`tesis_PID.pdf

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Electrónica

TESIS DOCTORAL

Análisis, Síntesis y Construcción de un Controlador Adaptable Genérico con Supervisión Inteligente

presentada por

Marco Antonio Paz Ramos M. en C. en Ingeniería Electrónica por el cenidet

como requisito para la obtención del grado de: Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez

Cuernavaca, Morelos, México. 29 de Septiembre del 2006

Indice general

Indi ce de figu ras v

Simb ologıa utilizada en el documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Equivalencia simbolica p or fuentes bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Siglas utilizadas en el documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

1. Introduccion 1

1.1. El control PID en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Control avanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Sistemas autosintonizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Supervision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. El trabajo de tesis desarrollado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.3. La estructura de la propuesta de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.4. Organizacion del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Control Adaptable 11

2.1. Modelo del proceso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Modelo del proceso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. El regulador autosintonizable (STR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1. Mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2. Mınimos cuadrados recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.3. Parametros con variacion en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.4. Identificabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.5. Excitacion persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.6. Convergencia de la estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.7. La deriva parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. La asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Diseno de la asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Controlador autosintonizable por asignacion de polos (Wellstead) . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. El control de varianza mınima generalizado (Clarke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9. Acerca del controlador predictivo generalizado (Clarke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos 37

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. El controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos . . . . . 39

i

3.3. Estabilidad del controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica depolos (GMVDPAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Analisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . 44

3.5. Estabilidad del GMVDPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1. Asignacion dinamica de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4. Sistema de soporte al controlador 55

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2. Inicializacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Seleccion del orden del modelo de estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2. Inicializacion de parametros iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.3. Asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.4. Seleccion del periodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.5. Factor de olvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.6. Matriz de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.7. Deteccion del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.8. Excitacion de procesos inestables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3. Control de respaldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1. Criterio de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.2. Comportamiento del proceso evolutivo ante diferentes niveles de mutacion . . . . . 72

4.4. Supervision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.1. Estabilidad en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.2. Identificabilidad del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.3. Error de seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4.4. Respuesta de sistema ante cambios de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4.5. Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Resultados y Aplicaciones 81

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Implementacion y evaluacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.1. Implementacion del GMVDPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3. Manejo del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4. Ejemplo numerico de implementacion del GMVDPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5. Evaluacion general del desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5.1. El lote de plantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5.2. Criterios de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5.3. Evaluacion del desempeno por proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5.4. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.6. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.7. Control de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.8. Control de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.9. Plataforma de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.10. Interfaz de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.11. Pruebas con el sistema integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Conclusiones 121

6.1. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

ii

I ANEXO A 127

Referencias Bibliograficas 145

iii

Indice de figuras

1-1. Estructura jerarquica del sistema desarrollado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2-1. Diagrama a bloques de un regulador autosintonizable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2-2. Diagrama a bloques de un controladore por ubicacion de polos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2-3. Respuesta al escalon del sistema en lazo abierto y del sistema en lazo cerrado deseado . . . . . . 22

2-4. Sistema Controlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2-5. Respuestas en lazo cerrado del sistema controlado, para diferentes constantes de tiempo deseadas. 25

2-6. Diferentes senales de control u para diferentes constantes de tiempo deseadas. . . . . . . . . . . . 25

2-7. a) Maxima senal de control contra constante de tiempo deseada, b) Esfuerzo de control contraconstante de tiempo deseada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2-8. Control por asignacion de polos para 2.59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2-9. Esquema adaptable para el STPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2-10. Diagrama de realimentacion conceptual del GMVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2-11. Diagrama a bloques del GMVC implementado como una estructura adaptable. . . . . . . . . . . 34

2-12. Control GMVC para el proceso 2.98. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3-1. GMVPAC modificado para enfrentar incertidumbres parametricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3-2. Control GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3-3. Sıntesis del GMVDPAC a partir del STPAC y GMVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3-4. Comparacion del sistema en lazo abierto y la respuesta deseada demarcada por la ecuacion 3.6. . . 42

3-5. a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con un GMVDPAC, b) Senal decontrol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-6. a) Evolucion de los parametros de estimacion en funcion del tiempo, b) Desempeno de la traza dela matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3-7. Diagrama a bloques conceptual del GMVPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3-8. Zona de estabilidad definida en funcion del polinomio costo P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3-9. Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3-10. Zona de estabilidad para el ejemplo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3-11. a) Seguimiento a la referencia b) Senal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3-12. GMVPAC ante el cambio de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3-13. Estabilidad del GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3-14. Control GMVDPAC ante el cambio de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3-15. Control GMVPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3-16. Control GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4-1. Bosquejo del algoritmo de inicializacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4-2. Sistema excitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4-3. a) Comportamiento de la estimacion primer orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Deter-minante de la inversa de la matriz de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

v

4-4. Figura 4.4: LGR del modelo estimado de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4-5. a) Comportamiento de la estimacion segundo orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Deter-minante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4-6. LGR del modelo estimado de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4-7. a) Comportamiento de la estimacion tercer orden b) Traza de la matriz de covarianza c)

Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4-8. LGR del modelo estimado de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4-9. LGR del modelo de estimacion de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4-10. Multiplo valor porcentual en el actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-11. Senal de control saturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-12. Obtencion del retardo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4-13. Representacion genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4-14. Estructura del PID Genetico Directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4-15. Lımites de saturacion del actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4-16. a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con el PID genetico directo b)

Funcion de aptitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4-17. Relacion tiempo de ejecucion del algoritmo versus numero de generaciones. . . . . . . . . . . . . 71

4-18. Relacion IAE promedio obtenida versus numero de generaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4-19. Comportamiento del IAE promedio (10 muestras), para diferentes porcentajes de mutacion. . . . 73

4-20. a) Comportamiento de los polos en lazo cerrado con respecto al tiempo, la direccion de las flechasmuestran la direccion de la migracion de los polos en funcion del tiempo, b) proyeccion ε., Las Xrepresentan la ubicacion de polos definida por T, c) Asignacion de los polos con respecto al tiempo,

los trapezoides representan la proyeccion ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4-21. Comportamiento del sistema cuando los parametros iniciales del control adaptable son propor-cionados por el procedimiento de inicializacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4-22. Comportamiento de los polos en lazo cerrado cuando los parametros iniciales del control adaptableson proporcionados por el procedimiento de inicializacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4-23. Arranque del sistema bajo el control de respaldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4-24. Falla provocada al definir los polos de T fuera del cırculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4-25. Falla Comportamiento del control adaptable en el tiempo cuando los polos de T se trasladan fuera

del cırculo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4-26. Conmutacion al modo respaldo por la falla provocada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5-1. Diagrama esquematico del sistema intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5-2. Diagrama a bloques del control para el intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5-3. Perturbacion en la transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5-4. Control PID del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia y=T0 en grados centigrados,b) Senal de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5-5. Control GMVDPAC del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control 91

5-6. Estimacion del proceso de intercambio de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5-7. Comportamiento del IAE promedio en funcion de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5-8. Comportamiento del IAC promedio en funcion de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5-9. Comportamiento del ITAE promedio en funcion de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5-10. Grafica de pastel que representa el porcentaje en que cada controlador obtuvo el mejor resultadoa lo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) . . . . . . . . . . . . 98

5-11. Grafica de pastel que representa el porcentaje total de ocaciones en que un controlador dado realizael menor esfuerzo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5-12. Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado alo largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

vi

5-13. Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado alo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) cuando la varianza de

la perturbacion fue la maxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005-14. Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo

largo de las pruebas de esfuerzo de control (medido con IAC) cuando la varianza de la perturbacion

fue la maxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005-15. Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo

largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) cuando la varianza de la perturbacion

fue la maxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015-16. Puntaje acumulado para seguimiento a la referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035-17. Puntaje acumulado para el esfuerzo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035-18. Puntaje acumulado para el cambio de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045-19. Control de velocidad usando el GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055-20. Comportamiento de la estimacion, a) Parametros de la estimacion, b) Funcion de salida generalizada.1055-21. Motor de CD Buehler con reduccion de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065-22. Control de posicion de una banda transportadora usando GMVDPAC (seguimiento). . . . . . . . 1065-23. Control de posicion de una banda transportadora usando GMVDPAC (regulacion). . . . . . . . . 1075-24. Comportamiento de la estimacion, a) Parametros de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza.1075-25. Controlador de temperatura Honeywell DC1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085-26. Figura 5.26. Proceso de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085-27. Control del DC1020 a) Regulacion, b) Senal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095-28. Control GMVDPAC, (a) Regulacion, (b) Senal de Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105-29. Figura 5.29. Plataforma de aplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105-30. Interfaz grafica del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115-31. Excitacion del sistema durante la inicializacion, a) Respuesta del proceso, b) Senal de excitacion. . 1125-32. Estimacion recursiva para el modelo interno de primer orden, a) Comportamiento de los parametros

de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz

de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135-33. Estimacion recursiva para el modelo interno de segundo orden, a) Comportamiento de los paramet-

ros de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz

de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145-34. Estimacion recursiva para el modelo interno de tercer orden, a) Comportamiento de los parametros

de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz

de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155-35. Comportamiento del controlador GMVDPAC, a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control. 1175-36. Estimacion recursiva durante el control adaptable, a) Parametros de estimacion, b) Traza de la

matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175-37. Control GMVDPAC aplicando al control de posicion de una banda transportadora prototipo du-

rante cambios de carga, a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control. . . . . . . . . . . . . 1185-38. Estimacion recursiva durante el control adaptable cuando existen cambios de carga, a) Parametros

de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185-39. Simulacion del controlador PID para el individuo mas apto, a) Seguimiento a la referencia, b)Proceso

evolutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195-40. Control PID genetico directo aplicado al control de posicion de una banda transportadora prototipo,

a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205-41. Conmutacion entre controladores GMVDPAC y PID genetico directo en el segundo 100,

Seguimiento a la referencia, b) Senal de Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

vii

Simb ologıa u tilizada en el do c umento

y Salida del proceso

u Entrada del proceso

r Referencia del sistema

e Perturbacion del sistema

A Polinomio denominador de la funcion de transferencia del proceso

B Polinomio numerador de la funcion de transferencia del polinomio

n Orden del polinomio A

m Orden del polinomio B

α Polinomio de ubicacion de polos asociado al polinomio A

β Polinomio de ubicacion de polos asociado al polinomio B

G(s) Funcion de transferencia del proceso en s

G(z) Funcion de transferencia del proceso en z

θ Parametros del modelo del proceso

ϕ Vector de regresion

Φ Matriz de regresores

E r Vector residuo

ε Residuo de la estimacion

Px Matriz de covarianza

K Ganancia del estimador

λ Factor de olvido exponencial

E Matriz de Sylvester

D Vector de asignacion de polos

M Vector solucion de la asignacion de polos

K 0 Ganancia de seguimiento para asignacion de polos

M p Sobreimpulso maximo

ts Tiempo de establecimiento

ξ Coeficiente de amortiguamiento

ωn Frecuencia natural no amortiguada

h Periodo de muestreo

viii

τ Constante de tiempo

τd Constante de tiempo deseada en lazo cerrado

KD Ganancia para constante de tiempo deseada

Ef Esfuerzo de control

ξd Coeficiente de amortiguamiento deseado en lazo cerrado

ωnd Frecuencia natural no amortiguada deseada en lazo cerrado

M pd Sobreimpulso deseado en lazo cerrado

tsd Tiempo de establecimiento deseado en lazo cerrado

K 1 Ganancia para el sobreimpulso deseado en lazo cerrado

K 2 Ganancia para el tiempo de establecimiento deseado en lazo cerrado

H Polinomio de control asociado a u

E Polinomio de control asociado a r

G Polinomio de control asociado a y

C Polinomio de la perturbacion

k Retardo en instantes de tiempo

T Polinomio de asignacion de polos

X Polinomio conocido con inversa estable

φ Funcion de salida generalizada o pseudo salida

P Polinomio costo asociado a la salida del sistema

Q Polinomio costo asociado a la entrada del sistema

R Polinomio costo asociado a la referencia del sistema

Ex Esperanza matematica

J Funcion costo asociada a φ

∂ Frontera de estabilidad

K x Ganancia de lazo abierto del proceso

∆RLS Diferencia entre la posicion de polo y cero redundante durante la estimacion RLS

εac Sumatoria del residuo absoluto

K cov Ganancia inicial para inicializar Px

w Ventana de parametros de estimacion

W n Variacion de la salida del proceso con entrada cero

ix

Kp Ganancia proporcional del PID ISA

T i Tiempo integral del PID ISA

T d Tiempo derivativo del PID ISA

f.a. Funcion de aptitud

x

Equivalencia simbolica p or fuent es bibliograficas

Variables utilizadas Allidina [1] Clarke [19] Wellstead [82] Astrom [4] Tesis

Polinomio de orden n asociado a la

salida del sistema; a0 = 1A A A A A

Polinomio de orden m asociado a la

entrada del sistema

B B B B B

Polinomio de orden n asociado a una

secuencia aleatoria no correlaciona-

da; c0 = 1

C C C C C

Entrada al sistema u u u u u

Salida del sistema y y y y y

Referencia del sistema w w r r

Funcion de salida generalizada φ φ φ yf φ

Polinomio costo para la salida del

sistema

P P P P∗ P

Polinomio costo para la entrada del

sistema

Q Q Q Q∗ Q

Polinomio costo para la referencia

del sistema

R R R R

Polinomio general para la salida del

sistema

G G G S∗ G

Polinomio general para la entrada

del sistema

H H F R∗ H

Polinomio general para la referencia

del sistema

E E H E

Polinomio general de la secuencia

aleatoria

F F E R∗1 F

Polinomio general de la ubicacion de

polos

T T Ac T

Secuencia aleatoria no correlaciona-

da de media cero

ξ ξ e e e

Astrom presenta en [4] el control de varianza mınima generalizado como una variante del control autosin-tonizable generalizado directo. En esta fuente no se presenta simbologıa asociada a la referencia, por quesolo se analiza el caso de minimizacion de varianza en la salida.

xi

Siglas u tilizadas en el do c umento

PID Proporcional + Integral +Derivativo (control)

PAC Controlador de automatizacion programable1

SCADA Control supervisorio con adquisicion de datos1

HMI Interfaz hombre maquina1

STR Regulador autosintonizable1

STPAC Controlador autosintonizable por asignacion de polos1

GMVC Controlador de varianza mınima generalizado1

GMVPAC Controlador de varianza mınima generalizado con asignacion de polos1

GMVDPAC Controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos1

LTI Lineal e invariante en el tiempo1

SISO Una entrada una salida1(proceso)

ZOH Retenedor de orden cero1

RLS Mınimos cuadrados recursivos1

PE Excitado persistentemente1

MVC Controlador de varianza mınima1

LGR Lugar geometrico de las raıces

IAE Integral del error absoluto1

ITAE Integral del error absoluto por el tiempo1

IAC Integral del error absoluto de la senal de control

1por sus siglas en ingles

xii

Capıtulo 1

Introduccion

El vınculo entre el control de procesos y el desarrollo de la tecnologıa ha sido tan estrecho, que hatrascendido incluso el papel de mera herramienta tecnologica [14]. Algunos ejemplos del profundo impactodel control de procesos en la historia reciente, pueden encontrarse en el transcurrir de la Segunda GuerraMundial: en 1940 las refinerıas en Estados Unidos producıan tan solo 30 000 barriles diarios, mientras queal finalizar la guerra, la produccion habıa aumentado hasta alcanzar los 580 000 barriles [83]; la demandade combustible para los aviones militares forzo a la industria de la refinacion a incorporar avances delcontrol de procesos, como es el costo de los primeros controladores PID neumaticos [11], que en esemomento historico no gozaban de una buena aceptacion en la industria [12]. Por su parte, la sıntesisdel uranio 235 en el proyecto Manhattan hubiera sido imposible sin el control de flujo desarrollado porTaylor, para el altamente explosivo hexafluorido de uranio [83]; incluso el desarrollo del radar, consideradocomo pieza clave en la victoria de los aliados, recibio un gran impulso de los estudios precursores sobreel control en tiempo discreto [40].

En la actualidad el control de procesos representa una industria multimillonaria, tan solo en el 2003 sevendieron 9200 mdd en sistemas de control distribuido alrededor del mundo, y se estima que esta cifraascienda a los 10 300 mdd para el 2007 [70]. Hoy en dıa existen factores comunes que determinan laadopcion por parte de la industria de nuevas tecnologıas de control, entre las que pueden enumerarse:

La reduccion de costos,

La busqueda de la eficiencia en la produccion,

La mejora permanente en la calidad del producto.

La calidad del producto guarda una estrecha relacion con el control de procesos, por lo que mejorar eldesempeno de este ultimo, debe ser una tarea prioritaria. La mejora del desempeno del control puedelograrse a traves de una cuidadosa inversion en infraestructura [25], lo cual es poco viable en muchoscasos [48]; alternativamente la incorporacion de estrategias de control que se adapten adecuadamente alproceso puede significar una mejora a las condiciones de operacion vigentes; por ejemplo, la apreciacionde la divisa japonesa ante el dolar en la decada de 1990, obligo a la industria japonesa a una reducciondrastica de costos, para mantener ası su competitividad. Entre las estrategias implantadas exitosamentepara hacer frente a esta problematica, estuvieron la evaluacion y la adopcion de tecnologıas innovadorasen el control de procesos, en sustitucion del control convencional instalado. Consecuentemente, hoy endıa la industria japonesa cuenta con la mayor relacion de control no convencional instalado en el mundo[77].

1

1. Introduccion

1.1. El control PID en la industria

Segun una encuesta de opinion realizada entre academicos e industriales [71], el controlador PID es lasegunda tecnologıa de mayor influencia en el control de procesos durante el siglo XX. Algunos aspectosque mantienen al control PID como lıder en aplicaciones en la industria son:

Economıa. Actualmente se puede conseguir un controlador PID digital de campo con autosintonizacionpor menos de 100 dolares,

Confiabilidad. El desempeno del control PID ha estado a prueba por decadas, con resultados favorablesen un amplio espectro de aplicaciones,

Simplicidad. A pesar de que la sintonizacion del control PID puede ser llevada a cabo analıticamente,es su caracter intuitivo [90] el que le ha ganado la mayor parte de sus adeptos en la industria; solola logica difusa en tiempos recientes [18] ha logrado competir con el control PID en este rubro.

Se estima que aproximadamente el 95% de los lazos de control en el mundo usan controladores PID [4];aunque, tambien se estima que mas del 30% de dichos lazos opera en modo manual, mientras que otroporcentaje similar opera con las ganancias por defecto configura el fabricante del controlador [24]. Lasprincipales causas de dicha situacion se enumeran a continuacion:

Mala sintonizacion del controlador,

Capacitacion inadecuada o deficiente del operario,

Seleccion incorrecta de componentes,

Envejecimiento del proceso,

Cambios ambientales drasticos,

Desempeno poco satisfactorio de los actuadores,

Transmisores mal calibrados,

Diseno deficiente del lazo de control,

Anexion de infraestructura no contemplada en el diseno original,

No linealidades del proceso,

Cambios en las estrategias de produccion,

Modificaciones de las propiedades de la materia prima,

Cambios en los ciclos de mantenimiento.

1.2. Control avanzado

Ante condiciones demandantes como las antes descritas, el control PID puede tener un desempeno in-satisfactorio. En muchos casos, una acertada sintonizacion puede eliminar parte de los problemas; sinembargo en algunas ocasiones, para lograr la sintonizacion se requiere un conocimiento profundo delproceso, por lo que la sintonizacion heurıstica deja de ser una ventaja.Algunas estrategias de control avanzado han hallado un nicho precisamente donde el desempeno escrıtico y los costos de la infraestructura de control pueden amortizarse con las mejoras en la produccion

2

1.3 Sistemas autosintonizables

consecuentes. El nivel de adopcion del control avanzado ha dependido del tipo de industria y del lugardonde esta se encuentre. En Japon por ejemplo, el control inteligente ha ganado un espacio importante[77], mientras que en Estados Unidos la adopcion de estas mismas tecnologıas ha sido moderada [18],[10]. En Japon, tecnicas como el control LQG, filtros de Kalman, H infinito y primordialmente el controlinteligente representan cerca del 10% del control en la industria, lo cual significa un maximo historico;ya que, a principios de la decada de los noventa, la participacion de estas estrategias en Japon erapracticamente nula.

Por su parte en Europa, particularmente en Gran Bretana y Suecia, el control adaptable ha tenidouna participacion discreta en el mercado, pero constante por mas de dos decadas [69]. Los niveles dedesempeno de estos controladores han ganado espacios donde los estandares de produccion son muyaltos; espacios que se han ido ampliando debido a la naturaleza cada vez mas competitiva del mercadoeuropeo.

1.3. Sistemas autosintonizables

El control adaptable es particularmente util, cuando por diversas causas el proceso esta sujeto a cambiosen las condiciones de operacion y se requiere mantener una homogeneidad en el desempeno del lazo.En particular, el control autosintonizable, es la estrategia de control adaptable que mayor penetracionha tenido en el control de procesos industriales. Los sistemas autosintonizables hallaron inspiracion enlos desarrollos que Kalman realizo para el control computarizado de procesos, mientras trabajaba paraDuPont [3].

Narendra en [54] define control autosintonizable como: “Dada una planta que es conocida imprecisamente,el problema del control adaptable puede ser definido cualitativamente como el de disenar un controlador,el cual, resulte en un desempeno satisfactorio. Si la planta es invariante en el tiempo, nosotros podemoshablar acerca del problema de autosintonizacion, cuando el problema es uno de regulacion o seguimiento.Estrictamente hablando, nosotros podemos llamar al problema en el cual las caracterısticas de la plantavarıan lentamente con el tiempo y el controlador trata de alcanzar un desempeno satisfactorio, comoel problema de adaptacion. En la mayorıa de la literatura publicada, es el problema de sintonizacionel que se discute, y el problema de adaptacion es tratado como uno de control robusto en presencia deperturbaciones parametricas”. Wellstead por su parte menciona en [82]: “...Especıficamente la idea de unajuste autosintonizable fue concebida originalmente, como un medio de manejar la sintonizacion inicialde un controlador o filtro para sistemas y fuentes de senal, los cuales son invariantes en el tiempo perodesconocidos”. El primer sistema de control autosintonizable que vio la luz en 1973, fue propuesto porK. J. Astrom y B. Wittenmark [6], pero no fue sino hasta la decada de 1980, cuando varios controladoresautosintonizables salieron al mercado, aunque debido a la capacidad de computo disponible en aquelmomento, la adaptacion no podıa ser una tarea permanente del controlador.

Durante los ultimos 20 anos, la capacidad de computo ha mejorado en proporciones geometricas, lo cualha permitido una significativa reduccion de costos. Hoy en dıa, existen plataformas tecnologicas sobre lascuales puede implementarse casi cualquier estrategia de control con relativa flexibilidad y economıa, comoes el caso de los sistemas embebidos de proposito general, con plataformas de programacion flexibles obien de los controladores de automatizacion programables (PAC) [79]. Ya que en la actualidad se puedepasar por alto la limitacion computacional, la disyuntiva de realizar la optimizacion de parametros enun sistema autosintonizable de forma permanente o no, practicamente ha desaparecido.

Una forma ilustrativa de reconocer el estado de la practica del control autosintonizable, es mediantela revision de las patentes relacionadas (U.S. patents). En la Tabla 1.1 se presentan algunas patentesde controladores autosintonizables presentadas expresamente por fabricantes de controladores [87], esimportante mencionar que varias de estas propuestas utilizan como estructura de control central un PID.

3

1. Introduccion

Tabla 1.1. Algunas patentes de controladores autosintonizablespropuestas por fabricantes de controladores

Ano Patente No. Asignacion Tıtulo

1983 4,368,510 Leeds & Northrup Company Automatic identification system for

self tuning process controller

1986 4,602,326 The Foxboro Company Pattern-recognizing self-tuning con-

troller

1987 4,669,040 Eurotherm Corporation Self-tuning controller

1988 4,758,943 Hightech Network AB Method and an apparatus for auto-

matically tuning a process regulator

1989 4,814,968 Fischer & Porter Company Self-tuning process controller

1989 4,881,160 Yokogawa Electric Corporation Self-tuning controller

1989 4,882,526 Kabushiki Kaisha Toshiba Adaptive process control system

1990 RE33267 The Foxboro Company Pattern-recognizing self-tuning con-

troller

1992 5,153,807 Hitachi Ltd. Self-tuning controller apparatus and

process control system

1992 5,170,341 Honeywell Inc, Adaptive controller in a process con-

trol system and a method therefor

1994 5,335,164 Universal Dynamics Limited Method and apparatus for adaptive

control

1994 5,355,305 Johnson Service Company Pattern recognition adaptive con-

troller

1995 5,394,322 The Foxboro Company Self-tuning controller that extracts

process

1995 5406474 The Foxboro Company Self-tuning controller

1996 5587896 The Foxboro Company Self-tuning controller

1997 5,687,077 Universal Dynamics Limited Method and apparatus for adaptive

control

2004 6,760,716 Fisher-Rosemount Systems, Inc. Adaptive predictive model in a pro-

cess control system

2006 7,024,253 Honeywell Inc. Auto-tuning controller using loop-

shaping

Las patentes presentadas en la Tabla 1.1, estan relacionadas con productos de control destinados al“proposito general”, ya sea como controladores de campo o software asociado. Es importante mencionarque el hecho de que las patentes se concedieran, no implica necesariamente que la companıa involucradalas explote comercialmente. En la Tabla 1.2 se presentan diferentes aplicaciones particulares del controlautosintonizable, y como puede apreciarse, sobresale el uso de este tipo de controladores en la industriaautomotriz.En relacion a la estructura de control abordada en la tesis (y sobre la cual se propone una modificacion),se enumeran patentes vinculadas al control de varianza mınima generalizado (GMVC) en la Tabla 1.3.

4

1.3 Sistemas autosintonizables

Tabla 1.2. Algunas patentes relacionadas con el usode controladores autosintonizables para uso en aplicaciones particulares

Ano Patente No Asignacion Tıtulo

1986 4,585,985 General Electric Company Method of real time operating point

identification and pole adjustment for

an induction motor drive system

1987 4,677,542 Deere & Company Self-tuning regulator implement con-

trol

1987 4,698,745 Kabushiki Kaisha Toshiba Process control apparatus for optimal

adaptation to a disturbance

1990 4,930,517 Massachusetts Institute of Technology Method and apparatus for physiologic

system identification

1992 5,135,186 Teijin Seiki Co., Ltd. Flutter control system for aircraft

wings

1994 5,347,446 Kabushiki Kaisha Toshiba Model predictive control apparatus

1997 5,692,485 Honda Motor Co. Feedback control system using adap-

tive control

2000 6,076,951 National University of Singapore Frequency-domain adaptive con-

troller

2000 6,125,831 Honda Motor Co. Control system for plants

2001 6,229,898 Sikorsky Aircraft Corporation Active vibration control system using

on-line system identification with en-

hanced noise reduction

2003 6,564,110 Sumitomo Heavy Industries, Ltd. Position controlling apparatus capa-

ble of reducing the effect of distur-

bance

2002 6,404,581 Voyan Technology Adaptation to unmeasured variables

2004 6,745,087 Tokyo Electron Limited Method for control of a plant

2004 6,773,374 Honda Motor Co. Brake negative pressure control appa-

ratus and method, and engine control

unit for internal combustion engine

2004 6,784,632 Kabushiki Kaisha Yaskawa Denki Positioning servo controller

2006 7,024,302 Honda Motor Co. Air-fuel ratio control system and

method for an internal combustion

engine, and engine control unit

2006 7,050,864 Honda Motor Co. Control system for a plant using iden-

tified model parameters

En el presente trabajo se aborda tambien la sintonizacion de controladores PID mediante la aplicacion dealgoritmos geneticos; una patente relacionada al tema es la numero 5,971,579 presentada por SamsungElectronics Co. como “Unit and method for determining gains of a PID controller using genetic algorithm”[87].

5

1. Introduccion

Tabla 1.3. Patentes relacionadas con el GMVC

Ano Patente No Asignacion Tıtulo

1995 5,418,858 Cooper Tire & Rubber Company Method and apparatus for intelligent

active and semi-active vibration control

1997 5,629,986 Cooper Tire & Rubber Company Method and apparatus for intelligent

active and semi-active vibration control

2000 6,122,557 Montell North America Inc. Non-linear model predictive control

method for controlling a gas-phase re-

actor including a rapid noise filter and

method therefor

2001 6,263,355 Montell North America Inc Non-linear model predictive control

method for controlling a gas-phase re-

actor including a rapid noise filter and

method therefor

1.4. Supervision

Los primeros sistemas SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition) que incorporaron HMI (Hu-man Machine Interface) salieron al mercado a finales de la decada de 1970 como una respuesta a lademanda de supervision en los procesos [76]. Con el avance tecnologico, los procesos fueron incremen-tando tambien su nivel de complejidad y se hizo necesario el desarrollo de sistemas de vigilancia demenor tamano y con mayor eficiencia que los existentes. Los sistemas SCADA actuales, posibilitan aloperario acceder a las variables del proceso casi instantaneamente; sin importar, la distancia a la quese encuentren. Un SCADA es una herramienta muy valiosa en el control de procesos, pues permite unapanoramica general del proceso, facilitando ası, la toma de decisiones.

La supervision es una tarea fundamental para darle certidumbre a la operacion del proceso. La supervisionpuede ser activa; es decir, que puede llevarse a cabo de forma autonoma al operario; o pasiva, cuando elsistema provee al operario con elementos de juicio para que este ultimo tome las decisiones [53].

Si lo que se desea es alcanzar ciertos niveles de autonomıa en el control de procesos, es fundamentalque los lazos de control sean confiables y la supervision de estos lazos en diversos niveles, puede ser unasolucion efectiva.

En particular, los controladores autosintonizables empleados en la industria han incorporado como ele-mento necesario un lazo de supervision en la operacion del sistema. A principios de la decada de 1980,se desperto un gran interes en la aplicacion industrial de diversas tecnicas de control autosintonizables;sin embargo, surgieron dificultades puesto que a los ojos de personal no especializado en el tema, elcomportamiento dinamico de un controlador autosintonizable se apreciaba extrano y en consecuenciapodıa considerarse poco digno de confianza. En este clima de incertidumbre inicial algunos trabajos emi-tieron recomendaciones sobre la implementacion de controladores autosintonizables en la practica [84].Una solucion propuesta por Isermann para proveer de confiabilidad a un control autosintonizable, fuela anexion de un lazo de supervision activo al control [39]. Dicha propuesta basaba su funcionamientoen la deteccion de la violacion de precondiciones, las cuales son aquellos requerimientos necesarios parael adecuado funcionamiento del sistema. En [39], la supervision se realiza en los tres puntos que segunel autor son los mas sensibles de un control autosintonizable: desempeno del controlador, calidad de laestimacion y estabilidad del lazo cerrado. Isermann incluyo un modulo de arranque para el controladoral cual denomino inicializador. La importancia del inicializador para controladores autosintonizables, seve remarcada en los trabajos de Lundh-Astrom [46], y Hagglund-Astrom [31], donde el inicializador esconsiderado un subsistema del supervisor. En [31] y [46] se hace mencion del modulo de supervision que

6

1.5 El trabajo de tesis desarrollado

utiliza la serie ECA de controladores adaptables de campo, los cuales son fabricados por ABB. El super-visor utilizado por la serie ECA, basa su funcionamiento en diversos desarrollos heurısticos asociados alanalisis de la respuesta a la frecuencia [30]. La senal de la que se obtiene la informacion en la serie ECA,es la respuesta del proceso cuando se cierra el lazo con un relevador realimentado [32]. La inicializacionbasada en el uso del relevador realimentado, encuentra su principal limitacion en procesos donde algunoso todos los polos del sistema se encuentran en el eje imaginario y/o en el semiplano derecho del lugargeometrico de las raıces (LGR), pues en estas circunstancias no es posible garantizar la existencia de unciclo lımite [2], [34].

1.5. El trabajo de tesis desarrollado

Hallar la solucion de algunas de las dificultades enumeradas en la seccion 1.1, en particular aquellas quepueden llegar a ser interpretadas desde la perspectiva del diseno del controlador, como perturbacionesen los parametros del modelo (envejecimiento del proceso, cambios ambientales drasticos o alteracion enlas propiedades de la materia prima por ejemplo), motivo el trabajo de investigacion reportado en estedocumento.Ademas, tomando en cuenta dos de las demandas mas significativas que hace la industria al controladaptable: mayor confiabilidad y menor dependencia del disenador, en el trabajo se incorporan propuestasque dan peso a estas directivas.A continuacion se enumeran los objetivos y justificacion del trabajo desarrollado.

1.5.1. Objetivos

Disenar y construir un controlador autosintonizable, capaz de superar satisfactoriamente durantesu operacion, perturbaciones en los parametros de la planta.

Disenar y construir un sistema de soporte al controlador autosintonizable, para expandir sus rangosde confiabilidad y autonomıa

1.5.2. Justificacion

Actualmente hay poco control adaptable instalado en la industria, debido principalmente a su complejidadimplıcita. El trabajo de tesis presentado, se justifica debido a que es una propuesta para simplificar laoperacion y facilitar la implementacion practica de un controlador adaptable suboptimo.

1.5.3. La estructura de la propuesta de solucion

El control autosintonizable utilizado, es una contribucion del trabajo de tesis, resultado de una reestruc-turacion al algoritmo de control de varianza mınima generalizado (GMVC) propuesto por Clarke en[19]. En esta tesis se presentan ambas estructuras con la finalidad de establecer las diferencias y resaltarlas cualidades del controlador propuesto, denominado controlador de varianza mınima generalizado conasignacion dinamica de polos (GMVDPAC).El sistema de soporte, consiste de un procedimiento de inicializacion que permite el arranque autonomodel sistema y de un procedimiento de supervision que monitorea el estado de las variables del procesocuando se realiza el control, reconfigurando el control adaptable cuando las condiciones son adecuadaspara corregir un funcionamiento insatisfactorio o sustituyendolo por un controlador de respaldo si elcontrol adaptable no pudiera garantizar las condiciones mınimas de operacion.Los supervisores de controladores autosintonizables son un tema escaso en la literatura, debido a queestos, estan vinculados en su mayor parte a aplicaciones comerciales; al respecto en [30] se comenta:“Losdetalles de las condiciones para adaptacion usadas en los controladores adaptables normalmente no son

7

1. Introduccion

publicadas, solo los principios generales se dan en publicaciones abiertas”, mientras que en [5] donde sediscute el futuro del control PID se menciona: “La mayorıa del conocimiento acerca del control PID haestado disponible por largo tiempo. Desafortunadamente este esta siendo enterrado en la informacionpropietaria de los proveedores”. Esta situacion represento una motivacion extra para el desarrollo de unametodologıa abierta para la construccion de controladores autosintonizables supervisados.El desarrollo en general de la tesis puede dividirse en dos partes fundamentales: desarrollo del controlautosintonizable y construccion del sistema de soporte para el controlador. En el diagrama a bloques dela Figura 1-1 se ilustra la estructura jerarquica del sistema desarrollado.

Figura 1-1: Estructura jerarquica del sistema desarrollado.

La etapa de control, a su vez consta de dos partes:

El control adaptable: Es el control principal del sistema y esta constituido por un GMVDPAC [59],

El control de respaldo: El papel de este controlador es suplir al control adaptable en caso deque este presente un desempeno poco satisfactorio. Para cumplir con estas funciones de diseno seconstruyo un PID genetico directo [62], [63].

La etapa de inicializacion es esencial para el funcionamiento autonomo del sistema, en el trabajo de tesisse desarrollo un procedimiento de inicializacion [64], que mediante la interpretacion y manipulacion deciertas variables medidas ajusta las siguientes condiciones de operacion del sistema:

1. Estructura del modelo de estimacion,

2. Parametros de identificacion iniciales,

3. Matriz de covarianza inicial,

4. Factor de olvido,

5. Deteccion y caracterizacion del retardo del sistema,

6. Diseno de asignacion de polos,

7. Seleccion del periodo de muestreo,

8. Sintonizacion del control de respaldo.

8

1.5 El trabajo de tesis desarrollado

Por otro lado, con el modulo de supervision se incrementa el nivel de confianza en la operacion delsistema, a traves de la evaluacion del desempeno del proceso y la toma de decisiones.Las variables de supervision contempladas por el sistema desarrollado son:

Estabilidad del lazo realimentado,

Identificabilidad del lazo retroalimentado,

Error de seguimiento a la referencia,

Respuesta del sistema ante cambios de carga.

1.5.4. Organizacion del documento

El presente documento se ha dividido en los siguientes capıtulos:Capıtulo 2: Control Adaptable. En este capıtulo, se revisan los fundamentos de las estructuras de controlautosintonizable en las que se basa el algoritmo desarrollado en la tesis, ası como la metodologıa deestimacion utilizada. Se establecen tambien en este capıtulo las bases del diseno por asignacion de polosusando el enfoque polinomial.Capıtulo 3: Control de Varianza Mınima Generalizado con Asignacion Dinamica de Polos. En este capıtulose presenta el algoritmo de control desarrollado en la tesis. Se presentan las principales diferencias conrespecto al algoritmo original y se analizan las mejoras ofrecidas por el GMVDPAC en cuanto a laestabilidad y desempeno del sistema en lazo cerrado.Capıtulo 4: Sistema de soporte al controlador. En este capıtulo, se presentan las estrategias desarrolladaspara dar soporte al controlador adaptable: procedimiento de inicializacion, procedimiento de supervisiony configuracion del control de respaldo.Capıtulo 5: Resultados y Aplicaciones. En este capıtulo, se reunen pruebas realizadas tanto en simu-lacion como en aplicaciones practicas del sistema desarrollado. Los resultados se presentan y se analizandetalladamente en esta seccion.Capıtulo 6: Conclusiones. En este capıtulo, se exponen y analizan las contribuciones del trabajo de tesis.

9

1. Introduccion

10

Capıtulo 2

Control Adaptable

La idea central del control adaptable es modificar la ley de control, en funcion de posibles cambiosasociados al proceso, con el fin de obtener un desempeno homogeneo en presencia de dichos cambios.Las estructuras de control adaptable son diversas [8]. En el presente capıtulo se estudian algunos regu-ladores autosintonizables (grupo al cual pertenece el controlador propuesto en esta tesis), a traves de larevision de sus etapas esenciales: estimacion, diseno del controlador y control.

2.1. Modelo del proceso continuo

El enfoque de los procesos que se consideran a lo largo del trabajo es lineal, especıficamente se usanlos modelos matematicos de una entrada, una salida (SISO, por sus siglas en ingles), del tipo lineal einvariante en el tiempo (LTI, por sus siglas en ingles) de tal forma se describe la ecuacion diferencial deorden n

y(n) (t) + a1yn−1 (t) + ...+ any (t) = b0u

(m) + b1u(m−1) (t) + bmu (t) (2.1)

donde y(i) (t)∆= di

dtiy (t) , y u(i) (t)

∆= di

dtiu (t) ; u (t) es la variable asociada a la entrada del proceso,

mientras y (t) es la variable asociada a la salida del proceso, los coeficientes ai, bj , i=1,2,...,n, j=0,1,...,m,son constantes donde n y m son constantes enteros. Para obtener la funcion de transferencia del sistema(2.1), se toman las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuacion (2.1) asumiendosecondiciones iniciales cero,¡

sn + a0sn−1 + ...+ an

¢Y (s) =

¡b0s

m + b1sm−1 + ...+ bm

¢U (s) (2.2)

donde s es la variable de Laplace. La funcion de transferencia de (2.2) es definida entononces como:

G (s)∆=

B (s)

A (s)=

b0sm + b1s

m−1 + ...+ bmsn + a1sn−1 + ...+ an

(2.3)

Considerando la ecuacion (2.3) se tienen las siguientes definiciones

Definicion 2.1 El polinomio caracterıstico del sistema es el polinomio A (s) de la ecuacion (2.3).

Definicion 2.2 El polinomio caracterıstico es monico, ya que a0 = 1.

Definicion 2.3 El polinomio caracterıstico es Stodola si todos sus coeficientes son positivos definidos.

Definicion 2.4 El polinomio caracterıstico es Hurwitz si Re[s] < 0.

Definicion 2.5 La ecuacion 2.3 es propia si n ≥ m; estrictamente propia n > m y bipropia si n = m.

11

2. Control Adaptable

Definicion 2.6 Se dice que dos polinomios A (s) y B (s) son coprimos si no tienen raıces comunes.

Definicion 2.7 El orden del proceso es n.

El hecho de que A (s) y B (s) sean coprimos, es una caracterıstica que cobra importancia desde diversosangulos en este trabajo, pues por un lado define si hay cancelacion entre polos y ceros, lo cual implicarepercusiones en cuanto a controlabilidad y/u observabilidad [15], ası como el posible impacto en la tareadel modelado [13] y en los procesos de estimacion parametrica [85]. La caracterıstica coprima puedeestablecerse a partir del Lema 2.1.

Lema 2.1. (Identidad de Bezout). Dos polinomios A (s) y B (s) son coprimos si y solo si, existenpolinomios α (s) y β (s) , tal que:

α (s)A (s) + β (s)B (s) = 1 (2.4)

demostracion en [38].

2.2. Modelo del proceso discreto

En lo sucesivo, los modelos discretos presentados en el documento son el resultado del muestreo de lafuncion continua (2.3) con la ayuda de un retenedor de orden cero (ZOH, por sus siglas en ingles) de laforma:

G (z) =¡1− z−1

¢Z

½G (s)

s

¾(2.5)

donde Z {·} representa la transformada Z de la funcion y G (z) es la funcion de transferencia discreta enz. Se opta por esta forma de discretizacion puesto que guarda muchos puntos en comun con la operacionde diversos sistemas de adquisicion de datos, por su parte G (z) puede ser definido como:

G (z) =B (z)

A (z)(2.6)

donde

A (z) = zn + a1zn−1 + ...+ an−1z + an (2.7)

B (z) = b0zm + b1z

m−1 + ...+ bm−1z + bm

Las definiciones 2.1, 2.2, 2.5, 2.6 y 2.7 prevalecen para el caso discreto.

.

2.3. El regulador autosintonizable (STR)

El regulador autosintonizable (STR por sus siglas en ingles) es una estructura de control adaptable demodelo interno, ya sea que dicho modelo represente al proceso o al control de dicho proceso. En la Figura2-1 se presenta un diagrama a bloques de un STR [8].

12

2.4 Estimacion

Figura 2-1: Diagrama a bloques de un regulador autosintonizable.

El adjetivo de autosintonizable, enfatiza la propiedad que tienen estos controladores para sintonizarautomaticamente sus propios parametros, para de esta manera obtener las propiedades deseadas delsistema en lazo cerrado.

En la Figura 2-1 pueden apreciarse claramente las etapas principales en un STR. La configuracion de laetapa de estimacion determina el tipo de STR del que se hable; un STR explıcito es aquel en el cual setiene un modelo interno del proceso a controlar y en el cual se estiman a partir de las senales del proceso,los parametros del modelo. El modelo estimado se emplea para un diseno de control, que como resultadoarroja los parametros del controlador, que pueden dependiendo del diseno original, actualizarse con cadamuestreo o a partir de eventos definidos por el disenador. Por su parte un STR implıcito, involucrauna etapa de preprocesamiento de las senales de la planta para estimar directamente los parametrosdel control, es decir, el proceso de diseno del control subyace implıcito en la etapa de estimacion. En loreferente a la etapa del diseno de control, se define por los requerimientos del sistema.

En las siguientes secciones se profundiza en cada etapa del control autosintonizable.

2.4. Estimacion

Los mınimos cuadrados recursivos (RLS) con factor de olvido exponencial [8], fueron utilizados comometodo de estimacion en todas las estructuras de control adaptable a las que se hace referencia en estetrabajo.

2.4.1. Mınimos cuadrados

Los mınimos cuadrados son ampliamente utilizados en diversos problemas. La siguiente ecuacion defineel modelo matematico del sistema que se desea estimar

y (i) = ϕ1 (i) θ01 + ϕ2 (i) θ

02 + ...+ ϕn (i) θ

0n = ϕT (i) θ0 (2.8)

donde y en este caso es la variable observada, θ01, θ02, ..., θ

0n, son parametros del modelo que ha de ser

determinado, y ϕ1, ϕ2, ..., ϕn son variables conocidas que pueden depender de otras variables conocidas.Para (2.8) se definen los vectores

ϕT (i) =£ϕ1 (i) ϕ2 (i) ... ϕn (i)

¤(2.9)

θ0 =£θ01 θ02 ... θ0n

¤Tdonde i puede denotar tiempo de un conjunto discreto.

13


El vector ϕ es usualmente denominado regresor. El problema de los mınimos cuadrados es determinar losparametros que hagan que la salida de (2.8), sea lo mas cercana posible a la salida medida del sistema;los parametros θ deben elegirse para minimizar la funcion costo:

V (θ, t) =1

2

tPi=1

¡y (i)− ϕT (i) θ

¢2(2.10)

Debido a que la variable medida y es lineal en los parametros θ y el criterio de los mınimos cuadrados escuadratico, el problema permite una solucion analıtica, teniendo:

Y (t) =£y (1) y (2) ... y (t)

¤T(2.11)

Er (t) =£ε (1) ε (2) ... ε (t)

¤TΦ (t) =

ϕT (1)·:

ϕT (t)

Px (t) =

£ΦT (t) Φ (t)

¤−1=

µtP

i=1ϕ (i)ϕT (i)

¶−1donde los residuos ε (i) se definen por:

ε (i) = y (i)− y (i) = y (i)− ϕT (i) θ (2.12)

de lo cual (2.10) puede reescribirse como:

V (θ, t) =1

2

tPi=1

ε2 (i) =1

2ETr Er =

1

2kErk2 (2.13)

donde E r puede ser escrito como:Er = Y − Y = Y − Φθ (2.14)

La solucion del problema de los mınimos cuadrados esta dada por el Teorema 2.1.

Teorema 2.1. Estimacion por mınimos cuadrados.

La funcion de la ecuacion (2.10) es mınima para los parametros θ, tal que:

ΦTΦθ = ΦTY (2.15)

si la matriz ΦTΦ es no singular, el mınimo es unico y esta dado por:

θ =¡ΦTΦ

¢−1ΦTY (2.16)

demostracion en [8].

2.4.2. Mınimos cuadrados recursivos

En los sistemas autosintonizables las observaciones son obtenidas secuencialmente en tiempo real; paracalcular la estimacion de mınimos cuadrados, se pueden utilizar los resultados obtenidos en t − 1 ; paraobtener ası, un estimado en el tiempo t. Los mınimos cuadrados recursivos son sintetizados en el Teorema2.2.

14

2.4 Estimacion

Teorema 2.2. Estimacion por mınimos cuadrados recursivos.

Asuma que la matriz Φ (t) tiene rango completo, esto es ΦT (t)Φ (t) es no singular para todo t ≥ t0. Dado

θ (t0) y Px (t0) =¡ΦT (t0)Φ (t0)

¢−1, el estimado de mınimos cuadrados entonces satisface las ecuaciones

θ (t) = θ (t− 1) +K (t)³y (t)− ϕT (t) θ (t− 1)

´(2.17)

K (t) = Px (t)ϕ (t) = Px (t− 1)ϕ (t)¡I + ϕT (t)Px (t− 1)ϕ (t)

¢−1Px (t) = Px (t− 1)− Px (t− 1)ϕ (t)

¡I + ϕT (t)Px (t− 1)ϕ (t)

¢−1ϕT (t)Px (t− 1)

=¡I −K (t)ϕT (t)

¢Px (t− 1)

donde K(t) es la ganancia del estimador y sus componentes son factores de ponderacion, que indicancomo la correlacion y el estimado previo pueden ser combinados. Demostracion en [8].

2.4.3. Parametros con variacion en el tiempo

Los parametros del sistema estimado podrıan sufrir variaciones en los parametros, provocando un incre-mento desmesurado de la covarianza y de la ganancia del estimador. Una manera de evitarlo, es modificarla funcion costo (2.13) como:

V (θ, t) =1

2

tPi=1

λt−i¡y (i)− ϕT (i) θ

¢2(2.18)

donde λ es un parametro, tal que 0 < λ ≤ 1. El parametro λ es llamado factor de olvido. En la ecuacion(2.18) los datos estan siendo poderados por un operador. El dato mas reciente esta siendo ponderadounitariamente, pero el dato que tiene una antiguedad de n unidades de tiempo, esta siendo ponderado porλn; por lo tanto, el metodo es llamado olvido exponencial y es incluido en la ecuacion (2.19), obteniendoseel resultado [8].

Teorema 2.3. Estimacion con mınimos cuadrados con factor de olvido exponencial.

Asuma que la matriz Φ (t), tiene rango completo para t > t0. Los parametros θ, los cuales minimizan laecuacion (2.18), son dados por:

θ (t) = θ (t− 1)−K (t)³y (t)− ϕT θ (t− 1)

´(2.19)

K (t) = Px (t)ϕ (t) = Px (t− 1)ϕ (t)¡λI + ϕTPx (t− 1)ϕ (t)

¢−1Px (t) =

¡I −K (t)ϕT

¢Px (t− 1) /λ

Demostracion en [8].

2.4.4. Identificabilidad

La identificabilidad es una condicion esencial, para establecer la confiabilidad en los parametros deestimacion. El problema de la identificabilidad consiste en establecer si un unico resultado de la estructurade identificacion concuerda con los valores verdaderos del sistema.

La matriz de covarianza guarda una relacion fundamental con esta propiedad, ya que es necesario quePx sea invertible como condicion necesaria. En la practica la no identificabilidad de los parametros delmodelo se debe principalmente a la correlacion de los elementos en el vector de datos, lo cual resulta enla singularidad de la matriz de covarianza [56].

La identificabilidad para el caso SISO puede plantearse a partir del siguiente Teorema 2.4 [44].

15


Teorema 2.4. Considerando un modelo estructural dado correspondiente a:

A (q) y (t) =B (q)

F (q)u (t) +

C (q)

D (q)e (t) (2.20)

con θ definido de (2.8), siendo los coeficientes de los polinomios involucrados. Los grados de lospolinomios son na, nb y ası sucesivamente. Esta estructura modelo es globalmente identificable enθ, si y solo si las siguientes condiciones prevalecen:

i No hay factores comunes a todo znaA (z) , znbB (z) y zncC (z) ,

ii No hay factor comun de znbB (z) y znf F (z) ,

iii No hay factor comun de zncC (z) y zndD (z) ,

iv Si na≥1, entonces no debe haber factor comun de znf F (z) y zndD (z) ,

v Si nd≥1, entonces no debe haber factor comun de znaA (z) y znbB (z) ,

vi Si nf≥1, entonces no debe haber factor comun de znaA (z) y zncC (z) .

Los polinomios testados corresponden a θ, demostracion en [44].

Nota: Si puede establecerse la identificabilidad global, en consecuencia se puede establecer la identifica-bilidad global robusta [45].

Para la identificabilidad resulta necesario que el det¡P−1x

¢ 6= 0, [82].La identificabilidad guarda una estrecha relacion a su vez con la excitacion persistente [8], [82].

2.4.5. Excitacion persistente

La excitacion persistente es un condicionante para alcanzar la identificabilidad. Considerando la matriz

Covn = lımt−→∞

1

tΦTΦ =

cov (0) cov (1) ... cov (n− 1)cov (1) cov (0) ... cov (n− 2)

·:

cov (n− 1) cov (n− 2) ... cov (0)

(2.21)

donde cov (k) son las covarianzas empıricas de la entrada, esto es

cov (k) = lımt−→∞

tPi=1

u (i)u (i− k) (2.22)

Una senal u es llamada persistentemente excitada (PE) de orden n, si los lımites de (2.22) existen y si lamatriz covn dada por (2.21) por definicion positiva.

Teorema 2.5. Senales persistentemente excitadoras

La senal u con la propiedad (2.22), es persistentemente excitadora de orden n, si y solo si:

U = lımt−→∞

1

t

tPK=1

(A (q)u (K))2 > 0 (2.23)

para todo polinomio diferente de 0 de grado n− 1 o menor. Demostracion en [8].

16

2.4 Estimacion

Del Teorema 2.5 se puede deducir que una delta de Dirac no es una excitacion persistente, un escalon esuna excitacion persistente de orden 1, una senal senoidal es una senal de excitacion persistente de grado2, mientras que una senal periodica con periodo n, es una excitacion persistente de grado n [8].La matriz ΦTΦ es conocida como la matriz de excitacion, debido a su relacion con el Teorema 2.5. ΦTΦ,esta relacionada con la identificabilidad debido a que para tener al menos una excitacion persistente degrado 1, se requiere que la matriz de excitacion sea linealmente independiente.

2.4.6. Convergencia de la estimacion

La convergencia en un algoritmo recursivo puede establecerse a partir de las siguientes propiedades [82]:

1. El desempeno del sistema es correcto al menos asintoticamente,

2. Los parametros estimados del modelo convergen,

3. Los estimados convergen a los valores “correctos”.

Dichas propiedades de convergencia pueden enumerarse jerarquicamente como sigue:

(i) La propiedad 1 corresponde a la identificabilidad del sistema y es esencial para alcanzar los objetivosde control. Es importante notar que la propiedad 1 no implica que la propiedad 2 sea cierta (oviceversa),

(ii) La propiedad 3 corresponde a la identificabilidad de parametros (o consistencia). Note que lapropiedad 1 no implica que la propiedad 3 sea cierta,

(iii) La propiedad 3 es solo significativa, si el modelo es estructuralmente consistente con el sistemacontrolado. Entonces la propiedad 3 implica que las propiedades 1 y 2 son validas.

Puede anadirse que un algoritmo de identificacion es robustamente convergente si [45]:

lımδ−→0

lımN→∞

°°°GN −G0

°°° = 0 (2.24)

|v (t)| ≤ δ∀t (2.25)

donde G0 es el sistema “verdadero”, GN es el modelo identificado para N datos-puntos, y v (t) es unaperturbacion acotada.

2.4.7. La deriva parametrica

El problema de la deriva parametrica fue expuesto por Rohrs et al. en [72] y describe la posibilidad deque una estructura de control adaptable (cualquiera que esta fuese) pueda volverse inestable ante algunade las siguientes situaciones:

Referencias senoidales a frecuencias especıficas,

Perturbarciones en la salida de forma senoidal a cualquier frecuencia.

Rohrs et al. mostro en [72], la existencia de dos operadores que son inherentes al mecanismo de adaptaciona casi todas las estructuras de control adaptable. Segun Rohrs estos operadores tienen ganancia infinita, locual desemboca en los casos de inestabilidad antes mencionados. La principal implicacion de este problemaes que la excitacion persistente no garantiza la estabilidad en el lazo adaptable. Cabe mencionar que el

17


fenomeno de la deriva parametrica no necesariamente se hace evidente al corto plazo de la ejecuciondel control, pues algunos algoritmos no manifiestan una forma “explosiva” de dicho fenomeno [42], estavariante de la deriva parametrica puede ser incluso mas riesgosa que la forma “explosiva”, ya que el lazode control puede fallar en el momento menos esperado.Si bien, no se puede negar que el problema de la deriva parametrica establece fronteras estrictas al usodel control adaptable, tambien es cierto que existen factores en la practica que minimizan la posibilidadde que esta ocurra. En particular, en el control de procesos es practicamente innecesario el uso dereferencias senoidales de alta frecuencia. Con respecto a las perturbaciones senoidales a la salida delproceso, estas pueden provenir en algunos casos de filtraciones de senales de sistemas de comunicacioninalambricos, o incluso de la lınea de alimentacion a la lınea de transmision cuando esta es analogica(4-20mA), o bien hıbrida (senales senoidales de alta frecuencia y diferente amplitud son montadas en lasenal analogica para representar la informacion binaria, tal como es el caso del protocolo HART [65]). Sinembargo, en la actualidad los protocolos de comunicacion de mayor uso emplean exclusivamente senalesdigitales, lo cual les vuelve inmunes a las perturbaciones; puesto que los paquetes de informacion digitalno pueden ser corrompidos [66]. Aunque el uso de protocolos de comunicacion enteramente digitalespreviene el problema de perturbaciones senoidales; por lo menos en cuanto a la transmision se refiere, lasperturbaciones senoidales tambien pueden gestarse como dinamicas aisladas en el actuador. Un problemamuy grave en la industria es precisamente la friccion estatica en las valvulas, la cual puede llevar a lasmismas a alcanzar una oscilacion sostenida [78], y ya que usualmente los procesos estan interconectadospor lazos cascada, controles de relacion o prealimentaciones, las oscilaciones pueden llegar a propagarsea lo largo del proceso de formas muy complejas. Dichas oscilaciones son, sin duda, un peligro para laestabilidad de un control adaptable (y para el desempeno de otras estructuras de control), por lo quesi se usa un control adaptable y se detectan oscilaciones en el proceso, lo aconsejable es pasar a otromodo de control que represente un menor riesgo para la operacion del sistema. En el caso particular delcontrolador ECA 600 de ABB cuando este detecta oscilaciones en el proceso, mientras el ejecuta el modoadaptable, apaga de forma automatica el proceso de adaptacion [29].Lo mas conveniente, en caso de estar en presencia de oscilaciones provenientes de los actuadores, esdetectar el origen y actuar en consecuencia, ya que esto puede deteriorar la calidad del producto inde-pendientemente de la estructura de control que se use. Si despues de detectar la fuente de oscilacion, elproblema no puede ser solucionado de origen, el controlador adaptable podrıa volver a escena, reforzadopor un procedimiento para contrarrestar el problema, por ejemplo, mediante la cancelacion activa delruido [74].

2.5. La asignacion de polos

El control por asignacion de polos es una de las estrategias mas usuales en el control de sistemas lineales.Cuando un proceso puede ser modelado representativamente con una estructura lineal, la asignacionde polos puede brindar muchas ventajas, pues es una estrategia maleable, que permite proveer de unconjunto de caracterısticas deseadas a un lazo cerrado. De hecho, la operacion de cualquier controladorlineal puede apreciarse como un proceso de asignacion de polos, con ciertas limitaciones estructurales. Enparticular se habla de diseno de controladores por asignacion de polos, cuando explıcitamente se disenaun controlador para lograr que las raıces de un proceso esten en lugares o zonas del lugar geometrico delas raıces al cerrarse el lazo.El diseno de controladores por asignacion de polos, es una herramienta flexible; sin embargo, hay dospuntos que dificultan su implementacion en aplicaciones: se requiere de una adecuada seleccion de laestructura del modelo, mas una correcta identificacion de parametros; ademas, se requiere de ciertoconocimiento y experiencia para decidir donde ubicar los polos en funcion de un comportamiento dinamicodeseado. Lo que puede volver al proceso de ubicar polos en lazo cerrado una tarea demandante, es elproceso de incorporar las consideraciones de diseno el comportamiento de los sensores y actuadores,

18

2.5 La asignacion de polos

ademas de los propios lımites operativos del proceso. A diferencia del control PID, que opera a traves deuna minimizacion del error, el diseno por asignacion de polos depende de una adecuada “parametrizacion”;ademas, si las condiciones de operacion del proceso fueran afectadas por una perturbacion de parametros,el desempeno del sistema en lazo cerrado podrıa verse afectado. Debido a lo anterior la asignacion depolos como estrategia, puede fortalecerse cuando se le utiliza dentro de una estructura control adaptable.

En la literatura se exponen varias formas de realizar la asignacion de polos [57]. Considerando el manejode funciones de transferencia, la ubicacion de polos por enfoque polinomial es la alternativa mas adecuada.

Considerando la ecuacion (2.6) definimos el polinomio de asignacion de polos como:

D (z) = d0z2n−1 + d1z

2n−2 + ...+ d2n−2z + d2n−1 (2.26)

Donde D (z) es un polinomio de grado 2n− 1, con todas sus raıces dentro del cırculo unitario.La identidad de Bezout, descrita en el Lema 2.1, cuenta con un numero infinito de soluciones [38]. Porotro lado, si en lugar de tener una solucion unitaria se opta por una solucion de la forma (2.26), se tiene:

α (z)A (z) + β (z)B (z) = D (z) (2.27)

La ecuacion (2.27) es conocida como la ecuacion Diofantina donde los polinomios α (z) y β (z) se definencomo:

α (z) = α0zn−1 + α1z

n−2 + ...+ αn−2z + αn−1 (2.28)

β (z) = β0zn−1 + β1z

n−2 + ...+ βn−2z + βn−1

El numero de soluciones para (2.27) es ahora finito. Una forma sistematica y confiable para hallar lasolucion a la ecuacion (2.27), es mediante el planteamiento y solucion de la matriz de Sylvester, la cualtiene una dimension de 2n x 2n. Sea la matriz de Sylvester E:

E∆=

an 0 ... 0 bn 0 ... 0an−1 an ... 0 bn−1 bn ... 0·: an−1 ... 0

·: bn−1 ... 0

a1·:

·: b1

·:

·:

1 a1 ... an b0 b1 ... bn0 1 ... an−1 0 b0 ... bn−1·:

·:

·:

·:

·:

·:

0 0 ... a1 0 0 ... b10 0 ... 1 0 0 ... b0

(2.29)

Teorema 2.6. (Teorema de Sylvester): dos polinomios A (z) y B (z) son coprimos, si y solo si su matrizde Sylvester E es no singular, prueba en [38].

Del Teorema 2.6, se puede decir que la matriz de Sylvester tiene una solucion unica para un polinomiodado D (z) cuando A (z) y B (z) son coprimos, por lo que se hace hincapie en lo siguiente:

Si se desea llevar a cabo una asignacion de polos efectiva, se requiere que el modelo identificadoeste correctamente dimensionado,

Cuando se utiliza la matriz de Sylvester como forma de solucion de (2.27), para realizar un controlpor asignacion de polos, es fundamental para lograr dicha asignacion que los polinomios A (z) yB (z) sean coprimos y que ademas el polinomio de asignacion de polos tenga un orden maximo de2n− 1 (ver ecuacion (2.25)) y sea lineal e invariante en el tiempo.

19


Precisamente para lograr la solucion de la matriz de Sylvester, se requiere el planteamiento del vector deasignacion D como:

D =

d2n−1d2n−2·:d1d0

(2.30)

y el vector de solucion denominado M como:

M =

αn−1αn−2·:α0βn−1βn−2·:β0

(2.31)

Entonces los coeficientes α0, α1, ... αn−1 y β0, β1, ..., βn−1 se pueden determinar a partir de:

M = E−1D (2.32)

El control por ubicacion de polos, puede relacionarse con la ecuacion (2.27) a traves del diagrama abloques que se muestra en la Figura 2-2.

Figura 2-2: Diagrama a bloques de un controladore por ubicacion de polos.

El denominador de la reduccion del lazo de realimentacion en la Figura 2-2 es equivalente a la ecuacion(2.27), por su parte K0, es una ganancia prealimentada usada para ajustar la ganancia del sistema enlazo cerrado. K0 se deriva del teorema del valor final en su caso discreto como:

K0 =

³lımz→1 (D (z))

´³lımz→1α (z)

´³lımz→1B (z)

´ (2.33)

El polinomio de asignacion puede descomponerse de diversas formas con diferentes propositos, como porejemplo:

D (z) = DA (z)DB (z) (2.34)

El desempeno del controlador representado en la Figura 2-2 puede degradarse en la presencia de ceros,sobre todo, si estan cerca del origen en el lugar geometrico de las raıces (LGR). La ecuacion (2.34)

20

2.5 La asignacion de polos

puede configurarse en algunos casos para lograr la cancelacion de ceros [33], si el disenador evalua quees conveniente en presencia de perturbacion en los parametros. Este metodo no se recomienda cuandoexisten ceros en el origen [17], aunque dada situacion es inusual en procesos industriales.

Ejemplo 2.1. Suponga el proceso representado por la funcion de transferencia continua:

G1 (s) =1

s2 + 0.3s+ 1(2.35)

considerando que el sobreimpulso maximo (Mp) , es descrito por:

Mp ≈ e−πξ/√1−ξ2 , 0 ≤ ξ < 1 (2.36)

donde ξ es el coeficiente de amortiguamiento y el tiempo de establecimiento (ts) es definido en [26] como:

ts =4.6

ξωn(2.37)

ωn es la frecuencia natural no amortiguada del sistema.

De (2.36) y (2.37), se tiene el sobreimpulso maximoM p = 62%, mientras que el tiempo de establecimientoes ts =30.66. En [26] se recomienda como criterio de seleccion del periodo de muestreo h, que este sea almenos 20 veces el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, ya que en los sistemas de segundo orden,este es aproximadamente igual a la frecuencia natural, que para este caso es de 1 rad/seg o 0.16 Hz, porlo que se opta por muestrear (2.35) a 3.2 Hz, de tal forma al aplicar un ZOH se tiene:

G1 (z) =0.04696z + 0.04551

z2 − 1.818z + 0.9105 (2.38)

Para este ejemplo, se desea que al cerrar el lazo el sistema sea 30% mas rapido que en lazo abierto y nosupere el 20% de sobreimpulso, por lo que la asignacion de polos se propone como:

D (z) = z2 − 1.855z + 0.8747 (2.39)

En la Figura 2-3 se presenta un comparativo entre la respuesta al escalon del sistema en lazo abierto yel sistema deseado en lazo cerrado.

Con (2.38), se procede a formar la matriz de Sylvester

E =

0.9105 0 0.0455 0-1.818 0.9105 0.0469 0.04551 -1.818 0 0.04690 1 0 0

(2.40)

Nota: En la ecuacion (2.40) se presentan los datos truncados por cuestiones de espacio.

21


Figura 2-3: Respuesta al escalon del sistema en lazo abierto y del sistema en lazo cerrado deseado

Considerando (2.39) los polinomios α (z) y β (z) estan dados por:

M =

0.9990

−0.7850.003126

(2.41)

De tal forma, el lazo cerrado de realimentacion en la Figura 2-2 esta dado por:

α (z)

β (z)=0.003126z − 0.785

0.999(2.42)

La ecuacion (2.42) es una funcion de transferencia impropia; sin embargo, cuando se obtiene el lazocerrado:

GLC (z) =α (z)β (z)

α (z)A (z) + β (z)B (z)(2.43)

(2.43) es propio.

Finalmente para lograr el seguimiento a la referencia, la ganancia se obtiene de (2.33) como:

K0 = 0.217978

En la Figura 2-4 se presenta la respuesta al escalon del proceso (2.38) cuando se aplica el esquemarepresentado en la Figura 2-2, con la referencia unitaria.

22

2.6 Diseno de la asignacion de polos

Figura 2-4: Sistema Controlado.

¤

2.6. Diseno de la asignacion de polos

Una labor importante es el diseno del polinomio de asignacion de polos. Esta tarea involucra tantoaspectos teoricos como consideraciones practicas.Si se utiliza como metodo de asignacion de polos el enfoque polinomial, aplicando la matriz de Sylvester,de (2.26) se tiene que el orden del polinomio D es nD ≤ 2n− 1, por lo que suponiendo que el proceso enlazo abierto sea de primer, segundo o tercer orden, nD podra tener como orden maximo primero, terceroy quinto orden respectivamente. Cuando el sistema en lazo abierto es de primer orden y se usa la solucionde matriz de Sylvester, nD = n es la unica alternativa posible. De tal forma que D tiene la forma:

D (z) = d0z + d1 (2.44)

Debido a que (2.44) tiene una sola raız, puede suponerse que estara dentro del cırculo unitario y que suposicion debera permitir una respuesta dinamica mas rapida que en lazo abierto, en la mayorıa de lasaplicaciones. La decision de en que proporcion debera hacerse mas rapida la respuesta en lazo cerradodepende de las necesidades de control.Considere la ecuacion caracterıstica continua que define al proceso a controlar como:

A (s) = τs+ 1 (2.45)

donde τ es la constante de tiempo del sistema, mientras que el polinomio de asignacion de polos continuose define a su vez como la relacion de (2.46)

D (s) = τds+ 1 (2.46)

donde τd es la constante de tiempo deseada, y se elige a partir de:

τd = KDτ (2.47)

23


KD es una ganancia menor a la unidad, utilizada para elegir una constante de tiempo para el sistemaen lazo cerrado, usando como referencia la constante de tiempo en lazo abierto. Mientras menor sea laponderacion KD, mayor sera el esfuerzo de control definido por la integral en el tiempo del cuadrado dela entrada de control

Ef =

Z t

0u2dt (2.48)

Con el fin de discretizar (2.46) y alcanzar la forma (2.44), se utiliza un mapeo directo de polos de laforma:

z = esh (2.49)

Por su parte el caso discreto (2.48) puede aproximarse como:

Ef =wXt=1

u2 (t) (2.50)

donde w, es el numero de muestreos para una medicion dada. El esfuerzo de control guarda una relaciondirecta con las capacidades y el tiempo de vida de los actuadores, por lo que debe ser contempladodurante el diseno de la asignacion de polos.

Ejemplo 2.2. Suponga que para el proceso, cuyo modelo es la funcion de transferencia de primer orden

G (s) =1

s+ 1(2.51)

se disena un control por asignacion de polos para lograr diversas constantes de tiempo en lazo cerrado,cuando h=0.05 segundos como se muestra en la Figura 2-5.En la Figura 2-6 se presenta la senal de control para cada valor diferente τd. Como se puede observar enla Figura 2-6, a medida que se impone una mayor velocidad de respuesta al desempeno en lazo cerrado,mayor sera la amplitud inicial de la senal de control.

24


Figura 2-5: Respuestas en lazo cerrado del sistema controlado, para diferentes constantes de tiempo deseadas.

Figura 2-6: Diferentes senales de control u para diferentes constantes de tiempo deseadas.

En la Figura 2-7a), se grafica el maximo valor de la senal de control contra el τd relacionado, como sepuede observar, la relacion obedece a un envolvente exponencial. La Figura 2-7a), guarda una relacioncon el maximo rango de operacion del actuador, mientras que en la Figura 2-7b) se presenta el esfuerzode control descrito en la ecuacion (2.50) para ω =100 muestreos, lo cual guarda relacion con el tiempode vida del mismo actuador

25


Figura 2-7: a) Maxima senal de control contra constante de tiempo deseada, b) Esfuerzo de control contra constantede tiempo deseada.

De lo expuesto en el Ejemplo 2.2, se observa la necesidad de establecer un vınculo entre la eleccion deKD y las limitaciones fısicas del actuador.

¤Cuando la asignacion de polos deseada es de segundo orden y se considera la siguiente ecuacion carac-terıstica del proceso en lazo abierto,

A (s) = s2 + 2ξωns+ ω2n (2.52)

donde ξ es el coeficiente de amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural no amortiguada, se proponeel polinomio de asignacion deseada de polos como:

D (s) = s2 + 2ξdωnds+ ω2nd (2.53)

en este caso ξd es el coeficiente de amortiguamiento deseado y ωnd es la frecuencia natural no amortiguadadeseada. La forma mas conveniente para proponer los coeficientes de la ecuacion (2.53) es en funcion deuna respuesta dinamica deseada. Considerando las ecuaciones (2.36) y (2.37) es importante decir queaunque uno podrıa elegir un Mp y un ts para la respuesta en lazo cerrado de forma arbitraria, es masconveniente considerar la respuesta del sistema en lazo abierto (2.52) para el diseno de (2.53), de talforma:

Mpd = K1Mp y tsd = K2ts (2.54)

donde Mpd y tsd son las caracterısticas dinamicas de (2.53), mientras K1 y K2 son ganancias que debenelegirse de acuerdo a las capacidades reales del sistema, lo que explica que (2.54) sea funcion de larespuesta dinamica del sistema en lazo abierto. En cuanto a la eleccion de dichas ganancias hay queagregar, que aunque serıa deseable que el sistema en lazo cerrado fuera muy rapido y tuviera pocosobreimpulso, esto tiene implicaciones en el otro lado de la balanza significando un mayor esfuerzo ymayor sobreimpulso en la senal de control.Una vez definidos Mpd y tsd los coeficientes de (2.53) se calculan a partir de:

26


ξd =

s(ln (Mpd))

2

π2 + (ln (Mpd))2 (2.55)

y de:

ωnd =4,6

ξdtsd(2.56)

Despues que (2.53) ha sido definido, se le discretiza por mapeo usando (2.49), o si se tiene completamentedefinida una funcion de transferencia deseada, a traves del uso de un ZOH.Con lo que se obtiene la asignacion discreta de polos de la forma:

D (z) = d0z2 + d1z + d2 (2.57)

Finalmente cuando la asignacion deseada de polos es de tercer orden se propone el polinomio:

D (s) =¡s2 + 2ξdωnds+ ω2nd

¢(s+ pe) (2.58)

Como puede observarse (2.58) conserva relacion con (2.53). Si se desea obtener la mınima afectaciondinamica dispuesta por ξd y ωnd, pe debe elegirse el semiplano izquierdo, lejano al eje imaginario. Laeleccion de pe es un compromiso entre la dinamica deseada y el esfuerzo de control, puesto que a medidaque pe se aleja del eje, el esfuerzo de control crece.

Ejemplo 2.3. Suponga el sistema de tercer orden que representa el modelo lineal de tres reactoresacoplados descrito en [47]:

G (s) =0.125

s3 + 3s2 + 3s+ 1(2.59)

suponga que se desea una respuesta mas rapida que en lazo abierto sin superar un sobreimpulso maximoaproximado del 10%, por lo que se propone:

D (s) = s3 + 89.13s2 + 154.9s+ 190.9 (2.60)

El polinomio tiene dos polos complejos en -0.8738±1.192i y un polo en -87.38 ubicado 100 veces mas lejosdel eje imaginario que el componente real de los polos complejos conjugados, con la finalidad de que estepolo tenga la menor influencia dinamica posible.Discretizando (2.59) utilizando un ZOH a 20 Hertz se tiene que

G (z) =2.508x10−6z2 + 9.665x10−6z + 2.327x10−6

z3 − 2.854z2 + 2.715z − 0.8607 (2.61)

mientras que al aplicar las mismas condiciones de discretizacion a (2.60), se tiene:

D (z) = z3 − 1.924z2 + 0.9405z − 0.0116 (2.62)

En la Figura 2-8a) se observa que al aplicar el control por la ubicacion de polos, para (2.62) en la respuestadinamica, hay un sobreimpulso negativo. Otra propuesta de ubicacion de polos alterna se define como:

D (s) = s3+4.26s2+6.0492s+2.863288 (2.63)

el cual es crıticamente amortiguado con tres polos en -1.42, lo que permite que la respuesta en lazocerrado sea 30% mas rapida que en lazo abierto. El equivalente discreto de (2.63) esta dado por:

D (z) = z3-2.794z2+2.603z-0.8082 (2.64)

27


como puede observarse en la Figura 2-8b), el lazo cerrado para (2.64) no tiene sobreimpulso negativo.

Figura 2-8: Control por asignacion de polos para 2.59.

Alternativamente puede realizarse una asignacion de segundo orden con las caracterısticas dinamicasequivalentes, como por ejemplo:

D (z) = z2 − 1.9111z − 0.9163 (2.65)

Evitando ası, el sobreimpulso negativo al elegir la ubicacion de polos de segundo orden descrita por laecuacion (2.63).De lo observado en el Ejemplo 2.3, hay que recalcar la importancia de la eleccion del polinomio D(z)cuando nD = 3.

¤

2.7. Controlador autosintonizable por asignacion de polos (Wellstead)

El controlador autosintonizable por asignacion de polos (STPAC) usa una estrategia de control basada enel diseno por asignacion de polos, descrita en la seccion 2.5 y 2.6. La estructura de control representadaen la Figura 2-2, puede ser la misma para un STPAC, cuando el bloque del diseno del controlador esocupado por una sıntesis de asignacion de polos. Existen algunas variaciones de la estructura original delSTPAC [7]; en particular, aquı se presenta la propuesta de Wellstead [81]. El STPAC es una estructuraestocastica, por lo cual establecemos el sistema descrito por el modelo CARMA (por sus siglas en ingles):

Ay (t) = z−kBu (t) +Ce (t) (2.66)

donde A, B y C son polinomios en z, A es monico y coprimo en relacion a B, k representa el retardo delsistema en instantes de tiempo, mientras e (t) se asume como una secuencia aleatoria no correlacionadade media 0. Para esta estrategia de control se considera que las raıces de A y B pueden quedar fuera delcırculo unitario; es decir, la planta puede ser inestable (raıces de A fuera del cırculo) o de fase no mınima(raıces de B fuera del cırculo). En todos los casos las raıces de C se asumen estrictamente dentro delcırculo unitario.

28

2.7 Controlador autosintonizable por asignacion de polos (Wellstead)

Ya que se desea lograr que la salida de la planta siga una referencia dada, dentro de un esquema deasignacion de polos, los polinomios de control designados en este caso como H, G y E requieren serdisenados. En la Figura 2-9 se presenta un diagrama que incorpora la estructura adaptable completa(considerando la etapa de identificacion) para el STPAC.

Figura 2-9: Esquema adaptable para el STPAC.

En la Figura 2.9 puede apreciarse la ley de control como la ecuacion:

Hu (t) = Er (t)−Gy (t) (2.67)

Al cerrarse el lazo de control la ecuacion caracterıstica que define al STPAC es:

HA+ z−kBG (2.68)

En el caso del STPAC la asignacion deseada de polos es definida por el polinomio T (en sustitucion deD para el caso adaptable).Cuando k = 1, la ecuacion (2.66) toma la siguiente forma:

Ay (t) = z−1Bu (t) + Ce (t) (2.69)

Combinando el controlador definido por la ecuacion (2.67) con la ecuacion del proceso (2.69), se tiene:

(HA+BG) y (t) = z−1BEr (t) + CHe (t) (2.70)

Si se desea que el lazo cerrado tenga un comportamiento asociado a la posicion de polos definida por T ,se requiere resolver la identidad polinomial:

HA+ z−1BG = TC (2.71)

donde los polinomios H, G y E estan definidos por:

H = 1 + h1z−1 + ...+ hnhz

−nh (2.72)

G = g0 + g1z−1 + ...+ gngz

−ng

E = e0 + e1z−1 + ...+ enez

−ne

29


Para lograr una solucion unica para (2.71) es necesario que nh y ng se elijan como:

nh = nb (2.73)

ng = na − 1

Sabiendo que A y B son coprimosnt ≤ na + nb − nc (2.74)

Cuando se inserta la ecuacion (2.71) en la ecuacion (2.70), se tiene :

y (t) =EB

TCr (t− 1) + H

Te (t) (2.75)

El precompensador E se elige para alcanzar un ajuste con la ganancia de baja frecuencia del sistema,mediante la aplicacion del teorema del valor final (ver ecuacion (2.33))

E = C

·T

B

¸z=1

(2.76)

Finalmente el STPAC puede sintetizarse en el siguiente algoritmo:

Algoritmo 2.1. STPAC.

En cada periodo de muestreo:Paso 1: Utilizando RLS estimar A, B, C, de (2.66)Paso 2: Sintetizar los polinomios de control de:

AH + z−1BG = CT

H =T (1)

B (1)C

Paso 3: Generar la salida de control u (t) de:

Hu (t) = Er (t)− Gy (t)

Paso 4: Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1.

En el caso donde existen ceros fuera del cırculo unitario; es decir, cuando el sistema es de fase no mınimase procede a resolver la ecuacion identidad bajo la siguiente modificacion

HA+ z−1BG = CTB+ (2.77)

donde B = B+B− y B+ contiene los modos estables inversos de B.

Estrictamente hablando el STPAC es un controlador autosintonizable, ya que cumple la propiedad au-tosintonizable [82]. A continuacion se bosqueja dicha propiedad.Considere el sistema:

A0y (t) = z−1B0 + C0e (t) (2.78)

En la notacion usual, donde los coeficientes polinomiales son desconocidos. Un algoritmo autosintonizablecon asignacion de polos para regulacion se implanta a partir de una estimacion RLS de A y B que soncoeficientes en el modelo:

Ay (t) = z−1B +Xe (t) (2.79)

30

2.8 El control de varianza mınima generalizado (Clarke)

donde X es un polinomio conocido con inversa estable y los grados de A, B son nα, y nβ respectivamente(nα 6= 0) .Dados los estimadores A, B en el tiempo t, el control u (t) generado de:

Hu (t) + Gy (t) = 0 (2.80)

AH + z−1BG = XT (2.81)

siH → H y G→ G asintoticamente

la propiedad de autosintonıa prevalece si H y G satisfacen la identidad:

A0H + z−1B0G = C0T (2.82)

En [82] se presentan un conjunto de condiciones suficientes para satisfacer a (2.82) en todos los puntosde convergencia.

2.8. El control de varianza mınima generalizado (Clarke)

La principal debilidad del controlador de varianza mınima (MVC), propuesto por Astrom y Wittenmark[6], es la incapacidad de afrontar el control de sistemas de fase no mınima. Con la intencion de superaresta inconveniencia, Clarke y Gawthrop propusieron el control de varianza mınima generalizado (GMVC)[19], [20] el cual contempla la inclusion de una salida auxiliar que no solo toma en cuenta la salida delsistema, sino que tambien incorpora a la referencia y a la senal de control. Entre otras propiedades elGMVC permite al disenador definir diversos perfiles en el desempeno, mediante la eleccion adecuada deun criterio de optimalidad, el cual se expresa a traves de la funcion de salida generalizada

φ (t+ k) = Py (t+ k) +Qu (t)−Rr (t) (2.83)

donde P, Q y R son los denominados polinomios costo, utilizados para modificar el desempeno del control.

La labor de los polinomios costo es filtrar la referencia, el control y la salida. Esta realimentacion permiterehubicar las raıces en lazo abierto de B a la ubicacion de las raıces de PB+QA, ya que sustituyendo laecuacion del sistema en (2.83), se obtiene :

φ (t+ k) =PB +QA

Au (t) +

PC

Ae (t+ k)−Rr (t) (2.84)

La funcion costo a ser minimizada es la varianza de la salida generalizada:

J = Ex

£φ2 (t+ k)

¤(2.85)

En la ecuacion (2.83) puede observarse que en un tiempo t, Qu (t) y Rr (t) , pueden conocerse; por otrolado Py (t+ k) esta desplazado en el tiempo al igual que la propia salida generalizada, por lo que laecuacion (2.85) puede dividirse en dos secciones: la primera esta relacionada a la accion de control y lasegunda a la perturbacion, tal que:

PC

Ae (t+ k) = Fe (t+ k) +

G

Ae (t) (2.86)

donde el polinomio F es relativo a la perturbacion futura y la relacion G/A relativa a las perturbaciones

31


presentes y pasadas. A partir de (2.86), se tiene la identidad:

PC = FA+ z−kG (2.87)

si P es monico,

F = 1 + f1z−1 + ...+ fk−1z−(k−1) (2.88)

G = g0 + g1z−1 + ...+ gngz

−ng

ng = max (na − 1, np + nc − k)

multiplicando F por la ecuacion:

Ay (t+ k) = Bu (t) + Ce (t+ k) (2.89)

y sustituyendo FA de (2.87),

PCy (t+ k) = BFu (t) +Gy (t) + CFe (t+ k) (2.90)

adicionando CQu (t)−CRr (t) a ambos lados se tiene:

C [Py (t+ k) +Qu (t)−Rr (t)] = (BF +QC)u (t) +Gy (t)− CRr (t) + CFe (t+ k) (2.91)

lo cual puede factorizarse como:

φ (t+ k) =1

C[(BF +QC)u (t) +Gy (t)− CRr (t)] + CFe (t+ k) (2.92)

La funcion costo minimiza el primer termino del lado derecho de la ecuacion a 0. El GMVC esta dadopor:

(BF +QC)u (t) = −Gy (t) + CRr (t) (2.93)

o bien,Hu (t) +Gy (t) +Er (t) = 0 (2.94)

donde:

H = BF +QC

E = −CR

cuando la ley de control (2.94) es aplicada al proceso, se tiene que:

y (t) =z−kBR

PB +QAr (t) +

(BF +QC)

(PB +QA)e (t) (2.95)

en la Figura 2-10 se presenta un diagrama conceptual del GMVC.

32


Figura 2-10: Diagrama de realimentacion conceptual del GMVC.

De (2.95) puede apreciarse que si Q = 0, ambos miembros de la ecuacion tienen como factor comun B,en el numerador y en el denominador, de esta forma se cancelarıan los ceros.

Cuando se desea lograr el seguimiento a la referencia debe cumplirse la siguiente condicion:

BR

PB +QA|z=1= 1 (2.96)

el analisis presentado muestra una equivalencia entre (2.83) y (2.92). Esta equivalencia es la idea centraldetras de un control GMVC.

Partiendo de la equivalencia se asume que si se cuenta con (2.83) conocido (es decir, se han propuestode alguna manera los polinomios P, Q y R) se pueden estimar de (2.83) los polinomios de control H,G y E, basados en esta suposicion se eliminan los calculos de los polinomios de control, ya que estos seestiman directamente de (2.83) y la estructura se vuelve implıcita.

La equivalencia entre (2.83) y (2.92) es clara en lo referente a los valores de la salida generalizada, pero noen cuanto a estructura, por lo cual el funcionamiento del GMVC depende de que H, G y E converjan avalores constantes y despues que estos sean los verdaderos. La convergencia de los parametros permanececomo una posibilidad [82], pero no puede establecerse, en el posible caso de que los parametros converjan,la manera en que lo hacen.

A continuacion se sintetiza el algoritmo de control para el GMVC.

Algoritmo 2.2 (GMVC).

En un tiempo t

Paso 1. Proponer de alguna forma los polinomios costo y formar la pseudo salida φ (t)

φ (t) = Py (t) +Qu (t− k)−Rr (t− k) (2.97)

Paso 2. Estimar H, G y E de (2.97)

Paso 3. Con los polinomios de control conocidos aplicar a ley de control

Hu (t) = −Gy (t)− Er (t) (2.98)

Paso 4. Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1.

En la Figura 2-11 se presenta un diagrama que contempla la parte de adaptacion.

33


Figura 2-11: Diagrama a bloques del GMVC implementado como una estructura adaptable.

A continuacion se presenta un ejemplo donde se implementa el algoritmo de Clarke.

Ejemplo 2.4. Suponga el sistema de segundo orden

G (s) =10

s2 + 0.5s+ 1(2.99)

suponga que el sistema es muestreado, eligiendo h=0.5 segundos, al aplicar un ZOH se tiene la funcionde transferencia

G (z) =1.129z + 1.038

z2 − 1.562z + 0.7788 (2.100)

se proponen valores para la funcion costo de la forma:

P = 0.00121z − 0.0752 (2.101)

Q = 0.998

R = 0.02588

por el momento, en este ejemplo no se plantea la forma en que estos polinomios son propuestos.

De (2.101) se construye la funcion de salida generalizada como:

φ (t) = 0.00121y (t)− 0.0752y (t− 1) + 0.998u (t− 1)− 0.02588r (t− 1) (2.102)

Se sabe que a partir de (2.102) se tienen que estimar los polinomios de control H, G y E.Para continuar con el analisis, se considera que se trabaja con la estructura de estimacion RLS. Si lo quese quiere es estimar los mismos coeficientes que conforman el polinomio (2.102), el regresor tendrıa laforma:

ϕ1 (t) = [y (t) ,−y (t− 1) , u (t− 1) ,−r (t− 1)] (2.103)

pero lo que se desea no es encontrar P, Q y R sino H, G y E. Considerando la estructura equivalente dela funcion de salida generalizada de la ecuacion (2.92) para el caso F = 1, se tiene:

φ (t) = Hu (t− k) + Gy (t− k) + Er (t− k) + e (t) (2.104)

Se puede observar que la relacion (2.104) incluye a las variables del sistema, pero con configuracion

34


diferente, lo cual resultarıa en un vector regresor diferente a (2.103). Si se reconstruyera (2.104) a partirde los polinomios costo estimados, considerando (2.88) y luego (2.94) se tendrıa:

φ (t) = h0u (t− 1) + h1u (t− 2) + g0y (t− 2) + g1y (t− 3) + e0r (t− 1) (2.105)

considerando un proceso de estimacion RLS, el vector de regresion necesario para estimar los polinomiosde control tendrıa la forma:

ϕ2 (t) = [u (t− 1) , u (t− 2) , y (t− 2) , y (t− 3) , r (t− 1)] (2.106)

Lo que resulta adecuado en el diseno del control, repercute en el proceso practico de estimacion. Pues sise estiman los polinomios de control de (2.102) se requiere aplicar (2.106). De (2.106) se puede observardos cosas; que la estructura del regresor es diferente y que (2.106) es de dimension mayor; es decir, laestimacion de los polinomios de control esta sobredimensionada. Desde el punto de vista de control seespera que la estructura RLS opere como un predictor de orden mınimo, pero desde la perspectiva dela identificacion la estimacion sobredeterminada puede representar un gran problema [85]. En la Figura2-12 se presenta el control del sistema para el Ejemplo 2.4 y el proceso de estimacion involucrado.

En la Figura 2-12a) se observa un desempeno del control satisfactorio, a pesar de que los parametrosestimados varıan como puede observarse en la Figura 2-12b), pero al hacerlo conjuntamente, las relacionesen la ley de control pueden prevalecer constantes sin afectar grandemente el desempeno del sistema enlazo cerrado (ver Figura 2-12a)). Al observar el comportamiento de la estimacion de los parametros decontrol, se concluye heurısticamente que puede haber mas de una solucion valida, pues el comportamientode los parametros de estimacion delata una dependencia lineal, que guarda relacion con la estimacionsobredeterminada.

El GMVC presenta un desempeno satisfactorio en la mayor parte de los casos; sin embargo, habra queconsiderar que la estimacion sobredeterminada representa un riesgo permanente al desempeno del sistemaen lazo cerrado.

Figura 2-12: Control GMVC para el proceso 2.98.

35


2.9. Acerca del controlador predictivo generalizado (Clarke)

El controlador predictivo generalizado (GPC) fue propuesto por Clarke [22] y fue presentado como un“sucesor natural” del GMVC [23]. Ambos algoritmos comparten algunas propiedades estructurales, comola minimizacion de una funcion costo que moldea el desempeno del sistema y el manejo de un horizontede prediccion [8].Segun Clarke, el GPC permite sortear algunos de los problemas mas comunes a los que se enfrenta unSTR, como son; una inadecuada eleccion de orden del sistema y las posibles variaciones en el retardo delmismo. Una vez propuesto el GPC, el autor practicamente deja de lado desarrollos posteriores sobre laestructura de control propuesta en 1975 y se enfoca de lleno en el estudio del GPC; sin embargo, y comose podra observar en el Capıtulo 3, ha habido un resurgimiento del interes sobre el GMVC durante laultima decada. Dos caracterısticas que pueden resaltarse sobre el GMVC son:

Su caracter predictivo,

La minimizacion de la varianza de la salida generalizada bajo la rectorıa de una funcion costo.

En el siguiente capıtulo se presenta una propuesta de control asociada al GMVC. Para la sıntesis del algo-ritmo propuesto se considero que el caracter predictivo del algoritmo de Clarke, no tenıa una contribuciondeterminante al desempeno del controlador, ya que el horizonte de prediccion es de orden mınimo. Estaconsideracion llevo a una modificacion en la que desaparece del algoritmo propuesto la etapa de predic-cion y se lleva a cabo una reestructuracion algorıtmica que permite al GMVC pasar de su tradicionalestructura implıcita a una explıcita.Dicha modificacion oriento el desarrollo del trabajo de tesis hacia una vertiente diferente al del GPC,pues en este ultimo existe un horizonte de prediccion que puede ser construido de diferentes formas ydimensiones [21], permitiendo el manejo de cierto nivel de incertidumbre sobre el proceso (y consecuente-mente sobre el desempeno del sistema), mientras que en la modificacion del GMVC, el objetivo principales asegurar un nivel de desempeno en la salida, reduciendo la incertidumbre mediante la anexion de unaetapa de inicializacion y otra de supervision. Por lo anteriormente expresado se considero oportuno com-parar al algoritmo propuesto en este trabajo, con el algoritmo original GMVC y el STPAC de Wellstead(como podra apreciarse en el Capıtulo 3), sin considerar dentro del marco de pruebas al GPC.

36

Capıtulo 3

Controlador de varianza mınimageneralizado con asignacion dinamica depolos

3.1. Introduccion

A pesar de que la formulacion original del GMVC incorporo propuestas de control innovadoras, es impor-tante mencionar que este algoritmo presenta un conjunto significativo de limitaciones practicas. Comopuede apreciarse en la seccion 2.8, los polinomios costo de la funcion de salida generalizada φ, debendisenarse fuera de lınea y aunque estos pueden proponerse de varias formas (lo cual implica flexibilidad),se requiere que el disenador tenga cierto conocimiento sobre el proceso a controlar (lo cual implica depen-dencia). Ademas si el proceso es susceptible a perturbaciones en los parametros, el desempeno general delsistema controlado podrıa degradarse con respecto a las proyecciones iniciales de desempeno, pudiendoen algunos casos llegar a poner en entredicho la estabilidad del lazo cerrado. De tal forma que el GMVCpuede usarse adecuadamente y con buenos resultados en aplicaciones particulares, donde existe suficienteinformacion del proceso, pero no se pueden tener amplios margenes de confiabilidad cuando se tiene pocainformacion del proceso, como serıa el caso que tienen que enfrentar los controladores industriales decampo.

A pesar de las desventajas mencionadas, los niveles de desempeno (suboptimos) ofrecidos por el GMVC,posicionan a este controlador como una opcion muy atractiva. Un intento por sortear las desventajasanteriormente mencionadas se presento por primera vez en [1]; sin embargo, el algoritmo en cuestiondepende de la propuesta arbitraria de los polinomios costo y presenta serios problemas de convergencia[82].

En [51], se encuentra una alternativa para solucionar el problema de la inicializacion de parametrosmediante una modificacion en el diseno del controlador; en esta propuesta los parametros del control nose estiman de la funcion de salida generalizada, sino que se calculan a partir de una estimacion de senalesprefiltradas asociadas a los parametros de la planta.

En anos recientes, el interes sobre el GMVC se ha incrementado, lo cual se puede atestiguar al encontraren la literatura un creciente numero de modificaciones, extensiones y aplicaciones de dicho algoritmo, acontinuacion se presentan algunos de los casos mas representativos:

Interaccion con otras estructuras de control [52], [89],

Extension al caso multivariable [37],

Extension a sistemas lineales variantes en el tiempo [43], [49],

37

3. Controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos

Analisis de robustez [50],

Aplicaciones industriales varias [73], [88],[58],

y recientemente

Extension al caso no lineal [28].

Si se desea que los polinomios costo P y Q de φ (t) , se disenen para lograr una asignacion de polosdeterminada, se dice que se tiene un controlador de varianza mınima generalizado con asignacion depolos (GMVPAC). Entonces los polinomios costo se obtienen de la solucion de la ecuacion diofantina:

BP + AQ = T (3.1)

donde T es la asignacion deseada de los polos.El GMVPAC tiene dos problemas importantes que enfrentar. El primero se debe a que la estructurade diseno del controlador fuerza una estimacion sobreparametrizada, tal como se comento en la seccion2.8, provocando a su vez una inconsistencia estructural; es decir, aunque pudiera haber identificabilidadparametrica no hay garantıa de que los parametros identificados sean los “verdaderos”. Lo cual repercutedirectamente en que la relacion (3.1) no sea satisfecha. El segundo problema surge incluso suponiendoque los parametros estimados son los correctos, pues si existe perturbacion en los parametros y en algunmomento de la elecucion del control, estos son diferentes a los usados en el diseno original de los polinomioscosto, nuevamente la ecuacion (3.1) no llegara a satisfacerse.Una posible alternativa para calcular de forma autonoma los polinomios costo en funcion de una asig-nacion deseada de polos, y actualizar la ley de control en presencia de perturbaciones parametricas,se presenta en el diagrama a bloques de la Figura 3-1. Como puede observarse, se requiere una dobleestimacion y no se soluciona el problema de la estimacion sobreparametrizada, haciendo necesaria labusqueda de soluciones alternas.

Figura 3-1: GMVPAC modificado para enfrentar incertidumbres parametricas.

38

3.2 El controlador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos

En la busqueda de una mejor solucion se desarrollo un algoritmo de control que comparte con el STPACla estimacion de la planta y con el GMVC la estructura de control, el cual se explicara a detalle en lasiguiente seccion.

3.2. El controlador de varianza mınima generalizado con asignaciondinamica de polos

Con la intension de superar las principales inconveniencias del GMVC, en esta seccion se propone unaestructura de control, que se basa en el desarrollo de un controlador GMVC cuyos polinomios costose disenan en relacion con una asignacion deseada de polos. La solucion denominada controlador devarianza mınima generalizada con asignacion dinamica de polos, consiste en la reconfiguracion de laarquitectura implıcita del GMVC, utilizando la estructura de diseno subyacente descrita en la seccion2.8, para convertirla en explıcita, ademas de anadir el recalculo en lınea de la ubicacion de polos paracontemplar los casos de perturbacion parametrica, todo dentro de un esquema con mayor eficienciacomputacional a la estructura presentada en la Figura 3.1. A continuacion se presenta una sıntesis delalgoritmo propuesto.

Algoritmo 3.1. GMVDPAC.

En un tiempo t

Paso 1. Usando RLS estimar los polinomios del proceso A, B y C.

Paso 2. Calcular P y Q de:BP + AQ = T

Paso 3. Con P y Q calcular directamente los parametros del controlador H, G y E de;

PC = FA+ z−KGH = BF +QC

E = −CR

donde R se obtiene para lograr el seguimiento a la referencia de la aplicacion del teorema del valor final

BR

PB +QA|z=1= 1

Paso 4. Con los polinomios de control calculados se aplica la ley de control

Hu (t) = −Gy (t)− Er (t)

Paso 5. Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1.

En la Figura 3-2 se presenta la estructura del GMVDPAC dentro de un esquema adaptable.

Al estimar la planta, en vez de los polinomios de control se soluciona el problema de sobreestimacion enel GMVC, ademas de que el sistema se hace mas sensible. La inclusion de los pasos 1 y 2 en el algoritmoa su vez permiten actualizar la ley de control en presencia de perturbaciones parametricas.

La sıntesis del controlador en el GMVDPAC se realiza directamente, de esta forma se evita estimar H,G y E de φ (t). La idea para calcular estos polinomios, en lugar de estimarlos tambien se utiliza en [51],aunque de diferente forma. En la Figura 3-3 se presentan las principales caracterısticas principales delGMVDPAC y su relacion con los algoritmos STPAC y GMVC.

39


Figura 3-2: Control GMVDPAC.

Figura 3-3: Sıntesis del GMVDPAC a partir del STPAC y GMVC.

40


Ejemplo 3.1. Con el fin de ejemplificar la aplicacion del algoritmo y analizar sus propiedades se presentala funcion de transferencia de la planta

G (s) =1

s2 + 2s+ 1e−0.1s (3.2)

Aplicando una discretizacion con un retenedor de orden cero, con un periodo de muestreo h=0.1 segundosy anadiendo una perturbacion, el sistema (3.2) se puede expresar como la ecuacion diferencia

y (t) = 1.80967y (t− 1)− 0.81873y (t− 2) + 0.0046788u (t− 2) + 0.004377u (t− 3) + e (t) (3.3)

Se contemplan las siguientes condiciones de simulacion:

Varianza de la perturbacion de 0.0000123, la cual al interactuar con la dinamica del sistema provocaque la salida tenga variaciones sobre la referencia de aproximadamente 10%,

Una covarianza inicial Px0=100I, donde I es la matriz identidad,

Un factor de olvido λ=0.99,

Un tren de pulsos cuadrados de amplitud 2 como la referencia r.

De la ecuacion (3.3) se puede establecer que los valores a los cuales el sistema debe converger son:

θ = [θ (0) , θ (1) , θ (2) , θ (3) , θ (4)] = [1.81, 0.8187, 0.004679, 0.004377, 1.0] (3.4)

Tras 2000 iteraciones los parametros de estimacion son

θf =hθf (0) , θf (1) , θf (2) , θf (3) , θf (4)

i= [1.8099, 0.81869, 0.0046789, 0.004377, 0.9999] (3.5)

Para este caso se disena la asignacion de polos para 10.7% de sobreimpulso maximo como

T = z2 − 1.88z + 0.8896 (3.6)

En la Figura 3-4, se presenta una comparacion entre el lazo abierto y el sistema en lazo cerrado con laubicacion de polos (3.6). Para la asignacion de polos definida y considerando (3.3), se tienen los polinomioscosto:

P = −8.6058z + 8.6665 y Q = 1.040266 (3.7)

41


Figura 3-4: Comparacion del sistema en lazo abierto y la respuesta deseada demarcada por la ecuacion 3.6.

Figura 3-5: a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con un GMVDPAC, b) Senal decontrol.

En la Figura 3-5a) se presenta el seguimiento de la referencia por la salida del proceso. Se puede observarque el sistema obedece a la senal de control solo despues de unos pocos segundos, lo cual se debe alproceso de estimacion, como se puede ver en la Figura 3-6.

42


Figura 3-6: a) Evolucion de los parametros de estimacion en funcion del tiempo, b) Desempeno de la traza de lamatriz de covarianza.

La traza de la matriz de covarianza puede considerarse como una medida de confiabilidad en la estimacion.La identificabilidad esta en riesgo si la magnitud de la traza de Px crece sin cota. En la Figura 3-6b) semuestra que la traza del proceso de estimacion se mantiene alrededor de un valor constante.

A continuacion se resumen las ventajas fundamentales de la estructura a la que se ha denominadocontrolador de varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos (GMVDPAC).

No se requiere inicializacion de los polinomios costo,

Los polinomios costo se actualizan en lınea en funcion de los parametros estimados de la planta (locual es beneficioso si los parametros sufren perturbaciones),

El sistema de control permite la asignacion dinamica de polos, lo cual disminuye considerablementefluctuaciones en el desempeno dinamico del lazo cerrado,

Los margenes de estabilidad en el GMVDPAC se modifican en lınea para enfrentar posibles per-turbaciones en los parametros del proceso (lo cual se revisa en secciones subsecuentes),

El GMVDPAC es algorıtmicamente eficiente tanto en tiempo de ejecucion, como en espacio.

Desde la perspectiva del analisis algorıtmico el GMVDPAC es mas simple (Figura 3-2) que la propuestade la modificacion al GMVC presentada en la Figura 3-1, ya que esta requiere de 2 estimaciones recursivasde parametros y una solucion de una ecuacion diofantina en lınea, mientras que el GMVDPAC lleva acabo una estimacion en lınea y la solucion de 2 ecuaciones diofantinas. Si se parte del hecho de que unaestimacion basada en mınimos cuadrados recursivos requiere de:

32n3 − 17n2 − 3 (3.8)

operaciones computacionales (flops, operaciones de puntos flotantes), donde n es el orden del proceso ypara resolver una ecuacion diofantina con ayuda de la matriz de Sylvester se requieren:

43


18n3 − 10n2 − 1 (3.9)

pasos, ya que el resultado (3.8) es mayor que el (3.9) (y esta diferencia se hace mayor conforme naumenta), el GMVDPAC requiere de menos operaciones de computo que el algoritmo presentado en laFigura 3-1.

3.3. Estabilidad del controlador de varianza mınima generalizado conasignacion dinamica de polos (GMVDPAC)

Cuando la seleccion de los polinomios costo se lleva a cabo bajo el criterio de asignacion de polos, laidentidad:

PB +QA = T (3.10)

es necesaria para la obtencion de los polinomios P y Q.El diagrama a bloques de la Figura 3-7, representa conceptualmente el control GMVPA cuando lospolinomios costo se obtienen de (3.10) para una asignacion de polos determinada.

Figura 3-7: Diagrama a bloques conceptual del GMVPAC

La reducion del diagrama a bloques de la Figura 3-7, provee la funcion de transferencia:

GLC =BQ

PB +QA(3.11)

El enfoque del algoritmo original GMVC propuesto por Clarke [19], esta orientado a sistemas linealesinvariantes en el tiempo y no contempla incertidumbres parametricas; es decir, que el diseno de estecontrolador asume que los parametros del proceso no tienen variaciones, por lo que los polinomios costoP y Q son constantes durante el proceso de control. De (3.11) se puede suponer que si A y B son lospolinomios de un sistema lineal invariante en el tiempo con incertidumbres parametricas y durante elproceso de control los parametros de la planta sufren una desviacion con respecto a los originales, laidentidad (3.10) no se cumplira.

3.4. Analisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundoorden

La eleccion de los polinomios costo en el GMVPAC guarda una estrecha relacion con la estabilidad delsistema, ya que estos delimitan la zona en la que los parametros del modelo lineal pueden variar sinprovocar la inestabilidad en lazo cerrado. Un caso representativo que permite apreciar claramente estefenomeno de forma grafica, es el control de procesos que pueden representarse como un modelo lineal desegundo orden cuando nT=2.

44

3.4 Analisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden

Las estructuras de segundo orden son un caso muy representativo del control de procesos industriales.Es una recomendacion comun en la implementacion de STR’s, la anexion de una etapa de filtrado parapoder manipular el proceso con una dinamica dominante de segundo orden.Aunque el controlador tiene una estructura discreta en su implementacion, solo para fines del analisis deestabilidad se emplea un equivalente continuo.

Lema 3.1. Dada la planta en lazo abierto:

G(s) =K

s2 + a1s+ a2(3.12)

y un controlador GMVPAC cuyos polinomios costo son de la forma:

P (s) = p0s+ p1 (3.13)

Q (s) = 1

y asumiendo el parametro K fijo en la ecuacion (3.12), entonces, la zona de estabilidad de la planta(3.12) ante perturbaciones en los parametros a1 y a2, en lazo cerrado con el controlador definido por lospolinomios costo (3.13), es la zona E cuyas fronteras estan definidas por:

∂a1 = −p0K∂a2 = −p1K

en el espacio de parametros a1 − a2 (ver Figura 3-8).

Figura 3-8: Zona de estabilidad definida en funcion del polinomio costo P.

Prueba: Se tiene una planta de la forma:

B (s)

A (s)=

K

s2 + a1s+ a2(3.14)

Para (3.14) n=2, de lo que nA = n y nB = n− 2, se disena un controlador GMVPAC donde nT = n, sise tiene que nP = n− 1 y nQ = n− 1, entonces los polinomios costo P y Q pueden expresarse como:

P (s) = p0s+ p1 (3.15)

Q(s) = q0s+ q1

45


Si al utilizar el GMVPAC, se supone que:

A=A, B=B, C=C (3.16)

entonces:

P (s) B (s) +Q (s) A (s) = T (s) (3.17)

donde T es el denominador del sistema en lazo cerrado y representa la asignacion deseada de los polos.

Entonces el polinomio caracterıstico en lazo cerrado es:

T (s) = (sp0 + p1K) +¡s2 + a1s+ a2

¢(sq0 + q1) (3.18)

si se reduce algebraicamente (3.18), se tiene:

T (s) = s3q0 + s2 (q1 + a1q0) + s (p0K + a1q1 + a2q0) + p1K + a2q1

nT = 2 =⇒ q0 = 0

finalmente

T (s) = s2q1 + s (p0K + a1q1) + p1K + a2q1 (3.19)

si T (s) es monico, q1 = 1.

Sabiendo que el polinomio denominador en lazo cerrado es:

s2 + s (p0K + a1) + p1K + a2 (3.20)

Y ya que (3.14) no contempla retardos en el transporte, se obtiene un calculo de las fronteras de estabilidada partir del criterio de Routh aplicado a (3.20):

s2 1 p1K + a2s1 p0K + a1s0 p1K + a2

(3.21)

para que el sistema en lazo cerrado sea estable, es condicion necesaria y suficiente que:

p0K + a1 > 0 (3.22)

p1K + a2 > 0

de lo que se deduce que el rango de estabilidad se define por:

∂a1 > −p0K (3.23)

∂a2 > −p1K

donde ∂ es utilizado aquı para indicar la frontera de estabilidad dada y la Lema 3.1 esta probada.

¤A continuacion se presenta un ejemplo para ilustrar el Lema 3.1

Ejemplo 3.2. Suponga el circuito RLC de la Figura 3-9.

46

3.4 Analisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden

Figura 3-9: Circuito RLC.

Si los valores de los elementos estan dados por: L=8.4572 Henrios; C=.004523 Faradios; R=69.02119Ohmios.

Ya que la funcion de transferencia definida para el circuito de la figura es:

Eo (s)

Ei (s)=

1/LC

s2 +R/Ls+ 1/LC(3.24)

La funcion de transferencia para este caso es:

G(s) =26.14

s2 + 8.161s+ 26.14(3.25)

Suponga que se desea tener una dinamica del sistema en lazo cerrado, tal que:

T = s2 + 3.68s+ 9.688 (3.26)

Si se considera un GMVPAC, los polinomios costo continuos estan dados por:

P (s) = −0.1714157999s− 0.62941652 (3.27)

Q (s) = 1 (3.28)

Entonces puede mostrarse la zona de estabilidad en la Figura 3-10.

Figura 3-10: Zona de estabilidad para el ejemplo 6.

La solucion discreta para la ecuacion (3.12) es:

P (z) = −2.597z + 1.7988 (3.29)

Q (z) = 1.25784

47


Considerando (3.29) se simulo el control para (3.25) bajo las siguientes condiciones:

Matriz de covarianza inicial Px = 100I,

Factor de olvido exponencial λ =0.98,

Estimados iniciales θ0 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) ,

Varianza del vector de perturbacion V(e (t)) = 1× 10−5.

La amplitud de la varianza es arbitrariamente pequena, para que la respuesta dinamica propuesta porT sea evidente. En la Figura 3-11, se representa la respuesta a la referencia y la senal de control delGMVPAC.

Figura 3-11: a) Seguimiento a la referencia b) Senal de control.

Suponga ahora que hay una variacion en el valor nominal de la resistencia, tal que: R=37.5; de (3.24)los nuevos coeficientes del sistema son a∗1 =4.434 y a∗2 =26.14. Este cambio en la resistencia provocaque los coeficientes del sistema queden fuera de la zona de estabilidad, definida por los polinomios costodisenados originalmente para (3.25). En la Figura 3-12 se presenta el comportamiento del sistema cuandoR cambia.

48

3.5 Estabilidad del GMVDPAC

Figura 3-12: GMVPAC ante el cambio de resistencia.

El desempeno mostrado en la Figura 3-12, remarca la limitacion del algoritmo propuesto por Clarke,donde los polinomios P y Q se disenan de acuerdo a (3.10) (GMVPAC) cuando existen perturbacionesen los parametros.

¤A continuacion se revisa la zona de estabilidad asociada al algoritmo propuesto GMVDPAC.

3.5. Estabilidad del GMVDPAC

Gracias a que los polinomios costo no son propuestos fuera de lınea y no pierden vigencia debido a que sonrecalculados permanentemente, las posibles perturbaciones en los parametros pueden ser consideradas enel diseno, permitiendo ası, que el sistema permanezca estable en lazo cerrado (siempre que los parametrosde estimacion converjan a los verdaderos). De lo anterior se puede decir que el GMVDPAC modifica laszonas de estabilidad para permitir la operacion segura del sistema ante perturbaciones en los parametros.A continuacion se presenta un Teorema que describe dicho fenomeno.

Teorema 3.1. Para una planta con funcion de transferencia de lazo abierto G(s):

G (s) =K

s2 + a∗1s+ a∗2(3.30)

en la cual los parametros a∗1 y a∗2 estan sujetos a perturbaciones del tipo:

a∗1 = a1 +∆a1 y a∗2 = a2 +∆a2 (3.31)

si se aplica el GMVDPAC a esta planta, entonces la coordenada (a∗1, a∗2) permanece dentro de la zona deestabilidad dada por las fronteras:

49


∂a1 = a∗1 − t1 (3.32)

∂a2 = a∗2 − t2

donde t1 y t2 son los coeficientes del polinomio de asignacion de polos:

T (s) = s2 + t1s+ t2 (3.33)

Prueba: Considere incertidumbres en el siguiente polinomio denominador:

A∗ (s) = s2 + (a1 +∆a1) s+ (a2 +∆a2) (3.34)

donde ∆a1,∆a2 son perturbaciones aditivas en los parametros a1, a2, definiendo lo siguiente:

a∗1 = a1 +∆a1 y a∗2 = a2 +∆a2 (3.35)

Entonces el polinomio en lazo cerrado es de la forma:

T (s) = s2 + s (p0K + a∗1) + p1K + a∗2 (3.36)

Cuando existe incertidumbre en los parametros se tiene que:

a∗1 6= a1 y a∗2 6= a2 (3.37)

En el GMVPAC los polinomios costo se obtienen fuera de lınea a partir de la solucion de la matriz deSylvester. Bajo el GMVPAC el calculo de los polinomios costo correspondientes se lleva a cabo con a1 ya2, no con a∗1 y a∗2; esto implica que las perturbaciones ∆a1 y ∆a2 pueden ocasionar que el par (a∗1, a∗2)este fuera de la zona de estabilidad dada por las fronteras del Lema 3.1. El calculo de los polinomioscosto resulta en:

q1q0p1p0

=

10

− 1Ka2 +

1K t2

− 1Ka1 +

1K t1

(3.38)

donde, los parametros t1, t2 son los correspondientes al polinomio deseado:

T (s) = s2 + t1s+ t2 (3.39)

Por su parte en el GMVDPAC, el calculo de los polinomios costo se realiza en lınea a partir de A yB (suponiendo la convergencia en la estimacion). Bajo este esquema, si existen perturbaciones en losparametros del sistema, el algoritmo recalcula los polinomios costo correspondientes a los parametrosperturbados una vez que a∗1 y a∗2 se han estimado, por lo que es posible asumir:

a∗1=a1 y a∗2=a2 (3.40)

y los polinomios costo correspondientes para estos parametros estan dados por:q1q0p1p0

=

10

− 1K a2 +

1K t2

− 1K a1 +

1K t1

(3.41)

50


Se sabe del Lema 3.1, que las fronteras de estabilidad para los parametros del proceso estan dadas por:

∂a1 = −p0K y (3.42)

∂a2 = −p1K

Sustituyendo los parametros dados por (3.41) en (3.42) se tiene que:

a1 = −µ− 1Ka∗1 +

1

Kt1

¶K (3.43)

a2 = −µ− 1Ka∗2 +

1

Kt2

¶K

Por lo que simplificando en (3.43) se obtiene:

a1 = a∗1 − t1 (3.44)

a2 = a∗2 − t2

De (3.55) se puede observar que si el polinomio T (s) cumple la condicion de Stodola, las fronteras de laestabilidad del GMVDPAC envuelven a la coordenada (a∗1, a∗2), tal como puede apreciarse en la Figura3-13.

Figura 3-13: Estabilidad del GMVDPAC.

Observacion 3.1. Las magnitudes de ∆a1, ∆a2 estan limitadas en la practica por la capacidad delos actuadores y sensores; es decir, que aunque algoritmicamente es posible ampliar la zona deestabilidad indefinidamente, la senal de control podrıa alcanzar la saturacion en algun punto.

Sustituyendo el controlador empleado en el Ejemplo 3.2 por un GMVDPAC, puede observarse en laFigura 3-14 que cuando ocurre el cambio de resistencia, el lazo cerrado permanece estable, a diferenciade cuando se aplica el GMVPAC (ver Figura 3-12), esto debido a que la ley de control se actualiza enpresencia de la perturbacion.

51


Figura 3-14: Control GMVDPAC ante el cambio de resistencia.

¤

3.5.1. Asignacion dinamica de polos

En las secciones anteriores se han revisado algunos aspectos que guardan relacion con la estabilidaddel GMVDPAC. Otra cualidad relevante del GMVDPAC, es la capacidad que el controlador posee enlo dinamico para sobreponerse a perturbaciones. Suponga ahora que existe una perturbacion en losparametros; si (3.34) es considerado en:

BP +QA∗ (3.45)

donde A∗ es el polinomio de los parametros perturbados, considerando el diseno original, el sistema enlazo cerrado tendrıa la forma:

s2 + t1s+ (sa∗1 − sa1) + t2 + (a

∗2 − a2) (3.46)

por lo que cuando (3.36) se cumple, en el GMVDPAC se cumple la asignacion de polos

BP +QA∗ = T (3.47)

Para revisar lo anterior en un caso real, el control propuesto para el circuito RLC del Ejemplo 3.2 fueimplementado en la practica, considerando una variacion en el valor de la resistencia en el segundo 30,con el fin de generar una incertidumbre parametrica.

En la Figura 3-15 se presenta el efecto de dicha variacion, cuando se aplica el GMVPAC, como puedeobservarse la respuesta dinamica se desvıa del objetivo original. En la Figura 3-16 se presenta el fun-cionamiento del GMVDPAC y se observa que la variacion de R es compensada por la senal de controlpara preservar el comportamiento delimitado por el polinomio T de consigna.

52


Figura 3-15: Control GMVPAC.

Figura 3-16: Control GMVDPAC.

53


54

Capıtulo 4

Sistema de soporte al controlador

4.1. Introduccion

Uno de los principales objetivos de la tesis es la operacion autonoma del controlador. En este capıtulose presenta el procedimiento desarrollado para proveer de arranque autonomo al controlador adaptablepresentado en el Capıtulo 3. Ademas se expone el desarrollo de un controlador, usado para reemplazaral control adaptable en caso de que este ultimo presente comportamientos poco satisfactorios. El controldesarrollado en la tesis denominado GMVDPAC, presentado en el Capıtulo 3, es una estructura con altosniveles de confiabilidad, por lo que la inclusion de un control de respaldo busca principalmente expandir losmargenes de autonomıa del sistema. Del control de respaldo a su vez, se espera que sea capaz de mantenerun nivel de desempeno aceptable, ante un amplio espectro de condiciones de operacion. Tambien en estecapıtulo se presenta el sistema de supervision desarrollado para monitorear el desempeno del sistema ensu conjunto capaz de tomar decisiones de configuracion del sistema.

Figura 4-1: Bosquejo del algoritmo de inicializacion.

55

4. Sistema de soporte al controlador

El procedimiento de inicializacion se lleva acabo previamente a la accion de control. Como primer pasode la inicializacion, el sistema excita al proceso en lazo abierto, para obtener las senales de entrada ysalida del proceso, con el fin de ejecutar procedimientos RLS con modelos internos de diversos ordenes.De los procedimientos de estimacion recursiva se almacenan tanto las soluciones, como algunos aspectosdel desempeno del propio estimador. Con la informacion recabada durante el proceso de estimacion serealiza un analisis (el cual se describe en la siguiente seccion), para obtener las variables de inicializacionnecesarias para el control autonomo. En la Figura 4-1 se bosqueja el proceso de inicializacion y se muestrasu vınculo con el proceso de sintonıa del control de respaldo.

4.2. Inicializacion

En el Capıtulo 1 se mencionan brevemente otras tecnicas de inicializacion, como la desarrollada por Lundhy Astrom [46] basada en el analisis en frecuencia y la interpretacion heurıstica. En [46] se aprovechan lassenales de entrada y salida del sistema (producto de un proceso de autosintonizacion cuando se aplica unrelevador realimentado) para proveer de la informacion necesaria al sistema de arranque del controladorautosintonizable mediante la interpretacion heurıstica del analisis espectral resultante. La limitacion dela tecnica de dicho metodo, es que es funcional solo para procesos asintoticamente estables.Por otro lado, en el Capıtulo 2 se abordan algunos aspectos de la naturaleza lineal de los RLS, como lacondicion de que los procesos a estimar no tuvieran raıces comunes en el numerador y el denominador delmodelo del proceso. Como ya se comento en el Capıtulo 2, la no unicidad de la solucion guarda relacioncon la excitacion persistente y con el sobredimensionamiento del modelo de estimacion. Dicha situacionrepresenta una inconveniencia de la estimacion RLS; sin embargo, en un cambio de perspectiva, estasituacion se aprovecha por el metodo de inicializacion propuesto en este trabajo. En [85],[86] se descri-be un fenomeno que sucede en la estimacion RLS cuando el modelo interno esta sobreparametrizado,consistente en la tendencia de colocar pares de polos y ceros en la misma posicion para compensar elsobredimensionamiento, y minimizar el residuo. Basados en tal premisa cuando se aplica RLS, puedeemitirse un diagnostico aproximado acerca de si el sistema de estimacion esta sobredimensionado con-siderando la evolucion del RLS durante la estimacion, por lo que si la estimacion esta sobredeterminadadebido a que el orden del modelo interno fue elegido de orden mayor al “real”, el modelo estimado notendra caracter coprimo ni unicidad en la solucion (ver Capıtulo 2). Este fenomeno en los RLS inspiro unproceso de inicializacion que basa su funcionamiento en un sistema experto que discrimina entre modelosinternos a partir del fenomeno mencionado.En la practica diversas situaciones pueden provocar que el desempeno de un proceso de estimaciontenga variaciones en relacion con el comportamiento esperado, en este sentido Narendra menciona en[54]: “Me gustarıa anadir a este escenario que en 30 anos durante los cuales fueron llevadas a cabosimulaciones extensivas ¡rara vez me he topado con situaciones (exceptuando ejemplos muy simples)donde los parametros convergen a los valores verdaderos!, incluso cuando la entrada de referencia esPE (excitada persistentemente), los parametros convergen tan lentamente que para fines practicos no lohacen. Uno de los hechos sorprendentes es que a pesar de esto el error de salida del sistema dinamicotiende a 0”. Por lo anterior para los fines del desarrollo de la estructura de inicializacion presentadaen este capıtulo, cobra relevancia el comportamiento cualitativo ante el cuantitativo en la practica, paraestablecer el sobredimensionamiento de la estimacion, por lo que se considera mas importante la tendenciaa la cancelacion de raıces en el desempeno de la estimacion, que la cancelacion en si, o la inconsistenciade estimacion (que delata la no unicidad de la solucion) que la vigilancia estrecha de los residuos.En las siguientes secciones se presenta la metodologıa propuesta para la inicializacion de las variablesnecesarias para la operacion de la estructura de control, que para el caso del control adaptable persiguela inicializacion de las siguientes variables:

Estructura del modelo de estimacion,

56

4.2 Inicializacion

Parametros de identificacion iniciales, θ0,

Matriz de covarianza inicial, Px0,

Factor de olvido,

Retardo del sistema,

Diseno de asignacion de polos,

Periodo de muestreo.

Y para el caso del control de respaldo, los parametros del controlador.

4.2.1. Seleccion del orden del modelo de estimacion

La eleccion del orden del modelo interno se realiza por medio de un procedimiento mediante el cual seexcita el sistema, almacenando inmediatamente la respuesta y la entrada de excitacion. Con la informaciondisponible, se realiza la estimacion con RLS para los modelos deterministas.

y (t) = a1y (t− 1) + b0y (t− 1) (4.1)

y (t) = a1y (t− 1) + a2y (t− 2) + b0y (t− 1) + b1y (t− 2)y (t) = a1y (t− 1) + a2y (t− 2) + a3y (t− 3) + b0y (t− 1) + b1y (t− 2) + b2y (t− 3)

Solo se utilizan tres modelos de primero, segundo y tercer orden, debido a que la dinamica dominante dela mayorıa de los sistemas puede ser sintetizada con estas estructuras [82] y a la vez evitar un aumentoexcesivo del esfuerzo computacional.

Una vez que se tiene la informacion de las tres estimaciones recursivas se procede a realizar el procesode seleccion. El metodo propuesto es basicamente un procedimiento de discriminacion.

La seleccion depende de cumplir tres criterios, en el orden de precedencia:

Criterio de ubicacion de polos,

Criterio de error,

Criterio de convergencia heurıstica.

Criterio de ubicacion de polos

Si se asume que el sistema a identificar tiene la forma.

G (z) =B (z)

A (z)=

b0zm + b1z

m−1 + ...+ bmzn + a1zn−1 + a2zn−2 + ...+ an

(4.2)

que tambien puede expresarse como:

G (z) =

Kx

mQi=1(z − ci)

nQi=1(z − pi)

,m ≤ n (4.3)

57


Al aplicar RLS, se obtiene el proceso estimado:

G (z) =

Kx

rQi=1(z − ci)

sQi=1(z − pi)

, r ≤ s (4.4)

donde r y s son el orden del numerador y el denominador del modelo de estimacion respectivamente.Si el modelo estimado es consistente [82] y s > n, entonces:

G (z) =

KmQi=1(z − ci)

r−mQi=1

³z − di

´nQi=1(z − pi)

s−nQi=1(z − qi)

,m (r −m) ≤ n (s− n) , di ≈ qi (4.5)

La diferencia entre la posicion del polo y el cero redundante puede definirse como:

∆RLS = |di − qi| (4.6)

RLS asigna los polos y ceros redundantes para capturar la dinamica del sistema, a la vez que el residuoes minimizado. La magnitud de (4.6) esta determinada por el tamano del residuo y la excitacion delsistema. Como ya se menciono, si el sistema esta sobreestimado el modelo estimado no es coprimo. Estacondicion se usa para descartar modelos. Es importante mencionar que (4.5) es un resultado experimentaly que para que se cumpla tiene que existir la excitacion persistente [8]. Si Px se vuelve singular indica lacorrelacion de parametros y al igual que con el criterio de ubicacion de polos se procede a descartar elmodelo. Este metodo no considera, el caso de ceros en el origen del modelo en lazo abierto.

Ejemplo 4.1. Para mostrar el efecto de cancelacion de polos y ceros que se da cuando se usan

RLS con un modelo interno sobredimensionado, se presenta el modelo de un proceso integrador de laforma:

G (s) =1

s(4.7)

Suponiendo un periodo de muestreo de h=0.1 segundos, se tiene el modelo discreto:

G (z) =0.1

z − 1 (4.8)

A continuacion se realiza en simulacion la identificacion RLS, usando los modelos discretos de primero,segundo y tercer orden descritos por la ecuacion (4.1), bajo las siguientes condiciones: λ =0.98, Px0 =1000I, donde I es la matriz identidad y finalmente θ0m1 = (0.5, 0.5) , θ0m2 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5) , θ0m3 =(0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5) , para las identificaciones deterministas RLS de primero, segundo y tercer ordenrespectivamente. En la Figura 4-2a) se presenta la respuesta del sistema a la excitacion de un tren depulsos cuadrados (ver Figura 4-2b)).

58

4.2 Inicializacion

Figura 4-2: Sistema excitado.

El proceso descrito por la ecuacion (4.7), puede utilizarse para representar la posicion angular en motoresde C.D., por lo que la forma de (4.7) es usual en el diseno de servos de posicion. El modelo descrito por laecuacion (4.7), no tiene ciclo lımite en presencia de un relevador realimentado [2], por lo que un metodode inicializacion basado en este principio [46] no puede emplearse. En la Figura 4-3a) se presenta elcomportamiento de los parametros de estimacion con modelo interno de primer orden.

Figura 4-3: a) Comportamiento de la estimacion primer orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determinantede la inversa de la matriz de covarianza

59


En la Figura 4-3b) se observa como despues de un determinado tiempo de ejecucion de la estimacion deprimer orden, la traza de la matriz de covarianza decrece para permanecer despues en un nivel constante,lo cual denota un proceso de estimacion adecuado. La Figura 4-3c) muestra el comportamiento de latraza de la inversa de la matriz de covarianza, el comportamiento de esta variable es una razon cualitativade la independencia lineal de Px, puesto que si det

¡P−1x

¢= 0, el sistema es linealmente dependiente,

mientras det¡P−1x

¢se aleje lo mas posible y de forma regular de 0 puede inferirse que el modelo de

estimacion es el adecuado; se habla de una interpretacion cualitativa, puesto que cuando los parametrosde estimacion convergen a los verdaderos, se asume la convergencia si θ ≈ θ, lo cual implica que existenpequenas diferencias entre los parametros reales y estimados que a su vez impiden que det

¡P−1x

¢sea

exactamente igual a cero, de aquı se vuelve importante la interpretacion, pues si det¡P−1x

¢se acerca a 0

debe sospecharse dependencia lineal. En la Figura 4-4 se presenta el LGR discreto del modelo de primerorden estimado

Figura 4-4: Figura 4.4: LGR del modelo estimado de primer orden.

Cuando se aplica la estimacion LGR utilizando un modelo interno de segundo orden se obtienen losresultados mostrados en la Figura 4-5

En la Figura 4-5a) se observa el comportamiento de los parametros de estimacion, mientras que en laFigura 4-5b) se observa que la traza crece, lo cual muestra una perdida de identificabilidad provocada porla estructura de identificacion sobredimensionada, en la Figura 4-5c) se aprecia que det

¡P−1x

¢es menor

al presentado por la Figura 4-4c) y se observa que es mas cercano a 0. De lo observado en la Figura4-5, se puede sospechar que el modelo esta sobredimensionado. Como ya se menciono, la estimacion RLStiende a superponer polos y ceros cuando la estructura de estimacion esta sobredimensionada, situacionque puede apreciarse en la Figura 4-6 con la redundancia de un polo y un cero.

60

4.2 Inicializacion

Figura 4-5: a) Comportamiento de la estimacion segundo orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determi-nante de la inversa de la matriz de covarianza.

Figura 4-6: LGR del modelo estimado de segundo orden.

De la aplicacion de la estimacion LGR, con un modelo interno de tercer orden, se presenta en la Figura4-7a) el proceso de estimacion en el tiempo, en la Figura 4-7b) se observa que la traza Px crece conformepasa el tiempo, mientras que en la Figura 4-7c) det

¡P−1x

¢se acerca peligrosamente a cero. La sobre-

determinacion del modelo interno es evidente y se confirma con la doble redundancia de polos y cerospresentados en la Figura 4-8.

61


Figura 4-7: a) Comportamiento de la estimacion tercer orden b) Traza de la matriz de covarianza c)

Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

Figura 4-8: LGR del modelo estimado de tercer orden.

De lo observado en el Ejemplo 4.1, se puede deducir que sin la estructura del modelo, pero conociendoel comportamiento de la estimacion de primero, segundo y tercer orden, la estructura de estimacion delcontrol adaptable para el proceso debe ser de primer orden, ya que para las estimaciones de segundo ytercer orden, los polinomios de los modelos estimados no son coprimos.

¤

62

4.2 Inicializacion

Criterio de error

Considerando el residuo del proceso de estimacion esta dado por:

ε (t) = y (t)− ϕT (t− 1) θ (t− 1) (4.9)

La sumatoria del residuo absoluto esta dada por.

εac =xPt=1|ε (t)| (4.10)

donde x es el tiempo definido para la excitacion inicial.

El criterio de ubicacion de polos es suficiente si el sistema que se esta estimando es de primer orden, pueslos modelos estimados de segundo y tercer orden no seran coprimos, (4.10) se usa como un criterio dedesempate si el modelo real es de segundo o tercer orden.

Ejemplo 4.2. El caso presentado en el Ejemplo 4.1 es facil de interpretar, ya que solo un modelo deestimacion interno cubre las condiciones mınimas de identificabilidad. Sin embargo si se asume elmodelo de segundo orden:

G (s) =1

s2(4.11)

el cual es un doble integrador, usualmente utilizado para modelar sistemas de posicion con mınimafriccion, como los usados en manipuladores espaciales o submarinos. Se usa el modelo (4.11) como ejemplo,pues se trata de un modelo de segundo orden que tampoco cuenta con un ciclo lımite.

Al discretizar (4.11) con h = 0.1 segundos se obtiene

G (z) =0.005z + 0.005

z2 − 2z + 1 (4.12)

Para (4.12) solo cuando el modelo interno es de tercer orden existe cancelacion de polos y ceros, lo cuales congruente con lo planteado en esta seccion. En la Figura 4-9 se puede observar dicha cancelacion

Figura 4-9: LGR del modelo de estimacion de tercer orden.

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Tanto el modelo interno de primer orden como el de segundo cumplen con la condicion de que suspolinomios de identificacion sean coprimos. Es aquı donde el criterio de error cobra importancia. Parael caso de primer orden, el error de estimacion acumulado es 1.6714, y para el caso de segundo orden es0.01781; por lo cual, se puede deducir para este caso que el modelo de estimacion interno para el controladaptable debe elegirse como segundo orden

En la practica, una situacion que puede delatar la no unicidad de la solucion, es la variacion extrema oalternancia en el comportamiento de los parametros de estimacion, por lo que se define a continuacionun ultimo criterio de validacion.

Criterio de convergencia heurıstica

El desempeno del procedimiento de estimacion tiene un comportamiento particular cuando es sobreesti-mado, pues el proceso pierde consistencia [82].

Suponga ahora que el vector de estimacion cuando la perturbacion es ruido blanco, es definido como:

θ = [θ0, θ1, θ2, ..., θ2n+1] i = 0, 1, ..., 2n+ 1 (4.13)

de lo cual se tiene que θi puede expresarse como el vector de longitud x :

θi = [θi0, θi1, θi2, ..., θx] (4.14)

Si (4.14) se representa ahora como:θi =

£w1, w2, ..., wx/v

¤(4.15)

donde w1, w2 hasta wx/v son v segmentos de la misma dimension del vector (4.14), denominadas en estetrabajo como ventanas. De tal forma, que se puede decir que hay convergencia (en particular consistencia)heurıstica cuando:

var (w1) > var (w2) > ... > var(wx/v) (4.16)

donde var es la varianza¡σ2¢del vector involucrado.

A continuacion se resume el procedimiento de seleccion de orden del modelo interno, en el siguientealgoritmo:

Algoritmo 4.1. Para la eleccion del orden del modelo de estimacion

Paso 1. Excitar al proceso con un tren de pulsos en lazo abierto y guardar las senales de excitacion.

Paso 2. Con las senales de excitacion, aplicar RLS usando los modelos descritos por la ecuacion (4.1).

Paso 3. Del comportamiento exhibido por los procesos de estimacion definir el orden del modelo internoconsiderando

a) Si solo el modelo estimado de primer orden es coprimo, se elige una estructura de primer orden,

b) Si el modelo de tercer orden es el unico que no es coprimo, se elige el modelo de segundo ordensi su proceso de estimacion es consistente y su error acumulado es el menor,

c) Si todos los modelos estimados son coprimos se opta por un modelo interno de tercer orden sisu proceso de estimacion es consistente y su error acumulado es el menor. En caso de no satisfacer lavalidacion se opta por un modelo de segundo orden.

NOTA: Para la adquisicion de senales debe usarse un filtro pasabajas.

Efectividad del metodo de seleccion de orden

Para medir el nivel de efectividad del proceso de seleccion de orden del modelo interno se realizo unaprueba estadıstica. Debido a que la evaluacion del desempeno del algoritmo de seleccion de orden se

64

4.2 Inicializacion

dificulta en la practica debido a la falta de una referencia, se desarrollaron pruebas en simulacion, ya quees mas facil medir el porcentaje de acierto si se conoce con certeza el orden del proceso.Para la prueba se desarrollo un programa que genera aleatoriamente, funciones de transferencia continuas,cuyo orden del denominador es maximo n=3, mientras que el orden del numerador es maximo n− 1. Porsu parte los coeficientes de la funcion son generados aleatoriamente con valores que varıan en un rangocontinuo entre 0 y 10. Una vez que el modelo es generado, se ejecuta el programa de seleccion de ordenel cual excita inicialmente al modelo con un tren cuadrado de pulsos. Con los datos generados a partirdel proceso de excitacion, el metodo para seleccion de orden realiza una propuesta del orden del modelointerno.Para las pruebas se generaron aleatoriamente 100 procesos, con los que se probo la efectividad delalgoritmo de seleccion de orden teniendo este un porcentaje de acierto del 94%. Los desaciertos estuvieronrelacionados en todos los casos para procesos de tercer orden, en 5 de los 6 desaciertos el sistema propusomodelos de segundo orden, mientras que en el restante, la propuesta fue de primer orden.

4.2.2. Inicializacion de parametros iniciales

Los parametros iniciales del control adaptable se ajustan como los parametros finales (se asume conver-gencia) del procedimiento de estimacion, de la estructura cuyo orden haya sido seleccionada.

4.2.3. Asignacion de polos

La configuracion para definir la asignacion de polos en el sistema autonomo, consiste en una asignacionde primer orden cuando el procedimiento de inicializacion opta por una estructura interna de primerorden, tal que:

τd = 0.7τ (4.17)

es decir, se propone una asignacion de polos que dinamicamente sea 30% mas rapida que en lazo abierto.Para el caso del segundo orden tanto como del tercero, se propone una asignacion deseada de polos desegundo orden que cumpla

tsd = 0.7ts y Mpd = 10% (4.18)

Ambas configuraciones son validas cuando la referencia deseada no supere el 50% del rango maximopermisible de accion de la variable de salida. Si la referencia se ecuentra entre el 50% y el 80% se realizauna evaluacion numerica para la magnitud de la senal de control, para obtener el pico maximo de esta,y se ejecuta un algoritmo que reduce las expectativas en reduccion de tiempo, aplicando incrementos; esdecir, si el tiempo que el sistema pasa en saturacion supera el 30% del tiempo de establecimiento delproceso en lazo abierto, la expectativa del tiempo pasa del 70% al 80% del tiempo de establecimientoen lazo abierto, se evalua nuevamente la respuesta del control, y si se cumple con la condicionante seconserva la propuesta de asignacion de polos. Este proceso se repite con intervalos definidos hasta cumpliruna asignacion de polos necesaria. El inicializador tambien considera el ajuste manual de la asignacionde polos mediante el diseno de la respuesta dinamica deseada.Los criterios utilizados para el diseno de los polinomios de asignacion de polos se proponen como unarelacion heurıstica entre el comportamiento del actuador, la referencia y la ganancia de lazo abierto delproceso. Debido a la dificultad que representarıa obtener una relacion generalizada que se adaptara acualquier rango de actuacion, se eligio el estandar ISA de 4 a 20mA.Si suponemos que usamos un controlador cuyas entradas y salidas estan normalizadas dentro del estandarde 4 a 20mA podemos suponer una ganancia unitaria. Con fines ilustrativos se utiliza un proceso particularcon dos polos en -1, lo cual resulta en un tiempo de establecimiento de 5.84 (usando la funcion settling timede Matlab). Suponiendo un tope para la senal de actuacion equivalente al 90%, tenemos un maximo de18.4 mA (si se restan los 4mA del inicio del rango se tendrıan 14.4mA como tope de actuacion). Tomandocomo referencia 14.4mA como maximo valor neto posible al actuador, podemos establecer en funcion de

65


porcentaje del rango, los maximos valores de actuacion para diferentes tiempos de establecimiento enlazo cerrado (Ver Figura 4-10).

Figura 4-10: Multiplo valor porcentual en el actuador.

En la Figura 4-10 se exploran la senales maximas de control cuando se requiere alcanzar porcentajesque van desde 0.2 hasta 3 veces el tiempo de establecimiento. Para lograr que la senal de control nollegue al tope del actuador, es necesario disenarla para que el tiempo de establecimiento en lazo cerradosea muchas veces mas lento que en lazo abierto. Observando la Figura 4-10, podemos observar que 0.7del tiempo de establecimiento en lazo abierto como propuesta inicial, puede llegar a tener un maximoporcentual de la senal de control del 200%, esto significa que teniendo la senal de control saturada (verFigura 4-11), el controlador solo estarıa en saturacion el 17% del tiempo de establecimiento de la planta,lo cual vuelve a este criterio una alternativa viable para el diseno de asignacion de polos.

Figura 4-11: Senal de control saturada

66

4.2 Inicializacion

4.2.4. Seleccion del periodo de muestreo

Para sistemas asintoticamente estables el periodo de muestreo se calcula como:

h =ts50

(4.19)

4.2.5. Factor de olvido

La eleccion del factor de olvido modifica de forma fundamental el comportamiento de la matriz decovarianza Px, como esta es una variable de supervision (como se vera mas adelante) se opta por unfactor de olvido λ constante de 0.99.

4.2.6. Matriz de covarianza

La matriz de covarianza se debe inicializar segun [82], como:

Px0 = KcovI (4.20)

donde Kcov debe elegirse entre 100 y 1000 si el conocimiento del proceso es escaso y entre 1 y 10 si hayinformacion sobre el sistema. Gracias al proceso de inicializacion se opta por Kcov = 10.

4.2.7. Deteccion del retardo

El valor del retardo se obtiene directamente de la salida del sistema en lazo abierto, contando los muestreoshasta obtener una respuesta del sistema una vez que una entrada de excitacion se ha aplicado (Figura4-12).

Figura 4-12: Obtencion del retardo del sistema.

Wn es la amplitud de la variacion de la salida del proceso con entrada 0. El conteo de muestreos se realizahasta:

y > max (Wn) (4.21)

El numero de muestreos contabilizados se denomina k.La reduccion del costo computacional es muy importante. Para evitar un incremento en la dimension dePx, cuando el regresor esta definido por:

ϕ (t− 1) = [−y (t− 1) ...− y (t− n) , u (t− 1) ...u (t− n) ...e (t− 1) ...e (t− n)] (4.22)

67


cuando k > 0 se redefine el regresor como:

ϕ (t− 1) = [−y (t− 1) ...− y (t− n) , u (t− 1− k) ...u (t− n− k) ...e (t− 1) ...e (t− n)] (4.23)

4.2.8. Excitacion de procesos inestables

El proceso de inicializacion en simulacion es completamente funcional, tanto para sistemas estables comoinestables; sin embargo, en la practica hay que mencionar que la metodologıa propuesta solo es valida parasistemas que tienen sus raıces en el semiplano izquierdo y sobre el eje imaginario. Un sistema inestableno puede excitarse en la practica en lazo abierto (por los riesgos que representa), y para excitarlo en lazocerrado se requiere conocimiento del proceso. El GMVDPAC tiene capacidad para controlar sistemasinestables y de fase no mınima, sin embargo para llevar a la practica este caso, serıa necesario que elusuario brinde la informacion necesaria para el arranque.

4.3. Control de respaldo

El control de respaldo juega un papel de suma importancia en la estructura del sistema en general, puestoque vuelve al sistema redundante y los margenes de confiabilidad se expanden.En anos recientes se ha aprovechado la capacidad de optimizacion de los algoritmos geneticos en elcontrol. En lo concerniente a los controladores PID, los algoritmos geneticos se emplean para optimizarlos controladores ante condiciones particularmente demandantes. La idea basica del PID genetico es laformacion de un cromosoma [27] cuyo contenido genetico sean las ganancias del controlador PID comose muestra en la Figura 4-13.

Figura 4-13: Representacion genetica

Cada cromosoma es probado y evaluado. Los individuos con aptitud superior al promedio tendran mayoresoportunidades de reproduccion. Las ganancias que permiten un mejor desempeno del control tienen mayoroportunidad de heredar su perfil del cromosoma.Para el caso particular del PID genetico directo se usa la estructura de control PID

u (t) = Kc

µe (t) +

1

Ti

Z t

0e (t) dt+ Td

de (t)

dt

¶(4.24)

y en particular su equivalente discreto para el algoritmo de posicion

u (k) = Kc

·e (k) +

h

Ti

nPi=0

e (i) +Tdh(e (k)− e (k − 1))

¸(4.25)

En la Figura 4-14 se presenta un diagrama donde se representa el funcionamiento del PID GeneticoDirecto. El sistema usa el modelo estimado por RLS, del orden definido por la inicializacion, el cual seutiliza para evaluar la sintonizacion del sistema en cuestion. Por medio de la funcion de aptitud [27] seestablece un criterio de desempeno.

68

4.3 Control de respaldo

Figura 4-14: Estructura del PID Genetico Directo.

Uno de los aspectos mas importantes que debe considerarse en el proceso evolutivo, es el acotamientodel esfuerzo de control, por lo que la funcion contempla una penalizacion a la saturacion como:

f.a.

xPt=1|e (t)| , mın (u) > Sl ∧max (u) < Sh

baja aptitud mın (u) > Sl ∧max (u) < Sh

(4.26)

En la Figura 4-15 se presentan los lımites de saturacion del actuador, dichos lımites pueden ajustarse enel proceso evolutivo, para desalentar esfuerzos del controlador que el operario considere excesivos, aunquesean inferiores a los lımites de saturacion naturales.

Figura 4-15: Lımites de saturacion del actuador.

En la Figura 4-16a) se presenta el control PID genetico directo para el proceso del Ejemplo 4.2 una vezque se cuenta con el modelo interno. En la Figura 4-16b) se presenta la evolucion de la funcion de aptitud

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a traves de 10 generaciones.El cromosoma mas apto, para el ejemplo particular arrojo un conjunto de ganancias de control, comoKc =0.39, Ti =9.11 y Td =9.24, como puede apreciarse el algoritmo genetico evoluciono una gananciaderivativa relativamente grande para compensar la accion del doble integrador.Como puede apreciarse en la Figura 4-16 el desempeno del control es satisfactorio, hay que hacer hin-capie en que ningun metodo de sintonizacion basado en las reglas de Ziegler y Nichols es util para lasintonizacion de un proceso de esta clase.

Figura 4-16: a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con el PID genetico directo b)

Funcion de aptitud.

4.3.1. Criterio de paro

La ejecucion de un algoritmo genetico usualmente es detenida mediante un criterio de paro que involucrala consecucion de una meta, la cual podrıa ser alcanzar una cota mınima de error, o la mınima satisfaccionpara un problema. La principal desventaja de detener un algoritmo de esta forma consiste en el hecho deque es muy difıcil predecir el tiempo que le puede tomar alcanzar al algoritmo una solucion satisfactoria.Del otro lado del espectro queda el establecer un numero fijo de generaciones que nos permitan determinarun tiempo determinıstico de ejecucion para el algoritmo. Desafortunadamente al aplicar esta alternativade solucion, no se puede garantizar una cota de error. Para sortear ambas dificultades se propuso deter-minar a partir de pruebas estadısticas, un numero mınimo de generaciones que cumpliera con una cotade desempeno determinada.Dado que el tamano del problema de optimizar el numero de generaciones para obtener los parametrosde optimizacion para cualquier proceso serıa inconmensurable, se opto por realizar las pruebas para unproceso unico de la forma:

G (s) =1

s2 + 2s+ 1(4.27)

lo cual si bien no garantiza un desempeno global, da una idea de como ajustar el tiempo de ejecucion delalgoritmo de una manera aceptable.

70

4.3 Control de respaldo

El experimento se llevo a cabo modificando el numero de generaciones de 2 a 20, para 25 muestras(se ejecuto el algoritmo genetico para cada numero determinado de generaciones en 25 ocasiones, y seobtuvieron valores de desempeno promedio). En la Figura 4-17 se presenta el comportamiento del tiempode ejecucion (en segundos), con relacion al numero de generaciones, como puede observarse la relaciones practicamente lineal, de lo que se puede presumir un aumento directamente proporcional en el tiempode ejecucion al aumentar el numero de generaciones que se definan para el algoritmo.

Figura 4-17: Relacion tiempo de ejecucion del algoritmo versus numero de generaciones.

En la Figura 4-18 se presenta el comportamiento del IAE promedio, con 25 muestras para diferentesnumeros de generaciones (las x representan los puntos de prueba, mientras que la lınea representa unainterpolacion lineal). Contrario a lo que podrıa pensarse, no necesariamente un mayor numero de gen-eraciones garantiza un menor error, una de las razones es que el algoritmo genetico no emplea elitismo[16] y las ultimas generaciones podrıan tener una funcion de aptitud inferior a algunas de sus prede-cesoras. En particular la mayor funcion de aptitud (el menor IAE) se consigue estadısticamente comopuede apreciarse en la Figura 4-18, al ejecutar 10 generaciones, lo cual implica en referencia a la Figura4-17 un tiempo de ejecucion inferior a un minuto (usando Matlab 6 sobre Intel Centrino). Existen casosreportados donde similarmente se tienen muy pocas generaciones fijas para un PID genetico y se alcanzanbuenos resultados [41].

71


Figura 4-18: Relacion IAE promedio obtenida versus numero de generaciones.

4.3.2. Comportamiento del proceso evolutivo ante diferentes niveles de mutacion

Ya que el algoritmo genetico propuesto para el PID genetico directo es de 8 bits, la longitud del cromosomaes 24. El porcentaje de mutacion definido para el sistema es 10%, lo cual significa alterar el valor logico deun bit de 10 cromosomas en una poblacion de 100. En otras palabras significa la alteracion del 0.00416%del contenido genetico de la poblacion medido en bits.Las razones que llevaron a la seleccion de este porcentaje de mutacion tienen que ver con el compor-tamiento de la maxima funcion obtenida para un porcentaje de mutacion dado.La variacion efectiva de los tiempos de ejecucion por modificacion de los porcentajes de mutacion esmınima (para un mismo tamano de poblacion y un numero de generaciones establecido), por lo que esmuy difıcil de medir al ejecutarse la simulacion sobre una plataforma multitarea (Windows), y aunqueestrictamente hablando, aumentar el porcentaje de mutacion repercute en mayor numero de operaciones,la dificultad de la medicion impide apoyarse en este factor para tomar una decision.Para obtener el IAE promedio se llevaron a cabo 10 pruebas para un mismo porcentaje de mutacion,cada una de ellas para 10 generaciones en todos los casos. Se realizaron pruebas para ındices de mutacionque van desde el 0% hasta el 30%, en la Figura 4-19 se ilustran los resultados.Como podemos observar en la Figura 4-19, el mınimo error promedio se obtuvo con un 10% de la mutaciondel algoritmo genetico. La grafica presenta con “x” los puntos de prueba, mientras que la lınea que unea dichos puntos es el resultado de una interpolacion lineal de octavo orden. Dicha curva representaun comportamiento complejo, pues se pueden observar varios mınimos. En particular se selecciona lamutacion del 10%, puesto que esta demarca el mınimo global de la curva.

72

4.4 Supervision

Figura 4-19: Comportamiento del IAE promedio (10 muestras), para diferentes porcentajes de mutacion.

4.4. Supervision

En la literatura disponible sobre supervision de sistemas adaptables, la inicializacion y el control derespaldo forman parte de un concepto general de supervision [31], [39], [46]. En particular en este capıtulola supervision es referida como la etapa de monitoreo para la operacion del control adaptable.

La estructura de supervision es un modulo basado en sistemas expertos, la cual sintetiza el conocimientoheurıstico necesario para establecer un margen de operacion seguro del control adaptable. Dicho sistemaexperto es en esencia un sistema de diagnostico rapido, que establece acciones para salvaguardar laoperacion del sistema de control.

Las principales variables de supervision utilizadas en esta etapa, estan definidas en funcion de factoresnecesarios para el adecuado funcionamiento del GMVDPAC:

Estabilidad en lazo cerrado,

Identificabilidad del proceso,

Error de seguimiento,

Respuesta del sistema ante cambios de carga.

4.4.1. Estabilidad en lazo cerrado

Cuando se aplica un controlador del tipo GMV, el lazo cerrado tiene la forma descrita por la ecuacion(2.95), por lo que puede observarse, que la relacion (3.1) determina la ubicacion de los polos en lazocerrado. Para supervisar la estabilidad del sistema durante el proceso recursivo, puede establecerse larelacion (3.1) mediante un proceso de identificacion RLS que involucra la salida del proceso y a lareferencia del mismo en lazo cerrado. La ubicacion de los polos respecto al tiempo puede monitorearse,como se puede observar en la Figura 4-20, cuando se controla el proceso descrito en el Ejemplo 3.1 delCapıtulo 3.

73


Figura 4-20: a) Comportamiento de los polos en lazo cerrado con respecto al tiempo, la direccion de las flechasmuestran la direccion de la migracion de los polos en funcion del tiempo, b) proyeccion ε., Las X representan laubicacion de polos definida por T, c) Asignacion de los polos con respecto al tiempo, los trapezoides representan

la proyeccion ε.

Cuando la estimacion acaba de comenzar, los polos pueden quedar fuera por algunos muestreos del cırculounitario, pero una vez que los parametros han convergido los polos no deben salir del cırculo unitario.

74

4.4 Supervision

Una forma indirecta de medir la inestabilidad del sistema en lazo cerrado es a traves del comportamientode la senal de control, por lo que la magnitud de u, puede ser util para definir las condiciones de operaciona traves de la regla heurıstica

Si |u| > cota max . entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON (4.28)

4.4.2. Identificabilidad del proceso

La identificabilidad [82] de parametros, es un concepto fundamental en la identificacion de parametros.Como se establecio en el Capıtulo 2.La correlacion de los elementos del vector de datos, se debe fundamentalmente a la falta de excitacionpersistente o a casos de sobreparametrizacion.La identificabilidad de un proceso se puede determinar a traves de la verificacion de la independencialineal de Px. Si la inversa de la matriz Px se vuelve singular pueden tomarse acciones mediante el uso dela regla:

Si det(Px )−1= 0 entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON (4.29)

La traza de la matriz de covarianza es una variable de supervision util, pues a partir de ella se puedendeducir dos cosas, si el proceso esta en riesgo de ser no identificable y/o que los parametros de esti-macion no estan convergiendo; en presencia de ambas condiciones, la operacion del control adaptabledebe detenerse, por lo cual se aplica el procedimiento

Si tr(Px) > cota max. entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON (4.30)

A traves de la interpretacion de la traza, el sistema de supervision desarrollado puede realizar algunasacciones correctivas en la etapa temprana de la anomalıa.La primera accion propuesta si se detecta un crecimiento de la traza de la matriz de covarianza (mien-tras no se alcance la cota maxima) es la propuesta en [85], la cual consiste en enriquecer el regresorartificialmente una vez que se ha establecido un sobredimensionamiento tal que:

y (t) = θTϕ+¡e (t)− θTv (t)

¢, ϕ = ϕ+ e (t) (4.31)

donde ϕ es el regresor para el sistema sobredimensionado y v(t) es el termino agregado para asegurarque ϕ este excitado adecuadamente; segun [85], v(t) debe seleccionarse con ruido blanco gausiano conmedia cero.La segunda accion se lleva acabo cuando el modelo interno que se esta aplicando es de segundo orden,si la traza tiene una tendencia creciente se realiza la conmutacion del modelo interno a uno de primerorden, de la forma:

Si tr (Px) tiene una tendencia creciente ∧ tr (Px) < cota max ,entonces modelo interno de segundo orden OFF y modelo interno de primer orden ON

Si la causa de la anomalıa es la falta de excitacion persistente, la conmutacion al control de respaldo esun paso necesario.

75


4.4.3. Error de seguimiento

La supervision del error se inicializa cuando el error instantaneo supera una cota permitida, y se realizael procedimiento

Si |e(k)| > cota max1 . entoncesmaxPk=1

e (k) , (4.32)

SimaxPk=1

e (k) > cota max2. entonces . . .

control adaptable OFF y control de respaldo ON

Si |e(k)| < cota max1. entoncesmaxPk=1

e (k)= 0

4.4.4. Respuesta de sistema ante cambios de carga

Los cambios de carga pueden detectarse de la siguiente manera

Si u aumenta e y disminuye entonces CAMBIO DE CARGA

Si CAMBIO DE CARGA entonces detener la adaptacion

Si CAMBIO DE CARGA contar tiempo t

Si t > tiempo max. entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON (4.33)

Este proceso esta inspirado en el metodo propuesto por [31], y utiliza un filtro pasa altas a la salida delcontrolador para sensar la variacion.

4.4.5. Simulacion

A continuacion se presentan algunos ejemplos en simulacion asociados al sistema de supervision descritoen las secciones anteriores.

En la Figura 4-21 se presenta el comportamiento del sistema (3.2) controlado con el GMVDPAC, cuandolos parametros iniciales del proceso adaptable son ajustados con la informacion obtenida del proceso deinicializacion, como puede observarse en la Figura 4-21b), no existe un pico inicial en la senal de control.

En la Figura 4-22 se observa que cuando el control usa el procedimiento de inicializacion, los polospermanecen siempre dentro del cırculo unitario. De lo mostrado en la Figura 4-22, se puede observar queel proceso de inicializacion tiene un impacto muy positivo en el desempeno del sistema y en la estabilidadde lazo cerrado. En la Figura 4-23, se presenta el arranque del sistema con el control de respaldo: elPID genetico directo. Despues del segundo 100 el sistema conmuta al modo adaptable; la conmutaciones arbitraria, con fines ilustrativos.

Con la finalidad de probar el supervisor, en caso de inestabilidad en lazo cerrado en simulacion, se hacenlos polos inestables de T en el segundo 100. En la Figura 4-24, se observa el comportamiento de los polos enesta situacion y en la Figura 4-25 se observa la respuesta en el tiempo ante el fallo provocado. Finalmenteen la Figura 4-26 se presenta la conmutacion entre controles, cuando la supervision esta activada. Esteproceso se lleva a cabo midiendo el exceso de senal de control descrito en la seccion 4.4, lo cual esconveniente, pues se puede actuar rapido y rescatar oportunamente el sistema de una disfuncion.

76

4.4 Supervision

Figura 4-21: Comportamiento del sistema cuando los parametros iniciales del control adaptable son proporcionadospor el procedimiento de inicializacion.

Figura 4-22: Comportamiento de los polos en lazo cerrado cuando los parametros iniciales del control adaptableson proporcionados por el procedimiento de inicializacion

77


Figura 4-23: Arranque del sistema bajo el control de respaldo

Figura 4-24: Falla provocada al definir los polos de T fuera del cırculo unitario

78

4.4 Supervision

Figura 4-25: Falla Comportamiento del control adaptable en el tiempo cuando los polos de T se trasladan fuera

del cırculo unitario.

Figura 4-26: Conmutacion al modo respaldo por la falla provocada.

79


80

Capıtulo 5

Resultados y Aplicaciones

5.1. Introduccion

En este Capıtulo se presentan a traves de simulaciones y pruebas practicas resultados obtenidos a partirde la implementacion del sistema de control desarrollado en la tesis.

5.2. Implementacion y evaluacion general

En esta seccion se presenta un analisis del procedimiento necesario para la implementacion del controladorde varianza mınima generalizado con asignacion dinamica de polos (GMVDPAC). Ademas se presentauna evaluacion llevada a cabo al GMVDPAC, con ayuda de un conjunto de pruebas realizadas sobre unlote de plantas, que involucraron con fines comparativos a otras estrategias de control.

5.2.1. Implementacion del GMVDPAC

El procedimiento de implementacion del controlador GMVDPAC se revisa en funcion de n, que es elorden del polinomio A.

Para fines del siguiente analisis se asume: A → A, B → B, C → C, por lo cual en lo subsecuente sehara referencia a ellos como los verdaderos.

Implementacion digital del GMVDPAC para n = 1

Cuando el modelo del proceso tiene la forma:

G (z) =b0

z + a1(5.1)

donde (5.1) puede representar tanto a un proceso estable, inestable o integrador.

El polinomio de ubicacion de polos en este caso tiene la forma:

T = t0z + t1 (5.2)

ya que nT = 2n − 1. Las raıces del polinomio de ubicacion de polos T, deben permanecer dentro delcırculo unitario para alcanzar una ubicacion de polos estable en lazo cerrado.

Cuando los polinomios costo del controlador GMVC se disenan para satisfacer una asignacion de polos,es necesario resolver la identidad:

PB +QA = T (5.3)

81

5. Resultados y Aplicaciones

Una forma de solucionar (5.14) es mediante el planteamiento de la matriz de Sylvester como:

M =

·a1 b01 0

¸−1 ·t1t0

¸=

·q0p0

¸(5.4)

De manera que los polinomios P y Q tienen la forma:

P = p0 (5.5)

Q = q0

En el GMVDPAC los polinomios F y G se calculan a partir de:

PC = FA+ z−kG (5.6)

Para el caso donde se cuenta con una funcion de transferencia, como la definida por la ecuacion (5.1), elorden para el polinomio de la perturbacion c es nc ≤ nA, de tal forma:

c = c0z + c1 (5.7)

Por lo que la solucion de (5.6) esta dada por:

f0 = p0c0 (5.8)

g0 = c1p0 − a1c0p0

Entonces el polinomio de control asociado a la entrada de la planta tiene la forma:

H = QC +BF = q0c0z + q0c1 + b0p0c0 (5.9)

de lo que h0 = q0C0 y h1 = b0f0 + q0c1, mientras que:

E = −CR (5.10)

o bien:E = e0z + e1 (5.11)

Dada la forma conocida del controlador:

Hu (t) +Gy (t) +Er (t) = 0 (5.12)

Expandiendo la ecuacion (5.12) se tiene:

(h0z + h1)u (t) + g0y (t) + (e0z + e1) r (t) = 0

Por ejemplo para el caso particular donde c1 = 0, la ley de control podrıa implementarse como:

u (t) = −h1h0

u (t− 1)− g0h0

y (t− 1)− e0h0

r (t) (5.13)

¤

82

5.2 Implementacion y evaluacion general

Implementacion digital del GMVDPAC para n = 2


G (z) =b0z + b1

z2 + a1z + a2(5.14)

nT = 3, ya que nT = 2n− 1, de tal forma:

T = t0z3 + t1z

2 + t2z + t3 (5.15)

El orden de la asignacion puede variarse mediante la adecuada seleccion de los coeficientes del polinomioT.

La solucion de la identidad se da a partir de:

M =

a2 0 b1 0a1 a2 b0 b11 a1 0 b00 1 0 0

−1

t3t2t1t0

=

q1q0p1p0

(5.16)

Por lo que los polinomios P y Q tienen la forma:

P = p0z + p1 (5.17)

Q = q0z + q1

Entonces la ecuacion (5.3), puede representarse como:

z3q0 + z2 (a1q0 + b0p0 + q1) + z (a2q0 + a1q1 + b1p0 + b0p1) + b1p1 + a2q1 (5.18)

por lo que por ejemplo, para el caso particular donde nT = 2, q0 = 0.

En el GMVDPAC, F y G se calculan a partir de la ecuacion (5.6).

Para el proceso representado por la funcion de transferencia de la ecuacion (5.14) el orden maximo posiblepara el polinomio c esta dado como nc ≤ nA por lo que c tiene la forma:

z2 + c1z + c2

donde el polinomio C es monico. Con la finalidad de mostrar un resultado general se incluye el coeficientec0, el cual tiene un valor conocido de 1; sin embargo, es importante para ilustrar el efecto de c cuandonc < nA.

Al resolver (5.6) se obtiene:

f0 = c0p0 (5.19)

f1 =1

a2p1c2

g0 = − 1a2p1c2 + p0c1 − a1c0p0

g1 = −a1a2p1c2 + p0c2 + p1c1 − a2c0p0

cuando nc ≤ nA.

83


para:

F = f0z + f1 (5.20)

G = g0z + g1

Por su parte los polinomios de control H y E tienen la forma:

H = BF +QC (5.21)

por lo que H tiene la forma:

H = z3c0q0 + z2 (b0c0p0 + q1c0 + c1q0) + z

µc1q1 + b1c0p0 +

b0a2p1c2 + c2q0

¶+ q1c2 +

b1a2p1c2 (5.22)

o bienH = h0z

3 + h1z2 + h2z + h3

Mientras que:E = −CR

de lo que:E = e0z

2 + e1z + e2

Considerando que la ley de control tiene la forma

Hu (t) +Gy (t) +Er (t) = 0 (5.23)

La expansion puede estar dada a su vez por:¡h0z

3 + h1z2 + h2z + h3

¢u (t) + (g0z + g1) y (t) +

¡e0z

2 + e1z + e2¢r (t) = 0

para la implementacion hay que despejar u (t) , asociada al coeficiente de mayor orden. Como ejemplosuponga el caso sonde nT = n, por lo que q0 = t0 = 0, y consecuentemente h0 = 0. Ademas de suponerc = c0z, por lo que la implementacion particular estarıa dada por:

u (t) = −h2h1

u (t− 1)− g0h1

y (t− 1)− g1h1

y (t− 2)− e0h1

r (t) (5.24)

¤

84

5.2 Implementacion y evaluacion general

Implementacion digital del GMVDAPC para n = 3


G (z) =b0z

2 + b1z + b2z3 + a1z2 + a2z + a3

(5.25)

la ubicacion de polos se define con el polinomio:

T (z) = t0z5 + t1z

4 + t2z3 + t3z

2 + t4z + t5 (5.26)

ya que cuando n = 3, nT = 5.La solucion de la identidad se da a partir de:

M =

a3 0 0 b2 0 0a2 a3 0 b1 b2 0a1 a2 a3 b0 b1 b21 a1 a2 0 b0 b10 1 a1 0 0 b00 0 1 0 0 0

−1

t5t4t3t2t1t0

=

q2q1q0p2p1p0

(5.27)

De manera que los polinomios P y Q tienen la forma:

P = p0z2 + p1z + p2 (5.28)

Q = q0z2 + q1z + q2

Considerando la ecuacion (5.25), nc ≤ nA por lo que:

F = f0z2 + f1z + f2 y (5.29)

G = g0z2 + g1z + g2

donde:

f0 = c0p0

f1 = −a2a23c3p2 +

1

a3(c2p2 + c3p1)

f2 =1

a3c3p2

g0 =a2a23c3p2 − 1

a3(c2p2 + c3p1) + c0p1 + c1p0 − a1c0p0

g1 =−a3 − a2a1

a23c3p2 − 1

a3a1 (c2p2 + c3p1) + c0p2 + c1p1 + c2p0 − a2c0p0

g2 =−a22 + a3a1

a23c3p2 − 1

a3a2 (c2p2 + c3p1) + c1p2 + c2p1 + c3p0 − a3c0p0

por ejemplo en el caso particular de c1 = c2 = 0 se tendrıa f0 = c0p0 mientras que f1 = f2 = 0, por suparte,

g0 = c0p1 − a1c0p0 (5.30)

g1 = c0p2 − a2c0p0

g2 = −c0a3p0

85


Por lo tanto H puede definirse como:

H = h0z5 + h1z

4 + h2z3 + h3z

2 + h4z + h5 (5.31)

donde:

h0 = q0c0h1 = q0c1 + q1c0 + b0f0

h2 = q0c2 + q1c1 + b0f1 + b1f0 + q2c0h3 = q0c3 + b0f2 + b1f1 + q1c2 + q2c1 + b2f0

h4 = q1c3 + q2c2 + b1f2 + b2f1h5 = q2c3 + b2f2

Por su parte E = e0z3 + e1z

2 + e2z + e3, para E = −CR donde:

R = P (1) +(Q (1)A (1))

B (1)(5.32)

Sabiendo que la ley de control es:

Hu (t) +Gy (t) +Er (t) = 0 (5.33)

puede realizarse la implementacion de la ley de control; por ejemplo, para un caso particular dondec1 = c2 = c3 = 0 puede expresarse a su vez en ecuaciones diferencia tiene la forma:

u (t) = −h1h0

u (t− 1)− h2h0

u (t− 2)− h3h0

u (t− 3)− h4h0

u (t− 4)− (5.34)

h5h0

u (t− 5)− g0h0

y (t− 3)− g1h0

y (t− 4)− g2h0

y (t− 5)− e0h0

r (t− 2)

Sin embargo, para cualquier nT ≤ 2n− 1,

h4 = h5 = 0 (5.35)

debido a que h4 = b1f2 + b2f1, mientras que h5 = b2f2 cuando f2 = f1 = 0.En el caso particular nT = nA, h0 = 0, porque:

h0 = q0c0 (5.36)

dado que cuando nT = 3, q0 = 0, puesto que cuando la identidad es resuelta q0 = t0.Por su parte h1 = 0, ya que,

b0f0 = −q1c0 (5.37)

de tal forma (5.33) puede ser expresada

u (t) = −h3h2

u (t− 1)− g0h2

y (t− 1)− g1h2

y (t− 2)− g2h2

y (t− 3)− e0h2

r (t) (5.38)

¤

5.3. Manejo del retardo

Para evitar que la dimension de las matrices involucradas en la estimacion crezca en proporcion directaa la magnitud del retardo, se opta en todos los casos de identificacion, por la manipulacion del vector de

86

5.4 Ejemplo numerico de implementacion del GMVDPAC

regresion tal como se explico en la seccion 4.2.7.

5.4. Ejemplo numerico de implementacion del GMVDPAC

Con la finalidad de mostrar el proceso de implementacion del GMVDPAC, se ha seleccionado un ejemplode control de procesos consistente en el control del sistema de intercambiador de calor [75], mostradoen la Figura 5-1, cuyo principal objetivo es que la temperatura del flujo a procesarse en la salida T0 (t)se controle en el punto de trabajo T sp

0 (t), mediante el paso de vapor Fs(t) a traves de una valvula decontrol

Figura 5-1: Diagrama esquematico del sistema intercambiador de calor

Suposiciones:

El rango de la senal electrica es 4-20 mA,

El rango de la senal neumatica es 3-15 psi,

la valvula de control es neumatica y utiliza un convertidor corriente a presion I/P, con una relacion

∆P

∆I=(15− 3) psi(20− 4)mA

= 0.75psi/mA

La caıda de presion a traves de la valvula es constante

Tabla 5.1.Condiciones de operacion y especificaciones de los instrumentos

Variable Especificacion

Gasto del fluido en proceso F=12Kg/s

Temperatura de entrada T=50C

Punto de control Tsp0 =90C

Capacidad calorıfica del fluido Cp=3750J/KgC

Calor latente del vapor λ=2.25x106J/Kg

Capacidad de la valvula de vapor Fs=1.6kg/s

Rango del transmisor de temperatura 50 a 150C

87


En la Figura 5-2 se presenta un diagrama a bloques simplificado del control del proceso de intercambiode calor.

Figura 5-2: Diagrama a bloques del control para el intercambiador de calor

Donde las funciones de transferencia estan dadas por:

a) Intercambiador

Gs (s) =50

30s+ 1(5.39)

b) Sensor-transmisor

Hs (s) =Kh

Ts+ 1=

0.16

10s+ 1mA/C (5.40)

=1

10s+ 1%/C

Se usa el% de rango como unidad de ganancia, en el caso electrico el 100% es 16 mA; para el neumaticoes 12 psi.

c) Para fines del calculo de la ganancia ultima el controlador se define como uno proporcional.

GC (s) = KC %/% (5.41)

d) Valvula. Tomando la capacidad de la valvula de 1.6 kg/s de vapor, se tiene que

Gv (s) =Kv

Ts+ 1=

0,1

3s+ 1mA− kg/s (5.42)

K 0v =

1.6kg/s

100%= 0.016kg/s/%

=0.016

3s+ 1kg/s/C

De las funciones de transferencia en lazo cerrado se tiene que la ecuacion caracterıstica tiene la forma

1 +Hs (s)GC (s)Gv (s)Gs (s) = 0 (5.43)

1 +KC0.016

3s+ 1

1

10s+ 1

50

30s+ 1= 0

900s3 + 40s2 + 43s+ 1 + 0.8KC = 0

88


Para encontrar el valor de la ganancia ultima, se sustituye s por jω, de lo que resulta que Ku = 23.8mientras que la frecuencia es ω = 0.2186 rad/s (Tu= 28.7s el perıodo de oscilacion).

Con estos parametros es factible el uso de la tabla de sintonizacion del Ziegler Nichols de lazo cerrado,y el PID ISA[4] (ver Tabla 5.2).

Tabla 5.2. Ganancias de sintonizacion

Controlador Kc Ti Td

P 11.9 - -

PI 10.8 23.9 -

PID 14.0 14.3 3.6

Si se asume una perturbacion en el proceso de transmision, el diagrama a bloques de la Figura 5-2 puedereplantearse como se muestra en la Figura 5-3.

Figura 5-3: Perturbacion en la transmision

Con fines de simulacion, se selecciona un periodo de muestreo equivalente a 1/30 de la constante detiempo mas pequena entre los bloques del diagrama de la Figura 5-3. Dicha velocidad de muestreo tienecomo consecuencias directas, una reduccion considerable en la magnitud de los coeficientes del numerador(debido a la sensitividad polo-coeficiente [9]) y una mayor susceptibilidad a la magnitud de la perturbacionξ en la ecuacion diferencia, por lo que con el fin de llevar a cabo el ejemplo numerico se asume comoperturbacion una secuencia pseudo aleatoria con distribucion gaussiana y media cero, con varianza de1x10−8.

En la Figura 5-4 se presenta el control PID sintonizado con las ganancias de la Tabla 5.2. Como puedeobservarse en la Figura 5-4a) el sistema presenta un sobreimpulso importante. Mientras en la Figura5-4b) se puede observar que se incluye un saturador definido como: max u = 300, min u = −300, y quela senal de control permanece un tiempo notable en saturacion.

89


Figura 5-4: Control PID del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia y=T0 en grados centigrados,b) Senal de control

Siguiendo el procedimiento descrito en la seccion 5.2.1, cuando n = 3, el diseno del GMVDPAC para elintercambiador de calor se da bajo las siguientes condiciones de identificacion

Px0 = 1000I (5.44)

λ = 0.99

θ0 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

y asumiendo la convergencia de la estimacion

A → A (5.45)

B → B

C → C

De dicho procedimiento de estimacion se desprende el calculo en lınea de los poilinomios P, Q y R,considerando una propuesta inicial de asignacion polos, que para este caso esta dado por:

T (z) = z3 − 2.955z2 + 2.911z + 0.955 (5.46)

Suponiendo que (5.45) se cumple, tales polinomios tiene la forma:

P (z) = −1920.12z2 + 4063.13z − 2140.46 (5.47)

Q (z) = 0.000281z + 1.001

R (z) = 3.799

Con (5.47) calculado a partir de la estimacion, se tiene que:

90


F = −1920.12z2 (5.48)

G = −1608.78z2 + 3443.91z − 1832.57

Siendo por su parte H :

H = z3 + 0.000274z2 (5.49)

mientras que:

E = −3.79 (5.50)

En la Figura 5-5 se presenta el desempeno del proceso cuando este es controlado por un GMVDPAC,en la Figura 5-5a), se puede apreciar el seguimiento a la referencia, mientras que en la Figura 5-5b), seobserva la senal de control, la cual en relacion con la senal de control del PID sintonizada por el metodode Ziegler-Nichols lazo cerrado es moderada y no alcanza en ningun momento, los lımites de saturacionestablecidos en este ejemplo.

Figura 5-5: Control GMVDPAC del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control

Por su parte en la Figura 5-6 se presenta el proceso de estimacion del sistema.

91


Figura 5-6: Estimacion del proceso de intercambio de calor

La estructura de θ para este caso particular esta dada por :

θ = [a1,−a2, a3, b0, b1, b2, c0] (5.51)

siendo θ verdadera,

θver =¡2.95, 2.90, 0.95, 0.1464x10−6, 0.578x10−6, 0.143x10−6,1

¢(5.52)

A partir de (5.53) se puede observar en la Figura 5-6 que

θ → θ (5.53)

¤

5.5. Evaluacion general del desempeno

Con la finalidad de evaluar el desempeno del GMVDPAC, se selecciono un lote de plantas de diversasfuentes bibliograficas [4], [46], [80], cuyas dinamicas son comunes en la industria del control de procesos.

5.5.1. El lote de plantas

A continuacion se enumera el lote de plantas empleadas para las pruebas de desempeno

G1 (s) =e−s

(1 + sTx)2 Tx = 0.1, 1, 10 (5.54)

G2 (s) =1

(1 + s)nn = 3, 4 (5.55)

92

5.5 Evaluacion general del desempeno

G3 (s) =1

(1 + s) (1 + αxs) (1 + α2xs) (1 + α3xs)αx = 0.2, 0.5, 0.7 (5.56)

G4 (s) =(1 + αxs)

(1 + s)3αx = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2 (5.57)

G5 (s) =0.0506

se−6s (5.58)

G6 (s) =1

s− 1e−0.2s (5.59)

5.5.2. Criterios de evaluacion

Con la finalidad de permitir un procedimiento de evaluacion general y debido a la naturaleza particularde cada prueba, se ha optado por asignar una calificacion representativa al nivel de desempeno mostradopor un controlador con respecto a sus homologos, bajo las mismas condiciones de operacion. Por lo quese propone la siguiente relacion, la cual toma en cuenta los valores obtenidos de IAE, IAC e ITAE apartir de la siguiente ecuacion:

er = 100−µvalor evaluado - mejor resultado

peor resultado - mejor resultado× 100

¶esta relacion evalua con 100 al mejor desempeno y con 0 al peor desempeno, y con una calificacion gradualentre 0 y 100 a los demas desempenos, dependiendo de su cercanıa al mejor o peor resultado.

Durante la evaluacion del desempeno, se contempla la inclusion del control PID ISA [3] debido a suextenso uso en la industria.

u (t) = Kc

µe (t) +

1

Ti

Z t

0e (t) dt+ Td

de (t)

dt

¶(5.60)

En particular se utiliza como variante discreto de (5.60), el algoritmo de posicion [9].

u (k) = Kc

Ãe (k) +

h

Ti

nXt=0

e (k) dt+Tdh[e (k)− e (k − 1)]

!(5.61)

Donde h es el periodo al que se muestrea el proceso.

Para la autosintonizacion del controlador PID, se utilizan los metodos de Ziegler Nichols de lazo abiertoy lazo cerrado [3]. Los metodos de sintonizacion de Ziegler y Nichols, no son utiles cuando se realiza lasintonizacion de controladores PID para procesos cuyas raıces no estan estrictamente en el semiplanoizquierdo del LGR. Como alternativa a dicho metodo de sintonizacion se utiliza la estrategia propuestapor Visioli [80], que al igual que en el metodo de Ziegler Nichols requiere del uso de tablas, con ladiferencia de que tales tablas no son una sıntesis heurıstica, sino el resultado de una optimizacion conalgoritmos geneticos. Tambien fue utilizado el metodo de sintonizacion para sistemas integradores conretardo propuesto por Poulin y Pormeleau [68], el cual se basa en el uso de los diagramas de Nichols paraencontrar una relacion optima entre el margen de fase y maximo sobreimpulso.

La evaluacion particular del desempeno de cada proceso se lleva a cabo con los siguientes ındices dedesempeno

La integral del valor absoluto de error (IAE)

93


Caso continuo

IAE =

Z t

0|e (t)| dt (5.62)

Caso discreto

IAE =nXt=1

|e (t)| dt (5.63)

La integral del valor absoluto de error por el tiempo (ITAE)

Caso continuo

ITAE =

Z t

0t |e (t)| dt (5.64)

Caso discreto

ITAE =nX

t=1

t |e (t)| dt (5.65)

Esfuerzo del controlador

Caso continuo

IAC =

Z t

0|u (t)| dt (5.66)

Caso discreto

IAC =nXt=1

|u (t)| dt (5.67)

El IAE se emplea para evaluar el seguimiento a la referencia, mientras que el ITAE, se utiliza para evaluarla capacidad de un controlador determinado para sobreponerse ante un cambio de carga, la multiplicacionpor el tiempo t, acentua en el resultado el tiempo que le toma al sistema de control superar dicho cambio.Por su parte el IAC es la integral del valor absoluto de la senal de control y es representativa del esfuerzode control. El IAC esta ligado con la capacidad de operacion de un actuador, ası como con el tiempo devida del mismo. Cuando un proceso es perturbado con un cambio de carga, esta puede modelarse comoun escalon aplicado en la salida del sistema, si se aplica el teorema del valor final al circuito serie, elefecto del cambio de carga puede observarse como una ganancia adicional [17], por lo cual se proproneen este texto una aproximacion a un cambio de carga escalon.En particular, para medir el ITAE se simula un cambio de carga en un tiempo dado t, modificando laganancia del polinomio B(z) como:

Bcarga (z) = KcargaB(z) (5.68)

para Kcarga < 1 (ver anexo A), lo cual puede interpretarse como que la dinamica de la carga es muchomas rapida que la del sistema perturbado.

5.5.3. Evaluacion del desempeno por proceso

En esta seccion se revisa a partir de la informacion adjunta en el Anexo A el desempeno de cada procesodel lote, considerando como rubros a evaluar, el seguimiento a la referencia, el esfuerzo de control y larespuesta ante cambios de carga.

94


- Proceso G1

En este proceso de segundo orden, se realizan pruebas para 3 valores diferentes de Tx, cuya variacionprovoca en primer lugar una variacion sobre el tiempo de respuesta del sistema, el interes de este ex-perimento recae en el hecho de que el retardo del proceso se mantiene constante, generando diferentesrelaciones entre el retardo y el tiempo de respuesta, siendo en casos extremos el retardo muy grande omuy pequeno en relacion con el tiempo de establecimiento, siendo ambos casos difıciles de afrontar porla sintonizacion de Ziegler Nichols (al grado de que la variacion de este metodo en lazo abierto no lograproveer ganancias que estabilicen el controlador cuando Tx = 1 y Tx = 10, mientras que esta situacionse repite para el Ziegler Nichols lazo cerrado cuando Tx =0.1 ).En terminos generales, el mejor desempeno de control lo tiene para este proceso el STPAC, seguidomuy de cerca por el GMVDPAC, resaltando el desempeno de este ultimo cuando la magnitud de laperturbacion es mayor y en la respuesta cuando existen cambios de carga. La dinamica descrita por G1puede hallarse en procesos que involucran la regulacion de nivel.

- Proceso G2

En realidad el barrido de n en el proceso G2 genera dos procesos sin retardo, uno de tercer orden yotro de cuarto orden, para el control adaptable ambos sistemas usan un modelo interno de tercer orden,observandose en las tablas relacionadas del Anexo A, un mejor desempeno en general del GMVDPACcuando n = 4. El GMVDPAC presenta un mejor desempeno nuevamente cuando la amplitud de laperturbacion es la maxima empleada y cuando se aplican los cambios de carga programados.La estructura del modelo G4 puede usarse en la representacion de procesos de reaccion quımica [47].

- Proceso G3

El principal interes sobre el proceso G3, consiste en que al realizar el barrido del parametro αx, seobtienen diversas combinaciones de ubicacion de polos, manteniendo una respuesta temporal similar.Esta situacion provoca diferentes respuestas al cerrar al lazo de control.El STPAC presenta el mejor comportamiento para αx =0.2, teniendo el GMVDPAC un buen desempeno,mejorando cuando hay cambios de carga o mayor amplitud de la perturbacion. Cuando αx =0.5 lasintonizacion de Ziegler Nichols en lazo cerrado muestra el mejor seguimiento a la referencia (seguido decerca por el GMVDPAC) con un esfuerzo de control moderado.Cuando αx =0.7 el GMVDPAC presenta el mejor seguimiento a la referencia y la mejor respuesta acambios de carga. Puede observarse tambien que cuando αx =0.7 y la amplitud de la perturbacion esmaxima la respuesta de control PID sufre un gran deterioro.Para G3, puede decirse que la mayor virtud del GMVDPAC es la regularidad en su desempeno antediversas condiciones de operacion.

- Proceso G4

El proceso G4 es muy util para ejemplificar algunas situaciones relacionadas con el desempeno de loscontroladores. La dinamica de las funciones de transferencia con barrido del parametro αx estan vincu-ladas entre si, puesto que αx, en G4 modifica la posicion del unico cero en la funcion de transferencia.A medida que αx aumenta, dicho cero se acerca al origen, esta situacion es por demas demandante enaquellos controladores que basan su diseno en la asignacion de polos en lazo cerrado [17] como es el casodel STPAC, GMVPAC y GMVDPAC.En la Figura 5-7 se sintetiza el desempeno de los controladores en el rubro de seguimiento a la referencia,evaluado con ayuda del IAE promedio (el promedio del IAE medido para todos los niveles de perturbacionconsiderados).

95


Figura 5-7: Comportamiento del IAE promedio en funcion de α

En la Figura 5-7 se presenta en forma de “x” el IAE promedio de cada controlador para una αx determi-nada. A partir de tales puntos, se realizo un ajuste de curva con mınimos cuadrados para un polinomiode tercer orden, con la finalidad de mostrar posibles tendencias. En la grafica puede observarse que engeneral el seguimiento a la referencia se ve perjudicado en todos los controladores con el acercamiento delcero al origen; sin embargo, es interesante observar que el mayor IAE a mayor αx se da con el controladorPID sintonizado con el metodo de Ziegler-Nichols lazo cerrado y no con los controladores adaptablesque basan su funcionamiento en la asignacion de polos. Para esta planta podemos observar que el mejorseguimiento se da para el menor IAE del controlador de Clarke; sin embargo, hay que hacer hincapie quepara este controlador se requiere cierto nivel de conocimiento sobre el proceso a controlar, para poderası proponer fuera de lınea los polinomios P, Q y R, ademas de tener la inconveniencia a ser susceptiblea un deterioro en el desempeno cuando existe perturbacion parametrica en el proceso.

Con respecto al GMVDPAC se puede mencionar que es el segundo mejor desempeno ademas de mostrarla mayor regularidad al tener el ajuste de curva mas notorio.

En la Figura 5-8 se presenta la relacion entre el esfuerzo de control (medido con el IAC promedio) y lavariacion de αx.Como puede observarse en la Figura 5-8, el comportamiento del IAC para el GMVPACy el STPAC es bastante irregular. Por su parte las curvas sintetizadas a partir del comportamiento delPID y del GMVDPAC muestran un desarrollo monotono, sıntoma de un mejor nivel de confiabilidadpara este tipo de pruebas.

Finalmente en la Figura 5-9 se presentan las curvas que relacionan el desempeno ante cambios de carga(medido con ITAE) y αx.

96


Figura 5-8: Comportamiento del IAC promedio en funcion de α

Figura 5-9: Comportamiento del ITAE promedio en funcion de α

Como puede observarse el menor ITAE lo presenta el GMVDPAC, significando un mejor desempeno antela perturbacion parametrica, lo cual es congruente con lo expuesto en el Capıtulo 3.

Es importante recalcar que el GMVPAC, por su parte presenta el segundo peor comportamiento en esterubro, por lo que su modificacion en GMVDPAC cobra relevancia en estos casos.En las graficas presentadas para esta planta, no se incluye una curva relacionada con la sintonizacionde Ziegler Nichols en lazo abierto, puesto que esta solo puedo realizarse para αx = 0,1 y αx = 0,2 (ver

97


Anexo A), ya que para los subsecuentes barridos de αx, la respuesta al escalon presenta sobreimpulsonegativo, y se considero que dos puntos no eran suficientes para la sıntesis de una curva.La dinamica descrita por G4 puede hallarse en procesos de temperatura relacionados con la presion, comopodrıa darse en el manejo de vapor en turbinas.

- Proceso G5

El proceso G5 es un proceso integrador con retardo, para este caso no es posible aplicar la sintonizacionZiegler y Nichols, por lo cual se emplean los metodos de sintonizacion propuestos por Visioli [80] yPoulin y Pormeleau [68]. Como puede observarse, en la tabla relacionada en el Anexo A, el GMVDPACpresenta el mejor comportamiento dinamico en todos los rubros, haciendo hincapie en que el GMVPACy el STPAC siguen los mismos criterios de desempeno.La estructura de G5 puede encontrarse en la representacion de valvulas actuadas por motor.

- Proceso G6

El proceso G6 es un sistema inestable de primer orden. El GMVDPAC presenta el mejor desempenotanto en seguimiento a la referencia, esfuerzo de control y respuesta a cambios de carga.

5.5.4. Resultados generales

A continuacion se presentan algunos graficos de pastel que representan el porcentaje del total de laspruebas en que un controlador dado, logra el mejor desempeno para un criterio de evaluacion (verAnexo A). Como podra observarse no todos los controladores involucrados en las pruebas comparativasaparecen en los graficos, lo cual se debe a que en ninguna oportunidad dichos controladores tuvieron lamejor evaluacion para un rubro en particular.En la Figura 5-10 se presenta una grafica de pastel que representa el porcentaje del total de ocasiones enque un controlador dado tiene el mejor seguimiento a la referencia a lo largo de las pruebas. Como puedeobservarse el controlador GMVPAC fue en este rubro el mejor en el 40% de las pruebas seguido por un27% del GMVDPAC. Es importante recalcar que en las simulaciones (salvo en las perturbaciones quesimulan cambios de carga) los procesos se asumen LTI, y que para el caso del GMVPAC los parametrosdeterminantes para el desempeno del controlador son disenados fuera de lınea.

Figura 5-10: Grafica de pastel que representa el porcentaje en que cada controlador obtuvo el mejor resultado alo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE)

98


En la Figura 5-11 se presenta una grafica de pastel que representa el porcentaje total de ocasiones enque un controlador dado realiza el menor esfuerzo de control. En esto caso el STPAC realiza el menoresfuerzo de control en el 40% de las pruebas, seguido por el GMVDPAC y el PID sintonizado por Zieglery Nichols lazo cerrado con un 20%.

Figura 5-11: Grafica de pastel que representa el porcentaje total de ocaciones en que un controlador dado realizael menor esfuerzo de control.

Como ya fue comentado anteriormente, el disturbio por cambio de carga es aproximado mediante unaalteracion de la ganancia del polinomio B(z), lo cual en ecuaciones diferencia, representa tambien unaperturbacion parametrica. En la Figura 5-12 se puede observar que en el 60% de las pruebas, el menorITAE fue obtenido con el GMVDPAC.

Figura 5-12: Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lolargo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE)

Como ya fue comentado, se observo que el desempeno del GMVDPAC mejoraba con respecto al de-sempeno general en los casos en que la varianza de la perturbacion era mayor. En la Figura 5-13 se puedeobservar que el porcentaje de casos donde el GMVDPAC obtuvo el menor IAE no tuvo variacion conrespecto a la Figura 5-10.

99


Figura 5-13: Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lolargo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) cuando la varianza de la perturbacion fue

la maxima probada.

Sin embargo, puede observarse en la Figura 5-14 que el GMDPAC aumenta su participacion en sietepuntos porcentuales con respecto a lo mostrado en la Figura 5-11.

Figura 5-14: Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lolargo de las pruebas de esfuerzo de control (medido con IAC) cuando la varianza de la perturbacion fue la maxima

probada.

Finalmente en la Figura 5-15 puede observarse que en mas de las 2/3 partes de las pruebas que involu-craron la maxima amplitud de la perturbacion el GMVDPAC arrojaron el menor ITAE.

100


Figura 5-15: Grafica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lolargo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) cuando la varianza de la perturbacion fue la maxima

probada.

Las graficas de pastel presentadas a lo largo de esta seccion, son herramientas utiles que proporcionaninformacion relevante del desempeno de un controlador a lo largo de un conjunto de pruebas; sin embargo,no proporcionan informacion del desempeno general del controlador, cuando este no obtiene el mejorresultado (como puede observarse en la Tabla 5.4 el unico controlador que obtiene el mejor resultado entodos los rubros de evaluacion para un proceso dado, es el GVMVDPAC para el proceso integrador deprimer orden G5 y para el proceso inestable con retardo de primer orden con retardo G6). Por su parte,el esquema de evaluacion por puntaje descrito en la seccion 5.5.2 permite tener una idea mas precisa deldesempeno general de una estrategia de control, usada con el lote de plantas de la seccion 5.5, ya que unbuen resultado en dicha evaluacion representa regularidad en el desempeno.La Tabla 5.4 sintetiza los puntajes acumulados bajo dicho esquema de pruebas.

101


Tabla 5.4. Evaluacion del desempeno de los controladores.

PID LA PID LC PID Visioli PID Poulin STPAC GMVPAC GMVDPAC

IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE IAE IAC ITAE

G1

T=0.1

0 100 0 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 100 268 100 182 0 255 295 259 292

G1

T=1

N.A. N.A. N.A. 200 0 165 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 16.338 300 300 171 281 0 3.98 293 293

G1

T=10

N.A. N.A. N.A. 0 0 0 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 273.92 300 294 300 299 237 247 298 298

G2

n=3

0 0 0 163 199 127 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 270.97 300 273 294 218 66 297 226 300

G2

n=4

0 0 86.1 244 273 204 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 241.58 264 251 299 294 10.5 266 273 295

G3

a=0.2

N.A. N.A. N.A. 0 0 191 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 282.66 300 171 255 237 136 201 271 267

G3

a=0.5

0 0 162 300 242 300 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 247.08 300 250 249 297 0 264 295 256

G3

a=0.7

0 0 50.9 294 271 286 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 291.61 282 289 264 300 0 300 248 300

G4

a=0.1

0 0 100 234 238 165 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 263 289 225 300 234 159 280 284 247

G4

a=0.2

0 44.5 0 172 295 195 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 244.42 288 219 300 18.4 140 271 272 248

G4

a=0.5

N.A. N.A. N.A. 74.5 300 190 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 100 76.2 217 296 151 0 172 129 207

G4

a=1

N.A. N.A. N.A. 152 300 97.1 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 100 22.2 160 286 103 137 228 78.6 205

G4

a=2

N.A. N.A. N.A. 0 300 100 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 264.78 114 164 227 117 70.8 198 25 224

G5 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 160 0 0 0 220 107 297.9 286 299 271 278 264 299 300 300

G6 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 0 0 N.A. N.A. N.A. N.A. 299.4 297 300 285 297 0 300 300 300

Total 0 144.5 399 1835 2418 2020 160 0 0 0 220 107 3293.65 3684 3512 3979 3124 1476 3623 3551 4032

De la tabla se pueden deducir a su vez ciertos resultados generales.Con respecto al criterio IAE, que es representativo del seguimiento a la referencia en la Figura 5-16,puede observarse un grafico de barras que sintetiza los resultados generales obtenidos por los diferentescontroladores en este rubro.

102


Figura 5-16: Puntaje acumulado para seguimiento a la referencia

Por su parte la evaluacion general de los controladores para la medicion del esfuerzo (Figura 5-17).

Figura 5-17: Puntaje acumulado para el esfuerzo de control

103


Figura 5-18: Puntaje acumulado para el cambio de carga.

En la Figura 5-18 se muestra la evaluacion general numerica para el cambio de carga.El buen desempeno del GMVDPAC a lo largo de las pruebas se debe fundamentalmente a tres razones:

La reestructuracion explıcita del algoritmo,

El recalculo en lınea de los polinomios costo,

La minimizacion permanente de la varianza de la funcion de salida generalizada φ (t) .

¤

5.6. Control de velocidad

Utilizando el control GMVDPAC, se llevo a cabo el control practico de un motor Minertia T03 manu-facturado por Yaskawa, el cual se utiliza frecuentemente en perifericos computacionales como:

Bobinado y rebobinado de cintas magneticas,

Alimentacion de papel para impresoras,

Graficadores X-Y,

Maquinaria pequena de proposito general.

El experimento consiste en el control de velocidad del motor mencionado. La salida del proceso es lavariable velocidad, medida en revoluciones por minuto (rpm). La referencia fue desarrollada de tal formaque involucra rampas con la finalidad de observar tanto el seguimiento como la regulacion en el mismoexperimento.En la Figura 5-19 se puede observar que la velocidad del motor sigue la referencia de forma muy cercana.

104

5.6 Control de velocidad

Figura 5-19: Control de velocidad usando el GMVDPAC.

En la Figura 5-20a) se presenta el comportamiento de los parametros de estimacion cuando el proceso seestima como uno lineal de primer orden, como puede observarse los parametros denotan una variaciondependiendo de la zona de operacion.

En la Figura 5-20b) se presenta el desempeno de la funcion de salida generalizada para este caso, que comopuede observarse tiene una amplitud muy pequena, significando un proceso de optimizacion altamentesatisfactorio.

Figura 5-20: Comportamiento de la estimacion, a) Parametros de la estimacion, b) Funcion de salida generalizada.

105


5.7. Control de posicion

Para este experimento, se selecciono una banda transportadora prototipo actuada por un motor deDC con imanes permanentes, el cual incluye un mecanismo de reduccion de velocidad modelo 1.61.046manufacturado por Buehler (ver Figura 5-21). La entrada del proceso es la alimentacion en volts delmotor, mientras que la salida del proceso es el desplazamiento de la banda en centımetros. Para esteejemplo se usa la misma forma de la referencia del control de velocidad. Usualmente para control deposicion se usa un control PD; cuando el sistema ha alcanzado el valor de la referencia, la senal de controlse vuelve nula. En este caso practico, el motor tiene una zona muerta entre -3V y 3V en la entrada delproceso. El GMVDPAC ubica la senal de control justo abajo de la frontera de la zona muerta, lo cualpermite una respuesta mas rapida ante un cambio de referencia subita

Figura 5-21: Motor de CD Buehler con reduccion de velocidad.

En la Figura 5-22 se observa el control de posicion cuando se usa una senal de referencia compuestade escalones y rampas como las usadas en el control de velocidad. La Figura 5-23 presenta el mismocontrol pero con una referencia cuadrada, para apreciar la respuesta del sistema ante cambios subitos dereferencia (la variable posicion en este caso esta medida directamente del sensor en volts). La inicializacionpara este sistema es arbitraria consistiendo en los siguientes parametros: n = 1, h =0.1, θ0 = [0.5,0.5](asumiendo c = z) Px0 = 100I, λ =0.99 y T = z−0.8 lo cual implica una constante de tiempo en lazocerrado τ =0.5 seg.

Figura 5-22: Control de posicion de una banda transportadora usando GMVDPAC (seguimiento).

106

5.8 Control de temperatura

Figura 5-23: Control de posicion de una banda transportadora usando GMVDPAC (regulacion).

En la Figura 5-24 se presenta el comportamiento de la estimacion cuando la referencia es cuadrada.

Figura 5-24: Comportamiento de la estimacion, a) Parametros de estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza.

5.8. Control de temperatura

En esta seccion se presenta una comparacion del seguimiento a una referencia dada por un controladorPID autosintonizable DC1020 de Honeywell y un GMVDPAC corriendo sobre LabVIEW y Matlab si-multaneamente con una tarjeta de adquisicion de datos National Instruments PCI 6014.

107


El controlador DC1020 es un controlador de temperatura perteneciente a la familia DC1000 de Honeywell[35], el cual incluye control PID con autosintonizacion. El controlador PID se conecto directamente alelemento sensor, que para este caso es un termopar tipo K, ya que el controlador incluye compensacionde punta frıa. Una imagen de este controlador puede observarse en la Figura 5-25.

Figura 5-25: Controlador de temperatura Honeywell DC1020

Con el fin de realizar la comparacion se eligio un proceso de temperatura, el cual consiste de dos camaras.En la primera camara el aire es calentado con una fuente constante de calor (lampara incandescente),en la union entre las dos camaras existe un ventilador que impulsa el aire caliente de la primera camarahacia la segunda camara. En la segunda camara se encuentra alojado el sensor de temperatura cerca dela ventilacion de esta (ver Figura 5-26).

Figura 5-26: Figura 5.26. Proceso de temperatura

La velocidad del ventilador puede regularse con un voltaje variable de 0 V a 10 V (la velocidad aumentaen relacion directa al voltaje), de tal forma que la temperatura en la camara 2 puede elevarse de formaproporcional a la velocidad de giro del ventilador. En este sistema el elemento primario de medicion es eltermopar, mientras que el ventilador es el elemento final de control, en particular el ventilador tiene unazona muerta entre 0 V y 3 V, por lo que una senal de control debe superar este umbral para tener unimpacto en la temperatura de la camara 2. En este proceso, el enfriamiento sucede cuando el ventiladorno es actuado y depende primordialmente de la transferencia de calor entre la camara 2 y el medioambiente a traves de la ventilacion de la misma camara. Debido a la naturaleza del sistema, solo puedeaspirarse a temperaturas de consigna superiores a la temperatura ambiental; es importante remarcar quepara realizar la comparacion en circunstancias igualitarias, el proceso es considerado como una caja negracuando se aplica el GMVDPAC.

108

5.8 Control de temperatura

Figura 5-27: Control del DC1020 a) Regulacion, b) Senal de control.

El DC1020 fue conectado al proceso de la Figura 5-26 y se ejecuto la autosintonizacion comprendida poreste sistema particular (este sistema realiza una excitacion inicial, con la cual ajusta las ganancias delcontrolador PID). Con ayuda de la tarjeta PCI 6014 se adquirieron las senales analogicas correspondientesa la salida de temperatura y a la senal de control enviada por el controlador. Para este caso particularla referencia fue elegida como 38 ◦C. La respuesta del sistema se aprecia en la Figura 5-27.En la Figura 5-27a se observa que la temperatura del sistema varıa alrededor de la referencia. Dichavariacion depende de la accion de control (Figura 5-27b) pero ademas guarda cierta relacion con la zonamuerta del actuador. La senal de control es bastante irregular debido a la naturaleza del mecanismo deautosintonizacion de este sistema.Es importante mencionar que el desempeno del control PID, puede mejorarse con una cuidadosa eleccionde ganancias por parte del usuario, pero la intension central de esta prueba es comparar la sintonizacionautonoma de un controlador PID comercial, y el arranque inicializado del GMVDPAC.En este sentido, se realizo el proceso de inicializacion cuyo resultado principal fue la eleccion de unaestructura interna de estimacion de primer orden.En la Figura 5-28a) se presenta la regulacion del proceso a la temperatura de consigna, y se puedeobservar un mejor desempeno que con el controlador comercial. La senal de control es mas regular y seequilibra por encima de la zona muerta (Figura 5-28b).

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Figura 5-28: Control GMVDPAC, (a) Regulacion, (b) Senal de Control.

5.9. Plataforma de aplicacion

La plataforma de aplicacion, es la herramienta disenada para llevar a cabo las pruebas practicas delsistema de control desarrollado. Las partes de la plataforma de aplicacion se presentan en la Figura 5-29.

Figura 5-29: Figura 5.29. Plataforma de aplicacion.

De la Figura 5-29 se observa que la totalidad de los algoritmos de control se ejecutan sobre Matlab, a lavez la interfaz grafica se ejecuta sobre LabVIEW, junto con la comunicacion entrada salida a la tarjetade adquisicion de datos, que para este caso es una PCI modelo 6014 de National Instruments.

Las ventajas de la plataforma de aplicacion son varias, entre ellas la posibilidad de explotar al mis-mo tiempo las herramientas de LabVIEW y Matlab, configuracion flexible del periodo de muestreo yresolucion de 16 bits.

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5.10 Interfaz de usuario

La plataforma de aplicacion incorpora las tres etapas involucradas en el desarrollo, inicializacion, control ysupervision, implementados como SubVI’s (subprogramas) de LabVIEW [55]. A continuacion se describela secuencia de operacion del sistema.

1. Al activar la inicializacion, el sistema manda una senal de excitacion al proceso en lazo abierto,consistente de un tren de pulsos durante un numero determinado de ciclos. Se guardan tanto elvector de datos de entrada como el de salida.

2. Con los vectores de entrada y de salida, se llevan a cabo estimaciones recursivas de primero, segundoy tercer orden

3. Con la informacion recolectada se realiza el procedimiento de inicializacion descrito en el Capıtulo4

4. Una vez obtenido el orden del modelo interno, se sintoniza un control PID con el metodo basadoen algoritmos geneticos descrito en el Capıtulo 4

5. Con toda la informacion de la inicializacion disponible y con el controlador de respaldo ajustado,se procede a encender el control adaptable

6. Una vez que el controlador esta funcionando se habilita el supervisor. El supervisor a su vez constade 2 etapas. La primera etapa es la supervision activa que es la parte del supervisor que tomadecisiones de forma independiente al usuario, para modificar el desempeno del sistema. La otraetapa es la supervision pasiva, la cual provee de la informacion necesaria para que un usuario puedatomar decisiones a traves de la interfaz de usuario. La variables de supervision mas importantes sederivan de las senales de error, senal de control y la matriz de covarianza

7. A traves de la interfaz de usuario, el usuario tiene acceso a todas las etapas descritas anteriormente.

5.10. Interfaz de usuario

En la Figura 5-30 se presenta un esquema donde se asocian los elementos de la interfaz grafica con lasecuencia disenada para el controlador

Figura 5-30: Interfaz grafica del controlador.

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Como puede observarse en la Figura 5-30, la pantalla principal de la interfaz grafica esta dividida en las3 etapas del sistema.

A Cuando inicializa el controlador y se calcula la informacion necesaria, el indicador de “inicializando”parpadea. Una vez que se ha terminado el proceso de excitacion inicial, el indicador de “respaldolisto” se activa, a su vez cuando se concluye la inicializacion genetica y finalmente los espacios devariables son llenados con la informacion obtenida.

B Mientras el control adaptable opera se grafican en lınea las variables del proceso: senal de con-trol, salida del proceso, parametros de estimacion (si el controlador de respaldo estuviera en fun-cionamiento, la grafica de estimacion de parametros es desactivada), en esta seccion se incluyen 2controles para iniciar y detener el controlador

C Tanto la traza de la matriz de covarianza, como la magnitud de la senal de control son usadascomo un criterio para conmutacion automatica entre el control adaptable y el control de respaldo.Tambien se monitorea el error de seguimiento a la referencia, que es un criterio de desempeno aligual que el esfuerzo de control, este ultimo al alcanzar ciertas cotas conmuta al control de respaldo.

5.11. Pruebas con el sistema integrado

En esta seccion se presenta un experimento completo de inicializacion, supervision y control sobre elprototipo de la banda transportadora descrito en la seccion 5.7, como ya se explico anteriormente elprimer paso del sistema, es la excitacion del proceso.

Figura 5-31: Excitacion del sistema durante la inicializacion, a) Respuesta del proceso, b) Senal de excitacion.

En la Figura 5-31b) podemos observar la senal cuadrada usada para excitar el motor de C.D. En laFigura 5-31a) por su parte podemos observar la respuesta del sistema (medida directamente del sensorde posicion en volts). El comportamiento de la posicion angular en un motor de C.D. en lazo abierto,puede modelarse usualmente como un integrador. En una banda transportadora la dinamica dominantesigue siendo integradora, sin embargo intervienen otros factores como la elasticidad de la banda y la

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5.11 Pruebas con el sistema integrado

friccion de la misma con los elementos actuadores, por lo que en la Figura 5-31a) puede apreciarse uncomportamiento desviado de la respuesta lineal propia de un integrador puro. El siguiente paso dadopor el inicializador, consiste en que una vez almacenados los vectores de entrada y salida, se ejecutan losalgoritmos de estimacion RLS para los sistemas de primero, segundo y tercer orden. En la Figura 5-32se presenta el comportamiento de la estimacion recursiva para el modelo interno de primer orden.

Figura 5-32: Estimacion recursiva para el modelo interno de primer orden, a) Comportamiento de los parametrosde estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

En la Figura 5-32a) se puede observar un comportamiento de los parametros bastante regular (consis-tente), en la Figura 5-32b) se observa que la traza de la matriz de covarianza decrece, lo cual denota quela estimacion recursiva se esta desarrollando adecuadamente, como un indicador del desempeno se midela varianza de la traza y se tiene 5.532x103. Si el determinante de la matriz inversa de covarianza es 0,el sistema no es identificable como ya se menciono en secciones anteriores, ya que existe dependencialineal en la solucion de la identificacion. Mientras este ultimo indicador se acerque a cero, implica elriesgo de la perdida de la identificabilidad. Para el caso de la identificacion con modelo interno de primerorden, la varianza de este indicador es 9.457x109, lo cual implica que el sistema no tiene problemas deidentificabilidad.

En la Figura 5-33 se presenta el comportamiento de la estimacion recursiva cuando el modelo interno esde segundo orden. En la Figura 5-33a) puede observarse un comportamiento variable en la estimacion;no hay un patron que pudiera delatar perturbacion parametrica y en su lugar puede observarse unainconsistencia en la estimacion. Una situacion que permite sospechar del sobredimensionamiento de laestimacion es el desempeno en espejo que puede apreciarse en los puntos a y b, y en los puntos c y d en laFigura 5-33a). El comportamiento de la traza de Px se observa erratico en la Figura 5-33b); la varianzaes para este caso 1.0995x108, lo cual es un aumento significativo con respecto al caso de primer orden,incluso considerando el aumento en la dimension de la matriz de covarianza causado por el aumentodimensional del modelo interno. Finalmente la varianza del determinante de la inversa de la matriz decovarianza durante la estimacion es 1.595x106.

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Figura 5-33: Estimacion recursiva para el modelo interno de segundo orden, a) Comportamiento de los parametrosde estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

En la Figura 5-34a se observa que la estimacion cuando el modelo interno es de tercer orden, tiene unamayor variacion. Se puede observar que los parametros no parecen converger, la varianza de la traza paraeste caso es 2.447x108 y la varianza del determinante de la inversa de la matriz de covarianza es de 12.919,lo cual dados los niveles parametricos para este indicador obtenidos durante la identificacion tanto deprimer como de segundo orden, es peligrosamente cercano a cero, delatando el sobredimensionamiento.De lo analizado grafica por grafica de la estimacion para los diferentes ordenes se pueden obtener conclu-siones basadas en la experiencia de diseno, y la interpretacion cualitativa del proceso de estimacion. Elprocedimiento de seleccion del orden n para el modelo interno del estimador RLS usado por el GMVDPACdescrito en el Capıtulo 4 es un esfuerzo para capturar la experiencia del disenador para la interpretacionde las graficas de estimacion recursiva.

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Figura 5-34: Estimacion recursiva para el modelo interno de tercer orden, a) Comportamiento de los parametrosde estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza Px, c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

Considerando la metodologıa de seleccion de orden descrita en el Capıtulo 4, para el caso de la ban-da transportadora se obtiene la informacion presentada en las tablas 5.5, 5.6 y 5.7. En la Tabla 5.5se presentan los modelos discretos identificados por RLS para cada orden, con los ultimos valores deidentificacion.

Tabla 5.5. Modelos identificados

Orden delmodelo

Funcion de transferencia discreta h=0.1

1er orden G1 (z) =0.005439z−0.9973

2er orden G2 (z) =0.0004z−0.005985z2−0.8224z−0.1744

3er orden G3 (z) =0.0004554z2+0.002636z+0.004061z3−0.8001z2−0.07889z−0.1174

De las funciones de transferencia discretas puede decirse que todas tienen polinomios coprimos; es decir,no hay redundancia de polos y ceros, en el sentido practico la distancia entre polos y ceros impide inferir elsobredimensionamiento, ya que la respuesta del sistema presentada en la Figura 5-31 tiene un contenidoarmonico mucho mas rico que un primer orden, y aunque una alternativa basada en la experiencia esmodelar estos sistemas como integradores puros, podemos observar que el criterio de asignacion de polosno es concluyente en este sentido. Para este caso particular la banda del prototipo es elastica, lo cualintroduce otras dinamicas adicionales a la integradora dominante. Si la elasticidad de la banda fueradespreciable; es decir, la transmision tuviera una relacion uno a uno, la dinamica dominante serıa masevidente para este criterio, pero por los resultados se requiere revisar los otros dos criterios de decision.En la Tabla 5.6 se presenta el comportamiento de la integral de los residuos de la estimacion.

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Tabla 5.6. Residuos integrados

Orden delmodelo

xPt=1|ε (t)|

1er orden 4.6231038

2er orden 2.246151

3er orden 2.120186

Como se menciono en el Capıtulo 4, este criterio solo es empleado como criterio de desempate si no sepueden tener resultados del criterio de asignacion de polos y el de convergencia heurıstica, por lo que seprocedera a revisar el criterio de convergencia heurıstica, cuyos resultados se exponen en la Tabla 5.7 (lavarianza es medida en θ1).

Tabla 5.7. Convergencia heurıstica

Varianza de los parametros de estimacion por ventana

Orden delmodelo

Ventana 1 Ventana 2 Ventana 3 Ventana 4

1er orden 0.003790 0.0000001782(< V 1) 0.000001244(< V 2) 0.000005033(≈ V 2)

2er orden 0.009126 0.03455(>> V 1) 0.01143(< V 2) 0.05760(> V 3)

3er orden 0.02379 0.01867(< V 1) 0.01143(< V 2) 0.03394(> V 3)

Este criterio arroja resultados suficientes para la eleccion de orden, pues se puede observar la falta deconsistencia para estructuras internas, tanto de segundo como de tercer orden. Por lo cual y del algoritmode seleccion de orden descrito en el Capıtulo 4 se deduce que el modelo es n = 1.

De la excitacion para este caso puede medirse un retardo k=0 (ver Figura 5.31). Para el diseno de laubicacion de polos, la dinamica dominante es integradora y la tarea fundamental es desplazar el polodominante en las cercanıas de 1 al interior del cırculo unitario. Para establecer que tanto se puededesplazar el polo hacia el interior del cırculo unitario, se hace la siguiente consideracion practica conrespecto a los actuadores: se calcula τ como el 10% del tiempo necesario para alcanzar el 50% del rangoentre los lımites de saturacion de la variable. Por lo cual se tiene una τ deseada en lazo cerrado equivalentea 2 seg., lo cual determina T como cuando h =0.1 seg., como:

T = z − 0.9512 (5.69)

resultado de la estimacion inicial, se ajustan como valores iniciales del GMVDPAC, los finales de laestimacion de primer orden

θ0 = (0.99727053,0.00543861,1) (5.70)

donde el tercer parametro corresponde a Co (la estructura de este polinomio, se elige a partir de larecomendacion de [8]), ya que se tiene cierta certeza sobre los parametros de arranque que la matriz decovarianza inicial es ajustada como:

Px0 = 10I (5.71)

Finalmente el factor de olvido es fijo durante la estimacion como λ =0.99.

En la Figura 5-35a) puede apreciarse el comportamiento del desplazamiento de la banda transportadora(medido del sensor en volts). La accion de control esta menos tiempo en saturacion que el control ajustadoarbitrariamente presentado en la Figura 5-23, ademas el sobreimpulso inicial es mucho menor en la Figura5-35a) que en la Figura 5-23a). En la Figura 5-36 se presenta el proceso de estimacion llevado a cabodurante el control GMVDPAC.

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Figura 5-35: Comportamiento del controlador GMVDPAC, a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control.

Figura 5-36: Estimacion recursiva durante el control adaptable, a) Parametros de estimacion, b) Traza de lamatriz de covarianza.

En la Figura 5-36a) puede observarse que uno de los parametros de estimacion presentado en la Figura 5-34 ronda la unidad, lo cual es congruente con la dinamica integradora dominante del sistema. En terminosgenerales se puede observar una estimacion consistente, lo cual es validado por el comportamiento de latraza de la matriz de covarianza presentado en la Figura 5-36b).En la Figura 5-37 se presenta el resultado de una prueba que involucra cambio de carga, como puedeobservarse estos se realizan en los segundos 100 y 110 como desplazamientos axiales arbitrarios en labanda, para sacar al sistema de su posicion de control. La duracion de la carga en tiempo esta restringida

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a solo lograr el desplazamiento de la banda para quedar fuera de la referencia. En la Figura 5-37b) seobserva la correccion realizada por la senal de control para regresar al sistema a su posicion original. Enla Figura 5-38 se presenta el proceso de estimacion relacionado.

Figura 5-37: Control GMVDPAC aplicando al control de posicion de una banda transportadora prototipo durantecambios de carga, a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control.

Figura 5-38: Estimacion recursiva durante el control adaptable cuando existen cambios de carga, a) Parametrosde estimacion, b) Traza de la matriz de covarianza.

El control de respaldo (el PID genetico directo), descrito en la seccion 4.3 es probado por separado parael mismo sistema. Una vez que se ha elegido el orden del modelo interno, se utilizaron los parametros

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de estimacion de dicha estructura para construir un modelo interno usado para computar la funcion deaptitud dentro del algoritmo genetico. Las especificaciones particulares para el algoritmo genetico son:tamano de poblacion = 50, longitud del cromosoma = 3 para genes de 8 bits. La reproduccion es realizadaa partir de un torneo, donde participa el 10% de la poblacion por generacion. El PID genetico incluyeun proceso de mutacion del 10% con el fin de disminuir las posibilidades de la convergencia prematura.

Figura 5-39: Simulacion del controlador PID para el individuo mas apto, a) Seguimiento a la referencia, b)Procesoevolutivo.

Como ya se menciono en la seccion 4.3, el individuo (cromosoma) esta compuesto como las gananciasPID para la ecuacion (4.25). El proceso evolutivo esta realizado para un numero fijo de generaciones,25, que le llevan al sistema de computo particular 60.367 segundos. Los valores obtenidos a partir delindividuo mas apto al finalizar la evolucion controlada se exponen en la Tabla 5.8.

Tabla 5.8. Ganancias del PID genetico

Ganancia Valor

K c 9.355351

T i 3.789035

T d 0.156860

En la Figura 5-40 se presenta la prueba practica del control PID genetico en la banda transportadora,puede observarse un comportamiento adecuado ya que el control solo tiene un error en estado estacionariomuy pequeno, pues llega a 3.93 volts cuando la referencia de 4 volts, lo cual equivale al 1.75% de erroren estado estacionario. En la Figura 5-40b) se observa el comportamiento de la senal del control el cuales diferente a la generada por el GMVDPAC. En la Figura 5-41 se realiza un cambio forzado entre elGMVDPAC y el control de respaldo en el tiempo t = 100 seg para observar la continuidad de desempenode los controladores para un proceso real.

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Figura 5-40: Control PID genetico directo aplicado al control de posicion de una banda transportadora prototipo,a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de control.

Figura 5-41: Conmutacion entre controladores GMVDPAC y PID genetico directo en el segundo 100,

a) Seguimiento a la referencia, b) Senal de Control.

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Capıtulo 6

Conclusiones

Este trabajo de tesis condujo a una modificacion sobre el algoritmo del controlador de varianza mınimageneralizado (GMVC), para lacanzar mejores niveles de desempeno y confiabilidad en aplicaciones practi-cas. Al resultado de la modificacion del GMVC se le denomino controlador de varianza mınima general-izado con asignacion dinamica de polos (GMVDPAC). Las modificaciones realizadas al GMVC, reestruc-turaron el algoritmo implıcito como uno explıcito, permitiendo ası, la actualizacion de los parametrosasociados a la funcion costo en cada iteracion, con el fin de mejorar la respuesta del sistema ante pertur-baciones parametricas.

Los principales beneficios del GMVDPAC son:

Extension de la zona de estabilidad con respecto al algoritmo original.

En el Capıtulo 3 se demostro que la zona de estabilidad del controlador GMVDPAC se modifica paraenvolver a las coordenadas de los parametros perturbados, por lo que supera al algoritmo original deClarke en el rubro de estabilidad.

Mejor repetibilidad

Debido a la estructura del controlador, el sistema tiene una mejor interaccion con el procedimiento deidentificacion (ver Capıtulos 3 y 4), lo cual facilita que el sistema pueda comportarse de manera muysimilar en cada oportunidad de uso.

Mayor confiabilidad

El sistema tiene un perfil para encarar perturbaciones en los parametros del proceso (ver los Capıtulos 3y 5), lo cual brinda un mayor nivel de confiabilidad.1

Mayor maleabilidad de la respuesta dinamica.

La estructura explıcita incorporada por el GMVDPAC y el recalculo de los polinomios costo hace posiblegarantizar la ubicacion de polos, con lo que se facilita alcanzar una respuesta dinamica determinada antediversas condiciones de operacion (ver Capıtulo 4).

Eficiencia algorıtmica

El algoritmo esta disenado de tal forma, que realiza la actualizacion de parametros en lınea con unsolo procedimiento RLS, y un incremento computacional moderado para calcular permanentemente lospolinomios costo.

1En el Capıtulo 5 se observo que en terminos generales cuando la amplitud de la perturbacion aumenta, el GMVDPACmuestra un mejor desempeno. Tambien en las pruebas de dicho capıtulo se observo que cuando hay perturbacion en losparametros el menor ITAE se tiene con GMVDPAC.

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6. Conclusiones

Flexibilidad

El GMVDPAC es un algoritmo flexible ya que para operar, la informacion necesaria del proceso esreducida y puede ser recopilada por un sistema automatico (inicializador), lo que facilita su uso en posiblesaplicaciones industriales. Con el fin de recopilar la informacion mınima necesaria para la operacion delcontrol adaptable, se desarrollo un sistema de inicializacion que dio muy buenos resultados, tanto ensimulacion como en experimentos practicos. Las capacidades del GMVDPAC permitieron minimizar lasnecesidades del sistema en su conjunto, simplificando ası varios aspectos del desempeno del control enlazo cerrado.Por su parte la etapa de supervision desarrollada, extiende la autonomıa del controlador, pues le permiteoperar bajo un modo de respaldo en caso necesario, proveyendo al sistema en su conjunto de un mayorgrado de independencia.El sistema desarrollado integrado, permite la operacion dentro de un buen nivel de confiabilidad y au-tonomıa. Aunque el controlador individualmente es capaz de controlar sistemas de fase mınima e inesta-bles, el sistema integrado en su conjunto solo contempla la operacion autonoma con sistemas asintotica-mente estables, marginalmente estables e integradores.En general la estructura de control desarrollada tiene una enorme potencialidad para su aplicacion practi-ca en el contexto industrial, ademas de que las ventajas expuestas en el trabajo pueden hacerla atractivaen sistemas donde existan perturbaciones parametricas y se requiera un seguimiento de la referenciaestrecho.

6.1. Contribuciones

El desarrollo de la tesis partio de la premisa que para aumentar los niveles de confiabilidad y autonomıade un controlador adaptable del tipo STR (y de esta forma facilitar su insercion en el contexto industrial),se requiere que el sistema de control adaptable contemple una estructura de soporte, conformada por uninicializador automatico y un sistema de supervision, capaz de tomar acciones pertinentes en caso de undesempeno poco satisfactorio.Como fue comentado al inicio del documento en [46] se describe un procedimiento de inicializacion ligadoa la estructura de supervision descrita en [31], ambos procedimientos estan basados en el analisis de larespuesta a la frecuencia, particularmente en el uso del relevador realimentado [2] y son empleados en elcontrolador de campo adaptable ABB ECA600. La principal limitante es que el relevador realimentadosolo puede emplearse con procesos asıntoticamente estables. Ya que el controlador involucrado en lapropuesta original, puede nominalmente manejar indistintamente sistemas de fase mınima y no mınima,debiera esperarse que el inicializador desarrollado tuviera rangos de operacion mas amplios.En la propuesta de tesis doctoral presentada en el documento del seminario predoctoral, se propusieroncomo opciones para el controlador del sistema, el GMVC [19], [20] y el GMVPAC [1]. Posterior al semi-nario predoctoral se encontro que el GMVPAC de Allidina tenıa problemas algorıtmicos y de convergenciapor lo que se descarto como opcion, la propuesta original del inicializador y supervisor descrita en el do-cumento del seminario predoctoral estaba en funcion de las necesidades de dicho controlador, siendo lasvariables de inicializacion requeridas para dicho controlador:

1. Parametros de estimacion iniciales,

2. Matriz de covarianza inicial,

3. Deteccion del retardo del proceso,

4. Seleccion del orden del modelo de estimacion,

5. Seleccion del periodo de muestreo,

122

6.1 Contribuciones

6. Seleccion del polinomio de ubicacion deseada de los polos,

7. Seleccion de los polinomios costo,

8. Inicializacion del control de respaldo.

Mientras que las variables involucradas en la supervision eran:

1. Variables relacionadas a la respuesta dinamica como el error y algunas de sus relaciones estadısticas,

2. Identificabilidad y calidad de la estimacion (a traves de la matriz de covarianza y los residuos),

3. Estabilidad del sistema de control a traves del monitoreo de la senal de control y la ubicacion depolos,

4. Conmutador entre el controlador de respaldo y el control adaptable,

5. La comunicacion con el usuario a traves de la interfaz de usuario.

Bajo este esquema, serıa necesario proponer los polinomios costo (punto 7 de la inicializacion) y verificarque los polos alcanzaran la asignacion deseada (punto 3 de la supervision), para que en caso de que estono sucediera, redisenar los polinomios costo.La particularidad de las necesidades expresadas motivaron la sıntesis de un algoritmo de control quesatisfaciera dichas necesidades: el GMVDPAC. El uso del GMVDPAC elimina la necesidad del punto 7de inicializacion y simplifica el punto 3 de la supervision, al suprimir la necesidad de verificar la ubicacionde polos ya que esta se asegura, si la estimacion converge (ver Capıtulo 3), por lo que se centro el desarrolloen el punto 2 de la supervision, ya que si el supervisor garantiza la consistencia estructural se puedenesperar buenos niveles de desempeno en el controlador.Las principales aportaciones del trabajo se pueden establecer en relacion a las etapas del sistema. Conrespecto al algoritmo de control adaptable propuesto, las aportaciones son:

El algoritmo propuesto no requiere de una inicializacion de los polinomios costo,

El algoritmo propuesto contempla una actualizacion permanente de los polinomios costo (relati-vamente con poco aumento de costo computacional) lo cual permite garantizar una asignacion depolos ante perturbaciones parametricas,

El algoritmo presenta un mayor rango de estabilidad que el algoritmo original ante perturbacionesparametricas arbitrarias.

El algoritmo de control desarrollado en la tesis se ha reportado en [64] y en [59] donde se aborda comotema la eficiencia computacional, mientras que en [61] se aborda el desempeno de los polos en lazocerrado. En [67] se revisa a partir de una aplicacion el desempeno dinamico del controlador, y en [60] seestudia la estabilidad del algoritmo ante perturbaciones parametricas.Por su parte para el control de respaldo se desarrollo un sistema de sintonizacion por modelo interno(para n ≤ 3) que permite la sintonizacion del controlador PID, sin importar si el sistema es estable,marginalmente estable o inestable. El control aprovecha un procedimiento de inicializacion comun con elcontrol adaptable, del cual se genera un modelo interno y con ayuda de un algoritmo genetico se obtienenlas ganancias necesarias.Esta propuesta de sintonizacion fue denominada PID genetico directo y ha sido reportada en [62] y en[63], tambien se hace referencia a ella en [64].En lo referente al sistema de soporte se desarrollo un proceso de inicializacion que se basa en una excitacionen lazo abierto y la estimacion RLS.

123

6. Conclusiones

Para el desarrollo de la inicializacion se propuso un metodo original para elegir el orden del modelointerno e inicializar las variables del controlador autosintonizable. Dicho metodo fue reportado en [64].Finalmente para la estructura de supervision en lınea se desarrollo un sistema experto, que sintetiza elconocimiento heurıstico generado en este rubro, a lo largo del trabajo.A continuacion se enumeran las publicaciones, producto del trabajo de tesis.

Paz-Ramos M.A., Torres-Jimenez J., Quintero-Marmol-Marquez E., “Proportional-Integral-DerivativeControllers Tuning for Unstable and Integral Processes Using Genetic Algorithms”, ICCS 2004 (In-ternational Conference on Computational Science 2004, Krakow, Poland), publicado en el numeroespecial de la revista Lecture Notes in Computer Science, 3037, pp. 532-539, Springer-Verlag 2004.

Paz-Ramos M.A., Torres-Jimenez J., Quintero-Marmol-Marquez E., “PID Controller Tuning forStable and Unstable Processes Applying” GECCO 2004 (Genetic and Evolutionary ComputationConference 2004, Seattle, Washington), publicado en el numero especial de la revista Lecture Notesin Computer Science, 3103, pp. 1-10, Springer-Verlag 2004.

Paz-Ramos M.A., Quintero-Marmol-Marquez E., Torres-Jimenez J., “Automatic Intelligent Ini-tialization for a Modified Generalized Minimum Variance Controller”, Proceedings of the 5th AsianControl Conference, pp.1231-1238, Melbourne 20-23 July 2004.

Paz-Ramos M.A., Quintero-Marmol-Marquez E., Fernandez del Busto R., “Generalized MinimumVariance with Pole Assignment Controller Modified for Practical Applications”, Proceedings ofthe 2004 IEEE International Conference on Control Applications, pp. 1347-1352, September 2-4,Taipei, Taiwan.

Ponce Cruz P., Paz Ramos M.A., Fernandez del Busto R., Quintero-Marmol E., “DTC Scheme for anInduction Motor Using Generalized Minimum Variance Controller with Dynamic Pole Assignment”,IEEE International Symposium on Industrial Electronics, pp. 957-962, Junio 20-23 2005, Dubrovnik,Croacia.

Paz-Ramos M.A., Quintero-Marmol-Marquez E., Fernandez del Busto R., Olguin E., Santos O. J.,Ponce P., “Improving Stability and Performance in a Generalized Minimum Variance Controllerusing Dynamic Pole Assignment”, 2nd International Conference on Electrical and Electronics En-gineering and XI Conference on Electrical Engineering, pp. 370-373, Mexico City, September 7-92005.

Paz Ramos M. A., Fernandez del Busto R., Quintero Marmol E., “Generalized Minimum Variancewith Pole Assigment Controller”, Memorias del congreso nacional de Control Automatico 2005 de laAsociacion de Mexico de Control Automatico (AMCA), artıculo 77. Cuernavaca Morelos, Mexico,19-21 de Octubre del 2005.

6.2. Trabajos futuros

Durante el desarrollo de tesis se encontraron algunas vertientes de investigacion, que por diversas razonesno pudieron ser exploradas o explotadas. Algunas de estas vertientes pueden presentar un interes suficientecomo para permitir trabajos futuros relacionados. Dichos trabajos pueden asociarse principalmente a lossiguientes topicos:

Estabilidad: En este trabajo se exploraron algunos aspectos relacionados a la estabilidad del algoritmopropuesto (GMVDPAC), y se mostraron las capacidades del algoritmo para sobreponerse a pertur-baciones parametricas durante su operacion. Los casos revisados en el documento no contemplan

124

6.2 Trabajos futuros

retardo en el transporte. En algun momento del desarrollo de la tesis, se revisaron algunos casoscon retardo con la ayuda del metodo D particiones [36], sin embargo no se pudo generalizar unresultado, a pesar de lo cual se observaron situaciones sumamente interesantes, las cuales requierenmayor trabajo en la busqueda de una interpretacion acertada.

Supervision: Un aspecto que requiere la mayor atencion en el control de procesos es el manejo de lasoscilaciones, pues la existencia de estas en un lazo, representa un riesgo de consideracion, parala operacion del proceso. En particular las estructuras de control adaptable son mas susceptiblesa la disfuncion a causa de las oscilaciones [72] y de hecho en la practica, cuando las oscilacionesse presentan se recomienda detener el proceso de adaptacion [29]. Un trabajo de interes podrıaser el desarrollo de una herramienta que trabaje de forma coordinada con el control adaptable yque permita la deteccion oportuna de dichas oscilaciones para tener otras alternativas diferentesa detener la adaptacion. El estudio de la interaccion entre la herramienta y el control adaptableameritarıan especial cuidado.

Implementacion: Durante el desarrollo del trabajo, siempre se mantuvo el objetivo de que el trabajopudiera implementarse en la practica, por lo cual fueron llevados a cabo varios experimentos conel fin de evaluar el desempeno del sistema en su conjunto. Por otro lado siempre se tuvieron comoreferencia algunos controladores comerciales de campo, por lo que un paso logico podrıa ser laimplementacion del sistema en un sistema mınimo, bajo una estructura embebida o aprovechandolas posibilidades que brindan los controladores de automatizacion programables [79].

125

6. Conclusiones

126

ANEXO A

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