TEMA 2 (2TEMA 2 (2ªª parte)parte)• Fuerzas de presión sobre superficies.

•Fuerzas de presión sobre superficies planas.

(caso especial para paredes inclinadas)

•Empuje sobre superficies curvadas

• Empuje sobre cuerpos sumergidos. Principio de Arquímedes.

• Flotación y estabilidad de cuerpos sumergidos.Enxeñeria do Medio Forestal .E.E.T.F. de Pontevedra. Profesor.: Enrique Martínez Chamorro.

Sea A una superficie plana sumergida en un liquido en reposo (figura 4), formando un ángulo α con la horizontal (superficie libre de liquido), siendo AB la recta bisectriz de ambos planos. Sea por otra parte, dA localizado a una profundidad “y”, y a una distancia “x” del eje AB.

La fuerza elemental que actúa sobre el área dA es: dF = pdA = ρgydA

Fuerzas de presión sobre superficies planas.

F=E = ∫dF = ∫ρgydA = ρgsen α ∫xdA

La fuerza elemental dF son normales a la superficie y del mismo sentido, por lo tanto, la resultante de la fuerza que actúa sobre la superficie A será la integral del elemento dF.:

La integral de este ultimo termino es el momento de primer orden (momento estático) del área A respecto al eje X

∫ x dA = xG A

“El empuje total de una fuerza de presión Hidrostática sobre una superficie plana sumergida en un liquido en reposo es igualal producto de la presión en su c.d.g. por el área de la misma”

Siendo xG la distancia del centro de gravedad del área A respecto de AB

Sustituyendo en la ecuación :

E= F= ρ g sen α xG A = γ yG A=PG A

Una vez calculada la fuerza sólo queda localizar su punto de aplicación (C), que se denomina habitualmente centro de presiones.

La suma de los momentos de las fuerzas elementales respecto a ese punto es igual al momento de la fuerza resultante respecto a ese punto:

∫ dF x = F xCSustituyendo por sus valores respectivos:

∫ (ρ g x senα dA) x = (ρ g sen α xG A) xC∫ x2dA = xG A xC

es decir:

Un sistema se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas actuantes es nula y cuando el momento resultante de todas las fuerzas aplicadas respecto de un punto es nulo.

Si tomamos momentos respecto a la intersección entre AB y el eje normal a la misma que pasa por C

siendo IAB el momento de inercia del área plana A respecto del eje

AB. ( ∫ x2dA =IAB)

Por el teorema de Steiner, se puede poner en función del momento de inercia respecto del centro de gravedad, IG:

Se observa que la posición del centro de presiones estásiempre a mayor profundidad que el centro de gravedadde la superficie.

IABxC=

A xG

IAB= IG+ A xG2

IGxC=xG+

A xG

6

Sea α el ángulo que forma la superficie plana sumergida con la horizontal (Figura 6). La resultante del empuje viene dada por:

E = γ xG senα A = γ h/2 sen α b h= ½ γ senα b h2

Siendo b el ancho o profundidad de la superficie plana considerada (dimensión lineal horizontal de la misma)

Empuje sobre paredes planas

x

E = ½ γ senα b h2

Empuje sobre paredes verticalesEn este caso α = 90º. Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene:

x

E= = ½ γ b h2

Prisma de EmpujeEn las figuras 2.14a y b puede verse que la presión total sobre una superficie pequeña es igual al peso de un prisma de liquido de base Si y altura hi

E= Vi γ = γ Sihi

De esto se deduce que si se concibe un cuerpo prismático imaginario de base la pared y cuya cara opuesta AABB sea un plano de 45º que parta de A-A (intersección de la superficie libre de liquido con la pared), dicho prisma tendrá la propiedad que la distancia normal desde cualquier punto de AABB a la pared será igual a la profundidad hi del punto considerado en la pared. Luego el peso de dicho prisma es precisamente el valor del empuje sobre la pared .

E= Vprisma γ

1/3

Asi pues en la pared de la figura de altura H y profundidad b (en sentido normal a la diapositiva), el empuje sera.:

E= Vprisma γ = ½ H H b γ = ½ H2 b γ

Vprisma

El empuje calculado es el peso del prisma de de empuje, y este peso puede suponerse actuando en el centro de gravedad “G” de dicho prisma, de tal forma que el punto de corte de dicho vector peso con la pared es el centro de presiones (c.p.)

2/3Prisma de Empuje

Prisma de Empuje 3/3

En el caso de una pared inclinada y hundida el prisma tendrá la forma de figura

E= ½ (h + H) c b γ

H

Hhh

c

b

Ejemplo .

Sea la compuerta de la figura, en la que aparece la disposición y las dimensiones. Su ancho o luz (sentido normal al papel) es de 7 metros. Inclinación de la compuerta = 60º. Se pide calcular. :

1.º El empuje total; 2.° la presión media; 3.° Ubicación del centro de presión CP.

Otra forma.:

Si descomponemos los vectores que forman el prisma de empuje E en sus componentes EV y EH (Fig.2) el prisma de empuje anterior queda sustituido por otros dos EDAB y B´C´BC (Fig.1) que representan sus componentes, de tal forma que:

E=√ EV2 + EH

2

(Fig.2)

(Fig.1)

Ejercicio1

•Determinar la fuerza F ejercida por el agua sobre la superficie rectangular AB de 3x6m. y su punto de aplicación.

•Determinar la fuerza F ejercida por el agua sobre el la superficie triangular CD de 4x6m. y su punto de aplicación.

Ejercicio 2

• La compuerta AB de 2 m. de diametro puede girar alrededor del eje horizontal C situado 40 mm por debajo del centro de gravedad. ¿ Hasta que altura h puede ascender el agua sin que se produzca un momento desestabilizante que permita que la compuerta se abra?.

Empuje sobre superficies curvadas 1/4

Para su determinación se sigue la estrategia de proyectar la fuerza sobre cada uno de los ejes y luego sumarlas vectorialmente.

EH = F x = ∫∫ A x p dA x = ρ g z G A x

COMPONENTE HORIZONTAL.

La componente horizontal EH de la fuerza de presión sobre una superficie curvada (figura 6) es igual a la fuerza de presión ejercida sobre una proyección de la superficie perpendicular al eje horizontal. Su línea de acción pasa por el centro de presiones.

Empuje sobre superficies curvadas 2/4

COMPONENTE VERTICAL.

En cuanto a la componente vertical Ev, es igual al peso de la masa de líquido contenida en el volumen engendrado entre la superficie curva y la la superficie curva hasta la superficie libre (ABCD), (figura 7):

Ev = F z = -∫∫ Az ρ g z dA z = -ρ g ∫∫ Az z Az

Ev= -ρ g ABCD DC

A B

Empuje sobre superficies curvadas 3/4

El centro de presiones se obtiene a partir de los centros de aplicación de cada una de las dos componentes: las componentes horizontales tiene su centro de presión, respectivamente, en los centros de presión de las áreas proyectadas; y la componente vertical, en el centro de gravedad de volumen generado verticalmente (θ ).

Centro de presiones

Empuje sobre superficies curvadas 4/4

Ejercicio 3

•Determinar y situar las componentes de la fuerza debida a la acción del sobre la compuerta AB por metro de longitud de compuerta.

Ejercicio 4

• Un cilindro de 2m de diámetro, pesa 2.500kp y tiene una longitud de 1,5 m. Determinar las reacciones A y B despreciando el rozamiento.

Empuje sobre cuerpos sumergidos. Principio de Arquímedes.

El principio de Arquímedes dice que un cuerpo sumergido total o parcialmente en un medio fluido, experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado. Este empuje se encuentra situado en el centro de gravedad del volumen desplazado y se llama centro de empuje.

El empuje que experimenta un cuerpo sumergido parcial o totalmente (figura 8) en un fluido, de acuerdo con lo visto anteriormente, es la diferencia entre la componente vertical de la fuerza de presión en su lado inferior y la mismacomponente de la fuerza en su lado superior, coherente con lo expuesto en el apartado anterior.

Flotación de cuerpos sumergidos

Cuando se tiene un cuerpo totalmente sumergido en un fluido, el centro de aplicación del empuje, es el centro de presión (C), y coincide con el centro de gravedad del volumen sumergido. Evidentemente, si el cuerpo no es homogéneo, su centro de gravedad, o centro de masa, no tiene porque coincidir con el centro de empuje (figura 9).

En el caso de objetos flotando, la separación entre ambas partes es la intersección del plano horizontal de la superficie libre con la superficie del objeto, y se denomina línea de flotación. La resultante de las fuerzas de presión distribuidas a lo largo de toda la superficie mojada (solo la parte sumergida) es una fuerza vertical hacia arriba, de módulo igual al peso del volumen de líquido desalojado, con su centro de aplicación en el centro de gravedad del volumen sumergido:

Para conocer la estabilidad de un cuerpo sumergido el centro de gravedad debe estar directamente debajo del centro del empuje (centro de gravedad del liquido desplazado).

Si los dos puntos coinciden, el cuerpo sumergido está en equilibrio indiferente.

Para la estabilidad de cilindros y esferas flotantes el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje.

La estabilidad de otros cuerpos flotantes depende de si se desarrolla un momento adrizante cuando el centro de gravedad y el centro de empuje se desalinean de la vertical debido al desplazamiento del centro de empuje.

El centro de empuje se desplaza porque cuando el objeto flotante se inclina, varía la forma del volumen de liquido desplazado y. por tanto, su centro de gravedad pasa a otra posición.

Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes

La Figura (a) muestra un cuerpo flotante en equilibrio, con su centro de gravedad (CG) situado por encima del centro de empuje (CB).

Si el CG se sitúa en la derecha de la línea de acción del empuje cuando el cuerpo se gira ligeramente en el sentido contrario a las agujas del reloj,tal como se muestra en la Figura (b), el cuerpo flotante es estable.

La diferenciación entre estabilidad e inestabilidad también puede hacerse al observar el punto de intersección del eje (A-A) del cuerpo flotante con línea de acción del empuje (B-fB). A este punto se le conoce con el nombre de metacentro (mc).

Si el CG se sitúa a la izquierda de la línea de acción del empuje, como en la Figura (c) el cuerpo flotante es inestable.

De la observación de las Figuras (b) y (c) se deduce claramente que el cuerno flotante es estable si el CG está por debajo del mc e inestable si su CG está por encima del mc.

Ejercicio 1

Una piedra pesa 90 N en el aire y 50 N cuando está sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.

Ejercicio 2

Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20cm de anchura y 40cm de longitud se pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando la medida 5,0 kp. ¿Cuanto pesa en el aire y cuál es su densidad relativa?