Matemáticas Generales para Maestros Carlos Maza Gómez

4.1

ENUNCIADOS

Magnitudes proporcionales

1) El agua de un depósito se extrae en 200 veces con un bidón de 15 litros. ¿En cuántas vecesse extraerá con un bidón de 25 litros?.

2) Las ruedas traseras y delanteras de un coche tienen un diámetro de 1,3 metros y 1 metro,respectivamente. Cuando las primeras han dado 370 vueltas, ¿cuántas han dado las segundas?.

3) Cada página de un libro tiene 32 líneas. El libro tiene 70 páginas. ¿Cuántas páginas ocuparíael mismo libro si en cada página se colocarán 35 líneas?.

4) Un grupo de jubilados contrata un autocar a un precio fijo. En principio se apuntan 42 ancianosy calculan que cada uno deberá pagar 6,10 euros. Finalmente sólo van 35 personas. ¿Cuántodeberá pagar cada uno?.

5) Llenamos un camión con 1.215 sacos de 4 kg de patatas cada uno y otro camión de igualcapacidad se llena con sacos de 5 kg. ¿Cuántos sacos cabrán en el segundo camión?.

6) Una tela metálica, que pesa 45 kg, tiene 36 metros de larga por 1,20 metros de ancha. ¿Cuálsería su longitud si su anchura fuera de 0,90 metros sin variar el peso?.

7) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa alsalir y tiene que llegar al colegio en 20 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto?.

8) Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto.a) ¿cuántas horas tardará si el grifo arroja 90 litros?; b) ¿cuántos litros tienen que salir por minuto para que tarde 36 horas en llenar la piscina?.

9) ¿Son directamente proporcionales los radios de dos círculos y sus correspondientes áreas?.Si un círculo tiene 20 cm2 de área ¿qué área tendrá otro círculo cuyo radio mide el doble queel del primero?.

10) Hemos pasado en coche ante el km 100 a las 11 horas 25 minutos y ante el km 200 a las 12horas 10 minutos. ¿A qué hora llegaremos al km 275?.

4: Proporcionalidad numéricaProblemas

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4.2

11) Un grifo abierto 9 horas diarias durante 8 días ha arrojado 5400 litros. ¿Cuántos litros arrojarádurante 18 días a 8 horas diarias?

12) Una persona leyendo 4 horas diarias, a razón de 15 páginas por hora, tarda en leer un libro10 días. Si leyendo a razón de 10 páginas por hora tardase 20 días ¿cuántas horas diariasleería?.

13) Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a su tripulación, formada por 60hombres. Si acogen a 30 hombres más de un barco averiado, ¿cuántos días durarán losvíveres?.

14) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 120 obreros. Habiéndose aumentado éstosen 30 obreros, ¿en cuántos días acabarán el trabajo?.

15) Tres amigos han ido a comprar CD’s. El primero compró dos CD’s, otro compró tres y elúltimo cinco CD’s. Si el lote completo vale 120 euros y todos los CD’s valen lo mismo ¿cuántodeberá pagar cada uno?.

16) Antiguamente un tendero empleaba una balanza de brazos desiguales que medían 22 cms y 20cms. Un cliente compró 4 kgs de café poniendo el tendero las pesas sobre el brazo menor. Elcliente, descontento, compró al día siguiente otros 4 kgs pero obligando al tendero a poner laspesas en el otro brazo. ¿Cuántos kgs de café realmente se habrá llevado?.

17) Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 2100 euros. La manadadel primero la componen 40 vacas y la del segundo 300 ovejas. ¿Cuánto ha de pagar cada unosi una vaca come como 10 ovejas?.

18) María, Paloma y Sara han cobrado por un trabajo 208 euros. María ha trabajado 7 horas,Paloma 5 horas y Sara 4 horas. ¿Qué le corresponde cobrar a cada una, proporcionalmentea su trabajo?.

Porcentajes19) Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje

de zumo que hay en la limonada?.

20) En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, quedando 164. ¿Cuántos hanmuerto?.

21) Un banco prestó a otro 300.000 euros al 18 % mensual. La cantidad devuelta ha sido de462.700 euros ¿Cuánto tiempo ha tardado el segundo banco en devolver el préstamo?.

22) Una impresora cuesta 215 euros sin IVA y 249,40 euros con IVA. ¿Qué porcentaje de IVApresenta?.

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4.3

23) En la última subida de precios del autobús el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a 1,16euros y el bonobus de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. ¿Qué tanto por cientode subida han sufrido el billete sencillo y el bonobus?.

24) Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre lacantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un año? ¿ydespués de 4 años?.

25) Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros.¿Cuánto costaba antes de la subida?.

26) Un poster costaba 4,80 euros. Tras una subida, este precio es el 80 % del precio final. ¿Cuáles el precio final del poster?.

27) Un burro atado a un árbol puede comer 35 m2 de hierba. ¿Cuánta podrá comer si seincrementa en un 20 % la longitud de la cuerda?.

28) Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo valemenos, antes o después de todo el proceso?.

29) Se compra un coche de 15.600 euros pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumentodel 8 % anual en mensualidades durante dos años. ¿Cuánto se debe pagar cada mes?.

30) Un cultivo de bacterias tiene 120.000 bacterias y, por la acción de un fármaco, se produce lamuerte del 16 % de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con otro producto seaumenta la población en un 14 %. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente? ¿Podríashacerlo hallando un solo porcentaje?.

31) Durante la primera cuarta parte de la Liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40 % de lospuntos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe ganar en el resto de la Liga para que alfinalizarla tenga el 70 % de los puntos posibles?.

32) La producción de cebollas y zanahorias en España está en una relación de 8 a 5. Si laproducción de cebollas disminuye en un 15 % y la de zanahorias aumenta en un 20 %, ¿en quérelación queda la producción?.

33) En un supermercado tienen tres marcas de tomate en bote. Los botes de ‘azul’ cuestan un 50% más que los de ‘verde’, pero contienen un 10 % menos de tomate que los de ‘rojo’. Losbotes de la marca ‘rojo’ pesan un 50 % más que los de la marca ‘verde’ y cuestan un 25 %más que los de ‘azul’. ¿Cuál es el bote con el precio más alto y el más bajo? ¿Qué marcaresulta más económica?.

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4.4

SOLUCIONES

1) El procedimiento más sencillo consistiría en comprobar cuál es la capacidad del depósito: 200x 15 = 3000 litros, a lo que habría que dividir entre 25 litros de cada extracción posterior: 3000: 25 = 120 extracciones.Mediante la regla de tres, resultaría una inversa:200 veces -------- 15 litros/extracción x veces -------- 25 litros/extracción x = 200 x 15 / 25 = 120 veces

2) Se cuentan los metros recorridos por el coche: 1,3 pi . 370 = 481 pi metros, que habrá quedividir después por la circunferencia de las ruedas posteriores: 481 pi / 1 pi = 481 vueltas,resultado que se puede obtener también con la regla inversa:1,3 metros -------- 370 vueltas 1 metro -------- x vueltas x = 1,3 . 370 / 1 = 481 vueltas

3) El número total de líneas del libro es: 32 . 70 = 2240 líneas, que en el nuevo libro ocuparían 2240 / 35 = 64 páginas32 ------- 7035 ------- x x = 32 . 70 / 35 = 64

4) El coste total del autocar será de 42 . 6,10 = 256,20 euros que finalmente hay que repartirentre las 35 personas que van: 256,20 : 35 = 7,32 euros

5) La capacidad del primer camión será de 1215 . 4 = 4860 kgs, por lo que el número desacos del segundo camión será: 4860 : 5 = 972 sacos.

6) Suponiendo el peso constante y uniforme, sea el que sea, la superficie de la tela se obtendrá:36 . 1,20 = 43,2 m2 de manera que si la anchura se redujese sin variar el peso, quedaría delongitud: 43,2 : 0,90 = 48 metros

7) El total de pasos dados por Jorge es: 25 . 100 = 2500 pasos, pero como tiene que recorrerla misma distancia en 20 minutos: 2500 : 20 = 125 pasos/minuto

8) En este caso, 12 . 180 no tiene sentido por no ser posible combinar estas unidades. Habríaque transformar los 180 litros/min en litros/hora, lo que se conseguiría multiplicando por: 180. 60 = 10800 litros. Sin embargo, considerado directamente como una proporcionalidadinversa, se plantearía:a) 12 horas ----- 180 litros/minuto

x horas ----- 90 litros/minuto x = 12 . 180 / 90 = 24 horasb) 12 horas ----- 180 litros/minuto

36 horas ----- x x = 12 . 180 / 36 = 60 litros/minuto

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4.5

9) Sea un círculo de radio R y área A = Pi.R2, así como otro círculo de radio R’ y área A’ = Pi.R’2 . Pues bien, ¿se cumple R/R’ = A/A’?. Ello garantizaría que estas magnitudes

(radio y área del círculo) serían directamente proporcionales. Sustituyendo su valor habría de ser R/R’ = Pi.R2 / Pi.R’2 = R2 / R’2 pero esto no tiene por qué ser cierto. Así, para R = 1, R’ = 2, 1/2no es igual a 12 / 22 = 1/4.

Si con un radio R se tiene un círculo de 20 cm2 de área, con un radio 2R, resultará que larelación R/R’ = ½ De modo que, en aplicación de lo anterior, las áreas estarán en la relación 1/4 porlo que el nuevo área será de 4 . 20 = 80 cm2

10) Suponiendo una velocidad uniforme los 100 kms recorridos desde el 100 al 200 se hanrealizado en 45 minutos. Es necesario averiguar cuánto tardará en los 75 kms restantes a esavelocidad. 100 kms ---- 45 minutos 75 kms ---- x min x = 33,75 minutos = 33 min 45 sgde manera que pasará a las 12 h 10 min + 33 min 45 sg = 12 h 43 min 45 sg

11) Este problema puede reducirse a uno de proporcionalidad directa sin más que traducir a horastotales las cantidades que se dan. Así, 9 . 8 = 72 serán las horas que permiten arrojar 5400litros.72 horas -------- 5400 litros144 horas ------ x x = 5400 . 144 / 72 = 10.800 litros donde 5400/72 = 75 tienen el sentido de litros/hora.

12) Este problema, en su traducción a uno simple de proporcionalidad inversa, presenta másdificultad. Así, lo lógico desde el punto de vista dimensional, es considerar el número depáginas al día que se leen: 4 . 15 = 60 páginas/día estableciendo su relación con una tardanzade 10 días. Pero al ser la incógnita el número de horas diaria, el planteamiento debe ser distintodel anterior:60 páginas/día -------- 10 días10 x pgs/día -------- 20 días 10 x = 60 . 10 / 20 = 30 páginas/hora

13) 60 hombres ----- 45 días90 hombres ----- x días x = 60 . 45 / 90 = 30 días

14) 120 obreros ------- 35 días150 obreros ------- x días x = 120 . 35 / 150 = 28 días

15) En total han comprado 10 Cds. Si el lote completo cuesta 120 euros quiere decir que cada CDvale 120 : 10 = 12 euros. Entonces el go se repartirá del siguiente modo:El primero 2 . 10 = 20 euros El segundo 30 euros El tercero 50 euros

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4.6

16) La ley de la balanza indica que el producto de la longitud del brazo por el peso es constanteen ambos lados de la balanza. Por tanto, en la primera pesada se cumplirá20 . 4 = 22 x x = 20 . 4 / 22 = 3,636 kgsEn la segunda pesada, sin embargo, es al contrario:22 . 4 = 20 x x = 22 . 4 / 20 = 4,4 kgde donde en total el cliente, en vez de 8 kg, se ha llevado 8,036 kgs

17) En primer lugar, se uniformiza el consumo de ambos tipos de ganado. Mientras en la segundamanada hay 300 ovejas, las vacas de la primera equivalen a 400 ovejas, de manera que puedeadmitirse un reparto equitativo entre un total de 700 ovejas.2100 : 700 = 3 euros/oveja, de manera que el reparto es dePrimera manada: 400 . 3 = 1200 euros Segunda manada: 300 . 3 = 900 euros

18) El total de trabajo efectuado es de 7 + 5 + 4 = 16 horas, de modo que los euros cobrados serepartirían del siguiente modo por hora de trabajo: 208 : 16 = 13 euros/hora. Así, el repartose haría:María: 7 . 13 = 91 euros Paloma: 5 . 13 = 65 euros Sara: 4 . 13 = 52 euros

19) Hay 8 litros de zumo en 20 litros de limonada (12 + 8), por lo que en 100 litros de limonadahabrá: 8/20 = x/100 x = 40 %

20) Si ha muerto el 18 % sobrevive el 82 % de la cantidad inicial, es decir, 164 animales. Puedecalcularse esa cantidad: 82 % ----- 164 animales100 % ---- x x = 205 animalespara pasar a calcular el 18 % de dicha cantidad: 18/100 . 205 = 36,90, aprox. 37.

21) La cantidad de intereses mensual es 18/100 . 300.000 = 54.000 euros/mesLos intereses abonados son de 462.700 - 300.000 = 162.000 euros, por lo que el número de

días resultará de 162.000 / 54.000 = 3 meses.

22) La diferencia de precios es de 249,40 - 215 = 34,40 euros, cantidad que tenemos queaveriguar qué porcentaje representa considerando la cantidad inicial (215 euros) como 100.215 euros ----- 100 %

34,40 eur. ----- x x = 16 %

23) 1,10 euros ----- 100 %0,06 euros ----- x x = 5,45 %

4,70 euros ----- 100 %0,21 euros ----- x x = 4,46 %

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4.7

24) Primer año: 300 euros ------ 100 % x ------ 2,5 % x = 7,5 euros

Segundo año: 307,50 euros ---- 100 % x ----- 102,5 % x = 315,18 euros

Tercer año: 315,18 euros ----- 100 % x ----- 102,5 % x = 323,05 euros

Cuarto año: 323,05 euros ----- 100 % x ----- 102,5 % x = 331,12 euros

25) 120 % ----- 4,08 euros100 % ----- x x = 3,40 euros

26) 4,80 euros ----- 80 % x ----- 100 % x = 6 euros como precio final

27) El área que podía comer era de Pi.R2 = 35 m2 pero ahora podrá comerPi (120/100 R )2 = (120/100)2 Pi.R2 = 1,22 . 35 = 50,4 m2

28) Si se encarece un 10 % del precio original x, su precio será entonces del 110/100 x, es decir,1,1 x. Si luego se abarata un 10 % quiere decir que valdrá finalmente el 90 % del precio antesde la bajada, es decir, 90/100 1,1 x = 0,9 1,1 x = 0,99 xEn otras palabras, finalmente quedará un precio que será el 99 % del inicial.

29) La cantidad que se debe tras la entrada será de 3/5 . 15600 = 9360 eurosEl incremento anual será de 8/100 . 9360 = 748,8 euros que en dos años supone una cantidad

de intereses de 748,8 . 2 = 1497,6 euros. En total ha de pagar 9360 + 1497,6 = 10857,6 que, divididoentre los 24 meses, 10857,6 : 24 = 452,4 euros/mes

30) 120.000 bacterias ---- 100 % x ---- 84 % x = 100.800 bacterias sobreviven100.800 bacterias ---- 100 % x ---- 114 % x = 114.912 bacterias finales120.000 . 84/100 . 114/100 = 120.000 . 9576/10000 = 114.912

31) Si el máximo de puntos a ganar es x, en la primera cuarta parte de la Liga podría ganar x/4como máximo. En ese intervalo, los puntos ganados realmente han sido 40/100 . x/4 = 0,1 xSe pretende alcanzar el 70 % de los puntos posibles en la Liga, o sea, 70/100 x = 0,7 x luego

en las tres cuartas partes de la Liga que quedan debe obtener 0,7 x - 0,1 x = 0,6 x así que elporcentaje será, sobre 3/4 x posibles,

3/4 x ------ 100 %0,6 x ------ ? ? = 80 %

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4.8

32) Si es C la producción de cebollas y Z la de zanahorias, se afirma que C/Z = 8/5. Lo que seplantea entonces con las variaciones es qué relación resulta de 85C/100 / 120Z/100 = 85C/120Z = 85/120 . 8/5 = 680/600 = 17/15

33) Escribiendo P el precio y C el contenido de las marcas a (azul), v (verde) y r (rojo), los datosdel problema son: 1) Pa = 150 % de Pv, 2) Ca = 90 % de Cr, 3) Cr = 150 % Cv y 4) Pr = 125 % PaCombinando 1) y 4) Pr = 125/100 . 150/100 Pv = 1,25 . 1,5 Pv = 1,875 PvConsiderando 3) Cr = 1,5 Cv Resulta que el Rojo tiene el 50 % más de contenido que

el verde pero cuesta el 87,5 % más, de manera que resulta más económico el verde que el rojo. Porotro lado, por 2) y estos últimos datos

Ca = 90/100 Cr = 90/100 150/100 Cv = 0,9 . 1,5 Cv = 1,35 CvTeniendo en cuenta 1), será Pa = 1,5 Pv de manera que el azul tiene un 35 % más de contenido queel verde pero cuesta un 50 % más, luego el verde resultará más económico que el azul.

La marca más económica, por tanto, es el verde. Además, tomando como referencia el preciodel verde, el azul es el 50 % más caro pero el rojo es el 87,5 % más caro, luego el rojo es la marcamás cara.