TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS - ORIENTACIÓN EN...
Transcript of TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS - ORIENTACIÓN EN...
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS -
ORIENTACIÓN EN FÍSICA TECNOLÓGICA
IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS DE MODELODINÁMICO DE UN VEHÍCULO AÉREO NO TRIPULADO
Cabrerizo, Armando ErnestoMaestrando
Ing. Relloso, José (IB, INVAP)Director
Dr. Rojo, Félix (INVAP)Co-director
Miembros del Jurado:Dr. Guillermo Pregliasco (Instituto Balseiro)Dr. Santiago Hernández (Instituto Balseiro)
Ing. Agustín Casquero (INVAP S.E.)
18 de Diciembre de 2017
Grupo de Guiado y Control - Sector de Tecnologías Avanzadas - INVAP SE
Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo
Comisión Nacional de Energía AtómicaArgentina
A mi familia y amigos que siempre están presentes.
Índice de contenidos
Índice de contenidos v
Índice de �guras ix
Índice de tablas xiii
Glosario xvii
Resumen xix
Abstract xxi
1. Introducción 1
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Identi�cación de Sistemas 5
2.1. Identi�cación de Sistemas y Estimación de Parámetros . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Elección de un Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Diseño de datos entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3. Registro de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4. Análisis de compatibilidad de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5. Estimación de parámetros y estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.6. Diagnóstico de colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.7. Validación del Modelo y Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Estado Actual de la IDS en VANTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
v
vi Índice de contenidos
2.3.1. VANTs de ala �ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2. Otros tipos de VANTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3. Métodos de Estimación utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo 17
3.1. Marcos de referencia y Convenciones de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1. Marcos de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Cinemática de una aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Dinámica de cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . 26
3.4.1. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2. Ecuaciones de movimiento en el espacio de Estados . . . . . . . . . . 28
3.5. Ecuaciones de Movimiento Linealizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.1. Ecuaciones Longitudinales en el espacio de estados . . . . . . . . . . 30
3.6. Modos de oscilación longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1. Modos de oscilación longitudinales: Periodo Corto . . . . . . . . . . 32
3.6.2. Modos de oscilación longitudinales: Periodo largo - Phugoid . . . . . 33
3.6.3. Ecuaciones Laterales Direccionales en el espacio de estados . . . . . 35
3.7. Modos laterales - direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.1. Modo de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.2. Modo Espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.3. Modo de Dutch-Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Modelado y Simulación 43
4.1. Modelado de una Aeronave de Ala Fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Coe�cientes aerodinámicos desde DATCOM . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2. Propulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Algoritmo implementado para el modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1. Inicialización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2. Estado de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3. Obtención de las matrices del espacio de estados del sistema linealizado 46
Índice de contenidos vii
4.2.4. Finalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1. Algoritmo de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Estimación de Parámetros 55
5.1. Elección de un estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1. Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2. Herramientas de evaluación estadística del Estimador . . . . . . . . . 60
5.2.3. Implementación del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario . . 62
6. Datos de Vuelos Experimentales 65
6.1. Caburé: VANT para experimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. Sensórica del Caburé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.2. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP . . . . . . . . . . . . . 68
6.3. Diseño de Maniobras para la Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4. Resumen de los Vuelos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5. Procedimiento de Vuelos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7. Procesamiento de Datos Experimentales 77
7.1. Mediciones directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2. Mediciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4. Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.5. Interpolación y Suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.6. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.7. Ejemplo del Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Análisis de Resultados 91
8.1. IDS con Datos Simulados en Modo Piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado . . . . . . . . . . . 92
8.1.2. Identi�cación de Derivativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
viii Índice de contenidos
8.1.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . 97
8.2. IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado . . . . . . . . . . . 100
8.2.2. Identi�cación de Derivativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . . 105
8.3. IDS con Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado . . . . . . . . . . . 108
8.3.2. Identi�cación de Derivativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . . 113
9. Conclusiones 117
9.1. Finalización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2. Experiencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3. Interpretación de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.4. Investigaciones Pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A. Apéndice: Archivo Ejemplo de Entrada a DATCOM 121
Bibliografía 125
Agradecimientos 129
Índice de �guras
2.1. Elementos generales de un sistema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Sistemas de coordenadas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Sistemas de coordenadas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Oscilación longitudinal de periodo corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5. Oscilación longitudinal de periodo largo - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6. Modo de Roll - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7. Modo Espiral - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8. Modo Dutch-Roll - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1. Modelado y Simulación de un Sistema Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Diagrama del algoritmo de modelado implementado . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Simulación en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Diagrama del simulador implementado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Simulación de una maniobra sobre el elevador . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6. Simulación de una maniobra sobre el motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7. Simulación de un giro coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1. Árbol de decisión para la elección de un modelo de Estimación de Parámetros 57
5.2. Árbol de decisión para la elección de un Estimador de Parámetros . . . . . 58
6.1. CAD del Caburé y foto en vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ix
x Índice de figuras
6.4. Telemetría de la altura de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5. Telemetría de los actuadores durante el vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.6. Modo de control durante el vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1. Posicionamiento horizontal de un vuelo de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2. Ejemplo de la sustracción del estado de equilibrio para obtener las pertur-
baciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3. Ejemplo de la implementación de la diferenciación numérica . . . . . . . . . 81
7.4. Suavizado producido por la interpolación de los datos procesados . . . . . . 81
7.5. Respuesta en frecuecnia del �ltro pasa bajos implementado en el algortimo . 82
7.6. Procesamiento de la velocidad respecto al aire . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.7. Procesamiento del ángulo de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.8. Procesamiento de la velocidad de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.9. Procesamiento del ángulo de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.10. Procesamiento de la de�exión del elevador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.11. Procesamiento de la velocidad del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.12. Procesamiento de la derivada de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.13. Procesamiento de la derivada del ángulo de ataque . . . . . . . . . . . . . . 85
7.14. Procesamiento de la derivada de la velocidad de cabeceo . . . . . . . . . . . 85
7.15. Procesamiento del ángulo de deslizamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.16. Procesamiento de la velocidad de alabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.17. Procesamiento de la velocidad de guiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.18. Procesamiento del ángulo de alabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.19. Procesamiento del ángulo de guiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.20. Procesamiento de la de�exión de los alerones . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.21. Procesamiento de la velocidad del timón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.22. Procesamiento de la derivada del ángulo de deslizamienot lateral . . . . . . 88
7.23. Procesamiento de la derivada de la velocidad de alabeo . . . . . . . . . . . . 88
7.24. Procesamiento de la derivada de la velocidad de guiño . . . . . . . . . . . . 89
8.1. Señal modelo de excitación del sistema para el entrenamiento del modelo . . 92
8.2. Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada . . . 98
Índice de figuras xi
8.3. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada . . . . . 99
8.4. Excitaciones producidas por el autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5. Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada . . . 106
8.6. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo
Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.7. Excitaciones de una maniobra extraída de los vuelos experimentales . . . . . 108
8.8. Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada . . . 114
8.9. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada con dato
reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Índice de tablas
4.1. Condiciones iniciales de ejecución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1. Resumen de parámetros característicos del Caburé . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Especi�caciones de los sensores de la IMU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3. Especi�caciones del GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4. Especi�caciones del Sensor de Presión Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3. Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.4. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.5. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.7. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre . . 95
8.8. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación 96
8.9. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo . . 96
8.10. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral 96
8.11. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo . . . 97
xiii
xiv Índice de tablas
8.12. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño . . . . 97
8.13. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada . . . 98
8.14. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 98
8.15. Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada . . . . . . 98
8.16. Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 99
8.17. Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada . . . . . 99
8.18. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.19. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.20. Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.21. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.22. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.23. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.24. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre en
Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.25. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación
en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.26. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo en
Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.27. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral
en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.28. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo en
Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.29. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño en
Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.30. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada . . . 105
Índice de tablas xv
8.31. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 105
8.32. Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada . . . . . . 106
8.33. Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 106
8.34. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo
Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.35. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.36. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.37. Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.38. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.39. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.40. Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.41. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre con
datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.42. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación
con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.43. Matriz de correlación de las derivativas del coe�ciente de sustentación. . . . 112
8.44. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo con
datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.45. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral
con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.46. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo con
datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.47. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño con
datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
xvi Índice de tablas
8.48. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada con
datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.49. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada con datos reales114
8.50. Resultados de los modos longitudinales a partir de la matriz identi�cada con
dato reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.51. Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 115
8.52. Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada . . . . . 115
Glosario
Acrónimos
VANT: Vehículo Aéreo No Tripulado
UAV: Unmanned aerial vehicle
SARA: Sistema Aéreo Robótico Argentino
GPS: Global Positioning System
IDS: Identi�cación de Sistemas
IDP: Identi�cación de Parámetros
PWM: Pulse Width Modulation
IMU: Inertial Measurement Unit
AHRS: Attitude and Heading Reference System
PDF: Probability Density Function (Función de Densidad de Probabilidad)
CRLB: Cramér-Rao Low Bound (Cota Inferior de Cramér-Rao)
MLE: Maximum Likelihood Estimation (Estimación de Máxima Verosimilitud)
MVUE: Minimum-Variance Unbiased Estimation (Estimación Insesgada de Mínima Va-
rianza)
LSE: Least Squares Estimation (Estimación de Mínimos Cuadrados)
xvii
Resumen
La posibilidad de contar con un sistema aéreo robótico se ha convertido en una necesidad
para todos los países que desean tener un control e�ciente, económico e inteligente de su
territorio. Estas intenciones se vieron re�ejadas en el Estado Argentino con la resolución
Nº 1.484 del Ministerio de Defensa, donde surge el programa Sistema Aéreo Robótico Ar-
gentino (SARA). Encomendada la tarea de gestión del proyecto a la empresa INVAP, nace
entonces la necesidad del diseño de una serie de Vehículos Aéreos No Tripulados (VANTs).
El diseño de una aeronave autómata tiene como principal di�cultad el desarrollo e im-
plementación de un autopiloto robusto, tolerante a las perturbaciones externas y posibles
fallas del sistema. La precisión y e�ciencia de este controlador depende en gran medida de
la capacidad de predicción del modelo aerodinámico que se conozca de la aeronave. Una
técnica muy utilizada para la obtención de un modelo matemático riguroso es la Identi�ca-
ción de Sistemas o Identi�cación de Parámetros. En esta tesis se desarrolla una herramienta
de aplicación general que permita la identi�cación de los parámetros del modelo dinámico
de un VANT a partir de datos de vuelo. Como primer versión de esta herramienta se utiliza
la estimación por Mínimos Cuadrados. En el desarrollo de esta tesis se presenta el modelo
analítico de una aeronave de ala �ja, las bases de la estimación estadística, la generación de
datos simulados y el procesamiento de datos reales. Finalmente se muestran los resultados
de la aplicación de la Identi�cación de Parámetros para obtener un modelo matemático
óptimo de un VANT.
Palabras clave: identi�cación de sistemas, sistemas dinámicos, vehículos aéreos no tripu-
lados
xix
Abstract
The possibility of having a robotic air system has become a necessity for all countries
that wish to have an e�cient, economic and intelligent control of their territory. In Ar-
gentina, these intentions are materialized by the program Sistema Aéreo Robótico Ar-
gentino (SARA) (resolution No. 1.484 of the Ministry of Defense). Within the program
manage by INVAP, the need of designing a series of UAVs(Unmanned aerial vehicles). The
main di�culty during the design of an automaton aircraft is the development and im-
plementation of a robust autopilot, tolerant to external disturbances and possible system
failures. The accuracy and e�ciency of this controller depend to a large extent on the
prediction capacity of the aerodynamic model that is known from the aircraft. System
Identi�cation or Parameter Identi�cation is a technique widely used to obtain rigorous
mathematical models. The main objective of this thesis is to develop a tool of general ap-
plication that allows the identi�cation of the parameters of the dynamic model of an UAV
from �ight data. The estimate for Least Squares is used as the �rst version of this tool. In
the development of this thesis the analytical model of a �xed-wing aircraft is presented, the
bases of the statistical estimation, the generation of simulated data and the processing of
real data. Finally, the results of the application of the Parameter Identi�cation are shown
to obtain an optimal mathematical model of an UAV.
Keywords: System Identi�cation, Dynamic Systems, Unmanned Aerial Vehicle
xxi
Capítulo 1
Introducción
1.1. Motivación
El desarrollo de esta tesis de maestría en el Instituto Balseiro en conjunto con INVAP
S.E., encuentra una de sus principales motivaciones en el marco de desarrollo del Sistema
Aéreo Robótico Argentino (SARA). El proyecto SARA surge gracias a la resolución N°1484
del Ministerio de Defensa, la cual reconoce la necesidad de la implementación de un sistema
de Vehículos Aéreos No Tripulados (VANTs). Esto permitiría a la defensa nacional contar
con una herramienta de control y vigilancia para los grandes territorios que comprenden
el país. Este proyecto necesita la producción de aeronaves de distinto tipo, complejidad y
autonomía para cumplir con los requerimientos operativos propios de este sistema. Por esta
razón en noviembre de 2010, se encomienda entonces a la empresa de tecnología INVAP el
diseño y gestión del SARA. La responsabilidad de INVAP en todo el proceso se estipula
que llegue hasta la plena operación de los prototipos [1].
Por otra parte la aplicación de los VANTs se encuentra en gran crecimiento, ya no
sólo en el ámbito militar, sino que expandiéndose a otros usos comerciales y cientí�cos [2].
Los VANTs, también conocidos como "drones", son aeronaves que componen un sistema
autónomo que cuenta además con una estación terrestre de control y un sistema de co-
municación entre ambos [3]. Los VANTs pueden volar de manera autónoma gracias a un
autopiloto que comanda los actuadores, y de acuerdo a los requerimientos de trayectoria,
implementa soluciones de navegación en base a mediciones en tiempo real de sensores de
vuelo, como acelerómetros, giróscopos y GPSs. Esta serie de características ha transfor-
1
2 Introducción
mado a los VANTs en un recurso óptimo para el sensado remoto necesario en diversas
aplicaciones. Algunas de los empleos actuales son:
Aeroespacial: control y mantenimiento de otras aeronaves.
Militar: útil en misiones de reconocimiento, vigilancia, ataque, defensa u objetivo de
entrenamiento.
Control �scal: se emplean para sobrevolar terrenos que no han sido correctamente
declarados al �sco.
Eventos: se utilizan en recitales, des�les de moda y hasta protestas, los drones abren
toda una nueva gama de posibilidades al periodismo fotográ�co y a los cineastas.
Emergencias: permiten llevar la ayuda necesaria rápidamente o en una fase previa
evaluar la ayuda necesaria en la zona o la forma de arribo al lugar [4].
Vigilancia fronteriza: controlar los ingresos marítimos y fronteras.
Arqueología: permite explorar y descubrir nuevas locaciones de manera rápida [5].
Transporte de cargas: pueden trasportar cargas valiosas a zonas inaccesibles.
Agricultura: donde los productores pueden monitorear grandes dimensiones que de
otra manera sería imposible [6].
Para el correcto funcionamiento e integración de un VANT en el espacio de vuelo civil es
imprescindible el diseño de un autopiloto robusto [2]. La robustez de un automatismo viene
por la capacidad de responder e�cientemente ante situaciones que no sean exactamente las
modeladas. Una etapa fundamental para poder diseñar un autopiloto robusto es el correcto
modelado de las ecuaciones dinámicas. En general para obtener el modelo analítico de una
aeronave se recurre a la segunda Ley de Newton como primer instancia. Posteriormente
para obtener los parámetros que determinan la aerodinámica se utilizan experimentos de
túnel de viento. Esta técnica no es muy utilizada en VANTs ya que suele ser costosa e
ine�ciente para aeronaves de pequeña envergadura.
Como solución ante esta problemática se propone la Identi�cación de Sistemas (IDS),
el cual es un método de obtención del modelo y parámetros del sistema a partir del análisis
1.1 Motivación 3
de la respuesta del mismo a estímulos de entrada. La IDS en VANTs es utilizada satisfacto-
riamente para mejorar la precisión de los modelos que se obtienen de los procesos analíticos
o experiencias en laboratorio, ya que en este caso la información es extraída directamente
de datos de vuelos reales en condiciones reales. Una vez mejorado el modelo, el control
de vuelo autónomo puede ser desarrollado u optimizado. La identi�cación de sistemas nos
ofrece entonces una valiosa herramienta para el modelado, control y simulación de sistemas
dinámicos. Algunas de las aplicaciones directas de la aplicación de la IDS en VANTs son:
Identi�cación de parámetros y modelos dinámicos.
Validación de modelos analíticos y/o experimentales.
Diseño y optimización de sistemas de controles.
Implementación de IDS en tiempo real.
Detección de fallas del sistema.
En esta tesis se pretende desarrollar los métodos y algoritmos necesarios para una iden-
ti�cación de los parámetros dinámicos fundamentales del VANT, a partir de datos de vuelo.
Si bien los métodos a desarrollar se utilizaran en la caracterización de un modelo de VANT,
no se encuentran limitados al modelo indicado, sino que serán de aplicación general. Para
ello la tesis se desarrollará a través de una serie de capítulos con el siguiente orden. En
el capítulo 2 se estudiará la información acerca de la identi�cación de sistemas aplicados
a aeronaves. Posteriormente en el capitulo 3 se desarrollará el modelo matemático de un
VANT. En el capítulo 5 se hará una descripción del método de estimación seleccionado
para la identi�cación. El capítulo 4, explica el modelado analítico e implementación de un
simulador para la prueba del método de identi�cación. El capítulo 6 describe los datos de
vuelos reales obtenidos y su procesamiento. Luego de la descripción de los datos experi-
mentales, en el capítulo 7 se presentan las técnicas de procesamiento de datos utilizadas.
El capítulo 8 presenta los resultados obtenidos acerca del modelo alcanzado y su capacidad
de predicción. Finalmente el capítulo 9 presenta conclusiones y sugerencias de estudios
futuros.
4 Introducción
1.2. Objetivo
El objetivo de la tesis es lograr como resultado una herramienta que permita ser aplicada
en la identi�cación de los parámetros del modelo dinámico de un VANT a partir de datos
de vuelo. Se explorarán distintos métodos y alternativas, tanto de procesamiento batch
post-facto como de tiempo real, este ultimo de utilidad para un futuro control adaptativo,
analizando ventajas y desventajas de cada opción.
La serie de tareas que se plantean para alcanzar este objetivo son:
Desarrollar un modelo teórico del VANT para poder hacer un estudio previo de la
dinámica de vuelo.
Desarrollar un simulador lineal que permita hacer pruebas teóricas.
Desarrollar un algoritmo de estimación por mínimos cuadrados que encuentre los
valores que de�nen la dinámica total de la aeronave.
Comparar los resultados entre las simulaciones y los datos de vuelo reales.
Capítulo 2
Identi�cación de Sistemas
�La identi�cación de sistemas es la determinación, en base a la
observación de entradas y salidas, de un sistema dentro de una
clase especí�ca de sistemas al cual el problema bajo investiga-
ción sea equivalente [7] .�
� Zadeh
Uno de los objetivos más antiguos y fundamentales de las ciencias humanas es desa-
rrollar modelos matemáticos para sistemas físicos basados en observaciones y mediciones
imperfectas. Esta actividad es conocida como Identi�cación de sistemas [8].
En base a las de�niciones anteriores se puede comenzar a dilucidar los conceptos detrás
de la Identi�cación de Sistemas (IDS). Lo primero que se avista es que no existe una única
manera de llegar a un modelo matemático, y que además al no haber una única técnica para
alcanzarlo, se supone también que no existe un modelo único que represente al problema
físico en cuestión.
La importancia de las técnicas de medición quedan también expresadas, es decir, los
modelos matemáticos son tan representativos de la realidad como precisas sean nuestras
observaciones de la realidad. Las imperfecciones que siempre están presentes en la expe-
rimentación, inducen al desarrollo y aplicación de técnicas de �ltrado y de procesamiento
estadístico que nos determinen datos más �ables, para así obtener modelos más e�cientes,
o equivalentes a la realidad.
El concepto de equivalencia entre modelo matemático y sistema físico, tiene mucho que
5
6 Identificación de Sistemas
ver con la e�ciencia que tenga a la hora de ser aplicado. En otras palabras un buen modelo
matemático, tiene que ser un modelo con la mayor simplicidad posible y que a la vez
cumpla con la función de relacionar las variables en estudio de manera que los resultados
sean útiles a la aplicación en cuestión.
La IDS es uno de los tres problemas generales en el estudio de sistemas dinámicos, los
cuales son:
Simulación: dada la señal de entrada u y el sistema S, el problema consta en encontrar
la salida y.
Control: dado el sistema S y la señal de salida y, se procede a encontrar la entrada u que
produzca el efecto deseado.
Identi�cación de sistemas: dada las señales de entrada u y de salida y, encontrar el
sistema S.
Figura 2.1: Elementos generales de un sistema dinámico.
2.1. Identi�cación de Sistemas y Estimación de Parámetros
La IDS como mencionamos es un método para encontrar un modelo matemático que
describa la dinámica de un sistema a partir del análisis de la evolución de las variables de
entrada y en consecuencia de las variables de salida. Por ende primero debemos diseñar o
producir una señal de entrada que excite el sistema y posteriormente grabar los datos de
2.2 Proceso de Identificación de Sistemas para VANTs 7
salida del sistema. Con estos datos y un modelo matemático postulado a priori se puede
establecer una comparación entre los datos de salida reales o mediciones z y los datos
simulados por el modelo y en función de la entrada diseñada. Esta comparación en general
está dada por una función escalar de costos J que indica el nivel de equivalencia entre
realidad y modelo.
J = f(z, y) (2.1)
Dicha función de costos nos permite encontrar el modelo óptimo para el fenómeno en
estudio. Encontrar el mejor modelo puede ser un trabajo tedioso e improductivo, por lo
que para simpli�car la tarea seleccionamos una clase de modelo M∗ dentro de todos los
modelos posibles M , este nuevo subconjunto de modelos tiene una estructura común, es
decir, se encuentra parametrizadoM∗ = M(θ). Por lo que el proceso de identi�cación pasa
a ser un problema de estimación de parámetros θ, donde como mencionamos anteriormente
el mejor modelo es aquel con los parámetros que minimizan la función de costos J , en este
caso:
J = f(z, y(θ)) (2.2)
La reducción del problema a una estimación de parámetros, nos permite concentrarnos
en la selección de un método de estimación en base a la teoría de inferencia estadística y
estimación.
2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs
Cuando se encara un proceso de identi�cación de sistemas para un vehículo aéreo, uno
de los primeros puntos a enfrentar es la postulación de un modelo matemático que sea
acorde al comportamiento de la aeronave. Esta primera suposición permite formular una
serie de ecuaciones que están de�nidas por variables conocidas como variables de estados,
variables de entrada o variables de salida. Reconocidas las variables de entrada y de salida,
podemos trabajar en el diseño del experimento para para de�nir las maniobras de entrada
y las variables a ser grabadas para el posterior análisis. Para el caso de un VANT de ala
�ja, que es el problema que se trabaja en esta tesis, el modelo matemático que describe al
8 Identificación de Sistemas
sistema está de�nido por la segunda Ley de Newton aplicada a un cuerpo rígido. En forma
general el modelo puede ser descripto como:
mV + ω ×mV = FG(ζ) + FT + FA(V, ω, u, θ) (2.3)
Iω + ω × Iω = MT +MA(V, ω, u, θ) (2.4)
Donde:
m: masa del avión.
I: tensor de inercias.
ζ: vector de actitud.
V : vector de velocidades de traslación.
ω: vector de velocidades angulares.
u: vector de entradas o de control.
FG: Fuerza gravitacional.
FT y MT : Fuerza y momento de propulsión.
FA y MA: Fuerza y momento aerodinámicos.
Como se ve en las ecuaciones las únicas variables que dependen de los parámetros a
estimar θ, son las fuerzas y momentos aerodinámicos. La fuerza gravitacional sólo depende
de la actitud del avión (ángulos de dirección), y las fuerzas de propulsión son conocidas,
comúnmente, por el ensayo en tierra del propulsor y su montaje. La identi�cación de
sistemas queda entonces reducida sólo a la estimación de parámetros que de�nan el modelo
aerodinámico de fuerzas y momentos.
El modelo matemático generalmente se expresa en un espacio de estados, que describe
de manera más completa e integral el fenómeno. Para el caso de la aeronave de ala �ja,
debemos tener en cuenta ademas de estas ecuaciones, las ecuaciones que describen la evo-
lución de la actitud del avión. En conjunto el espacio de estados se puede de�nir de la
siguiente manera:
x(t) = f [x(t), u(t), θ];x(0) = x0 (2.5)
y(t) = h[x(t), u(t), θ] (2.6)
2.2 Proceso de Identificación de Sistemas para VANTs 9
z(i) = y(i) + ν(i) (2.7)
Donde la primer ecuación es conocida como ecuación de estados, la segunda es la
ecuación de salida y la tercera es la ecuación de medición, y donde:
x: variables de estados, que engloban en este caso a V , ω y ζ.
u: vector de entrada, dado por la aceleración del motor y el ángulo de las super�cies
aerodinámicas.
y: variables de salida del modelo.
z: mediciones reales de las variables de salida.
ν: ruido de medición.
La IDS para VANTs de ala �ja puede ser sintetizada entonces como la determinación
de un modelo para FA y MA, y la posterior estimación de los parámetros desconocidos θ
que de�nen el modelo seleccionado. En muchos casos prácticos la estructura del modelo
para las fuerzas y momentos aerodinámicos se asume conocida, por lo que la IDS queda
reducida a la estimación de los parámetros. Esta estimación es también denominada como
Identi�cación de Parámetros (IDP). Para encontrar un modelo matemático de la aeronave
de ala �ja es necesario seguir una serie de pasos que comprende a la IDS para esta aplicación
en especial:
Elección de un modelo.
Diseño de datos entrada.
Registro de datos.
Análisis de compatibilidad de datos.
Determinación de la estructura del modelo.
Estimación de parámetros.
Diagnóstico de colinealidad.
Validación del modelo y optimización.
10 Identificación de Sistemas
Análisis de compatibilidad de datos
Determinación de la estructura del modelo
Diagnóstico de
colinealidad
Validación del Modelo y Optimización
Estimación de Parámetros
Registro de
datos
Diseño datos de entrada
Elección de un Modelo
Figura 2.2: Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs
2.2.1. Elección de un Modelo
La elección de un modelo matemático es la primer tarea en la identi�cación de sistemas.
Esta decisión se basa en la información a-priori de la aerodinámica de la nave y el objeti-
vo de la identi�cación. La idea es seleccionar una clase de modelo (dentro de los muchos
posibles) que podamos optimizar para llegar a resultados de utilidad con la mínima com-
plicación. Los riesgos de una elección incorrecta pueden ser producir un modelo que omita
información importante o que sea inútil para las metas buscadas. La elección del modelo
in�uye directamente en el diseño de las maniobras a ser utilizadas para la experimentación,
así como en la información obtenida al �nal del proceso de identi�cación.
La problemática del modelo expuesto por las ecuaciones 2.3 y 2.4, es la de expresar
2.2 Proceso de Identificación de Sistemas para VANTs 11
matemáticamente las fuerzas y momentos aerodinámicos. Para ello se recurre a expresiones
lineales o polinómicas en función de los estados y variables de control, con parámetros
invariantes en el tiempo a ser estimados.
2.2.2. Diseño de datos entrada
El diseño de las señales de entrada que se introducirán al vehículo es una tarea pri-
mordial en la IDS, ya que dicha señal es la encargada de perturbar el sistema en estudio.
El buen diseño de la maniobra de entrada nos permite excitar los modos dinámicos que
estemos buscando y que aparecerán en la información de salidas, la dinámica que no pertur-
bemos no aparecerá entonces en la información �nal que consigamos del experimento. Por
esta razón es importante diseñar una señal de entrada que nos asegure que la información
necesaria para la identi�cación sea expuesta. Para que los modos dinámicos se muestren
en la información de salida debemos tener en cuenta la forma de la maniobra que de�nirá
las el rango de frecuencias, el tiempo de excitación que in�uye en la aparición de los modos
lentos del proceso y el actuador o variable de entrada que modi�quemos ya que cada uno
in�uye en el comportamiento de distintas dinámicas.
2.2.3. Registro de datos
El sistema de adquisición de datos o aviónica seleccionada para el vuelo es la respon-
sable de registrar toda la información necesaria para la identi�cación. Por ello se deben
seleccionar las variables a sensar junto con los sensores para obtener todos los datos de
entrada y de salida necesarios para la estimación, junto con las condiciones de vuelo y
la con�guración de la aeronave. Es necesario tener en cuenta que las mediciones de los
sensores no son perfectas, sino que están perturbadas por una serie de factores que hacen
que la señal registrada sea ruidosa.
Uno de los principales factores a tener en cuenta con los sensores es la capacidad de
muestreo, es decir, la máxima tasa a la que pueden registrar datos. En general podemos
decir que se necesita una frecuencia de muestreo cinco veces superior a la frecuencia de
corte de los �ltros que se utilicen para procesar la información. La frecuencia de corte de los
�ltros tiene que ser a su vez unas cinco veces superior a la máxima frecuencia en estudio,
lo que supone una frecuencia de muestreo 25 veces superior de los sensores respecto a la
12 Identificación de Sistemas
máxima frecuencia de la dinámica estudiada [9]. Esta regla es una guía aproximada para
asegurar que los datos obtengan toda la información acerca de la dinámica estudiada. Para
el proceso de IDS es necesario que todas las variables tengan la misma tasa de muestreo, por
lo que si alguna de las variables posee una frecuencia menor la señal puede ser interpolada,
o en caso de que tenga una frecuencia mayor submuestrear la señal.
Como se menciona anteriormente las señales medidas que se obtienen son ruidosas por
lo que es común que los datos deban ser �ltrados. Es por ello que se pide una señal de
muestreo grande que evite pérdida de información y además es recomendable que todas las
señales sean �ltradas con un �ltro idéntico para evitar sesgos o desfases en la identi�cación.
Otra de las características que debemos tener en cuenta de los sensores es el rango y la
resolución, ya que una elección incorrecta puede acarrear pérdida de información, en el caso
de que la señal tenga una excursión muy pequeña o que se salga del rango máximo. Esta
pérdida de información produce nuevamente un modelo con errores que no representaría
la dinámica del VANT.
Por lo general las mediciones que se realizan en una aeronave son los ángulos de actitud,
las velocidades angulares, las aceleraciones traslacionales, la velocidad respecto al aire y
la posición global. Si bien la industria hace que los sensores evolucionen día a día, existen
una serie de sensores que conservan su utilidad y características, como son los giróscopos,
acelerómetros, magnetómetros, tubos de Pitot y GPSs.
2.2.4. Análisis de compatibilidad de datos
En algunos casos, aunque la instrumentación haya sido cuidadosamente seleccionada
al igual que el experimento, existe error en las mediciones del vuelo. Para veri�car que las
mediciones sean precisas, se realiza un análisis de compatibilidad a través de las ecuaciones
cinemáticas que describen el movimiento de una aeronave. Para ello se realiza una estima-
ción de los estados reales a partir del modelo matemático y de las mediciones reales. Se
intenta descubrir sesgos y/o errores de escala de los sensores.
2.2.5. Estimación de parámetros y estados
Una vez seleccionado el modelo y con las mediciones de entrada y salida de�nidas
por el experimento se procede a la estimación de parámetros que de�nan la descripción
2.2 Proceso de Identificación de Sistemas para VANTs 13
matemática del problema. Este es uno de los pasos más importantes de la IDS, y en los
casos en que la estructura de modelo se asume conocida la reducción nos lleva a que sea el
procedimiento fundamental de la IDP. Para realizar la estimación existen diversas técnicas
de inferencia estadísticas que podemos utlizar, en la práctica se suelen utilizar con éxito
y sin mayores di�cultades estimadores de mínimos cuadrados o de máxima verosimilitud.
Estos estimadores buscan minimizar una función de costos que compara las mediciones
reales con las salidas del modelo encontrado.
Muchas veces la estimación de parámetros depende de estados desconocidos o no medi-
dos. También se presenta el caso en que la medición de los estados están perturbados por
condiciones externas y aleatorias, como ruido eléctrico o turbulencias. Para estas ocasiones
que son la mayoría, los estados se vuelven estocásticos y deben ser estimados estadística-
mente. El �ltro de Kalman se utiliza entonces (casi siempre) para solucionar esta di�cultad,
el mismo estima el valor del estado en función del modelo matemático que describe el fe-
nómeno y de una serie de parámetros que de�nen el ruido en las mediciones, la incerteza
del modelo y el error de estimación a priori.
2.2.6. Diagnóstico de colinealidad
Luego de estimar los valores de los parámetros desconocidos, es importante realizar un
estudio de colinealidad entre ellos. En caso de que los niveles de correlación den bajos,
no existe problema ya que se puede decir que la información de cada uno es linealmente
independiente y dirige a una solución única. Pero en el caso de niveles de colinealidad altos
esto trae problemas en la inferencia estadística y el modelo que encontramos es probable
que sea incorrecto, ya que al haber dependencia lineal existen varias combinaciones de
parámetros posibles. Una vez detectada la colinealidad se procede a estudiar cuánto afectan
a los valores de los parámetros y como se puede corregir dicha desviación.
2.2.7. Validación del Modelo y Optimización
Finalizada la de�nición del modelo y estimado sus parámetros se debe hacer una prue-
ba de funcionamiento, este es el último paso de la identi�cación. Para saber si el modelo
identi�cado es correcto, los parámetros deben tener una coherencia física y un orden de
magnitud aceptable. Además el modelo debe tener una capacidad de predicción satisfac-
14 Identificación de Sistemas
toria para sus �nes.
Los parámetros obtenidos se recomienda compararlos con predicciones teóricas, me-
diciones en túneles de viento, simulaciones de dinámica de �uidos computacional u otras
estimaciones a partir de datos de vuelos o métodos distintos. La capacidad de predicción se
puede medir a través de la comparación entre las mediciones de salida reales y las salidas
predecidas por el nuevo modelo. Para ello se utiliza un conjunto de datos no utilizados en
la estimación.
Finalmente, comparando la capacidad de predicción podemos aceptar o rechazar el
modelo identi�cado. Es decir si la capacidad de predicción supera un umbral �jado por la
utilidad para una aplicación determinada, la propuesta se acepta. En cambio, si el umbral
de predicción no es superado, rechazamos el modelo, debiendo hacer una re-evaluación del
modelo elegido, el experimento diseñado o el método de estimación.
2.3. Estado Actual de la IDS en VANTs
Puede encontrarse bibliografía de calidad y varias investigaciones acerca de la temática
de IDS en VANTs con aplicaciones variadas. Si bien la aplicación de la IDS en VANTs es
relativamente nueva, debido al reciente auge de los drones, la investigación basada en datos
de vuelos de aeronaves comenzó a mediados del siglo pasado y fue incrementándose cada vez
más con el desarrollo de las computadoras [8]. Hoy en día organizaciones como el Intituto
Americano de Aeronáutica y Astronáutica (AIAA: American Institute of Aeronautics and
Astronautics) ofrecen una amplia información y contribuyen a investigaciones en el ámbito
aeroespacial.
Los VANTs no tienen todos iguales características, por lo que podemos agruparlos de
alguna manera por su forma de vuelo. Uno de los casos (el de esta tesis en particular)
corresponde a los vehículos de ala �ja cuya aerodinámica esta de�nida principalmente por
la forma de sus alas. Por otro lado tenemos las aeronaves de tipo helicóptero, los drones
multirotores, entre otras [10].
2.3.1. VANTs de ala �ja
La IDS aplicada a aeronaves de ala �ja se utiliza en conjunto con estudios analíticos
y experimentos en túneles de viento. En general, las primeras aproximaciones teóricas ba-
2.3 Estado Actual de la IDS en VANTs 15
sadas en principios físicos dan resultados que no siempre tienen la precisión buscada. Y
en el caso de las experiencias en laboratorio suelen ser costosas y no siempre mejoran la
precisión del modelo para ser utilizado en condiciones reales. En la literatura del tema se
encuentra la aplicación de la IDS para mejorar la certeza de algunos parámetros aerodi-
námicos especí�cos o mejorar modelos de ciertas maniobras particulares como el despegue
o aterrizaje. También es ampliamente utilizada para la optimización de los controladores
aeronáuticos.
2.3.2. Otros tipos de VANTs
La IDS también es utilizada para otro tipo de aeronaves como es el caso de los VANTs
tipo helicóptero cuyo modelo matemático es más complejo y menos e�ciente que para el
caso de los aviones, por lo que el análisis de datos reales tiene mucha importancia.
Para el caso de los VANTs multirotores (cuadracópteros, hexacópteros, octacópteros,
etc), el principio de funcionamiento de estos vehículos se basa en el control de velocidad
de cada una de los motores, es decir, los movimientos son consecuencia de la diferencia de
torques de los distintos rotores. Este tipo de VANT es uno de los vehículos más producidos
comercialmente, pero en cuanto a la identi�cación de sistemas no se encuentra mucha
información ya que solamente basta con modelar precisamente los rotores.
Otros VANTs que están siendo investigados actualmente son los de aleteo, estos están
basados en movimientos biológicos de insectos o aves, su desarrollo es novedoso y la iden-
ti�cación de sistemas puede tener especial importancia en el modelado de estos sistemas;
al igual que en el caso de VANTs de tipo dirigibles que han sido pensados para su utiliza-
ción en lugares donde las condiciones atmosféricas no son las normales, como por ejemplo
montañas de gran altura. La identi�cación de estos sistemas lleva a un modelo similar al
de un vehículo submarino.
2.3.3. Métodos de Estimación utilizados
Como se menciona en la sección de estimación de parámetros, existen diversos métodos
de estimación e inferencia estadística, algunos de los estimadores y procesos utilizados son:
Método de Salida-Error
16 Identificación de Sistemas
Método de Predicción-Error
Método de Máxima Verosimilitud
Mínimos Cuadrados
Filtro de Kalman Óptimo
Filtro de Kalman Extendido
Filtro de Kalman-Uhlmann
Redes Neuronales
Regresión Lineal
Capítulo 3
Modelo Matemático de la
Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
El modelo matemático de una aeronave tiene como objetivo establecer una relación
entre las fuerzas y momentos aerodinámicos y las super�cies aerodinámicas de control,
la velocidad y la orientación del vehículo. En general, un modelo consta de una serie de
parámetros que de�nen la relación matemática, es en la estimación de estos parámetros
que la identi�cación de sistemas es de vital importancia para la correcta modelización.
Para realizar la estimación de parámetros, primero se debe contar con un modelo ma-
temático ya postulado. Afortunadamente, para aeronaves existe un modelo aerodinámico
muy estudiado, el mismo cuenta con las ecuaciones que de�nen la cinemática y dinámica
del problema. Estas ecuaciones se desarrollarán a partir de las leyes de la mecánica de
Newton.
Las ecuaciones son exclusivamente ecuaciones diferenciales de tiempo continuo. Esto
permite obtener un modelo con parámetros que tienen un signi�cado físico para la esta-
bilidad y control de la aeronave, por lo que se puede tener un mejor entendimiento del
problema. El hecho de que los parámetros tengan un signi�cado físico, hace de interés
tener una buena estimación de los mismos y conocer las incertidumbres asociadas.
El modelo con el que se trabajará está pensado para aeronaves convencionales de ala
rígida. Se considera que la misma es un cuerpo rígido, lo cual en general es una aproximación
muy utilizada que logra buenos resultados. Finalmente se presenta el modelo en el espacio
de estados con el que se trabaja para la simulación e identi�cación de la dinámica de las
17
18 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
aeronaves en estudio.
3.1. Marcos de referencia y Convenciones de signos
Previo al desarrollo de las ecuaciones de movimiento de una aeronave, es necesario
de�nir los marcos de referencia y las convenciones de signos que se utilizan. Los marcos
de referencia que de�niremos a continuación son de suma importancia para comprender la
dinámica del problema. Todos los marcos de referencia poseen ejes ortogonales y siguen la
convención de la mano derecha [8].
3.1.1. Marcos de Referencia
Marco de referencia en el cuerpo (MB)
Este marco de referencia es más conocido como sistema de ejes del cuerpo. Se utiliza
la letra B (Body) como subíndice para indicarlo. Los ejes XB y ZB se encuentran en el
plano de simetría del avión y el origen del correspondiente sistema de coordenadas puede
o no coincidir [11] con el centro de gravedad del avión.
El eje XB es positivo en la dirección que apunta hacia la nariz del avión, ZB en la que
apunta �hacia abajo� y el YB en la que apunta al ala derecha (completa la terna).
Marco de referencia de estabilidad (MS)
Este marco de referencia es más conocido como sistema de ejes de estabilidad. Se utiliza
la letra S (de stability) como subíndice para indicarlo. También es un marco de referencia
solidario al cuerpo y su origen de coordenadas coincide con el centro de gravedad del avión.
La diferencia con el marco MB radica en las orientaciones de los ejes X y Z. El eje XS
es elegido paralelo a la proyección sobre el plano de simetría del vector velocidad. El plano
XB −ZB coincide con el XS −ZS (pero no cada eje en particular necesariamente), y el eje
YB coincide con el YS .
En este marco de referencia se calculan las derivativas de estabilidad.
3.1 Marcos de referencia y Convenciones de signos 19
Marco de referencia de la ruta de vuelo (MW)
Este sistema de referencia también se conoce como ejes del viento. Se utiliza la letra W
(de wind) como subíndice para indicarlo. También es un marco de referencia �jo al cuerpo.
Su origen de coordenadas coincide con el centro de gravedad del avión.
La diferencia con los anteriores radica en que se elige su eje XW de manera que coincida
con la dirección del vector velocidad. El eje ZW coincide con el ZS .
Figura 3.1: Sistemas de coordenadas I [12].
Marco de referencia �jo en tierra (ME)
Se utiliza la letra E (de Earth) como subíndice para indicarlo.
Es un marco de referencia �jo en el espacio y puede ser elegido arbitrariamente. Se lo
elige de manera que los ejes ZE , YE , XE apunten en la dirección local de la aceleración de
la gravedad, hacia el Este y hacia el Norte, respectivamente.
Marco de referencia vertical transportado con el vehículo (MV)
Se utiliza la letra V (de Vehicle - carried) como subíndice para indicarlo. Es un marco
de referencia �jo al cuerpo y cuyo origen coincide con el centro de gravedad del avión.
Los ejes ZV , YV , XV apuntan en la dirección local de la aceleración de la gravedad,
hacia el Este y hacia el Norte, respectivamente. Es decir, es un sistema de referencia
siempre paralelo al �jo en tierra, pero con la diferencia de que se traslada con el avión y
es el marco de referencia inercial para movimientos de corto plazo.
20 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Figura 3.2: Sistemas de coordenadas II [12].
3.2. Cinemática de una aeronave
Para poder entender y derivar el modelo de una aeronave es necesario conocer, primero
que nada, los movimientos que puede realizar la misma. También es importante sumergirse
en el vocabulario técnico que se utiliza para describirlos, ya que será utilizado durante todo
el desarrollo de la presente tesis.
Como ya vimos los marcos de referencia para describir el comportamiento de una
aeronave son varios y cada uno tiene su utilidad especí�ca. Para estudiar la cinemática
de la aeronave nos concentraremos en el sistema body y el sistema Tierra �jo al vehículo.
De la cinematica de un cuerpo rígido tridimensional sabemos que existen seis grados
de libertad o seis movimientos que podemos describir. Los tres movimientos de traslación
en x,y,z, y las tres rotaciones respecto a dichos ejes. Para el caso de los movimiento tras-
lacionales no hay mucho que decir al respecto, más que se pueden referenciar a alguno de
los sistemas de coordenadas descriptos. Para el caso de la rotaciones podemos reconocer
tres movimientos típicos de la aeronáutica:
Alabeo o Balanceo (roll): rotación respecto al eje longitudinal, eje imaginario que se
extiende desde la nariz a la cola del avión.
Cabeceo (pitch): rotación respecto al eje lateral, eje imaginario que se extiende de
punta a punta de las alas del avión.
Guiñada (yax): rotación respecto al eje vertical.
3.2 Cinemática de una aeronave 21
Estos movimientos pueden ser obtenidos matemáticamente de la comparación entre los
marcos de referencia body y el marcoTierra �jo al vehículo, surge entonces el concepto de
actitud. La actitud de una aeronave se de�ne como la orientación angular. Entonces los
ángulos que caracterizan la actitud de la aeronave no son mas que una aplicación particular
de los ángulos de Euler (φ, θ, ψ) [11].
Existe un cierto numero de formas (basadas en el orden de las rotaciones) de realizar
las rotaciones que conectan un sistema con otro. En particular utilizaremos la siguiente:
Empezamos con el sistema Body (x, y, z) alineado con el sistema inercial (X,Y, Z) y
realizamos 3 rotaciones para reorientar el sistema Body (notación: c ≡ cos, s ≡ sin):
1. Rotamos ψ sobre Z, los cual nos lleva a (x′, y′, z′)
x′
y′
z′
=
cψ sψ 0
−sψ cψ 0
0 0 1
X
Y
Z
= T3(ψ)
X
Y
Z
(3.1)
2. Rotamos θ sobre y′, los cual nos lleva a (x′′, y′′, z′′)
x′′
y′′
z′′
=
cθ 0 −sθ
0 1 0
sθ 0 cθ
x′
y′
z′
= T2(θ)
x′
y′
z′
(3.2)
3. Rotamos φ sobre x′′, los cual nos lleva a (x, y, z)
x
y
z
=
1 0 0
0 cφ sφ
0 −sφ cφ
x′′
y′′
z′′
= T1(φ)
x′′
y′′
z′′
(3.3)
22 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Figura 3.3: Ángulos de Euler [13].
Entonces la transformación completa la podemos escribir como:
x
y
z
= T1(φ)T2(θ)T3(ψ)
X
Y
Z
(3.4)
=
cθcψ cθsψ −sθ
−cφsψ + sφsθcφ cφcψ + sφsθsψ sφcθ
sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ
X
Y
Z
(3.5)
(3.6)
Dadas las reglas de transformación, para obtener la velocidad angular, tenemos que incluir
tres términos:
ψ alrededor de Z
θ alrededor de y′
3.3 Dinámica 23
φ alrededor de x′′
Es posible ver que la velocidad angular del avión respecto al sistema de referencia
inercial es [11]:
ω =
p
q
r
= T1(φ)T2(θ)
0
0
ψ
+ T1(φ)
0
θ
0
+
φ
0
0
(3.7)
O alternativamente,
p = φ− ψ sin θ
q = θ cosφ+ ψ cos θ sinφ
r = −θ sinφ+ ψ cos θ cosφ
Con inversa:
φ = p+ ψ sin θ
θ = q cosφ− r sinφ
ψ = qsinφ
cos θ+ r
cosψ
cos θ
Ejemplo: Fuerza de Gravedad en Sistema Body
Como ejemplo de transformación podemos considerar la fuerza gravitatoria. La grave-
dad actúa a través del centro de gravedad en dirección vertical (+Z en el marco inercial).
Utilizando lo desarrollado en la sección anterior podemos expresar:
F gB = T1(φ)T2(θ)T3(ψ)
0
0
mg
= mg
− sin θ
sinφ cos θ
cosφ cos θ
(3.8)
3.3. Dinámica
Repasamos a continuación las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido. Salvo
aclaración, en todos los casos los vectores se re�eren a los ejes solidarios al cuerpo rígido
de la aeronave (Sistema Body).
24 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
3.3.1. Dinámica de cuerpo rígido
Podemos entonces escribir el conjunto de ecuaciones para el solido rígido (avión). Si
m~v, ~H ,~F , ~T , I y ~ω son el momento lineal del avión, el momento angular, la fuerza total,
el torque total (respecto al centro de masa), el tensor de inercia y la velocidad angular del
sistema Body (respecto al inercial), podemos escribir el conjunto de derivadas (totales en
el sistema inercial),
~F =d(m~v)
dt(3.9)
~T =d ~H
dt=dI~ω
dt(3.10)
Antes de proseguir detallamos algunas suposiciones que nos permitirán simpli�car
(cuando sea necesario) el tratamiento.
La cantidad de masa suponemos que permanece constante al menos durante los in-
tervalos de evaluación de la dinámica (esto nos permite en (3.9) sacar la masa m
fuera de la derivada).En el caso, en el cual los cambios de masa deban incluirse, se-
guiremos suponiendo valida la aproximación de masa cuasiestatica. Pero evaluaremos
los cambios de la misma y lo que ello conlleve (por ejemplo, momentos de inercia,
etc.) como una sucesión de estados de equilibrio.
La aeronave es un cuerpo rígido. Si bien esta hipótesis es fuerte, las deformaciones
siempre pueden incluirse o tratarse como perturbaciones de orden superior, aumen-
tando el espacio de estados de nuestro sistema.
La tierra es un sistema de referencia inercial. Esto claramente no es cierto pero si es
una muy buena aproximación.
Encontrar la solución del conjunto (3.9) no es una tarea fácil si se usa un sistema de
referencia inercial, ya que el tensor de inercia varía en el tiempo a medida que el avión se
traslada y rota. Para solucionar este problema, se utiliza un marco de referencia solidario
al avión y cuyo origen coincide con el centro de gravedad de éste. Bajo estas condiciones
3.3 Dinámica 25
podemos escribir entonces:
~F = m(~v +BI ~ω × ~v) (3.11)
~T = ~HB +BI ~ω × ~H
Si realizamos el mapeo de ~v y BIω en el sistema Body tenemos que (~v)B = ui+vj+wk
y BIω = pi+ qj + rk o (~v)B = [u v w]T y BIω = [p q r]T . En forma similar para el
momento angular podemos escribir, ~HB = [Hx Hy Hz]T
HB =
Hx
Hy
Hz
=
Ixx Ixy Izx
Ixy Iyy Izy
Izx Izy Izz
p
q
r
(3.12)
El conjunto de ecuaciones de movimiento sera entonces (utilizando (3.11)):
1
m
Fx
Fy
Fz
=
u+ qw − rv
v + ru− pw
w + pv − qu
(3.13)
y
Tx
Ty
Tz
=
Ixp+ Ixz r + (Iz − Iy)qr + Ixzpq +
[Iyz(q
2 − r2) + Ixy(q − rp)]
Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(r2 − p2) + [Ixy(p+ rq) + Iyz(r − pq)]
Iz r + Ixz p+ (Iy − Ix)pq − Ixzrq +[Ixy(p
2 − q2) + Iyz(pr + q)] (3.14)
LA ecuación (3.14) constituye la ecuación general de torques en sistema Body. Para
aeronaves lateralmente simétricas (re�ejadas en xz) es posible mostrar que Ixy = Iyz = 0.
Bajo esta condición podemos expresar (3.14) en la forma:
Tx
Ty
Tz
=
Ixp+ Ixz r + (Iz − Iy)qr + Ixzpq
Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(r2 − p2)
Iz r + Ixz p+ (Iy − Ix)pq − Ixzrq
(3.15)
26 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
3.4. Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movi-
miento
En la sección 3.3 notamos que la descripción del movimiento de la aeronave involucraba
seis ecuaciones simultaneas no-lineales. Si incluimos las ecuaciones cinematicas tenemos que
[12],
Fuerza
u = rv − qw + Fx/m
v = −ru+ pw + Fy/m
w = qu− pv + Fz/m
Cinemática
φ = p+ tan θ (q sinφ+ r cosφ)
θ = q cosφ− r sinφ
ψ = (q sinφ+ r cosφ) / cos θ
Momentos
Γp = Jxz [Jx − Jy + Jz] pq −[Jz(Jz − Jy) + J2
xz
]qr + JzTx + JxzTz
Jy q = (Jz − Jx) pr − Jxz(p2 − r2
)+ Ty
Γr =[(Jx − Jy)Jx + J2
xz
]pq − Jxz [Jx − Jy + Jz] qr + JxzTx + JxTz
Γ = JxJz − J2xz
Para las fuentes ~F , ~T consideramos un esquema de análisis propuesto originalmente
por Bryan [14], quien consideraba que las fuerzas/momentos son debidas a fenómenos
aerodinámicos, efectos gravitatorios, movimiento de los controles aerodinámicos, propulsión
de la aeronave y efectos atmosféricos. Si ~A es una fuerza/momento
~A = ~Aa + ~Ag + ~Ac + ~Ap + ~Ad (3.16)
Cada ~Aj constituye el aporte, aerodinámico, gravitatorio, de control, propulsión y atmos-
férico respectivamente.
La idea original consistía en expandir el conjunto de fuerzas y momentos aerodinámicos
en términos de los parámetros resultantes de las perturbaciones. Para ello consideraba
expansiones de las fuerzas/momentos en la forma,
Aa =∑i
∑j
[∂j
∂ζjiAa
]ζji (3.17)
3.4 Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movimiento 27
Para Aa = Fxa , Fya , . . . una fuerza/momento y ζ = {u, v, w, p, q, r, . . .}.
Si bien la expansión general incluye todos los órdenes, en el esquema de pequeñas
perturbaciones solamente el primer orden (llamado Derivativa de estabilidad) es signi�cante
e inclusive no en todos los casos.
Para las fuerzas y momentos aerodinámicos es usual considerarlos en la forma,
Fx = SqdCx (3.18)
Fy = SqdCy (3.19)
Fz = SqdCz (3.20)
Tx = SqdcCl (3.21)
Ty = SqdcCm (3.22)
Tz = SqdcCn (3.23)
donde S es la super�cie de referencia, qd es la llamada presion dinamica (qd = 0,5ρV 2T , ρ es el
peso especí�co del aire y VT es la velocidad respecto a la atmósfera) y Cj son los coe�cientes
aerodinamicos (los cuales se consideraran para expansion). Para más informacion sugerimos
el capitulo II de la referencia [12].
Los coe�cientes aerodinámicos serán trabajados en esta tesis como expansiones de Tay-
lor de primer orden respecto a las condiciones de vuelo equilibrado. Matemáticamente
podemos expresarlos de manera dimensional o adimensional respectivamente:
Cj = Cj0 + Cju∆u+ Cjv∆v + · · · (3.24)
J = J0 + Ju∆u+ Jv∆v + · · · (3.25)
La expansión de Taylor se hace en función de los estados que de�nen el estado dinámico
del sistema, en este caso del modelo desarrollados tenemos las velocidades traslacionales
u, v y w y las velocidades rotacionales p, q y r, y además en general de los parámetros de
entrada δ. Los coe�cientes:
Cju =∂Cj∂u
∣∣∣0Cjv =
∂Cj∂v
∣∣∣0· · ·
Ju = ∂J∂u
∣∣0Jv = ∂J
∂v
∣∣0· · ·
28 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
son las derivadas parciales de los coe�cientes aerodinámicos respecto a las variables de
estado y de entrada evaluadas bajo la condición de equilibrio. También conocidas como
derivativas de estabilidad y control.
3.4.1. Comentarios
Algunas notas para tener en cuenta:
Las expansiones son una aproximación puesto que ignoran �lags� en las fuerzas aero-
dinámicas (se supone que las fuerzas son solo función de sus valores instantáneos)
Si bien la expansión general incluye todos los ordenes, en el esquema de pequeñas
perturbaciones solamente el primer orden es signi�cante e inclusive no en todos los
casos.
Los análisis sobre el aporte dominante en las expansiones, se suelen discutir en tér-
minos de
� Variables Simétricas: u,w, q y fuerzas/torques: Fx, Fy, Ty
� Variables Asimétricas: v, p, r y fuerzas/torques: Fy, Tx, Tz
Para vuelos simétricos, Fy, Tx, Tz = 0 independiente del valor de u,w, q. Por lo que
las derivadas de las fuerzas o torques asimétricos respecto de las variables simétricas
serán nulas.
3.4.2. Ecuaciones de movimiento en el espacio de Estados
El movimiento o estado de cualquier sistema dinámico lineal puede ser descrito por
un conjunto mínimo de variables llamadas variables de estado. El número de variables
necesarias es dependiente en forma directa del numero de grados de libertad del sistema.
La ecuación de movimiento o ecuación de estado del sistema multivariable (invariante
temporalmente) se escribe en la forma:
~x(t) = [A]~x(t) + [B]~u(t) (3.26)
donde
3.5 Ecuaciones de Movimiento Linealizadas 29
~x(t) es el vector columna de n variables de estado llamado vector de estado.
~u(t) es el vector columna de m variables de entrada llamado vector de entrada.
[A] es la llamada matriz de estado (n×n).
[B] es la llamada matriz de entrada (n×m).
Para muchos sistemas algunas de las variables de estado pueden ser inaccesibles o su
valor puede no ser determinado en forma directa. Esto implica la existencia de una segunda
ecuación la cual determina las variables de salida del sistema:
~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.27)
donde
~y(t) es el vector columna de r variables de salida llamado vector de salida/resultados.
[C] es la llamada matriz de salida (r×n).
[D] es la llamada matriz directa (r×m).
3.5. Ecuaciones de Movimiento Linealizadas
Se puede mostrar que [12] el conjunto de ecuaciones de movimiento de un aeroplano se
separa bajo ciertas condiciones en dos sets de ecuaciones llamados:
Longitudinales, que involucran: u,w, q y fuerzas/torques: Fx, Fy, Ty
Laterales-Direccionales, que involucran: v, p, r y fuerzas/torques: Fy, Tx, Tz
En las siguientes secciones mostramos las expresiones para cada uno de estos sets.
Un cambio de coordenadas comúnmente aplicado consiste en expresar el vector de
velocidad [uvw]T mediante el módulo de la velocidad respecto al aire VT , el ángulo de
ataque α que indica la forma en que el viento incide respecto al plano longitudinal horizontal
y el ángulo de deslizamiento lateral β que indica la forma en que el viento incide respecto
al plano longitudinal vertical. Además las fuerzas Fx y Fz son reemplazadas en función de
la fuerzas de arrastre (drag) FD y de sustentación (lift) FL.
30 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
3.5.1. Ecuaciones Longitudinales en el espacio de estados
Se puede mostrar que el conjunto de ecuaciones de movimiento longitudinales lineali-
zadas satisface [12],
VTe 0 0 0
0 VTe − Zα 0 0
0 −Mα 1 0
0 0 0 1
˙
vT
α
q
θ
=
(XV +XTV cos (αe + αxth) ∗ VTe Xα 0 −g cos γe
(ZV −XTV sin (αe + αxth) ∗ VTe Zα VTe + Zq −g sin γe
(MV +MTV ) ∗ VTe Mα +MTα Mq 0
0 0 1 0
vT
α
q
θ
+
Xδe Xδn cos (αe + αxth)
Zδe −Xδn sin (αe + αxth)
Mδe Mδn
0 0
δeδn
(3.28)
Donde:
vT : variación de la velocidad total respecto a la de equilibrio dividida la velocidad de
equilibrio.
α: variación del ángulo de ataque respecto al equilibrio.
q: velocidad de cabeceo.
θ: variación del ángulo de cabeceo respecto del equilibrio.
δe: de�exión del elevador respecto al punto de equilibrio.
δn: variación de la velocidad del motor respecto a la velocidad de equilibrio.
vTe : velocidad total de equilibrio.
αe: ángulo de ataque de equilibrio.
αxth: ángulo de ataque de la propulsión.
γe: ángulo de trayectoria (path angle) de equilibrio.
El conjunto de derivativas necesarias y su de�nición se explican en la tabla siguiente,
3.6 Modos de oscilación longitudinales 31
Derivativas Dimensionales Longitudinales Derivativas Adimensionales Longitudinales
XV = −qdSmVTe
(2CDe + CDV ) CDV ≡ VTe∂CD∂VT
XTV = qdSmVTe
(2CTe + CTV ) CTV ≡ VTe∂CT∂VT
Xα = qdSm (CLe − CDα) CDα ≡ ∂CD
∂α
Xδe = −qdSm CDδe CDδe ≡
∂CD∂δe
ZV = −qdSmVTe
(2CLe + CLV ) CLV ≡ VTe∂CL∂VT
Zα = −qdSm (CDe + CLα) CLα ≡ ∂CL
∂α
Zα = −qdSc2mVTe
CLα CLα ≡2VTec
∂CL∂α
Zq = −qdSc2mVTe
CLq CLq ≡2VTec
∂CL∂Q
Zδe = −qdSm CLδe CLδe ≡
∂CL∂δe
MV = qdScJyVTe
(2CMe + CMV) CMV
≡ VTe ∂CM∂VT
MVT = qdScJyVTe
(2CMT+ CMT V
) CMT V≡ VTe
∂CMT∂VT
Mα = qdScJy
CMα CMα ≡ ∂CM∂α
Mα = qdScJy
c2VTe
CMα CMα ≡2VTec
∂CM∂α
Mq = qdScJy
c2VTe
CMq CMq ≡2VTec
∂CM∂Q
Mδe = qdScJy
CMδeCMδe
≡ ∂CM∂δe
Notamos que el conjunto de ecuaciones (3.28) implica un sistema de la forma:
[M ]~x(t) = [A′]~x(t) + [B′]~u(t) (3.29)
Para llevar el conjunto de ecuaciones a la forma de�nida (3.26), debemos multiplicar por
la inversa de la matriz M (llamada usualmente matriz de masas - Mass Matrix ),
~x(t) = [M ]−1[A′]~x(t) + [M ]−1[B′]~u(t) (3.30)
3.6. Modos de oscilación longitudinales
Recordemos el conjunto de ecuaciones que describen el estado de nuestro sistema,
~x(t) = [A]~x(t) + [B]~u(t) (3.31)
~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.32)
32 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Transformando en Laplace (suponiendo condiciones iniciales nulas) y despejando po-
demos escribir:
~y(s) =(
[C] (s[I]− [A])−1 [B] + [D])~u(s) = [G](s)~u(s) (3.33)
[G](s) es la llamada matriz de funciones de transferencia. En general la función de trans-
ferencia tiene la forma:
[G](s) =1
∆(s)[N ](s) (3.34)
∆(s) es el llamado polinomio característico y es a partir del cual se estudian las caracterís-
ticas de estabilidad de las aeronaves. Básicamente la forma de la respuesta funcional -para
cada variable- es indicada por el comportamiento del polinomio. Para las ecuaciones lon-
gitudinales el polinomio (para una aeronave clásica) es de cuarto orden y se suele escribir
en la forma:
(s2 + 2ζpωps+ ω2p)(s
2 + 2ζsωss+ ω2s) = 0 (3.35)
A partir de (3.35) queda en forma explicita la existencia de dos oscilaciones distintas, una
de periodo corto llamada modo de periodo corto (short - ωs) y una de periodo largo llamado
fugoide (phugoid - ωp).
3.6.1. Modos de oscilación longitudinales: Periodo Corto
El modo de periodo corto es usualmente una oscilación fuertemente amortiguada del
orden de segundos (de periodo) alrededor del eje oy. En cualquier caso, que el equilibrio
en pitch es perturbado, este modo se mani�esta, principalmente en las variables α, q, θ.
Una característica distintiva de este modo es que la velocidad permanece casi constante
∆u ' 0, sumado a que el periodo es pequeño, la inercia del sistema y los momentos
asociados aseguran que la respuesta en el tiempo característico del modo sea despreciable.
La habilidad de una aeronave para auto-amortiguar un pequeña perturbación de este tipo
es uno de los criterios más generales para certi�car una aeronave.
En la aproximación de periodo corto ∆(s) tiene la forma [12]:
∆(s) = (VTe − Zα)s2 − [Zα + (VTe − Zα)Mq + (VTe + Zq)Mα]s
+MqZα − (VTe + Zq)Mα
3.6 Modos de oscilación longitudinales 33
Figura 3.4: Oscilación longitudinal de periodo corto [11].
A partir de la cual se puede derivar las expresiones,
ω2s =
MqZα −Mα(VTe + Zq)
VTe − Zα(3.36)
−2ζsωs = Mq +Mα(VTe + Zq) + Zα
VTe − Zα(3.37)
3.6.2. Modos de oscilación longitudinales: Periodo largo - Phugoid
El modo de oscilación de periodo largo es llamado fugoide (-phugoid) y contempla una
variación de v, θ, h (para h altitud), pero no variación del ángulo de ataque (α). El modo
phugoid es básicamente un intercambio entre energía cinética y energía potencial y su
periodo es del orden del minuto.
El modelo de Lanchester
Figura 3.5: Oscilación longitudinal de periodo largo - phugoid [11].
34 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Lanchester fue el primero en introducir un análisis en relación a este tipo de oscilación.
Básicamente consideraba:
1. Aeronave en vuelo estable y nivelado.
2. Energía total (de la aeronave) constante.
3. Ángulo de ataque constante y en su valor de compensación.
4. El empuje compensa el arrastre.
5. El movimiento es lento (en el sentido que la tasa de cambio de θ puede ser ignorada).
A partir de 2),mU2
0
2=mU2
2+mgh→ U2 = U2
0 − 2gh (3.38)
Considerando 1) y 3),
Le =ρU2
0SCL2
= mg (equilibrio) (3.39)
L =ρU2SCL
2(perturbado) (3.40)
Lo cual combinado, podemos llevar a la forma L = mg−ρghSCL. Ademas, mh = L cos θ−
mg ' L−mg y �nalmente,
h+
(ρgSCLm
)h = 0→ ωp =
√ρgSCLm
=g√
2
U0(3.41)
Es decir la aproximación de Lanchester nos indica que la frecuencia del modo phugoid
es inversamente proporcional a la velocidad de equilibrio y que su constante de amortigua-
miento es nula.
Aproximación al Modo Phugoid a partir de las Ecuaciones longitudinales
En lineas anteriores comentamos que en el modo fugoide (o phugoid) se cumple α ∼ αe,
es decir que no existe variación del ángulo de ataque. Bajo esta suposición y en un análisis
3.6 Modos de oscilación longitudinales 35
mas detallado se encuentra que,
ω2p = g
Mα(ZV −XTV sin (αe + αth)− Zα(MV +MTV )
MqZα −Mα(VTe + Zq)(3.42)
−2ζpωp = X∼V
+Xα[Mq(ZV −XTV sin (αe + αth))− (VTe + Zq)(MV +MTV )]
MqZα −Mα(VTe + Zq)(3.43)
X∼V = XV +XTV cos (αe + αth) (3.44)
3.6.3. Ecuaciones Laterales Direccionales en el espacio de estados
Se puede mostrar que el conjunto de ecuaciones de movimiento laterales linealizadas
satisface [12],
[M ]~x(t) = [A′]~x(t) + [B′]~u(t) (3.45)
~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.46)
donde podemos identi�car las matrices,
VTe 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
˙
β
p
r
φ
ψ
=
Yβ Yp Yr − VTe −g cos (θe) 0
L′β L
′p L
′r 0 0
N′β N
′p N
′r 0 0
0 cos(γe)cos(θe)
sin(γe)cos(θe)
0 0
0 sin(αe)cos(θe)
cos(αe)cos(θe)
0 0
β
p
r
φ
ψ
+
Yδa Yδr
L′δa
L′δr
N′δa
N′δr
0 0
0 0
δaδr
(3.47)
Donde:
β: ángulo de deslizamiento lateral.
p: velocidad de alabeo.
r: velocidad de guiño.
36 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
φ: ángulo de alabeo.
ψ: ángulo de guiño.
δa: de�exión de los alerones.
δr: variación del timón de cola (rudder).
θe: ángulo de cabeceo de equilibrio.
El conjunto de derivativas necesarias y su de�nición se explican en la tabla siguiente,
Derivativas Dimensionales Longitudinales Derivativas Adimensionales Longitudinales
Yβ = qdSm (CYβ ) CYβ ≡ −
(∂CC∂β + CDe
)Yp = qdSb
2mVTeCYp CYp ≡
−2VTeb
∂CC∂PS
Yp = qdSb2mVTe
CYr CYr ≡−2VTeb
∂CC∂RS
Yδr = qdSm CYδr CYδr ≡
−∂CC∂δr
Yδa = qdSm CYδa CYδa ≡
−∂CC∂δa
Lβ = qdSb
J ′xClβ Clβ ≡
∂Cl∂β
Lp = qdSb
J ′x
b2VTe
Clp Clp ≡2VTeb
∂Cl∂P
Lr = qdSb
J ′x
b2VTe
Clr Clr ≡2VTeb
∂Cl∂R
Lδr = qdS
J ′xClδr Clδr ≡
∂Cl∂δr
Lδa = qdS
J ′xClδa Clδa ≡
∂Cl∂δa
Nβ = qdSb
J ′xClβ Clβ ≡
∂Cl∂β
Np = qdSb
J ′z
b2VTe
Cnp Cnp ≡2VTeb
∂Cn∂P
Nr = qdSb
J ′z
b2VTe
Cnr Cnr ≡2VTeb
∂Cn∂R
Nδr = qdS
J ′zCnδr Cnδr ≡ ∂Cn
∂δr
Nδa = qdS
J ′zCnδa Cnδa ≡ ∂Cn
∂δa
3.7 Modos laterales - direccionales 37
Ademas utilizamos las siguientes de�niciones:
J′x = Jx cos(α)2 + Jz sin(α)2 − Jxz sin(2α) (3.48)
J′y = Jy (3.49)
J′z = Jx sin(α)2 + Jz cos(α)2 + Jxz sin(2α) (3.50)
J′xz =
1
2(Jx − Jy) sin(2α)2 + Jxz cos(2α) (3.51)
Γ = J′xJ
′z − J
′xz
2(3.52)
µ =J
′xJ
′z
Γ(3.53)
σ1 =J
′zJ
′xz
Γ(3.54)
σ2 =J
′xJ
′xz
Γ(3.55)
L′β = µLβ + σ1Nβ (3.56)
N′β = µNβ + σ2Lβ (3.57)
L′δa = µLδa + σ1Nδa (3.58)
N′δa = µNδa + σ2Lδa (3.59)
L′p = µLp + σ1Np (3.60)
N′p = µNp + σ2Lp (3.61)
L′δr = µLδr + σ1Nδr (3.62)
N′δr = µNδr + σ2Lδr (3.63)
L′r = µLr + σ1Nr (3.64)
N′r = µNr + σ2Lr (3.65)
(3.66)
3.7. Modos laterales - direccionales
En forma similar a los modos longitudinales, cuando la aeronave es perturbada de
su estado de equilibrio los modos de estabilidad laterales-direccionales son excitados. La
perturbación puede ser iniciada por una acción del piloto, un cambio en la propulsión,
turbulencias, etc.
Para las ecuaciones laterales-direccionales el polinomio característico (para una aero-
38 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
nave clásica) es de quinto orden y se suele escribir en la forma [11]:
s(s+1
Ts)(s+
1
Tr)(s2 + 2ζDrωDrs+ ω2
Dr) = 0 (3.67)
De esta forma queda en forma explicita la existencia de distintos comportamientos a partir
del estudio de las raíces:
La primera raíz real (no nula) de (3.67) describe un comportamiento no-oscilatorio
llamado �modo espiral�.
La segunda raíz real (no nula) describe un comportamiento no oscilatorio llamado
�modo de roll�.
Un par de raíces complejas conjugadas que describen un comportamiento oscilatorio,
llamado modo de �Dutch-roll�.
La raíz nula resulta de la adición del ángulo de yaw a la ecuación de estado e indica
estabilidad neutral en yaw.
3.7.1. Modo de Roll
El modo de roll es del tipo no oscilatorio y desacoplado en gran medida de los modos
espiral y dutch-roll. Puesto que es no oscilatorio, es descrito por una única raíz real y se
mani�esta como un retardo exponencial en el movimiento de roll. La idea para el modo es
Figura 3.6: Modo de Roll - Dinamica Lateral-Direccional [11].
la siguiente:
3.7 Modos laterales - direccionales 39
A medida que la aeronave efectúa un movimiento de roll, el ala que se desplaza hacia
abajo incrementa su ángulo de ataque α. Mientas que efecto opuesto se produce para
el ala que se desplaza para arriba.
Se genera consecuentemente una diferencia en la sustentación generada por las dos
alas (mayor en el ala que se desplaza hacia abajo).
La diferencia en la sustentación genera un momento que tiende a recuperar el equi-
librio.
Aproximación de Modo de Roll
En el modo de roll existe un predominio de la variable φ y tanto el ángulo de sideslip β
como yaw ψ cambian muy poco, por lo que podremos considerar β = β = r = r = ψ = 0.
Bajo estas condiciones es posible mostrar que [12],
τ ' 1
L′p
=−bVTe
4J′x
(ρSb)b21
Clp(3.68)
Esta ecuación implica que la constante de tiempo del modo roll calculada varia en
forma inversa al producto de la velocidad y la densidad (supuestos los demás parámetros
constantes).
3.7.2. Modo Espiral
El modo espiral es del tipo no oscilatorio e involucra la segunda de las raíces reales del
polinomio característico. Cuando se perturba este modo en general la dinámica tiene un
desarrollo lento e involucra un movimiento complejo y acoplado en roll, yaw y sideslip. La
idea para el modo es la siguiente:
1. A partir de un vuelo nivelado consideremos una perturbación que altera la actitud
en roll en una cantidad φ > 0. Esta acción genera un pequeño side-slip v (la aeronave
se desliza �pendiente abajo�).
2. Seguidamente la aleta de cola golpea el aire a un ángulo β → mayor sustentación en
la cola → momento positivo en yaw.
40 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Figura 3.7: Modo Espiral - Dinamica Lateral-Direccional [11].
3. El momento en yaw genera un incremento en la tasa de cambio de yaw la cual genera
un momento positivo en roll que incrementa el ángulo de roll y tiende a incrementar
el ángulo de side-slip → volvemos a 1. Es decir las condiciones dinámicas tienden a
realimentarse y eventualmente, sin control, a empeorar.
Aproximación de Modo Espiral
Según comentamos en lineas anteriores, la dinámica de este modo es �lenta�. A partir
de esta suposicion podemos asumir que β = φ = 0, y mostrar que [12],
τesp =−L′
pN′β
L′βN
′r − L
′rN
′β
=−ClpCnβ
ClβCnr − ClrCnβVTeg
(3.69)
La ultima ecuación nos indica que la constante de tiempo del modo espiral es proporcional
a la velocidad (supuestos los restantes parámetros constantes).
3.7.3. Modo de Dutch-Roll
El modo de Dutch-roll se corresponde con una oscilación amortiguada en yaw, alre-
dedor del eje oz, que se acopla en roll y en menor medida con el ángulo de side-slip. De
aquí que el modo de dutch-roll contemple una interacción compleja en los tres grados de
libertad laterales-direccionales. Básicamente el modo Dutch-roll es el equivalente lateral-
direccional del modo de periodo corto longitudinal, salvo en el amortiguamiento, puesto
que el estabilizador vertical es menos efectivo que el alerón de cola. La idea para el modo
3.7 Modos laterales - direccionales 41
Figura 3.8: Modo Dutch-Roll - Dinamica Lateral-Direccional [11].
es la siguiente:
1. A partir de un vuelo nivelado consideremos una perturbación que altera la actitud
en ψ (genera una oscilación - el guiño provee la �rigidez aerodinámica�).
2. La oscilación en ψ induce un movimiento en las alas lo cual genera un comportamiento
oscilatorio en el lift/drag (el ala que se adelanta genera mas lift) → oscilación en roll
φ que retrasa ψ aproximadamente π/2.
3. El ala que se adelanta se desliza hacia abajo → oscilación en roll → sideslip en la
dirección del ala que se encuentra abajo.
42 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo
Aproximación de Modo Dutch-roll
Anteriormente se dijo que, si bien el timón de cola genera un movimiento de alabeo, el
mismo se va a despreciar por ser pequeño. Es decir, las variaciones de las variables φ y φ
se van a considerar nulas. Esto lleva también a que no se tenga en cuenta la ecuación de
momento de roll y a que se usen las de fuerza en Y y de momento de yaw. Si además se
supone que existe un movimiento de sideslip puro (β = −ψ), la única ecuación que domina
el movimiento es la de momento de yaw. Bajo estas suposiciones, se puede demostrar que
ω2Dr = N
′β +
YβVTe
N′r +
g
VTe
L′β
L′p
−(L
′β +
YβVTe
L′r
)N
′p
L′p
(3.70)
ζDr(2ωDr) = −(N
′r +
YβVTe
)(3.71)
o si utilizamos derivativas adimensionales,
ω2Dr =
qdSb
J ′z
[Cnβ +
ρSb
4mCYβCnr
](3.72)
ζDr = −1
4
((ρSb)b2
2J ′z
)1/2 Cnr + (2J′z/mb
2)CYβ(Cnβ + (ρSb/4m)CnrCYβ
)1/2 (3.73)
A partir del último par de ecuaciones se puede ver que a altitud constante, la frecuencia
se incrementa en proporción a la velocidad y para una dada velocidad, la frecuencia decrece
con la altitud. Para la constante de amortiguamiento, se puede ver que es independiente de
la presión dinámica y que sera en general proporcional a la raíz cuadrada de la densidad.
Capítulo 4
Modelado y Simulación
En este capítulo se describe el trabajo realizado para poder disponer de un simulador
que nos permita estudiar el comportamiento de un VANT. Del capítulo anterior obtuvimos
un modelo matemático que nos permite simular el sistema bajo ciertas condiciones de vuelo.
El mismo es un espacio de estados de nueve grados de libertad que nos brinda información
completa de la dinámica estudiada. Para poder de�nir las ecuaciones, se utilizan técnicas
analíticas que de�nen a los parámetros del modelo en base a las propiedades físicas del
avión y de las condiciones de vuelo. Una vez descripto el modelo se pueden obtener las
condiciones de equilibrio de vuelos en estado estacionario. Con dichas condiciones y el
modelo, se obtienen una series de ecuaciones que describen la dinámica lineal del problema,
dichas ecuaciones son representadas en dos espacios de estados desacoplados que describen
la dinámica longitudinal y lateral de la aeronave. Este modelo linealizado se utiliza para
la generación de datos de vuelo simulados, diseño de controladores y prueba de algoritmos
de identi�cación. En la �gura 4.1 se observa un diagrama de �ujo del proceso descripto.
4.1. Modelado de una Aeronave de Ala Fija
Como se menciona anteriormente, en el capítulo 3 se obtiene un modelo matemático
de la aerodinámica de un VANT de ala �ja. El mismo es un espacio de estados no lineal
de nueve grados de libertad, cuyos parámetros dependen de la geometría del avión, las
condiciones de vuelo y los coe�cientes aerodinámicos, a su vez parametrizados por las
derivativas de estabilidad y control. La información acerca de la geometría del avión es
obtenida de mediciones de la aeronave en estudio, las condiciones de vuelo son parámetros
43
44 Modelado y Simulación
Espacio de EstadosNo lineal
dx/dt = f(x,u)y = g(x,u)
Estado de equilibrio
estacionario
LinealizaciónEspacio de Estados
Lineal
dx/dt = Ax+Buy = Cx+Du
Simulación, Identificación
y Control
Figura 4.1: Modelado y Simulación de un Sistema Dinámico
que podemos suponer y �nalmente los valores de las derivativas son obtenidos mediante el
programa DATCOM (Data Compendium). DATCOM es un programa de computadora que
implementa una serie de métodos de estimación de derivativas a partir de una descripción
geométrica de la aeronave. Este algoritmo nace gracias a la Fuerza Aérea de Estados
Unidos que se encargó de compilar el mejor conocimiento y experiencia en el área control
y estabilidad aerodinámica. Las derivativas de control de la propulsión son obtenidas en
base a las características del motor y la hélice por otros métodos analíticos.
En síntesis, como datos para el modelado analítico se requieren un conjunto de pará-
metros mínimos, los cuales involucran propiedades tales como:
Geometría de la Aeronave.
Masas e Inercias.
Coe�cientes Aerodinámicos.
Propulsión.
4.1.1. Coe�cientes aerodinámicos desde DATCOM
El principal objetivo de utilizar DATCOM, es la de obtener estimaciones de las deriva-
tivas de estabilidad y control de manera rápida y económica, estas estimaciones sirven para
4.2 Algoritmo implementado para el modelado 45
aplicaciones de diseño preliminar. La construcción de un modelo de DATCOM para la ob-
tención de los coe�cientes aerodinámicos, no es un proceso univoco sino que es un proceso
iterativo. La construcción del mencionado modelo se realiza siguiendo los lineamientos del
manual respectivo[15]. Un archivo de con�guración típico puede verse en el apéndice A.
4.1.2. Propulsión
El modelado de la hélice se realiza con datos provistos por el fabricante o utilizando
Aeromatic [16]. Esto permite construir las curvas de thrust y potencia a partir de la cual
se calculan los parámetros de propulsión. El modelado del motor sigue los lineamientos de
[12]. Esto sumado a la información provista por el fabricante permite establecer los limites
de la operación y funcionamiento del mismo.
4.2. Algoritmo implementado para el modelado
Con el �n de obtener el modelo matemático que permita simular el comportamiento
de las aeronaves en estudio, se crea un algoritmo con el que se pueden obtener los valores
de derivativas a ser utilizadas, las condiciones de vuelo equilibrado y el correspondiente
modelo lineal. Para poder correr el algoritmo, debemos de�nir la aeronave a ser analizada
y las condiciones de vuelo crucero. En la �gura 4.2 se observa el diagrama de �ujo del
algoritmo de trimado o de equilibrado, que a partir de una serie de funciones desarrolladas
para esta tesis, obtiene toda la información del modelado analítico de una aeronave. El
algoritmo comienza a ejecutarse con el código de desarrollo propio InitTrim.m.
4.2.1. Inicialización
Para que el programa pueda calcular el modelo matemático de la aeronave, se deben
de�nir en un principio una serie de condiciones iniciales. Estas condiciones restringen el
sistema y permiten obtener una solución de�nida para esas condiciones. En la tabla 4.2.1
se muestran las condiciones iniciales que pueden ser modi�cadas para la ejecución del
programa.
46 Modelado y Simulación
Parámetro Explicación
Init.h Altura a la que se simulará el vuelo.Init.v Velocidad de equilibrio de la simulación.Init.Model De�ne el modelo de aeronave a ser estudiado. Los valores
posibles son: 1(Cabure), 2(Sirius1A),3(Sirius2B), 4(Pulsar).Init.SubModel De�ne submodelos de aeronave. Valores posibles: 1(Cabure
ver0), 2(Cabure ver1), 1(Pulsar),2(Pulsarv1).Init.Propela Posibles valores de propela: 0,1(Cabure), 2(Sirius1A).Init.Motor Posibles opciones de motores: 0,1(Cabure), 2(Sirius1A).Init.rpmVal De�ne una velocidad inicial del motor en rpm.Init.dcgxyz Coordenadas del centro de gravedad de la aeronave.Init.costJdisplay Mostrar la evolución de la función de costo que encuentra el
punto de equilibrio : 0(No), 1(Sí).opt Posibles condiciones de equilibrio. Las opciones son:
1(Steady wings-level �ight), 2(Steady turning �ight),3(Steady pull-up), 4(Steady roll), 5(Quit)
Tabla 4.1: Condiciones iniciales de ejecución
4.2.2. Estado de equilibrio
En base a las condiciones iniciales previamente de�nidas se establecen dos vectores: un
vector de constantes (valores de equilibrio de variables de estado prede�nidos) y uno de
variables (valores de equilibrio de variables de estado a de�nir). Estos dos vectores junto con
una función de costo, que busca anular las derivadas de las variables de estado (condición
de equilibrio para sistemas dinámicos), son introducidos en la función fminsearch() de
MATLAB® la cual devuelve los valores de equilibrio del vector de variables que introducimos.
Cabe destacar que este cálculo se realiza en base a las ecuaciones no lineales del proceso,
por lo cual los valores obtenidos deberían funcionar perfectamente en las simulaciones no
lineales. Esta serie de pasos se produce dentro del código desarrollado actrim.m
4.2.3. Obtención de las matrices del espacio de estados del sistema li-
nealizado
Una vez encontrado el estado de equilibrio alrededor del cual podemos estudiar nuestro
sistema dinámico, se procede a encontrar las matrices que de�nen el sistema lineal en el
espacio de estados. Para ello se recurre a dos procesos, dentro del código getLinMat.m:
Cálculo de las matrices en base a la linealización teórica de las ecuaciones del modelo
no lineal.
4.2 Algoritmo implementado para el modelado 47
Proceso numérico que encuentra las matrices por medio de una aproximación en base
al desarrollo de Taylor de las funciones no lineales.
Es interesante remarcar que con ambos procesos se llega a los mismos resultados.
Algoritmo de Trimado
InitTrimm.m()
actrim.m()
getLinMat.m()
Finalizacion
Fin
Inicializacion de parametros de calculo
fminsearch(): Busquedadel punto de equilibrio
Linealizacion Teorica y Calculo Numerico del Espacio de Estados
Limpieza de memoria y Resultados
Figura 4.2: Diagrama del algoritmo de modelado implementado
4.2.4. Finalización
Una vez �nalizado el ajuste de las condiciones de equilibrio y haber obtenido las ma-
trices del espacio de estados, se obtiene una estructura, dentro de la cual tenemos toda la
48 Modelado y Simulación
información del procesamiento de datos (propiedades geométricas, aerodinámicas, condi-
ciones de vuelo, resultados del trimado, matrices del espacio de estados, etc), información
crucial para la simulación de los sistemas de control de los VANT.
4.3. Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados
Para la investigación y estudio de la dinámica de cualquier sistema es necesario contar
con un modelo matemático que describa la relación entre entradas y salidas del mismo.
Además, dicho modelo también debe tener una descripción especí�ca del comportamiento
de las variables internas de dicho sistema. Para el caso del estudio de la dinámica de
aeronaves es útil desarrollar el modelo lineal simpli�cado, en ciertas condiciones de estado
estacionario, con el cual podemos generar datos y observar el comportamiento dinámico
que desarrollará el vehículo en estudio.
De la sección anterior, obtuvimos una cantidad de datos imprescindibles para armar
el simulador lineal de un vehículo aéreo. El espacio de estados continuo y las condiciones
de equilibrio nos permiten construir y experimentar con un simulador preciso, que simula
y entrega la evolución de todas las variables necesarias para la investigación del fenómeno
en sí.
4.3.1. Algoritmo de simulación
En las secciones anteriores se obtuvieron las condiciones de equilibrio y las matrices
que de�nen el espacio de estados linealizado del VANT en estudio. Con estos datos se
pueden implementar técnicas de integración para determinar la evolución de los estados,
es decir, se obtiene a cada uno de los estados como una función del tiempo [12]. El objetivo
de implementar un simulador dinámico en el tiempo es generar datos para aplicar la IDS
y obtener nuevamente el modelo del sistema que se utiliza para la simulación temporal.
Para obtener los datos del proceso es necesario de�nir un periodo de muestreo con el que
la información será muestreada, es importante notar que dicha tasa debe ser mayor al
tiempo de simulación o de integración ya que en caso contrario los datos extraídos serían
redundantes.
La simulación implementada se realiza en tiempo simulado, es decir, no en tiempo real.
La �gura 4.3 muestra el �ujo del proceso de simulación para la generación de datos en el
4.3 Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados 49
dominio del tiempo.
InicializaciónCondición de
Linealización
Discretizar
tiempo y
entradas
Integración
numéricaEspacio de
Estados Continuo
Datos
Figura 4.3: Simulación en el dominio del tiempo.
Simulador
El simulador diseñado para poder llevar a cabo la generación de datos es un prototipo
que utiliza como base el modelo linealizado del avión, el mismo consta de dos espacios de
estados, uno que simula la dinámica longitudinal y otro que de�ne la dinámica lateral-
direccional. Al mismo se le añaden un generador de señales de piloto y un autopiloto con
diversos modos de control. El autopiloto a su vez utiliza como retroalimentación la evolución
de los estados a través de un algoritmo de simulación de sensores ruidosos. Finalmente se
agregan dos módulos responsables de gra�car los datos simulados y otro que los exporta a
la memoria. El simulador como vemos en la �gura 4.4 cuenta entonces con siete bloques.
Cada uno con una función particular que se describe a continuación:
Piloto: el primero de los bloques nos permite diseñar las entradas al sistema, en este caso,
podemos construir una señal de entrada para el ángulo de elevador, el de alerones y
el del timón de cola, también podemos perturbar la velocidad del motor.
Autopiloto: módulo con modos de control para manipular altura, cabeceo, velocidad,
50 Modelado y Simulación
Figura 4.4: Diagrama del simulador implementado
alabeo, guiño, entre otros.
Modelo: el bloque contiene el modelo matemático que de�ne a nuestro vehículo y además
una serie de transformaciones para obtener todas la variables que pueden interesarnos
al analizar un vuelo simulado.
Grá�cos: en el bloque tenemos todas las grá�cas de las variables estudiadas del modelo.
Actuadores: la función es simular la dinámica de los actuadores reales.
Sensores: en este caso se simula el comportamiento de los sensores, agregando ruido y
�ltrando la señal de manera de eliminar dicho ruido lo más posible.
Datos: Y �nalmente en este bloque tenemos un organizador de datos que guarda todas
las variables en un archivo, para luego ser utilizado con algoritmos de estimación de
parámetros.
Para probar el funcionamiento del simulador, se hace un análisis de los datos generados
para una serie de ejemplos. Como primer caso se excita la dinámica longitudinal mediante
una onda cuadrada en el elevador. Dicha onda tiene un periodo de 1 segundo, correspon-
diente a una frecuencia de 1 Hz cercana a los 2 Hz de la frecuencia natural del modo de
periodo corto. Del grá�co 4.5 se observa la forma de la perturbación que llega al elevador
debido a la dinámica del actuador en la primera imagen, y en la segunda imagen se aprecia
el comportamiento del ángulo de cabeceo y del ángulo de ataque. En una primera instan-
4.3 Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados 51
cia cuando se produce la perturbación de elevador, vemos como tanto el cabeceo como el
ángulo de ataque se ven perturbados por una dinámica de periodo corto, una vez disipada
la perturbación la dinámica se ve afectada por el modo de periodo largo o el modo fugoide,
que se ve en mayor medida en la variación del cabeceo de la aeronave.
Figura 4.5: Simulación de una maniobra sobre el elevador
Como segundo ejemplo se prueba la reacción del VANT ante una perturbación cua-
drada en el acelerador. En este caso el periodo seleccionado de es de unos 8 segundos,
correspondiente a una frecuecia de 0,125 Hz cercana a la frecuencia de modo fugoide de
0,12 Hz. Nuevamente en la primer grá�ca de la �gura 4.6 se observa la maniobra simulada
en la velocidad del motor, teniendo en cuenta la dinamica propia del actuador. Mientras
que en la segunda se aprecia el comportamiento del ángulo de cabeceo y del ángulo de
ataque. De la �gura se observa que el modo corto no se ve excitado, sino que solo se está
52 Modelado y Simulación
excitando el modo fugoide en ambos casos. También puede observarse que mientras que el
cabeceo sufre una gran excitación, el ángulo de ataque se ve apenas perturbado.
Figura 4.6: Simulación de una maniobra sobre el motor
La dinámica lateral es probada mediante la simulación de un giro coordinado a una
tasa de giro de 0, 16rad/s y con un giro de radio de 100m. En la grá�ca 4.7 se observa la
simulación de un giro perfecto en 40 segundos aproximados de tiempo.
4.3 Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados 53
Figura 4.7: Simulación de un giro coordinado
Capítulo 5
Estimación de Parámetros
�La identi�cación de sistemas es el arte y ciencia de construir
modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de la in-
formación observada de entrada y salida al sistema [17].�
� Ljung
El proceso de estimación de Parámetros, es una parte fundamental dentro de la identi�-
cación de sistemas. Una vez de�nido el modelo matemático, incluyendo la clase de modelo,
sus entradas, salidas, estados y parámetros desconocidos; el siguiente paso es hacer una
estimación correcta de dichos parámetros en base a las mediciones reales que tengamos del
fenómeno.
Como mencionamos anteriormente la estimación de parámetros consiste en encontrar
los valores de una serie de parámetros desconocidos de una estructura de modelo mate-
mático, a los que designaremos con la letra θ, extrayendo dicha información de mediciones
ruidosas de experimentos del sistema, designadas por la variable z. Un estimador es enton-
ces una función de las mediciones z que nos entrega un valor estimado θ. Debido a que la
estimación depende de las mediciones, que son variables aleatorias, el estimador es también
una variable aleatoria.
Para comenzar a trabajar en la estimación de parámetros, es fundamental de�nir pre-
viamente una serie de condiciones a tener en cuenta:
1. Una estructura de modelo con una serie de parámetros θ a ser estimados.
2. Una estructura de modelo para las mediciones experimentales z.
55
56 Estimación de Parámetros
3. Una serie de suposiciones estadísticas acerca de θ y z.
En general el modelo matemático a ser de�nido puede ser de dos tipos, lineal o no lineal
en los parámetros a ser estimados. Las ecuaciones para los casos respectivos son:
y = Hθ (5.1)
y = h(θ) (5.2)
Donde y representa la salida del modelo, es decir el equivalente en el modelo a las
mediciones que puedan ser realizadas experimentalmente.
Los modelos lineales y no lineales para la mediciones quedan entonces de�nidos como:
z = Hθ + ν (5.3)
z = h(θ) + ν (5.4)
Donde la variable ν representa la presencia de ruido en el proceso de medición.
A esta altura nos queda de�nir las suposiciones que podemos realizar respecto a los
parámetros θ y las mediciones z. En base a las incertezas que consideremos podemos
trabajar con tres modelos de estimación [8]:
Modelo bayesiano
� Consideramos a los parámetros θ como variables aleatorias con una función de
densidad de probabilidad p(θ).
� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias con una función
de densidad de probabilidad p(ν).
Modelo de Fischer
� Consideramos a los parámetros θ como una serie de constantes desconocidas.
� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias con una función
de densidad de probabilidad p(ν).
Modelo de Mínimos-Cuadrados
5.1 Elección de un estimador 57
� Consideramos a los parámetros θ como una serie de constantes desconocidas.
� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias.
5.1. Elección de un estimador
La elección de un método de estimación de parámetros, depende fuertemente de la
aplicación en particular y de las propiedades e incertezas del sistema dinámico. Dentro de
los métodos de identi�cación de sistemas se decide un método paramétrico frente a los no
paramétricos esto es debido a que, como demostramos, el conocimiento acerca del modelo
matemático que gobierna una aeronave es bien conocido, por tanto sólo resta conocer las
sutilezas que de�nen a nuestro problema en particular [18].
Dentro de los métodos paramétricos es necesario entonces elegir un método de esti-
mación. Esta decisión en primer lugar se de�ne en general por la información a-priori o
no de los parámetros desconocidos y de su función de densidad de probabilidad. También
importará la información acerca del ruido de las mediciones y de las suposiciones que se
hayan hecho acerca del modelo y sus variables. En la �guras 5.1 y 5.2 se muestran una serie
de árboles de decisiones que ayudan a seleccionar el método de identi�cación y estimación
[19].
Dimensionar un problema
Datos a analizar
Conocimiento a priori
Conocimiento a priori
Obtener más información
Enfoque clásico Enfoque bayesiano
S
S
S
No
No
No
S
Figura 5.1: Árbol de decisión para la elección de un modelo de Estimación de Parámetros
58 Estimación de Parámetros
PDF conocida
Estadístcio Completo y
Su�ciente
S
S
No
No
S
CRLB alcanzada
Señal ruidosa
Señal lineal LSEMVUE
Insesgar
MLE
No
S
MVUES
No
No
Figura 5.2: Árbol de decisión para la elección de un Estimador de Parámetros
5.2. Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados
Para el caso de la estimación por un modelo de Mínimos Cuadrados, no utilizamos
funciones de densidad de probabilidad para el vector de parámetros θ ni para el vector de
ruido ν [20]. El estimado de Mínimos-Cuadrados se obtiene minimizando el error cuadrático
que surge de comparar las mediciones z y las salidas del modelo y. Por ende el estimado θ
surge de minimizar la función de costos J(θ), la cual se de�ne como la suma pesada de los
errores cuadráticos:
J(θ) =1
2(z −Hθ)T R−1 (z −Hθ) (5.5)
En este caso la matriz R es una matriz de pesos de�nida positiva, la optimización de
esta función nos dirige al estimador de Mínimos Cuadrados Pesado. Para el caso en que
R = I, se obtiene el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios, con función de costo:
J(θ) =1
2
N∑i=1
[z(i)−H(i)θ]2 (5.6)
Para el caso de que contemos con un modelo no lineal la ecuación queda de la forma que
muestra la ecuación , encontrando el estimador no lineal de Mínimos Cuadrados Ordinario:
J(θ) =1
2
N∑i=1
[z(i)− h(i, θ)]2 (5.7)
5.2 Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados 59
5.2.1. Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario
En general los modelos aerodinámicos y las ecuaciones de regresión que de�nen el
comportamiento de una aeronave pueden ser escritos de la forma:
y = Xθ (5.8)
z = Xθ + ν (5.9)
Donde:
z = [z(1)z(2)...z(N)]T vector de mediciones de dimensión N × 1
θ = [θ1θ2...θn]T vector de parámetros de dimensión n× 1
X = [ζ1ζ1...ζn] matriz de regresores de dimensión N × n
ν = [ν(1)ν(2)...ν(N)]T vector de error de medición de dimensión N × 1
Los vectores de regresores ζi corresponden a funciones conocidas de variables indepen-
dientes. Estas ecuaciones de regresión son equivalentes a las ecuaciones de modelo y de
mediciones vistas al principio. En este caso como no tenemos probabilidades a-priori acer-
ca de los parámetros y de los errores de medición, asumimos que el vector ν tiene media
nula y esta descorrelacionado, matemáticamente:
E(ν) = 0 (5.10)
E(νT ν) = σ2I (5.11)
Como se vio en la sección anterior, la función de costo a minimizar para alcanzar el
mejor estimado de θ es:
J(θ) =1
2(z −Xθ)T (z −Xθ) (5.12)
El estimado que que minimiza esta función de costo es entonces θ y debe satisfacer que
la derivada sea nula, es decir, la condición de mínimo de una función cuadrática:
∂J(θ)
∂θ= −XT z +XTXθ = 0 (5.13)
XTXθ = XT z (5.14)
60 Estimación de Parámetros
Despejando de la ecuación anterior, se obtiene el estimador de Mínimos Cuadrados
Ordinario:
θ =(XTX
)−1XT z (5.15)
5.2.2. Herramientas de evaluación estadística del Estimador
Una vez calculado los valores de los parámetros por estimación, es importante conocer
que tan con�ables son. Es decir, analizar su varianza, su correlación, la predictibilidad
que generan en el modelo obtenido, etc. Para esto, se describe como se calculan ciertos
coe�cientes de utilidad.
La matriz de covarianza del vector de parámetros θ, conocida como matriz de covarianza
del error de estimación, nos da información acerca de que tan disperso se encuentran el
valor del parámetro obtenido. La ecuación para calcular la covarianza es:
Cov(θ) = E[(θ − θ)T (θ − θ)]
= E[(XTX)−1XT (z − y)(z − y)TX(XTX)−1]
= (XTX)−1XTE(ννT )X(XTX)−1
(5.16)
Asumiendo que el error de medición es descorrelacionado y tiene varianza constante
σ2. La matriz de covarianza del error de estimación queda:
Cov(θ) = σ2(XTX)−1 (5.17)
La matriz (XTX)−1 es la inversa de la matriz de proyección en los regresores, de ahora
en más la denominaremos D. Por tanto la varianza de cada uno de los parámetros queda
de�nida como:
V ar(θj) = σ2djj = s2(θj) (5.18)
La covarianza entre parámetros queda dada por la ecuación:
Cov(θj , θk) = σ2djk (5.19)
5.2 Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados 61
Finalmente el coe�ciente de correlación puede ser calculado como:
rjk =djk√djjdkk
(5.20)
El valor de correlación no dice mucho acerca de la con�abilidad que tienen nuestras
estimaciones. La estimación por Mínimos Cuadrados es una especie proyección de las me-
diciones en cada uno de los regresores o variables independientes que hemos de�nido en
nuestro modelo. Lo que se busca entonces es ortogonalidad entre dichos regresores la cual
se indica con valores de correlación alejados de la unidad. Es posible calcular la matriz de
correlación en lugar de los coe�cientes de la forma:
Corr(θ) =
1s(θ1)
0 · · · 0
0 1s(θ2)
· · · 0
......
. . ....
0 0 · · · 1s(θn)
Cov(θ)
1s(θ1)
0 · · · 0
0 1s(θ2)
· · · 0
......
. . ....
0 0 · · · 1s(θn)
(5.21)
De la ecuación de regresión lineal 5.8 y la ecuación del estimador 5.15 se alcanza la
estimación de la variable dependiente o de salida y. Este vector y representa los datos
simulados por el modelo en base a los regresores utilizados para calcular los parámetros y
el valor obtenido de dichos parámetros, y está dado por la ecuación:
y = Xθ = X(XTX)−1XT z = Kz (5.22)
Donde de�nimos:
K = X(XTX)−1XT (5.23)
La cual es la matriz de predicción de dimensión N × N , cuya utilidad es mapear las
salidas medidas al dominio de la salidas estimadas. La diferencia entre dichas salidas nos
da como resultado el vector de residuos υ de tamaño N × 1:
υ = z − y = (I −K)z (5.24)
62 Estimación de Parámetros
Como se puede notar de las ecuaciones anteriores, para el cálculo de la varianza, cova-
riaza y correlación de los parámetros es necesario conocer la varianza del error de medición
σ2. En la práctica este valor usualmente no es conocido a-priori, por lo que debe ser estima-
do en base a los datos de vuelo. Asumiendo que el modelo elegido es correcto un estimador
insesgado para la varianza del error de medición puede ser obtenido en base a los residuos.
σ2 =υTυ
N − n=
∑Ni=1[z(i)− y(i)]2
N − n= s2 (5.25)
Finalmente un parámetro que es importante conocer es el coe�ciente de determinación
R2, el cual representa la parte de información que es explicada por el modelo obtenido.
Donde z es el valor medio de las mediciones z.
R2 =θTXT z −Nz2
zT z −Nz(5.26)
5.2.3. Implementación del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario
En las secciones anteriores se desarrolla el Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario.
A continuación se muestra la implementación particular a nuestro problema. La estimación
de parámetros se utiliza de dos maneras, en una de ella se busca estimar aquellos elemen-
tos de las matrices del Espacio de Estados que representen la in�uencia de las fuerzas y
momentos aerodinámicos, en el otro caso se busca estimar directamente las derivativas de
estabilidad y control que gobiernan el comportamiento de los coe�cientes aerodinámicos.
Para estimar los elementos de las matrices que de�nen las dinámicas longitudinal y
lateral, presentaremos las matrices obtenidas en el capítulo 3 de manera simpli�cada, in-
dicando con un sombrero los elementos que deben ser estimados ya que están de�nidos
por alguna derivativa no conocida. A continuación se muestran los espacio de estados de
la dinámica longitudinal y lateral respectivamente.
V
α
q
θ
=
A11 A12 0 A14
A21 A22 A23 0
A31 A32 A33 0
0 0 1 0
V
α
q
θ
+
B11 B12
B21 B22
B31 B32
0 0
δeδn
(5.27)
5.2 Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados 63
β
p
r
φ
ψ
=
A11 A12 A13 A14 0
A21 A22 A23 0 0
A31 A32 A33 0 0
0 1 A43 0 0
0 0 A53 0 0
β
p
r
φ
ψ
+
B11 B12
B21 B22
B31 B32
0 0
0 0
δaδr
(5.28)
Al aplicar el estimador de mínimos cuadrados, las mediciones serán los valores de
las derivadas de los estados para cada ecuación correspondiente, más los términos de la
matrices A ya conocidos multiplicados por las variables en cuestión, los parámetros a
estimar son los elementos desconocidos de las matrices y �nalmente los regresores son los
estados y entradas que correspondan a los elementos no conocidos. Como ejemplo se deriva
el estimador para la primera ecuación de la dinámica longitudinal, en este caso se obtiene:
z =
[V (1)−A14θ(1) V (2)−A14θ(2) · · · V (N)−A14θ(N)
]T(5.29)
θ =
[A11 A12 B11 B12
]T(5.30)
X =
V (1) α(1) δe(1) δn(1)
V (2) α(2) δe(2) δn(2)
......
......
V (N) α(N) δe(N) δn(N)
(5.31)
Para el caso de la estimación de las derivativas se hace uso de las ecuaciones que de�nen
a los coe�cientes aerodinámicos como una expansión de Taylor de primer orden, alrede-
dor de una condición de vuelo equilibrado. Las ecuaciones para el coe�ciente de arrastre
(drag), fuerza lateral, sustentación (lift), cabeceo, alabeo y guiño son respectivamente las
ecuaciones:
CD = CD0 + CDV∆V
Veq+ CDα∆α+ CDq
cq
2Veq+ CDδ∆δ (5.32)
CY = CY0 + CYβ∆β + CYpbp
2Veq+ CYr
br
2Veq+ CYδ∆δ (5.33)
CL = CL0 + CLV∆V
Veq+ CLα∆α+ CLα
cα
2Veq+ CLq
cq
2Veq+ CLδ∆δ (5.34)
64 Estimación de Parámetros
Cl = Cl0 + Clβ∆β + Clpbp
2Veq+ Clr
br
2Veq+ Clδ∆δ (5.35)
Cm = Cm0 + CmV∆V
Veq+ Cmα∆α+ Cmα
cα
2Veq+ Cmq
cq
2Veq+ Cmδ∆δ (5.36)
CY = Cn0 + Cnβ∆β + Cnpbp
2Veq+ Cnr
br
2Veq+ Cnδ∆δ (5.37)
Para este caso al aplicar el estimador de mínimos cuadrados, las mediciones serán
los valores del coe�ciente aerodinámico correspondiente, los parámetros a estimar son las
derivativas y �nalmente los regresores son los términos que acompañas a las derivativas.
Por ejemplo para el coe�ciente de arrastre (drag) queda de la siguiente forma:
z =
[CD(1) CD(2) · · · CD(N)
]T(5.38)
θ =
[CD0 CDV CDα CDq CDδ
]T(5.39)
X =
1 ∆VVeq
(1) ∆α(1) cq2Veq
(1) ∆δ(1)
1 ∆VVeq
(2) ∆α(2) cq2Veq
(2) ∆δ(2)
......
......
...
1 ∆VVeq
(N) ∆α(N) cq2Veq
(N) ∆δ(N)
(5.40)
Capítulo 6
Datos de Vuelos Experimentales
En este capítulo se describen las características del VANT Caburé, su equipamiento y
los vuelos de prueba realizados. El mismo es una aeronave con la cual se realizaron una
serie de vuelos, de los cuales se tiene registro de todas las variables necesarias para la
identi�cación de parámetros. Se detallan además los sensores con los que cuenta el avión
para realizar las mediciones pertinentes. Finalmente se hace referencia a las condiciones de
los distintos vuelos realizados, sus maniobras y procedimientos.
Figura 6.1: CAD del Caburé y foto en vuelo
6.1. Caburé: VANT para experimentación
El Caburé es una aeronave no tripulada de ala alta y cola convencional, propulsado
por un motor eléctrico de alto rendimiento, en con�guración tractora y alimentado por
un pack de baterías Li-Po de grandes prestaciones. La célula, construida íntegramente
en materiales compuestos, tiene la particularidad de ensamblarse y desensamblarse con
65
66 Datos de Vuelos Experimentales
facilidad y, sumado a su bajo peso, permite ser transportada. En la �gura 6.1 se observa al
VANT Caburé. En la tabla 6.1 se muestra un resumen de las características geométricas y
aerodinámicas del vehículo en estudio.
Parámetro Valor UnidadMasa total 5,7 kgMomento de inercia al alabeo 0,41 kg.mMomento de inercia al cabeceo 0,22 kg.mMomento de inercia al guiño 0,62 kg.mLargo del fuselaje 1,15 mEnvergadura del ala 2,20 mCuerda del ala 0,23 mVelocidad crucero 16 m/s
Tabla 6.1: Resumen de parámetros característicos del Caburé
6.2. Sensórica del Caburé
Para el funcionamiento de un control de autopiloto y en general para el seguimiento del
comportamiento de la aeronave en vuelo, es necesario la medición de una serie de variables
características del mismo. Los sensores básicos para un vehículo aéreo no tripulado son :
Acelerómetro de tres ejes: el mismo mide las aceleraciones en los tres ejes del avión.
Giróscopo de tres ejes: con este dispositivo se evalúan las velocidades angulares.
Magnetómetro de tres ejes: sensor utilizado para medir el las direcciones del campo
magnético de la Tierra y por ende calcular los ángulos de actitud.
GPS (sistema de posicionamiento global): con el mismo se obtiene información del
posicionamiento y velocidad del sensor respecto a los ejes terrestres.
En general, el acelerómetro, giróscopo y magnetómetro vienen encapsulados en un
solo dispositivo denominado IMU (unidad de medida inercial) o los también conocidos
AHSR (sistemas de referencia de rumbo y actitud). Además de estos sensores también
son usados medidores de presión diferencial (ayudan a calcular la altura y velocidad del
aire),sensores de ángulo de ataque y de ángulo de deslizamiento lateral. Estos sensores son
menos utilizados, ya que no son imprescindibles pero ayudan a mejorar el rendimiento de
los algoritmos de control.
6.2 Sensórica del Caburé 67
Para el caso del Caburé se cuenta con un sistema AHRS asistido por GPS, el modelo
de dispositivo es el LORD MicroStrain 3DM-GX3-35. Y también se cuenta con un sensor
de presión diferencial modelo MPXV7002DP.
6.2.1. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS
El sistema de referencia de rumbo y altitud (Attitude and Heading Reference System)
utilizado, pertenece a la familia 3DM-GX3 de sensores inerciales de grado industrial. La
misma esta diseñada para soluciones de navegación aérea en general [21].
El modelo incluye una IMU que cuenta con medida directa de aceleración, velocidad
angular y presión atmosférica. El dispositivo además cuenta con una unidad de cálculo
que corrige errores, sesgos y ruidos para generar mediciones de mayor precisión. Entre las
variables computadas tenemos los ángulos de actitud (alabeo, cabeceo y guiño), y también
posición y velocidad en sistema de referencia terrestre, gracias a la inclusión de un GPS al
sistema AHRS. En resumen las variables de salida que podemos obtener del sensor son:
Aceleración lineal en sistema cuerpo: ax, ay & az.
Velocidad angular en sistema cuerpo: p, q & r.
Campo magnético en sistema cuerpo.
Ángulos de actitud: φ, θ & ψ.
El sistema posee una tasa de muestreo de hasta 30KHz, con una tasa de salida máxima
de 1KHz para la IMU en su conjunto. En el caso del GPS la tasa de salida es mucho menor,
rondando los 4Hz de máxima. En la tabla 6.2 se muestran características generales de la
IMU.
Parámetro Acelerómetro Giróscopo MagnetómetroRango de medición ±5 g ±300 °/s ±2,5 GaussSesgo ±0,04 g 18 °/hr -Factor de escala ±0,05% ±0,05% ±0,1%Tasa de muestreo 30 KHz 30 KHz 7,5 KHz
Tabla 6.2: Especi�caciones de los sensores de la IMU
Como se menciono anteriormente la unidad posee un receptor GPS integrado de alto
rendimiento, lo que permite diseñar un sistema de navegación asistido por GPS. Gracias a
esta inclusión podemos hacer uso de otra serie de mediciones útiles, las cuales son:
68 Datos de Vuelos Experimentales
Posición Global (LLH): Latitud, Longitud & Altura.
Velocidad Global (NED): Norte, Este & Abajo.
Es importante destacar que la velocidad de muestreo del GPS respecto a la IMU es
mucho menor, debido a los tiempos de conexión y comunicación que conllevan el posicio-
namiento satelital. En el caso del GPS la tasa de muestreo máxima que se permite es de 4
Hz. A continuación se adjunta una tabla con las especi�caciones:
Parámetro Especi�caciónTasa de salida de datos 1 a 4 HzPrecisión de velocidad 0,1 m/sPrecisión de rumbo 0,5 °
Precisión de posición 2,5 m
Tabla 6.3: Especi�caciones del GPS
Figura 6.2: LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS
6.2.2. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP
Este sensor sirve para medir la presión diferencial del tubo de Pitot, con el que pue-
de calcularse la velocidad respecto al aire que es la que de�ne las fuerzas y momentos
aerodinámicos. El sensor debe ser calibrado en Tierra para una velocidad nula. Luego la
velocidad puede ser calculadas según la ecuación 6.1 que modela el comportamiento de un
tubo de Pitot.
V =
√2∆P
ρ(6.1)
Como se ve de la ecuación anterior, el cálculo de la velocidad es función de la densidad
del aire ρ, esta densidad depende de la temperatura, dato que podemos obtener del sensor
6.3 Diseño de Maniobras para la Estimación 69
que contiene el AHRS. En la tabla a continuación vemos algunas de las características del
sensor descripto [22].
Parámetro Especi�cación
Rango de Presión ± 2 KPa
Sensibilidad 1 V/KPa
Tasa de de salida de datos 20 Hz
Tabla 6.4: Especi�caciones del Sensor de Presión Diferencial
Figura 6.3: Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP
6.3. Diseño de Maniobras para la Estimación
Para la identi�cación de sistemas en aeronaves es necesario excitar el sistema a través
de sus variables de entrada: elevador, motor, alerones y timón. El objetivo de diseñar las
maniobras de vuelo es maximizar el contenido de información que extraemos. Es necesario
tener en cuenta algunas restricciones en el desarrollo como pueden ser:
Si estamos trabajando en base a un modelo lineal, limitar las amplitudes de las
entradas y de las variables dinámicas del avión para asegurarnos de hacer una buena
estimación de los parámetros.
Limitaciones físicas de los actuadores y de los sensores, como son limites de amplitud,
tasas de muestreo, etc.
70 Datos de Vuelos Experimentales
Tiempo limitado para las maniobras realizadas, al igual que el rango de frecuencias
excitadas.
Existen muchas formas de excitar el sistema. En general, lo que se busca es dejar al
vehículo en condición de equilibrio y generar perturbaciones que exciten distintas dinámi-
cas, esto nos permite considerar el modelo constante durante la maniobra. Las formas de
entradas más comunes para la estimación de parámetros son:
Impulso: esta maniobra busca excitar las bajas frecuencias del sistema. Es una per-
turbación instantánea en alguna de las variables de entrada, muy difícil de generar
en la práctica.
Pulso: esta excitación busca excitar las bajas frecuencias del sistema. En general se
generan dos pulsos con amplitud opuesta para permitirle al sistema volver al estado
de equilibrio.
Barrido de frecuencias: cuando se tiene muy poca información a-priori del sistema,
se suele usar como entrada un barrido de frecuencias, es decir, una onda sinusoidal
que va cambiando su frecuencia con el �n excitar los distintos modos del sistema.
Se comienza con frecuencias bajas y se aumenta, para darle mayor tiempo a las
respuestas lentas del sistema.
Entrada de piloto: el vuelo de un piloto excita los modos que son más representativos
del comportamiento dinámico de la aeronave, por lo que se pueden alcanzar buenos
resultados si la habilidad del piloto es adecuada.
6.4. Resumen de los Vuelos de Prueba
Para la estimación de parámetros a partir de datos reales se cuenta con una serie de
vuelos de pruebas, realizados para el ensayo de un autopiloto desarrollado por INVAP. A
continuación se hace una breve descripción de la serie de datos recolectados agrupados por
la fecha de vuelo y el modo de autopiloto estudiado.
Vuelos realizados el día 12 del mes de julio:
6.4 Resumen de los Vuelos de Prueba 71
1. Relevamiento de condiciones de equilibrio: en modo manual se realiza una vuelo
nivelado, para registrar los valores de equilibrio de las variables del sistema y de los
actuadores.
2. Relevamiento de condiciones de equilibrio: se repite el ensayo para veri�car los valores
obtenidos y corregir inconsitencias.
3. Prueba del control de cabeceo: actuando sobre la velocidad del motor y el ángulo del
elevador se mantiene una referencia para el ángulo de cabeceo.
4. Prueba del control de altura: se sigue una referencia de altura, actuando sobre el
motor y el elevador, realimentando con la medición de altura, el ángulo de cabeceo
y la velocidad de cabeceo.
5. Prueba del control de velocidad: nivelando el elevador y el motor se persigue una
condición de velocidad respecto al aire.
Vuelos realizados el día 13 del mes de julio:
1. Prueba del control de giro coordinado: se efectúa un giro de radio determinado,
actuando sobre el timón de cola, realimentando con la medición de velocidad, ángulo
de alabeo y velocidad de guiño.
2. Prueba del control de alabeo: mediante el control de alerones y timón, se mantiene una
referencia en el ángulo de alabeo. Se realimenta el ángulo de alabeo y su velocidad.
3. Prueba del control de alabeo: se prueba el control de alabeo junto con el control de
altura y de velocidad.
4. Prueba del control de dirección: se realiza un seguimiento de referencia manteniendo
un ángulo de guiñada constante. También se controla velocidad y altura.
Vuelos realizados el día 14 del mes de julio:
1. Prueba del control de cabeceo: se realiza una nueva prueba con las ganancias corre-
gidas.
2. Prueba del control de altura: se realiza una nueva prueba con las ganancias corregidas.
72 Datos de Vuelos Experimentales
3. Prueba del control de giro coordinado: se realiza una nueva prueba con las ganancias
corregidas.
4. Prueba del control de alabeo y giro coordinado: se realizan virajes controlando el
ángulo de alabeo y el radio de giro. Además se controla altura y velocidad.
5. Prueba del control de guiado por trayectoria: se comandan una serie de puntos de
trayectoria para que el avión los siga secuencialmente, el autopiloto activa el control
de altura, de velocidad de dirección y de giro coordinado.
Vuelos realizados el día 15 del mes de julio:
1. Prueba del control de dirección: se vuelve a probar el control de ángulo de guiñada
2. Prueba del control de velocidad: en este vuelo se prueba nuevamente el seguimiento
de velocidad con ganancias más altas que las originales, junto con el modo de control
de ángulo de cabeceo.
3. Prueba del control de guiado por trayectoria: se prueba nuevamente la navegación
por trayectoria, y en caso de error se vuelve al primer punto.
4. Prueba del control de guiado por trayectoria: se con�guran trayectoria circulares y
en ochos para el seguimiento.
5. Prueba del control de guiado por trayectoria: nuevamente se prueban distintas tra-
yectorias.
Vuelos realizados el día 6 del mes de septiembre:
1. Relevamiento de condiciones de equilibrio: vuelo en modo manual para relevar el
estado de equilibrio en en condiciones de vuelo nivelado.
2. Prueba del control de guiado por trayectoria: vuelo con autopiloto completo siguiendo
puntos de trayectoria.
Vuelos realizados el día 7 del mes de septiembre:
1. Prueba en modo manual: falla en el modo de seguimiento de trayectoria.
6.5 Procedimiento de Vuelos de Prueba 73
2. Prueba del control de guiado por trayectoria: se realiza un nuevo ensayo con nuevos
�ltros de ruido y ganancias de control.
3. Prueba de control de giro coordinado: prueba del giro coordinado realimentando con
aceleración lateral y velocidad de guiño.
4. Prueba de carreteo: prueba en tierra del control de velocidad del motor.
Vuelos realizados el día 8 del mes de septiembre:
1. Prueba del control de altura: se realiza un nuevo ensayo con nuevos �ltros de ruido
y ganancias de control.
2. Prueba del control de giro coordinado: se realiza un nuevo ensayo con nuevos �ltros
de ruido y ganancias de control.
3. Prueba de seguimiento de puntos de trayectoria: se realiza un nuevo ensayo con
nuevos �ltros de ruido y ganancias de control.
6.5. Procedimiento de Vuelos de Prueba
El procedimiento de vuelo es descripto a �nes de poder interpretar los datos obtenidos
y sus grá�cas. La aviónica o sensórica del avión es encendida mientras el avión se encuentra
en tierra, para probar y calibrar las funciones de telemetría. El VANT despega en modo
manual y es llevado a una condición de vuelo estable por el piloto a cargo. En el momento
en que se alcanza una condición de equilibrio, se graban todas las variables de estado y de
control de la aeronave. Una vez en estado estacionario se activa una función de autopiloto.
Se mantiene durante un tiempo y en caso de inestabilidad se vuelve al modo manual para
poder ser vuelto a equilibrar. Esta operación es repetida cuantas veces sea necesaria, y
�nalmente el avión aterriza en modo manual por el piloto a cargo. En las imágenes 6.4, 6.5
y 6.6 se muestran algunas de las variables guardadas de un vuelo de prueba.
74 Datos de Vuelos Experimentales
Figura 6.4: Telemetría de la altura de vuelo
Figura 6.5: Telemetría de los actuadores durante el vuelo
Figura 6.6: Modo de control durante el vuelo
6.5 Procedimiento de Vuelos de Prueba 75
Es importante destacar que los vuelos fueron utilizados para ensayar los algoritmos
de control diseñados para el autopiloto del avión. Por lo que no son las maniobras más
comunes para el estudio y análisis de los parámetros dinámicos. Es por eso que se intenta
obtener resultados con los datos de vuelo en general. En algunos casos se intenta extraer una
maniobra particular de los actuadores, como puede ser pulsos cuadrados, ondas cuadradas,
sinusoides o barrido de frecuencias que alcancen mejores resultados para los valores de
coe�cientes dinámicos.
Capítulo 7
Procesamiento de Datos
Experimentales
�En teoría, no existe diferencia entre teoría y práctica, en la
práctica sí la hay�
� Jan L. A. van Snepscheut
En la teoría, un experimento ideal arroja información precisa y totalmente verídica
acerca del fenómeno físico en estudio. Es decir, los datos recolectados de tal experimento
se encuentran libre de ruido y captan la dinámica del sistema a la perfección, sin retardos
ni pérdida de información. En la práctica, los datos obtenidos de un experimento real no
son tan perfectos, en cambio, se tiene información con ruido de medición y con dinámicas
naturales que no son previstas e inter�eren en el estudio del sistema.
En este capítulo se encaran los problemas al trabajar con datos reales. Al analizar
datos experimentales de vuelos son varias las di�cultades que se enfrentan, por ejemplo
la turbulencia del aire y las vibraciones de los motores introducen ruido en los datos
que perjudican la búsqueda de la aerodinámica natural de la aeronave. Sumado a esto
se presenta el ruido de medición propio de los sensores que se utilizan, los cuales no son
perfectos ni ideales. Otro problema de la información reunida tiene que ver con los múltiples
marcos de referencia con los que se trabaja en aeronáutica, como por ejemplo las mediciones
entregadas por un GPS se encuentran dadas en un sistema inercial relativo a la Tierra,
mientras que una IMU nos arroja datos en un sistema de coordenadas �jo al cuerpo del
77
78 Procesamiento de Datos Experimentales
avión. Debido a estos inconvenientes presentes en la experiencia, es necesario antes de
utilizar los datos crudos, hacer una análisis de coherencia y consistencia de los mismos, y
realizar operaciones de �ltrado, suavizado e interpolado según sea necesario.
A continuación se explica brevemente cuales fueron las condiciones de los experimentos
llevados a cabo, así como también las variables medidas directamente por los sensores.
Se comentan las operaciones elegidas para asegurar que la información de la dinámica
a descubrir se encuentre disponible en los datos evitando pérdidas y además reducir al
mínimo el ruido que afecta a los resultados.
7.1. Mediciones directas
Los datos experimentales utilizados para la estimación de parámetros son resultado de
una serie de vuelos realizados con la aeronave Caburé, los mismos fueron detallados en el
capítulo 6. Los vuelos consisten en una serie de vueltas alrededor del aeródromo, donde
se probaban las condiciones de equilibrio y los distintos modos del autopiloto desarrollado
por la empresa. En la �gura 7.1 se observa la posición horizontal de uno de los vuelos
realizados. De los datos disponible se busca extraer maniobras que comiencen en una
condición de vuelo estacionario que luego se perturbada y �nalmente vuelva a la condición
de equilibrio.
La información de los vuelos es obtenida mediante la telemetría de los sensores descrip-
tos en el capítulo 6. Además de las mediciones de los estados, se cuenta con las señales de
PWMs que excitan a los cuatro actuadores del VANT. En resumen, las variables medidas
directamente que fueron utilizadas en la IDS son:
LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS (IMU)
� Velocidades angulares: p, q y r.
� Ángulos de actitud: φ, θ y ψ.
LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS (GPS)
� Velocidades de traslación: Norte, Este y Bajada.
Tubo de Pitot
7.2 Mediciones indirectas 79
� Velocidad respecto al aire.
PWMs
� Señal de PWMs de los actuadores: elevador, alerón, timón y acelerador.
Figura 7.1: Posicionamiento horizontal de un vuelo de prueba
7.2. Mediciones indirectas
Para el caso de algunas variables necesarias para la IDS que nos son medidas directa-
mente, se estiman a partir de la relación con otras mediciones que se hicieron. Es el caso
de los ángulos de viento: el ángulo de ataque α y el ángulo de deslizamiento lateral β. Las
80 Procesamiento de Datos Experimentales
mediciones que se utilizaron fueron las velocidades del GPS y los ángulos de actitud de
la IMU. Suponiendo una atmósfera estable se aplicaron las relaciones entre estas variables
vistas en el capítulo 3.
7.3. Perturbaciones
El modelo a identi�car es el modelo linealizado alrededor de la condición de equilibrio
de vuelo en estado estacionario. Por ello a la mediciones realizadas debemos sustraerle el
valor de equilibrio para poder trabajar con las perturbaciones alrededor de ese valor. Las
variables que poseen condiciones de equilibrio son la velocidad respecto al aire V, el ángulo
de ataque α, el ángulo de cabeceo θ, la de�exión del elevador δd y la velocidad del motor
δn. En la �gura 7.2 podemos observar un ejemplo.
Figura 7.2: Ejemplo de la sustracción del estado de equilibrio para obtener las perturba-ciones
7.4. Diferenciación
Otro de los problemas que surge la hacer la identi�cación es la necesidad de tener
información acerca de la derivada temporal de algunas de las mediciones. Dichas derivadas
no son mediciones que se realicen por los sensores utilizados comúnmente en aeronáutica.
Por esta razón fue necesario aplicar una diferenciación numérica a las mediciones de los
estados. Las perturbaciones a las que se les aplica derivada numérica son la velocidad V,
el ángulo de ataque α, la velocidad de cabeceo q, el ángulo de deslizamiento lateral β, la
velocidad de alabeo p y la velocidad de guiño r. En la �gura 7.3 mostramos un ejemplo del
7.5 Interpolación y Suavizado 81
resultado de la diferenciación numérica.
Figura 7.3: Ejemplo de la implementación de la diferenciación numérica
7.5. Interpolación y Suavizado
Como se menciona en el capítulo 2 la frecuencia de muestreo de datos nos permite
asegurar que la información de la dinámica del vuelo que nos interesa sea extraída. Para
el caso de estudio las dinámicas en estudio a analizar van hasta unos 2 Hz, y los datos de
telemetría se encuentran muestreados a una tasa de 10 Hz, por lo que con un muestreo 5
veces mayor podemos asegurar que la información buscada está presente en los datos. Sin
embargo, debido a la pérdida de algunos datos y la necesidad de que la información en los
tramos de vuelo recto sea mayor, se decide realizar una interpolación de los datos a 100
Hz. En la �gura 7.4 se muestra un ejemplo de dicha interpolación.
Figura 7.4: Suavizado producido por la interpolación de los datos procesados
82 Procesamiento de Datos Experimentales
7.6. Filtrado
Se implementa un �ltro pasa bajos de 10 Hz, pero luego del suavizado y el interpolado
previo, se observa que no existe ruido de alta frecuencia que �ltrar. Debido a esta razón se
decidió no utilizarlo �nalmente, pero queda como una opción en el algoritmo desarrollado
en caso de ser necesario para otra aplicación. En la �gura 7.5 se observa la respuesta en
frecuencia del �ltro implementado.
Figura 7.5: Respuesta en frecuecnia del �ltro pasa bajos implementado en el algortimo
7.7. Ejemplo del Procesamiento
A continuación se muestran una serie de grá�cos donde se comparan las mediciones
directas contra los datos procesados. Se toma una maniobra típica extraída de un vuelo de
prueba de condiciones de equilibrio. En primer lugar mostramos las variables correspon-
dientes a la dinámica longitudinal (�guras de la 7.6 a la7.14) y posteriormente los estados
que de�nen la dinámica lateral (�guras de la 7.15 a la 7.24).
7.7 Ejemplo del Procesamiento 83
Figura 7.6: Procesamiento de la velocidad respecto al aire
Figura 7.7: Procesamiento del ángulo de ataque
Figura 7.8: Procesamiento de la velocidad de cabeceo
84 Procesamiento de Datos Experimentales
Figura 7.9: Procesamiento del ángulo de cabeceo
Figura 7.10: Procesamiento de la de�exión del elevador
Figura 7.11: Procesamiento de la velocidad del motor
7.7 Ejemplo del Procesamiento 85
Figura 7.12: Procesamiento de la derivada de la velocidad
Figura 7.13: Procesamiento de la derivada del ángulo de ataque
Figura 7.14: Procesamiento de la derivada de la velocidad de cabeceo
86 Procesamiento de Datos Experimentales
Figura 7.15: Procesamiento del ángulo de deslizamiento lateral
Figura 7.16: Procesamiento de la velocidad de alabeo
Figura 7.17: Procesamiento de la velocidad de guiño
7.7 Ejemplo del Procesamiento 87
Figura 7.18: Procesamiento del ángulo de alabeo
Figura 7.19: Procesamiento del ángulo de guiño
Figura 7.20: Procesamiento de la de�exión de los alerones
88 Procesamiento de Datos Experimentales
Figura 7.21: Procesamiento de la velocidad del timón
Figura 7.22: Procesamiento de la derivada del ángulo de deslizamienot lateral
Figura 7.23: Procesamiento de la derivada de la velocidad de alabeo
7.7 Ejemplo del Procesamiento 89
Figura 7.24: Procesamiento de la derivada de la velocidad de guiño
Capítulo 8
Análisis de Resultados
El presente capítulo presenta los resultados obtenidos del procedimiento de IDS aplicado
al Cabure, usando como método de estimación de parámetros el algoritmo de mínimos
cuadrados.
En una primera instancia se muestran los resultados obtenidos para los datos generados
por simulación. En el caso de la simulación se entrena al sistema con dos tipos de manio-
bras. Primero se produce una serie de señales de barrido de frecuencias para los distintos
actuadores de la aeronave en el modo piloto y se analizan los resultados obtenidos, esta
señal de entrada es la recomendada por la bibliografía para la IDS [9].
Posteriormente se prueban distintos modos del autopiloto con sus respectivas señales
de control y se analizan nuevamente los resultados, esta prueba si bien no es la ideal para
la IDS, es similar al caso de los datos de vuelos reales de los que se dispone.
Como segunda instancia se procede al análisis de los vuelos reales, en este caso se
eligen maniobras que exciten varias frecuencias (similar a un barrido) para llevar a cabo el
entrenamiento del modelo.
8.1. IDS con Datos Simulados en Modo Piloto
Como prueba del método aplicado y los algoritmos desarrollados, se generan un lote
de datos para el entrenamiento del modelo. La señal de entrada es un un barrido de
frecuencias en el elevador y el acelerador para el caso de la dinámica longitudinal, y para
la dinámica lateral se aplica un barrido en el timón de cola y en los alerones. En la �gura
8.1 se observa un ejemplo de la señal de entrada impuesta en lo actuadores para excitar el
91
92 Análisis de Resultados
sistema. Esta es la forma óptima de excitar un sistema para obtener la máxima información
sin conocimiento anterior [9].
Figura 8.1: Señal modelo de excitación del sistema para el entrenamiento del modelo. En
este caso se utiliza un barrido de frecuencia entre 0.1 Hz y 2 Hz para excitar los modos
naturales del modelo analítico.
8.1.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado
Con los datos generados por simulación podemos implementar el algoritmo de IDS que
hemos diseñado. Se obtiene como resultado los valores de los elementos de las matrices que
de�nen el espacio de estados. Analizaremos �la a �la los resultados obtenidos.
En primer lugar se analiza la dinámica longitudinal. Se presentan los resultados de
los parámetros que de�nen a la primer ecuación del espacio de estados, correspondiente
a la dinámica de la velocidad. En la tabla 8.1 se observan los valores obtenidos por la
modelización analítica de la aeronave y a continuación el valor estimado por el proceso de
identi�cación. La tabla se completa con los valores de desviación estándar de la estimación
y el error entre el valor medio de la estimación y el valor del modelo.
8.1 IDS con Datos Simulados en Modo Piloto 93
Parámetro A11 A12 B11 B12
Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006
Media -0.0768 0.5745 -0.0077 0.0006
Desviación 0.0006 0.0030 0.0025 0.0000
Error relativo 0.0477 0.0024 0.4622 0.0051
Tabla 8.1: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados de
la Dinámica Longitudinal. Se observa que los valores estimados varían muy pocos de los
utilizados en la simulación.
En la siguiente tabla se presentan los valores obtenidos para la segunda ecuación y la
misma comparación de resultados. Estos valores parametrizan la dinámica del ángulo de
ataque.
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001
Media -1.2246 -3.6084 0.9952 -0.0730 -0.0001
Desviación 0.0002 0.0005 0.0002 0.0011 0.0000
Error relativo 0.0192 0.0431 0.0436 0.8021 0.0836
Tabla 8.2: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal.
En la siguiente tabla se presentan los valores obtenidos para la tercera ecuación del
espacio de estados longitudinal que corresponde a la dinámica de la velocidad de cabeceo.
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018
Media 2.4109 -57.1475 -8.5262 -83.2411 -0.0011
Desviación 0.0459 0.1273 0.0417 0.2612 0.0001
Error relativo 0.4268 0.2277 0.3020 0.2581 0.3785
Tabla 8.3: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados de
la Dinámica Longitudinal. Los valores de mayor magnitud se alejan de los valores reales.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámi-
94 Análisis de Resultados
ca lateral. En primer lugar mostramos la primer ecuación del espacio de estados lateral
correspondiente a la dinámica del ángulo de deslizamiento lateral.
Parámetro A11 A12 A13 B11 B12
Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078
Media -0.2406 0.1345 -0.9947 0.0021 -0.0713
Desviación 0.0003 0.0002 0.0001 0.0004 0.0003
Error relativo 0.0807 0.0218 0.0043 Inf 0.3387
Tabla 8.4: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral. Los valores estimados están en el orden de los valores reales.
Esta dinámica es identi�cada correctamente los valores estimados consiguen una buena
capacidad de predicción.
Los resultados de la estimación de parámetros de la segunda ecuación de la dinámica
lateral, se muestran en la siguiente tabla y grá�co. La ecuación de�ne la dinámica de la
velocidad de alabeo.
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090
Media -7.1733 -7.5146 -0.1280 16.8970 -1.0375
Desviación 0.0319 0.0266 0.0075 0.0438 0.0306
Error relativo 0.2343 0.2595 0.7279 0.1675 0.1413
Tabla 8.5: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral. En esta dinámica se observó un nivel de colinealidad alto, mejores
resultados son alcanzados cambiando la maniobra de entrada.
Los siguientes resultados se obtienen de la estimación de parámetros de la tercera
ecuación correspondiente a la dinámica de la velocidad de guiño.
8.1 IDS con Datos Simulados en Modo Piloto 95
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614
Media 7.5958 -1.3719 -0.5466 2.7505 13.3351
Desviación 0.0481 0.0401 0.0114 0.0661 0.0462
Error relativo 0.0543 0.2816 0.3849 0.2067 0.0310
Tabla 8.6: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal.
En general, se observa que los valores estimados para los elementos de las matrices
son aproximados a los utilizados por la simulación. Por lo que el método de estimación e
identi�cación esta funcionando bajo condiciones controladas.
8.1.2. Identi�cación de Derivativas
Otra manera en la que se puede aplicar el algoritmo de IDS es estimando los valores
de derivativas de cada uno de los coe�cientes aerodinámicos. Para ello, utilizando un expe-
rimento similar al del apartado anterior estimamos las derivativas suponiendo un modelo
lineal de comportamiento de los coe�cientes aerodinámicos. Nuevamente representamos los
resultados en una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor esperado de la
estimación, la desviación estándar y el error.
Primero se presentan los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), que corres-
ponde a la dinámica longitudinal de la aeronave.
Parámetro CD0 CDα CDδe CDV CDδm
Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0394 -0.0008
Media 0.0344 0.0477 0.0081 0.1011 -0.0008
Desviación 0.0000 0.0044 0.0037 0.0009 0.0000
Error relativo 0.0024 0.0085 0.1511 1.5658 0.0073
Tabla 8.7: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre. En
la tabla se puede observar que la derivativa correspondiente a la velocidad se aleja de la
utilizada en la simulación. Se debe hacer un estudio más detallado en el simulador para
detectar una posible falla.
96 Análisis de Resultados
Los resultados correspondientes al coe�ciente de sustentación (lift), que corresponde a
la dinámica longitudinal de la aeronave se presentan en la tabla 8.8.
Parámetro CL0 CLα CLα CLq CLδe
Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989
Media 0.8151 -0.0302 -186.7512 186.6756 -0.0035
Desviación 0.0000 0.0005 0.0175 0.0116 0.0009
Error relativo 0.0000 1.0060 108.5260 25.6840 1.0070
Tabla 8.8: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación.
Se obtiene una alta correlación entre la velocidad de cambio del ángulo de ataque y la
velocidad de cabeceo, lo que produce la divergencia de los valores estimados, mejores
resultados pueden obtenerse cambiando la maniobra o reestructurando el modelo.
Los resultados correspondientes al coe�ciente de cabeceo (pitch), que corresponde a la
dinámica longitudinal de la aeronave.
Parámetro Cm0 Cmα Cmα Cmq Cmδe
Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964
Media -0.0000 -0.8944 -3.5470 -12.9953 -1.1653
Desviación 0.0000 0.0025 0.0815 0.0540 0.0042
Error relativo 1.0273 0.2643 0.4488 0.2710 0.2700
Tabla 8.9: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo. Se
observa un problema similar al caso anterior.
Así como se hizo para el análisis de las matrices del espacio de estados, en este caso
se analizan los valores de derivativas estimados para la dinámica lateral, se presentan los
datos del coe�ciente de fuerza lateral en la tabla 8.10.
Parámetro Cyβ Cyp Cyδr
Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444
Media -0.3144 0.0147 -0.1028
Desviación 0.0005 0.0055 0.0006
Error relativo 0.1031 3.7659 0.2884
Tabla 8.10: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral.
8.1 IDS con Datos Simulados en Modo Piloto 97
En la siguiente tabla se pueden observar los resultados de las derivativas de estabilidad
y control del coe�ciente de alabeo (roll) de la dinámica lateral.
Parámetro Clβ Clp Clr Clδa Clδr
Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004
Media -0.0216 -0.3621 -0.0062 0.0509 -0.0031
Desviación 0.0001 0.0013 0.0004 0.0001 0.0001
Error relativo 0.1940 0.2746 1.1434 0.1853 8.6928
Tabla 8.11: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo.
Se presentan los datos del coe�ciente de guiño (yaw) en la tabla 8.12.
Parámetro Cnβ Cnp Cnr Cnδa Cnδr
Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620
Media 0.0346 -0.1000 -0.0398 0.0125 0.0607
Desviación 0.0002 0.0029 0.0008 0.0003 0.0002
Error relativo 0.1287 7.1931 0.2901 13.2192 0.0213
Tabla 8.12: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño.
8.1.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema
Los modos dinámicos de una aeronave quedan de�nidos por los valores propios de las
matrices que de�nen al espacio de estados. En este caso se calculan los valores propios
resultantes de las matrices obtenidas por la identi�cación del modelo. Se analizan tam-
bién la frecuencia natural y el amortiguamiento de esos polos. La comparación se realizan
nuevamente contra el modelo analítico de simulación.
Primero se analizan los polos que comprenden la dinámica longitudinal, en este caso
como vimos en el capítulo 3 existen dos modos conocidos como modo de periodo corto
y modo de periodo largo o modo fugoide. En la tabla 8.13 se muestran los resultados
obtenidos para el modo de periodo corto y en la tabla 8.14 las características del modo
fugoide.
98 Análisis de Resultados
Parámetro Periodo Corto ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814
Media −6,0706± 7,1430i 9.3742 0.6476 0.6703
Tabla 8.13: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Periodo Largo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793
Media −0,0351± 0,7394i 0.7402 0.0474 8.4885
Tabla 8.14: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada
La imagen 8.2 muestra el lugar de los polos tanto para el modelo analítico como para
el estimado, en ambos casos podemos ver que los valores se conservan en el semiplano
negativo, lo que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado.
Figura 8.2: Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada
Seguidamente se estudian los polos que comprenden la dinámica lateral del modelo. En
el capítulo 3 se explico la existencia de tres modos dinámicos el modo de alabeo, el modo
espiral y el modo de balanceo. En las tablas 8.15, 8.16 y 8.17 se muestran los resultados
respectivamente.
Parámetro Modo Alabeo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073
Media -7.6544 7.6544 1.0000 0.1312
Tabla 8.15: Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada
8.2 IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto 99
Parámetro Modo Espiral ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48
Media 0.0369 0.0369 1.0000 27.1254
Tabla 8.16: Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Modo Balanceo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305
Media −0,3422± 3,0569i 3.3742 0.1112 2.9241
Tabla 8.17: Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada
En este caso, en la �gura 8.3 se observa que la estimación nuevamente se desvía para
el modo de alta frecuencia. Pero en cuanto a la estabilidad e inestabilidad de cada uno de
los modos es respetada.
Figura 8.3: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada
Se observa que con la excitación impuesta se produce una caída en los modos de fre-
cuencia estimados, para obtener mejores resultados se puede variar el rango de frecuencia
del barrido y el tiempo de excitación.
8.2. IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto
El proceso de IDS se prueba en este caso para una simulación de un vuelo nivelado
en condiciones equilibradas con el autopiloto activado. Este modo de obtener datos es
más parecido a la manera en que se obtuvieron los datos experimentales disponibles. La
100 Análisis de Resultados
excitación en este caso se debe al ruido que se introduce en los sensores y que produce
la respuesta del autopiloto para intentar mantener las condiciones de vuelo estacionario.
En la �gura 8.4 pueden observarse las excitaciones producidas por los controladores para
mantener la estabilidad del sistema.
Figura 8.4: Excitaciones producidas por el autopiloto al activar los modos de control
de actitud y velocidad, sumando ruido a las señales de los sensores que realimentan al
autopiloto.
8.2.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado
Una vez generados los datos por la simulación con los controladores activados, pro-
cedemos al mismo análisis que se hizo en la sección previa. Analizaremos �la a �la los
elementos de las matrices que debemos estimar, presentando para cada caso la estimación
del valor esperado y una estimación de la desviación estándar, y comparando con el valor
del modelo analítico obtenido para la simulación.
En las tablas 8.18, 8.19 y 8.20 se presentan los datos obtenidos para la dinámica lon-
gitudinal.
8.2 IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto 101
Parámetro A11 A12 B11 B12
Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006
Media -0.0766 0.5811 -0.0036 0.0006
Desviación 0.0012 0.0004 0.0001 0.0000
Error relativo 0.0503 0.0140 0.3088 0.0001
Tabla 8.18: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto.Los valores estimado alcanzan un valor
similar a los del modelos de simulación.
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001
Media -1.2455 -3.7079 1.0066 -0.0214 -0.0001
Desviación 0.0149 0.0051 0.0003 0.0018 0.0000
Error relativo 0.0366 0.0167 0.0555 0.9421 0.2247
Tabla 8.19: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto.
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018
Media -19.7753 -175.2455 4.4451 -25.5710 -0.0316
Desviación 17.5851 5.9880 0.3979 2.0683 0.0241
Error relativo 5.7015 1.3682 1.3639 0.7721 16.9479
Tabla 8.20: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto. Se observa un problema de colinealidad
alto entre los regresores.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámica
lateral. En las tablas 8.21, 8.22 y 8.23 se presentan los datos obtenidos.
Comenzando con la dinámica del ángulo de deslizamiento lateral, se aprecia un buen
nivel de estimación. Los niveles de colinealidad son bajos y el coe�ciente de determinación
alto.
102 Análisis de Resultados
Parámetro A11 A12 A13 B11 B12
Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078
Media -0.2388 0.1353 -0.9943 0.0011 -0.0701
Desviación 0.0006 0.0000 0.0002 0.0000 0.0007
Error relativo 0.0876 0.0155 0.0038 Inf 0.3498
Tabla 8.21: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados de
la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto. Los valores que de�nen la dinámica se asemejan
a los del modelo simulado.
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090
Media -4.7992 -4.8740 3.5537 15.2551 11.2186
Desviación 2.8765 0.1877 0.7701 0.1816 3.2590
Error relativo 0.4877 0.5197 8.5543 0.2484 13.3413
Tabla 8.22: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto. En este caso se ve una excitación ine�caz de
los modos ya que los valores alcanzados no alcanzan la magnitud necesaria.
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614
Media 7.8078 -1.0406 0.0644 2.6442 15.3869
Desviación 0.4749 0.0310 0.1271 0.0300 0.5381
Error relativo 0.0837 0.4551 1.0724 0.2374 0.1181
Tabla 8.23: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto. Los valores adquiridos son cercanos a
la dinámica de simulación utilizada.
8.2.2. Identi�cación de Derivativas
Se aplica nuevamente el método de IDS para calcular el valor de las derivativas del
sistema. Con los mismos datos utilizados para el caso anterior se calculan los valores de
las derivativs de estabilidad y de control. Nuevamente representamos los resultados en
8.2 IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto 103
una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor esperado de la estimación, la
desviación estándar y el error.
Se comienza mostrando los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), tabla 8.24,
que corresponde a la dinámica longitudinal de la aeronave. Al igual que en el modo piloto,
se ve un error en la derivativa de la velocidad, que puede indicar un posible error en la
simulación.
Parámetro CD0 CDα CDδe CDV CDδm
Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0397 -0.0008
Media 0.0346 0.0405 0.0047 0.1003 0.0000
Desviación 0.0000 0.0006 0.0002 0.0022 0.0000
Error relativo 0.0004 0.2082 0.3385 1.5443 0.0043
Tabla 8.24: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre en
Modo Autopiloto.
Parámetro CL0 CLα CLα CLq CLδe
Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989
Media 0.8181 -0.0341 -186.7032 186.7027 -0.0000
Desviación 0.0000 0.0002 0.0074 0.0075 0.0000
Error relativo 0.0000 1.0067 108.4984 25.6878 1.0001
Tabla 8.25: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación
en Modo Autopiloto.
En la tabla 8.25 se mostraron los resultados para el coe�ciente aerodinámico de susten-
tación y se comenta brevemente acerca del problema entre el ángulo de ataque derivado
α y la velociad de cabeceo q. A continuación se presentan los resultados del coe�ciente
aerodinámico de cabeceo en la tabla 8.26.
104 Análisis de Resultados
Parámetro Cm0 Cmα Cmα Cmq Cmδe
Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964
Media -0.0007 10.6188 490.8207 -484.9465 -0.2781
Desviación 0.0001 0.6400 23.8484 23.9945 0.0260
Error relativo 1.5853 9.7351 77.2772 26.2025 0.8258
Tabla 8.26: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo en
Modo Autopiloto. En la estimación de esta serie de derivativas se observa un peor resultado
que en el modo piloto, y al igual que en el coe�ciente de arrastre puede estimarse un gran
acople de la dinámica de los regresores en cuestión.
Con respecto a la dinámica lateral se presentan los resultados para el coe�ciente de
fuerza lateral, tabla 8.27. Seguido de los resultados correspondientes al coe�ciente de ala-
beo, tabla 8.28. Y �nalmente se presentan los resultados correspondientes al coe�ciente de
guiño, tabla 8.29.
Parámetro Cyβ Cyp Cyδr
Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444
Media -0.3250 -0.0544 -0.0874
Desviación 0.0010 0.0008 0.0012
Error relativo 0.0730 9.2709 0.3947
Tabla 8.27: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral
en Modo Autopiloto.
Parámetro Clβ Clp Clr Clδa Clδr
Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004
Media -0.0145 -0.2348 0.1712 0.0459 0.0338
Desviación 0.0087 0.0090 0.0371 0.0005 0.0098
Error relativo 0.4607 0.5295 2.9819 0.2645 82.1846
Tabla 8.28: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo en
Modo Autopiloto.
8.2 IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto 105
Parámetro Cnβ Cnp Cnr Cnδa Cnδr
Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620
Media 0.0356 -0.0758 0.0047 0.0120 0.0701
Desviación 0.0022 0.0023 0.0093 0.0001 0.0025
Error relativo 0.1044 5.2145 1.0836 12.7470 0.1293
Tabla 8.29: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño en Modo
Autopiloto.
8.2.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema
Los modos dinámicos de una aeronave quedan de�nidos por los valores propios de las
matrices que de�nen al espacio de estados. En este caso se calculan los valores propios
resultantes de las matrices obtenidas por la identi�cación del modelo. Se analizan tam-
bién la frecuencia natural y el amortiguamiento de esos polos. La comparación se realizan
nuevamente contra el modelo analítico de simulación.
Primero se analizan los polos que comprenden la dinámica longitudinal, en este caso
como vimos en el capítulo 3 existen dos modos conocidos como modo de periodo corto
y modo de periodo largo o modo fugoide. En la tabla 8.13 se muestran los resultados
obtenidos para el modo de periodo corto y en la tabla 8.14 las características del modo
fugoide.
Parámetro Periodo Corto ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814
Estimado −4,1895± 7,9317i 8.9701 0.4670 0.7005
Tabla 8.30: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Periodo Largo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793
Estimado −0,0320± 0,7268i 0.7275 0.0440 8.6363
Tabla 8.31: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada
La imagen 8.5 muestra el lugar de los polos tanto para el modelo analítico como para
el estimado, en ambos casos podemos ver que los valores se conservan en el semiplano
106 Análisis de Resultados
negativo, lo que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado.
Figura 8.5: Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada
Seguidamente se estudian los polos que comprenden la dinámica lateral del modelo. En
el capítulo 3 se explico la existencia de tres modos dinámicos el modo de alabeo, el modo
espiral y el modo de balanceo. En las tablas 8.32, 8.33 y 8.34 se muestran los resultados
respectivamente.
Parámetro Modo Alabeo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073
Estimado -4.4830 4.4830 1.0000 1.4016
Tabla 8.32: Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Modo Espiral ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48
Estimado 0.4250 0.4250 -1.0000 14.7856
Tabla 8.33: Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Modo Balanceo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305
Estimado −0,4952± 3,2536 3.2910 0.1505 1.9092
Tabla 8.34: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo
Autopiloto.
En este caso de la �gura 8.6 se observa que la estimación nuevamente se desvía para
8.3 IDS con Datos Experimentales 107
el modo de alta frecuencia. Pero en cuanto a la estabilidad e inestabilidad de cada uno de
los modos es respetada.
Figura 8.6: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo
Autopiloto.
8.3. IDS con Datos Experimentales
Para encontrar un modelo a partir de los datos experimentales se tiene la di�cultad que
los vuelos no fueron diseñados ni pensados para el proceso de IDS, por lo que no todas las
dinámicas ni frecuencias serán excitadas en modo óptimo para descubrir toda la informa-
ción del fenómeno. Sin embargo, de los datos experimentales se puede sacar información
para llegar a un modelo que prediga en mayor o menor medida el comportamiento del
VANT. Como se explica en el capítulo 6, las maniobras de vuelo son en general una serie
de vueltas al aeródromo tanto en modo manual como en modo de autopiloto. De estas
pruebas se separan una serie de maniobras que comiencen en un vuelo en condiciones de
equilibrio, posteriormente se produzcan una serie de perturbaciones y vuelva al estado de
vuelo estacionario. En la �gura 8.7 se muestran las perturbaciones en los actuadores para
una de las maniobras ejemplo:
108 Análisis de Resultados
Figura 8.7: Excitaciones de los cuatro actuadores producidas al realizar un maniobra de
giro en semicírculo.
8.3.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado
Una vez extraída la información de una maniobra del conjunto de datos de vuelo se
procede a realizar una análisis similar al realizado para los datos simulados, estos datos
son previamente procesados para obtener un formato similar al que se obtiene de las simu-
laciones. Se analiza cada ecuación del espacio de estados para poder de�nir las matrices
del espacio linealizado, tanto de la dinámica longitudinal como lateral. Se presentan a con-
tinuación los resultados obtenidos para una maniobra experimental en la que se intenta
obtener los valores de vuelo equilibrado. Se comienza presentando los resultados para la
dinámica longitudinal en las tablas 8.35, 8.36 y 8.37.
8.3 IDS con Datos Experimentales 109
Parámetro A11 A12 B11 B12
Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006
Media -0.0087 0.4377 -0.1761 0.0001
Desviación 0.0069 0.0062 0.0332 0.0000
Diferencia 0.0720 0.1353 0.1708 0.0005
Tabla 8.35: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados de
la Dinámica Longitudinal con datos reales.
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001
Media 0.0635 -0.1337 0.8040 -1.9436 -0.0000
Desviación 0.0236 0.0211 0.0123 0.1309 0.0000
Diferencia 1.2651 3.6372 0.1496 1.5747 0.0000
Tabla 8.36: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal con datos reales. En este caso el valor correspondiente a la
dinámica de la velocidad posee signo contrario, pero su valor es de un orden menor a los
demás, por lo que no es de gran in�uencia en la dinámica.
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018
Media 1.4395 -1.8707 -4.1618 -30.5501 -0.0014
Desviación 0.3067 0.2741 0.1590 1.6983 0.0004
Diferencia 2.7666 72.1283 8.0541 81.6570 0.0004
Tabla 8.37: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal con datos reales. Los valores estimados se alejan en las mag-
nitudes de mayor orden respecto al analítico, probablemente debido a una mala excitación
de los modos dinámicos.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámica
lateral, en las tablas 8.38, 8.39 y 8.40.
110 Análisis de Resultados
Parámetro A11 A12 A13 B11 B12
Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078
Media -0.4856 0.0190 -0.9231 0.0958 -2.0338
Desviación 0.0360 0.0089 0.0217 0.0510 0.2362
Diferencia 0.2239 0.1184 0.0674 0.0958 1.9259
Tabla 8.38: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados de
la Dinámica Lateral
Parámetro A21 A22 A23 B21 B22
Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090
Media -1.6334 -3.7074 5.7742 22.3625 1.0524
Desviación 0.5650 0.1393 0.3401 0.8003 3.7044
Diferencia 7.7346 6.4403 6.2446 2.0657 1.9614
Tabla 8.39: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Lateral
Parámetro A31 A32 A33 B31 B32
Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614
Media 2.4818 -1.1580 -1.9317 2.1822 23.2863
Desviación 0.1390 0.0343 0.0837 0.1969 0.9116
Diferencia 4.7227 0.7517 1.0429 1.2850 9.5249
Tabla 8.40: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados
de la Dinámica Longitudinal.
En genera se observa que la estimación de los parámetros tiene el mismo signo que el
predico por el modelo analítico, pero los valores (en mayor medida los de mayor magnitud)
tienen diferencias grandes que pueden deberse a varios factores como un mal diseño de la
maniobra, no linealidades despreciadas, perturbaciones externas durante el vuelo, ruido de
mediciones elevados, entre otros.
8.3 IDS con Datos Experimentales 111
8.3.2. Identi�cación de Derivativas
En este caso estimamos nuevamente los valores de derivativas de cada uno de los co-
e�cientes aerodinámicos. Para ello, se utilizan en este caso los datos experimentales. se
representan los resultados en una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor
esperado de la estimación, la desviación estándar y la diferencia.
Primero se presentan los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), que corres-
ponde a la dinámica longitudinal de la aeronave.
Parámetro CD0 CDα CDδe CDV CDδm
Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0397 -0.0008
Media 0.0527 0.2217 0.1714 0.0727 -0.0002
Desviación 0.0007 0.0101 0.0479 0.0086 0.0000
Diferencia 0.0184 0.1744 0.1644 0.0330 0.0007
Tabla 8.41: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre con
datos reales.
Parámetro CL0 CLα CLα CLq CLδe
Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989
Media 0.8182 -0.0494 -186.1377 186.3808 0.0148
Desviación 0.0001 0.0009 0.1182 0.1160 0.0046
Diferencia 0.0031 5.1139 187.8745 179.3850 0.4841
Tabla 8.42: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación
con datos reales. En este caso vemos que los valores correspondientes a la variación con
la derivada del ángulo de ataque y la velocidad de cabeceo divergen, debido a un nivel de
colinealidad alto, cercano a 0,9.
112 Análisis de Resultados
CL0 CLα CLα CLq CLδe
CL0 1.0000 0.5206 0.2531 -0.221 0.1760
CLα 0.5206 1.0000 0.2090 -0.284 -0.305
CLα 0.2531 0.2090 1.0000 -0.858 0.2986
CLq -0.221 -0.284 -0.858 1.0000 -0.046
CLδe 0.1760 -0.305 0.2986 -0.046 1.0000
Tabla 8.43: Matriz de correlación de las derivativas del coe�ciente de sustentación.
Parámetro Cm0 Cmα Cmα Cmq Cmδe
Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964
Media -0.0003 -0.0019 15.5353 -19.4134 -0.1103
Desviación 0.0002 0.0036 0.4944 0.4856 0.0193
Diferencia 0.0015 1.2137 21.9700 1.5861 1.4860
Tabla 8.44: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo con
datos reales. Nuevamente se observan problemas con la derivada del ángulo de ataque, esto
se debe a que su medición es indirecta y existen errores que no se han podido sortear.
Con respecto a la dinámica lateral se presentan los resultados para el coe�ciente de
fuerza lateral, tabla 8.45. Seguido de los resultados correspondientes al coe�ciente de ala-
beo, tabla 8.46. Y �nalmente se presentan los resultados correspondientes al coe�ciente de
guiño, tabla 8.47.
Parámetro Cyβ Cyp Cyδr
Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444
Media -0.6285 -0.5182 -2.8809
Desviación 0.0492 0.1652 0.2870
Diferencia 0.2779 0.5129 2.7365
Tabla 8.45: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral
con datos reales.
8.3 IDS con Datos Experimentales 113
Parámetro Clβ Clp Clr Clδa Clδr
Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004
Media -0.0049 -0.1786 0.2782 0.0673 0.0032
Desviación 0.0017 0.0067 0.0164 0.0024 0.0112
Diferencia 0.0219 0.3205 0.2352 0.0049 0.0028
Tabla 8.46: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo con
datos reales.
Parámetro Cnβ Cnp Cnr Cnδa Cnδr
Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620
Media 0.0113 -0.0844 -0.1407 0.0099 0.1060
Desviación 0.0006 0.0025 0.0061 0.0009 0.0042
Diferencia 0.0284 0.0722 0.0846 0.0110 0.0440
Tabla 8.47: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño con
datos reales.
8.3.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema
Los modos dinámicos de una aeronave quedan de�nidos por los valores propios de las
matrices que de�nen al espacio de estados. En este caso se calculan los valores propios
resultantes de las matrices obtenidas por la identi�cación del modelo. Se analizan tam-
bién la frecuencia natural y el amortiguamiento de esos polos. La comparación se realizan
nuevamente contra el modelo analítico.
Parámetro Periodo Corto ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814
Estimado -3.7615 3.7615 1.0000 1.6704
Estimado -0.5234 0.5234 1.0000 12.0045
Tabla 8.48: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada con
datos reales.
114 Análisis de Resultados
Parámetro Periodo Largo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793
Estimado −0,0096± 0,1367i 0.1370 0.0701 45.8538
Tabla 8.49: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada con datos reales.
La imagen 8.8 muestra el lugar de los polos tanto para el modelo analítico como para
el estimado, en ambos casos se ve que los valores se conservan en el semiplano negativo, lo
que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado. Pero en este caso los polos del
modo corto han cambiado por dos polos reales negativos, perdiendo el efecto de oscilación,
esto se debe a la mala estimación del ángulo de ataque. La frecuencia de muestreo también
está afectando los resultados ya que aparentemente no se está obteniendo información de
los modos de alta frecuencia.
Figura 8.8: Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada
Seguidamente se estudian los polos que comprenden la dinámica lateral del modelo. En
el capítulo 3 se explico la existencia de tres modos dinámicos el modo de alabeo, el modo
espiral y el modo de balanceo. En las tablas 8.50, 8.51 y 8.52 se muestran los resultados
respectivamente.
Parámetro Modo Alabeo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073
Estimado -5.1159 5.1159 1.0000 1.2282
Tabla 8.50: Resultados de los modos longitudinales a partir de la matriz identi�cada con
dato reales.
8.3 IDS con Datos Experimentales 115
Parámetro Modo Espiral ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48
Estimado 0.2579 0.2579 -1.0000 24.3616
Tabla 8.51: Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada
Parámetro Modo Balanceo ωn[rad/s] ζ T [s]
Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305
Estimado −0,3861± 1,3536i 1.4076 0.2743 4.4637
Tabla 8.52: Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada
En este caso de la �gura 8.9 se observa que la estimación nuevamente se desvía para
el modo de alta frecuencia. Pero en cuanto a la estabilidad e inestabilidad de cada uno de
los modos es respetada.
Figura 8.9: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada con dato
reales.
En la dinámica lateral los valores obtenidos tienen la forma del modo analítico, pero
nuevamente parece haber problema con la información de los modos de alta frecuencia
debido a un mal muestreo o a una mala excitación por parte de las maniobras realizadas.
Capítulo 9
Conclusiones
La identi�cación de sistemas y la estimación de parámetros de modelos se presentan
como herramientas fundamentales e invaluables para el determinación precisa de distintos
sistemas dinámicos. En el caso particular de los VANT's, la estimación de parámetros
arroja luz sobre un modelo que resuelto solo analíticamente presenta errores e incertezas
que no pueden ser corregidas teóricamente. Además, en caso de no contar con un estudio
aerodinámico en túnel de viento o con una simulación de dinámica de �uidos precisa, la
estimación a partir de datos de vuelo ofrece una solución práctica y menos costosa para
alcanzar un modelo matemático más representativo y acorde con la realidad. Si bien se
mencionan muchas ventajas, es importante ser conscientes de las di�cultades que presenta
esta técnica para poder llegar a resultados útiles y concretos.
9.1. Finalización de la Tesis
La tesis ha presentado una amplia cantidad de conceptos y herramientas útiles para
al análisis y estudio de la dinámica de cualquier VANT de ala rígida en general. Se rea-
liza una descripción de la identi�cación de sistemas y el estado actual para la aplicación
en aeronaves. Se desarrolla rigurosamente el modelo matemático que describe la dinámica
general de una aeronave, alcanzando dos dinámicas desacopladas: una longitudinal y una
lateral-direccional. Se describe la técnica de estimación de parámetros por mínimos cua-
drados en batch. Se muestra la implementación de un simulador de vuelo en base al modelo
lineal para la producción de datos simulados, así como también el procesamiento de datos
reales a partir de vuelos de prueba. Finalmente, se muestran los resultados alcanzados y
117
118 Conclusiones
se comparan con la dinámica real de la aeronave en estudio. Es importante destacar que
la estimación se efectúa secuencialmente como se comenta en los resultados donde primero
se prueban los algoritmos con datos simulados en condiciones ideales, luego se hace una
simulación �ruidosa� más realista y �nalmente se trabaja con los datos reales, este proce-
dimiento permite una curva de aprendizaje más suave en el desarrollo de los algoritmos de
identi�cación.
9.2. Experiencias
Durante el desarrollo de la tesis se ha alcanzado un aprendizaje que deja un conocimien-
to más profundo y práctico acerca de la estimación de parámetros de vehículos aéreos. Las
experiencias son fruto del constante esfuerzo por obtener un modelo preciso y consistente,
el contraste con los datos reales y su procesamiento para obtener información coherente y
la búsqueda de parámetros que describan la verdadera dinámica del avión. Las enseñanzas
más importantes dadas por la experiencia son:
El método de estimación por mínimos cuadrados devuelve resultados satisfactorios
pero no exactos y depende de varios detalles a tener en cuenta. Esto pudo compro-
barse en primera instancia con las simulaciones hechas en condiciones ideales.
El diseño de la maniobra de excitación afecta mucho en los resultados que se pueden
obtener, es por eso que es recomendable el diseño del experimento, sobre todo en
el caso de querer obtener información precisa y detallada. Nos da la posibilidad de
evitar colinealidad entre los regresores.
Los datos de vuelo deben ser consistentes cinemática y dinámicamente, sino la esti-
mación diverge.
Los resultados obtenidos son siempre estimaciones aproximadas, esto se observa en
la correlación que existe entre los parámetros, debido a la falta de ortogonalidad de
los regresores.
Los datos de vuelo reales deben ser procesados cautelosamente, ya que los sensores,
en general sino son de alta prestaciones, presentan sesgos y ruidos que deben ser
�ltrados.
9.3 Interpretación de Resultados 119
Los acelerómetros producen una señal muy ruidosa, que en algunos casos es mejor
reemplazar por la derivación numérica de la velocidad.
Los sensores MEMS producen mediciones más ruidosas y sesgadas que un GPS, pero
presentan una tasa de medición de mayor frecuencia. Esto es importante al estudiar
los modos de alta frecuencia, ya que una tasa de muestreo baja puede traducirse en
pérdida de información, al igual que una relación de señal-ruido pequeña.
La identi�cación completa del modelo de un VANT es un proceso iterativo, el resul-
tado de esta tesis es una herramienta de identi�cación general, pero el conocimiento
en detalle de cada parámetro debe hacerse de manera especí�ca, tratando de aislar
la dinámica particular en estudio.
9.3. Interpretación de Resultados
La estimación de parámetros en base al estimador de cuadrados mínimos ordinario,
arroja resultados exitosos para la identi�cación de modelo de un avión. Se observa que
los valores estimados por simulación son aproximados a los obtenidos por el análisis de
DATCOM y el modelo teórico. Los errores se deben a la correlación que se produce entre
los distintos parámetros, produciendo errores en los valores �nales. Los resultados obtenidos
por la identi�cación con datos reales, producen resultados que se encuentran en el orden de
los valores teóricos, pero en algunos parámetros la estimación parece divergir respecto de los
valores teóricos. En este caso la implementación de técnicas de suavizado permitió que las
mediciones reales sean suavizadas, y los valores �nales alcanzados sean más representativos.
9.4. Investigaciones Pendientes
La continuación de esta investigación debería concentrarse en:
Prueba con otros vehículos y datos de vuelo.
Utilizar la información analítica o de una primera estimación como datos a priori
para el desarrollo de un estimador bayesiano o estimador mixto.
Utilización de la estimación para un control adaptativo.
120 Conclusiones
Diseño de vuelos de prueba dirigidos a la identi�cación de sistemas.
Implementación y optimización de la identi�cación en tiempo real para una aeronave,
con recursos limitados.
Identi�cación en base a modelos no lineales de la aerodinámica de un avión.
Apéndice A
Apéndice: Archivo Ejemplo de
Entrada a DATCOM
DIM M
DERIV RAD
$FLTCON WT= 5.7000,
LOOP= 3.00000,
NMACH= 5.000,
MACH(1)= 0.029,
0.044,0.058,
0.073,
0.088,
NALT= 1.0,
ALT(1)= 620.0,
NALPHA= 14.00000,
ALSCHD(1)= -5.00000,
-3.00000,
0.00000,
3.00000,
5.00000,
8.00000,
11.00000,
14.00000,
15.00000,
16.00000,
17.00000,
17.50000,
18.00000,
20.00000$
$OPTINS SREF= 0.45920,
CBARR= 0.22960,
BLREF= 2.00000$
$SYNTHS XCG= 0.44220,
ZCG= 0.06160,
XW= 0.36320,
ZW= 0.11160,
ALIW= 0.0,
VERTUP= .TRUE.,
XH= 1.23000,
ZH= 0.0,
ALIH= 0.0,
XV= 1.21000,
ZV= 0.00450$
$BODY NX= 14.00000,
X= 0.04000,
0.04500,
0.05000,
0.05500,
0.06000,
0.07630,
0.12410,
0.17290,
0.21530,
0.27500,
0.50880,
0.61940,
0.72370,
1.23000,
R= 0.00000,
0.00183,
0.00366,
0.00733,
0.01465,
0.02930,
0.03700,
0.04600,
0.04836,
0.07490,
0.07490,
0.03700,
0.02570,
0.02050,
ZU= 0.05300,
0.06000,
0.06000,
121
122 Apéndice: Archivo Ejemplo de Entrada a DATCOM
0.06000,
0.06500,
0.07000,
0.09000,
0.10660,
0.11150,
0.11510,
0.10600,
0.10640,
0.02600,
0.00450,
ZL= 0.05300,
0.04000,
0.04000,
0.04000,
0.04000,
0.00250,
-0.00400,
-0.03600,
-0.07630,
-0.08620,
-0.08620,
-0.05770,
-0.04600,
-0.00450,
BNOSE= 1.00000,
BLN= 0.00100,
BTAIL= 1.00000$
$WGPLNF CHRDR= 0.24500,
CHRDBP= 0.24500,
CHRDTP= 0.17500,
SSPN= 1.0,
SSPNE= 0.95340,
SSPNOP= 0.50000,
SAVSI= 0.0,
SAVSO= 8.00000,
CHSTAT= 0.25000,
TWISTA= 0.00000,
DHDADI= 0.00000,
DHDADO= 7.00000,
TYPE= 1.0$
NACA-W-4-2412
CASEID Cabure: Body, wing
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Ailerons
$ASYFLP STYPE= 4.0,
SPANFI= 0.05500,
SPANFO= 0.50000,
CHRDFI= 0.05000,
CHRDFO= 0.05000,
NDELTA= 9.00000,
DELTAL(1)= -23.00000,
-18.00000,
-10.00000,
-5.00000,
0.00000,
5.00000,
10.00000,
15.00000,
18.00000,
DELTAR(1)= 18.00000,
15.00000,
10.00000,
5.00000,
0.00000,
-5.00000,
-10.00000,
-18.00000,
-23.00000$
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Horizontal and vertical stabilizers, elevator
DAMP
NACA-V-4-0009
$VTPLNF CHRDR= 0.21000,
CHRDTP= 0.11000,
SSPN= 0.24994,
SSPNE= 0.24994,
SAVSI= 24.00000,
CHSTAT= 0.25000,
TYPE= 1.0$
NACA-H-4-0012
$HTPLNF CHRDR= 0.19500,
CHRDTP= 0.14930,
SSPN= 0.24994,
SSPNE= 0.24994,
SAVSI= 7.80000,
CHSTAT= 0.25000,
TWISTA= 0.0,
DHDADI= 0.0,
TYPE= 1.0$
$SYMFLP FTYPE= 1.00000,
NDELTA= 9.00000,
NTYPE= 1.00000,
DELTA(1)= -16.00000,
-14.00000,
-10.00000,
-5.00000,
0.00000,
5.00000,
10.00000,
15.00000,
17.00000,
SPANFI= 0.00100,
SPANFO= 0.24800,
CHRDFI= 0.18000,
CHRDFO= 0.14930$
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Engine eng=electric_Cabure prop=prop_Cabure
$PROPWR AIETLP= 3.00000,
NENGSP= 1.00000,
THSTCP= 0.00000,
PHALOC= 0.04100,
YP= 0.00000,
PHVLOC= 0.05375,
PRPRAD= 0.13970,
ENGFCT= 0.78000,
NOPBPE= 2.00000$
123
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Second Power setting
$PROPWR THSTCP=0.057$
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Third Power setting
$PROPWR THSTCP=0.0749$
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Fourth Power setting
$PROPWR THSTCP=0.1252$
SAVE
NEXT CASE
CASEID Cabure: Fifth Power setting
$PROPWR THSTCP=0.18$
Bibliografía
[1] INVAP. Sistema aéreo robótico argentino (sara). URL http://
www.invap.com.ar/es/espacial-y-gobierno/proyectos-de-gobierno/
sistema-aereo-robotico-argentino-sara.html.
[2] DeGarmo, M. T. Issues concerning integration of unmanned aerial vehicles in civil
airspace. Center for Advanced Aviation System Development, pág. 4, 2004.
[3] Hajiyev, C., Soken, H. E., Vural, S. Y. State estimation and control for low-cost
unmanned aerial vehicles. Springer, 2015.
[4] Maza, I., Caballero, F., Capitán, J., Martínez-de Dios, J. R., Ollero, A. Experimental
results in multi-uav coordination for disaster management and civil security applica-
tions. Journal of intelligent & robotic systems, 61 (1), 563�585, 2011.
[5] Fernández-Hernandez, J., González-Aguilera, D., Rodríguez-Gonzálvez, P., Mancera-
Taboada, J. Image-based modelling from unmanned aerial vehicle (uav) photogram-
metry: An e�ective, low-cost tool for archaeological applications. Archaeometry,
57 (1), 128�145, 2015.
[6] Xiang, H., Tian, L. Development of a low-cost agricultural remote sensing system
based on an autonomous unmanned aerial vehicle (uav). Biosystems engineering,
108 (2), 174�190, 2011.
[7] ZADEH, L. A. From circuit theory to system theory. PROCEEDINGS OF THE IRE,
50, 856�865, 1962.
[8] Klein, V., Morelli, E. A. Aircraft system identi�cation: theory and practice. American
Institute of Aeronautics and Astronautics Reston, Va, USA, 2006.
125
126 Bibliografía
[9] Tischler, M. B., Remple, R. K. Aircraft and rotorcraft system identi�cation. 2006.
[10] Ho�er, N. V., Coopmans, C., Jensen, A. M., Chen, Y. A survey and categorization of
small low-cost unmanned aerial vehicle system identi�cation. Journal of Intelligent &
Robotic Systems, 74 (1-2), 129, 2014.
[11] Cook, M. V. Flight Dynamics Principles, Third Edition: A Linear Systems Approach
to Aircraft Stability and Control (Aerospace Engineering). Butterworth-Heinemann,
2012.
[12] Stevens, B., Lewis, F., Johnson, E. Aircraft Control and Simulation: Dynamics, Con-
trols Design, and Autonomous Systems. Wiley, 2015. URL https://books.google.
com.ar/books?id=N4abCgAAQBAJ.
[13] Blakelock, J. H. Automatic Control of Aircraft and Missiles. Wiley-Interscience, 1991.
[14] Bryan, G. Stability in Aviation: An Introduction to Dynamical Stability as Applied
to the Motions of Aeroplanes. Macmillan's sci. monogr. Macmillan and Company,
limited, 1911.
[15] Company, D. A., Hoak, D., Finck, R. USAF stability and control datcom. No parte
4 en USAF Stability and Control Datcom. National Technical Information Service,
1975.
[16] Aeromatic. Aeromatic, 20/08/16. URL http://jsbsim.sourceforge.net/
aeromatic2.html.
[17] Ljung, L. Perspectives on system identi�cation. Annual Reviews in Control, 34 (1),
1�12, 2010.
[18] Farrell, J. A., Polycarpou, M. M. Adaptive approximation based control: unifying
neural, fuzzy and traditional adaptive approximation approaches, tomo 48. John
Wiley & Sons, 2006.
[19] Kay, S. M. Fundamentals of statistical signal processing. Prentice Hall PTR, 1993.
[20] Scharf, L. L. Statiscal Signal Processing. Addison-Wesley, 1991.
Bibliografía 127
[21] LORD MicroStrain. 3DM-GX3-35: Attitude Heading Reference System (AHRS) with
GPS.
[22] NXP Semiconductors. MPXV7002: Integrated Silicon Pressure Sensor.
Agradecimientos
A todos los me han ofrecido su ayuda para ser quien soy.
129