Tema1_Introduccion_SenalesYSistemas

Señales y Sistemas Lineales

Tema 1

Señales Analógicas y DiscretasSistemas Analógicos y en

Tiempo Discreto

Diapositivas realizadas por Abdelali ElAroudi – Universitat Rovira i Virgili (España). Modificadas por Eliana Arango – Universidad Nacional de Colombia Agosto/2010

Generalidades

Definición:“Una señal es una función que representa las

variaciones en el tiempo de una magnitud física”

(En general las señales pueden ser función del tiempo o de otra variable independiente cualquiera)

Ejemplos de señales:Variaciones en la presión del aire al hablarSeñales eléctricas periódicas que genera el corazónAscensos y descensos diarios de temperaturaLa medición de la velocidad y dirección del viento

Cuatro Tipos Básicos de SeñalesEl tiempo puede estar dado en:

Valores contínuos: tValores discretos: nts, donde ts es un intervalo muestreado y n es un entero.

La amplitud puede medirse en:Valores contínuosValores cuantizados en un número finito de niveles discretos.

Señal Analógica

Señal Muestreada

Señal Cuantizada

Señal Digital

Señales en tiempo continuo:“Aquellas en las cuales la variable tiempo se representa como una variable real”{x(t), -∞ < t < ∞}Ej: Señal de voz como función del tiempo

Señales en tiempo discreto:“Aquellas en las cuales la variable tiempo se representa como una variable entera”{x[n], n = 0, ±1, ±2,…}Ej: Índices de la bolsa como función del tiempo

Tiempo continuo t

Tiempo discreto n

Clases de Señales según la forma de variación en el tiempo

Clases de Señales según su Duración

lado izquierdo (cero para

t>α)

Señales de duración semi-infinita

Señal de tiempo limitado

lado derecho

(cero para t<α)

causal

(cero para t<0)

Las señales periódicas xp(t) repiten el mismo patrón en un intervalo de repetición llamado periodo T y

tienen duración infinita)()( nTtxtx pp ±=

Clases de Señales en Tiempo Discreto según su Duración

lado izquierdo (cero para

t>α)

Señales de duración semi-infinita

Señal de tiempo limitado

lado derecho

(cero para t<α)

causal

(cero para t<0)

Una señal periódica x[n] se repite cada N muestras y tiene duración infinita

)[][ kNnxnx ±=

Energía y Potencia en las señales

Tiempo Continuo Tiempo Discreto

Tiempo Continuo Tiempo Discreto

( )∫−∞→

∞ ≡T

TTdttx

TP 2

21lim [ ]∑

+

−=∞→∞ +

≡N

NnNnx

NP 2

121lim

( ) ( )∫∫+∞

∞−−∞→∞ =≡ dttxdttxE

T

TT

22lim [ ] [ ]∑∑+∞

−∞=

+

−=→∞∞ =≡

n

N

NnNnxnxE 22lim

TEP

T 2lim ∞

∞→∞ ≡

Energía en un intervalo de tiempo infinito:

Potencia promedio en un intervalo de tiempo infinito:

Señales de Energía:“Aquellas que en un intervalo de tiempo infinito tienen Energía Total Finita”

Señales de Potencia:“Aquellas que en un intervalo de tiempo infinito tienen Potencia Promedio Finita”

Señales según el contenido de energía o potencia

∞<∞E 02lim =≡ ∞

∞→∞ T

EPT

Potencia promedio cero

∞<∞P0≠∞P ∞=∞E

A

τ

A

τ

A

τΕ=Α2 τ Ε=Α2 τ/2 Ε=Α2 τ/3

Pulso Triangular

Pulso rectangular

Pulso Senoidal

Energía de la señal para tres formas de pulso útiles

Señales de Energía: Tienen Potencia Promedio cero

02lim =≡ ∞

∞→∞ T

EPT

(Comprobar resultados utilizando el MATLAB)

Altura = A Ancho = τ

Ejemplo de Cálculo de energía en señales de tiempo contínuo

Encuentre la señal de energía para las señales:

J123

494/3

925.01

19)25.0(9)5.0(3][00

22 =×

==−

×==== ∑∑∑+∞=

=

+∞=

=

+∞=

−∞=

n

n

nn

n

nn

nnxE

Ejemplo 1: Considerar la señal x[n]=3(0.5)nu[n]

( ) W18363641][

41P ,0][

41 3

0

23

0=+==== ∑∑

=

=

=

=

n

n

n

ndc nxnxx

Ejemplo 2: Considerar la señal periódica x[n]=6cos(2πn/4) cuyo periodo es N= 4

Un periodo de x[n] es {6,0,-6,0}

Ejemplos de cálculo de energía y potencia en señales de tiempo discreto

(Comprobar resultados utilizando el MATLAB)

1) Señales periódicas.1-A) Señales en tiempo continuo (TC) periódicas.1-B) Señales en tiempo discreto (TD) periódicas.

T

x(t)=x(t+kT)

x[n]=x[n+kN]

Tiempo continuo t

Tiempo discreto nN ∈ N

Señales según la Periodicidad (1)

2) Señales no periódicas.2-A) Señales en tiempo continuo (TC) no periódicas.2-B) Señales en tiempo discreto (TD) no periódicas

Tiempo continuo t Tiempo discreto n

x(t) x[n]

Señales según la Periodicidad (2)

Mediciones para Señales Periódicas

Energía2( )lim

T

T T

E x t dt→∞

−

= = ∞∫Potencia

2 21 1( ) ( )lim 2

T

T T T

P x t dt x t dtT T→∞

− < >

= =∫ ∫

Valor medio

∫><

=T

dc dttxT

x )(1Valor eficaz

PdttxT

xT

rms == ∫><

2)(1

T = periodo de la señal

rmsdc xx ≤

TEP = (Energía en un periodo

dividido el periodo)

Señal par t

Señal impar

t

-a a

-a a

Señal desprovista de simetría

t-a a

Mutuamente Excluyentes

)()( txtx −=

)()( txtx −−=

)()()( txtxtx −−≠−≠

Señales según la simetría

Partes par e impar de una señal

Señal desprovista de simetría

t-2 1

)()()( txtxtx ip +=En donde

2)()()(y

2)()()( txtxtxtxtxtx ip

−−=

−+=

t

2

1 2

t-2 1 2

-2 1 2

)(tx

Paridad de señales en TD

][][ nxnx −=Señales Pares

][][ nxnx −−=Señales impares

][][][ nxnxnx ip +=Señales sin simetría

Donde:

2][][][ ,

2][][][ nxnxnxnxnxnx ip

−−=

−+=

Clasifique las siguientes señales

Señal Par o ImparSeñal x(t) Señal de Energía o Potencia

Π (t/T)Δ(t/T)Exp (t)

δ(t)u(t)

sgn (t)cos(t)

Π(t/T)cos(t)

Duración y Periodicidad

1) Función pulso rectangular.

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

caso otroen 0/2<t</2- si 1 ττ

τt

-τ/2 τ/2

1

t

2) Función pulso triangular.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

caso otroen 0

<t<0 sit 11

0<t<- si 1+t1

ττ

ττ

τt

-τ τ

1

t

Funciones de uso común (1)

3) Función escalón unitario u(t).

u t( ) =≥⎧

⎨⎩

1 si t 00 si t < 0

4) Función impulso unitario δ(t) (Delta de Dirac).

1

u(t)

t

0

0

0 si t 0( ) , ( ) 1

si t 0t t dtδ δ

+

−

≠⎧= =⎨∞ =⎩

∫ 1

δ(t)

t

(1=Área)


4) Función rampa r(t).

⎩⎨⎧ ≥

= 0< tsi 0

0 tsi )(

ttr

1

r(t)

t1


)()( :Filtrado

)()( :Producto

000

000

=en t continua es si ttfdtttf(t)

tt)f(tttf(t)f(t)

-⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

−=−

∫∞

∞

δ

δδ

Propiedades útiles del impulso

2

2 )()()(

)()(

)()(

)()(

dttrd

dttdut

dttdrtu

dtu

dutr

t

-

t

-

==

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

∫

∫

∞

∞

δττδ

ττ

Sampling

Sifting

)(1)(:toEscalamien tt ∂=∂α

α

Relaciones entre señales impulso, escalón y rampa

Ejemplo de uso de las propiedades del impulso

Derivadas en discontinuidades

-τ/2 τ/2

1

t

d/dt

-τ/2 τ/2

1

t

(1)

(-1)

2e-t d/dt

-2e-t

2

-2

(2)

t

t

5) Función signo sgn(t).

sgn( )t =≥⎧

⎨⎩

si t 0-1 si t < 0 1

6) Función pulso exponencial Exp(t).

⎩⎨⎧

<≥

==−

0 si 00 si

)()/exp()/(/

tte

tuttExpt τ

ττ

1

sgn(t)

-1

t

1

tτ


7) Señales armónicas:

)sen()cos( )(

00

)( 0

φωφω

φω

+++== +

tjAtAAetx tj

Cuadro de Repaso

Euler 2

)sen(,2

)cos(

)sen()cos(

jAeAeAeAe

jAAejjjj

j

αααα

α

αα

αα−− −

=+

=

+=

Importancia• Cualquier señal puede expresarse como combinación de armónicos

• La respuesta de sistemas lineales a una entrada armónica es también una señal armónica con la misma frecuencia que la entrada


8) Funciones senoidales.

x t A t( ) cos( )= +ω φ0

A

t

T0=2π/w0

Acos φ


Observaciones: •Todas las señales senoidales en TC son periódicas con respecto al tiempo para cualquier valor de la frecuencia

•La suma de dos o más señales senoidales con diferentes periodos no serásiempre una señal periódica

•La suma de dos señales senoidales será periódica sólo en el caso que el cociente de los dos periodos sea un numero racional

1

2

T nT m

= ∈ Q

Realizar esta demostración con la ayuda de la definición de señal periódica y de suma de señales

Ejemplo de Combinación de Señales Periódicas

9) Tren de pulsos.

TTiempo continuo t

dT

ciclo de trabajo (razón de trabajo):dT dT

=


10) Tren de impulsos.

TTiempo continuo t

i(t)


11) Función seno cardenal sinc (t) y su cuadrado.

2

22 )()()()(

ttsintsinc

ttsintsinc =⇒=

El área bajo la curva del sinc y el sinc2 es igual al área del triángulo ABC

1

t

sinc(t)

π−π 2π

3π

A

CB

sincsinc2


1) Función pulso rectangular en TD.

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

caso otroen 0N<n<- si 1

2N

Nn

-Ν N

1

n

2) Función pulso triangular en TD.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

caso otroen 0

N<n<0 sin 11

0<n<- si 1+n1

N

NN

Nn

-Ν Ν

1

n

Funciones de uso común en Tiempo Discreto (1)

3) Función escalón unitario u[n] en TD.

[ ]⎩⎨⎧ ≥

= 0<n si 0

0n si 1nu

4) Función impulso unitario δ[n] en TD.

0 si n 0( )

1 si n 0n Nδ

≠⎧− = ⎨ =⎩

1

δ[n]

n

1u[n]

n-1 1 2 3 ...


4) Función rampa r[n].

[ ]⎩⎨⎧ ≥

= 0<n si 0

0n si nnr

4

r[n]

n4


)()(][ :Muestreo

)()(][ :Producto

-n⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

−=−

∑∞+

∞=

NxNnnx

Nnx(N)Nnn x

δ

δδ

Propiedades útiles del impulso discreto

[ ] [ ][ 1] [ ] [ 1]

[ ] [ ] [ 1][ ] [ ]

n

kn

k

r n u ku n r n r n

n u n u nu n k

δδ

=−∞

=−∞

⎫= ⎪ − = − −⎪ ⇒⎬ = − −⎪=⎪⎭

∑

∑

Sampling

Sifting

5) Función signo sgn[n] en TD.

⎩⎨⎧ ≥

= 0<n si 1-

0n si 1 )sgn(n

6) Función pulso exponencial e[n] en TD.

][][ nuane n=

1

sgn[n]

-1

n

1

n

a>0 y |a|<1

Hay 6 casos posibles dependiendo del signo de a y de su módulo(Comprobar casos con la ayuda de MATLAB)


7) Señales armónicas

)sen()cos( ][

00

)( 0

Φ+Ω+Φ+Ω== Φ+Ω

njAnAAenx nj

Importancia• Cualquier señal puede expresarse como combinación de armónicos

• La respuesta de sistemas lineales en TD a una entrada armónica es también una señal armónica con la misma frecuencia que la entrada

Cuadro de Repaso

Euler 2

)sen(,2

)cos(

)sen()cos(

jAeAeAeAe

jAAejjjj

j

αααα

α

αα

αα−− −

=+

=

+=


8) Funciones senoidales. )cos(][ 0 Φ+Ω= nAnx

t

Observaciones:•No todas las señales senoidales en TD son periódicas

•Sólo son periódicas aquellas que tienen frecuencia F racional (F=Ω0/2π)

• El periodo en este caso es N=2πk/ Ω0

• k es el mínimo número entero para que N sea un número entero

•Las señales senoidales en TD son periódicas en frecuencia Ω (periodo =2π)

])2cos[(]cos[ Φ++Ω=Φ+Ω nn π


Propiedades de Periodicidad de exponenciales discretas

Dominio Continuo

A mayor magnitud de ω0, mayor es la velocidad de oscilación de la señalLa señal es periódica para cualquier valor de ω0

Dominio Discreto

Velocidad de oscilación aumenta hasta ω0= π y desde este punto disminuye hasta ω0= 2πSeñal periódica para 0≤ω0≤2π, es idéntica para ω0± n2π.

tje 0ω nje 0ω

Considere la exponencial compleja discreta con frecuencia

πω 20 +

njnjnjnj eeee 000 2)2( ωωππω ==+

De la ecuación se observa que la exponencial con frecuencia Es la misma que aquella con frecuencia

πω 20 +0ω

0ω Se escoge dentro de un intervalo de longitud π2Las exponenciales discretas de alta frecuencia se localizan cerca de:

πω ±=0 Y otros múltiplos impares de π.

Las exponenciales discretas de baja frecuencia se localizan cerca de:

0,20 πω ±= Y otros múltiplos pares de π.

Periodicidad de la exponencial discreta

nje 0ω

njNnj ee 00 )( ωω =+

Para que la señal sea periódica con periodo N > 0, se debe tener:

10 =Nje ω

Para que esta ecuación se cumpla debe ser múltiplo de Es decir que debe haber un entero m tal que:

N0ω π2

Nm

mN

=

=

πω

πω

2

2

0

0La señal es periódica si es un número

racional y no periódica en otras circunstanciasπ

ω2

0

Periodo Fundamental: 0

2ωπmN =

Operaciones sobre señales

• Escalamiento de amplitud

• Desplazamiento de amplitud

• Desplazamiento de tiempo

• Escalamiento de tiempo

• Reflexión

Una señal sola

• Multiplicación (Modulación)

• Adición, Sustracción

• Convolución (TEMA 2)

• Correlación, Autocorrelación (TEMA 2)

Dos y más señales

Operaciones sobre señales

Escalamiento de amplitud

Desplazamiento de amplitud

t

tt

t

x(t)

x(t)

Ax(t)

x(t)+C

C

t1 t2t1 t2

t1 t2 t1 t2

aa+C

a

aA

Operaciones sobre la amplitud de la señal

Desplazamiento de tiempo

Escalamiento de tiempo

Retardo

Adelanto

Expansión

Compresión

t

t

t

t

t

x(t)

x(t)

x(t-T)

x(t+T) T>0

x(at)

x(at)

a<1

a>1

t1 t2

t1+T t2+T

t1-T t2 -T

t1 t2

at1 at2

at1 at2

a

a

a

A

A

A

Operaciones sobre la escala de tiempo (1)

Reflexión en tiempo

Combinación de Reflexión y desplazamiento en tiempo

tt

tt

x(t)

x(t)

x(-t)

x(-t-T)T>0

-T T -T T

t1 t2 t1-T t2-T

Operaciones sobre la escala de tiempo (2)

Multiplicación: Modulación

)()()()()( ∑∑+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

−=−=k

k

k

ki kTtkTxkTttxtx δδ

x(t)

i(t)

xi(t)

t

tt

T

Ejemplo 1:

Muestreo ideal

T

Aproximación de señales mediante impulsos

)()()( tmtxtxi =

x(t)

m(t)

xi(t)

tt

T

Ejemplo 2:

Modulación AM

T

Multiplicación: Modulación

Operaciones sobre dos señales

Adición

-1 1

1

t-1 1

1

t

+-1 1

2

t

=

Sustracción

-1 1

1

t -1 1

1

t

--1 1

1

t

=

Introducción a SistemasDefinición:

“Un sistema es un proceso que permite transformar una señal (señal de entrada) en otra señal (señal de salida)”

“Un sistema es un dispositivo que ante la excitación de una señal genera otra señal como respuesta”

Clasificación:1) En términos de la naturaleza de las señales.

2) En términos de la capacidad de memoria.3) En términos de la invertibilidad.4) En términos de la causalidad.5) En términos de la estabilidad.

6) En términos de la variación en el tiempo.7) En términos de la linealidad.

Introducción a Sistemas

Sistema continuo:“Aquel en el cual las señales continuas se transforman en señales continuas”x(t) → y(t) = F (x(t))

Sistema discreto:“Aquel en el cual las señales discretas se

transforman en señales discretas”x[n] → y[n] = F (x[n])

Clasificación en términos de la naturaleza de las señales

Sistema sin memoria:“Aquel en el cual la salida en un instante dado depende sólo de la entrada en ese mismo instante”x[n] → y[n] = F (x[n], n)

Clasificación en términos de la capacidad de memoria

Sistema con memoria:“Aquel en el cual la salida en un instante dado depende

de la entrada y/o el estado del sistema en ese instante y en instantes anteriores y/o posteriores”

x[n] → y[n] = F (x[n], x[n-1],…, y[n], y[n-1],y[n+1]...)

Sistema invertible:“Aquel en el cual entradas distintas producen salidas distintas”x1[n] → y1[n]x2[n] → y2[n]

Clasificación en términos de la invertibilidad

Sistema no invertible:“Aquel en el cual entradas distintas producen la misma

salida”x1[n] → y1[n]x2[n] → y1[n]

Sistema causal:“Aquel en el cual la salida en cualquier instante depende de la entrada y/o el estado del sistema en ese instante y en instantes anteriores”x1[n] → y1[n] = F (x[n], x[n-1],… y[n], y[n-1])

Clasificación en términos de la causalidad

Sistema no causal (anticipativo):“Aquel en el cual la salida en cualquier instante depende

de la entrada y/o el estado del sistema en cualquier instante (anterior y posterior)”

x1[n] → y1[n] = F (…, x[n+1], x[n], x[n-1],...y[n+1], y[n],... )

Sistema estable:“Aquel en el cual una entrada acotada conduce a una salida acotada (no divergente)”

Clasificación en términos de la estabilidad

Sistema inestable:“Aquel en el cual una entrada acotada conduce a

una salida no acotada (divergente)”

Estabilidad BIBO: Bounded Input Bounded Output

Sistema invariante en tiempo:“Aquel en el cual el comportamiento y las características del mismo están fijos en el tiempo”“Aquel en el cual un desplazamiento en la señal de entrada ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida” x(t) → y(t) ⇒ x(t-t0) → y(t -t0)

Clasificación en términos de la variación en el tiempo

Sistema variante en tiempo:“Aquel en el cual el comportamiento y las

características del mismo cambian en el tiempo”x[n] → y[n] = F (x[n], n)

Sistema lineal:“Aquel en el cual se puede aplicar la propiedad de superposición”a*x1(t) + b*x2(t) → a*y1(t) + b*y2(t)

Clasificación en términos de la linealidad

Sistema no lineal:“Aquel en el cual no se puede aplicar la

propiedad de superposición”a*x1(t) + b*x2(t) → y(t) ≠ a*y1(t) + b*y2(t)

Superposición: Escalamiento y Aditividad

Clasifique los siguientes sistemas

y’(t) + ay(t) = bx(t)

y[n] = (2x[n]-x2[n])2

y[n] = x[n-1]

y[n] + ay[n-1] = bx[n]

y n x kk

n

[ ] [ ]== − ∞∑

dv tdt RC

v tRC

v tcc e

( )( ) ( )+ =

1 1

y tC

x dt

( ) ( )=−∞∫

1τ τ

y[n] = y[n-1]- x[n]

y(t) = 2x(t)

y(t) = x2(t)

y(t) = x(t-1)

y[n] = x[-n]

y(t) = x(t)cos(t+1)

y(t) = t*x(t)

y(t) = sin[x(t)]

y[n] = ℜe{x[n]}

y[n] = 2x[n]+3

y[n] = x[n]x[n-2]

Tema1_Introduccion_SenalesYSistemas

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