Unidad No. 5 Exponentes y Radicales

“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32 Página 0

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

UNIDAD 5

EXPONENTES Y RADICALES

FACULTAD DE ARQUITECTURA UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura

Fundamentos de Matemática

1er. Semestre, Año 2016


5 EXPONENTES Y RADICALES

5.1 DEFINICIÓN DE EXPONENTES

Una potencia es la multiplicación sucesiva por si misma de una expresión al

tomarla como factor el número de veces que indique el exponente.

Se compone de dos partes: la base y el exponente.

La base es la expresión o factor que se multiplicará tantas veces como lo

indique el exponente.

El exponente indica el número de veces que la base será multiplicada por sí

misma.

Ejemplo:

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8

Esto puede leerse de la siguiente manera:

Opción 1: Dos al cubo Opción 2: Dos a la potencia 3 Opción 3: Dos a la tercera potencia.

Ejemplo:

(2 a) n = 2 a x 2 a x 2 a ….. n veces

Las potencias son útiles para simplificar expresiones matemáticas que

involucran exponentes, asimismo facilitan la resolución de ecuaciones y

expresiones algebraicas.

Ejercicio 1:

Escriba en los espacios en blanco las partes de la potencia.





Conteste a los enunciados siguientes:

a) Es el número o factor que se multiplica tantas veces como lo indica el

número al cual está elevado.

b) Indica el número de veces que el factor o número será multiplicado por

sí mismo.

Para trabajar con exponentes se aplican las diez leyes siguientes: 1) X 1 = X 2) X 0 = 1

3) X –n = 1 / X n 4) X m X n = X m + n

5) (Xm) n = X m n 6) (X * Y) m = X m * Y m

7) (X / Y) m = X m / Y m 8) X m / X n = X m - n

9) X m / X n = 1 / (X n – m ) 10) X m / n = n √ (X m ) A continuación se estudiará cada una de las leyes de la Potenciación: 5.2 PRIMERA LEY X 1 = X Una base elevada al exponente uno es igual a la misma base. 5 1 = 5 45 1 = 45

Ejercicio 2:

a) 10 1 = b) 500 1 = c) 670 1 = d) 123 1 = e) 6 1 = f) a 1 = g) (ab) 1 = h) C 1 = i) (cd) 1 = 5.3 SEGUNDA LEY X 0 = 1 Cualquier cantidad elevada a la potencia 0 es igual a uno. 25 0 = 1 45 0 = 1

Ejercicio 3:

a) 15 0 = b) 50 0 = c) 70 0 = d) - 23 0 = e) - 60 0 = f) - k 0 = g) (xy) 0 = h) D 0 = i) (yz) 0 =





5.4 TERCERA LEY X –n = 1 / X n Una base elevada a un exponente negativo es igual a “Uno dividido la base elevada al mismo exponente pero con signo positivo”. 2 - 3 = 1 / 2 3 B - 5 = 1 / B 5

Ejercicio 4:

a) 10 - 2 = b) 1 - 5 = c) (ab) - 2 = d) 25 - 1 = e) 6 - 8 = f) E - 3 = g) 3 - 5 = h) 2 - 3 = i) (ac) -5 = 5.5 CUARTA LEY X m X n = X m + n Si se multiplican dos potencias de igual base, el resultado final es la misma base con los exponentes sumados. 2 3 ∙ 2 2 = 2 5 B 5 ∙ B 7 = B 12

Ejercicio 5:

a) 3 2 ∙ 3 3 = b) 12 1 ∙ 12 4 = c) a 5 ∙ a 11 = d) 4 3 ∙ 4 5 = e) 7 4 ∙ 7 4 = f) (ab) 3 ∙ (ab) 6 = g) 5 7 ∙ 5 8 = h) 34 5 ∙ 34 4 = i) c 7 ∙ c 5 = 5.6 QUINTA LEY (X m) n = X m n Cualquier potencia elevada a otra potencia es igual a la misma base con sus exponentes multiplicados. (4 3 ) 2 = 4 6 (A 5 ) 7 = A 35

Ejercicio 6:

a) (2 2 ) 4 = b) (12 5 ) 58 = c) (F 5 ) 11 = d) (3 3 ) 5 = e) (10 4 ) 4 = f) ((ab) 3 ) 2 = g) (6 7 ) 8 = h) (30 5 ) 4 = i) (R 7 ) 5 = 5.7 SEXTA LEY (X ∙ Y) m = X m ∙ Y m Dos bases multiplicadas y elevada a un exponente es igual a cada una de las bases elevada por dicho exponente. (2 ∙ 3) 2 = 2 2 ∙ 3 2 (B ∙ C ) 7 = B 7 ∙ C 7





Ejercicio 7:

a) (5 ∙ 7) 3 = b) (6 ∙ 8) 4 = c) (3 ∙ 4) 2 =

d) (11 ∙ 22) 7 = e) (3 ∙ 11) 7 = f) (A ∙ B) 2 =

g) (3 ∙ 2) 2 = h) (8 ∙ 10) 3 = i) (D ∙ K) 2 =

5.8 SEPTIMA LEY (X / Y) m = X m / Y m

Dos bases divididas y elevadas a un exponente es igual a cada una de las bases elevada al mismo exponente dividida la una sobre la otra. (4 / 2 ) 2 = 4 2 / 2 2 (A / B ) 7 = A 7 / B 7

Ejercicio 8:

a) (6 / 6 ) 4 = b) (1 / 2 ) 5 = c) (C / D ) 4 = d) (6 / 4 ) 3 = e) (1 / 8 ) 6 = f) (X / Y ) 1 = g) (2 / 7 ) 8 = h) (3 / 4 ) 3 = i) (R / S ) 5 = 5.9 OCTAVA LEY X m / X n = X m - n

La división de dos potencias con las mismas bases y diferentes exponentes es igual a la misma base pero con sus exponentes restados (el del numerador se resta del denominador). 4 3 / 4 2 = 4 1 A 5 / A 2 = A 3

Ejercicio 9:

a) 9 3 / 9 2 = b) 6 4 / 6 2 = c) B 8 / B 2 =

d) 25 3 / 25 3 = e) 5 30 / 5 2 = f) D 9 / D 6 =

g) 12 3 / 12 5 = h) 52 2 / 52 7 = i) K 20 / K 2 =

5.10 NOVENA LEY X m / X n = 1 / (X n – m )

La división de dos potencias con las mismas bases y diferentes exponentes es igual a la unidad dividida la misma base pero con sus exponentes restados (el del denominador se resta del numerador). 4 3 / 4 2 = 1 / 4 -1 A 5 / A 2 = 1 / A -3

Ejercicio 10:

a) 8 3 / 8 2 = b) 7 4 / 7 2 = c) F 8 / F 2 =

d) 22 3 / 22 3 = e) 15 30 / 15 2 = f) Q 9 / Q 6 =

g) 2 3 / 2 5 = h) 5 2 / 5 7 = i) Ñ 20 / Ñ 2 =





5.11 DECIMA LEY X m / n = n √ (X m )

Un exponente fraccionario se compone de dos partes: el numerador, que corresponde al exponente que eleva la base y el denominador, que corresponde a la raíz que se extrae a la base y exponente que le acompaña. 16 1 / 2 = √ 16 A 3 / 5 = 5 √ A 3

Ejercicio 11:

a) 18 5 / 2 = b) 36 1 / 2 = c) S 3 / 5 =

d) 14 7 / 7 = e) 54 8 / 3 = f) P 9 / 12 =

g) 78 1 / 4 = h) 12 22 / 2 = i) M 9 / 2 =

5.12 DEFINICIÓN DE RADICALES Las partes del radical son:

El índice es conocido como orden e indica la cantidad exponencial a la cual se va a reducir el sub radical. El sub radical es la cantidad en donde se ejerce la acción del radical y se ubica dentro de este. El radical es el símbolo que se utiliza para representar la naturaleza y peculiaridad de la operación. La raíz es el resultado final del radical. Al igual que las potencias, los radicales simplifican la forma con que se trabajan las expresiones y operaciones numéricas. Para conocer con mayor profundidad la naturaleza de los radicales es necesario conocer sus leyes.





1) n √ (XY) = n √ X ∙ n √ Y 2) n √ ( X / Y ) = (n √ X ) / (n √ Y )

3) m √ n √ X = m n √ X

A continuación se estudiará cada una de las leyes de la Radicación: 5.13 PRIMERA LEY n √ (XY) = n √ X ∙ n √ Y La raíz n de XY es igual a la raíz n de X por la raíz n de Y. 3 √ (3 ∙ 2) = 3 √ 3 ∙ 3 √ 2 4 √ (A ∙ B) = 4 √ A ∙ 4 √ B

Ejercicio 12:

a) 5 √ (5 ∙ 1) = b) 8 √ (10 ∙ 2) = c) n √ (C ∙ D) =

d) 7 √ (5 ∙ 20) = e) 9 √ (6 ∙ 8) = f) 10 √ (E ∙ S) =

g) 2 √ (4 ∙ 4) = h) 5 √ (15 ∙ 5) = i) 6 √ (P ∙ N) =

5.14 SEGUNDA LEY n √ ( X / Y ) = (n √ X ) / (n √ Y ) La raíz n de la fracción X / Y es igual a la raíz n de X sobre la raíz n de Y. 2 √ (5 / 3) = 2 √ 5 / 2 √ 3 7 √ (Q / W) = 7 √ Q / 7 √ W

Ejercicio 13:

a) 3 √ (7 / 9) = b) 4 √ (12 / 8) = c) 5 √ (H / J) =

d) 10 √ (15 / 2) = e) 6 √ (3 / 18) = f) n √ (S / C) =

g) 2 √ (25 / 1) = h) 5 √ (5 / 35) = i) 8 √ (A / L) =

5.15 TERCERA LEY m √ n √ X = m n √ X La raíz m de la raíz n de X es igual a la raíz m ∙ n de X . 5 √ 4 √ 6 = 5 ∙ 4 √ 6 7 √ 9 √ G = 7 ∙ 9 √ G

Ejercicio 14:

a) 2 √ 4 √ 23 = b) 5 √ 2 √ 66 = c) 6 √ 4 √ X =

d) 4 √ 6 √ 9 = e) 8 √ 2 √ 45 = f) 3 √ 7 √ Y =

g) 9 √ 3 √ 3 = h) 7 √ 7 √ 49 = i) 3 √ 2 √ Z =





Respuestas a los Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1:

Exponente Base

a) Base b) Exponente

Ejercicio 2: a) 10 b) 500 c) 670 d) 123 e) 6 f) a g) ab h) C i) cd

Ejercicio 3:

a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1

Ejercicio 4:

a) 0.01 b) 1 c) 1 / (ab) 2 d) 0.04 e) 5.95 * 10 -7 f) 1 / E 3 g) 4.11 * 10 -3 h) 0.125 i) 1 / (ac) 5

Ejercicio 5:

a) 3 5 b) 12 5 c) a 16 d) 4 8 e) 7 8 f) (ab) 9 g) 5 15 h) 34 9 i) c 12

Ejercicio 6:

a) 2 8 b) 12 290 c) F 55 d) 3 15 e) 10 16 f) (ab) 6 g) 6 56 h) 30 20 i) R 35





Ejercicio 7:

a) 5 3 ∙ 7 3 b) 6 4 ∙ 8 4 c) 3 2 ∙ 4 2

d) 11 7 ∙ 22 7 e) 3 7 ∙ 11 7 f) A 2 ∙ B 2

g) 3 2 ∙ 2 2 h) 8 3 ∙ 10 3 i) D 2 ∙ K 2

Ejercicio 8:

a) 6 4 / 6 4 b) 1 5 / 2 5 c) C 4 / D 4 d) 6 3 / 4 3 e) 1 6 / 8 6 f) X 1 / Y 1

g) 2 8 / 7 8 h) 3 3 / 4 3 i) R 5 / S 5

Ejercicio 9:

a) 9 1 b) 6 2 c) B 6

d) 25 0 e) 5 28 f) D 3

g) 12 -2 h) 52 -5 i) K 18

Ejercicio 10:

a) 1 / 8 -1 b) 1 / 7 -2 c) 1 / F -6

d) 1 / 22 0 e) 1 / 15 -28 f) 1 / Q -3

g) 1 / 2 2 h) 1 / 5 5 i) 1 / Ñ -18

Ejercicio 11:

a) 2 √ 18 5 b) 2 √ 36 c) 5 √ S 3

d) 7 √ 14 7 e) 3 √ 54 8 f) 12 √ P 9

g) 4 √ 78 1 h) 2 √ 12 22 i) 2 √ M 9

Ejercicio 12:

a) 5 √ 5 ∙ 5 √ 1 b) 8 √ 10 ∙ 8 √ 2 c) n √ C ∙ n √ D

d) 7 √ 5 ∙ 7 √ 20 e) 9 √ 6 ∙ 9 √ 8 f) 10 √ E ∙ 10 √ S

g) 2 √ 4 ∙ 2 √ 4 h) 5 √ 15 ∙ 5 √ 5 i) 6 √ P ∙ 6 √ N

Ejercicio 13:

a) 3 √ 7 / 3 √ 9 b) 4 √ 12 / 4 √ 8 c) 5 √ H / 5 √ J

d) 10 √ 15 / 10 √ 2 e) 6 √ 3 / 6 √ 18 f) n √ S / n √ C

g) 2 √ 25 / 2 √ 1 h) 5 √ 5 / 5 √ 35 i) 8 √ A / 8 √ L





Ejercicio 14:

a) 8 √ 23 b) 10 √ 66 c) 24 √ X

d) 24 √ 9 e) 16 √ 45 f) 21 √ Y

g) 27 √ 3 h) 49 √ 49 i) 6 √ Z

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