Unidad 1. Integrales
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Clculo Integral
Unidad 1. Integrales
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico 1
Clculo integral
Unidad 1. Integrales
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Clculo Integral
Unidad 1. Integrales
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico 2
ndice
UNIDAD 1. INTEGRALES.................................................................................................. 3
Propsito de la unidad ....................................................................................................... 3
Competencia especfica ..................................................................................................... 3
Presentacin de la unidad ................................................................................................. 3
1.1. Integral definida ....................................................................................................... 4
1.1.1. rea de una regin .............................................................................................. 4
1.1.2. rea mediante suma de rectngulos infinitesimales ............................................ 7
1.1.3. Integral definida ................................................................................................. 16
1.1.4. Suma de Riemann ............................................................................................. 17
1.1.5. Evaluacin de integrales .................................................................................... 20
1.1.6. Regla del punto medio ....................................................................................... 22
1.1.7. Propiedades de la integral definida .................................................................... 23
1.2. Teorema fundamental del clculo .......................................................................... 25
1.2.1. Teorema fundamental del clculo ...................................................................... 26
1.2.2. Derivacin e integracin como procesos inversos ............................................. 30
1.3. Integral indefinida .................................................................................................. 30
1.3.1. Integral indefinida .............................................................................................. 31
1.3.2. Tabla de integrales indefinidas .......................................................................... 32
1.4. Regla de sustitucin .............................................................................................. 32
1.4.1. Regla de sustitucin .......................................................................................... 33
1.4.2. Integrales definidas ............................................................................................ 35
1.4.3. Simetra ............................................................................................................. 37
Consideraciones especficas de la unidad ....................................................................... 39
Fuentes de consulta ........................................................................................................ 39
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Clculo Integral
Unidad 1. Integrales
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico 3
UNIDAD 1. INTEGRALES
Propsito de la unidad
En esta unidad desarrollars tu habilidad para calcular integrales
mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del clculo,
adems de calcular volmenes y promedios. Tambin, estudiaremos
la integral definida y la indefinida.
Competencia especfica
Describir el proceso de integracin para calcular reas entre curvas,
volmenes, as como el valor promedio de una funcin a travs del
uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del
clculo con base en definiciones, modelos y reglas.
Presentacin de la unidad
En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemticos para construir el
clculo integral.
Vers que para calcular el rea de una funcin, partiremos del hecho de sumar las reas
de rectngulos bajo una grfica y el eje x, situacin que nos conducir al concepto de
sumas de Riemann y al concepto de integral definida.
Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirn
desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral.
En esta unidad te dars cuenta de que el clculo integral y diferencial estn ligados por un
eslabn muy importante: el teorema fundamental del clculo. Es una herramienta muy
poderosa para evaluar integrales de manera muy prctica.
Al igual que existen integrales definidas, tambin existen integrales indefinidas,
mostraremos cul es esa pequea diferencia. Empezars a calcular integrales no tan
complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitucin. Por ltimo,
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revisaremos algunas reglas de simetra que algunas integrales poseen, ya que te
permitirn ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.
1.1. Integral definida
En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situacin de tener que calcular el rea
de alguna regin de forma irregular, como ejemplo, calcular el rea de un terreno de
forma irregular para saber el valor monetario en funcin del precio por metro cuadrado.
En esta seccin veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida.
Veremos tambin algunas propiedades, tambin empezars a evaluar algunas integrales
sencillas mediante las sumas de Riemann.
1.1.1. rea de una regin
Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es rea. Sabemos que es fcil
calcular las reas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su frmula. Nos
viene a la mente que el rea limitada por un cuadrado es la multiplicacin de su lado por
lado llA ; de un rectngulo es lado por su altura; de un tringulo es la multiplicacin
de su base por su altura hbA . As sucesivamente podemos citar muchas figuras con
sus respectivas frmulas para calcular sus reas.
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El rea, entonces, es la regin limitada por ciertas fronteras, como puede ser lneas
rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por lneas curvas, como el caso del crculo.
Ahora nos enfrentamos a calcular el rea de una figura que tiene forma irregular.
Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien
definida, veamos el siguiente ejemplo:
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Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: cul es el rea?
La solucin es sencilla: nicamente hay que dividirlo en tringulos, calcular el rea de
cada tringulo y sumar las reas de todos los tringulos para encontrar el rea total del
terreno.
As que el rea total de este terreno es 4321 AAAAAT
Veamos ahora una figura un poco ms compleja cmo se hallara el rea para la
siguiente figura?
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La respuesta es, inscribir repetidamente el rea de una figura geomtrica cuya rea es
conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El rea de cada cuadrado representa una
unidad de rea. La figura quedara as.
El rea aproximada de la figura es de 33 unidades de rea. Podramos ser ms precisos,
y para ello tendremos que hacer ms pequeos nuestros cuadrados.
Nota: Hace aproximadamente 2500 aos, los griegos saban cmo
hallar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos. Tambin
hallaron la forma de encontrar el rea de una figura curva; lo que
hicieron fue inscribir polgonos en la figura y hacer que el nmero de
lados del polgono aumentara. Usaban el mtodo conocido como de
agotamiento o exhaucin.
1.1.2. rea mediante suma de rectngulos infinitesimales
En este subtema obtendremos el rea bajo una curva por aproximacin de rectngulos,
como se muestra en el objeto de arriba. Posteriormente se tomar el lmite de estos
rectngulos. El procedimiento es el siguiente:
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Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la funcin 2xy . Hallaremos el rea bajo la
curva en la regin comprendida entre 0 y 1 del eje x.
Podemos hallar el rea aproximada, inscribiendo rectngulos debajo de la curva descrita
por 2xy en la regin comprendida entre 0 y 1. El rea de la regin est dada por la
suma de todos los rectngulos inscritos en la regin S.
Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada
rectngulo es igual a 1/10. La altura para cada rectngulo es tomada del lado derecho de
cada rectngulo, es decir, las alturas los rectngulos son los valores de la funcin 2)( xxf en los puntos extremos de la derecha.
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Considerando de la imagen que, para cada nmero x de las abscisas, existe un valor para
y, se cumple la funcin 2)( xxf .
La altura para el primer rectngulo es 2101
101 f .
Para el segundo 2102
102 f ,
Para el tercero 2103
103 f ,
De manera anloga se calcula las dems alturas para cada uno de los rectngulos. As
que podemos escribir las alturas de los rectngulos de la siguiente manera:
21092
1082
1072
1062
1052
1042
1032
1022
101 ,,,,,,,, y 12
La suma de las reas de todos los rectngulos es la suma aproximada debajo de la curva
comprendida entre 0 y 1:
Realizamos la suma de todas las fracciones:
385.020077
10 R
Esta es el rea aproximada de la regin S; sin embargo, nuestros rectngulos sobresalen por encima de la grfica, lo cual quiere decir que el rea que hemos calculado es mayor
que el rea A de la regin S.
A
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Para tener una mejor estimacin del rea A bajo la curva, lo que tendremos que hacer es considerar un incremento de rectngulos, y as las bases de los rectngulos sern cada
vez ms pequeas. Al calcular la suma total de rectngulos infinitesimales, obtendremos
mejores estimaciones para el rea de la regin S.
Si incrementamos infinitamente el nmero de rectngulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos se hiciera muy pequeo, veremos que la suma de todos los rectngulos
superiores se aproxima al rea A bajo la curva.
De manera similar al desarrollo anterior, nR es la suma de n rectngulos de la figura de
arriba, aqu el ancho de cada rectngulo vale n1 y las alturas las obtenemos al evaluar los
puntos ,...,, 321nnn
hasta nn en la funcin
2)( xxf , entonces, las alturas son:
,...,,, 24232221nnnn
as sucesivamente hasta 2nn .
El rea total est dada por la suma de las reas de todos los rectngulos.
21241231221221nn
nnnnnnnnnnR
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Factorizamos 211
nn
222211 3212 nR nnn
22221 3213 nR nn
La suma de cuadrados tiene una expresin general dada por:
6
121321 2222
nnnn
Sustituimos la expresin en nuestro desarrollo anterior.
223 6
121
6
121
6
1211
n
nn
nn
nnnnnn
nRn
Ahora le aplicamos el lmite cuando el nmero de rectngulos tiende a ser infinito n
debajo de la curva.
26
121lim
n
nnR
nn
Reacomodamos algunos trminos:
n
n
n
nR
nn
121
6
1lim
nnR
nn
12
11
6
1lim
Recordemos que 01
lim nn
. Evaluamos los lmites,
3
12
6
10201
6
1nR
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Por lo tanto, el rea de la regin S es:
3
1nR
Con la misma metodologa se puede calcular el rea de la regin S, usando rectngulos
inscritos cuyas alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaramos al mismo resultado cuando aplicamos el lmite de infinitos
rectngulos debajo de la funcin.
Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectngulos; ya sea que
pongamos rectngulos superiores o rectngulos inferiores, siempre vamos a llegar al
mismo resultado, los lmites son iguales.
Ahora estamos preparados para analizar una regin ms general. Hallemos el rea de la
curva siguiente. Tomemos la regin mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el
intervalo [a, b] en n rectngulos de anchos iguales.
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El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectngulo es:
n
abx
Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:
, ,3 ,2 , 321 xnaxxaxxaxxax n
Para un i-simo rectngulo que tiene un ancho x y una altura f (xi), que es el valor de f
en los puntos extremos de la derecha, tiene un rea igual a xxf i )( . Observa
detenidamente la figura de abajo.
Nota: Cuando decimos i-simo hacemos referencia a un elemento
que se encuentra en la posicin i, as que, si estamos hablando de
rectngulos nos referimos a la posicin i que tiene un rectngulo
sobre el eje x.
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Entonces, el rea bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la
suma de las reas de todos los rectngulos.
xxfxxfxxfxxfR nn )()()()( 321
Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el nmero de rectngulos que divide
el intervalo [a,b].
Te aseguramos que esta aproximacin va a mejorar a medida que se incrementa la
cantidad de rectngulos bajo la curva, es decir, cuando n .
Una vez analizado el caso general para un rea aproximada, podemos definir el rea A de
la regin S.
Definicin. El rea A de una regin S que se encuentra debajo de una funcin
continua f es el lmite de la suma de las reas de los rectngulos de aproximacin:
xxfxxfxxfxxfRA nn
nn
)()()()(limlim 321
Ojo, para que el lmite exista se est suponiendo una funcin f continua.
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Frecuentemente se usa la notacin sigma para escribir de manera compacta las sumas
que contienen muchos trminos. Por ejemplo:
xxfxxfxxfxxfxxf n
n
i
i
)()()()()( 321
1
Nota:
En la notacin sigma
n
mi
i xxf )( se identifican las siguientes partes.
i=m, indica que debemos comenzar con i=m,
n indica terminar con el elemento n,
y el smbolo indica sumar.
Por lo tanto, la definicin anterior la podemos escribir de la siguiente manera:
n
i
in
xxfA1
)(lim
Se tiene el mismo valor de rea cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.
n
i
in
xxfA1
1)(lim
Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-
simo rectngulo como el valor de f en cualquier nmero xi* en el i-simo subintervalo [xi-
1,xi]. Los nmeros x1*,x2*,xn* reciben el nombre de puntos muestra.
La figura de abajo muestra los rectngulos de aproximacin cuando se eligen puntos
muestra diferentes a los puntos de los extremos.
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La expresin ms general para el rea bajo la grfica de la funcin f es:
n
i
in
xxfA1
1)(lim
1.1.3. Integral definida
Anteriormente habamos obtenido un lmite de la forma
n
i
in
xxf1
1)(lim cuando se
calcula un rea bajo una curva. Hablando ms general, este tipo de lmite se presenta en
varias situaciones, incluso cuando la funcin f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de
lmite se le da un nombre y una notacin especial.
Definicin de integral definida. Si f es una funcin continua definida para axb,
dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho nabx )( .
Denotamos con x0 (=a), x1,x2,xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y
elegimos los puntos muestra x1*,x2*,xn en estos subintervalos de modo que xi* se
encuentre en el i-simo subintervalos [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f,
desde a hasta b es:
n
i
in
b
axxfdxxf
1
)(lim)(
-
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Nota:
En una integral se identifican las partes:
b
adxxf )(
El signo se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que una integral es un lmite de sumas.
Las letras a y b son los lmites de integracin, a es el lmite inferior
y b es el lmite superior de la integral.
A f(x) se le llama integrando.
dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qu
variable se est integrando, y de clculo diferencial lo identificamos
como un diferencial.
Al procedimiento para calcular una integral se le llama integracin.
Nota:
La integral definida b
adxxf )( es un nmero, no depende de x. Se
puede tomar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la
integral.
Ejemplos:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
adssfdrrfdfdyyfdttfdxxf )()()()()()(
1.1.4. Suma de Riemann
A la suma que est mostrada en la parte derecha de la definicin de integral definida:
n
i
in
b
axxfdxxf
1
)(lim)(
se le conoce con el nombre de suma de Riemann.
n
i
i xxf1
)(
Esta sumatoria representa la suma de reas de los rectngulos de aproximacin.
La grfica muestra la representacin geomtrica de la suma de Riemann de la funcin
)(xf .
-
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Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:
54321
5
1
)()()( AAAAAxxfi
i
Si 0)( ixf es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de
reas de los rectngulos de aproximacin cuyas reas son positivas. Por otra parte, los
trminos con signo negativo son inversos aditivos de reas y surgen de las particiones o
rectngulos que quedan debajo del eje x, ya que en ese tramo 0)( ixf .
De la relacin de la definicin de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:
Si 0)( xf , la integral definida b
adxxf )( es el rea bajo la curva )(xfy , desde
a hasta b.
-
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Si )(xf adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida
b
adxxf )( es la diferencia de reas:
abajo Rarriba R)( AAdxxfb
a
Donde arriba RA representa el rea de la regin por arriba del eje x y debajo de la grfica
)(xf ; y abajo RA representa la regin debajo del eje x y arriba de la grfica )(xf .
Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo
de como hallar el rea bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann,
aplicando el concepto de integral definida.
http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY
http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related
Ejemplo
-
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Expresa xxxxn
i
iiin
1
5 sen lim como una integral en el intervalo [0,].
Solucin
De acuerdo con la definicin de integral definida, el lmite siempre existe y da el mismo
valor. No importa cmo se elijan los puntos muestra
ix , podemos remplazar xxi
tomando como puntos muestra los puntos extremos derechos, por lo tanto, el lmite lo
podemos escribir como:
b
a
n
i
in
dxxfxxf )()(lim1
Comparando el lmite de la funcin dada )( ixf en la definicin de integral definida )(xf
con la integral de nuestra funcin, identificamos que:
)()( xfxf i
xxxxf i sen )(5 cuando xxi
.
En consideracin de lo anterior, podemos escribir la solucin de la siguiente manera.
0
5
1
5 sen sen lim dxxxxxxxxn
i
iiin
1.1.5. Evaluacin de integrales
Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a travs de
sumas, es necesario que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para
trabajar con sumatorias.
2
)1(
1
nni
n
i
nccn
i
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba111
)(
6
)12)(1(
1
2
nnni
n
i
n
i
ii
n
i
acac11
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba111
)(
2
1
3
2
)1(
nni
n
i
-
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Consideremos el siguiente ejemplo.
a) Evaluar la suma de Riemann para 2)( xxf , en el intervalo [3,5].
b) Evale 5
32dxx
Solucin.
a) x estaba dado por:
n
abx
Sustituimos a y b,
nnx
235
Para la i-sima particin o rectngulo,
in
xiaxi2
3
La suma de Riemann est dada por:
n
i
i xxf1
)( ,
recuerde que la funcin )(xf es 2)( xxf , as que sustituimos xi y x .
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
in
i
nn
i
nnn
i
nn
ixxxxf
12
12
1111
4242221
22
23)2()(
Sacamos de las sumas los trminos que no dependan de i y sustituimos el valor de la
sumatoria correspondiente, segn las frmulas que dimos al principio de la seccin.
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
in
i
nn
i
nnn
i
nn
ixxf
12
12
111
4242221
22
23)(
nnn
nnn
nn
ni
nn
n
i
n
i
122
1122
122
2
)1(4)(
241
22
1 12
Finalmente tenemos el n-simo trmino de la suma de Riemann.
nxxf
n
i
i
122)(
1
-
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b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el rea bajo la curva entre los lmites
3 y 5 del eje x.
4)02(21
22lim)(lim)(1
n
xxfdxxfAn
n
i
in
b
a
1.1.6. Regla del punto medio
Anteriormente el punto medio de un rectngulo ms pequeo es
ix , cuyo valor era
arbitrario, poda estar entre 1ix y ix . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es
una aproximacin a una integral, es conveniente usar puntos medios denotados por ix .
Tenemos la regla que dice.
Regla de punto medio
)()()()( 11
n
n
i
i
b
axfxfxxxfdxxf
, donde n
abx
Y )( 121
iii xxx que es el punto medio de intervalo o la base del rectngulo [ ii xx ,1 ]
Ejemplo
Calcular por aproximacin la integral 2
1
1 dxx
usando la regla del punto medio con n=5.
Solucin
Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2,
1.4, 1.6, 1.8 y 2.0.
5
1
5
12
x
Los puntos medios son 1.1)12.1(21
1 x , as sucesivamente para los dems: 1.3, 1.5,
1.7 y 1.9.
La integral aproximada es:
)9.1()7.1()5.1()3.1()1.1(2
1
1 fffffxdxx
9.1
1
7.1
1
5.1
1
3.1
1
1.1
151
2
1
1 dxx
-
Clculo Integral
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692.02
1
1 dxx
1.1.7. Propiedades de la integral definida
En esta seccin encontrars las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad
para evaluar integrales. Considere que las funciones f y g son continuas.
Si ba se cumple
1. a
b
b
adxxfdxxf )()(
Si ba , 0x
2. a
adxxf 0)(
Propiedades bsicas de las integrales
3. b
aabccdx )( , c es una constante.
La integral de una suma es la suma de las integrales.
4. b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()(
-
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5. b
a
b
adxxfcdxxcf )()( , c es una constante.
6. b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Si 0)( xf y bca se cumple la propiedad.
7. b
a
c
a
b
cdxxfdxxgdxxf )()()(
Propiedades de orden de la integral
Las siguientes propiedades son vlidas para ba
-
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8. Si 0)( xf para bxa , entonces a
adxxf 0)(
9. Si )()( xgxf para bxa , entonces b
a
b
adxxgdxxf )()(
10. Si Mxfm )( para bxa , entonces b
aabMdxxfabm )()()(
Esta ltima propiedad est ilustrada en la siguiente figura. Afirma que el rea bajo la
grfica de f es mayor que el rea del rectngulo de altura m y menor que el rea del
rectngulo de altura M.
1.2. Teorema fundamental del clculo
En esta seccin veremos el teorema fundamental del clculo, as como su importancia en
clculo para integrar y/o derivar.
Recordemos que el teorema fundamental del clculo establece la conexin entre las dos
ramas del clculo, el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciacin y la
integracin son procesos inversos. Dan la relacin precisa entre la derivada y la integral.
El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear lmites de
sumas.
-
Clculo Integral
Unidad 1. Integrales
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico 26
1.2.1. Teorema fundamental del clculo
El teorema fundamental del clculo se establece en dos partes. Veamos la primera parte.
Primera parte del teorema fundamental del clculo
La primera parte del teorema fundamental del clculo se deriva del siguiente anlisis.
Consideremos la siguiente grfica.
Tenemos una curva en rojo, representada por una funcin )(tf como lo muestra la
grfica. Por otra parte, podemos pensar en una funcin g(x) que describe el rea bajo la
curva desde a hasta x, representada por:
x
adttfxg )()(
Ahora, supongamos que queremos calcular el rea de la franja azul encerrada bajo la
grfica y los intervalos x y x+h (ver la parte derecha). Por lo tanto el rea que estamos
buscando es simplemente la diferencia de reas de la regin limitada por [a, x+h] menos
el rea de la regin limitada por [a, x].
-
Clculo Integral
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Tambin existe otra manera de estimar el rea de ese pequeo segmento de rea
limitado entre x y x+h, mediante calcular el rea del rectngulo verde cuya rea es h por
f(x). El rea del rectngulo verde es aproximada al rea de la franja azul, es decir:
)()()( xghxgxhf
Esta aproximacin es ms precisa cuando el ancho del rectngulo verde h tiende a cero.
Se convierte en igualdad cuando h tiende a cero como lmite.
Ahora, si a la aproximacin )()()( xghxgxhf la dividimos por h en ambos lados, se
obtiene:
h
xghxgxf
)()()(
-
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Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuacin es sencillamente
la derivada de la funcin y que el miembro izquierdo se queda como (x).
)()()(
lim)(0
xfh
xghxgxg
h
Se muestra entonces de manera intuitiva que (x) = )(xg , es decir, que la derivada de la
funcin de rea )(xg es en realidad la funcin (x). Dicho de otra forma, la funcin de
rea )(xg es la antiderivada de la funcin original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una funcin y "hallar
el rea" bajo su curva son operaciones "inversas".
Esto lo podemos enunciar en la primera parte del teorema fundamental del clculo, que
dice.
Primera parte del TFC
Dada una funcin f continua en [a,b], la funcin g definida por:
x
adttfxg )()( bxa
Es continua en [a,b] y derivable en (a,b),
y
)()( xfxg
Con la notacin de Leibniz para las derivadas podemos escribir el teorema fundamental
del clculo de la siguiente manera. Considrese que f es continua.
)()( xfdttfdx
d x
a
Recalquemos que esta ecuacin indica que, si primero integramos f y luego derivamos el
resultado, obtendremos nuevamente la funcin original f.
Ejemplo
Determinar la derivada de la funcin x
dttxg0
21)(
-
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Solucin
Reconoceremos las partes que describe el teorema fundamental del clculo.
x
adttfxg )()( .
Identificamos que 21)( ttf es una funcin continua segn el teorema, por lo que
finalmente:
21)( xxg
En el siguiente video podemos ver cmo es que integracin y diferenciacin son procesos
inversos.
http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related
Segunda parte del teorema fundamental del clculo
La segunda parte del teorema fundamental del clculo ofrece un mtodo ms sencillo
para evaluar integrales.
Segunda parte del TFC
Dada una funcin f continua en [a,b], entonces
b
aaFbFdxxf )()()(
F es cualquier antiderivada de f, de tal forma que F=f
Esto quiere decir que si conocemos una antiderivada F, de f, es posible evaluar b
adxxf )(
con slo restar los valores de F en los extremos del intervalo [a, b].
Nota:
Existen estas otras formas para denotar el teorema fundamental del clculo.
)()()()()( aFbFxFxFxF ba
b
a
b
a
Ejemplo
Evala la integral 6
3 x
dx.
Solucin
Una antiderivada de xxf 1)( es xxF ln)( . Dado que los lmites de integracin se
encuentran en [3,6] podemos omitir las barras de valor absoluto.
2ln3
6ln3ln6lnln
6
3
6
3 xx
dx
-
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1.2.2. Derivacin e integracin como procesos inversos
Hemos visto la importancia que tiene el teorema fundamental del clculo, nos muestra
claramente que la integracin y la derivacin son procesos inversos.
El teorema fundamental queda establecido como a continuacin se enuncia. No lo olvides
y tenlo siempre presente.
Dada una funcin f continua en un intervalo cerrado [a, b].
1. Si x
adttfxg )()( , entonces )()( xfxg .
2. b
aaFbFdxxf )()()( , donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F=f.
Las dos partes del teorema fundamental del clculo expresan que la derivacin y la
integracin son procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra.
1.3. Integral indefinida
En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la
derivacin. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del clculo.
Cxdxx 32
3
1
23
3
2xCx
dx
d
Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, debers tener en mente esta
imagen, te permitir hallar de manera ms sencilla la integral de una funcin. Las tablas
de integrales resumen estos procesos inversos, te sern de gran ayuda.
-
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1.3.1. Integral indefinida
De las secciones precedentes habamos llegado a dos puntos muy importantes del
teorema fundamental del clculo.
1. Si f es continua entonces x
adttf )( es una antiderivada de f.
2. Si b
aaFbFdxxf )()()( , donde F es una antiderivada de f.
Sin embargo, por practicidad, es precisa una notacin para las antiderivadas. Por lo tanto,
a la integral x
adttf )( se le llama integral indefinida.
Integral indefinida
)()( )()( xfxFxFdxxf
Ejemplo
derivada la es esta )(2 2
derivacin2
xfxCx
dx
d
indefinida integral o daantideriva la es esta 2
2x 2)(2
cinAntideriva Cx
dxxxf
C es cualquier constante.
El TFC trae como consecuencia que una integral definida es una familia de funciones para
cada valor de C.
Nota importante:
La integral definida b
adxxf )( es un nmero.
La integral indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C, que puede ser cualquier nmero.
-
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1.3.2. Tabla de integrales indefinidas
A continuacin te desplegamos una lista de antiderivadas de funciones, o mejor dicho
integrales indefinidas.
Tabla de integrales indefinidas
dxxfcdxxcf )()( dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Ckxkdx
)1( 1
1
nCnx
dxxn
n Cxdxx
ln1
Cedxe xx Ca
adxa
xx ln
Cxxdx cossen Cxxdx sen cos
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc
2
Cxdxxx sec tan sec Cxxdxx csccot csc
Cxdxx
1
2tan
1
1 Cxdx
x
1
2sen
1
1
De manera semejante a lo que se hizo en la seccin anterior, puedes derivar la funcin
del lado derecho para verificar que se obtiene el integrando. Observa.
x
Cxdx
dCxdx
x
1ln porque ln
1
1.4. Regla de sustitucin
Hemos visto cmo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral
de la siguiente forma,
d1
-
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de seguro te surgirn las siguientes preguntas:
Cmo le hago?
Existe algn truco?
Hay algn mtodo para evaluarlas que tenga que ver con races?
Las respuestas las encontrars aqu.
El radical aparentemente te la hace complicada, pero veremos una alternativa
interesante para calcular integrales que contengan radicales, veremos que el mtodo de
sustitucin es ideal para resolver este tipo de integrales.
Lo esencial de esta regla es transformar una integral complicada en una integral ms
sencilla, Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que
es funcin de x.
1.4.1. Regla de sustitucin
Hemos visto en nuestras tablas la forma de hallar ciertas antiderivadas; sin embargo, no
tenemos las herramientas para evaluar integrales donde se vean involucradas radicales o
integrales de la forma:
dxxx 212
Para resolverlas implementaremos el siguiente mtodo de sustitucin:
Lo que haremos ser introducir un cambio de variable de ux .
Designamos por conveniencia a ux 21 :
21 xu
Calculamos el diferencial du (esto se estudi en clculo diferencial). Es algo anlogo a
calcular una derivada.
xdxdu 2
Ahora reacomodamos nuestra integral para facilitar la identificacin de trminos. Y
sustituir estos dos ltimos resultados en nuestra integral:
duuduuxdxxdxxxdu
u
2/122 2112
-
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Nuestra integral ha quedado en trminos de la nueva variable u, procedemos a calcular la
integral con la frmula: Cn
xdxx
nn
1
1
que vimos de la seccin de tablas de
integracin.
CuCu
Cu
Cu
duu
23
23
22
21
21
1
2/1
3
2
1
23
22
21
21
Ahora que hemos calculado la integral en trminos de la variable u procedemos a poner
nuestro resultado en la variable anterior, es decir, xu .
CxCux
2
32
2
3
1
13
2
3
2
2
Finalmente podemos escribir que:
Cxdxxx 23
22 13
212
Hemos visto que evaluamos de manera sencilla nuestra integral haciendo la introduccin
de un cambio de variable.
Para comprobar nuestro resultado, simplemente, derivamos 2
3(1 + 2)
32 + respecto de x
usando la regla de la cadena, la cual se vio en clculo diferencial.
El procedimiento anterior lo escribimos con la siguiente regla:
Regla de sustitucin
Si tenemos una funcin )(xgu diferenciable en el intervalo I, y adems continua en
ese mismo intervalo, entonces:
duufdxxgxgf )()()(
As que si )(xgu , entonces dxxgdu )( . La clave es pensar en du y dx como
diferenciales.
Ejemplo
Encontrar dxx
x
241
-
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Solucin
Proponemos 241 xu , ahora calculamos el diferencial. xdxdu 8
Ahora reescribimos nuestra integral, de modo que se adapte a u y du para hacer el cambio de variable. Observa que del cociente se identifica al denominador como du y al
denominador como u .
u
du
x
xdxdx
x
x
22 41
8
8
1
41
Identificamos a duy u y la integral se reescribe como:
u
du
8
1
Seguimos reacomodando trminos que se pueden sacar de la integral.
CuCu
Cu
u
du
u
du
2/1
21
21
1
2/1 8
2
8
1
18
1
8
1
8
1 21
21
Ahora colocamos nuestro resultado en trminos de la variable inicial.
CxCuu
du
2/122/1 414
1
8
2
8
1
Finalmente nuestra integral queda expresada de la siguiente manera.
Cxdxx
x
2/12
241
4
1
41
Para comprobar, se precede a derivar.
1.4.2. Integrales definidas
Habamos mencionado anteriormente en una nota que: la integral definida b
adxxf )( es
un nmero y que la indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C.
Sin embargo, como nos encontramos sumergidos en el tema de integrales definidas
trataremos dos maneras de evaluar una integral definida.
-
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La primera consiste en hallar la integral como en los casos propuestos de la seccin
anterior para evaluar la integral.
Supongamos que piden que evaluemos la integral: dxxx 3
0
212 , se calcula la integral y
se procede a evaluar segn los lmites superior e inferior.
110003
21
3
210
3
201
3
231
3
21
3
212 2
3
2
32
322
32
3
0
2
32
3
0
2
xdxxx
El otro mtodo consiste en cambiar los lmites de integracin al momento de cambiar la
variable. Con ello surge la siguiente regla.
Regla de sustitucin para las integrales definidas
Si tenemos una funcin )(xg continua en el intervalo [a,b] y f tambin es continua en
la imagen de )(xgu , entonces:
)(
)()()()(
bg
ag
b
aduufdxxgxgf
Analicemos el siguiente ejemplo:
Calculemos la siguiente integral definida dxx
xe0
ln.
Antes que nada procedamos a realizar el cambio de variable.
xu ln
Su diferencial es dxdu x1
Identificamos trminos y los intercambiamos por la nueva variable, teniendo as:
?
?0
lnududx
x
xe
El signos de interrogacin ?, denota que no sabemos los nuevos lmites de integracin.
Ahora los lmites de integracin quedan definidos por la nueva variable
Cuando 1x sustituida en xu ln da 0)1ln( u
y cuando ex ; 1)ln( eu
Por tanto los nuevos lmites de integracin son: 0 y 1, inferior y superior, respectivamente.
Quedando as la nueva integral con sus nuevos lmites de integracin.
-
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1
0udu
Resolvemos y evaluamos.
2
1
2
1
0
21
0
uudu
1.4.3. Simetra
En algunas integrales es posible simplificar los clculos, poniendo atencin a sus
propiedades. En clculo diferencial revisaste las propiedades de simetra de una funcin.
Considera lo siguiente.
Integrales de funciones simtricas
Si tenemos una funcin f continua en el intervalo [-a, a].
i) Si f es par )()( xfxf , entonces aa
adxxfdxxf
0)(2
ii) Si f es impar )()( xfxf , entonces 0a
adxxf
Grficamente representamos los casos.
El caso i) ilustra que f es positiva y par, por lo tanto, el rea bajo la curva descrita por
)(xf es el doble de rea desde 0 hasta a, debido a que )(xf es simtrica. Lo puedes ver
en la siguiente grfica.
)(xf es par, y se puede hacer aa
adxxfdxxf
0)(2
-
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En el caso ii) tratamos con una funcin impar. Las reas se van a cancelar, ya que se
trata de una diferencia de reas.
)(xf es impar, la integral se reduce a 0a
adxxf
En el siguiente video puedes verificar las funciones pares e impares:
http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8
Actividades
La elaboracin de las actividades estar guiada por tu docente en lnea, mismo que
te indicar, a travs de la Planeacin didctica del docente en lnea, la dinmica que t
y tus compaeros (as) llevarn a cabo, as como los envos que tendrn que realizar.
Para el envo de tus trabajos usars la siguiente nomenclatura: CIN_U1_A1_XXYZ,
donde CIN corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento,
A1 es el nmero de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se
realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido
paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.
-
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Autorreflexiones
Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexin
indicadas por tu docente en lnea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad
tiene una ponderacin del 10% de tu evaluacin.
Para el envo de tu autorreflexin utiliza la siguiente nomenclatura:
CIN_U1_ATR _XXYZ, donde CIN corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la
unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de
tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.
Consideraciones especficas de la unidad
Para abordar este curso de Clculo Integral es necesario que tengas conocimiento sobre
matemticas, lgebra y clculo diferencial.
En esta seccin requerimos el siguiente material:
Calculadora.
Tablas de integracin. Puedes obtenerlas de algn libro o bien bajarlas de internet. Te
aconsejamos que tengas las tablas para evaluar las integrales.
Es necesario que repases las frmulas para encontrar reas a figuras geomtricas planas
y volumtricas comunes.
Fuentes de consulta
Apostol, T. M. (2008). Calculus. Espaa: Revert.
Larson, R. E. (2005). Clculo. Mxico: McGraw Hill.
Stewart, James. (2008). Clculo. Trascendentes tempranas. Mxico: Cengage Learning.