Teoria de circuitos

Apunte Unidad: I

Ctedra: TEORIA DE LOS CIRUITOS Prof.Titular: Ing. Alberto Luis Cucueff J.T.P: Ing. Sandra Udrzar J.T.P.:Ing. Ral Biasotti

Facultad de Ingeniera Carrera de Ingeniera Electromecnica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE UNNE

TEMA I: Repaso Introductorio de Teora de Circuitos Formas de representacin de los fenmenos fsicos Para explicar las relaciones causa-efecto de los fenmenos elctricos se utilizan las teor-as de campo electromagntico. Ya se estudiaron en los cursos de fsica las relaciones fundamentales de fuerza sobre cargas estticas (campo elctrico ) y en movimiento (campos magnticos H ) y el medio que los provoca , como as tambin su representacin. Definimos como campo elctrico ( o magntico) a la regin del espacio que ve modificada sus propiedades por la presencia de cargas elctricas (estticas en un caso y en movi-miento en otro). Las relaciones numricas establecidas son: Fuerza elctrica:

Fuerza magntica:

Las respectivas representaciones de dichos campos son las siguientes: Campo Elctrico

Campo magntico Las vinculaciones de estas lneas (que en el primer caso se llaman flujo elctrico) con la unidad de rea dan por resultado la densidad de flujo elctrico :

AeD r

v =

1

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Y en el segundo caso, la vinculacin del flujo magntico con la unidad de rea dan por resultado la densidad de flujo magntico:

AB magrv =

Si los vinculamos ahora con el medio tendremos :

EDvr =

Y

HBvv =

Donde es la permitividad y es la permeabilidad del medio. Coeficientes estos que tienen en cuenta las propiedades del medio con relacin al fenmeno. Circuito Elctrico / Magntico Son las porciones fsicas reales donde se desarrollan los fenmenos de transporte de cargo provocados por las fuerzas elctricas ( o magnticas en el otro caso), y que en cada caso provocan fenmenos que pueden ser descriptos a travs de relaciones escalares. La acumulacin de cargas en una parte de un circuito por efecto de las fuerzas elctricas origina un aumento de energa potencial a expensas de otra forma de energa o del traba-jo realizado, dando origen as a los llamados potenciales elctricos ( o magnticos). Estas energas potenciales evaluadas en funcin de la carga elctrica unitaria dan origen al Potencial Elctrico, medido en Joule/Coulomb o en Voltios, y que por establecerse co-mo una diferencia de acumulacin de cargas se llama diferencia de potencial ddp ( y para el caso magntico se lo llama fuerza magneto motriz fmm). En todos los casos se producen flujos y variaciones de los mismos como consecuencia de las variaciones de carga .Considerando ahora la variable tiempo, podemos definir la Co-rriente Elctrica como una variacin de la carga evaluada en el tiempo:

tQI

= Esta variacin en todos los casos depende no slo del campo, sino tambin del medio a travs del cual se desarrolla, y si bien slo hablamos de una variacin de mdulo (canti-dad de carga en el tiempo) es interesante evaluar si los gradientes establecidos se man-tienen en el tiempo o se modifican. Al primer caso corresponde lo que llamamos polaridad constante en el tiempo y al segun-do polaridad variable en el tiempo. En Teora de Circuitos hablamos, para el caso en que el flujo de cargas se mantiene constantemente en una direccin en el tiempo, de CORRIENTE DIRECCIONAL Y CONTINUA, mientras que en el segundo caso, donde los gradientes se modifican en el tiempo en uno u otro sentido, hablamos de CORRIENTE BIDIRECCIONAL O ALTERNA.

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Anlisis de las Relaciones Circuitales. Como sabemos, las relaciones elctricas entre las causas que provocan el movimiento de cargas elctricas (los campos electromotores que provienen de la ddp) V, las variaciones de las cargas en el tiempo I y el medio cuyas caractersticas fsicas y geomtricas estn contenidas en una propiedad que llamamos resistencia R, se vinculan a travs de la lla-mada Ley de Ohm.

RIV = Concepto de Circuito Elctrico Vimos que los desplazamientos de cargas elctricas debidos a un campo, necesariamen-te estn vinculados a travs de un medio fsico donde se desarrolla el fenmeno. A la por-cin de ese medio cuyo anlisis efectuaremos lo llamaremos circuito elctrico. Los elementos fsicos incorporados por la tcnica a ese camino se clasifican bsicamente en dos tipos: Elementos Pasivos: convierten energa elctrica en otra forma de energa termodi-

nmicamente reversible o irreversible. Bsicamente a los primeros se los denomi-nan capacitores e inductancias, ellos son capaces de convertir energa elctrica en energa de campo elctrico y magntico respectivamente, pudiendo al cabo de un cierto tiempo devolver energa elctrica al circuito; en el segundo caso tenemos las resistencias que convierten energa elctrica en calor.

Elementos Activos: son los que a partir de una cierta forma de energa (qumica, electromecnica, trmica, luminosa, nuclear, etc.) provocan una fuerza electromo-triz capaz de mover cargas en un circuito. Reciben el nombre de Fuentes.

Segn sean los caminos recorridos por la corriente de electrones podemos considerar:

a) circuitos elctricos serie b) circuitos elctricos en paralelo

El anlisis temporal de la corriente desarrollada en un circuito presenta caractersticas distintas segn sea el momento en el cual se realiza (planteadas las ecuaciones del mo-delo matemtico del circuito, sus respuestas son distintas). Al primer instante luego de cerrar el circuito se lo denomina periodo inicial o transitorio y se caracteriza por una respuesta exponencial decreciente (convergente) [solucin de la ecuacin homognea]; transcurrido ese tiempo se desarrollar una respuesta que perdura o es constante frente a una excitacin dada y que cumple las relaciones hmicas siempre que el dispositivo ( o circuito) sea lineal [solucin particular]. Anlisis de Redes Dependiendo del tipo de excitacin, el anlisis de una red presentar aspectos totalmente diferentes tanto en rgimen transitorio como en rgimen permanente. Los tipos de excitacin a analizar abarcan:

a) Rgimen de excitacin en CD b) Rgimen de excitacin en AC con funciones cisoidales ( funciones seno y coseno) c) Rgimen con excitacin con funciones no cisoidales ( ondas cuadradas, impulso,

triangular, rampa).

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En particular la a) se desarroll en el curso de Fsica III ( lo tomaremos para referenciar otros estudios que efectuemos). El caso c) lo reservaremos para un estudio en particular en la unidad V en tensiones y corrientes poliarmnicas. El caso b) representa tal vez el ms importante por la disponibilidad de generar estas ex-citaciones y por las herramientas disponibles para efectuar su anlisis. Anlisis de Redes excitadas con funciones que varan en el tiempo - funciones Ci-soidales (Seno , coseno) Las funciones sern del tipo

tsenIi = o

tsenUu =

Donde i, u son valores instantneos de corriente y tensin; son valores mximos; y t es la pulsacin angular.

U;I

La representacin de estas funciones puede realizarse a travs de un pseudo vector ro-tante ( Fasor ) en un plano. La razn de utilizar la representacin fasorial est en la simplificacin que ello supone. Matemticamente, un fasor puede ser definido fcilmente por un nmero complejo, por lo que puede emplearse la teora de clculo de estos nmeros para el anlisis de sistemas de corriente alterna Las coordenadas de P pueden ser expresadas en: - Coordenadas polares ( , ) - Coordenadas cartesianas ( x, y) Si consideramos que el plano de trabajo es el plano Complejo, las ordenadas constituirn el eje imaginario y las abscisas el eje real, pudiendo expresarse P como un nmero complejo el cual a su vez puede expresarse en diferentes formas.

'

Y

Veremos a modo de repaso algunas expresiones tiles.

1XCos 1

n1

Tg1

Se

P

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Igualdad de Euler Recordemos que para resolver el problema de las races de ndice par y radicando nega-tivo recurrimos a los nmeros imaginarios cuya identidad est fijada por la Igualdad de Euler

1j = Y de all:

jj1

1jjj1j

4

3

2

====

Recordemos la funcin exponencial ex la que se define como una serie infinita:

!nx........

!4x

!3x

!2xx1e

n432x ++++++= obtenindose el valor de e = 2,72

Y la derivada:

x

x

edxde =

Si x es un nmero imaginario x= j.

)..........!7!5!3

.(j)!6!4!2

1(e753642

j ++++= El primer parntesis corresponde al desarrollo de la funcin cos y el segundo parnte-sis corresponde al desarrollo de la funcin sen , o sea:

+= sen.jcose .j (1) y (2) = senjcose j

puede expresarse como magnitud angular en grados sexagesimales, o en trminos del arco correspondiente en radianes :

)lessexagesima.grados(180)radianes( =

Si analizamos algunos valores particulares para la ecuacin de Euler (1) veremos que:

Con j. = j. 2

j90sen.j90cose 2j =+=

Con j. = j. 1180sen.j180cose j =+=

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Con j. = - j. 2

je 2j = Sumando miembro a miembro (m.a m.) las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

=+ cos2ee j.j 2

eecosjj +=

Restando m.a m. (1) y (2) :

= sen.j.2ee j.j j.2 eesenjj =

Representacin Analtica del Fasor (P)

Representacin Binmica

yx a.jaP += donde ax = parte real ay = parte imaginaria Su mdulo es :

2y

2x aaP += y el argumento:

x

y1

aa

tg =

Representacin Polar:

= cosaa x y = senaa y Donde a y son coordenadas polares del punto P en el plano complejo, o sea:

aP =

Representacin exponencial

Como las coordenadas de son cos y sen a travs de: je

+= sen.jcose .j

Su mdulo ser 1sencose 22.j =+=

Si =+=+= .jyx e.asen.jcosaa.jaP

En el clculo complejo la dependencia con el tiempo estar dada por t.je

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Entonces un fasor dependiente del tiempo se escribe en cualquier momento as:

ojtj)ot.(j eeMoeMom + ==

t.jeMom = Restricciones del Clculo operacional:

1. Slo se permite la adicin de oscilaciones de igual frecuencia 2. Se permite la multiplicacin por un nmero complejo independiente

del tiempo 3. Se permite la diferenciacin segn el tiempo 4. No se admite la multiplicacin de magnitudes complejas entre s

(2 oscilaciones) APLICACIONES:

Concepto de Resistencia Compleja o Impedancia Tomemos para nuestro anlisis valores instantneos de tensin y corriente

ooo

.j.t.j.U)t.(j.U)tcos(.Uu eee =+=+= (1)

ooo

.j.t.j.I)t.(j.I)tcos(.Ii eee =+=+= (2)

Denominamos:

Ue o.j.U =

Ie o.j.I =

Si dividimos las expresiones (1) y (2) nos queda:

ZIU )(je

iu ===

iu

= .jeZZ donde es la diferencia de fase entre tensin y corriente.

Las componentes rectangulares del complejo Z son:

X.jRsen.Z.jcos.ZZ +=+= donde R = Resistencia X = Reactancia

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Su mdulo es: 22 XRZ += y la fase R

Xtg = Concepto de Conductancia Compleja o Admitancia La conductancia es una propiedad recproca de una resistencia en Corriente Continua y en Corriente Alterna la CONDUCTANCIA COMPLEJA es la recproca de la IMPE-DANCIA COMPLEJA

=====je.Yje.

ui

j.Z

1Z1Y

UI

e

Y sus componentes rectangulares sern:

B.jGsen.Y.jcos.YY +=+= G = Conductancia B = Susceptancia Vectores Transformados Hasta ahora los fasores o vectores armnicos ocupaban una posicin variable en el tiempo con relacin a un sistema de ejes y una posicin constante entre s. Esto es como si considerramos que sacamos una foto instantnea. Veremos ahora el con-cepto de vectores transformados. El valor instantneo lo expresamos: [ ] [ ]+ ==+= jtjtj.maxe.max e.e.V.2.eV)tcos(Vv Llamaremos vector transformado a la siguiente expresin:

= j.2

maxV eV valor transformado La expresin del valor instantneo se modifica quedando:

= tjev eV ..2 siendo sta una magnitud real y funcin del tiempo t. Definimos del mismo modo I: [ ] [ ] jtjtjaxeax eeIeti ...2.I)cos(I .m.m ==+= +

jax eI .2

Im= La impedancia Z :

)(j.IV e

IVZ

axm

max ==

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Quedando as definidas slo en funcin de la frecuencia y no en funcin del tiempo. De manera que podemos escribir las siguientes transformaciones:

j1

jIV

dt

dtdi

u

Relaciones entre valores Mximos (Pico), Media y Eficaz

Se llama valor medio de una tensin (o corriente) alterna a la media aritmtica de todos los valores instantneos de tensin ( o corriente), medidos en un cierto intervalo de tiempo. Observando la grafica de una seal de corriente alterna definimos: Periodo (T) El tiempo necesario para que un ciclo de la seal anterior se produzca, se llama perodo (T) y tiene la frmula: T = 1 / f, o sea el perodo (T) es el inverso de la frecuencia. (f) Voltaje Pico a Pico:(Vpp) Analizando el grfico se ve que hay un voltaje mximo y un voltaje mnimo. La diferencia entre estos dos voltajes es el llamado voltaje pico-pico (Vpp) y es igual al doble del Voltaje Pico (Vp)(en la figura representado como Ao)

La expresin analtica de la onda de corriente alterna es:

Donde:

A0 es la amplitud en voltios o amperios (tambin llamado valor mximo o de pico), la pulsacin en radianes/segundo, t el tiempo en segundos, y el ngulo de fase inicial en radianes.

Dado que la velocidad angular es ms interesante para matemticos que para ingenieros, la frmula anterior se suele expresar como:

Donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del perodo (f=1/T).

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En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un perodo es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Por tanto Vm = 0

En cambio, durante medio periodo, el valor medio es

=2/T

0

dt.i2T.Im

== 2/T0

2/T

0

dt.tsen.axIm.T2dt.tsen.axIm.

T2edioIm

[ ] axIm.636,0axIm.2tcos.axIm.T2edioIm 2

T

0 === (se produce una rectificacin de onda con carga resistiva : VDC = 0,636 . Vmax ) Si ahora elevo la corriente al cuadrado, (i2), los valores son todos positivos podemos hallar el valor medio cuadrtico en medio periodo:

=2/T

0

22 dt.i2T.I

==2/T

0

2/T

0

2/T

0

2222 dt.2

)t2cos(dt.21.axIm.

T2dt.tsen.axIm.

T2I

2It2sen.

21.

21t

21.

T2II

222 axm2/T

0

2/t

0.axm =

=

axmaxm

RMS I.707.02

IIIef ===

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POTENCIA EFECTIVA, REACTIVA Y APARENTE Tomemos primero el caso de una resistencia R en corriente continua. Si le aplicamos una tensin constante V circular una corriente constante I suministrando a la resis-tencia una potencia:

RVR.ii.uP

22 ===

La energa suministrada durante un intervalo de tiempo t ser:

t.I.Vt.PW == Si la corriente ahora es alterna y por tanto variable en el tiempo estas ecuaciones no tienen validez. Sin embargo se las puede tomar como aproximaciones vlidas tomando valores ins-tantneos, o sea considerando valores de t suficientemente pequeos nos aproxi-mamos a la verdad.

A la relacin: i.utWp =

= la llamamos VALOR INSTANTNEO. A la energa suministrada en un periodo dividido por el periodo se la denomina Poten-cia Media o POTENCIA EFECTIVA. Potencia efectiva en Corriente alterna Consideremos una R real. La corriente real es : ( )+= tcos.axImi

La tensin real es: ( )+= tcos.R.axImu

El valor instantneo de la potencia es: )t(cos.R.axImi.up 22 +==

Teniendo en cuenta que: 2cos1cos2 +=

)t(2cos.I.U.21I.U.

21

2)t(2cos1.R.axImp ++=

++=

En consecuencia, la potencia instantnea tiene una componente constante 2I.U

(en la

figura siguiente en color rojo) y una senoidal ( o cosenoidal) de frecuencia doble que la de excitacin. Este segundo miembro oscila segn el coseno alrededor de un eje de simetra (color azul) y su valor medio es cero. Hay que recalcar que en este caso el rea entre la curva y el eje de los tiempos es siempre positiva, lo que indica que la fuente es ,a que entrega permanentemente energa al circuito, sin recibir en ningn momento energa de retorno (intercambio de energa en forma irreversible)

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P12

U I 12

U I cos 2 tt( )+:=

0 2000 4000 6000 8000 1 .1042

0

2

4

12

U I

12

U I cos 2 t( ) 12

U I+

U cos t( )I cos t( )

t

Valor medio 2I.

2UUI.

21p == o sea vemos que en una resistencia R se origina

la misma potencia que con una corriente continua 2Ii = llamando a este valor valor

efectivo de la corriente alterna.

O sea: R.II.VPP 2efefefwef === stas son frmulas anlogas a las de corriente continua. A estos valores efectivos se los conoce tambin como valores medios cuadrticos o RMS ( root means square) por sus siglas en ingles. Potencia Reactiva

Consideremos ahora una resistencia compleja con fase /2, o sea: X.je.ZZ 2.j ==

Una resistencia semejante es una resistencia imaginaria. Entre la corriente y la tensin

hay una diferencia de /2, si aplicamos una tensin es atrave-sada por una corriente en retraso de -/2 y valor instantneo

teniendo en cuenta que

)tcos(Uu +=)t(sen.Ii +=

= 2sen.21sen.cos

La potencia instantnea ser:

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)t(2sen.I.U)t(2sen.2I.

2Upi

)t(2sen.I.U.21)t(sen).tcos(.I.Ui.upi

efef +=+=

=+=++==

Por lo tanto la energa recibida es devuelta y la potencia media es nula.(la energa ne-ta intercambiada a lo largo de un periodo es nula) En forma prctica esta potencia se conoce como potencia reactiva. La expresin gene-

ral podemos tomarla como: X.I.21I.U.

21QP 2B === , se mide en VAR (volt-amper

reactivo)

0 2000 4000 6000 8000 1 .1042

1

0

1

2

potenciatensincorriente

2.2

2

12

U I sin 2 t +( )

U cos t +( )

I sin t +( )

1 104100 t

Potencia en una resistencia compleja (Impedancia) Toda impedancia o resistencia compleja X.jRZ += puede considerarse un circuito serie de una resistencia efectiva R y una reactancia pura j.X . Entre u e i tendremos

un ngulo , es decir: )tcos(Uu += )tcos(Ii +=Donde ( diferencia de fase entre tensin y corriente= ngulo de la impedan-cia del circuito) ,

=La potencia instantnea desarrollada en el circuito ser:

)tcos().tcos(I.Ui.vP ++==Recordando que: )]cos().[cos(

21cos.cos ++=

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[ ][ ] )t2cos(IUcosIU)t2cos()cos(.

2I.

2U

)ttcos()ttcos(I.U21P

.RMS.RMS.RMS.RMS +++=+++=

=+++++=

Vemos que la potencia instantnea consta de dos trminos, el primero es una constan-te (es decir es independiente del tiempo) y el segundo es una onda coseno de dos ve-ces la frecuencia de excitacin. El valor promedio de una onda coseno en un periodo completo es cero y nos queda solo el trmino constante. En otras palabras, escribiendo la impedancia:

= .je.ZZ si por esta Z circula una corriente I de amplitud compleja se origina slo potencia efec-tiva si = cos.ZR y I.ZV =

==== cos.I.Ucos.I.U.21R.IR.I.

21Pw RMSRMSRMS2 2

O sea , la potencia disminuye con el aumento de . = sen.ZX

===== sen.I.Usen.I.U.21XIX.I.

21QP RMSRMS.2RMS2B

La cantidad compleja toma el nombre de potencia aparente compleja. BP.jPwPs +=( ) =+==+= j22 e.I.U.

21)sen.j(cosI.U.

21Z.I.

21X.jR.I.

21Ps

El mdulo de la potencia ser: 2B2 PPwP += y el ngulo de fase PwPtg B1 =

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Potencia Vectorial o Compleja: Se define la potencia compleja como: , *RMSRMS I.UPs =donde , entonces = RMSRMS II = RMS*RMS II

)(je.I.U21.

21Ps I.U +==

)(je.I.U21*.

21Ps I.U ==

)(sen.j)cos(I.UPsI.UI.UPs

.RMS.RMS

RMS.RMSRMSRMS

+===

Como ya se haba indicado =, por l tanto la potencia activa es

= cos.I.UP

I.cos es la proyeccin del vector I transformado sobre el vector V

La proyeccin sobre el eje imaginario es: Q= U . I sen Por lo tanto la potencia compleja se puede expresar como: Ps= Pw+j.PB La magnitud de la Potencia compleja es lo que se denomina Potencia aparente y se mide en Volt-Amperes(VA), la Potencia Real o efectiva se mide en Watts (w) y la potencia Reactiva se mide en Volt-Amper reactivo (VAR).

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Comparemos ahora los diagramas de potencia (fig B) e impedancia: + === j)(jjj e.I.Ve.I.Ve.I.e.VP

=== j)(jjj

e.IVe.

IV.

e.Ie.VZ

En realidad el ngulo de defasaje lo implementa la impedancia respecto a la parte real, es decir que el diagrama de potencias real debera tener la potencia reactiva hacia abajo. Pero por convencin y para producir un giro tomo vector V* ( conjugado) o I*. En un circuito RL la potencia reactiva resulta negativa. Sin embargo por convencin se toma que la potencia reactiva en circuitos RL sea positiva para mquinas consumido-ras de potencia activa (Ps=S)

)12(j2j1j e.I.Ue.I.e.UI.US + === En un circuito con capacitores se interpreta que estos son generadores de potencia reactiva. O sea se forma un tringulo de potencias S, P y Q donde S forma con el eje real un ngulo = 1 + 2 distinto al de la impedancia = 1 - 2 .

Recordar que )21(j.IV e

IVZ

axm

max == Si tomamos U* entonces.

)12(j2j1j* e.I.Ue.I.e.UI.US === Tomamos como mas conveniente I*

S

P

-j.

J.

S

P

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