MÉTODO DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO

JULIETH ALEJANDRA OSPINA CALDERÓN

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑOFACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIALMODELOS MATEMÁTICOS

BOGOTÁ D.C.2015

MÉTODO DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO

JULIETH ALEJANDRA OSPINA CALDERÓNCÓDIGO: 10411311062

Presentado a:LUIS CARLOS FORERO

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑOFACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIALMODELOS MATEMÁTICOS

BOGOTÁ D.C.2015

TABLA DE CONTENIDO

PÁG.

Introducción.........................................................................................................................................4

1. Variable aleatoria...............................................................................................................................5

1.1. Variable aleatoria discreta............................................................................................................5

1.2. Variable aleatoria continua...........................................................................................................5

2. Generacion de variables aleatorias....................................................................................................5

2.1. Métodos más empleados para la generación de variables aleatorias........................................6

2.2. Tipos de generadores de variables aleatorias...............................................................................7

3. Método de aceptación y rechazo......................................................................................................10

3.1. Demostración...................................................................................................................................10

3.2. Algoritmo de aceptación y rechazo...............................................................................................10

4. Simulación del método de aceptación y rechazo............................................................................14

conclusiones.............................................................................................................................................17

bibliografía................................................................................................................................................18

INTRODUCCIÓN

Una variable aleatoria es una función que asocia un número a cada elemento del espacio muestral, en donde el recorrido o rango de la variable es el conjunto de valores que toma.

El proceso de simulación necesita la generación de datos semejantes a los que se producen en la realidad, lo que precisa la posibilidad de generar variables aleatorias de varias distribuciones, por ejemplo la exponencial.

El método de aceptación y rechazo consiste en generar un valor de la variable aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando.

1. VARIABLE ALEATORIA

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas.

1.1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplo: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

1.2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplo: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila1.

2. GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

Luego de introducir al sistema los datos, es necesario transformarlos en información, la cual puede ser determinística y/o probabilística. La determinística ingresa directamente al sistema con su valor respectivo. Para la probabilística se requiere generar modelos que emulen el comportamiento de la variable correspondiente. Los números pseudoaleatorios son la base para realizar simulaciones donde hay variables estocásticas, porque estos números generan eventos probabilísticos; inicialmente se parte de la generación de números pseudoaleatorios uniformes entre cero (0) y uno (1). 

1 (VITUTOR, Variables Aleatorias (En línea))

2.1. MÉTODOS MÁS EMPLEADOS PARA LA GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS   2.1.1. Método de la transformada inversa.

Consiste en emplear la distribución acumulada F(x) de la distribución de probabilidad a simular por medio de integración; como el rango de F(x) se encuentra en el intervalo de cero (0) a uno (1), se debe generar un número aleatorio ripara luego determinar el valor de la variable aleatoria cuya distribución acumulada es igual a ri. El problema de este método radica en el hecho que algunas veces se dificulta demasiado la consecución de la transformada inversa.

2.1.2. Método de convolución.

Permite generar una distribución a partir de la suma de distribuciones más elementales o mediante la transformada z.

2.1.3. Método de aceptación y rechazo.

Cuando f(x) es una función acotada y x tiene un rango finito, como a   x   b, se utiliza este método para encontrar los valores de las variables aleatorias. El método consiste en normalizar el rango de f mediante un factor de escala c, luego definir a x como una función lineal de r, después se generan parejas de números aleatorios r1 , r2 y por último si el número encontrado se elige al azar dentro del rango (a,b) y r b, se utiliza este método para encontrar los valores de las variables aleatorias. El método consiste en normalizar el rango de  f mediante un factor de escala c,  luego definir a x como una función lineal de r, después se generan parejas de números aleatorios r1 , r2 y por último si el número encontrado se elige al azar dentro del rango (a,b) y  r   cf (x) se acepta, en caso contrario se rechaza. El problema de este método es la cantidad de intentos que se realizan antes de encontrar una pareja exitosa.

2.1.4. Método de composición.

Con este método la distribución de probabilidad f(x) se expresa como una mezcla o composición de varias distribuciones de probabilidad fi(x) seleccionadas adecuadamente.

2.1.5. Procedimientos especiales.

Existen algunas distribuciones estadísticas de probabilidad en las cuales es posible emplear sus propiedades para obtener expresiones matemáticas para la generación de variables aleatorias en forma eficiente. En varios casos se aplica el Teorema Central del Límite y en otros se utiliza el método directo para encontrar las variables aleatorias2.

2 (Lozano, Generación de Variables Aleatorias, Universidad Nacional de Colombia- Sede Manizales (En línea))

2.2. TIPOS DE GENERADORES DE VARIABLES ALEATORIAS

2.2.1. Generador congruencial lineal (más utilizado).

Produce una secuencia de enteros x1, x2, …; entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación recursiva:

Esto da el residuo de la división de (ax 1+ c) entre m.

Los números aleatorios se entregan por medio de la relación:

Técnicamente, un número aleatorio, ri , se define como una muestra aleatoria independiente extraída de una distribución uniforme continua, cuya función de densidad de probabilidad (fdp) está dada por:

Así cada número aleatorio estará distribuido de manera uniforme en el intervalo entre 0 y 1.

Debido a esto, a estos números aleatorios se les conoce como números aleatorios U (0,1), o simplemente como números aleatorios uniformes3.

Gráfica 1. Distribución Uniforme

3 (Benavides, ECCI, Investigación de Operaciones (En línea))

Fuente: Investigación de Operaciones - ECCI

2.2.2. Generador multiplicativo.

Este método tiene la ecuación congruencial de recurrencia, donde:

a = es la constante multiplicativa.m = es la magnitud del módulo.X0 = es la semilla.

Los requisitos mínimos que deben satisfacer los parámetros sonX0, a, m > 0; enteros y m > a, m >X0.

Ejemplo. Desarrollar cinco iteraciones del generador Xn+1 = 3Xn mod 100, con X0=51.

Xn RND51 0.5153 0.5359 0.5977 0.7731 0.31

 

2.2.2.1. Selección de los parámetros del generador congruencial multiplicativo.

Selección de a. Debe seleccionarse el valor de a de la forma siguiente:a = 8t +- 3 donde t es cualquier entero positivo.

Selección de m. Este valor se selecciona de tal manera que: m =2d, donde d es el número de bits de la palabra de la computadora.

Selección de X0. Tómese X0 impar, relativamente primo a m.

A continuación damos los parámetros para dos casos especiales que ya han sido probados para este generador (Varela, Kelton respectivamente).

2.2.3. Generador mixto.

El método mixto tiene la siguiente ecuación de recurrencia, donde:

a = es la constante multiplicativa.c = es la constante aditiva.m = es la magnitud del módulo.X0 = es la semilla.

Los requisitos mínimos que estos parámetros deben satisfacer son:

X0, a, c, m >= 0; enteros y m > a, m > c, m > X0

Aquí mod representa a la operación aritmética módulo entre los enteros a y b tal que el resultado de (a mod b) es el residuo entero de la división a entre b.

2.2.3.1. Selección de los parámetros del generador congruencial mixto.

Selección de m. Seleccionar m de modo que sea el número primo más grande posible y que a su vez sea menor que p, donde:

p es la base del sistema binario y d es el número de bits de la palabra de la computadora. Por ejemplo 231.

Selección de a. Preferentemente selecciónese a a de tal manera que:

I) (a-1) mod 4 = 0, si 4 es un factor de m.II) (a-1) mod b = 0, si b es un factor primo de m.

Usualmente, el valor de a se toma como a = 2k +1; k>=2

Selección de c. Es recomendable escoger c tal que c mod 8 = 5.

Selección de X0. La selección de X0 es irrelevante.

Algunos parámetros que se utilizaron en diferentes máquinas son4:

3. MÉTODO DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO

Sea X una variable aleatoria con función de densidad . Supóngase que f(x)=Cg(x)h(x) con C una constante,   y h(x) una función de densidad en I. Si  e Y (con función de densidad h) son independientes, entonces 

3.1. DEMOSTRACIÓN

3.2. ALGORITMO DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO

4 (Poli Libros Mexico, (En línea))

Se genera   y un valor y de la variable Y (de forma independiente).

Si u>g(y), se va al paso 1.

Si  , entonces se hace x=y.

Ahora interesa conocer cuál es la probabilidad de que en una iteración concreta se rechace el valor generado: 

Como el número de iteraciones del método hasta aceptar un valor sigue una distribución geométrica de parámetro (cuya esperanza es C), entonces si queremos optimizar el método habrá que intentar que C sea próxima a uno y que h sea sencilla de generar. 

Si hacemos, entonces buscamos que sea . Se tendrá 

Como   coincide con h salvo la constante y h es una función de densidad en I, entonces también se tiene que cumplir que   sea finita. 

Caso particular: f acotada, definida en un intervalo [a,b] acotado 

Sea en I=[a,b]. En este caso tomamos . Así:

H-1(u)= a + (b-a)u.

Además, 

El algoritmo resultante es:

Genérese u1,   de forma independiente.

Si M u1 > f(a+(b-a)u2), entonces se vuelve al paso 1. En caso contrario, se hace x=a+(b-a)u2.

Ejemplo:  

En este caso [a,b]=[-R,R], por lo que  , pues f alcanza su máximo en x=0. Tratemos de simplificar el test de aceptación  . 

Si y sólo si:

Si y sólo si:

Si y sólo si 

La probabilidad de aceptación es:

Ejemplo:

La función   es función de densidad en (0,1). Así 

Tomamos  . De este modo se tiene que 

Y el criterio de aceptación es:

Tomándose:

Ejemplo:  

Para que se cumplan todas las condiciones que necesitamos, tomamos 

Es inmediato que  . Veamos que   integra un valor finito: 

Ahora, 

Como  , entonces,

El algoritmo para simular la variable X es:

Se genera u1, u2 según una distribución U (0,1).

Si  , entonces se toma x=H-1(u1). En caso contrario, se repite el paso 1.

4. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO

Consideremos X una variable aleatoria cuyo soporte es un intervalo finito [a, b] sobre el que la función de densidad es acotada y no nula. Sea c = máx. x ∈ [a , b] f(x). Los métodos generales de generación de variables aleatorias procedimiento es el siguiente:

1. Generar dos números aleatorios u, v independientes.

2. Hacer x = a + (b – a) u, x es un valor de una variable aleatoria U(a, b). Hacer y=cv, y es un valor de una variable aleatoria U (0, c).

3. Calcular f(x). Si y ≤ f(x), entonces se acepta x como valor generado de la variable aleatoria X. En caso contrario, volver al paso 1.

La siguiente figura muestra el funcionamiento del método:

Gráfica 2. Método de aceptación y rechazo por envolvente

Los pasos 1 y 2 generan puntos (X, Y) uniformemente distribuidos sobre el rectángulo con dimensiones c × (b − a). Si el punto (x, y) cae bajo la curva f(x), entonces en el paso 4 se acepta x; en caso contrario el método rechaza x y realiza otro intento. La región entre el rectángulo y la curva es la que determina el rechazo de la observación.

La probabilidad de rechazo será el cociente entre el área de esta zona y el área del rectángulo. La región de aceptación tiene área 1 por ser f(x) una función de densidad.

4.1. Ejemplo de la Simulación Si se Rechaza

Etapas:1º Simulamos Y~U(0,1) 0,070170

2º Calculamos f(y)=60x3(1-x)2= 0,0179232º Simulamos U~U(0,1) 0,324331

3º Hacemos el cociente

0,0086434º ¿Es U menor o

mayor que el cociente?

NO, rechazo

Probabilidad aceptar 0,482253

Simulación por el método de aceptación-rechazo b(4,3)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f(x)=60x3(1-x)2 t(x)=2.0736 U·t(Y)

Nueva

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

[0 - 0.1] (0.1 - 0.2] (0.2 - 0.3] (0.3 - 0.4] (0.4 - 0.5] (0.5 - 0.6] (0.6 - 0.7] (0.7 - 0.8] (0.8 - 0.9] (0.9 - 1.0]

Histograma con 2000 simulaciones

Frecuencias Probabilidades

4.2. Ejemplo de la Simulación Si se Acepta

Etapas:1º Simulamos Y~U(0,1) 0,338489

2º Calculamos f(y)=60x3(1-x)2= 1,0182592º Simulamos U~U(0,1) 0,128499

3º Hacemos el cociente

0,4910594º ¿Es U menor o

mayor que el cociente?

SÍ, Acepto

Probabilidad aceptar 0,482253

Simulación por el método de aceptación-rechazo b(4,3)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f(x)=60x3(1-x)2 t(x)=2.0736 U·t(Y)

Nueva

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

[0 - 0.1] (0.1 - 0.2] (0.2 - 0.3] (0.3 - 0.4] (0.4 - 0.5] (0.5 - 0.6] (0.6 - 0.7] (0.7 - 0.8] (0.8 - 0.9] (0.9 - 1.0]

Histograma con 2000 simulaciones

Frecuencias Probabilidades

Teniendo en cuenta los siguientes valores, con que se realizó la simulación:

U Y f(Y)/t(Y) ClasesFrecuencias

relativasRechazos

(%)Simulaciones válidas (frecuencia)

Prob. teóricas

0,27836 0,64659 0,97695 [0 - 0.1] 9,55% 100,00% 0,00% 0,00130,70519 0,54876 0,97362 (0.1 - 0.2] 10,10% 96,04% 0,83% 0,01570,89257 0,05578 0,00448 (0.2 - 0.3] 9,95% 76,38% 4,87% 0,05350,93204 0,74735 0,77097 (0.3 - 0.4] 10,25% 50,73% 10,47% 0,10870,66478 0,18476 0,12128 (0.4 - 0.5] 10,10% 18,32% 17,10% 0,16460,17960 0,87281 0,31123 (0.5 - 0.6] 9,65% 4,66% 19,07% 0,20060,99542 0,50102 0,90605 (0.6 - 0.7] 11,45% 2,62% 23,11% 0,20000,89294 0,60799 0,99933 (0.7 - 0.8] 9,20% 22,83% 14,72% 0,15680,30003 0,64265 0,98070 (0.8 - 0.9] 9,65% 58,03% 8,39% 0,08300,15524 0,13447 0,05270 (0.9 - 1.0] 10,10% 93,07% 1,45% 0,01580,42751 0,49771 0,90005 Total 100,00% 51,75% 100,00% 1,00000,87500 0,14364 0,062890,70247 0,36457 0,566120,72045 0,82932 0,480800,88721 0,26554 0,292250,33205 0,42225 0,727130,48143 0,61018 0,998910,33882 0,31709 0,430240,06519 0,88285 0,273250,63818 0,77975 0,665450,74429 0,10516 0,026950,50432 0,50155 0,907010,61945 0,66463 0,955470,62156 0,64887 0,974620,98747 0,58387 0,997320,21515 0,38726 0,630940,93043 0,29755 0,376130,25327 0,43088 0,749730,87994 0,27218 0,309070,93493 0,43744 0,766530,38620 0,81643 0,53063

Re

sult

ad

os

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la s

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ón

Prueba con 2000 simulaciones

.

.

.CONCLUSIONES

Las variables aleatorias son la base para el éxito en los procesos de simulación son los valores que toma el Cierre procesos de simulación, son los valores que toma el sistema bajo análisis, y con los cuales haremos la simulación.

Por lo que al encontrar los números pseudoaleatorios para utilizar en el sistema, tenemos primero que verificar que sean variables aleatorias que se ajustan a la distribución de probabilidad el proceso.

En los planes de muestreo de aceptación y rechazo por variables deben especificarse el número de artículos que muestrear y los criterios para juzgar los lotes cuando se obtienen los datos de mediciones respecto a la característica que se interesa.

BIBLIOGRAFÍA

VITUTOR. URL: www.vitutor.com/pro/3/a_1.html

UNAL. URL: www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/Lecciones/Capitulo%20VI/valeatorias.htm

ECCI. URL: http://www.kramirez.net/ProbaEstad/Material/Presentaciones/GeneracionVariablesAleatorias.pdf

UVA. Es. URL: http://www5.uva.es/estadmed/probvar/simulacion/simulacion2.htm

POLI LIBROS. URL: http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/polilibros/p_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-129.htm