Translation Rotation as Rigid Body Prs (4)

Fluido en tralacion o en rotacioncomo cuerpo rıgido

Daniel G. Camacho

Escuela de Ingenierıa Mecanico-ElectricaFacultad de IngenierıaUniversidad de Piura

25 de marzo de 2011

U N

I V E

R S

I T A S S T U D I O

R U

M

P I U R E N S I S

Daniel G. Camacho (Universidad de Piura) Mecanica de Fluidos (FL) 25 de marzo de 2011 1 / 1 Daniel G. Camacho (Universidad de Piura) Mecanica de Fluidos (FL) 25 de marzo de 2011 2 / 1

Fluido en traslacion como cuerpo rıgido

I Consideremos un fluido que se mueve con aceleracion constante a.I La ecuacion del movimiento de cada partıcula fluida es:

−gradp − ρgk = ρa

I Si alineamos el vector aceleracion con el plano y − z:

∂p∂y= −ρgay,

∂p∂z= −ρ(g + az),

I Se tienedp = gradp · dx = −ρaydy − ρ(g + az)dz

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I Para una superficie de presion constante se cumple dp = 0,entonces:

dzdy= −

ay

g + az

I En el caso particular en el que ay = 0 se tiene

dpdz= −ρ(g + az)

I Para fluidos de densidad constante la expresion anterior nos indicaque la presion varıa linealmente con la profundidad debido al efectocombinado de la gravedad y la aceleracion.

I Para un fluido en caıda libre gradp = 0.I Si la presion que rodea a la masa del fluido es cero, la presion en

todo el fluido sera cero.


EjemploEn la figura se muestra la seccion del tanque de combustible de unvehıculo experimental. El tanque esta expuesto a la atmosfera por mediode un agujero y para el combustible S G = 0.65 (γagua = 62.4 lb/pie3). Enuno de los lados se ha colocado un transductor de presion como se indicaen el esquema. Durante una prueba del vehıculo el tanque esta sometidoa una aceleracion ay.(a) Determine una expresion que relacione la aceleracion ay con lapresion en el transductor.(b) ¿Cual es la maxima aceleracion que se puede alcanzar antes de queel nivel de combustible caiga debajo del transductor?


Figura: Tanque de un vehıculo experimental sometido a una aceleracion constante ay.


Parte (a):I Como la aceleracion es horizontal, la pendiente de las superficies de

presion constante esta dada por:

dzdy= −

ay

g

I Para un cambio arbitrario z1 de la superficie libre en el lado derechodel tanque:

−z1

0.75= −

ay

gI La presion en el combustible esta dada por p = γh. En nuestro caso h

es la profundidad del combustible sobre el transductor, luego:

p = 0.65 · 62.4[0.5 − 0.75ay/g]

= 20.3 − 30.4ay

g

para z1 ≤ 0.5 pie. La presion p estara en lib/pulg2.


Parte (b):

II La aceleracion maxima se encuentra de la ecuacion

0.50.75

=ay,max

g

ay,max =2g3

ay,max =2 · 32.2

3= 21.5 pie/seg2



Fluido en rotacion como cuerpo rıgido

I Consideremos un fluido en rotacion como cuerpo rıgido convelocidad angular constante ω.

I Utilizando coordenadas cilındricas, la aceleracion de cada partıculafluida es a = −ω2rer. Siendo r la distancia al eje de rotacion.

I La ecuacion del movimiento queda

−gradp − ρgez = −ρω2rer

I Ademas en coordenadas cilındricas:

gradp =∂p∂r

er +1r∂p∂θ

eθ +∂p∂z

ez


I Tenemosdp = ρrω2dr − γdz

I En una superficie de presion constante dp = 0, entonces:

dzdr=

rω2

g

I Integrando obtenemos que las superficies de presion constantecumplen:

z =ω2r2

2g+ const.


EjemploSe ha sugerido que para medir la velocidad angular ω de un cuerpo o ejeque gira se puede colocar un cilindro abierto con un lıquido como seindica en la figura y medir el cambio H − h0 en el nivel de fluidoocasionado por la rotacion del fluido. Determine una relacion entre estecambio en el nivel del fluido y la velocidad de rotacion.


Figura: Cilindro agregado a un cuerpo en rotacion con velocidad angular constante.


I La altura de la superficie libre sobre el fondo del tanque esta dadapor:

h =ω2r2

2g+ h0

I El volumen de fluido en la configuracion inicial esta dado por:

V = πR2H

I El volumen de fluido cuando esta rotando el tanque esta dado por:

V = 2π∫ R

0r(ω2r2

2g+ h0

)dr =

πω2R4

4g+ πR2h0

I Obtenemos

H − h0 =ω2R2

4g



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