Tema 6.- El crecimiento económico

— Introducción

— La acumulación de capital

— El estado estacionario óptimo

— El crecimiento de la población

— El progreso tecnológico

— Medidas para fomentar el crecimiento

— La teoría del crecimiento endógeno

Modelo de crecimiento de Solow

En el Tema 2 se ha descrito una economía en una posición estática

Para describir las economías actuales caracterizadas por la mejora en los niveles de vida ese modelo no sirve, necesitamos un modelo dinámico

El modelo de Solow nos mostrara como el ahorro, el crecimiento de la población y el progreso tecnológico afectan al crecimiento de la producción con el paso del tiempo

La acumulación de capital

Nuestro primer paso será ver como afecta la acumulación de capital a la capacidad productiva de una economía

Para facilitar el estudio, supondremos que la población y la tecnología se mantienen constantes, más adelante abandonaremos estos supuestos.

La oferta de bienes y la función de producción

Y= F(K, L)

La producción depende de la del stok de capital y de la población activa

La función de producción presenta rendimientos constantes a escala. Para cualquier z > 0 se tiene que

zY = F(zK, zL)

Como el tamaño de la economía no es importante, para simplificar el modelo se expresarán todas las variables en relación con la población activa para ello hagamos que z = 1/L

Y/L = F(K/L, 1)

Se tiene que la producción por trabajador Y/L es una función del capital por trabajador K/L

Para simplificar llamaremos

y = Y/L

k = K/L

La función de producción ahora queda de la siguiente forma

y = f(k) siendo f(k) = F(k,1)

Esta función describe como varia la producción cuando varia el capital y el trabajo se mantiene constante.

Su representación gráfica sería:

Capital por trabajador

Prod

ucto

por

tra

baja

dor

y

k

f(k)

Capital por trabajador

Prod

ucto

por

tra

baja

dor

y

k

f(k)

Su pendiente nos dice cuanto aumenta la producción de un trabajador cuando ponemos a su disposición una unidad más de capital, es decir la PMK

PMK = f(k+1) - f(K)

1PMK

Debe observarse que la PMK es decreciente

La demanda de bienes

En el modelo de Solow la demanda proviene del consumo y la inversión, al ponerlos en unidades por trabajador tenemos que la producción por trabajador, y, se divide entre el consumo por trabajador, c y la inversión por trabajador, i.

y = c+ i

Estamos, ante una economía sin sector público y cerrada

El modelo propone que la gente distribuye su renta entre consumo y ahorro, y lo hace en una proporción dada, de manera que de cada unidad de renta ahorra una proporción que llamaremos pms y consume el resto que llamaremos pmc

pms +pmc = 1 o pmc = 1- pms

Supondremos que el valor de pms está dado

Esto supone que la función de consumo es

c = pmc y ó c = (1-pms) y

De manera que ahora podemos escribir

y = (1-pms) y +i

Y si reordenamos los términos tenemos

i = pms y

Expresión que indica que la inversión es igual al ahorro, como ya habíamos visto en el tema 2, pero también que la pms es la proporción de la producción que se destina a la inversión

Tenemos entonces que dado un stock, k, de capital, la función de producción, y = f(k), determina la cantidad de producción que obtiene la economía, y la tasa de ahorro, pms, determina la distribución de la producción entre consumo e inversión

k

f(k)

Capital por trabajador

Prod

ucto

por

tra

baja

dor

y

pmsf(k)c

s

y

k

El crecimiento del stock de capital y el estado estacionario

En cada momento del tiempo el stock de capital está dado, pero esa cantidad puede variar a medida que transcurre el tiempo, y si aumenta, también lo hará la producción y entonces tendremos crecimiento económicoHay dos fuerzas que influyen en la cantidad existente de capital:

La inversión, que es el gasto en nueva planta y equipo que incrementa el capital existente

La depreciación, que es el desgaste que con el uso y el paso del tiempo tiene el capital, reduciendo su stock

La inversión por trabajador i es igual a pms y pero dado que y = f(k) lo podemos expresar como:

i = pms f(k)tenemos una relación entre el capital existente, K y la acumulación de capital, i, que puede verse en el modelo gráfico

k

producción, f(k)

Capital por trabajador

Prod

ucto

por

tra

baja

dor

y

pmsf(k)= ic

s=i

y

k

Para la depreciación supondremos que todos los años el capital se desgasta o deprecia en una cierta proporción, !, del stock de capital.

Llamamos ! a la tasa de depreciación.

Si el capital dura un promedio de 25 años, la tasa de depreciación anual es del 4 por ciento, y entonces ! = 0,04

Capital por trabajador

Dep

reciac

ión

por

trab

ajad

or

!k

k

depreciación, !k

1!

La influencia de la inversión y la depreciación en el stock de capital se sintetiza en la siguiente expresión:

"k = i- !k

que puede expresarse también de la siguiente manera

"k = pmsf(k)- !k

y que puede ser representado gráficamente

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

i = sf(k)

A medida que aumenta k, aumenta la inversión, por aumentar la producción y por tanto el ahorro, pero también aumente la depreciación

Obsérvese que hay un nivel de k para el que la inversión se iguala a la depreciación (lo aseguran los rendimientos decrecientes de la función), vamos a considerar que ocurre si la economía no está situada en ese punto

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

i = pmsf(k)

Si estamos en K1, la inversión i1 es mayor que la depreciación !k1 y el k del siguiente periodo será mayor, lo que hará crecer la producción.

k1

!k1

i1

➡

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

i = pmsf(k)

k1

!k1

i1

➡

Si estamos en K2, la inversión i2 es menor que la depreciación !k2 y el k del siguiente periodo será menor, lo que hará reducirse la producción.

k2

i2

!k2

➡Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

i = pmsf(k)

k1

!k1

i1

➡ k2

i2

!k2

➡

Si estamos en K*, la inversión i* es igual a la depreciación !k*y el k del siguiente periodo será igual, lo que hará mantenerse la

producción periodo tras periodo, dando lugar a un estado estacionario

k*

i*=!k

El estado estacionario nos dice que una economía que está en él, permanecerá en él, pero también que una economía que no esté en estado estacionario convergerá hacia él.

Sea cual sea el capital inicial con que cuente, acabara teniendo el capital correspondiente al estado estacionario k*

El estado estacionario representa el equilibrio de la economía

El ahorro y el crecimiento

Consideremos que ocurre en una economía si aumenta su tasa de ahorro

Si partimos de una situación de estado estacionario, veremos que tras el aumento del ahorro, para el nivel de capital de equilibrio, ahora la inversión ( que es igual al ahorro) es mayor que la depreciación, por tanto el stock de capital empezara a aumentar hasta que llegue a un nuevo estado estacionario.

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

pms1f(k)

pms2f(k)

k1* k2*➡Por tanto, el ahorro es el determinante del stock de capital existente en el estado estacionario, y en consecuencia del nivel de producción. A mayor tasa de ahorro, mayor stock de capital y mayor nivel de producción.

El nivel de capital correspondiente a la regla de oro

Podría deducirse de lo anterior que cuanto mayor sea la tasa de ahorro, y por tanto la inversión, mayor será la producción, y que por tanto habría que aumentar la tasa de ahorro todo lo posible

Supongamos que llevamos la tasa de ahorro hasta el 100 %, eso llevará al mayor stock de capital posible y a la mayor renta, pero si en esa economía todo se ahorra y por tanto nada se consume ¿donde están las bondades de esa economía?

Supongamos que los responsables de la política económica de un país pueden fijar la tasa de ahorro al nivel que deseen, y con ello determinar el estado estacionario de la economía ¿Qué estado estacionario elegirían?

¿Que variable sería deseable maximizar?

La respuesta debe ser el consumo

Pues bien, al valor del k* del estado estacionario

que maximiza el consumo se le denomina nivel de acumulación de capital correspondiente a la regla de oro y se representa por k*oro

Para determinar el k*oro comenzamos por la identidad básica

y = c+ i que reescribimos de la siguiente forma

c = y- i

dado que queremos calcular el consumo correspondiente al estado estacionario sustituimos los valores de y e i por los correspondientes, y = f(k*) y como en el estado estacionario la inversión es igual a la depreciación tenemos que i = !k y tenemos

c* = f(k*) - !k*

se aprecia que las variaciones de k afectan al consumo, por una parte a más k más producción y más consumo, pero por otra es necesario más producción para reponer lo que se desgasta y eso reduce el consumo

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

depreciación, !k

pms1f(k)pms2f(k)

k1* k2*

y= f(k)

pms3f(k)

k3*

ss

s

cc

c

Capital por trabajador en el estado estacionario

Prod

ucción

y d

epre

ciac

ión

k*

depreciación e inversión en el estado estacionario, !k*

Producción en el estado estacionario f(k*)

koro*

Una vez determinado el consumo en el estado estacionario, lo siguiente es maximizarlo, determinar que k* lo hace máximo. En el gráfico el procedimiento es buscar la distancia máxima entre la función de producción f(k*) y la depreciación !k*. Y eso ocurre cuando la pendiente de la función de producción es igual a la de la función de depreciación, y por tanto igual a !

Por tanto se maximiza el consumo cuandoPMK = !

De manera que tenemos que si PMK > ! en un estado estacionario, si aumentamos la pms pasaremos a un estado estacionario donde el consumo crezca.

Igualmente, si en un estado estacionario PMK < !, entonces reduciendo la pms llegaremos a un estado estacionario con mayor consumo

Debe notarse que no existe ninguna fuerza o tendencia endógena que haga que una economía se dirija por si sola al estado estacionario que maximiza el consumo

Aproximación al estado estacionario: ejemplo numérico

Dada la siguiente función de producción

dado que y= Y/L y k=K/L podemos escribir

La producción por trabajador es la raíz cuadrada del capital por trabajador

Supongamos que pms = 0,3 y que ! = 0,1, y que la economía empieza con cuatro

unidades de capital (k = 4).

Veamos que le ocurre a esta economía con el paso del tiempo

Si dividimos por L

reordenamos

Año k y c i !K "K

1 4,000 2,000 1,400 0,600 0,400 0,2002 4,200 2,049 1,435 0,615 0,420 0,1953 4,395 2,096 1,467 0,629 0,439 0,1894 4,584 2,141 1,499 0,642 0,458 0,1845 4,768 2,184 1,529 0,655 0,477 0,1786 4,946 2,224 1,557 0,667 0,495 0,173

10 5,602 2,367 1,657 0,710 0,560 0,150

25 7,321 2,706 1,894 0,812 0,732 0,080

100 8,962 2,994 2,096 0,898 0,896 0,002

∝ 9,000 3,000 2,100 0,900 0,900 0,000

pms = 0,3 ; ! = 0,1, k = 4 ;

0 2,5 5 7,5 10

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Veamos una solución alternativa:

!

k*

f (k*)=pms

"

!

"k = pmsf (k) # $k

!

k *

k *=0,3

0,1

Como en el estado estacionario el k no varia tenemos

Que se puede escribir de la siguiente forma

!

0 = pmsf (k*) " #k *

Y si sustituimos tenemos

Determinemos ahora cual el stock de capital de la regla de oro:

El problema consiste en calcular el k* que maximiza el consumo, y eso en definitiva se reduce a determinar que pms asegura ese k*, asi que tomamos la expresión que nos ha servido para calcular el estado estacionario

!

k*

f (k*)=pms

"

!

k *

k *=pms

0,1

Resolvemos para k* tenemos que

!

k* =100pms2

Ahora damos valores a pms y vemos que k* maximiza el consumo

pms k* y* c*

0,0 0,0 0,0 0,0

0,1 1,0 1,0 0,9

0,2 4,0 2,0 1,6

0,3 9,0 3,0 2,1

0,4 16,0 4,0 2,4

0,5 25,0 5,0 2,5

0,6 36,0 6,0 2,4

0,7 49,0 7,0 2,1

0,8 64,0 8,0 1,6

De nuevo es posible encontrar una solución de una manera menos trabajosa:

Dado que sabemos que la regla de oro se corresponde con el stock de capital para el que se cumple que

PMK = !El PMK se obtiene derivando la función de producción

!

PMK =1

2 k

!

1

2 k= 0,1

!

k = 25

El crecimiento de la población

El modelo básico muestra que la acumulación de capital por si sólo no puede explicar el crecimiento continuado de la producción. Un aumento de la tasa de ahorro, puede hacer que la economía crezca temporalmente, pero de nuevo se llegara a un estado estacionario donde el capital y la producción se mantendrán constantes.

Como lo que observamos en las economías mundiales es la existencia y mantenimiento de tasas de crecimiento positivas, debemos hacer alguna modificación en el modelo para incorporar nuevas fuentes de crecimiento.

En un primer paso vamos a introducir el crecimiento de la población y posteriormente incluiremos las mejoras tecnológicas

Supondremos a partir de ahora que la población crece, y que lo hace a una tasa constante n, de manera que si la población crece al 1% anual n= 0,01

La introducción del crecimiento de la población afecta a nuestro modelo, y para ver como lo hace deberemos considerar como va a afectar a la acumulación de capital por trabajador

Sabemos que la inversión incrementa la dotación de capital por trabajador k y que la depreciación la reduce, ¿pero como le afecta el crecimiento de la población?

El crecimiento del número de trabajadores lo que hace es disminuir el capital por trabajador (K/L)

De manera que ahora la variación de capital por trabajado es:

"k = i- (!+n)k

El término (!+n)k puede considerarse como la inversión de mantenimiento: la que hay que hacer para que el capital por trabajador se mantenga constante

!k representa la reposición necesaria para evitar que la depreciación reduzca el capital disponible pro trabajador

nk es lo que hay que añadir para dotar a los nuevos trabajadores del mismo stock de capital que tienen los demás.

Para analizar el crecimiento de la población repetimos el procedimiento utilizado anteriormente.

"k = pmsf(k)- (!+n)k

El estado estacionario se tendrá cuando el capital por trabajado no varíe

0 = pmsf(k)- (!+n)k

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

Inversión de mantenimiento, (!+n)k

i = pms f(k)

k*

Si i > (!+n)k la inversión es mayor que la inversión de antenimiento y el capital por trabajador crece, lo que hace aumentar la producción por trabajador.

Si i < (!+n)k .........

Efectos del crecimiento de la población

Da una explicación al crecimiento continuado de la producción

Aunque en el estado estacionario el capital por trabajador y la producción por trabajador son constantes, como la población crece continuamente a la tasa n, el capital total y producto total también crecen a la tasa n

Aunque no podamos explicar el crecimiento del nivel de vida, si podemos explicar el crecimiento de la producción

Ayuda a entender las causas por las que unos países son más ricos que otros

EL modelo predice que los países cuya población crece más tienen niveles más bajos de renta per capita

Capital por trabajador

Inve

rsió

n y

depr

eciación

k

(!+n1)k

pms f(k)

k1*

(!+n2)k

k2*

Un incremento en la tasa de crecimiento de la población desplaza la linea que representa la inversión de mantenimiento y hace que, todo lo demás igual, se reduzca el k*

Efectos del crecimiento de la población

Influye en el criterio para hallar el nivel de capital de la regla de oro

c= y- i

Para un estado estacionario la expresión sería

c* = f(k*) - (!+n)k*

si derivamos la función y la igualamos a cero tendremos

PMK = !+n o bien

PMK - ! = n

En el estado estacionario de la regla de oro la tasa de crecimiento de la población debe igualarse a la productividad marginal de capital una vez descontada la tasa de depreciación del capital

El progreso tecnológico en el modelo de Solow

Modificaremos el modelo básico que hemos visto para incluir el progreso tecnológico exógeno

Para introducir la mejora tecnológica vamos a modificar la función de producción

Y = K(K,L) pasará ahora a ser

Y = F(K,LxE)

Donde E es una nueva variable llamada eficiencia del trabajo

Recoge los conocimientos de la sociedad sobre los métodos de producción: a medida que estos aumentan la eficiencia del trabajo aumenta

El término LxE mide el numero de trabajadores efectivos, por tanto el número y la eficiencia de cada uno

Los aumentos de la eficiencia del trabajo E son similares a los del numero de trabajadores L. Una mejora en los métodos de producción que duplicara la eficiencia en el trabajo sería similar a la duplicación dl número de trabajadores

Supondremos que el progreso tecnológico, se traduce en la mejora de la eficiencia del trabajo, E, a una tasa constante anual g

El progreso tecnológico aumenta la eficiencia del trabajo y lo hace a la tasa g

Como L crece a la tasa n y E lo hace a la tasa g, el número de trabajadores efectivos, LxE, lo hace a la tasa n+g

El estado estacionario con progreso tecnológico

La forma en que se ha introducido el progreso tecnológico permite analizarlo de forma similar a como se ha hecho en el caso del crecimiento de la población

Reformulemos las expresiones:

y = Y/(LxE)

k = K/(LxE)

y = f(k)

El incremento del capital por trabajador efectivo es

"k = pmsf(k)- (!+n+g)k

Capital por trabajador efectivoInve

rsió

n e

inve

rsió

n de

man

teni

mie

nto

k

Inversión de mantenimiento, (!+n+g)k

i = pms f(k)

k*

Si i > (!+n+g)k la inversión es mayor que la inversión de antenimiento y el capital por trabajador efectivo crece, lo que hace aumentar la producción por trabajador.

Si i < (!+n+g)k .........

Los efectos del progreso tecnológico

Variable SímboloTasa de crecimiento en el

estado estacionario

Capital por trabajador efectivo

k= K/(LxE) 0

Producción por trabajador efectivo

y=Y/(LxE)= f(k) 0

Producción por trabajador Y/L= y x E g

Producción total Y = y x (LxE) n+g

El progreso tecnológico explicaría porque los niveles de vida son continuamente crecientes

La regla de oro con progreso tecnológico

El calculo del estado estacionario qeu maximiza el nivel de consumo se obtiene utilizando los mismos procedimientos que en los casos anteriores

c* = f(k*) - (!+n+g)k*

si derivamos la función y la igualamos a cero tendremos

PMK = ! + n + g o bien

PMK - ! = n + g

En el estado estacionario de la regla de oro el producto marginal neto del capital debe igualarse a la tasa de crecimiento de la producción total n+g

Medidas para fomentar el crecimientoAhorro

La referencia sería la tasa de ahorro que conduce al estado estacionario de la regla de oroSi la tasa de ahorro es inferior a la deseable ¿cómo aumentarla?

Ahorro públicoAhorro privado

Asignación de la inversión ¿cómo lograr la máxima PMK?

Privada, Pública, Capital humano¿Debe el gobierno hacer política industrial?¿Cuanta inversión pública?

Creación de las instituciones adecuadasLas instituciones influyen en los procesos de asignación de los recursos escasos

Progreso tecnológico¿Cómo fomentarlo?

Modelo de desarrollo endógenoEn el modelo de Solow son los rendimientos decrecientes de la función de producción los que conducen al estado estacionario, pero ¿qué ocurre si no tuviéramos rendimientos decrecientes?Supongamos una función alternativa como Y= AKEsta función tiene rendimientos constantes, la producción aumenta en A veces lo que se incremente el capitalSi consideramos ahora la acumulación de capital tenemos que

"k = pms Y- !kPero cuando diferenciamos para calcularlo tenemos que

"k/k = pms A- !Pero ahora nada asegura que pms A sea menor que ! y entonces si pms A > ! la renta crecerá de manera indefinida con el aumento de K

La pregunta ahora es ¿Puede el capital no tener rendimientos decrecientes?

La respuesta es: depende del tipo de capital

El capital físico si los tiene

Una concepción más amplia que incluyera

el conocimiento en el capital permitiría escapar a los rendimientos decrecientes

El conocimiento, además de ser un factor de producción importantes, constituye una parte importante de la de la producción, no estaría sujetos a los rendimientos decrecientes.