante el desarrollo de una unidad de
aprendizaje.
Necesariamente no se necesita de una calificación y la misma queda a criterio del docente
según el estado de aprendizaje de los estudiantes.
Genera instancias dialógicas en las que los estudiantes pueden recibir explicaciones
acerca de sus problemas y equivocaciones.
Evaluación sumativa
Esta evaluación es la encargada de evaluar los aprendizajes alcanzados por los estudiantes
con respecto a los objetivos planteados al finalizar un programa, emite juicios y justifica el
mismo, además certifica su utilidad o aprovechamiento.
Los propósitos de la evaluación sumativa son los siguientes:
Emitir juicios de valor sobre los resultados de un determinado nivel, curso, programa, etc.
Verificar el dominio de habilidades o conocimientos por parte de los estudiantes.
Asignar calificaciones en base a objetivos planteados al finalizar un proceso.
Indica las pautas relacionadas con la eficacia de una metodología.
Rendimiento
Castro (1999), define el rendimiento escolar como “El producto del proceso de enseñanza-
aprendizaje”.
Edel, cita a Jiménez (2000) y menciona: “Rendimiento escolar es un nivel de conocimientos
demostrado en un área o materia, comparado con la norma de edad y nivel académico”.
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De lo anteriormente citado se puede decir que rendimiento académico es la capacidad que
tiene un estudiante para responder a estímulos educativos. Es una medida de las capacidades
del alumno, es decir, expresa lo que éste ha aprendido durante el proceso formativo. Es el
producto de la asimilación de contenidos establecidos en programas de estudio y expresado
en calificaciones ya sean cualitativas o cuantitativas.
Índice de aprobación
Según el reglamento de la LOEI, Capítulo III, de la Calificación y Promoción. Artículo 193.-
Aprobación y Alcance de logros: “Se entiende aprobación al logro de los objetivos de
aprendizaje definidos para una unidad, programa de asignatura o área de conocimiento.
Fijados para cada uno de los grados, cursos, sub niveles y niveles del Sistema Nacional de
Educación. El rendimiento académico de los estudiantes se expresa a través de la escala de
calificaciones prevista en el siguiente artículo del presente reglamento.
Según el artículo 194 de la LOEI.- Escala de calificaciones: Las calificaciones hacen
referencia al cumplimiento de los objetivos de aprendizaje establecidos en el currículo y en
los estándares de aprendizaje nacionales.
Tabla N° 2: Escala estimativa de calificaciones según la LOEI
Escala cualitativa Escala cuantitativa
Supera los aprendizajes requeridos 10
Domina los aprendizajes requeridos 9
Alcanza los aprendizajes requeridos 7 – 8
Está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos 5 – 6
No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4
Fuente: LOEI
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
En la tabla se observa la relación entre dos columnas, en la primera columna se encuentra la
escala cualitativa con cinco parámetros según el rendimiento de los estudiantes; en la
segunda, la escala cuantitativa con el respectivo puntaje de acuerdo con cada denominación.
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Índice de promoción
El artículo 196 de la LOEI explica que: La calificación mínima requerida para la promoción,
en cualquier establecimiento educativo del país, es de siete sobre diez (7/10).
Índice de repitencia
Repitencia es el hecho por el cual el estudiante se ve obligado a cursar más de una vez un
grado o curso de los niveles educativos. Es un indicador de deficiencia escolar.
El hecho de perder el año trae consigo secuelas tanto para los padres como para los hijos; en
el caso de los primeros, éstos pueden experimentar de cierta forma frustración ya que ven
defraudadas las expectativas sobre el futuro de sus hijos. Por su parte, la mayoría de niños y
jóvenes pueden reaccionar con sentimiento de inconformidad, impotencia, rabia, tristeza,
temor y pérdida del autoestima.
Perder el año afecta no solo en el sentido psicológico a sus involucrados, sino también
pérdida de tiempo, de energía y de inversión económica al no cumplir con las metas
propuestas al finalizar un periodo escolar o una carrera.
Según la tabla N° 2 de la escala estimativa de calificaciones de la LOEI, los estudiantes que
no alcanzan los aprendizajes requeridos en la escala cualitativa son los que alcancen una
calificación de 4 o menos en la escala cuantitativa, por tanto, deberán repetir el año o nivel en
el que se encuentren matriculados.
Índice de deserción
Es aquella situación en la que el alumno luego de haber iniciado un periodo escolar, decide
retirarse del mismo, ya sea por un proceso acumulativo de factores que incidan en el proceso
de separación o por retiro de forma voluntaria por aspectos ajenos a las normativas de la
institución que lo acoge, sin haber terminado el periodo o ciclo.
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2.3. Definición de términos básicos
Constructivismo: Para Espada y Fernández (2009), Constructivismo es: “Un paradigma
ampliamente desarrollado desde la psicología. Es un modelo de intervención que utiliza el
psicólogo educativo para trabajar en el ámbito educacional y en la que el estudiante es el
protagonista central de éste proceso”.
Estrategia: Kenneth (1965), señala: “Estrategia es el patrón de los objetivos, propósitos o
metas y las políticas y planes esenciales para conseguir dichas metas”.
Modelo educativo: Flórez (2000), afirma que: “Un modelo educativo es la
representación de las relaciones que predominan en el acto de enseñar”.
Técnica: Actividades específicas que llevan a cabo los estudiantes cuando aprenden,
pueden ser: repetición, subrayar, realizar preguntas, deducir, inducir, etc. Pueden ser
utilizadas de forma mecánica. (Doc. Aprender a aprender – Estrategias de aprendizaje).
Rendimiento académico: Para Edel (2003). El rendimiento académico es: “Un nivel de
conocimientos demostrados en un área o materia comparado con la norma de edad o
nivel”.
Enseñanza: Nérici (1992), menciona: “La enseñanza en consecuencia, no es más que la
acción del profesor con relación a la dirección del aprendizaje”.
Aprendizaje: Para Haro, M. y Méndez, A. Aprendizaje es: “Proceso de adquisición de
determinados conceptos que provocan conocimientos, competencias, habilidades o
aptitudes por medio del estudio o de la experiencia”.
Método didáctico: Carrasco (2004), lo define como “La organización racional y práctica
de los medios, técnicas y procedimientos de enseñanza para dirigir el aprendizaje de los
estudiantes hacia los resultados deseados”.
Pedagogía: Etimológicamente, la palabra pedagogía deriva del griego paidos que
significa niño y agein que significa guiar, conducir. Se llama pedagogo a todo aquel que
se encarga de instruir a los niños. Inicialmente en Roma y Grecia, se llamó pedagogo a
aquellos que se encargaban de llevar a pasear a animales, luego se le llamó asó al que
sacaba a pasear a los niños al campo y por ende se encargaba de educarlos (UPAEP
2004).
Evaluación: De acuerdo con (Diccionario pedagógico AMEI – WAECE, 2003). “Es un
proceso continuo, sistemático y flexible que se orienta a seguir la evolución de los
procesos de desarrollo de los niños y a la toma de las decisiones necesarias para adecuar
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el diseño del proceso educativo y el desarrollo de la acción educativa a las necesidades y
logros detectados en los niños en sus procesos de aprendizaje”.
Informática: Konrad, Z. (1992) define a la informática como: “Conjunto de
conocimientos técnicos que se ocupan del tratamiento automático de la información por
medio de computadoras”.
Software: Es el conjunto de programas, instrucciones y reglas informáticas para ejecutar
ciertas tareas en una computadora. (Diccionario de la Real Academia Española, 2014)
K-bruch: De acuerdo con el documento de ayuda de k-bruch, manual oficial. “Es un
programa informático para el entorno de ventanas KDE, cuyas funciones permiten
practicar cálculos con fracciones”,
Multimedia: Belloch (s. f), menciona: “Actualmente, el término multimedia hace
referencia al uso combinado de diferentes medios de comunicación: texto, imagen,
sonido, animación y video”.
2.4. Fundamentación legal
La presente investigación se fundamenta legalmente en La Constitución de la República
(2008), la Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI y en la Ley del Consejo Nacional
de Educación Superior, considerando los siguientes artículos en su respaldo:
Constitución de la República (2008)
Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en
el marco del respeto a los derechos humanos, al medio ambiente sustentable y a la
democracia; será participativa, obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de
calidad y calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz;
estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y
el desarrollo de competencias y capacidades para crear y trabajar.
La educación es indispensable para el conocimiento, el ejercicio de los derechos y la
construcción de un país soberano, y constituye un eje estratégico para el desarrollo nacional.
Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de
capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población, que posibiliten el
aprendizaje y la generación y utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura.
50
El sistema tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y
dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.
El sistema nacional de educación integrará una visión intercultural acorde con la diversidad
geográfica, cultural y lingüística del país, y el respeto a los derechos de las comunidades,
pueblos y nacionalidades.
Ley Orgánica de Educación Superior (LOES)
Art. 3.- Fines de la Educación Superior.- La educación superior de carácter humanista,
cultural y científica constituye un derecho de las personas y un bien público social que, de
conformidad con la Constitución de la República, responderá al interés público y no estará al
servicio de intereses individuales y corporativos.
Art. 4.- Derecho a la Educación Superior.- El derecho a la educación superior consiste en el
ejercicio efectivo de la igualdad de oportunidades, en función de los méritos respectivos, a fin
de acceder a una formación académica y profesional con producción de conocimiento
pertinente y de excelencia.
Las ciudadanas y los ciudadanos en forma individual y colectiva, las comunidades, pueblos y
nacionalidades tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso educativo
superior a través de los mecanismos establecidos en la Constitución y esta Ley.
Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI)
Art. 3.- Fines de la educación.- son fines de la educación:
Literal a.- El desarrollo pleno de la personalidad de las y los estudiantes, que contribuya a
lograr el conocimiento y ejercicio de sus derechos, el cumplimiento de sus obligaciones, el
desarrollo de una cultura de paz entre los pueblos y de no violencia entre las personas, y una
convivencia social intercultural, plurinacional, democrática y solidaria.
Literal b.- El fortalecimiento y la potencialización de la educación para contribuir al cuidado
y preservación de las identidades conforme a la diversidad cultural y las particularidades
metodológicas de enseñanza, desde el nivel inicial hasta el nivel superior, bajo criterios de
calidad.
51
Literal g.- La contribución al desarrollo integral, autónomo, sostenible e independiente de las
personas para garantizar la plena realización individual, y la realización colectiva que permita
en el marco del Buen Vivir o Sumak Kawsay.
Art. 4.- Derecho a la educación.- La educación es un derecho humano fundamental
garantizado en la Constitución de la República y condición necesaria para la realización de
los otros derechos humanos.
Son titulares del derecho a la educación de calidad, laica, libre y gratuita en los niveles
inicial, básico y bachillerato, así como a una educación permanente a lo largo de la vida,
formal y no formal, todos los y las habitantes del Ecuador.
El Sistema Nacional de Educación profundizará y garantizará el pleno ejercicio de los
derechos y garantías constitucionales.
2.5. Caracterización de variables
La presente investigación trata sobre la incidencia del programa k-bruch en la enseñanza de
operaciones con fracciones con los estudiantes de noveno año de Educación General Básica
de la Unidad Educativa “Emaús” de la ciudad de Quito, durante el año lectivo 2016 – 2017.
En el cual se han identificado las siguientes variables:
Variable independiente: Uso del programa k-bruch
El programa k-bruch permite realizar cálculos de operaciones con fracciones, además permite
factorizar, realizar conversiones y comparaciones entre dos o más fracciones. La ventaja de
usar este programa es que reduce el tiempo de cálculo y ejercita la agilidad mental.
Variable dependiente: Rendimiento académico
El rendimiento académico es el resultado alcanzado por el estudiante al finalizar un periodo,
nivel, ciclo o proceso educativo y valorado por un docente. En dicho proceso, los
involucrados pueden darse cuenta si se alcanzaron o no las metas y objetivos propuestos al
iniciar el mismo.
52
CAPÍTULO III
3. METODOLOGÍA
3.1. Diseño de la investigación
3.1.1. Enfoque de la investigación
Esta investigación utiliza el enfoque cuantitativo ya que se lo puede evidenciar en las notas
tanto del grupo experimental como del grupo de control y la influencia del programa en las
mismas, y cualitativo, al momento de verificar si los estudiantes de los dos grupos alcanzaron
los aprendizajes requeridos.
El enfoque cuantitativo utiliza la numeración para señalar las características de una población
o muestra de acuerdo con la siguiente cita:
El enfoque cuantitativo utiliza la recolección y el análisis de datos para contestar
preguntas de investigación y probar hipótesis establecidas previamente, y confía en la
medición numérica, el conteo y frecuentemente en el uso de la estadística para
establecer con exactitud patrones de comportamiento en una población (Hernández, et
al. 2003).
Por otra parte la investigación cualitativa utiliza variables cualitativas, por tanto, Armijos, J.
(2010), menciona “variables cualitativas son aquellas que producen datos cuya descripción
puede hacerse mediante palabras, por ejemplo, el estado civil de una persona: soltero”.
Strauss y Corbin (2002), mencionan: “Con el término, investigación cualitativa, entendemos
cualquier tipo de investigación que produce hallazgos a los que no se llega por medio de
procedimientos estadísticos u otros medios de cuantificación”.
Para Ackerman, E. y Com, S. (2013), “La investigación cualitativa recaba datos sin emplear
necesariamente matrices estadísticas y, por lo tanto, sin la necesidad de números para
sostener el desarrollo y las conclusiones respecto de lo investigado”.
Por lo anteriormente citado se puede concluir que la investigación cualitativa señala
cualidades más no cantidades.
53
3.1.2. Modalidad del trabajo de grado
En el presente trabajo de investigación se aplicó la modalidad socio-educativa, en la que
(Martínez Sánchez 1995), citado por Sánchez, J. menciona que:
La práctica socioeducativa se caracteriza por ser provisional, cambiante, dinámica, y
con una clara tendencia a hacerse innecesaria ya que se dirige a la superación de
deficiencias, problemas y dificultades propias del desarrollo social. Asimismo, viene
determinada por el sujeto al que se dirige y por el modelo que se adopta a partir de lo
que la investigación avala mediante evidencias empíricas sólidas, intentando superar
una intervención basada en supuestos sin avales significativos sometidos a rigor
científico.
3.1.3. Nivel de profundidad de la investigación
El nivel que se desea alcanzar en esta investigación es exploratoria, descriptiva y
correlacional.
En relación a la investigación exploratoria, Garcés, (2000), menciona: “La investigación
exploratoria permite ponernos en contacto con la realidad que investigamos y nos da la
oportunidad de explorar un determinado problema y plantear posibles soluciones, pasar de
una investigación de nivel inferior a una investigación más profunda y sistemática”.
Sierra (2012), haciendo referencia a la investigación descriptiva indica: “En ella se destacan
las características o rasgos de la situación, fenómeno u objeto de estudio y su función
principal es la capacidad para seleccionar las características fundamentales del objeto de
estudio”.
Hernández, R. (1991), en cuanto a la investigación correlacional indica: “Este tipo de estudio
tiene como propósito medir el grado de relación que existe entre dos o más conceptos o
variables, mide cada una de ellas y después, cuantifica y analiza la vinculación. Tales
correlaciones se sustentan en hipótesis sometidas a prueba”.
54
3.1.4. Tipo de investigación
La presente investigación utilizará el diseño cuasi-experimental, ya que se trabajó con un
grupo experimental y otro grupo de control
Kirk (Como citó Núñez, I. 2012), afirma que:
Los diseños cuasi-experimentales son similares a los experimentos excepto en que los
sujetos no se asignan aleatoriamente a la variable independiente. Se trata de diseños
que se utilizan cuando la asignación aleatoria no es posible o cuando por razones
prácticas o éticas se recurre al uso de grupos naturales o pre existentes como, por
ejemplo, sujetos con una determinada enfermedad o sujetos que han sido sometidos a
abuso sexual (p.6).
Se utilizó además la investigación documental o bibliográfica debido a que se recabó
información de libros, revistas e tesis para la realización de la fundamentación teórica de la
presente investigación.
Y la investigación netgráfica ya que se utilizó páginas de internet con información confiable
y formatos pdf.
3.1.5. Pasos para el desarrollo de la investigación
Aprobación del tema a investigarse.
Elaboración y validación del texto base
Elaboración y validación de los instrumentos de evaluación.
Pilotaje de los instrumentos de evaluación.
Estudio de confiabilidad y tabulación de resultados.
Ejecución de la experimentación aplicando el programa k-bruch.
Aplicación de los instrumentos de evaluación.
Tabulación y análisis de resultados.
Conclusiones y recomendaciones.
Presentación del informe final del proyecto.
55
3.2. Población y muestra
3.2.1. Población
Armijos, J. (2010), menciona: “El término población se refiere a la totalidad de
observaciones, datos o medidas que se consideren en una situación dada”.
Para esta investigación se tomó como población a los estudiantes de noveno año de educación
general básica de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría con un total de 59
estudiantes.
Tabla N° 3: Población
Población N° de estudiantes
Grupo experimental 29
Grupo de control 30
Total 59
Fuente: Secretaría de la Institución
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
3.2.2. Muestra
Hernández y otros (1991), definen a la muestra como un subgrupo o subconjunto de la
población, de la cual se ha definido sus características. Dicho subconjunto debe ser un reflejo
fiel de toda la población, es decir debe ser representativa.
Para Armijos, J. (2010), la muestra es un subconjunto de una población. Una muestra es
representativa cuando los elementos son seleccionados de tal forma que pongan de manifiesto
las características de una población. Su característica más importante es la representatividad.
La selección de los elementos que conforman una muestra pueden ser realizados de forma
probabilística o aleatoria (al azar), o no probabilística (p. 7).
La población considerada está orientada a los estudiantes de noveno año de educación básica
y, la misma es limitada, razón por la cual ésta investigación no utiliza la técnica del muestreo.
56
3.3. Operacionalización de variables
Para Hernández, L. y otros (2011), “La Operacionalización de las variables consiste en
sustituir unas variables por otras más concretas, describiendo las operaciones que hay que
realizar para medirlas, convirtiéndolas en indicadores observables y cuantificables”.
En otras palabras y de acuerdo con lo anteriormente citado, la Operacionalización de las
variables es un procedimiento que permite pasar del plano teórico a lo práctico.
57
Tabla N° 4: Operacionalización de las variables
VARIABLE DIMENSIÓN INDICADORES EVALUACIÓN
Ind
epen
die
nte
Programa k-bruch
Aplicación en la
enseñanza de
operaciones con
fracciones
Números
fraccionarios,
fracciones con
signo, fracciones
equivalentes
Ejercicios pág. 8
Orden y
comparación de
fracciones
Ejercicios pág. 13
Adición,
sustracción,
multiplicación y
división
Ejercicios pág. 19
Operaciones
combinadas
Ejercicios pág. 23
Potenciación y
radicación de
fracciones
Ejercicios pág. 32
Expresión
decimal de una
fracción
Ejercicios pág. 36
Fracción
generatriz de un
número decimal
Ejercicios pág. 37
VARIABLE DIMENSIÓN INDICADORES INSTRUMENT
O
Dep
end
ien
te
Rendimiento
académico
Evaluación
diagnóstica
Conceptos
básicos
N°1
Evaluación
formativa 1
Fracciones
positivas y
N°2
58
negativas, orden y
comparación de
fracciones
Evaluación
formativa 2
Suma, resta,
multiplicación y
división de
fracciones
N°3
Evaluación
formativa 3
Potenciación y
radicación,
relación entre las
fracciones y los
decimales
N°4
Evaluación
sumativa
Operaciones
combinadas con
fracciones
N°5
Fuente: Operacionalización de variables
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).
3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos
Según Sánchez (2012), “Las técnicas experimentales las podemos considerar divididas en dos
amplios grupos. Aquellas que se refieren al proceso o procesos que vamos a seguir para
obtener respuestas del fenómeno que estamos estudiando y las relaciones con el análisis de
los diferentes parámetros que nos interesa conocer en la respuesta dada”.
Para Sabino, C. (1992), “Un instrumento de recolección de datos es, en principio, cualquier
recurso de que se vale el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos
información”.
Las técnicas e instrumentos de recolección de datos no es otra cosa que las formas que puede
utilizar el investigador para obtener información mediante la aplicación de instrumentos. En
el caso de ésta investigación el instrumento que se utilizó fueron las pruebas objetivas
aplicadas tanto al grupo experimental como al grupo de control.
59
Las evaluaciones que se utilizó en el presente proyecto fueron: diagnóstica, formativa y
sumativa, todas ellas de carácter objetivo y de base estructurada.
3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de evaluación
3.5.1. Validez
Para Hernández, R. y Fernández, C. (1991), “La validez, en términos generales, se refiere al
grado en que un instrumento realmente mide la variable que pretende medir”.
Para esta investigación, la validez permite determinar si los instrumentos de evaluación y el
texto base son válidos y coherentes para poder realizar la misma. La validación del texto base
y de los instrumentos de evaluación se realizó por tres expertos: dos en el área de Matemática
y uno en el área de Lengua y Literatura, cabe mencionar que para los instrumentos de
evaluación se tomó en cuenta tres parámetros para su validación:
(A) Calidad técnica y representatividad.
(B) Correspondencia del conjunto de contenidos.
(C) Lenguaje y Literatura.
Tabla N° 5: Validez del Texto Base
NOMBRE DEL
EVALUADOR
LUGAR DE TRABAJO CARGO PUNTAJE
OBTENIDO
MSc. Carrera William Universidad Central del
Ecuador, Facultad de
Filosofía, Carrerad de
Matemática y Física
Profesor de
Matemática
82
MSc. Coronel Milton Universidad Central del
Ecuador, Facultad de
Filosofía, Carrerad de
Matemática y Física
Profesor de
Matemática
100
Lcda. Lamiña Mayra Unidad Educativa “Emaús”
de Fe y Alegría
Profesora de
Matemática
92
Fuente: Documento de validación del Texto Base
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
60
Tabla N° 6: Validez de los instrumentos de evaluación
NOMBRE DEL
EVALUADOR
LUGAR DE
TRABAJO
CARGO ÁREA CATEGORÍA
MSc.
Coronel Milton
Universidad
Central del
Ecuador, Facultad
de Filosofía,
Carrerad de
Matemática y
Física
Profesor de
Matemática
Matemátca
B
Lcda.
Lamiña Mayra
Unidad Educativa
“Emaús” de Fe y
Alegría
Profesora de
Matemática
Matemática
A
Lcdo.
Henry Quingatuña
Unidad Educativa
“Emaús” de Fe y
Alegría
Profesor de
Lengua y
Literatura
Lengua y
Literatura
C
Fuente: Documento de validación instrumento de evaluación
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
3.5.2. Confiabilidad
Para Hernández, R. y Fernández, C. (1991), “La confiabilidad de un instrumento de medición
se refiere al grado en que su aplicación repetida al mismo sujeto u objeto produce resultados
iguales”.
En consideración a lo anteriormente citado, se puede decir que los instrumentos que se
aplicaron tienen una confiabilidad cualitativa, dada por los expertos que validaron el
instrumento y una confiabilidad cuantitativa que se obtuvo a través de los resultados del alpha
de Cronbach.
61
Cálculo de la confiabilidad de los instrumentos de evaluación
Para el análisis del alpha de crombach se utilizó la siguiente nomenclatura:
𝑛 = Número de ítem.
∑ = Sumatoria.
𝑥 = Ítem.
𝛿 = Desviación Típica
�̅� =Media aritmética.
ɤ𝐷 = Diferencia de desviaciones estándar o típica.
ɤ𝑇 =Desviación estándar o típica total.
∝= Alfa de Cronbach.
Evaluación diagnóstica
Tabla N° 7: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica.
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 8 2,17 4,69
2 5 1,33
3 4 1,83 3,36
4 9 2,67 7,11
5 6 0,17 0,03
6 6 0,33 0,11
7 4 1,83 3,36
8 9 2,67 7,11
9 7 1,17 1,36
10 6 0,33
11 6 0,17 0,03
12 3 3,33 11,11
∑ 35 12,83 38
25,44
Fuente: Evaluación diagnóstica
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
62
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación diagnóstico)
Número de ítem: n = 6
1. Cálculo de la media aritmética:
𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =35
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,83
𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =38
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 6,33
2. Cálculo de la desviación típica:
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √12,83
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,46
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2
𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √25,44
6
𝛿𝑝𝑎𝑟 = 2,06
3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 2,06 − 1,46
𝛾𝐷 = 0,60
4. Cálculo de la desviación típica total:
𝛾𝑇 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
63
𝛾𝑇 = √12,83 + 25,44
12
𝛾𝑇 = 1,79
5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Crombach
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,356
3,19
𝛼 = 0,888
Evaluación formativa 1
Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 1
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 0,83 0,69
2 9 4,00 16,00
3 8 1,83 3,36
4 4 1,00 1,00
5 4 2,17 4,69
6 5 0,00 0,00
7 5 1,17 1,36
8 3 2,00 4,00
9 7 0,83 0,69
10 5 0,00 0,00
11 6 0,17 0,03
12 4 1,00 1,00
∑ 37 10,83 30
22,00
Fuente: Evaluación formativa 1
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
64
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa1)
Número de ítem: n = 6
1. Cálculo de la media aritmética:
𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =37
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 6,17
𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =30
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00
2. Cálculo de la desviación típica:
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √10,83
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,34
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2
𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √22,00
𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,91
3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,91 − 1,34
𝛾𝐷 = 0,57
4. Cálculo de la desviación típica total:
𝛾𝑇 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √10,83 + 22,00
12
𝛾𝑇 = 1,65
65
5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Cronbach:
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,326
2,74
𝛼 = 0,881
Evaluación formativa 2
Tabla N° 9: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 2
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 5 0,67 0,44
2 8 2,17 4,69
3 9 3,33 11,11
4 6 0,17 0,03
5 4 1,67 2,78
6 5 0,83 0,69
7 6 0,33 0,11
8 4 1,83 3,36
9 5 0,67 0,44
10 6 0,17 0,03
11 5 0,67 0,44
12 6 0,17 0,03
∑ 34
15,33 35
8,83
Fuente: Evaluación formativa 2
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa 2)
Número de ítem: n = 6
1. Cálculo de la media aritmética
𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =34
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,67
𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =35
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,83
66
2. Cálculo de la desviación típica:
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √15,33
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,60
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2
𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √8,83
6
𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,21
3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,21 − 1,60
𝛾𝐷 = −0,39
4. Cálculo de la desviación típica total:
𝛾𝑇 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √15, 33 + 8,83
12
𝛾𝑇 = 1,42
5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Cronbach:
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,148
2,01
𝛼 = 0,926
67
Evaluación formativa 3
Tabla N° 10: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 3
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 0,83 0,69
2 4 1,00 1,00
3 5 1,17 1,36
4 6 1,00 1,00
5 7 0,83 0,69
6 7 2,00 4,00
7 7 0,83
8 5 0,00 0,00
9 6 0,17 0,03
10 4 1,00 1,00
11 5 1,17 1,36
12 4 1,00 1,00
∑ 37 4,14 30
8,00
Fuente: Evaluación formativa 3
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa 3)
Número de ítem: n = 6
1. Cálculo de la media aritmética.
𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =37
6
𝑖𝑚𝑝 = 6,17
𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =30
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00
68
2. Cálculo de la desviación típica:
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √4,14
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 0,83
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2
𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √8,00
6
𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,15
3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,15 − 0,83
𝛾𝐷 = 0,32
4. Cálculo de la desviación típica total:
𝛾𝑇 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √4,14 + 8,00
12
𝛾𝑇 = 1,01
5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Cronbach:
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,115
1,01
𝛼 = 0,896
69
Evaluación sumativa
Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación sumativa
Item Aciertos Aciertos
Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2
1 7 1,67 2,78
2 8 3,00 9,00
3 4 1,33 1,78
4 4 1,00 1,00
5 5 0,33 0,11
6 5 0,00 0,00
7 3 2,33
8 4 1,00 1,00
9 5 0,33 0,11
10 3 2,00 4,00
11 8 2,67 7,11
12 6 1,00 1,00
∑ 32 11,89 30
16,00
Fuente: Evaluación sumativa
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación sumativa)
Número de ítem: n = 6
1. Cálculo de la media aritmética:
𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =32
6
𝑖𝑚𝑝 = 5,33
𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝑋𝑖𝑚𝑝 =30
6
𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00
70
2. Cálculo de la desviación típica:
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝
𝑛
𝛿𝑖𝑚𝑝 = √11,89
6
𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,41
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2
𝑝𝑎𝑟
𝑛
𝛿𝑝𝑎𝑟 = √16,00
6
𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,63
3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:
𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝
𝛾𝐷 = 1,63 − 1,41
𝛾𝐷 = 0,23
4. Cálculo de la desviación típica total:
𝛾𝑇 = √∑𝑋2
𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟
2𝑛
𝛾𝑇 = √11,89 + 16,00
12
𝛾𝑇 = 1,52
5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Cronbach:
𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)
2
(𝛾𝑇)2
𝛼 = 1 −0,051
2,32
𝛼 = 0,978
71
Criterio de confiabilidad
Para Hernández, Fernández y Baptista (2010), “Requiere de una sola administración del
instrumento de medición y produce valores que oscila entre cero y uno”.
La escala de valores que determina la confiabilidad está dada por las siguientes cantidades:
Tabla N° 12: Niveles de confiabilidad
CONFIABILIDAD ESCALA
CONFIABILIDAD LIGERA < 0,20
CONFIABILIDAD BAJA 0.21 a 0.40
CONFIABILIDAD MODERADA 0.41 a 0.70
CONFIABILIDAD ALTA 0.71 a 0.90
CONFIABILIDAD MUY ALTA 0.91 a 1,00
Fuente: Metodología de la investigación
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Como se puede observar en la tabla, los valores, mientras más se acercan a uno, la
confiabilidad será mayor.
Una vez procesados los resultados de las cinco evaluaciones, se obtuvieron los siguientes
datos:
Tabla N° 13: Interpretación de resultados
Instrumento Puntuación Nivel de confiabilidad
Prueba diagnóstica 0,888 Confiabilidad alta
Prueba formativa 1 0,881 Confiabilidad alta
Prueba formativa 2 0,926 Confiabilidad muy alta
Prueba formativa 3 0,896 Confiabilidad alta
Prueba sumativa 0,978 Confiabilidad muy alta
Fuente: Tabulación de evaluaciones
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
De acuerdo con Hernández y por los resultados obtenidos en el anterior análisis se puede
concluir que los instrumentos de evaluación son confiables.
72
CAPÍTULO IV
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los estudiantes:
Luego de haber aplicado los instrumentos de evaluación, tabulado y organizado la
información, se presentan en base a la interpretación de medidas descriptivas tales como:
distribución de frecuencia, porcentajes, media aritmética, desviación típica y varianza.
Se tomó en consideración los siguientes pasos:
Se determinó la calificación adecuada en cada uno de los ítems, según el nivel de
dificultad.
Se organizó la información de cada una de las calificaciones obtenidas tanto por el
grupo experimental como el grupo de control en tablas de información.
Se procesó toda la información recopilada de los instrumentos de evaluación mediante
el programa informático Excel y, se elaboró las tablas de frecuencias y los respectivos
cálculos como son media aritmética y la desviación estándar.
Se analizaron los datos obtenidos en términos descriptivos, con el fin de interpretarlos
y responder a los objetivos planteados en la investigación.
Se eligió la prueba estadística de distribución normal Z. Para la prueba de hipótesis
esta distribución se denota con Zt o simplemente Z al valor crítico que separa las áreas
de rechazo y aceptación de la hipótesis nula. En un ensayo a dos colas, para un nivel
de significación del 5%, 𝛼 = 0,05.
73
Evaluación N° 1
TEMA: Evaluación diagnóstica
Tabla N° 14: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo experimental
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) x.f
1 0,8 2 1,7
2 1,7 1 1,7
3 2,5 3 7,5
4 3,3 4 13,3
5 4,2 6 25,0
6 5,0 5 25,0
7 5,8 4 23,3
8 6,7 3 20,0
9 7,5 1 7,5
10 8,3 0 0,0
11 9,2 0 0,0
12 10,0 0 0,0
∑f = 29 ∑x.f = 125
Fuente: Evaluación diagnóstica
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 15: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo de control
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) f.x
1 0,8 1 0,8
2 1,7 2 3,3
3 2,5 4 10,0
4 3,3 4 13,3
5 4,2 8 33,3
6 5,0 5 25,0
7 5,8 3 17,5
8 6,7 2 13,3
9 7,5 1 7,5
10 8,3 0 0,0
11 9,2 0 0,0
12 10,0 0 0,0
∑f = 30 ∑f.x = 124,2
Fuente: Evaluación diagnóstica
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P
74
Para el análisis pertinente se toma en cuenta la siguiente nomenclatura
𝜎 = Desviación típica.
∑f = Sumatoria de las frecuencias.
N = Número total de casos.
∑x = Sumatoria de las variables (calificaciones).
n = Número total de datos.
Cálculo de la media aritmética:
Grupo experimental Grupo de control
𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒
=125
29= 4,3
𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐
=124,2
30= 4,1
Gráfico N° 12: Media aritmética de la evaluación diagnóstica
Fuente: Evaluación diagnóstica
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
4,3 4,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Experimental Control
C
a
l
i
f
i
c
a
c
i
o
n
e
s
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
Experimental
Control
75
La media aritmética de la evaluación diagnóstica del grupo experimental y del grupo de
control es de 4,3/10 y 4,1/10 respectivamente por lo que se puede observar que existe una
diferencia de 0,2 décimas, motivo por el cual se puede concluir que los dos grupos poseen los
mismos prerrequisitos para empezar con el estudio de operaciones con fracciones.
76
Evaluación N° 2
TEMA: Evaluación formativa 1
Tabla N° 16: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo experimental
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) f.x 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0
2 1,7 0 0,0 2,8 0
3 2,5 1 2,5 6,3 6,3
4 3,3 3 10,0 11,1 33,3
5 4,2 2 8,3 17,4 34,7
6 5,0 3 15,0 25,0 75,0
7 5,8 8 46,7 34,0 272,2
8 6,7 3 20,0 44,4 133,3
9 7,5 1 7,5 56,3 56,3
10 8,3 4 33,3 69,4 277,8
11 9,2 2 18,3 84,0 168,1
12 10,0 2 20,0 100,0 200,0
∑ f = 29 ∑f,x =181,7
∑𝑓. 𝑥2 =1256,9
Fuente: Evaluación formativa 1
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 17: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo de control
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0,0
2 1,7 2 3,3 2,8 5,6
3 2,5 3 7,5 6,3 18,8
4 3,3 5 16,7 11,1 55,6
5 4,2 2 8,3 17,4 34,7
6 5,0 5 25,0 25,0 125,0
7 5,8 4 23,3 34,0 136,1
8 6,7 5 33,3 44,4 222,2
9 7,5 3 22,5 56,3 168,8
10 8,3 0 0,0 69,4 0,0
11 9,2 1 9,2 84,0 84,0
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑ f = 30 ∑x.f = 149,2
∑𝑓. 𝑥2 = 850,7
Fuente: Evaluación formativa 1
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
77
1. Cálculo de la media aritmética:
Grupo experimental Grupo de control
𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒
=181,7
29= 6,3
𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐
=149,2
30= 5,0
2. Cálculo de la desviación típica:
Grupo experimental Grupo de control
𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑒 = √1256,9
29−6,32
𝜎𝑒 = √3,65
𝜎𝑒 = 1,91
𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑐 = √850,7
30−52
𝜎𝑐 = √3,36
𝜎𝑐 = 1,83
78
Gráfico N° 13: Media aritmética de la evaluación formativa 1
Fuente: Evaluación formativa 1
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Se puede observar que el promedio obtenido por el grupo experimental es de 6,3/10 de
rendimiento y el promedio del grupo de control es de 5,0/10 de rendimiento; como
conclusión, el grupo en el cual se aplicó el programa informático obtuvo mejor rendimiento
académico.
6,3
5,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Experimental Control
C
a
l
i
f
i
c
a
c
i
o
n
e
s
Evaluación Formativa 1
Experimental
Control
79
Evaluación N° 3
TEMA: Evaluación formativa 2
Tabla N° 18: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo experimental.
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0
2 1,7 0 0,0 2,8 0
3 2,5 2 5,0 6,3 12,5
4 3,3 0 0,0 11,1 0,0
5 4,2 3 12,5 17,4 52,1
6 5,0 5 25,0 25,0 125,0
7 5,8 5 29,2 34,0 170,1
8 6,7 4 26,7 44,4 177,8
9 7,5 5 37,5 56,3 281,3
10 8,3 3 25,0 69,4 208,3
11 9,2 1 9,2 84,0 84,0
12 10,0 1 10,0 100,0 100,0
∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 180,0 ∑𝑓. 𝑥2 = 1211,1
Fuente: Evaluación formativa 2
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 19: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo de control
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 1 0,8 0,7 0,7
2 1,7 0 0,0 2,8 0,0
3 2,5 0 5,0 6,3 0,0
4 3,3 2 10,0 11,1 22,2
5 4,2 3 33,3 17,4 52,1
6 5,0 8 30,0 25,0 200,0
7 5,8 6 23,3 34,0 204,2
8 6,7 4 13,3 44,4 177,8
9 7,5 2 30,0 56,3 112,5
10 8,3 4 0,0 69,4 277,8
11 9,2 0 0,0 84,0 0,0
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 145,8 ∑𝑓. 𝑥2 = 1047,2
Fuente: Evaluación formativa 2
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
80
1. Cálculo de la media aritmética
Grupo experimental Grupo de control
𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒
=180,0
29= 6,2
𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐
=145,8
30= 4,9
2. Cálculo de la desviación típica
Grupo experimental Grupo de control
𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑒 = √1211,1
29−6,22
𝜎𝑒 = √3,32
𝜎𝑒 = 1,82
𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑐 = √1047,2
30−4,92
𝜎𝑐 = √10,90
𝜎𝑐 = 3,30
81
Gráfico N° 14: Media aritmética de la evaluación formativa 2
Fuente: Evaluación formativa 2
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
El promedio que obtuvo el grupo experimental en la evaluación formativa 1 es de 6,2/10 y el
promedio del grupo de control es de 4,9/10 del rendimiento académico. Se puede observar
que el grupo experimental obtuvo un mejor rendimiento académico.
6,2
4,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Experimental Control
C
a
l
i
f
i
c
a
c
i
o
n
e
s
Evaluación Formativa 2
Experimental
Control
82
Evaluación N° 4
TEMA: Evaluación formativa 3
Tabla N° 20: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo experimental.
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0,0
2 1,7 0 0,0 2,8 0,0
3 2,5 0 0,0 6,3 0,0
4 3,3 4 13,3 11,1 44,4
5 4,2 2 8,3 17,4 34,7
6 5,0 3 15,0 25,0 75,0
7 5,8 8 46,7 34,0 272,2
8 6,7 4 26,7 44,4 177,8
9 7,5 6 45,0 56,3 337,5
10 8,3 2 16,7 69,4 138,9
11 9,2 0 0,0 84,0 0,0
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 171,7
∑𝑓. 𝑥2 = 1080,6
Fuente: Evaluación formativa 3
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 21: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo de control.
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0
2 1,7 0 0,0 2,8 0
3 2,5 0 0,0 6,3 0,0
4 3,3 2 6,7 11,1 22,2
5 4,2 1 4,2 17,4 17,4
6 5,0 3 15,0 25,0 75,0
7 5,8 5 29,2 34,0 170,1
8 6,7 3 20,0 44,4 133,3
9 7,5 6 45,0 56,3 337,5
10 8,3 6 50,0 69,4 416,7
11 9,2 4 36,7 84,0 336,1
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 206,7
∑𝑓. 𝑥2 = 1508,3
Fuente: Evaluación formativa 3
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
83
1. Cálculo de la media aritmética:
Grupo experimental Grupo de control
𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒
=171,7
29= 5,9
𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐
=206,7
30= 6,9
2. Cálculo de la desviación típica:
Grupo experimental Grupo de control
𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑒 = √1080,6
29−5,92
𝜎𝑒 = √2,45
𝜎𝑒 = 1, 57
𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑐 = √1508,3
30−6,92
𝜎𝑐 = √2,67
𝜎𝑐 = 1,63
84
Gráfico N° 15: Media aritmética de la evaluación formativa 3
Fuente: Evaluación formativa 3
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Se puede observar que el promedio de la evaluación formativa 3 del grupo de control es
mayor que el del grupo experimental 6,9/10 y 5,9/10 respectivamente; por lo tanto, en esta
evaluación tiene mejor rendimiento académico el grupo de control.
5,9
6,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Experimental Control
C
a
l
i
f
i
c
a
c
i
o
n
e
s
Evaluación Formativa 3
Experimental
Control
85
Evaluación N° 5
TEMA: Evaluación sumativa
Tabla N° 22: Resultados de la evaluación sumativa del grupo experimental
N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0
2 1,7 0 0,0 2,8 0
3 2,5 0 0,0 6,3 0,0
4 3,3 1 3,3 11,1 11,1
5 4,2 2 8,3 17,4 34,7
6 5,0 4 20,0 25,0 100,0
7 5,8 8 46,7 34,0 272,2
8 6,7 6 40,0 44,4 266,7
9 7,5 1 7,5 56,3 56,3
10 8,3 3 25,0 69,4 208,3
11 9,2 4 36,7 84,0 336,1
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 187,5
∑𝑓. 𝑥2 = 1285,4
Fuente: Evaluación sumativa
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 23: Resultados de la evaluación sumativa del grupo de control
N° Calificaciones (x) Frecuencia(f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐
1 0,8 0 0,0 0,7 0
2 1,7 0 0,0 2,8 0
3 2,5 1 2,5 6,3 6,3
4 3,3 3 10,0 11,1 33,3
5 4,2 2 8,3 17,4 34,7
6 5,0 6 30,0 25,0 150,0
7 5,8 2 11,7 34,0 68,1
8 6,7 5 33,3 44,4 222,2
9 7,5 8 60,0 56,3 450,0
10 8,3 2 16,7 69,4 138,9
11 9,2 1 9,2 84,0 84,0
12 10,0 0 0,0 100,0 0,0
∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 181,7
∑𝑓. 𝑥2 = 1187,5
Fuente: Evaluación sumativa
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
86
1. Cálculo de la media aritmética:
Grupo experimental Grupo de control
𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒
=187,5
29= 6,5
𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐
=181,7
30= 6,1
2. Cálculo de la desviación típica:
Grupo experimental Grupo de control
𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑒 = √1285,4
29−6,52
𝜎𝑒 = √2,07
𝜎𝑒 = 1, 44
𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2
𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅
2
𝜎𝑐 = √1187,5
30−6,12
𝜎𝑐 = √2,37
𝜎𝑐 = 1,54
87
Gráfico N° 16: Media aritmética de la evaluación sumativa
Fuente: Evaluación sumativa
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 6,5/10 y el promedio del grupo de
control es de 6,1/10, razón por la cual se puede concluir que el grupo experimental tiene
mejor rendimiento académico.
4.2. Análisis y prueba de hipótesis:
Hi: ce xx
A1: ce xx
A2: ce xx
Ho: ce xx
6,56,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Experimental Control
C
a
l
i
f
i
c
a
c
i
o
n
e
s
Evaluación Sumativa
Experimental
Control
88
Tabla N° 24: Registro de evaluaciones del grupo experimental
N° Evaluaciones Media Aritmética Desviación estándar
1 Evaluación 1 6,3 1,91
2 Evaluación 2 6,2 1,82
3 Evaluación 3 5,9 1,57
4 Evaluación sumativa 6,5 1,44
PROMEDIO GENERAL 6,2 1,69
Fuente: Instrumentos de evaluación
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Tabla N° 25: Registro de evaluaciones del grupo de control
N° Evaluaciones Media Aritmética Desviación estándar
1 Evaluación 1 5,0 1,83
2 Evaluación 2 4,9 3,30
3 Evaluación 3 6,9 1,63
4 Evaluación sumativa 6,1 1,54
PROMEDIO GENERAL 5,7 2,10
Fuente: Instrumentos de evaluación
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo:
Mediante el cálculo de la prueba paramétrica Z se rechaza la hipótesis nula si:
𝑧𝑐 < −𝑧𝑡; −𝑧𝑡 = −1,96 o también 𝑧𝑐 > 𝑧𝑡; 𝑧𝑡 = 1,96 donde zt es el valor teórico de Z
para un nivel de significación del 5%, 𝛼 = 0,05; es decir que la investigación tendrá un 95%
de confiabilidad; caso contrario se acepta la hipótesis de investigación con una de las dos
alternativas.
89
Cálculos con la prueba paramétrica Z:
2,6ex
7,5cx
69,1e
10,2c
29en
30cn
c
c
e
e
ce
nn
xxZc
22
30
41,4
29
86,2
7,52,6
Zc
50,0
50,0Zc
00,1Zc
4.2. Toma de decisión estadística
Al comparar el valor de Z calculado y el valor de Z teórico 𝑧𝑐 < 𝑧𝑡; 1,00 < 1,96. Podemos
observar que zc = 1,00 está en la zona de rechazo de la hipótesis de investigación; si se
compara la media aritmética, existe una diferencia: �̅�e = 6,2 y �̅�c = 5,7 ; es decir �̅�e > �̅�c por lo
que se puede afirmar que acepta la alternativa uno de la hipótesis de investigación.
En otras palabras, el uso del programa k-bruch influye en el rendimiento académico, pero no
lo mejora.
Gráfico N° 17: Valores de Z teórica y Z calculada.
Fuente: Cálculo de Z mediante el programa Geogebra.
Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.
Hi
90
CAPÍTULO V
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. Conclusiones
De acuerdo con los resultados obtenidos, se puede observar que Zc = 1,00 está en la zona de
aceptación de la hipótesis de investigación, lo cual nos lleva a rechazar la hipótesis nula Ho:
�̅�e = 𝑥 ̅c y aceptar la hipótesis de investigación Hi: �̅�e ≠ 𝑥 ̅c con la alternativa A1: 𝑥 ̅e > 𝑥 ̅c, es
decir el programa k-bruch si incide en el rendimiento académico de los estudiantes.
Se puede decir que al aplicar en el aula el programa K-bruch se observó una mayor
incentivación en los estudiantes, ya que es un programa nuevo e innovador el cual despertó el
interés por aprender matemática.
5.2. Recomendaciones
En base a la presente investigación y por las conclusiones obtenidas, se puede recomendar lo
siguiente:
1. Que los docentes adopten modernas metodologías y técnicas de enseñanza en las que se
incluyan las TIC, pero que las mismas deben estar acorde con los contenidos y con la
capacidad de los estudiantes.
2. Que las universidades, que son las encargadas de formar a los futuros profesionales,
incluyan en el proceso de enseñanza-aprendizaje el uso de herramientas científicas y
tecnológicas.
3. Que un docente no pierda su esencia y persiga siempre su fin que es el formar a personas
de bien.
4. Se recomienda usar el programa educativo k-bruch pero solo en el caso de suma, resta,
multiplicación y división de fracciones, ya que en contenidos más avanzados como es el
caso de operaciones combinadas con fracciones y fracciones complejas no es de gran
utilidad y los estudiantes comprenden con mayor facilidad la explicación del docente.
91
REFERENCIAS
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95
ANEXOS
ANEXOS
96
ANEXO N° 1: Designación de tutor para la realización del proyecto
97
ANEXO N° 2: Autorización de la Rectora de la Unidad Educativa Emaús de Fe y
Alegría para la realización del proyecto
98
ANEXO N° 3: Validación del documento base por parte de la Lcda. Mayra Lamiña,
docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
99
ANEXO N° 4: Validación del documento base por parte del MSC. William Carrera,
docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
100
101
ANEXO N° 5: Validación del documento base por parte del MSc. Milton Coronel
docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
102
103
ANEXO N° 6: Validación de instrumentos de evaluación diagnóstica por parte de la
Lcda. Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
104
ANEXO N° 7: Validación de la evaluación formativa 1 por parte de la Lcda. Viviana
Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
105
ANEXO N° 8: Validación de la evaluación formativa 2 por parte de la Lcda. Viviana
Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
106
ANEXO N° 9: Validación de la evaluación formativa 3 por parte de la Lcda. Viviana
Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
107
ANEXO N° 10: Validación de la evaluación sumativa por parte de la Lcda. Viviana
Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús
108
ANEXO N° 11: Validación de la evaluación diagnóstica por parte del MSc. Milton
Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y
Física
109
ANEXO N° 12: Validación de la prueba formativa 1 por parte del MSc. Milton Coronel,
docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
110
ANEXO N° 13: Validación de la prueba formativa 2 por parte del MSc. Milton Coronel,
docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
111
ANEXO N° 14: Validación de la prueba formativa 3 por parte del MSc. Milton Coronel,
docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
112
ANEXO N° 15: Validación de la sumativa por parte del MSc. Milton Coronel, docente
de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física
113
ANEXO N° 16: Validación prueba diagnóstica por parte del Lic. Henry Quingatuña,
docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús
114
ANEXO N° 17: Validación de la prueba formativa 1 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús
115
ANEXO N° 18: Validación de la prueba formativa 2 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús
116
ANEXO N° 19: Validación de la prueba formativa 3 por parte del Lic. Henry
Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús
117
ANEXO N° 20: Validación de la prueba sumativa por parte del Lic. Henry Quingatuña,
docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús
118
ANEXO N° 21: Nómina de estudiantes del grupo experimental
119
ANEXO N° 22: Nómina de estudiantes del grupo de control
120
ANEXO N° 23: Instrumentos de evaluación
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA
Apellidos y nombres:………………………………………………….
Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio
Plazarte
Fecha:…………………
INSTRUCCIONES:
Lea con atención cada pregunta.
Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.
Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo
una es la correcta
Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)
Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,
puedes responderla al final si te queda tiempo
1. El resultado de la operación: (−𝟑) + [−𝟓 + 𝟑 − (−𝟑 + 𝟒)] + (−𝟑) es:
A. 8 B. −8 C. 9 D. −9
2. Escoge el literal que completa la siguiente frase:
El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene ________valor absoluto.
El mayor de dos números enteros negativos es el que tiene _______ valor absoluto
A. Menor – menor B. menor – mayor C. mayor – menor D. mayor –
mayor
3. Si un submarino se encuentra a una profundidad de 215 m bajo el nivel del mar y
desciende hasta una profundidad de 465 m por debajo del nivel del mar. La
cantidad de metros que ha descendido es:
A. 680 m B. 250 m C. 350 m D. 780 m
4. Al resolver la operación: 𝟑
𝟗−
𝟏
𝟓+
𝟐
𝟒 se obtiene como resultado:
A. 17
20 B.
15
180 C.
4
8 D.
19
30
Instrumento de Diagnóstico
121
5. Los 𝟐
𝟓 de 1000 es:
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
6. Los tres siguientes términos que completan la sucesión −𝟏𝟓,−𝟏𝟐,−𝟗,−𝟔,… ,… ,… son:
A. −3; 1; 3 B. −3; 0; 3 C. 3; −1; 3 D. 3; 0; −3
7. En la prueba de 100 m planos de una competición atlética se han registrado las
siguientes marcas: 12 segundos, 9 segundos 85 centésimas, 10 segundos 95
centésimas, 10 segundos 30 centésimas, 10 segundos 5 centésimas. Teniendo en
cuenta que, el representante de Canadá ha sido el primero, España ha quedado en
penúltima posición, el representante de Panamá ha llegado a 2 segundos y 15
centésimas del primero, Ecuador ha quedado en segunda posición y el representante
estadounidense ha llegado 25 centésimas después de la marca 10 segundos 5
centésimas; el orden de llegada es:
A. 1° Ecuador, 2° Canadá, 3° España, 4° Panamá, 5° Estados Unidos
B. 1° Canadá, 2° Ecuador, 3° Panamá, 4° Estados Unidos, 5° España
C. 1° Canadá, 2° Ecuador, 3° Estados Unidos, 4° España, 5° Panamá
D. 1° Estados Unidos, 2° Ecuador, 3° España, 4° Panamá, 5° Canadá
8. Relaciona las cantidades con sus respectivas cifras:
1. Seis unidades y quince centésimas a. 0,16
2. Dos milésimas b. 1,406
3. Dieciséis centésimas c. 6,15
4. Una unidad, cuatrocientas seis milésimas d. 0,002
A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1b, 2d, 3c, 4a C. 1c, 2d, 3a, 4b D. 1d, 2c, 3a, 4b
9. El resultado de la operación 𝟐, 𝟓 𝐱 (𝟑𝟒 − 𝟏𝟎, 𝟓) − 𝟑 𝐱 (𝟐 − 𝟏, 𝟓 + 𝟐, 𝟕 𝐱 𝟏, 𝟐) es:
A. 37,53 B. 47,53 C. 57,55 D. 67,53
10. La frase “el doble de la suma de dos cantidades” simbólicamente es representado
por la expresión:
A. (𝑎 + 𝑏)2 B. 𝑎2 + 𝑏 C. 2(𝑎 + 𝑏) D. 𝑎3
11. Indica cuáles de las siguientes cartas contienen términos semejantes:
A. 1 y 2 B. 1 y 3 C. 3 y 4 D. 3 y 5
a + bc
1
3b2
2
2
3abc
3
3ab2
4
3abc
5
122
12. Los siguientes datos corresponde a las veces que han ido al cine durante el último
mes cada uno de los alumnos de una clase: 3, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 1, 2, 2, 0, 1.
El término medio o promedio de las veces que se han ido al cine los estudiantes es:
A. 1,5 B, 2,5 C. 3,5 D. 4,5
Flavio Plazarte Estudiante
DOCENTE
123
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA
Apellidos y nombres:………………………………………………….
Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio
Plazarte
Fecha:…………………
INSTRUCCIONES:
Lea con atención cada pregunta.
Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.
Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo
una es la correcta
Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)
Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,
puedes responderla al final si te queda tiempo
1. Una de las siguientes expresiones indica el número de partes en que se ha dividido la
unidad:
B. Línea de fracción C. Denominador
C. Numerador D. Residuo
2. La fracción irreducible equivalente a 𝟐𝟒
𝟏𝟒 es:
B. 48
24 B.
12
7 C.
3
2 D.
14
8
3. El número que completa el espacio de la expresión 𝟒
𝟓 de…...= 200 es:
B. 150 B. 250 C. 350 D. 450
4. La fracción equivalente a −𝟑
𝟕 con denominador 63 es:
B. 27
63 B.
24
−63 C. −
27
63 D.
−27
−63
Instrumento de evaluación Formativa 1
124
5. José ha tardado dos horas con treinta minutos en llegar de Quito a Riobamba. Si
durante el viaje se han perdido quince minutos debido a las paradas que ha hecho el
bus, la fracción del tiempo total que representan los minutos perdidos en las paradas
es:
B. 4
10 B.
3
10 C.
2
10 D.
1
10
6. La fracción irreducible de −𝟓𝟒
𝟕𝟐 es:
B. −9
12 B.
3
4 C.
9
12 D. −
3
4
7. Completa:
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es _______ la que tenga el _______
de mayor valor.
A. Mayor – denominador C. Mayor – numerador
B. Menor – numerador D. Igual – denominador
8. Al ordenar de mayor a menor 𝟑
𝟒 , −
𝟏
𝟒 ,
𝟏
𝟒 , −
𝟑
𝟒 , 𝟏 , −𝟏 , 𝟎 se obtiene
B. −1 < −3
4< −
1
4< 0 <
1
4<
3
4< 1 C. 1 <
3
4<
1
4< 0 < −
1
4< −
3
4< −1
C. −1 > −3
4> −
1
4> 0 >
1
4>
3
4> 1 D. 1 >
3
4>
1
4> 0 > −
1
4> −
3
4> −1
9. El m.c.m de las fracciones 𝟓
𝟏𝟐 𝐲
𝟑
𝟐𝟎 es:
B. 240 B. 20 C. 60 D. 32
10. Los cuatro meses del año es equivalente a
B. 1
2 B.
1
3 C.
2
3 D.
4
3
11. Indica cuáles de las siguientes cartas contienen fracciones equivalentes:
B. 1 y 2 B. 1 y 3 C. 3 y 4 D. 3 y 5
21
14
1
7
2
2
3
4
3
10
21
4
15
20
5
125
12. Al expresar 15 cm como fracción de metro, se obtiene:
B. 20
3 B.
3
20 C.
5
3 D.
3
5
Flavio Plazarte Estudiante
DOCENTE
126
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA
Apellidos y nombres:………………………………………………….
Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio
Plazarte
Fecha:…………………
INSTRUCCIONES:
Lea con atención cada pregunta.
Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.
Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo
una es la correcta
Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)
Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,
puedes responderla al final si te queda tiempo
1. La definición simbólica: Si 𝒂
𝒃,𝒄
𝒅∈ ℚ →
𝒂
𝒃+
𝒄
𝒅=
𝒄
𝒅+
𝒂
𝒃 corresponde a:
D. Propiedad asociativa C. Propiedad del opuesto
E. Propiedad modulativa D. Propiedad conmutativa
2. Selecciona el literal que completa la siguiente frase:
Para sumar o restar fracciones homogéneas, sumamos o restamos los _______ y
escribimos el mismo _______
C. Numeradores – numerador C. Numeradores – denominador
D. Denominadores – numerador D. denominadores – denominador
3. El resultado de la operación 𝟑
𝟕+
𝟐
𝟐𝟏−
𝟏
𝟏𝟒 es
C. 17
15 B.
19
42 C.
19
21 D. −
19
42
4. Al resolver 𝟓
𝟑(−𝟏𝟐
𝟕) +
𝟏
𝟐÷
𝟐
𝟑−
𝟓
𝟗 obtenemos:
C. 671
252 B.
173
36 C. −
173
36 D. −
671
252
Instrumento de evaluación Formativa 2
127
5. A continuación se presenta los pasos para resolver operaciones combinadas con
números fraccionarios: (1) resolvemos multiplicaciones y divisiones en el orden en
que aparecen, (2) Resolvemos paréntesis y corchetes, (3) Resolvemos sumas y restas.
El orden recomendable a seguir es:
C. (1), (2), (3) B. (2), (3), (1) C. (2), (1), (3) D. (3), (2), (1)
6. Diego bebió 𝟏
𝟕 de medio litro de helado. La fracción de litro de helado que bebió es:
C. 1
2 B.
1
4 C.
1
14 D.
3
14
7. Selecciona el literal que completa la siguiente frase:
La propiedad modulativa de la suma indica que, si sumamos _______a cualquier
número racional, obtenemos _______ número racional
C. Uno – el mismo C. Cero - otro
D. Uno – otro D. Cero – el mismo
8. Carmen ha comprado un pastel y lo reparte a tres personas de la siguiente manera:
a Diana 𝟏
𝟑, a Andrés
𝟑
𝟓 y a Gonzalo el resto. La cantidad de pastel que recibió
Gonzalo es:
D. 3
5 B.
2
15 C.
1
15 D.
2
5
9. Paúl sale a la calle con $ 40. En diversas compras se gasta las cuatro quintas partes
de ésta cantidad. La cantidad de dinero que le sobra es:
C. 32 B. 8 C. 28 D. 12
10. El resultado de (𝟑
𝟓+
𝟏
𝟑) .
𝟏
𝟐+
𝟑
𝟐 es:
C. 30
59 B.
59
30 C.
17
23 D.
23
17
11. Al resolver 𝟑 +𝟑
𝟏𝟒 +
𝟐
𝟕𝟑
𝟖 −
𝟏
𝟐
−𝟒
𝟗 se obtiene como resultado:
A. −13
9 B.
13
9 C. −
15
4 D.
15
4
128
12. Relaciona la propiedad con su definición:
1. Propiedad clausurativa a. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ →
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑐
𝑑+
𝑎
𝑏
2. Propiedad asociativa b. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑,𝑒
𝑓∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) +
𝑒
𝑓=
𝑎
𝑏+ (
𝑐
𝑑+
𝑒
𝑓)
3. Propiedad modulativa c. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) ∈ ℚ
4. Propiedad conmutativa d. Si 𝑎
𝑏∈ ℚ →
𝑎
𝑏+ 0 = 0 +
𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1d, 2c, 3b, 4a C. 1d, 2b, 3a, 4c D. 1c, 2d, 3b,
4a
Flavio Plazarte Estudiante
DOCENTE
129
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA
Apellidos y nombres:………………………………………………….
Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio
Plazarte
Fecha:…………………
INSTRUCCIONES:
Lea con atención cada pregunta.
Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.
Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo
una es la correcta
Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)
Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,
puedes responderla al final si te queda tiempo
1. Una de las siguientes expresiones corresponde a la propiedad de la potenciación
(𝒂
𝒃)𝒎
. (𝒂
𝒃)𝒏
= (𝒂
𝒃)𝒎+𝒏
F. Potencia de un producto G. División de potencias de la misma base
H. Multiplicación de potencias de la misma base I. Potencia de una potencia
2. El resultado de (𝟐
𝟑)−𝟑
es:
E. −6
9 B. −
8
27 C.
9
6 D.
27
8
3. El resultado de la expresión (𝟒
𝟓)−𝟑
÷ (𝟓
𝟒)−𝟓
es:
D. (4
5)−8
B. (4
5)8
C. (5
4)−2
D. (5
4)2
Instrumento de evaluación Formativa 3
130
4. Al resolver √−𝟏𝟔
𝟖𝟏 en el conjunto de los racionales se obtiene:
E. 4
9 B. −
4
9 C.
9
4 D. No existe
5. El resultado de la operación √𝟏
𝟐+
𝟕
𝟒+
𝟐
𝟑 es:
D. 6
13 B.
13
6 C.
5
9 D.
9
5
6. La fracción equivalente a 1,2�̂� es:
D. 37
30 B.
123
100 C.
41
30 D.
41
300
7. Relaciona la propiedad con su definición simbólica:
1. Potencia de un producto a. (𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚+𝑛
2. División de potencias de la misma base b. (𝑎
𝑏.𝑐
𝑑)𝑚
= (𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑐
𝑑)𝑚
3. Potencia de una potencia c. (𝑎
𝑏)𝑚
÷ (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚−𝑛
4. Multiplicación de potencias de la misma base d. [(𝑎
𝑏)𝑚
]𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚.𝑛
A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1b, 2c, 3d, 4a C. 1d, 2a, 3b, 4c D. 1c, 2d, 3a, 4b
8. El resultado de la operación (−𝟑
𝟐)−𝟑
es:
A. 9
8 B. −
9
8 C.
8
27 D. −
8
27
9. Selecciona la frase correcta referente a los signos en la potenciación:
A. Si la base es positiva, el resultado será negativo
B. Si el exponente es negativo, se convierte en positivo invirtiendo la fracción
C. Si el exponente es un número par, el resultado puede ser negativo
D. Si el exponente es un número impar, el resultado siempre será positivo
131
10. Selecciona el literal que completa la siguiente frase:
Radicación es la operación inversa de la _______, en la que dado dos números, uno
llamado radicando y otro índice se halla un tercero llamado _______.
D. Suma – raíz C. Multiplicación – producto
E. Potenciación – potencia D. Potenciación – raíz
11. Indica el resultado de 𝟒, 𝟖�̂� − 𝟏, �̂� :
C. 143
90 B.
157
45 C.
143
45 D.
157
90
12. Al resolver
𝟔 − 𝟐𝟓
−𝟔𝟑
𝟐 −
𝟓
𝟑 ×
𝟒
𝟏𝟓
+𝟏
𝟐 √
𝟐
𝟑 −
𝟕
𝟓 + 𝟏
𝟐
𝟑 + 𝟏
se obtiene como resultado:
C. 4 B. 13
19 C. −4 D. −
13
19
Flavio Plazarte Estudiante
DOCENTE
132
UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA
Apellidos y nombres:………………………………………………….
Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio
Plazarte
Fecha:…………………
INSTRUCCIONES:
Lea con atención cada pregunta.
Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.
Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo
una es la correcta
Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)
Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,
puedes responderla al final si te queda tiempo
1. La fracción irreducible equivalente a 𝟓𝟔
𝟕𝟐 es:
F. 18
23 B.
12
7 C.
3
2 D.
7
9
2. El número que completa el espacio de la expresión 𝟑
𝟒 de…...= 150 es:
E. 150 B. 200 C. 300 D. 450
3. Carmen ha tardado una hora con treinta minutos en llegar de su casa al colegio. Si
ha tardado 15 minutos esperando al bus, la fracción del tiempo total que
representan los minutos que Carmen ha esperado al bus es:
E. 1
5 B.
2
5 C.
2
6 D.
1
6
Instrumento de evaluación Sumativa
133
4. Escoge el literal que completa la siguiente frase:
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es _______ la que tenga el _______ de
menor valor.
D. Mayor – denominador C. Mayor – numerador
E. Menor – numerador D. Igual – denominador
5. La definición simbólica: Si 𝒂
𝒃,𝒄
𝒅,𝒆
𝒇∈ ℚ → (
𝒂
𝒃+
𝒄
𝒅) +
𝒆
𝒇=
𝒂
𝒃+ (
𝒄
𝒅+
𝒆
𝒇) corresponde a:
J. Propiedad asociativa C. Propiedad del opuesto
B. Propiedad modulativa D. Propiedad conmutativa
6. Relaciona la propiedad con su definición:
5. Propiedad modulativa a. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ →
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑐
𝑑+
𝑎
𝑏
6. Propiedad asociativa b. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑,𝑒
𝑓∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) +
𝑒
𝑓=
𝑎
𝑏+ (
𝑐
𝑑+
𝑒
𝑓)
7. Propiedad clausurativa c. Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) ∈ ℚ
8. Propiedad conmutativa d. Si 𝑎
𝑏∈ ℚ →
𝑎
𝑏+ 0 = 0 +
𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
B. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1d, 2c, 3b, 4a C. 1d, 2b, 3a, 4c D. 1d, 2b, 3c,
4a
7. Carlos sale a la calle con $ 40. En la compra de un reloj se gasta las dos quintas
partes de ésta cantidad y en la compra de una pulsera otras dos quintas partes. La
cantidad de dinero que gasta es:
A. 32 B. 8 C. 28 D. 12
8. Al resolver 𝟓
𝟑(𝟏𝟐
𝟕) −
𝟏
𝟐÷
𝟐
𝟑+
𝟓
𝟗 obtenemos:
A. −573
374 B.
573
374 C. −
671
252 D.
671
252
9. Una de las siguientes expresiones corresponde a la propiedad de la potenciación
(𝒂
𝒃)𝒎
÷ (𝒂
𝒃)𝒏
= (𝒂
𝒃)𝒎−𝒏
A. Potencia de un producto B. División de potencias de la misma base
C. Multiplicación de potencias de la misma base D. Potencia de una potencia
134
10. El resultado de la expresión (𝟒
𝟓)−𝟑
× (𝟓
𝟒)−𝟓
es:
E. (4
5)−8
B. (4
5)8
C. (4
5)−2
D. (4
5)2
11. Relaciona la propiedad con su definición simbólica:
5. Potencia de una potencia a. (𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚+𝑛
6. División de potencias de la misma base b. (𝑎
𝑏.𝑐
𝑑)𝑚
= (𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑐
𝑑)𝑚
7. Potencia de un producto c. (𝑎
𝑏)𝑚
÷ (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚−𝑛
8. Multiplicación de potencias de la misma base d. [(𝑎
𝑏)𝑚
]𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚.𝑛
A. 1d, 2c, 3b, 4a B. 1b, 2c, 3d, 4a C. 1d, 2a, 3b, 4c D. 1c, 2d, 3a, 4b
12. Al resolver
𝟔 − 𝟐𝟓
−𝟔𝟑
𝟐 +
𝟓
𝟑 ×
𝟒
𝟏𝟓
+𝟏
𝟐 √
𝟐
𝟑 −
𝟕
𝟓 + 𝟏
𝟐
𝟑 + 𝟏
se obtiene como resultado:
D. 4 B. 7
25 C. −4 D. −
7
25
Flavio Plazarte Estudiante
DOCENTE
135
ANEXO N° 24: Certificado de traducción del resumen
136
ANEXO N° 25: Certificado de revisión ortográfica
137
ANEXO N° 26: Diagrama UVE (V Heurística)
CONCEPTOS (PENSAMIENTOS)
METODOLOGÍA (ACTIVIDAD)
FILOSOFÍA
La educación es un
ornamento en la
prosperidad y un
refugio en la
adversidad.
El conocimiento es
poder
RECOMENDACIONES
Que los docentes adoptan
modernas metodologías y
técnicas de enseñanza en
los que se incluyen las
TIC, pero que las mismas
deben estar acorde con
los contenidos y con la
capacidad de los
estudiantes
TEORÍAS
Teorías de aprendizaje:
Gestalt, sociocultural de
Vygotsky, Piaget,
Interdependencia Social,
Desarrollo, Cognitivo
CONCLUSIONES
El programa K-bruch no
puede ser utilizado para
resolver operaciones
combinadas con
operaciones complejas.
PRINCIPIOS
El uso del programa K-bruch
favorece el aprendizaje de la
matemática y por ende permite
mejorar el rendimiento
académico.
TRANSFORMACIONES
De la información tomada se
halló: la media aritmética,
porcentaje, tablas de frecuencia,
diagramas, análisis de
resultados, conclusiones y
recomendaciones.
CONCEPTOS
Enseñanza – Aprendizaje
Programa K-bruch
Rendimiento académico
Fracciones
Operaciones con fracciones
REGISTRO
Resultados de los instrumentos
de evaluación.
ACONTECIMIENTOS
OBJETOS
Estudiantes, programa K-bruch.
138
ANEXO N° 27: Fotografías del grupo experimental
139
140
141
142
ANEXO N° 28: Fotografías del grupo de control
143
144
145
ANEXO N° 29: Solicitud dirigido al colegio para la realización de la práctica
146
ANEXO N° 30: Constancia donde se realizó la investigación
ANEXO N° 31: TEXTO BASE
2016
AUTOR:
Flavio Plazarte
INTRODUCCION
En nuestro diario vivir siempre nos encontraremos con situaciones en donde se
hace necesario la aplicación de números fraccionarios para resolver diferentes
problemas. Durante el ejercicio docente en muchas ocasiones se evidencia que,
resolver un ejercicio o problema de aplicación de un determinado tema, siempre
será complejo, razón por la cual, presento este texto con la única finalidad de
facilitar la solución de problemas de aplicación con números fraccionarios.
Este trabajo consta de ejercicios resueltos de fácil comprensión, así como de
aplicaciones prácticas en la vida real. Posee una gran cantidad de ejercicios,
actividades, talleres y problemas planteados, tomando en cuenta siempre que, los
estudiantes deben saber resolver problemas relacionados con el entorno socio
cultural.
El presente texto se ha elaborado como material de guía y apoyo para que el
estudiante se inicie tanto desde un punto de vista teórico como aplicado, en el
estudio de números fraccionarios, es decir, en el análisis, comprensión y aplicación
de sus diferentes operaciones y propiedades.
.
iii
ÍNDICE
INTRODUCCION ................................................................................................................. ii
OBJETIVOS .......................................................................................................................... 1
UNIDAD 1 ............................................................................................................................ 2
NÚMEROS FRACCIONARIOS ........................................................................................ 3
FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS: ................................................................. 4
1.1. FRACCIONES CON SIGNO: ................................................................................. 4
1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES: ........................................................................ 5
EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 6
EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 8
1.3. Simplificación de Fracciones ................................................................................... 9
1.4. UBICACIÓN DE FRACCIONES SOBRE LA RECTA NUMÉRICA: ............... 9
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................10
1.5. ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES: ............................................11
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................13
UNIDAD 2 .......................................................................................................................... 14
OPERACIONES CON FRACCIONES ........................................................................ 15
2.1. Adición o suma, sustracción o resta, multiplicación o producto y división o
cociente: ........................................................................................................................... 15
EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................................18
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................19
2.2. Operaciones combinadas: .......................................................................................20
EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................................20
............................................................................................................................................. 21
EJERCICIOS PROPUESTOS ...............................................................................................23
Unidad 3 .............................................................................................................................. 24
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ............................................................................... 25
3.1. Potencia de números fraccionarios: .......................................................................25
EJERCICIOS PROPUESTOS ...............................................................................................28
3.2. Raíz cuadrada de una fracción...............................................................................30
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................31
EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................................32
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................32
iv
UNIDAD 4 .......................................................................................................................... 34
RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES .................................. 35
4.1. Expresión decimal de una fracción: .......................................................................35
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................36
4.2. Fracción generatriz de un número decimal: .........................................................36
EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................37
BIBLIOGRAFÍA: ................................................................................................................ 38
NETGRAFÍA: ..................................................................................................................... 38
OBJETIVOS
Leer y escribir números fraccionarios
Representar números fraccionarios en notación decimal.
Ordenar y comparar números fraccionarios.
Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción,
multiplicación y división.
Simplificar expresiones de números fraccionarios con la
aplicación de las reglas de potenciación y de radicación.
Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones para
resolver situaciones de la vida cotidiana.
2
Unidad 1
3
NÚMEROS FRACCIONARIOS
En resumen:
Los números racionales es un conjunto numérico formado por los
números enteros y los números fraccionarios, simbólicamente: ℚ
𝑥/𝑥 = 𝑎
𝑏; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0
Una fracción puede considerarse como una parte de una
cantidad
Una fracción se escribe de la forma 𝑎
𝑏 en donde a y b
son números enteros, siendo b ≠ 0
Las fracciones constan de tres elementos:
El denominador indica el número de partes en
que se ha dividido la unidad.
El numerador es el número de partes que se han
tomado de dicha división
La línea de fracción separa al numerador y al
denominador.
Decimales
NÚMEROS
RACIONALES ℚ
Fraccionarios
Naturales ℕ Fracciones
Enteros ℤ
Negativos
4
Para escribir un número entero en forma de
fracción basta con ubicar en el denominador la
unidad, así:
2 = 2
1 3 =
3
1 1 =
1
1
Para calcular la fracción de una cantidad, multiplicamos la fracción por la cantidad, de la
siguiente manera:
¿Qué cantidad son las 4
5 partes de 230?
4
5𝑥230 =
4𝑥230
5= 184
R: Los 4
5 de 230 es 184
FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS:
1.1. FRACCIONES CON SIGNO:
Una fracción negativa puede escribirse de la forma:
−𝑎
𝑏=
−𝑎
𝑏=
𝑎
−𝑏
Se aconseja utilizar la escritura de la fracción negativa −𝑎
𝑏
Una fracción positiva puede escribirse de la forma:
−−𝑎
𝑏= −
𝑎
−𝑏=−𝑎
−𝑏=𝑎
𝑏
Ejemplos:
a. −3
5=
−3
5=
3
−5
b. −−2
7= −
2
−7=
−2
−7=
2
7
5
1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES:
Dos fracciones positivas son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad.
Gráficamente:
De manera general dos fracciones 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑 son equivalentes (≡), si se cumple que:
La igualdad de este producto se conoce como propiedad fundamental de fracciones
equivalentes.
Son fracciones propias aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, así por
ejemplo:
a. 2
5 b. −
3
7 c.
12
35
Son fracciones impropias aquellas cuyo
numerador es mayor que el denominador, así por
ejemplo:
a. 7
3 b. −
8
5 c.
45
13
Una fracción es el cociente de dos cantidades, por tanto se recuerda aplicar la ley de los
signos:
+ ÷ + = +
− ÷ − = +
+ ÷ − = −
− ÷ + = −
a.d ≡ b.c
1
5=
2
10=
1
5≡
2
10
UNIDAD
6
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Expresa 25 cm como fracción de metro y decímetro.
2. Calcula:
a. 𝟒
𝟓 de 720 b.
𝟑
𝟒 de…. = 36
Puedes obtener fracciones equivalentes
multiplicando o dividiendo la fracción dada por
un mismo número.
Ejemplo:
3
6 →
3.5
6.5=
15
30 →
3
6≡
15
30
3
6 →
3÷3
6÷5=
1
2 →
3
6≡
1
2
Solución:
1m. = 100cm. → 25cm. como fracción de metro = 25
100𝑚.
1dm. = 10cm. → 25cm. como fracción de decímetro = 25
10𝑑𝑚.
Solución:
a. Para obtener los 4
5 de 720 multiplicamos la fracción por 720, de esta manera:
4
5. 720 = 576
Entonces los 4
5 de 720 es 576
b. Para encontrar el número que falta multiplicamos el resultado por el inverso de
la fracción, así:
4
3 . 36 = 48 → el número que falta es el 48
¿Cómo obtengo
fracciones
7
3. Escribe una fracción equivalente a 𝟒
𝟏𝟐 por multiplicación y otra por división.
4. Escribe una fracción equivalente a −𝟓
𝟕 con denominador 56.
5. Carmen y José han tardado una hora con treinta minutos en llegar del colegio a su
casa. Si han estado 15 minutos en la parada esperando al bus, ¿qué fracción del
tiempo total representan estos minutos de espera?
Solución:
Por multiplicación:
𝟒(5)
𝟏𝟐(5)=
𝟐𝟎
𝟔𝟎 →
𝟒
𝟏𝟐≡
𝟐𝟎
𝟔𝟎
Por división:
𝟒÷4
𝟏𝟐÷4=
𝟏
𝟑 →
𝟒
𝟏𝟐≡
𝟏
𝟑
Solución:
Dividimos 56 para 7 y el resultado será el número por el cual se debe
multiplicar a la fracción para obtener otra equivalente, así:
56 ÷ 7 = 8 → −5(8)
7(8)=
−40
56 →
−5
7≡
−40
56
Solución:
Tiempo total = 1h30min. = 90min.
Tiempo de espera = 15 min.
Fracción del tiempo de espera = 15
90=
1
6
Interpretación: Representan 1
6 del tiempo total
8
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcula:
a. 4
5 de 3650 b.
3
8 de 72 c.
3
4 de…..= 12 d.
2
5 de…..= 14
2. Expresa 15 cm como fracción de metro, decímetro, kilómetro y milímetro.
3. ¿En qué situaciones sería necesario emplear fracciones positivas y fracciones
negativas? Describe oralmente cada uno de los casos.
4. Clasifica las siguientes fracciones en positivas y negativas:
𝟓
𝟑 ; −𝟔
−𝟗 ; −𝟒
𝟓 ;
𝟕
−𝟖 ;
−𝟏𝟎
−𝟏𝟑 ; −
𝟑𝟒
𝟏𝟕 ; −
𝟏𝟓
𝟏𝟏 ; 𝟏
𝟐
5. Carlos y Andrés han tardado una hora y cuarto en realizar las compras para la
comida de la semana en un mercado. Si han estado 15 minutos en el puesto de
frutas, ¿Qué fracción del tiempo total representa estos minutos?
6. Encierra en un círculo el literal cuya fracción sea equivalente a −𝟓
𝟔
a. 15
18 b.
−10
12 c.
25
−42 d.
30
−36 e. −
35
24 f. −
55
66
7. Completa el número que falta para que cada uno de los pares de fracciones sean
equivalentes:
a. 5
8=
35 b.
−21
35=
5 c.
7=
21
27 d.
−4=
−15
20 e.
3=
28
8. Escribe una fracción equivalente a −𝟓
𝟕 con numerador 147.
9. Escribe una fracción equivalente a 𝟏𝟐
−𝟏𝟑 con numerador −180.
10. ¿Puedes escribir una fracción equivalente a 𝟏𝟐
−𝟏𝟑 cuyo numerador sea 150? Justifica
tu respuesta.
9
1.3. Simplificación de Fracciones
Simplificar una fracción significa obtener una fracción
irreducible es decir, el numerador y el denominador son
números primos entre sí.
Para simplificar, por ejemplo, la fracción 36
60 existe tres formas diferentes, las cuales se
resumen en el siguiente cuadro:
1. Mediante divisiones sucesivas:
Procedimiento Ejemplo
Dividimos el numerador y el denominador
de forma sucesiva hasta obtener una
fracción irreducible.
𝟑𝟔 ÷ 2
𝟔𝟎 ÷ 2=𝟏𝟖 ÷ 2
𝟑𝟎 ÷ 2=
𝟗 ÷ 3
𝟏𝟓 ÷ 3=𝟑
𝟓
2. Por descomposición en factores:
Se descompone al numerador y al
denominador en factores primos
Eliminamos los factores comunes entre
el numerador y el denominador
𝟑𝟔
𝟔𝟎=
2 .2 .3 .3
2 .2 .3 .5=
𝟑
𝟓
3. Dividiendo el numerador y el denominador para el m.c.d
Calculamos el m.c.d de los términos de
la fracción.
Dividimos el numerador y el
denominador para el m.c.d
El m.c.d de 36
60 es 12
Entonces: 𝟑𝟔÷12
𝟔𝟎÷12=
𝟑
𝟓
1.4. UBICACIÓN DE FRACCIONES SOBRE LA RECTA NUMÉRICA:
DATO IMPORTANTE:
Las fracciones, al igual que los
números enteros pueden
representarse sobre la recta numérica.
La representación gráfica de las
fracciones con signo positivo será a
la derecha del cero en la recta
numérica.
La representación gráfica de las fracciones con signo negativo será a la izquierda del cero en
la recta numérica.
10
Para representar fracciones sobre la recta numérica se sugiere los siguientes pasos:
Procedimiento
Ejemplo 1
Ubicar 12
10
Ejemplo 2
Ubicar −14
4
Simplificamos la fracción
hasta obtener su fracción
irreducible
12
10=6
5
−14
4=−7
2
Dividimos el numerador
para el denominador.
El cociente determina los
extremos del segmento
donde se ubicará la
fracción
6 5
1 1
La fracción se sitúa entre 1
y 2
7 2
1 3
La fracción se sitúa entre
−3 y −4 por ser negativa
Dividimos el segmento
comprendido entre los
extremos en tantas partes
como lo indica el divisor
Finalmente tomamos las
partes que señala el
residuo
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplifica estas fracciones:
a. 132
−54 b. −
34
78 c.
2456
3472 d.
−357
195 e.
865
970 f.
34
−17
2. Aplica tres procesos diferentes y simplifica las siguientes fracciones:
a. −24
36 b.
250
340 c.
91
−273 d. −
360
480 e.
56
64
-4 -7/2 -3
¿Cómo represento
fracciones sobre la recta?
1 6/5 2
11
3. Con tus propias palabras explica tres maneras distintas de obtener fracciones
equivalentes:
4. Representa sobre la recta numérica las siguientes fracciones:
a. −3
4 b.
2
10 c.
28
12
1.5. ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES:
Gráficamente se comparan dos o más fracciones mediante la recta numérica, tomando en
cuenta siempre que, será mayor todo número que se ubique a la derecha de otro; y, será
menor todo número que se ubique a la izquierda de otro, así:
Se puede también ordenar y comparar dos o más fracciones sin tener que representarlas en la
recta numérica, para lo cual es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador:
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga el numerador de
mayor valor.
Ejemplos:
1. Indique la relación entre 3
5 y
7
5 →
7
5>
3
5
− +
Ordenando de mayor a menor se tendrá: 1>3
4>
1
4> 0 > −
1
4> −
3
4> −1
Ordenando de menor a mayor se tendrá: −1< −3
4< −
1
4< 0 <
1
4<
3
4< 1
−3
4
−1 0 −1
4
1
4
3
4
1
12
2. Indique la relación entre 4
−7 y
−2
7 en este caso escribiremos la fracción
4
−7 como
−4
7 para que el denominador sea positivo y poder comparar, de esta manera:
−2
7 >
−4
7
Cuando las fracciones tienen el mismo numerador:
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor aquella que tenga menor
denominador.
Ejemplos:
1. Entre 7
9 y
7
11 →
7
9 >
7
11 2. Entre
6
7 y
6
5 →
6
5>
6
7
Cuando las fracciones tienen distinto numerador y denominador:
En este caso se debe proceder de la siguiente manera:
Ejemplos:
1. Comparar las fracciones: 3
4 y
2
3
Solución:
Reducimos las fracciones a común denominador: m.c.m.(4,3) = 12
Dividimos el m.c.m. para cada denominador: 12 ÷ 4 = 3 y 12 ÷ 3 = 4
Los resultados multiplicamos por las fracciones correspondientes:
Calculamos el
mínimo común
múltiplo de todas
las fracciones
Dividimos el m.c.m
para cada
denominador
Dicho resultado
multiplicamos por
toda la fracción
De esta manera se
obtienen fracciones
con igual
denominador
Comparamos las
fracciones
Escribimos el
resultado
13
3(3)
4(3)=
9
12 y
2.4
3.4=
8
12 comparamos:
9
12>
8
12
Escribimos el resultado: 3
4>
2
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Compara las siguientes fracciones:
a. 3
4 y
5
4 c.
6
7 y
6
11 e.
3
4 y
5
7
b. −5
3 y
5
3 d.
−2
5 y
2
−3 f.
8
−13 y
7
−13
2. Representa sobre la recta numérica las fracciones propuestas y ordénalas de menor
a mayor:
5
6,
3
4,
−7
3,
3
5,
8
7
..
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más
cantidades, procedemos como en el siguiente ejemplo:
Calcular el m.c.m. de 18 y 36
Descomponemos en factores primos cada una de
las cantidades.
18 = 2 . 32
36 = 22 . 32
Tomamos los factores no comunes y comunes de
mayor exponente.
Para nuestro caso: 22 y 32
Multiplicamos los valores obtenidos:
22 . 32 = 4 . 9 = 36
Concluimos que el m.c.m de 18 y 36 es 36
Razonamiento lógico
Cierto mes del año
tuvo tres domingos
cuyas fechas fueron
números pares.
¿En qué día de la
semana cayó el 20 de
este mes?
Pista: ¿Cuántos
domingos tuvo este
mes?
14
UNIDAD 2
15
OPERACIONES CON FRACCIONES
2.1.Adición o suma, sustracción o resta, multiplicación o producto y división o cociente:
Para resolver las diferentes operaciones con fracciones se debe tener en cuenta que existen
fracciones homogéneas y fracciones heterogéneas.
Fracciones homogéneas: Si tienen el mismo denominador.
Ejemplo: 3
5 ,2
5 ,7
5 ,4
5
Fracciones heterogéneas: Si tienen diferente denominador.
Ejemplo: 3
5 ,4
3 ,7
2 ,5
7
Adición y sustracción
Ejemplos
Para sumar o restar dos o más facciones
se debe considerar que:
Si las fracciones son homogéneas,
simplemente, sumamos o restamos los
numeradores y escribimos el mismo
denominador.
Si las fracciones son heterogéneas,
calculamos el m.c.m, lo dividimos
para cada denominador y lo
multiplicamos por el numerador
correspondiente.
1. 3
5+
4
5−
2
5=
3+4−2
𝟓=
5
5= 1
2. 3
4−
4
3+
2
5−
1
2 m.c.m(4,3,5,2) = 60
= 45−80+24−30
60= −
41
60
Propiedades
Ejemplos
1. Propiedad clausurativa o ley de
composición interna:
La suma de números racionales es
otro número racional.
Simbólicamente:
Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) ∈ ℚ
1
2+
1
3=5
6
16
2. Propiedad conmutativa:
Si se cambia el orden de los
sumandos, la suma es la misma.
Simbólicamente:
Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑∈ ℚ →
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑐
𝑑+
𝑎
𝑏
3. Propiedad asociativa:
Tres o más números racionales pueden
asociarse de cualquier forma sin que
el resultado cambie.
Simbólicamente:
Si 𝑎
𝑏,𝑐
𝑑,𝑒
𝑓∈ ℚ → (
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑) +
𝑒
𝑓=
𝑎
𝑏+ (
𝑐
𝑑+
𝑒
𝑓)
4. Propiedad Modulativa:
Si sumamos cero a cualquier número
racional, obtenemos el mismo número
racional. El cero es el módulo de la
suma.
Simbólicamente:
Si 𝑎
𝑏∈ ℚ →
𝑎
𝑏+ 0 = 0 +
𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏
5. Propiedad del opuesto:
La suma de dos números racionales
opuestos es cero.
Simbólicamente:
∀𝑎
𝑏∈ ℚ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 −
𝑎
𝑏∈ ℚ, tal que:
𝑎
𝑏+ (−
𝑎
𝑏) = −
𝑎
𝑏+𝑎
𝑏= 0
6. Propiedad uniforme:
Si a los dos miembros de una igualdad
se adiciona el mismo número racional,
se obtiene otra igualdad.
3
2+
4
3=4
3+
3
2=17
6
(3
4+
5
2) +
1
2=
3
4+ (
5
2+
1
2)
(13
4) +
1
2=3
4+ (3)
15
4=15
4
2
3+ 0 = 0 +
2
3=2
3
2
3+ (−
2
3) = −
2
3+2
3= 0
Partamos de una igualdad cualquiera, por
ejemplo:
−5
6+4
6=2
6−3
6
Adicionamos a los dos miembros la
fracción 2
6
17
−5
6+4
6+𝟐
𝟔=2
6−3
6+𝟐
𝟔
1
6=1
6
Multiplicación
Ejemplos
Se debe tomar en cuenta las siguientes
consideraciones:
Ley de los signos.
De ser posible, simplificar en X es
decir, el numerador de la primera
fracción con el denominador de la
segunda fracción y viceversa
Resolvemos multiplicando numerador
con numerador y denominador con
denominador.
1. 3
5 . (
−7
6) = −
1 .7
5 .2= −
7
10
2. 4
7 .
5
3=
4 . 5
7 .3=
20
21
División
Ejemplos
En la división al igual que en la
multiplicación se considera:
Ley de los signos.
Transformamos en multiplicación
invirtiendo la segunda fracción
Resolvemos mediante el método de
multiplicación
1. 3
7÷ (−
4
21) =
3
7(−
21
4) = −
9
4
2. 5
11 ÷
7
13=
5
11(13
7) =
65
77
1
2
1
3
18
EJERCICIOS RESUELTOS
Aplicación en la práctica:
1. Juan ha comprado un pastel y lo reparte a 3 personas de la
siguiente manera: a Carlos 𝟏
𝟑, a Diana
𝟑
𝟓, y a Marcelo el resto.
¿Qué cantidad de pastel recibió Marcelo?
Solución:
Sumamos cada pedazo: 1
3+
3
5=
5+9
15=
14
15
Como se dispone de un pastel, entonces: 1−14
15=
15−14
15=
1
15
Por lo tanto a Marcelo le corresponde 1
15 de pastel
2. Cuatro personas deciden emprender un negocio. Si la primera ofrece aportar la
mitad del capital; la segunda 𝟏
𝟖 y la tercera
𝟏
𝟔 , ¿qué parte del capital aporta la cuarta
persona?
Solución:
Sumamos cada uno de los aportes: 1
2+
1
8+
1
6=
12+3+4
24=
19
24
Como se dispone de un capital, nos resulta: 1−19
24=
24−19
24=
5
24
Conclusión: La cuarta persona aporta 5
24 del capital.
3. Juan bebió 𝟏
𝟕 de medio litro de helado. ¿Qué fracción de litro de helado se bebió
Juan?
Solución:
Juan ha bebido 1
7 de medio litro →
1
7 .1
2=
1
14
Calculamos la fracción de litro: 1
14 . 1 =
1
14
Conclusión: Juan ha bebido 1
14 de litro
19
4. Diego sale de su casa con $ 40. En diversas compras se gasta las cuatro quintas
partes de esta cantidad. ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le quedan?
Solución:
Dinero gastado: 4
5 de 40 →
4
5 . 40 = 32 dinero sobrante: 40 − 32 = 8
Conclusión: Se ha gastado 32 dólares y le sobra 8 dólares.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
a. −3
4+
2
5 d.
−5
8−
1
2+
2
7 g.
5
12 . (−
24
15) j.
−2
7 ÷
3
14
b. 5
6−
−2
3 e.
4
5+
7
8−
3
5 h.
−2
5 .
7
12 k.
11
13 ÷ (−
33
26)
c. 4
5+
7
8−
3
5 f.
−2
5 .
7
12 i. (−
17
32) . (−
16
34) l. −
35
23 ÷ (−
15
46)
20
2.2.Operaciones combinadas:
Para resolver operaciones combinadas con fracciones se procede como lo explica el siguiente
diagrama:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcula:
a. −𝟑
𝟒−
𝟑
𝟔.𝟐
𝟕+
𝟏
𝟐
Solución:
Resolvemos primero las multiplicaciones
Resolvemos primero paréntesis y
corchetes
Luego resolvemos multiplicaciones
y divisiones en el orden en que
aparecen
Posteriormente sumas y restas
PASOS PARA RESOLVER
OPERACIONES COMBINADAS CON
FRACCIONES
Solución
3
−3
4−
3
6 . 2
7 +
1
2=−3
4−1
7+1
2
1 1
3 1
21
Luego sumas y restas
b. 𝟑
𝟓−
𝟒
𝟕 .𝟏𝟒
𝟑+
𝟏
𝟐÷
𝟑
𝟒−
𝟓
𝟖
Solución:
Resolvemos primero multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen
Luego sumas y restas
2. Resuelve estas operaciones combinadas:
a.
Solución:
Resolvemos primero el paréntesis:
Resolvemos los corchetes
−3
4−1
7+1
2=−21 − 4 + 14
28=−11
28= −
11
28
72 − 320 + 80 − 75
120=−243
120= −
81
40
3
5−4
7 . 14
3+1
2÷3
4−5
8=3
5−8
3+2
3−5
8
𝟏
𝟓− [
𝟑
𝟒+ (
𝟓
𝟔 . 𝟏
𝟐−𝟕
𝟖) .
𝟐
𝟑] +
𝟒
𝟓
= 1
5− [
3
4+ (
5
12−7
8) .
2
3] +
4
5
1
5− [
3
4+ (
5
6 . 1
2−7
8) .
2
3] +
4
5
= 1
5− [
3
4+ (
10 − 21
24) .
2
3] +
4
5 =
1
5− [
3
4+ (
−11
24) .
2
3] +
4
5
= 1
5− [
3
4+ (
−11
24) .
2
3] +
4
5 =
1
5− [
3
4−11
36] +
4
5 =
1
5− [
27 − 11
36] +
4
5
= 1
5− [
16
36] +
4
5 =
1
5−4
9+4
5
1
2
1 2
22
Finalmente sumas y restas
b.
Solución:
3. Entre tres hermanos deben repartirse 120 dólares. El primero se lleva 𝟕
𝟏𝟓 del total, el
segundo 𝟓
𝟏𝟐 del total y el tercero, el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
Solución:
Calculamos la cantidad de dinero que se lleva cada uno:
El primero 7
15 de 120 =
7
15 . 120 = 56
El segundo 5
12 de 120 =
5
12 . 120 = 50
Sumamos las dos cantidades 56 + 50 = 106
El tercero recibirá la diferencia del total con lo que corresponde a la suma de los dos
hermanos 120 – 106 = 14
Es decir el tercer hermano recibirá 14 dólares.
1
5−4
9+4
5 =
9 − 20 + 36
45 =
25
45 =
5
9
𝟐 − 𝟑 . 𝟏 +
𝟓𝟕
𝟑𝟖
−𝟒
𝟗
2 − 3 . 1 +
57
38
−4
9 = 2 − 3 .
7 + 5738
−4
9
= 2 − 3 .
12738
−4
9
= 2 − 3 . 32
7−4
9
= 2 −96
7−4
9 =
126 − 864 − 28
63 =
−766
63 = −
766
63
23
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a. b.
2. Resuelve;
3. Desarrolla en tu cuaderno:
4. Marcelo leyó en una semana la tercera parte de un libro de 180 páginas y la semana
siguiente, la cuarta parte. Si tarda 4 minutos en leer una página, ¿cuánto tardará en
acabar de leerlo?
5. Tres hermanos disponen de 240 dólares y deciden repartirse de la siguiente manera, 𝟓
𝟖 para el primero y
𝟑
𝟏𝟐 al segundo. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde al
tercero?
−3
4−3
6.2
7+1
2−5
8÷15
14+1
3
6
5+1
2−13
15÷26
5−10
9 . 6
5+3
4
−2
3− [
4
5+ (
5
6 ÷
1
2+2
5) .
1
3] +
2
7 a.
1
5−2
3[1
2− (
5
6 . 1
2+8
5) ÷
2
3] +
4
5 c.
1
7+ [
3
4+ (
4
3+2
5) (
5
6 . 1
2−7
8) ] +
4
5 b.
6
7+ [
3
4(4
3+2
5) (
1
2−7
8) ] −
3
2 d
3 +
314 +
27
38 −
12
−4
9 a. 3
2+
315
+25
56
−
15−34
67 +
321
b.
24
Unidad 3
25
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
3.1. Potencia de números fraccionarios:
La potencia es el producto de factores iguales.
Sus elementos son:
En la potenciación se pueden observar las siguientes reglas de los signos:
Si el exponente es negativo, se convierte
en positivo invirtiendo la fracción. (3
4)−2
= (4
3)2
(−3
4)−2
= (−4
3)2
Si la base es positiva, el resultado
siempre será positivo (
1
5)3
=1
125 (
1
5)4
=1
625
Si el exponente es un número impar, el
resultado llevará el signo de la base (−
2
3)3
= −8
27 (
2
3)3
=8
27
Si el exponente es un número par, el
resultado siempre será positivo (−
3
5)4
=81
625 (
3
5)4
=81
625
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
(𝑎
𝑏)𝑛
= 𝑐
𝑑 base
exponente
potencia
26
En la potenciación se cumplen las siguientes propiedades:
Multiplicación de potencias de la
misma base
Potencia de una potencia
En la multiplicación de dos o más
potencias de la misma base, se escribe
la base y se suman los exponentes.
(𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚+𝑛
En la potencia de una potencia se escribe la
base y se multiplican sus exponentes.
[(𝑎
𝑏)𝑚
]𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚.𝑛
División de potencias de la misma
base
Potencia de exponente 1
Para dividir dos potencias de la misma
base, se escribe la base y se restan sus
exponentes.
(𝑎
𝑏)𝑚
÷ (𝑎
𝑏)𝑛
= (𝑎
𝑏)𝑚−𝑛
Todo número cuyo exponente es uno, es
igual al mismo número.
(𝑎
𝑏)1
=𝑎
𝑏
Potencia de un producto
Potencia de exponente 0
En la potencia de un producto se
distribuye el exponente a cada uno de
los factores.
(𝑎
𝑏.𝑐
𝑑)𝑚
= (𝑎
𝑏)𝑚
. (𝑐
𝑑)𝑚
Todo número cuyo exponente es cero, es
igual a uno
(𝑎
𝑏)0
= 1 con a ≠ 0 y b ≠ 0
27
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Escribe sin resolver el signo de las siguientes potencias:
a. (−4
5)−3
= − d. (8
11)−5
= +
b. (−24
27)2
= + e. (−8
13)7
= −
c. (15
17)−2
= + f. (14
21)6
= +
2. Efectúa:
a. (2
3)−2
= (3
2)2
=9
4 c. (−
5
6)−2
= (−6
5)2
=36
25
b. (−2
3)−3
= (−3
2)3
= −27
8 d. (
5
7)3
=125
343
3. Escribe las siguientes operaciones como una sola potencia:
a. (3
5)2
÷ (3
5)5
= (3
5)2−5
= (3
5)−3
= (5
3)3
b. (5
6)5
. (5
6)8
= (5
6)5+8
= (5
6)13
c. (7−5
3)2
÷ (2
5−2)5
= (2
3)2
÷ (2
3)5
= (2
3)2−5
= (2
3)−3
= (3
2)3
28
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Completa el siguiente cuadro:
(𝑎
𝑏)0
(𝑎
𝑏)1
(𝑎
𝑏)2
(𝑎
𝑏)3
(𝑎
𝑏)−2
(𝑎
𝑏)−3
1
5
2
3
6
7
8
9
2. Escribe sin resolver el signo de las siguientes potencias:
a. (4
53)−2
= d. (−12
11)−5
=
b. (−25
21)3
= e. (23
31)7
=
c. (−16
17)−2
= f. (−14
21)6
=
3. Completa cada uno de los cuadros con la fracción correspondiente:
a. (1
8)5
x (1
8)4
= d. (9
8)2
÷ (9
8)5
=
29
b. e. {[(3
2)−1
]2
}
3
=
c. (5
6)7
÷ = (5
6)3
f. [(2
10)3
÷ (2
10)4
]−1
=
4. Expresa como una sola potencia las siguientes operaciones:
a. (7
3)2
÷ (7
3)5
= d. [(5
7)5
÷ (5
7)8
]−2
=
b. (6−4
5)2
x (2
8−3)5
= e. [(1
2)3. (
1
2)4]2
[(1
2)5÷ (
1
2)7]−1 =
c. (5
6)−3
÷ (5
6)4
= f. [(3
4)4
. (3
4)−3
]4
=
5. Explica con tus propias palabras la regla de los signos en la potenciación y
escribe un ejemplo para cada una de ellas.
X (2
7)3
= (2
7)2
30
3.2. Raíz cuadrada de una fracción
Se puede considerar los siguientes valores para el radical
RADICACIÓN es la operación inversa de la POTENCIACIÓN, en la que dado
dos números, uno llamado RADICANDO y otro ÍNDICE se halla un tercero
llamado RAÍZ.
En general y para el conjunto ℚ.
La raíz n-sima de un número racional 𝑎
𝑏, es aquel número
𝑐
𝑑, cuya n-sima potencia
(𝑐
𝑑)𝑛
es igual al número dado 𝑎
𝑏.
Los elementos de una raíz son:
√𝑎
𝑏
𝑛=
𝑐
𝑑 ↔ (
𝑐
𝑑)𝑛=
𝑎
𝑏 índice
radicando
radical
raíz
Si el índice es impar, la raíz llevará el
signo del radicando. √−
216
343
3= −
6
7 √
216
343
3=
6
7
Si el índice es par y el radicando
positivo, se tendrán dos raíces √
64
15625
6= +
2
5 y −
2
5
Si el índice es par y el radicando
negativo, no existe la raíz en los ℚ √−
81
16
4 = No existe en el conjunto ℚ
31
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla las raíces de las siguientes cantidades:
a. √−8
27
3 c. √
361
676 e. √
512
125
3
b. √9
121 d. √−
32
3125
5 f. √−
16
81
2. Determina el valor de cada una de las letras para que la igualdad se cumpla:
a. √𝑥
𝑧
3=
2
11 c. √
𝑦
𝑧=
17
21 e. √
𝑛
𝑥
5= −
2
5
b. √𝑦
𝑧=
31
44 d. √
𝑥
𝑦
4=
2
9 f. √
𝑥
𝑧=
4
5
3.3. Operaciones combinadas
Para resolver ejercicios combinados con las seis operaciones fundamentales, se
recomienda el siguiente proceso:
1° Las operaciones agrupadas en
signos de agrupación
3° Multiplicaciones y divisiones
4° Sumas y restas
5° Escribimos el resultado
2° Potencias y raíces
32
EJERCICIOS RESUELTOS
2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve en tu cuaderno cada una de las siguientes expresiones:
1. (𝟏
𝟖+
𝟑
𝟒−
𝟓
𝟏𝟔) ÷ (
𝟕
𝟏𝟎+
𝟑
𝟓−
𝟗
𝟐𝟎)
2.
√𝟏
𝟒𝐱𝟗
𝟏𝟔𝐱𝟐𝟓
𝟑𝟔+(
𝟏𝟐+𝟏𝟑
𝟐𝟑−
𝟏𝟒
)
−𝟐
√−𝟏
𝟐𝟕
𝟑−𝟏
𝟑
+ 𝟓
3. √𝟏𝟔
𝟐𝟕÷𝟑
𝟒−𝟏
(𝟐
𝟑+𝟏)
𝟑√
𝟗
𝟐𝟓
+(𝟏𝟓
𝟒𝐱𝟐
𝟓𝐱𝟏
𝟑)−𝟏
(𝟏−𝟐
𝟓)−𝟐
𝟏. 𝟓 +
𝟏𝟒 −
𝟏𝟓𝟏𝟐
√𝟏𝟐𝟓𝟐𝟏𝟔
𝟑÷𝟑𝟐
𝟏𝟓
=
5+1
4−
15
12
√125
216
3÷
32
15 =
5+1
4−15
125
6
÷32
15=
60+3−15
125
6
÷32
15=
48
125
6
÷32
15=
24
5÷
32
15=
9
4
=1
100 −
1
40+
3
200+1
6
1− 9
2
=6−15+9+100
6002−9
2
=100
600−7
2
=1
6−7
2
= −1
21
2.
𝟏𝟎−𝟐− 𝟏
𝟐𝟎√𝟑
𝟒−𝟏
𝟐+𝟏𝟓(
𝟏
𝟏𝟎)𝟑+√ 𝟏𝟏𝟔
𝒙𝟐𝟓
𝟔𝟓𝒙𝟏𝟐
𝟓
𝟐√𝟏
𝟓−
𝟏𝟕
𝟏𝟐𝟓
𝟑
−𝟐
− (𝟐𝟑)−𝟐
(𝟐𝟑)𝟐√𝟒𝟗
𝟑−𝟑(𝟏𝟐)−𝟐
= (1
10)2−
1
20√3−2
4+15(
1
1000)+
14𝑥25
65𝑥12
5
2 √
25−17
125
3
−2
− (23)−2
(23)2(23)
(13)3(2)2
=
1
100 −
1
20√1
4+15(
1
1000)+
11035
5
2 √
8
125
3
−2
−
23
(127
)(4)
=1
100−
1
20(1
2)+
3
200+1
6
(5
2 . 2
5)−2−
23
(427
)
33
4.
𝟔−𝟐𝟓
−𝟔𝟐
𝟑−𝟓
𝟑𝐱𝟒
𝟏𝟓
+𝟏
𝟐√
𝟐
𝟑−𝟕
𝟓+𝟏
𝟐
𝟑+𝟏
5.
√𝟑
𝟒+𝟏
𝟑
𝟔
+[ √𝟖
𝟓−𝟐
𝟑
−𝟑
]
−𝟏
−(−𝟐)−𝟐+𝟑
𝟒
(−𝟏
𝟐)−𝟐(−𝟐)−𝟑(−𝟑)𝟐+(−𝟐)÷
𝟒
𝟑−(−𝟏)−𝟐−(𝟏+
𝟏
𝟐)−𝟏
6. √−𝟏+
𝟓
𝟐÷𝟐
𝟔
𝟑
+√(−𝟏
𝟒)÷(−
𝟐
𝟕)−(−
𝟏
𝟐+𝟒)
𝟐÷𝟐+𝟏
[(−𝟑
𝟒+
𝟓
𝟐𝟒)÷√(𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐)÷𝟐𝟐+𝟏−
𝟏
𝟒]
−𝟏
7. √[𝟐
𝟑+(
𝟑
𝟐)−𝟐] √−𝟏+
𝟕
𝟖
𝟑
(𝟏
𝟏𝟎)−𝟏[(𝟑
𝟓)−𝟏+(−𝟏+
𝟓
𝟔)]
𝟑
𝐱 √
𝟏
𝟓÷(−
𝟏
𝟏𝟎𝟎)
[−(−𝟏
𝟑)𝟐−𝟏]
−𝟏
8. −𝟏
𝟐+𝟑
𝟒𝟏
𝟏𝟎−
𝟑
𝟖𝟎
+𝟑
𝟖−
𝟏
𝟏𝟔𝟐
𝟓+
𝟕
𝟐𝟎
−−
𝟓
𝟑𝟐+
𝟓
𝟔𝟒𝟐
𝟓−𝟏
𝟐
+𝟓
𝟒−𝟑
𝟐
−𝟕
𝟏𝟎−
𝟏
𝟐𝟎
−𝟗𝟓
𝟑𝟐
9. √𝟓
𝟐−𝟐
𝟑−𝟓
𝟒+𝟓𝟗𝟑
𝟏𝟐𝟏
𝟔+𝟏
𝟖−𝟏
𝟐+𝟓𝟑
𝟐𝟒
+ 𝟑
𝟒 + √
𝟔𝟒
𝟏𝟐𝟓
𝟑÷ (−
𝟒
𝟓) −
𝟏𝟗
𝟒
10. 𝟏 −𝟏+𝟐𝟐
𝟕÷ [
𝟐
𝟗 .
𝟑
𝟏𝟒(−
𝟏
𝟐)] − √
𝟐
𝟑𝐱
𝟏
𝟐𝟒− √−𝟑 −
𝟑
𝟖
𝟑
34
UNIDAD 4
35
RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES
4.1. Expresión decimal de una fracción:
Si se divide el numerador para el denominador de cualquier fracción, nos
encontramos con diferentes casos de números decimales:
Número decimal limitado: Es el que al calcular su cociente resulta un número
decimal exacto.
Número decimal periódico: Es aquel que al calcular su cociente, resulta una cifra
o un grupo de cifras que se repiten indefinidamente y en un mismo orden. El
periodo corresponde a los dígitos que se repiten sucesivamente y se identifica con
una barra o un arco encima de este.
Número decimal periódico puro: Es la fracción que al calcular su cociente, el
periodo se genera de inmediato
3
4= 3 ÷ 4 = 0,75
2
5= 2 ÷ 5 = 0,4
7
11= 7 ÷ 11 = 0,636363…. = 0,63
7
9= 7 ÷ 9 = 0,77777…. = 0,7
8
11= 8 ÷ 11 = 0,727272… .= 0,72
137
333= 137 ÷ 333 = 0,411411411… .= 0,411
RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y
LOS DECIMALES
36
Número decimal periódico mixto: Es la que, al calcular su cociente, el período
aparece luego de 1, 2 o varias cifras decimales.
EJERCICIOS PROPUESTOS
4.2. Fracción generatriz de un número decimal:
En el siguiente cuadro se puede observar la forma de calcular la fracción generatriz
correspondiente a un determinado número decimal, ya sea limitado, ilimitado periódico puro
o ilimitado periódico mixto
13
55= 13 ÷ 55 = 0,2363636… = 0,236
17
36= 17 ÷ 36 = 0,47222… = 0,472
623
2475= 623 ÷ 2475 = 0,25171717… = 0,2517
1. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones
13
15 ,
11
13 ,
−7
15 ,
8
−9 ,
9
11 ,
−5
56
2. Clasifica los siguientes decimales en limitados, ilimitados periódicos puros
e ilimitados periódicos mixtos.
2,242424…; 0,75̂ ; 3,435 ; 8,251̂ ; -2,89 ; 0,5̂ ; 2,13444…
Es la fracción irreducible de la que procede un número decimal
(exacto, periódico puro o periódico mixto)
37
Si el número es un decimal limitado
Ejemplo: 3, 25
Colocamos en el numerador dicho número
sin tomar en cuenta la coma y en el
denominador el uno acompañado de
tantos ceros como indica la parte decimal.
325
100=13
4
Si el número es un decimal ilimitado
periódico puro
Ejemplo: 3,25̂
Colocamos en el numerador dicho número
sin tomar en cuenta la coma y restamos la
parte no periódica, en el denominador
tantos nueves como cifras tiene la parte
periódica
325 − 3
99=322
99
Si el número es un decimal ilimitado
periódico mixto
Ejemplo: 2,325̂
Colocamos en el numerador dicho número
sin tomar en cuenta la coma y restamos la
parte no periódica, en el denominador
tantos nueves como cifras tiene la parte
periódica acompañado de tantos ceros
como cifras tiene la parte decimal no
periódica
2325 − 23
990=2302
990=1151
495
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales
5,4 ; 2,04 ; 1,235 ; −0,08̂ ; 3,15̂ ; 4,2142̂
2. Efectúa las siguientes operaciones, previamente calcula la fracción
generatriz:
a. 2,5 . 3,25̂ b. (2,8 + 0,25̂) ÷ 3,7̂
38
BIBLIOGRAFÍA:
TORRES, Humberto. (2005). Aciertos-Matemática, Noveno año de educación básica,
Quito, Ecuador, Ediciones Holguín S.A,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR. (2008). Texto para estudiantes,
Matemática 9, Quito, Ecuador, Editorial Don Bosco.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR. (2010). Actualización y
Fortalecimiento Curricular de la Educación General Básica, Área de Matemática,
Coordinación Editorial Martha Alicia Guitarra Santacruz.
SANTILLANA, (Ed.), (2000), Matemáticas, Quito, Ecuador, Editorial Doris Arroba.
RODRIGUEZ, Paulina, (ed.), (2004), Matemática Interactiva 9, Quito, Ecuador, Editorial
Radmandí.
ZAPATA, Nirma, (2004), Matemática Fácil 9, Riobamba, Ecuador, Editorial Edipcentro.
NETGRAFÍA:
http://es.slideshare.net/BibliotecasUNAB/sistema-bibliotecas-unab-citas-y-referencias-
bibliogrficas-segn-normas-apa-actualizacin-2014.
http://normasapa.net/normas-apa-2016/
http://www.matematicatuya.com/NIVELACION/NumerosReales/FracCompl.html
http://www.vitutor.com/di/r/problemas_fracciones.html
https://www.youtube.com/watch?v=n_