Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.  ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $5?

SOLUCIÓN

Sea X el número de incrementos de 75¢ en la tarifa por encima de $5. Entonces el precio por corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana.

             Ingresos totales a la semana =  Número de clientes X precios del corte

                                                               = (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares

Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos ingresos semanales  deberían ser al menos $500 dólares. En consecuencia,

                                    (100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500

Simplificamos y factorizamos.

                                              500 + 25x – 7.5x2 ≥  500

                                                        25x – 7.5x2 ≥  0

                    2.5x (10 – 3x) ≥  0

Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos

                              10 – 3x ≥  0

                                        X ≤ 10/3.

Así debería haber a lo más  10/3 incrementos de  75¢ o $2.50. el peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes  a 100 clientes cobrándoles $5 por corte.

DECISIONES DE FABRICACIÓN

El administrador de una fábrica debe decidir  si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría  los costos generales de la empresa en  U.S. $800  al mes y el costo de material y de mano de obra  será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión  de fabricar sus propios empaques?adquiriendo

SOLUCIÓN

Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques  a  U.S. $ 1,10  cada uno es  de 1,10x dólares.  El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que  el costo total es

            0,60x + 800

Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.

                     Costo de adquisición > costo de fabricación

                                                  1,10x > 0,60x + 800

     1,10x – 0,60x > 800

                  0,50x > 800

                         X > 1600

En consecuencia,  la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.  

UTILIDADES DEL FABRICANTE

El fabricante de cierto artículo puede vender  todo lo que produce a un precio de U.S. $60 cada artículo. Gasta U.S.  $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de U.S. $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos U.S. $1.000  a la semana.

SOLUCIÓN.

Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total  de producir x unidades es de  U.S. $3.000 más U.S. $40 por artículo, lo cual es

(40x + 3.000) dólares

El ingreso por vender x unidades por U.S.$60  cada una será de 60x dólares. Por lo tanto,

  Utilidad = Ingresos – Costos

                = 60x - (40x + 3.000) = 20x – 3.000

Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos  U.S. $1.000 a la semana, tenemos las desigualdades siguientes.

       Utilidad  ≥ 1.000

  20x – 3.000 ≥ 1.000

               20x ≥ 4.000

                   X ≥ 200

En consecuencia el fabricante  deberá producir y vender al menos 200 unidades  cada semana.

1. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.  ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $5?

2.[1.] El administrador de una fábrica debe decidir  si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría  los costos generales de la empresa en  U.S. $800  al mes y el costo de material y de mano de obra  será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión  de fabricar sus propios empaques?

3.[2.] El fabricante de cierto artículo puede vender  todo lo que produce a un precio de U.S. $60 cada artículo. Gasta U.S.  $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de U.S. $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos U.S. $1.000  a la semana.

4.[3.] El Producto bruto interno (PBI) de un pais está proyectado en  t2 + 2t + 50  miles de millones de dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso. Determínese el instante en que el PBI del país sea igual o excesa a $ 58 mil millones.

Solución

El PBI del país será igual o excederá $ 58 mil millones cuando  t^2 + 2t + 50 >= 58 

Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: t^2 + 2t + 50 >=0 donde al factorizar se tiene (t+4)(t-2) >= 0

Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       El conjunto solución de la inecuación es                                                                                                     

                                                                                                                                                                                                                             como t  debe ser positivo, es decir se considera t >= 2  es decir que el PBI será igual o excederá por vez primera a los $ 58 mil millones, cuando t =2 es decir dentro de dos años.

5.[4.] La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600 000, determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidos para que la compañía tenga utilidades.

Solución

Sea: q = cantidad de unidades

20q = ventas totales.15q + 600 000 = costos totales

Entonces planteamos que las diferencia entre ventas totales menos los costos totales tienen que ser mayor a 0.

Quedando planteada la inecuación de la siguiente forma:

Por lo tanto se necesitan producir al menos 120 001 productos para que la compañia tenga utilidades.

6.[5.] Un peluquero  atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $ 3 por corte por cada incremento de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes. ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene por una tarifa de $ 3?

Solución

Sea; x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3

$ (3 + 0.5x) = el precio del corte.100 - 10x = número de clientes por semana.

Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte                                      = (100 - 10x)(3 + 0.5x) dólares

El ingreso correspondiente a 100 clientes son de (100)($ 3) = 300luego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decir:

aplicando puntos críticos:

por lo tanto la solución es:

Esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0.5 = $ 2

El peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $3+ $2=$5 por corte, para obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $3 por corte.

7.[6.] La gerencia de una minera, ha estimado que necesita "x" miles de dólares para adquirir:

acciones de una compañía telefónica. Determinar el dinero

que necesita esta minera para adquirir un mínimo de 100 000 acciones de esta compañía telefónica.

Solución

Calculamos la cantidad de dinero que la minera necesita para adquirir un mínimo de 100 000 acciones resolviendo la inecuación.:

de donde:

Por lo tanto la minera necesita al menos  $ 3 000

8.[7.]