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Escalasgrficas

1.2.- Escala. Escalas numricas, escalas grficas. Lmite de percepcin visual y su relacin con la escala, situacin actual.

La escala

Se denomina escala numrica, o simplemente escala, al cociente, factor o coeficiente querepresenta la relacin entre la medida que aparece en un plano o mapa, y su verdadera magnitud omedida real.

Escala = Dimensin en plano / dimensin en la realidad

Siendo la dimensin horizontal entre dos puntos del terreno M-N y de ese mismo segmentorepresentado en un plano m-n.

Tendramos que Escala = (m-n) / (M-N)

Dividiendo ambos trminos por (m-n), tendramos que

Escala = 1 / [(M-N)/(m-n)]

A esta razn, (M-N)/(m-n) se la denomina mdulo de la escala.

Reciben el nombre de mapas de gran escala o pequea escala en razn a que el denominador dela escala, o mdulo de la escala, sea menor o mayor. As tenemos mapas de pequea escala hasta el1:100.000, de escala mediana hasta 1:10.000 y de gran escala en adelante. Si el mdulo de la escalaes an menor, reciben el nombre de planos topogrficos y planos tcnicos a partir de 1:2.000.

Para una mayor y ms rpida comprensindel plano, y por otra parte como recurso ante lafacilidad de hoy da en el proceso de copias,reducciones y trazado por plotter, se coloca alpie del plano la denominada escala grfica, lacual no es ms que la representacin lineal, conmedidas y nmeros de referencia de un trazocon una longitud determinada.

Se admite que la vista humana tieneposibilidad de separacin o de percibir hasta 1/4de milmetro y distinguirla de 1/5 de mm. Esta cantidad de 0'20 mm se denomina lmite de percepcinvisual, estando ntimamente ligado a la escala. En un plano resulta imposible representar magnitudesinferiores al valor del producto del mdulo de la escala por 0'20.

Sea un plano a escala 1:5.000, tomamos 5.000 x 0'20 = 1.000 mm. , dado que 1.000 mm = 1m ellonos lleva a la consideracin de que todos los detalles de dimensin 1m o inferior no tendran posibilidadde representacin grfica en el plano. Sera intil tomar estos datos en el terreno debido a la imposibilidadde su representacin (evidentemente a esa escala). En caso de precisarse el detalle habra que recurriral empleo de una escala mayor, bien de todo el plano o de ese detalle especfico.

En la actualidad con los sistemas informatizados y procedimientos de C.A.D.(dibujos vectoriales),son los propios sistemas los que cambian el factor de escala a la hora de lanzar un plano al plotter,simplifican y eliminan de la representacin todo este detalle inferior a 0'20 x mdulo de escala, aunquedispongan de los datos, y al utilizar un factor de escala mayor nuevamente aparecer. Igualmente sucedeal utilizar el ZOOM en pantalla.

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Definiciones y conceptos

Medir significa comparar y determinar el nmero de veces que una unidad o patrn est contenida enel elemento que medimos.

Medidas directas son aquellas que se consiguen por la yuxtaposicin de un elemento comparador conel objeto a medir. Se deducen por un recuento directo. Su precisin est directamente ligada, en primerlugar, a la apreciacin del til de medida, y en segundo lugar al mtodo usado.

Ejemplo: cintas mtricas, flexmetros, crculo graduado, etc.

Medidas indirectas son aquellas que no se producen por un contacto, al menos tangible, entre el objetoa medir y el til o instrumento de medida. Se deduce por una relacin de semejanza o proporcionalidad:por el ajuste del ocular de un anteojo y la apertura de campo, o por el recuento en una unidad de tiempode un determinado nmero de ondas, bien por rebote bien por el tiempo de transmisin. El mtodo usadotiene una gran importancia a la hora de dilucidar la precisin. Ejemplos: estadas, E.D.M., Lser, G.P.S.,etc.

Precisin es el grado de aproximacin de una medida a la realidad o verdadera medida de un elemento.sta se alcanza en mayor o menor grado, en primer lugar, por la mayor o menor apreciacin del til oinstrumento de medida, y en segundo lugar por el mtodo empleado, repeticiones, series, medias,compensaciones, etc. Se cuantifica por el grado de error.

Error es la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posible hacer con un til oinstrumento.

Exactitud es la correccin de resultados, es decir, que stos estn exentos de equivocaciones.

Equivocacin es tomar como valor de una medida uno que no es, tomar o anotar otro distinto.

Tolerancia es el valor lmite del error o el error mximo admitido al realizar una medicin.

Metrologa

La Metrologa tiene por objeto el estudio y desarrollo de la normativa de aplicacin en el mbito de lamedida, establecer los procesos de disipacin de la ambigedad de las unidades patrn, y la correccinde los tiles e instrumentos que determinarn la medida.

En el ao 1967 se promulga la Ley de Pesas y Medidas que establece en Espaa el SistemaInternacional de Unidades (SI), crendose la Comisin Nacional de Metrologa y Metrotecnia. En 1985se promulga la Ley de Metrologa, ley que determina las unidades legales de medida, su materializaciny la obligatoriedad de su utilizacin, en conformidad con los acuerdos de la Conferencia General dePesas y Medidas (Svres). Establece el control metrolgico por parte del Estado y crea el CentroEspaol de Metrologa con las siguientes misiones:

'Obtencin, conservacin, desarrollo y difusin de las unidades bsicas de medida y delos patrones primarios de calibracin; la aprobacin de los modelos y la verificacin primitiva de losinstrumentos, aparatos, medios y sistemas de medida; la ejecucin de los controles metrolgicosdel Estado y de la CEE; la realizacin de estudios y anlisis de carcter metrolgico, as como laordenacin tcnica y administrativa de estas actividades, y, en general, el desarrollo de lasfunciones que las disposiciones legales vigentes atribuyen a la Administracin del Estado en elcampo de la Metrologa'.

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1.3.- Unidades de medida en Topografa

De acuerdo al marco correspondiente al Sistema Internacional de Unidades tenemos:

Unidad SI bsica de longitud: metro.Unidad SI suplementaria: radin.Unidad SI derivada, en superficie: m2 Unidad SI derivada, en volumen: m3.

Todas ellas con sus mltiplos y submltiplos.

No obstante en topografa de aplicacin no oficial es frecuente, de acuerdo a la influencia de lazona, encontrar algn otro tipo de medida (medidas antiguas) tanto para las longitudes como para lassuperficies y volmenes, siendo bastante usual el tener que recurrir a tablas de conversin, sobre todoal tratar con costumbres y tradiciones antiguas.

Igualmente ocurre para aquellas zonas o pases que no estn sujetas al SI, lo que implicaratambin el realizar las correspondientes conversiones.

Unidad de longitud

La unidad de longitud, el metro (m), es la longitud del trayecto recorrido en el vaco por la luzdurante un tiempo de 1/299.792.458 segundos.

En cuanto a los mltiplos y submltiplos, tenemos de acuerdo al SI:

Mltiplos Submltiplos

Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo

1018 exa E 10-1 deci d

1015 peta P 10-2 centi c

1012 tera T 10-3 mili m

109 giga G 10-6 micro : 106 mega M 10-9 nano n

103 kilo k 10-12 pico p

102 hecto h 10-15 femto f

101 deca da 10-18 atto a

Lo usual en Topografa es tomar los tres inmediatos a la unidad patrn: decmetro, hectmetro,kilmetro, y decmetro, centmetro, milmetro. Los dems no son usuales.

Es usual al referirnos a la tolerancia o a la certeza de una medida, el utilizar las siglas ppm, quesignifican partes por milln, en sentido acumulativo. As tendremos que al realizar una visual con unaparato que tiene una precisin de 5 mm. ms 3 ppm. obtendremos una dispersin en la medida de 5 mm ms 3 mm por cada milln de mm medidos (1 kilmetro).

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Unidad angular

En cuanto a la unidad angular, no es el radin la ms usual en la toma de la medida, y aunque slo es en el clculo actual debido fundamentalmente a los procesos de clculo informatizado ycalculadoras, no es as en la toma de datos y lecturas de instrumental, siendo la divisin en 400 partesde la circunferencia ideada por Porro (centesimal) la ms utilizada, sobre todo en nuestro mbito cercano.

Otras divisin tambin utilizada es el sistema sexagesimal que divide al ngulo completo ocircunferencia en 360 partes llamadas grados, ste a su vez en 60 partes llamadas minutos y el minutoen sesenta segundos. De tal forma que tendramos que un ngulo completo valdra:

360 3 360 x 60 = 21.600' 3 360 x 60 x 60 = 1.296.000"

Un derivado de este sexagesimal es el sistema decimal o sexagesimal-decimal que consiste endividir el grado sexagesimal en 100 partes llamadas minutos y ste a su vez en 100 partes llamadassegundos siendo usual en los sistemas de C.A.D. actuales, en las calculadoras porttiles, y en Geodesia.As tendramos que el ngulo completo en este sistema valdra:

360 3 360 x 100 = 360.000 minutos decimales 3 360 x 100 x 100 = 3.600.000 segundosdecimales

En cuanto a la divisin de Porro (llamado sistema centesimal), el ms actualizado, el gradoresultante de dividir el ngulo completo en 400, se divide a su vez en 100 minutos y este en 100segundos. Actualmente un grado en este sistema centesimal recibe tambin el nombre de gon, si bienan no est admitido por la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas.

Al dividir el ngulo completo, tendramos:

400g 3 400 x 100 = 40.000m minutos centesimales 3 4.000.000s segundos centesimales

1 gon = [B / 200] radianesExisten otras divisiones angulares como la milesimal, o milsima artillera, que tal como se deduce

del nombre se usa entre la frontera de lo militar y lo topogrfico.

La equivalencia entre las unidades anteriormente expuestas y el radin, sera en cada caso lasiguiente:

1 radin es igual a 1.296.000/(2B) = 206.265 "1 radin es igual a 3.600.000/(2B) =572958 sd

1 radin es igual a 4.000.000/(2B) = 636.620 s

Cantidades que utilizaremos al determinar el error angular de estima de los instrumentos.

Unidad de superficie y volumen.

Tal como sealbamos, en el SI se seala dentro del marco de unidades derivadas, en superficieel m2 y en volumen el m3, aplicndoseles tambin lo que respecta a mltiplos y submltiplos.

Superficie

Submltiplos 1 mm2 = 0'000001 m2 = 10-6 m21 cm2 = 0'0001 m2 = 10-4 m2 1 dm2 = 0'01 m2 = 10-2 m2

UNIDAD 1 m2

Mltiplos 1 dam2 = 100 m2 = 102 m2 1 hm2 = 10.000 m2 = 104 m2

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1 km2 = 1.000.000 m2 = 106 m2

Por la relacin directa que tiene la Topografa con la Agrimensura, es usual utilizar denominacionesde unidades superficiales de mbito agrcola tales como centirea (ca), rea (a) y hectrea (Ha), llamadasmedidas agrarias. Su equivalencia en m2 es:

1 ca. = 1 m21 a. = 100 m2 = 1 dam21 Ha = 10.000 m2 = 1 hm2

Quiero tambin sealar que al referirnos a estas medidas agrarias, siempre lo haremos en basea su proyeccin horizontal, y nunca siguiendo las sinuosidades del terreno. En relacin a esto quehemos indicado es por lo que la superficie agraria recibe tambin el nombre de superficie legal.

En cuanto a las unidades de volumen, tenemos:

Submltiplos 1 mm3 = 0'000000001 m31 cm3 = 0'000001 m31 dm3 = 0'001 m3

unidad 1 m3

Mltiplos 1 dam3 = 1000 m31 hm3 = 1.000.000 m31 km3 = 1.000.000.000 m3

Recibiendo el nombre de volumen de desmonte cuando el volumen de terreno es retirado oexcavado, y volumen de terrapln cuando se aporta.

1.3.- Tipos de errores. Concepto de Tolerancia. Distribucin de los errores

Concepto de error

Al inicio del tema, al definir la precisin, indicbamos que sta se cuantificaba por el mayor o menorgrado de error, siendo el error la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posiblehacer con un til o instrumento. Y que a medida que el instrumento era ms preciso este error tenda adisminuir, distinguindolo de la equivocacin que como ya decamos es tomar una cosa por otra distinta.Siendo que cuando el error no supera un valor prefijado este es aceptado, este valor limite recibe elnombre de tolerancia.

Por ello tendremos medida exacta o perfecta, la que corresponde a una determinacin, a la cualtendemos con nuestra toma de medidas pero cuyo conocimiento es una utopa. Y a la que nosacercaremos con mayor o menor grado de error.

En este acercarnos a la medida exacta, analizamos la posibilidad de que se produzcan dos posiblestipos de errores, los sistemticos y los accidentales o aleatorios.

Errores sistemticos son aquellos que se producen invariablemente a la toma de medida, es unacausa permanente, y como tal evitable hoy dia con el control de calidad. Ejemplo una cinta que tiene 2cm. de mas o ha estirado etc.

Errores aleatorios o accidentales, son aquellos que se producen de forma espontnea y sobre

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Curva de Gauss

los que no se tiene posibilidad de control, aunque s de reduccin. Ejemplo: mirar de forma lateral por un ocular, un cambio de temperatura no controlado, utilizar con

ms o menos tensin una cinta. Todos ellos con un proceso bien de eliminacin en una repeticinsucesiva, una media, etc. pueden controlarse si no corregirse.

Otra clasificacin posible es el error verdadero y error aparente. El error verdadero es la diferenciaentre el valor real y nuestra medicin, pero como la magnitud real no es posible conocerla, el errorverdadero tampoco, y este error ser siempre un error aparente.

Tambin se puede hablar de error absoluto y error relativo. El error absoluto es la diferencia entrela medida cierta, o que tomamos como cierta y el valor medido, mientras que el error relativo es elcociente entre el error absoluto y el valor real (o que se admite como tal). ste se expresa en tantos porcientos.

Distribucin del error

Valor ms probable, error probable, error medio aritmtico y error medio cuadrtico.

Dado que en una repeticin de medidas, stas tienden a acercarse al valor verdadero, se tomacomo valor ms probable a la media aritmtica de las medidas efectuadas. De otra forma tambintenemos que para que la suma de errores tienda a anularse, y de acuerdo a la teora de mximos ymnimos, podemos tambin definir como valor ms probable aquel para el cual la suma de los cuadradosde los errores es mnima.

Si se ponen todos los errores de forma ordenada y en valor absoluto, se denomina error msprobable al que queda en el centro de la serie.

La media de los errores verdaderos o aparentes, es el error medio aritmtico.

El error medio cuadrtico es la raz cuadrada de la media de los cuadrados de los erroresaparentes o verdaderos.

Curva de Gauss

Al llevar los diferentes resultados de error a una grfica, se observa que todos ellos vienen adistribuirse segn una curva semejante a la conocida como curva de Gauss, tambin llamada campanade Gauss. El centro de la curva corresponder al valor cero, y se demuestra que los puntos de inflexincorresponden al error medio cuadrtico, denotndose tambin ms frecuencia de puntos que convergenal centro.

Definamos tambin al inicio que la toleranciaera el error lmite admisible, ello se analiza en lacampana de Gauss, y si es normal tomar un valorpara la tolerancia en el entorno de 2.5 veces el errormedio cuadrtico, observamos que en la curva ellosupone una probabilidad del 1%. Es por ello quecalculado el error medio cuadrtico de una serie demedidas deben desecharse aquellas cuyo errorexceda de 2.5 veces ese error.

Concepto de error de cierre.

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Arco de Meridiano

Compensacin del error.Compensacin por mnimos cuadrados

Al realizar una medicin o una serie de mediciones que convergen, se denomina error de cierrea la diferencia entre el valor final obtenido y el valor verdadero. Si este error se reparte de formaproporcional a los valores de las medidas efectuadas, habremos realizado una compensacin de losvalores participantes en el resultado final obtenido.

Para compensar los valores que definen una medicin en la cual se ha determinado un error decierre, podemos utilizar diferentes modelos matemticos, unos proporcionales a distancias, otrosproporcionales a ngulos, simples medias o divisiones o recurrir a un anlisis de mximos y mnimos,realizando una reduccin por mnimos cuadrados, ya sealbamos que el valor mas probable de unamagnitud medida era aquella que hacia mnima la media de los cuadrados de los errores aparentes.

Lmite de un plano topogrfico. Error lineal y error superficial. Influencia de la curvatura terrestre en Planimetra y Altimetra

Dado que la curvatura terrestre influye de forma distinta en los levantamientos planimtricos yaltimtricos, su estudio se ha realizado siempre separadamente. No obstante, hoy da, debidofundamentalmente al potente instrumental y los procesos de clculo informatizado, suelen llevarseconjuntamente la planimetra y la altimetra.

Influencia de la curvatura terrestre en la planimetra

Analizamos en este caso la diferencia entre la longitud de la tangente y la cuerda de undeterminado arco de superficie terrestre. Estas diferencias nos expresarn el error cometido o influenciade la curvatura.

En planimetra analizaremos la influencia de la curvatura terrestre en el sentido de los lados dellevantamiento, en la superficie del terreno levantado y en supermetro.

Supuesto un arco A-B de crculo mximo de la esferaterrestre, admitiendo adems que dicha superficie se levantatomando como plano de proyeccin la tangente a su centroy con direccin al centro de la tierra.

En la figura, vemos como los puntos A y B seproyectan sobre la tangente en a y b segn el sistema deproyeccin de planos acotados, mientras que la proyeccinsegn la vertical al centro de la tierra seria a y b y por tantoel error cometido sera a-a y b-b

Podemos expresar el error que se comete al proyectarun arco de crculo mximo A-B de la siguiente forma:

E = (A-B)3/ (12R2)

Siendo R = radio de la tierra = 6.370 km.

Si tomamos valores, deducimos que por ejemplo para una distancia de 1.000 m cometemos unerror de 1 cm. ,expresamos la precisin d/D 0'01/1.000 1/100.000, entendindose como medicionesde alta precisin aquellas que corresponden al entorno de 10-5. Este nivel se alcanza en longitudes de

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Influencia de la curvatura en planimetria.

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