Unidad 1. Integrales

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

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Clculo Integral

Unidad 1. Integrales

Clculo Integral



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Clculo Integral


ndice UNIDAD 1. INTEGRALES ....................................................................................................................... 3

Presentacin de la unidad ................................................................................................................... 3

Propsito de la unidad ........................................................................................................................ 3

Competencia especfica ...................................................................................................................... 3

1.1. Integral definida ........................................................................................................................... 4

1.1.1. REA DE UNA REGIN ................................................................................................................................ 4

1.1.2. REA MEDIANTE SUMA DE RECTNGULOS INFINITESIMALES................................................................................ 6

1.1.3. INTEGRAL DEFINIDA ................................................................................................................................. 13

Actividad 1. Concepto de integral ..................................................................................................... 14

1.1.4. SUMA DE RIEMANN ................................................................................................................................. 14

1.1.5. EVALUACIN DE INTEGRALES ..................................................................................................................... 16

1.1.6. REGLA DEL PUNTO MEDIO ......................................................................................................................... 17

1.1.7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................... 18

Actividad 2. Sumas de Riemann ........................................................................................................ 20

1.2. Teorema fundamental del clculo ............................................................................................. 20

1.2.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO ....................................................................................................... 20

1.2.2. DERIVACIN E INTEGRACIN COMO PROCESOS INVERSOS ................................................................................ 24

Actividad 3. Resolucin de problemas TFC ....................................................................................... 24

1.3. Integral indefinida ...................................................................................................................... 24

1.3.1. INTEGRAL INDEFINIDA ............................................................................................................................... 25

1.3.2. TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS ............................................................................................................. 25

1.4. Regla de sustitucin ................................................................................................................... 26

1.4.1. REGLA DE SUSTITUCIN ............................................................................................................................ 26

1.4.2. INTEGRALES DEFINIDAS ............................................................................................................................. 28

1.4.3. SIMETRA ............................................................................................................................................... 29

Actividad 4. Integrales definidas e indefinidas.................................................................................. 30

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integracin ........................................................................ 31

Autorreflexiones ................................................................................................................................ 31

Cierre de la unidad ............................................................................................................................ 31

Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 31


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Clculo Integral


UNIDAD 1. INTEGRALES

Presentacin de la unidad En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemticos para construir el clculo integral. Vers que para calcular el rea de una funcin, partiremos del hecho de sumar las reas

de rectngulos bajo una grfica y el eje x, situacin que nos conducir al concepto de sumas de Riemann y al concepto de integral definida. Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirn desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral. En esta unidad te dars cuenta de que el clculo integral y diferencial estn ligados por un eslabn muy importante: el teorema fundamental del clculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales de manera muy prctica. Al igual que existen integrales definidas, tambin existen integrales indefinidas, mostraremos cul es esa pequea diferencia. Empezars a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitucin. Por ltimo, revisaremos algunas reglas de simetra que algunas integrales poseen, ya que te permitirn ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.

Propsito de la unidad

En esta unidad desarrollars tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del clculo, adems de calcular volmenes y promedios. Tambin, estudiaremos la integral definida y la indefinida.

Competencia especfica

Describir el proceso de integracin para calcular reas entre curvas, volmenes, as como el valor promedio de una funcin a travs del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del clculo con base en definiciones, modelos y reglas.


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Clculo Integral


1.1. Integral definida En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situacin de tener que calcular el rea de alguna regin de forma irregular, como ejemplo, calcular el rea de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en funcin del precio por metro cuadrado.

En esta seccin veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos tambin algunas propiedades, tambin empezars a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de Riemann.

1.1.1. rea de una regin Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es rea. Sabemos que es fcil calcular las reas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su frmula. Nos viene a la mente que el rea limitada por un cuadrado es la multiplicacin de su lado por

lado llA ; de un rectngulo es lado por su altura; de un tringulo es la multiplicacin

de su base por su altura hbA . As sucesivamente podemos citar muchas figuras con sus respectivas frmulas para calcular sus reas.


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Clculo Integral


El rea, entonces, es la regin limitada por ciertas fronteras, como puede ser lneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por lneas curvas, como el caso del crculo.

Ahora nos enfrentamos a calcular el rea de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: cul es el rea? La solucin es sencilla: nicamente hay que dividirlo en tringulos, calcular el rea de cada tringulo y sumar las reas de todos los tringulos para encontrar el rea total del terreno.


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Clculo Integral


As que el rea total de este terreno es 4321 AAAAAT Veamos ahora una figura un poco ms compleja cmo se hallara el rea para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el rea de una figura geomtrica cuya rea es conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El rea de cada cuadrado representa una unidad de rea. La figura quedara as.

El rea aproximada de la figura es de 33 unidades de rea. Podramos ser ms precisos, y para ello tendremos que hacer ms pequeos nuestros cuadrados.

Nota: Hace aproximadamente 2500 aos, los griegos saban cmo hallar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos. Tambin hallaron la forma de encontrar el rea de una figura curva; lo que hicieron fue inscribir polgonos en la figura y hacer que el nmero de lados del polgono aumentara. Usaban el mtodo conocido como de agotamiento o exhaucin.

1.1.2. rea mediante suma de rectngulos infinitesimales


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Clculo Integral


En este subtema obtendremos el rea bajo una curva por aproximacin de rectngulos, como se muestra en el objeto de arriba. Posteriormente se tomar el lmite de estos rectngulos. El procedimiento es el siguiente:

Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la funcin 2xy . Hallaremos el rea bajo la

curva en la regin comprendida entre 0 y 1 del eje x.

Podemos hallar el rea aproximada, inscribiendo rectngulos debajo de la curva descrita

por 2xy en la regin comprendida entre 0 y 1. El rea de la regin est dada por la

suma de todos los rectngulos inscritos en la regin S. Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectngulo es igual a 1/10. La altura para cada rectngulo es tomada del lado derecho de cada rectngulo, es decir, las alturas los rectngulos son los valores de la funcin

2)( xxf en los puntos extremos de la derecha.

Considerando de la imagen que, para cada nmero x de las abscisas, existe un valor para

y, se cumple la funcin 2)( xxf .


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Clculo Integral


La altura para el primer rectngulo es 2101

101 f .

Para el segundo 2102

102 f ,

Para el tercero 2103

103 f ,

De manera anloga se calcula las dems alturas para cada uno de los rectngulos. As que podemos escribir las alturas de los rectngulos de la siguiente manera:

21092

1082

1072

1062

1052

1042

1032

1022

101 ,,,,,,,, y 12

La suma de las reas de todos los rectngulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:

Realizamos la suma de todas las fracciones:

385.020077

10 R

Esta es el rea aproximada de la regin S; sin embargo, nuestros rectngulos sobresalen por encima de la grfica, lo cual quiere decir que el rea que hemos calculado es mayor

que el rea A de la regin S. A


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Clculo Integral


De manera similar al desarrollo anterior, nR es la suma de n rectngulos de la figura de

arriba, aqu el ancho de cada rectngulo vale n1 y las alturas las obtenemos al evaluar los

puntos ,...,, 321nnn

hasta nn en la funcin

2)( xxf , entonces, las alturas son:

,...,,, 24232221nnnn

as sucesivamente hasta 2nn .

El rea total est dada por la suma de las reas de todos los rectngulos.

21241231221221nn

nnnnnnnnnnR

Factorizamos 211

nn

222211 3212 nR nnn 22221 3213 nR nn

La suma de cuadrados tiene una expresin general dada por:

6

121321 2222

nnnn

Sustituimos la expresin en nuestro desarrollo anterior.

223 6

121

6

121

6

1211

n

nn

nn

nnnnnn

nRn

Ahora le aplicamos el lmite cuando el nmero de rectngulos tiende a ser infinito n debajo de la curva.

26

121lim

n

nnR

nn

Reacomodamos algunos trminos:

n

n

n

nR

nn

121

6

1lim

nnR

nn

12

11

6

1lim


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Clculo Integral


Recordemos que 01

lim nn

. Evaluamos los lmites,

3

12

6

10201

6

1nR

Por lo tanto, el rea de la regin S es:

3

1nR

Con la misma metodologa se puede calcular el rea de la regin S, usando rectngulos

inscritos cuyas alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaramos al mismo resultado cuando aplicamos el lmite de infinitos rectngulos debajo de la funcin.

Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectngulos; ya sea que pongamos rectngulos superiores o rectngulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los lmites son iguales. Ahora estamos preparados para analizar una regin ms general. Hallemos el rea de la curva siguiente. Tomemos la regin mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el

intervalo [a, b] en n rectngulos de anchos iguales.


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Clculo Integral


El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectngulo es:

n

abx

Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:

, ,3 ,2 , 321 xnaxxaxxaxxax n

Para un i-simo rectngulo que tiene un ancho x y una altura f (xi), que es el valor de f

en los puntos extremos de la derecha, tiene un rea igual a xxf i )( . Observa

detenidamente la figura de abajo. Nota: Cuando decimos i-simo hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posicin i, as que, si estamos hablando de rectngulos nos referimos a la posicin i que tiene un rectngulo sobre el eje x.


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Clculo Integral


Entonces, el rea bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las reas de todos los rectngulos.

xxfxxfxxfxxfR nn )()()()( 321

Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el nmero de rectngulos que divide el intervalo [a,b]. Te aseguramos que esta aproximacin va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de rectngulos bajo la curva, es decir, cuando n . Una vez analizado el caso general para un rea aproximada, podemos definir el rea A de la regin S.

Definicin. El rea A de una regin S que se encuentra debajo de una funcin continua f es el lmite de la suma de las reas de los rectngulos de aproximacin:

xxfxxfxxfxxfRA nn

nn

)()()()(limlim 321

Ojo, para que el lmite exista se est suponiendo una funcin f continua. Frecuentemente se usa la notacin sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen muchos trminos. Por ejemplo,

xxfxxfxxfxxfxxf n

n

i

i

)()()()()( 321

1

Nota:

En la notacin sigma

n

mi

i xxf )( se identifican las siguientes partes.

i=m, indica que debemos comenzar con i=m, n indica terminar con el elemento n,

y el smbolo indica sumar. Por lo tanto, la definicin anterior la podemos escribir de la siguiente manera:

n

i

in

xxfA1

)(lim

Se tiene el mismo valor de rea cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.

n

i

in

xxfA1

1)(lim

Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-simo rectngulo como el valor de f en cualquier nmero xi* en el i-simo subintervalo [xi-1,xi]. Los nmeros x1*,x2*,xn* reciben el nombre de puntos muestra. La figura de abajo muestra los rectngulos de aproximacin cuando se eligen puntos muestra diferentes a los puntos de los extremos.


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Clculo Integral


La expresin ms general para el rea bajo la grfica de la funcin f es:

n

i

in

xxfA1

1)(lim

1.1.3. Integral definida

Anteriormente habamos obtenido un lmite de la forma

n

i

in

xxf1

1)(lim cuando se

calcula un rea bajo una curva. Hablando ms general, este tipo de lmite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la funcin f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de lmite se le da un nombre y una notacin especial.

Definicin de integral definida. Si f es una funcin continua definida para axb,

dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho nabx )( .

Denotamos con x0 (=a), x1,x2,xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestra x1*,x2*,xn en estos subintervalos de modo que xi* se encuentre en el i-simo subintervalos [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b es:

n

i

in

b

axxfdxxf

1

)(lim)(

Nota: En una integral se identifican las partes:

b

adxxf )(

El signo se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que una integral es un lmite de sumas. Las letras a y b son los lmites de integracin, a es el lmite inferior y b es el lmite superior de la integral. A f(x) se le llama integrando.


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Clculo Integral


dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qu variable se est integrando, y de clculo diferencial lo identificamos como un diferencial.

Al procedimiento para calcular una integral se le llama integracin. Nota:

La integral definida b

adxxf )( es un nmero, no depende de x. Se

puede tomar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral.

Ejemplos:

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

adssfdrrfdfdyyfdttfdxxf )()()()()()(

Actividad 1. Concepto de integral A travs de esta actividad podrs, identificar el concepto general de la integral, as como sus variantes.

1.1.4. Suma de Riemann A la suma que est mostrada en la parte derecha de la definicin de integral definida:

n

i

in

b

axxfdxxf

1

)(lim)(

se le conoce con el nombre de suma de Riemann.

n

i

i xxf1

)(

Esta sumatoria representa la suma de reas de los rectngulos de aproximacin. La grfica muestra la representacin geomtrica de la suma de Riemann de la funcin

)(xf .

Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:


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Clculo Integral


54321

5

1

)()()( AAAAAxxfi

i

Si 0)( ixf es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de

reas de los rectngulos de aproximacin cuyas reas son positivas. Por otra parte, los trminos con signo negativo son inversos aditivos de reas y surgen de las particiones o

rectngulos que quedan debajo del eje x, ya que en ese tramo 0)( ixf .

De la relacin de la definicin de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:

Si 0)( xf , la integral definida b

adxxf )( es el rea bajo la curva )(xfy , desde

a hasta b.

Si )(xf adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida

b

adxxf )( es la diferencia de reas:

abajo Rarriba R)( AAdxxfb

a

Donde arriba RA representa el rea de la regin por arriba del eje x y debajo de la grfica

)(xf ; y abajo RA representa la regin debajo del eje x y arriba de la grfica )(xf .


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Clculo Integral


Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo de como hallar el rea bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann, aplicando el concepto de integral definida. http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related Ejemplo

Expresa xxxxn

i

iiin

1

5 sen lim como una integral en el intervalo [0,].

Solucin De acuerdo con la definicin de integral definida, el lmite siempre existe y da el mismo

valor. No importa cmo se elijan los puntos muestra ix , podemos remplazar xxi

tomando como puntos muestra los puntos extremos derechos, por lo tanto, el lmite lo podemos escribir como:

b

a

n

i

in

dxxfxxf )()(lim1

Comparando el lmite de la funcin dada )( ixf en la definicin de integral definida )(xf

con la integral de nuestra funcin, identificamos que:

)()( xfxf i

xxxxf i sen )(5 cuando xxi

.

En consideracin de lo anterior, podemos escribir la solucin de la siguiente manera.

0

5

1

5 sen sen lim dxxxxxxxxn

i

iiin

1.1.5. Evaluacin de integrales Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a travs de sumas, es necesario que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias.

2

)1(

1

nni

n

i

nccn

i

1

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba111

)(

6

)12)(1(

1

2

nnni

n

i

n

i

ii

n

i

acac11

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba111

)(

2

1

3

2

)1(

nni

n

i

Consideremos el siguiente ejemplo.

a) Evaluar la suma de Riemann para 2)( xxf , en el intervalo [3,5].

b) Evale 5

32dxx

Solucin.

a) x estaba dado por:
http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOYhttp://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related


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Clculo Integral


n

abx

Sustituimos a y b,

nnx

235

Para la i-sima particin o rectngulo,

in

xiaxi2

3

La suma de Riemann est dada por:

n

i

i xxf1

)( ,

recuerde que la funcin )(xf es 2)( xxf , as que sustituimos xi y x .

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

i

n

i

in

i

nn

i

nnn

i

nn

ixxxxf

12

12

1111

4242221

22

23)2()(

Sacamos de las sumas los trminos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, segn las frmulas que dimos al principio de la seccin.

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

nn

i

nnn

i

nn

ixxf

12

12

111

4242221

22

23)(

nnn

nnn

nn

ni

nn

n

i

n

i

122

1122

122

2

)1(4)(

241

22

1 12

Finalmente tenemos el n-simo trmino de la suma de Riemann.

nxxf

n

i

i

122)(

1

b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el rea bajo la curva entre los lmites 3 y 5 del eje x.

4)02(21

22lim)(lim)(1

n

xxfdxxfAn

n

i

in

b

a

1.1.6. Regla del punto medio

Anteriormente el punto medio de un rectngulo ms pequeo es

ix , cuyo valor era

arbitrario, poda estar entre 1ix y ix . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es

una aproximacin a una integral, es conveniente usar puntos medios denotados por ix .

Tenemos la regla que dice. Regla de punto medio

)()()()( 11

n

n

i

i

b

axfxfxxxfdxxf

, donde n

abx

Y )( 121

iii xxx que es el punto medio de intervalo o la base del rectngulo [ ii xx ,1 ]


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Clculo Integral


Ejemplo

Calcular por aproximacin la integral 2

1

1 dxx

usando la regla del punto medio con n=5.

Solucin Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0.

5

1

5

12

x

Los puntos medios son 1.1)12.1(21

1 x , as sucesivamente para los dems: 1.3, 1.5,

1.7 y 1.9. La integral aproximada es:

)9.1()7.1()5.1()3.1()1.1(2

1

1 fffffxdxx

9.1

1

7.1

1

5.1

1

3.1

1

1.1

151

2

1

1 dxx

692.02

1

1 dxx

1.1.7. Propiedades de la integral definida En esta seccin encontrars las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar integrales. Considere que las funciones f y g son continuas.

Si ba se cumple

1. a

b

b

adxxfdxxf )()(

Si ba , 0x

2. a

adxxf 0)(

Propiedades bsicas de las integrales

3. b

aabccdx )( , c es una constante.

La integral de una suma es la suma de las integrales.


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Clculo Integral


4. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

5. b

a

b

adxxfcdxxcf )()( , c es una constante.

6. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Si 0)( xf y bca se cumple la propiedad.

7. b

a

c

a

b

cdxxfdxxgdxxf )()()(

Propiedades de orden de la integral

Las siguientes propiedades son vlidas para ba

8. Si 0)( xf para bxa , entonces a

adxxf 0)(


20

Clculo Integral


9. Si )()( xgxf para bxa , entonces b

a

b

adxxgdxxf )()(

10. Si Mxfm )( para bxa , entonces b

aabMdxxfabm )()()(

Esta ltima propiedad est ilustrada en la siguiente figura. Afirma que el rea bajo la grfica de f es mayor que el rea del rectngulo de altura m y menor que el rea del rectngulo de altura M.

Actividad 2. Sumas de Riemann Evaluars funciones a travs de las sumas de Riemann

1.2. Teorema fundamental del clculo En esta seccin veremos el teorema fundamental del clculo, as como su importancia en clculo para integrar y/o derivar. Recordemos que el teorema fundamental del clculo establece la conexin entre las dos ramas del clculo, el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciacin y la integracin son procesos inversos. Dan la relacin precisa entre la derivada y la integral. El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear lmites de sumas.

1.2.1. Teorema fundamental del clculo El teorema fundamental del clculo se establece en dos partes. Veamos la primera parte. Primera parte del teorema fundamental del clculo


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Clculo Integral


La primera parte del teorema fundamental del clculo se deriva del siguiente anlisis. Consideremos la siguiente grfica.

Tenemos una curva en rojo, representada por una funcin )(tf como lo muestra la

grfica. Por otra parte, podemos pensar en una funcin g(x) que describe el rea bajo la curva desde a hasta x, representada por:

x

adttfxg )()(

Ahora, supongamos que queremos calcular el rea de la franja azul encerrada bajo la grfica y los intervalos x y x+h (ver la parte derecha). Por lo tanto el rea que estamos buscando es simplemente la diferencia de reas de la regin limitada por [a, x+h] menos el rea de la regin limitada por [a, x].

Tambin existe otra manera de estimar el rea de ese pequeo segmento de rea limitado entre x y x+h, mediante calcular el rea del rectngulo verde cuya rea es h por f(x). El rea del rectngulo verde es aproximada al rea de la franja azul, es decir:


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Clculo Integral


)()()( xghxgxhf

Esta aproximacin es ms precisa cuando el ancho del rectngulo verde h tiende a cero. Se convierte en igualdad cuando h tiende a cero como lmite.

Ahora, si a la aproximacin )()()( xghxgxhf la dividimos por h en ambos lados, se

obtiene:

h

xghxgxf

)()()(

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuacin es sencillamente la derivada de la funcin y que el miembro izquierdo se queda como (x).

)()()(

lim)(0

xfh

xghxgxg

h

Se muestra entonces de manera intuitiva que (x) = )(xg , es decir, que la derivada de la

funcin de rea )(xg es en realidad la funcin (x). Dicho de otra forma, la funcin de

rea )(xg es la antiderivada de la funcin original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una funcin y "hallar el rea" bajo su curva son operaciones "inversas". Esto lo podemos enunciar en la primera parte del teorema fundamental del clculo, que dice.

Primera parte del TFC

Dada una funcin f continua en [a,b], la funcin g definida por:

x

adttfxg )()( bxa

Es continua en [a,b] y derivable en (a,b), y

)()( xfxg


23

Clculo Integral


Con la notacin de Leibniz para las derivadas podemos escribir el teorema fundamental del clculo de la siguiente manera. Considrese que f es continua.

)()( xfdttfdx

d x

a

Recalquemos que esta ecuacin indica que, si primero integramos f y luego derivamos el resultado, obtendremos nuevamente la funcin original f. Ejemplo

Determinar la derivada de la funcin x

dttxg0

21)(

Solucin Reconoceremos las partes que describe el teorema fundamental del clculo.

x

adttfxg )()( .

Identificamos que 21)( ttf es una funcin continua segn el teorema, por lo que

finalmente:

21)( xxg

En el siguiente video podemos ver cmo es que integracin y diferenciacin son procesos inversos. http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related Segunda parte del teorema fundamental del clculo La segunda parte del teorema fundamental del clculo ofrece un mtodo ms sencillo para evaluar integrales.

Segunda parte del TFC

Dada una funcin f continua en [a,b], entonces

b

aaFbFdxxf )()()(

F es cualquier antiderivada de f, de tal forma que F=f

Esto quiere decir que si conocemos una antiderivada F, de f, es posible evaluar b

adxxf )(

con slo restar los valores de F en los extremos del intervalo [a, b]. Nota:

Existen estas otras formas para denotar el teorema fundamental del clculo.

)()()()()( aFbFxFxFxF ba

b

a

b

a

Ejemplo

Evala la integral 6

3 x

dx.

Solucin

Una antiderivada de xxf 1)( es xxF ln)( . Dado que los lmites de integracin se

encuentran en [3,6] podemos omitir las barras de valor absoluto.
http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related


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Clculo Integral


2ln3

6ln3ln6lnln

6

3

6

3 xx

dx

1.2.2. Derivacin e integracin como procesos inversos Hemos visto la importancia que tiene el teorema fundamental del clculo, nos muestra claramente que la integracin y la derivacin son procesos inversos. El teorema fundamental queda establecido como a continuacin se enuncia. No lo olvides y tenlo siempre presente.

Dada una funcin f continua en un intervalo cerrado [a, b].

1. Si x

adttfxg )()( , entonces )()( xfxg .

2. b

aaFbFdxxf )()()( , donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F=f.

Las dos partes del teorema fundamental del clculo expresan que la derivacin y la integracin son procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra.

Actividad 3. Resolucin de problemas TFC A travs de esta actividad, Resolvers ejercicios relacionados al Teorema fundamental del clculo, aplicando sus propiedades.

1.3. Integral indefinida En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la derivacin. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del clculo.

Cxdxx 32

3

1

23

3

2xCx

dx

d

Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, debers tener en mente esta imagen, te permitir hallar de manera ms sencilla la integral de una funcin. Las tablas de integrales resumen estos procesos inversos, te sern de gran ayuda.


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Clculo Integral


1.3.1. Integral indefinida De las secciones precedentes habamos llegado a dos puntos muy importantes del teorema fundamental del clculo.

1. Si f es continua entonces x

adttf )( es una antiderivada de f.

2. Si b

aaFbFdxxf )()()( , donde F es una antiderivada de f.

Sin embargo, por practicidad, es precisa una notacin para las antiderivadas. Por lo tanto,

a la integral x

adttf )( se le llama integral indefinida.

Integral indefinida

)()( )()( xfxFxFdxxf Ejemplo

derivada la es esta )(2 2

derivacin2

xfxCx

dx

d

indefinida integral o daantideriva la es esta 2

2x 2)(2

cinAntideriva Cx

dxxxf C es cualquier constante. El TFC trae como consecuencia que una integral definida es una familia de funciones para cada valor de C.

Nota importante:

La integral definida b

adxxf )( es un nmero.

La integral indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C, que puede ser cualquier nmero.

1.3.2. Tabla de integrales indefinidas A continuacin te desplegamos una lista de antiderivadas de funciones, o mejor dicho integrales indefinidas.

Tabla de integrales indefinidas

dxxfcdxxcf )()( dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Ckxkdx

)1( 1

1

nCnx

dxxn

n Cxdxx

ln1

Cedxe xx Ca

adxa

xx ln


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Clculo Integral


Cxxdx cossen Cxxdx sen cos

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc

2

Cxdxxx sec tan sec Cxxdxx csccot csc

Cxdxx

1

2tan

1

1 Cxdx

x

1

2sen

1

1

De manera semejante a lo que se hizo en la seccin anterior, puedes derivar la funcin del lado derecho para verificar que se obtiene el integrando. Observa.

x

Cxdx

dCxdx

x

1ln porque ln

1

1.4. Regla de sustitucin Hemos visto cmo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral de la siguiente forma,

d1 de seguro te surgirn las siguientes preguntas: Cmo le hago? Existe algn truco? Hay algn mtodo para evaluarlas que tenga que ver con races? Las respuestas las encontrars aqu.

El radical aparentemente te la hace complicada, pero veremos una alternativa

interesante para calcular integrales que contengan radicales, veremos que el mtodo de sustitucin es ideal para resolver este tipo de integrales. Lo esencial de esta regla es transformar una integral complicada en una integral ms sencilla, Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es funcin de x.

1.4.1. Regla de sustitucin Hemos visto en nuestras tablas la forma de hallar ciertas antiderivadas; sin embargo, no tenemos las herramientas para evaluar integrales donde se vean involucradas radicales o integrales de la forma:

dxxx 212

Para resolverlas implementaremos el siguiente mtodo de sustitucin: Lo que haremos ser introducir un cambio de variable de ux .

Designamos por conveniencia a ux 21 :

21 xu


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Clculo Integral


Calculamos el diferencial du (esto se estudi en clculo diferencial). Es algo anlogo a calcular una derivada.

xdxdu 2 Ahora reacomodamos nuestra integral para facilitar la identificacin de trminos. Y sustituir estos dos ltimos resultados en nuestra integral:

duuduuxdxxdxxxdu

u

2/122 2112

Nuestra integral ha quedado en trminos de la nueva variable u, procedemos a calcular la

integral con la frmula: Cn

xdxx

nn

1

1

que vimos de la seccin de tablas de

integracin.

CuCu

Cu

Cu

duu

23

23

22

21

21

1

2/1

3

2

1

23

22

21

21

Ahora que hemos calculado la integral en trminos de la variable u procedemos a poner nuestro resultado en la variable anterior, es decir, xu .

CxCux

2

32

2

3

1

13

2

3

2

2

Finalmente podemos escribir que:

Cxdxxx 23

22 13

212

Hemos visto que evaluamos de manera sencilla nuestra integral haciendo la introduccin de un cambio de variable.

Para comprobar nuestro resultado, simplemente, derivamos 2

3(1 + 2)

32 + respecto de x

usando la regla de la cadena, la cual se vio en clculo diferencial. El procedimiento anterior lo escribimos con la siguiente regla:

Regla de sustitucin

Si tenemos una funcin )(xgu diferenciable en el intervalo I, y adems continua en

ese mismo intervalo, entonces:

duufdxxgxgf )()()(

As que si )(xgu , entonces dxxgdu )( . La clave es pensar en du y dx como

diferenciales. Ejemplo

Encontrar dxx

x

241

Solucin

Proponemos 241 xu , ahora calculamos el diferencial. xdxdu 8


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Clculo Integral


Ahora reescribimos nuestra integral, de modo que se adapte a u y du para hacer el cambio de variable. Observa que del cociente se identifica al denominador como du y al

denominador como u .

u

du

x

xdxdx

x

x

22 41

8

8

1

41

Identificamos a du y u y la integral se reescribe como:

u

du

8

1

Seguimos reacomodando trminos que se pueden sacar de la integral.

CuCu

Cu

u

du

u

du

2/1

21

21

1

2/1 8

2

8

1

18

1

8

1

8

1 21

21

Ahora colocamos nuestro resultado en trminos de la variable inicial.

CxCuu

du

2/122/1 414

1

8

2

8

1

Finalmente nuestra integral queda expresada de la siguiente manera.

Cxdxx

x

2/12

241

4

1

41

Para comprobar, se precede a derivar.

1.4.2. Integrales definidas

Habamos mencionado anteriormente en una nota que: la integral definida b

adxxf )( es

un nmero y que la indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C. Sin embargo, como nos encontramos sumergidos en el tema de integrales definidas trataremos dos maneras de evaluar una integral definida. La primera consiste en hallar la integral como en los casos propuestos de la seccin anterior para evaluar la integral.

Supongamos que piden que evaluemos la integral: dxxx 3

0

212 , se calcula la integral y

se procede a evaluar segn los lmites superior e inferior.

110003

21

3

210

3

201

3

231

3

21

3

212 2

3

2

32

322

32

3

0

2

32

3

0

2

xdxxx

El otro mtodo consiste en cambiar los lmites de integracin al momento de cambiar la variable. Con ello surge la siguiente regla.


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Clculo Integral


Regla de sustitucin para las integrales definidas

Si tenemos una funcin )(xg continua en el intervalo [a,b] y f tambin es continua en

la imagen de )(xgu , entonces:

)(

)()()()(

bg

ag

b

aduufdxxgxgf

Analicemos el siguiente ejemplo:

Calculemos la siguiente integral definida dxx

xe0

ln.

Antes que nada procedamos a realizar el cambio de variable.

xu ln

Su diferencial es dxdu x1

Identificamos trminos y los intercambiamos por la nueva variable, teniendo as:

?

?0

lnududx

x

xe

El signos de interrogacin ?, denota que no sabemos los nuevos lmites de integracin. Ahora los lmites de integracin quedan definidos por la nueva variable

Cuando 1x sustituida en xu ln da 0)1ln( u

y cuando ex ; 1)ln( eu

Por tanto los nuevos lmites de integracin son: 0 y 1, inferior y superior, respectivamente. Quedando as la nueva integral con sus nuevos lmites de integracin.

1

0udu

Resolvemos y evaluamos.

2

1

2

1

0

21

0

uudu

1.4.3. Simetra En algunas integrales es posible simplificar los clculos, poniendo atencin a sus propiedades. En clculo diferencial revisaste las propiedades de simetra de una funcin. Considera lo siguiente.

Integrales de funciones simtricas

Si tenemos una funcin f continua en el intervalo [-a, a].

i) Si f es par )()( xfxf , entonces aa

adxxfdxxf

0)(2

ii) Si f es impar )()( xfxf , entonces 0a

adxxf

Grficamente representamos los casos.


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Clculo Integral


El caso i) ilustra que f es positiva y par, por lo tanto, el rea bajo la curva descrita por

)(xf es el doble de rea desde 0 hasta a, debido a que )(xf es simtrica. Lo puedes ver

en la siguiente grfica.

)(xf es par, y se puede hacer aa

adxxfdxxf

0)(2

En el caso ii) tratamos con una funcin impar. Las reas se van a cancelar, ya que se trata de una diferencia de reas.

)(xf es impar, la integral se reduce a 0a

adxxf

En el siguiente video puedes verificar las funciones pares e impares: http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8

Actividad 4. Integrales definidas e indefinidas A travs de esta actividad, Resolvers ejercicios relacionados Integrales indefinidas y definidas por diferentes mtodos.
http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8


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Clculo Integral


Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integracin A travs de esta actividad, tomando en cuenta todo el conocimiento obtenido durante la unidad resolvers problemas que presenten argumentos sobre integrales

Autorreflexiones

Cierre de la unidad Las actividades de esta unidad son fundamentales para el desarrollo y la asimilacin de los contenidos de la siguiente unidad, es importante que los contenidos queden bien consolidados en esta unidad.

Fuentes de consulta Apostol, T. M. (2008). Calculus. Espaa: Revert. Larson, R. E. (2005). Clculo. Mxico: McGraw Hill. Stewart, James. (2008). Clculo. Trascendentes tempranas. Mxico: Cengage Learning.

Unidad 1. Integrales

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