Índice

Bibliografía.......................................................................................................9 Continuas.........................................................................................................2 Discretas..........................................................................................................2Distribución Binomial.......................................................................................3Distribución de Gumbel....................................................................................6Distribución de Poisson...................................................................................5Distribución de Probabilidades........................................................................2Distribución Normal..........................................................................................4 Índice...............................................................................................................1

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Distribución de Probabilidades

- Discretas

Si una variable X puede tomar un conjunto discreto de valores X₁,X₂,…..Xk, con probabilidades respectivas p₁,p₂,…pk , donde p₁ + p₂ + …. + pk = 1 , decimos que tenemos definida una distribución de probabilidad discreta para X. La Función p(X), que tiene valores p₁,p₂,…pk para X = X₁,X₂,…..Xk, se llama función de probabilidad o función de frecuencia de X. Como X puede tomar ciertos valores con ciertas probabilidades, se le llama una variable aleatoria discreta. Una Variable aleatoria se conoce como variable estocástica.

- Continuas

Las ideas anteriores se extienden a variables X que pueden tomar un conjunto continuo de valores. El polígono de frecuencias relativas de una muestra se convierte, en el caso teórico o límite de población, en una curva continua (como la siguiente figura) de ecuación Y = p(X). El área total bajo esa curva y sobre el eje X es 1, y el área entre X = a y X = b (sombreada en la figura) da la probabilidad de que X esté entre a y b, que se denota por Pr(a < X < b). Llamamos a p(X) una función densidad de probabilidad, o brevemente una función densidad, y cuando tal función es dada decimos que se ha definido una distribución de probabilidad continua para X. La variable X se llama entonces una variable aleatoria continua.

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a) Distribución Binomial

Si p es la probabilidad de que ocurra un seceso en un solo intento (llamada

probabilidad de éxito) y q = 1 – p es la probabilidad de que no ocurra en un

solo intento (llamada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de

que el suceso ocurra exactamente X veces en N intentos (o sea, X éxitos y N

– X fracasos) viene dado por:

p (X )=( NX ) px qn− x= N !X !(N−X )!

px qn−x

Donde X = 0, 1, 2,…..,N; N! = N(N-1)(N-2)…..1 y 0! = 1 por definicion.

Ejemplo: Obtenga la Probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6

tiradas de una moneda.

p (X )=( NX ) px qn− x= N !X !(N−X )!

px qn−x

N=6, X=2, p = q= 1/2, Por lo Tanto:

p (X )=( 62 )( 12 )2

( 12 )6−2

= 6 !2 !(6−2)! (12 )

6

=1564

b) Distribución Normal

Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad

continua es la distribución normal, curva normas o distribución gaussiana,

definida por la ecuación:

Y=1

σ √2πe

−12

(x−μ)2

σ ²

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Distribucion Binominal

Media μ=Np

Varianza σ ²=Npq

Desviación Típica σ=√NpqCoeficiente de Sesgo α 3=

q−p√Npq

Coeficiente de

Curtosisα 4=3+

1−6 pqNpq

Donde μ=media , σ=desviaciontipica , π = 3,14159… y e = 2,71828… . El

área total limitada por la curva (3) y el eje X es 1, por tanto, el área bajo la

curva entre X = a y X = b, con a < b, representa la probabilidad de que X

este entre a y b. Esta probabilidad se denota por Pr (a < X < b ).Cuando

se expresa la variable X en unidades estándar ( z = ( X - μ) / σ ¿, la

ecuación (3) es remplazada por la llamada forma canónica.

Y= 1√2π

e−12z ²

En tal caso, decimos que z están normalmente distribuida con media 0 y

varianza 1.

Ejemplo: La siguiente figura es un gráfico de esta forma canónica. Muestra

que las áreas comprendidas entre z = -1 y +1, z = -2 y +2, z = -3 y +3,

son iguales, respectivamente, a 68,27%, 95,45% y 99,73% del área total, que

es 1. La siguiente tabla muestra las áreas bajo esta curva acotadas por las

ordenadas z = 0 y cualquier valor positivo de z. De esa tabla se puede

deducir el área entre todo par de coordenadas usando la simetría de la curva

respecto de z = 0.

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Algunas de las propiedades de la distribución normal se muestran en la

siguiente tabla:

Media μ

Varianza σ ²

Desviación Típica σ

Coeficiente de Sesgo α 3=0

Coeficiente de

Curtosis

α 4=3

Desviación Mediaσ √ 2π=0,7979σ

c) Distribución de Poisson

La Distribución de probabilidad directa:

p (X )= λx e−λ

X ! X = 0, 1, 2,….

Donde e = 2,71828…..e = 2,71828….. y λ es una constante dada, se llama

la distribución de Poisson en honor de Simeón-Denis Poisson. Algunas

propiedades de la distribución de Poisson se recogen en la siguiente tabla:

Media μ= λ

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Varianza σ ²=λ

Desviación Típica σ=√ λCoeficiente de Sesgo α 3=

1

√ λCoeficiente de Curtosis α 4=3+

1λ

Ejemplo: Un 10% de las herramientas producidas en una fábrica son

defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10

herramientas tomadas al azar exactamente 2 sean defectuosas.

La probabilidad de una herramienta defectuosa es p = 0.1

Con λ=Np=10 (0,1 )=1 y usando e = 2,718,

Pr (2 objetos defectuosos en 10) ¿ λxe−i

X !=1

2e−1

2 != e

−1

2= 12e

=0,1839 o sea

0,18

En general, la aproximación de Poisson es buena si p≤0,1 y λ=Np≤5

d) Distribución de Gumbel

Si la función de distribución inicial converge hacia una exponencial para X

teniendo a infinito, es aplicada la ley de valores extremos de gumbel, cuya

expresión es la siguiente:

ϕ (Y )=e−e−y

Siendo Y la variable reducida de Gumbel, que es a su vez, función lineal de

la variable aleatoria original de X.

Y=α ₀ (x−u₀ )

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El campo de la variación de X se extiende entre −∝Y +∝. Las constantes α ₀

y u₀ se determinan a partir de los datos para lograr su optimo ajuste. El

valor medio y la desviación estándar de la variable reducida son fijos e

independientes de la muestra.

Y=γ

σ y=π

√6

Siendo γ la constante de Euler, definida por la expresión siguiente:

γ=limn→∞ (∑i=1n 1

i−lnn)=0,577…

Teniendo de cuenta la relación lineal que existe entre las variables X e Y

pueden calcularse fácilmente el valor medio y la desviación estándar para la

variable aleatoria original. También es sencillo comprobar la validez de la

siguiente igualdad:

k= x−xσ x

= y− yσ y

Esto indica que despejando Y de la ecuación ϕ (Y )=e−e−y

puede hallarse la

relación K – T para una distribución de Gumbel. Si se tiene en cuenta,

además, la vinculación existe entre la función de distribución y el periodo de

retorno dadas en las expresiones anteriores, por lo tanto se llega a obtener lo

siguiente:

k=−√6π [γ+ ln(ln T

T−1 )]Otro aspecto interesante a consideración es la tendencia asíntota de la

función de Gumbel cuando el periodo de retorno tiende a infinito. Este punto

reviste particular importancia debido principalmente a que el objetivo principal

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del método estadístico es precisamente predecir el comportamiento de la

variable bajo estudio para grandes periodos de retorno, razón por la cual se

llega a la siguiente igualdad:

y=ln 1

lnTT−1

Por otra parte desarrollando en serie la función e−1T , resulta que para T

tendiendo a infinito, se llega a la siguiente aproximación:

e−1T ≈1− 1

T

O lo que es igual:

1T≈ ln

TT−1

Entonces si remplazo esta ecuación en la anterior, se obtiene la siguiente

expresión valido para grandes periodos de ocurrencia:

Y ≈ lnT

Es decir que el valor predicho por Gumbel para la variable de interés crece,

aproximadamente con el logaritmo de periodo de retorno. Para T=10 el error

cometido es el orden del 2%, en tanto para que T=100 alcanza apenas el

0,1%.

Por ultimo las ecuaciones p=P ( x ≥ X )= 1T

y y=ln 1

lnTT−1

permiten

completar la siguiente tabla que relaciona probabilidades, periodos de

retorno y valores de la variable reducida:

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Función de Gumbel

Probabilidad (p) Periodo de Retorno

(T)

Variable Reducida (y)

0,500 2 0,367

0,200 5 1,500

0,100 10 2,250

0,050 20 2,970

0,020 50 3,902

0,010 100 4,600

0,005 200 5,296

0,002 500 6,214

0,001 100 6,907

Bibliografía

Monografias. (s.f.). Monografias. Recuperado el Viernes de Junio de 2011, de www.monografias.com

Schaum. (s.f.). Estadistica de Schaum. En M. R. Spiegel.

Wikipedia. (s.f.). Wikipedia. Recuperado el Viernes de Junio de 2011, de www.wikipedia.org

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