unidad 1

PRINCIPIOS DE CLCULO Y DISEO DE LAS UNIONES SOLDADAS

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FFUUNNDDAAMMEENNTTOO DDEE AANNLLIISSIISS EESSTTRRUUCCTTUURRAALL ((II))

Fundamento de Anlisis Estructural (I) 2

FUNDAMENTO DE ANLISIS ESTRUCTURAL (I)

En el anlisis estructural se utilizan constantemente los principios de la Esttica, por lo que consideramos imprescindible hacer un breve recordatorio de los mismos en la presente Unidad Didctica.

OBJETIVOS

Adquirir las competencias necesarias para aplicar los principios de la teora de fuerzas y de la sustentacin de sistemas estructurales.

CONOCIMIENTOS

Teora de fuerzas. Momento de una fuerza. Composicin y descomposicin de fuerzas. Sistemas de fuerzas en equilibrio. Sustentacin de sistemas estructurales. Clculo de reacciones. Sistemas isoestticos e hiperestticos.


TEORA DE FUERZAS

Una de las funciones de los sistemas estructurales es la de soportar las fuerzas que los solicitan y transmitirlas a los elementos de sustentacin. La experiencia nos muestra que su capacidad de carga es limitada, sea por provocar deformaciones excesivas o incluso por dar lugar al fallo por rotura de algn elemento.

El anlisis estructural, la teora de elasticidad y la resistencia de materiales, tratan de estudiar los efectos de las fuerzas sobre los distintos elementos que constituyen los sistemas estructurales, a fin de predecir su comportamiento, tanto en lo que se refiere a deformaciones como a resistencia.

En estos anlisis se estudian sistemas de fuerzas en equilibrio y se utilizan constantemente los principios de la esttica, por lo que consideramos imprescindible un breve recordatorio de los mismos.

Concepto de Fuerza

Se puede definir fuerza como la causa de modificar el estado de reposo o movimiento de un slido, (comunicarle una aceleracin) o provocar su deformacin. Estos efectos suelen resultar de la accin de unos slidos sobre otros.

Elementos que Definen una Fuerza

Una fuerza queda definida por su punto de aplicacin (A), su direccin o lnea de accin (r), el sentido A B y su mdulo AB .

Elementos que Caracterizan a una Fuerza


Componentes

Para definir la fuerza numricamente, utilizamos un sistema de referencia XYZ, quedando determinada por las coordenadas de su punto de aplicacin ( , ,A A AX Y Z ) y el valor de sus componentes , ,x y zF F F

uur uur uur.

2 2 2X Y ZF F F F= + +

.cosXF F =

.cosYF F = .cosZF F =

Componentes de una Fuerza en un Sistema de Referencia

Principio de Accin y Reaccin

Normalmente, las fuerzas corresponden a las acciones de unos slidos sobre otros, bien a distancia, o a travs de la superficie de contacto.

En este sentido, hay que recordar el principio de accin y reaccin, fundamental en la Esttica, segn el cual, si un cuerpo A ejerce sobre otro B, una fuerza F, el slido B reacciona sobre el A con una fuerza exactamente igual y opuesta.

Como en estas acciones mutuas siempre intervienen dos fuerzas iguales y opuestas (accin y reaccin), hay que tenerlo muy en cuenta en el anlisis, para considerar en cada caso, y sobre cada slido, las fuerzas que corresponda.


Principio de Accin y Reaccin


MOMENTO DE UNA FUERZA

En el concepto de momento con relacin a un punto, o a un eje, intervienen fuerzas y distancias, por lo que las dimensiones van a ser Fuerza x Longitud. En cuanto a los efectos, suelen estar relacionados con giros, rotaciones, tendencias al vuelco, efectos de palanca, flexiones, torsiones, etc.

Momento Respecto a un Punto (Mo)

El momento de una fuerza Fur

con relacin a un punto O es una magnitud vectorial de las siguientes caractersticas:

Vector perpendicular al plano definido por el punto O y la lnea de accin de la fuerza F. Su sentido viene dado por el resultado del producto vectorial OM OA F=

uur uuur ur en el que A es

cualquier punto de la lnea de accin de la fuerza. (Sentido de avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido que la fuerza con relacin al punto).

Su mdulo viene dado por: . .OM OA F sen= .OM F d= (Momento = Fuerza x Distancia).

De la definicin se deduce que el momento de una fuerza respecto a cualquier punto de su lnea de accin es cero.

Momento de una Fuerza Respecto a un Punto


Momento Respecto a un Eje

El momento de una fuerza Fur

con relacin a un eje X es la proyeccin sobre ste del vector momento que resulta al tomar momentos de la fuerza respecto a cualquier punto del eje.

Tambin se puede expresar como el momento de la proyeccin de la fuerza F sobre un plano perpendicular al eje, respecto al punto O de corte de dicho plano con el eje.

.X PM F d=

De acuerdo con esta definicin, el momento de una fuerza respecto a un eje perpendicular a un plano que la contenga, es igual, en mdulo, que el momento de dicha fuerza respecto al punto de interseccin del eje con el plano.

Si la lnea de accin de la fuerza corta al eje, el momento ser nulo. De la misma forma, si el eje y la lnea de accin de la fuerza son paralelos, el momento tambin ser nulo.

Momento de una Fuerza Respecto a un Eje

Momento de un Sistema de Fuerzas

El momento de un sistema de fuerzas, respecto a un punto, o respecto a un eje, es la suma geomtrica de los momentos de cada fuerza componente.

Concretamente, de acuerdo con el teorema de Varignon, el momento resultante de un sistema de fuerzas concurrentes es igual al momento de la resultante aplicada en el punto de concurrencia.


Par de Fuerzas

Se define par de fuerzas como el sistema formado por dos fuerzas paralelas, del mismo mdulo (F) y sentidos opuestos. La distancia entre ellas se conoce como brazo del par (d). Como puede comprobarse fcilmente, el momento respecto a cualquier punto de su plano es constante e igual al valor del par.

.M F d=

Par de Fuerzas


COMPOSICIN Y DESCOMPOSICIN DE FUERZAS

Dos sistemas de fuerzas son estticamente equivalentes cuando producen los mismos efectos sobre un slido rgido, es decir, tienen la misma resultante y producen el mismo momento respecto a cualquier eje o punto. La resultante, aplicada con la lnea de accin adecuada, es una fuerza equivalente al sistema.

Mientras que en los slidos rgidos un sistema de fuerzas se puede sustituir por su resultante, aplicada donde corresponda, en los slidos deformables, sistemas de fuerzas estticamente equivalentes pueden producir distintos efectos, tanto en tensiones como en deformaciones, por lo que, en general, no pueden sustituirse.

En el ejemplo de la figura las dos fuerzas F que actan sobre el slido rgido pueden sustituirse por su resultante 2F aplicada en el centro, sin afectar a los resultados. Por el contrario, en el slido deformable de la derecha, los dos sistemas solo son equivalentes para el clculo de las reacciones, (efecto esttico). Las tensiones y las deformaciones varan notablemente.

Sistemas Equivalentes en Slidos Rgidos

En los apartados siguientes se obtienen las resultantes de algunos sistemas de fuerzas. En todos los casos se consideran fuerzas coplanarias, para un tratamiento ms cmodo, lo que no resta generalidad a los procedimientos y conclusiones.

Fuerzas Concurrentes

En las fuerzas concurrentes el mdulo, direccin y sentido de la resultante son el resultado de la suma vectorial de las fuerzas componentes y su punto de aplicacin es el punto de concurrencia de las mismas.

En el caso particular de dos fuerzas, la resultante es la diagonal del paralelogramo de fuerzas, como se puede ver en la figura.


Resultante de Fuerzas Concurrentes. Paralelogramo de Fuerzas

En el caso de fuerzas coplanarias que no concurren en el mismo punto, se puede proceder por parejas, como se indica en la figura.

Fuerzas Coplanarias que no Concurren en un Punto

Clculo Analtico

Para el clculo analtico, la resultante tiene por componentes la suma algebraica de las componentes de las distintas fuerzas. En cuanto a su lnea de accin, ser tal que el momento respecto a cualquier punto sea igual a la suma de momentos de las fuerzas componentes.

( )( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

, ,

, ,

, ,

X Y Z

X Y Z

X Y Z

F F F F

F F F F

F F F F

=

=

=

( ), ,X Y ZR R R R= 1 2 3

1 2 3

1 2 3

X X X X

Y Y Y Y

Z Z Z Z

R F F FR F F FR F F F

= + +

= + +

= + +


Fuerzas Paralelas

La resultante de un sistema de fuerzas paralelas ser una fuerza de la misma direccin, del sentido determinado por la suma vectorial de las componentes y con una lnea de accin tal que su momento respecto a cualquier punto sea igual a la suma de momentos de las fuerzas componentes.

En el caso particular de que la resultante sea nula, el sistema se reduce a un par de valor M igual a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un punto cualquiera.

Composicin de Fuerzas Paralelas

Reduccin a una Resultante y un Par

Un sistema de fuerzas siempre puede reducirse a su resultante (R) aplicada en un punto arbitrario O y a un par de valor M.

El valor de M es el momento resultante de todas las fuerzas respecto al punto O. El valor de M depende del punto (O) al que se reduzca el sistema.


Reduccin a una Resultante y un Par (Distintas Soluciones)

Fuerzas Distribuidas

Normalmente se trata de sistemas de fuerzas paralelas, aplicadas con continuidad sobre elementos de volumen, sobre elementos superficiales o a lo largo de una lnea. Para su tratamiento, interesa determinar la resultante y la lnea de accin de la misma, para lo que se aplican los principios generales que rigen la composicin de fuerzas.

En el caso particular de fuerzas distribuidas a lo largo de una lnea recta, situacin relativamente frecuente, las fuerzas suelen definirse mediante el diagrama de cargas.

Un diagrama de cargas es un grfico que relaciona la posicin a lo largo de la lnea (x) con la intensidad de la fuerza en esa zona (fuerza por unidad de longitud q).

En estos casos, el mdulo de la resultante del sistema de fuerzas distribuidas es igual al rea del diagrama de cargas y su lnea de accin pasa por el centro de gravedad de la superficie definida por dicho diagrama.


Sistemas de Fuerzas Distribuidas

Descomposicin de Fuerzas

Se trata de una operacin inversa a la composicin, consistente en sustituir una fuerza por dos o ms cuyo efecto sea equivalente. Puede tener inters en muchos casos, para facilitar algunas operaciones.

Para descomponer una fuerza en dos direcciones dadas basta con trazar paralelas a estas direcciones por los extremos de la fuerza. Para descomponer una fuerza en tres direcciones perpendiculares se proyecta la fuerza sobre estas direcciones.

Descomposicin de Fuerzas


SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO

En general, en el anlisis estructural y en la elasticidad y resistencia de materiales vamos a considerar slidos solicitados por sistemas de fuerzas en equilibrio.

Condiciones de Equilibrio

Para que un sistema de fuerzas est en equilibrio es necesario que su resultante sea nula y que el momento resultante respecto a cualquier punto tambin sea cero. Puesto que cualquier sistema de fuerzas siempre se puede reducir a su resultante (R) y a un momento M respecto a un punto O, si tomamos un sistema de referencia XYZ, estas condiciones se pueden formular como:

000

X

Y

Z

RRR

=

=

=

000

X

Y

Z

MMM

=

=

=

Cuando se trate de fuerzas coplanarias algunas componentes se anulan por lo que estas expresiones se simplifican notablemente. Por ejemplo, si todas las fuerzas estn contenidas en el plano XY, sern nulas Rz, Mx y My, por lo que las condiciones de equilibrio se reducen a:

00

X

Y

RR

=

=

0ZM =

Aunque los sistemas estructurales y las fuerzas que los solicitan son tridimensionales, para su anlisis, pueden reducirse, en muchos casos, a sistemas planos, por lo que, en muchas de las explicaciones y ejemplos que siguen consideraremos sistemas de fuerzas coplanarias y aplicaremos estas ltimas condiciones.

Algunas Consecuencias de Inters

De la consideracin de las condiciones de equilibrio se deducen una serie de consecuencias que aplicaremos con frecuencia en el anlisis estructural y la resistencia de materiales. Por su inters podemos mencionar las siguientes:

Dos fuerzas solo pueden estar en equilibrio si tienen el mismo mdulo, la misma lnea de accin y sentidos contrarios.

Para que tres fuerzas estn en equilibrio es necesario que sean concurrentes.


En un sistema de fuerzas en equilibrio, la resultante de una parte cualquiera de las fuerzas, es la equilibrante del resto. La resultante de una parte de las fuerzas es igual, opuesta y con la misma lnea de accin que la resultante del resto. Esta propiedad es de gran inters en la determinacin de esfuerzos.

Una Parte de las Fuerzas Equilibra al Resto

Si un slido se encuentra en equilibrio, tambin lo est cualquier parte del mismo. Este razonamiento, que no parece ofrecer muchos aspectos a discutir, se utilizar con frecuencia, tanto en el anlisis de estructuras, como en la elasticidad y resistencia de materiales.

Si un Slido Est en Equilibrio, lo Estn Todas sus Partes


SUSTENTACIN DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

Normalmente los sistemas estructurales estn constituidos por elementos conectados entre si y al suelo, de forma que puedan soportar las fuerzas que los solicitan sin experimentar desplazamientos apreciables. nicamente los debidos a las deformaciones.

Teniendo en cuenta que los grados de libertad de movimiento de un slido en el espacio son seis, desplazamiento en tres direcciones y giro respecto a tres ejes, para conseguir la inmovilidad, los vnculos y conexiones deben ser capaces de restringir estos seis grados de libertad.

Si nos limitamos al plano, estas posibilidades de movimiento se reducen a tres:

Desplazamiento en las dos direcciones del plano. Giro respecto a un eje perpendicular a dicho plano.

En este breve repaso vamos a limitar nuestro estudio a sistemas planos.

Hay que diferenciar entre:

Conexiones Internas Enlazan los distintos elementos de la estructura.

Apoyos Externos Inmovilizan la estructura en conjunto con el suelo.

Vnculos Externos e Internos


Tipos de Apoyos

Los vnculos externos tienen la finalidad de inmovilizar la estructura como conjunto. Aunque caben muchas situaciones intermedias, los apoyos tipo son los siguientes:

Apoyo mvil. Apoyo articulado fijo. Empotramiento.

Aunque los conceptos se pueden extrapolar a sistemas espaciales, se consideran estructuras planas, solicitadas por fuerzas en su plano.

Apoyo Mvil

Un apoyo mvil nicamente impide los desplazamientos en direccin perpendicular a la superficie de apoyo, permitiendo desplazamientos en paralelo a dicha superficie y giros respecto a ejes perpendiculares al plano de las cargas. Este efecto lo consigue a base de ejercer una fuerza normal a la superficie de apoyo.

Puesto que la direccin de la fuerza es conocida, solo presentan una incgnita a la hora de calcular reacciones, el valor de la fuerza.

Una coaccin equivalente la ejercen los cables, que solo inmovilizan en la direccin de los mismos y para fuerzas de traccin.

En la siguiente figura se muestra un apoyo mvil, la forma esquemtica de representarlo, los grados de libertad y las coacciones que puede ejercer sobre el slido.

Apoyo Mvil


Apoyo Articulado Fijo

Un apoyo articulado fijo impide los desplazamientos de cualquier direccin en el plano XY, permitiendo nicamente los giros respecto al eje Z.

Este efecto lo consigue a base de ejercer una fuerza de cualquier direccin en el plano XY. Para calcular reacciones hay que determinar la fuerza y su direccin, componentes Rx y Ry, por lo que tenemos dos incgnitas.

Apoyo Articulado Fijo

Empotramiento

El empotramiento impide los desplazamientos en cualquier direccin, as como los giros, a base de ejercer sobre el slido las reacciones Rx, Ry y Mz, momento de empotramiento.

Empotramiento


CLCULO DE REACCIONES

Los diferentes tipos de apoyos ejercen fuerzas sobre los slidos, reacciones, que, junto con el resto de cargas que los solicitan, constituyen sistemas de fuerzas en equilibrio.

Para determinar el conjunto de reacciones es importante diferenciarlas de las acciones que ejerce el slido sobre los apoyos, iguales y opuestas de acuerdo con el principio de accin y reaccin. En la identificacin de las fuerzas que solicitan al slido resulta de gran utilidad el diagrama del slido libre.

Identificadas todas las fuerzas, basta con aplicar las condiciones de equilibrio, que, en el caso de sistemas coplanarios, se reducen a las ecuaciones:

00

X

Y

RR

=

=

0ZM =

Etapas en el Clculo de Reacciones

En un proceso aplicable al clculo de reacciones podemos diferenciar las siguientes etapas:

Establecer un sistema de referencia que sirva de gua para asignar los signos a la hora de escribir las ecuaciones de equilibrio.

Identificar los apoyos y las acciones que pueden ejercer sobre la estructura. Hacer un diagrama del slido libre en el que se recojan todas las fuerzas que se ejercen

sobre la estructura, acciones conocidas y reacciones incgnita. Aplicar las condiciones de equilibrio y resolver las correspondientes ecuaciones. Puesto que los resultados obtenidos van a servir de base para estudios posteriores sobre el

comportamiento del slido, conviene asegurarse mediante las comprobaciones oportunas.

Ejemplo de Trazado del Diagrama del Slido Libre


Ejemplos de Clculo de Reacciones

A continuacin se muestran dos ejemplos que tratan de ilustrar el clculo de reacciones. El primero, en un slido solicitado por un sistema de fuerzas coplanarias y el segundo, para un conjunto de fuerzas en el espacio.

Slido Solicitado por un Sistema de Fuerzas Coplanarias

Trazado el diagrama del slido libre y consideradas las posibles reacciones, de acuerdo con los tipos de apoyo, (representadas a trazos y con signo positivo en la referencia adoptada), se aplican las condiciones de equilibrio en el plano para determinar los valores de las mismas.

0XR = 0AXR = (Puesto que se trata de la nica fuerza de direccin x) 0AM = 9. 6.18000 12.3000 72.1000.7 0DR+ = 72.000DR N= +

0YR = 72.1000 18000 72000 3000 0AYR+ + = 21.000AYR N= +

Podemos comprobar la validez de los resultados tomando momentos de todas las fuerzas respecto a otro punto; por ejemplo, respecto al punto B.

0BM = 21000.2 72.1000.5 18000.4 72000.7 3000.10 0 + =

El cumplimiento de esta condicin, aunque no constituye ninguna garanta, refuerza la validez de los resultados obtenidos.


Slido Solicitado por un Conjunto de Fuerzas en el Espacio En este ejemplo se aplica el mismo proceso que en el ejemplo anterior, obteniendo como resultados los que se indican.

0XR = 7200 0AXR + = 7.200AXR N=

0YR = 8000 0AYR = 8.000AYR N= +

0ZR = 2000 0AZR = 2.000AZR N= +

0XM = 8000.0,50 2000.1, 20 0AXM = 6.400AXM Nm= +

0YM = 2000.0,80 7200.0,50 0AYM + = 2.000AYM Nm= +

0ZM = 8000.0,80 7200.1,20 0AZM = 15.040AZM Nm= +


SISTEMAS ISOESTTICOS E HIPERESTTICOS

Para estudiar el comportamiento de los distintos miembros que constituyen un sistema estructural es necesario determinar todas las fuerzas que solicitan a cada uno, lo que exige determinar:

Las acciones que ejercen los apoyos o vnculos exteriores sobre la estructura, reacciones. Las acciones que ejercen unos miembros sobre otros, a travs de las conexiones internas.

Para determinar estas incgnitas se aplican las condiciones de equilibrio, tanto a cada uno de los elementos como a la estructura completa, lo que da lugar a un conjunto de ecuaciones. El nmero de condiciones es el que nos facilita la esttica, tres en el plano y seis en el espacio para un slido, y el nmero de incgnitas a determinar depende de la configuracin de la estructura: nmero y tipo de apoyos exteriores y nmero y tipo de conexiones internas, cuando se trata de estructuras formadas por ms de un elemento.

Cuando los apoyos y conexiones son los estrictamente necesarios para conseguir la inmovilizacin de la estructura y de cada uno de sus miembros, el nmero de incgnitas a determinar coincide con el nmero de ecuaciones que nos facilita la esttica, y se dice que se trata de un caso isoesttico o estticamente determinado. Si los vnculos exteriores, o interiores, o ambos, son excesivos, el nmero de incgnitas a determinar es mayor que el de ecuaciones que nos facilita la esttica y se dice que el caso es hiperesttico o estticamente indeterminado.

Para resolver este tipo de situaciones, originadas por vnculos superabundantes, hay que apoyarse en la resistencia de materiales que nos facilita ecuaciones adicionales derivadas del estudio de las deformaciones del sistema. La diferencia entre el nmero de incgnitas y el de ecuaciones se conoce como grado de hiperestaticidad del sistema.

Finalmente, si el nmero y tipo de apoyos y conexiones no es suficiente, el sistema no es estable y se dice que es un caso hipoesttico.

Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Externa

En los sistemas planos, los vnculos exteriores tpicos son los apoyos mviles y los tirantes, que ejercen una coaccin sobre la estructura, lo que supone una incgnita en el anlisis; los apoyos articulados fijos, que imponen dos restricciones y los empotramientos, con tres restricciones y el correspondiente nmero de incgnitas.

Teniendo en cuenta que la aplicacin de las condiciones de equilibrio en el plano permite formular tres ecuaciones, resulta sencillo el anlisis exterior de la estructura. En la siguiente figura se muestran algunos ejemplos y los correspondientes resultados.


Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Externa

Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Interna

En las conexiones interiores, siguiendo con los sistemas planos, aunque caben situaciones intermedias, las soluciones clsicas son las uniones articuladas y las de nudos rgidos.

Vnculos Internos y Acciones sobre las Barras


En las uniones articuladas, puesto que no pueden transmitir momentos, las acciones que ejercen sobre cada barra son dos. Si en una articulacin concurren bi barras, en principio tendremos 2bi incgnitas. No obstante, como el equilibrio del nudo impone relaciones entre las acciones sobre las barras, el nmero final de incgnitas en una unin articulada ser 2(bi-1). Para el conjunto de la estructura habr que sumar para todos los nudos articulados.

( )=

=

An

1iiA 1b2I

Siendo: IA = Nmero incgnitas en uniones articuladas. nA = Nmero de nudos articulados. bi = Barras que concurren en nudo i.

En sistemas planos de nudos rgidos, las acciones posibles sobre cada barra son tres: fuerza de cualquier direccin, equivalente a dos componentes, ms un momento. De acuerdo con un razonamiento similar al anterior, para un sistema con nR nudos rgidos, con bj barras concurriendo en el nudo j, el nmero total de incgnitas ser:

( )=

=

Rn

1jjR 1b3I

Siendo: IR = Nmero incgnitas en uniones rgidas. nR = Nmero de nudos rgidos. bj = Barras que concurren en nudo j.

Teniendo en cuenta que la aplicacin de las condiciones de equilibrio en el plano permite formular tres ecuaciones para cada barra, el anlisis del equilibrio interno para un sistema de B barras nos conduce a 3(B-1) ecuaciones, descontando las ecuaciones que consideran el equilibrio del conjunto. En la siguiente figura se muestran algunos ejemplos en los que se analiza interiormente la estructura, comparando acciones incgnita y condiciones aplicables, para determinar la determinacin o indeterminacin del sistema.

Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Interna


Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Global

Una estructura isoesttica, tanto interior como exteriormente, permite analizar todas las reacciones y esfuerzos que se originan al aplicar un sistema de cargas dado, por simple aplicacin de los principios de la esttica.

En los sistemas hiperestticos, el grado de indeterminacin global es la suma del interior y el exterior.

En algunos casos, un sistema hipoesttico interior puede compensarse con vnculos exteriores superabundantes, convenientemente dispuestos, dando lugar a un sistema isoesttico y estable.

Anlisis del Grado de Hiperestaticidad Global

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