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TEMA 5. MOVIMIENTO ONDULATORIO 1.- INTRODUCCIÓN 2.- TIPOS DE ONDAS 3.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE UNA ONDA 4.- ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA 5.- CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS DE LAS ONDAS 6.- PRINCIPIO DE HUYGENS. 7.- INTERFERENCIA. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.ONDAS ESTACIONARIAS 8.- EFECTO DOPPLER 9.- SONIDO COMO EJEMPLO DE ONDAS LONGITUDINALES 10.- CONTAMINACIÓN ACÚSTICA TRABAJO: Aplicaciones tecnológicas del sonido. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 1. Asociar el movimiento ondulatorio con el movimiento armónico simple. CMCT, CAA. 2. Identificar en experiencias cotidianas o conocidas los principales tipos de ondas y sus características. CSC, CMCT, CAA. 3. Expresar la ecuación de una onda en una cuerda indicando el significado físico de sus parámetros característicos. CCL, CMCT, CAA. 4. Interpretar la doble periodicidad de una onda a partir de su frecuencia y su número de onda. CMCT, CAA. 5. Valorar las ondas como un medio de transporte de energía pero no de masa. CMCT, CAA, CSC. 6. Utilizar el Principio de Huygens para comprender e interpretar la propagación de las ondas y los fenómenos ondulatorios. CEC, CMCT, CAA. 7. Reconocer la difracción y las interferencias como fenómenos propios del movimiento ondulatorio. CMCT, CAA. 8. Emplear las leyes de Snell para explicar los fenómenos de reflexión y refracción. CEC, CMCT, CAA. 9. Relacionar los índices de refracción de dos materiales con el caso concreto de reflexión total. CMCT, CAA. 10. Explicar y reconocer el efecto Doppler en sonidos. CEC, CCL, CMCT, CAA. 11. Conocer la escala de medición de la intensidad sonora y su unidad. CMCT, CAA, CCL. 12. Identificar los efectos de la resonancia en la vida cotidiana: ruido, vibraciones, etc. CSC, CMCT, CAA. 13. Reconocer determinadas aplicaciones tecnológicas del sonido como las ecografías, radares, sonar, etc. CSC.

1.1. Determina la velocidad de propagación de una onda y la de vibración de las partículas que la forman, interpretando ambos resultados. 2.1. Explica las diferencias entre ondas longitudinales y transversales a partir de la orientación relativa de la oscilación y de la propagación. 2.2. Reconoce ejemplos de ondas mecánicas en la vida cotidiana. 3.1. Obtiene las magnitudes características de una onda a partir de su expresión matemática. 3.2. Escribe e interpreta la expresión matemática de una onda armónica transversal dadas sus magnitudes características. 4.1. Dada la expresión matemática de una onda, justifica la doble periodicidad con respecto a la posición y el tiempo. 5.1. Relaciona la energía mecánica de una onda con su amplitud. 5.2. Calcula la intensidad de una onda a cierta distancia del foco emisor, empleando la ecuación que relaciona ambas magnitudes. 6.1. Explica la propagación de las ondas utilizando el Principio Huygens. 7.1. Interpreta los fenómenos de interferencia y la difracción a partir del Principio de Huygens. 8.1. Experimenta y justifica, aplicando la ley de Snell, el comportamiento de la luz al cambiar de medio, conocidos los índices de refracción. 9.1. Obtiene el coeficiente de refracción de un medio a partir del ángulo formado por la onda reflejada y refractada. 9.2. Considera el fenómeno de reflexión total como el principio físico subyacente a la propagación de la luz en las fibras ópticas y su relevancia en las telecomunicaciones. 10.1. Reconoce situaciones cotidianas en las que se produce el efecto Doppler justificándolas de forma cualitativa. 11.1. Identifica la relación logarítmica entre el nivel de intensidad sonora en decibelios y la intensidad del sonido, aplicándola a casos sencillos. 12.1. Relaciona la velocidad de propagación del sonido con las características del medio en el que se propaga. 12.2. Analiza la intensidad de las fuentes de sonido de la vida cotidiana y las clasifica como contaminantes y no contaminantes. 13.1. Conoce y explica algunas aplicaciones tecnológicas de las ondas sonoras, como las ecografías, radares, sonar, etc.

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1.- INTRODUCCIÓN

Existen en la naturaleza muchos fenómenos de los cuales se dice ``tienen naturaleza ondulatoria'' pero ¿qué es exactamente una onda? ¿Qué propiedades tienen? ¿Cómo se puede formalizar una expresión matemática de un fenómeno ondulatorio?. Estas y otras cuestiones son el tema objeto de esta unidad. Podemos definir a una onda de la siguiente manera: Una onda es la propagación de una perturbación física que transmite energía y momento lineal, sin transporte de materia. En las ondas materiales las partículas concretas que componen el material no se propagan, sino que se limitan a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. No obstante cuando una onda se transmite por dicho material se produce una sincronización de oscilaciones entre las distintas partículas componentes del medio que posibilita la propagación de un momento lineal y una energía.

http://iris.cnice.mec.es/fisica/index2.php

2.- TIPOS DE ONDAS

Podemos establecer criterios de clasificación de las ondas. Algunos serían: - Según el medio por el que se propaguen.

- Ondas que requieren medio material para propagarse. Ejemplo, el sonido. Éstas se denominan ondas materiales. - Ondas que no requieren un medio material denominadas ondas electromagnéticas. Ejemplo, la luz.

http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/index.html#

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- Según el número de dimensiones que involucran. - Unidimensionales. Ejemplo, la propagación del movimiento en una cuerda. - Bidimensionales. Ejemplo, olas en la superficie de un líquido. - Tridimensionales. Ejemplo, el sonido normal.

- Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación.

- Transversales. Son aquellas ondas en las cuales la oscilación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo en una cuerda normal y tensa la onda se propaga de izquierda a derecha (en cierto caso particular) pero, en cambio, la oscilación de un punto concreto de la cuerda se produce de arriba a abajo, es decir, perpendicularmente a la propagación. - Longitudinales. En este tipo la propagación es paralela a la oscilación. Como ejemplo, si apretamos un muelle las espiras oscilan de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, paralelas en cualquier caso a la dirección de propagación.

http://iris.cnice.mec.es/fisica/index2.php 3.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE UNA ONDA Entre las magnitudes fundamentales de una onda que permitirán su caracterización tenemos:

- Periodo T es el tiempo que dura un ciclo completo. - La longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de vibración. - La velocidad de propagación v es la distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Si consideramos el lapso de tiempo de un pulso, el tiempo será T y la distancia recorrida λ:

fT

v ·λλ==

http://iris.cnice.mec.es/fisica/index2.php

La velocidad de las ondas materiales depende del medio por el que se transmitan. Así,

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Velocidad de propagación en los sólidos:

E = módulo de Young o elasticidad de volumen (N/m2 ó Pa) d = densidad del sólido

Velocidad de propagación en los líquidos:

Q = módulo de compresibilidad del líquido (N/m2 ó Pa) d = densidad del líquido

Velocidad de propagación en los gases:

γ = coeficiente adiabático (γ (aire) = 1’4) P = presión del gas (Pa) R = constante universal de los gases (8’314 J/K·mol) M = masa molar del gas

d = densidad del gas Velocidad de propagación por una cuerda:

T = Tensión de la cuerda (N) µ = Densidad lineal (kg/m)

Respecto a las ondas electromagnéticas, todas se propagan por el vacío con la misma velocidad: 3·108 m/s. - La frecuencia f, es el número de pulsos por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el hertzio (Hz)

- Pulsación ω vale 2πf. wf

T π21==

- Número de onda: k corresponde al número de longitudes de onda que hay presentes

en una longitud determinada. λπ2

=K

4.- ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA

Las ondas armónicas son aquellas que pueden ser descritas utilizando funciones seno o coseno. Si consideramos una perturbación en un punto según la ecuación del movimiento armónico simple Y(t) = A sen ω t; donde A es la amplitud y ω = 2πf, que se propaga en una dirección, transcurrido un tiempo t' se habrá propagado una distancia x = v t', donde v es la velocidad de propagación.

[ ] ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−=λππ xwtsenA

vTxwtsenA

vxtwsenAttwsenAtxy 2·

·2···´)·(·),(

dEv =

dQv =

dP

dTRv ··· γγ==

µTv =

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y recordando la definición del número de onda, queda: ( )kxwtsenAtxy −= ·),( que es la ecuación del movimiento ondulatorio. Conviene subrayar que la función Y(x,t) puede representar cualquier propiedad que se propague, ya sea una altura (ondas de agua), presión del aire (sonido), o campo eléctrico (ondas electromagnéticas). Al término ω t - k x se le llama fase. En el instante t = 0 y en el origen x = 0, la elongación Y no tiene porque ser cero; hay que introducir un valor, la fase inicial oϕ , de modo que la ecuación general queda así:

( )okxwtsenAtxy ϕ+−= ·),( Se dice que dos puntos están en fase si su diferencia de fase ∆ϕ = 2π, o un número par por π. Si su diferencia de fase es π o un número impar por π, se dice que están en oposición de fase.

πϕ ··2 n=Δ à en fase πϕ )·1·2( +=Δ n à en oposición de fase.

Esta ecuación presenta una doble periodicidad temporal y espacial que será muy útil estudiar. Esta periodicidad responde a la propia función seno que es una función periódica. La primera periodicidad la encontramos al observar la función en un instante de tiempo cualquiera. Observamos, de esta forma, que existen puntos del medio que se encuentran en la misma fase separados una distancia igual a la longitud de onda. Esta distancia es la que se repite periódicamente.

La segunda periodicidad se observa al tomar un punto fijo alcanzado por la onda e ir variando el tiempo. Este punto realizará un movimiento armónico simple repitiendo su posición transcurrido siempre el mismo tiempo denominado periodo.

5.- CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS DE LAS ONDAS

Energía del movimiento ondulatorio. La energía total de una partícula m vibrando será la suma de la energía cinética y potencial: Recordamos que K = m·w2

E = Ec + Ep = ½ m v2 + ½ k y2 = ½ m v2 + ½ m w2 y2 Para la máxima elongación v = 0 e y = A. Entonces la energía cinética será nula y toda la energía de dicha partícula vibrando será potencial:

E = ½ m w2 A2 = 2 m 2π f2 A2 Es decir la energía de una partícula vibrante depende de la amplitud al cuadrado y la frecuencia al cuadrado. Esta energía será la que se transmita al propagarse la onda.

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Intensidad de una onda La intensidad de una onda en un punto es la energía que atraviesa la unidad de superficie por unidad de tiempo en ese punto. Se mide en W/m2. Si un foco puntual emite una potencia Po en todas direcciones, la potencia a una distancia r del foco se tendrá que repartir en una superficie esférica 4πr2 , por lo que la intensidad a una distancia r valdrá:

2··4 rP

I o

π=

es decir I disminuye con el cuadrado de la distancia. - Atenuación de una onda. Tenemos, entonces, que una causa por la que se ve disminuida la Intensidad de una onda es la distancia a la que nos encontremos del foco de emisión de dicha onda. Esta disminución de la intensidad se denomina Atenuación. Podemos comparar las intensidades de una misma onda esférica en dos puntos distintos colocados a diferente distancia del foco. Definimos onda esférica como aquella en la que el frente de onda (conjunto de puntos del espacio que son alcanzados por la perturbación al mismo tiempo) tiene geometría esférica. Al considerar ondas esféricas observamos la íntima relación entre la intensidad y la amplitud:

- Intensidad en el frente 1 de onda:

dtrAfdrr

dtrAfdV

dtrAfdm

dtsdE

I···4

······4··2···4·····2

···4····2

· 21

21

2221

21

21

221

21

21

221

1

11 π

ππρ

π

πρ

π

π====

dtdrAfI ·····2 2

122

1πρ

=

- Intensidad en el frente 2 de onda:

dtrAfdrr

dtrAfdV

dtrAfdm

dtsdEI

···4······4··2

···4·····2

···4····2

· 22

22

2222

22

22

222

22

22

222

2

22 π

ππρππρ

ππ

====

dtdrAfI ·····2 2

222

2πρ

=

Dividiendo miembro a miembro, nos queda: 22

21

2

1

AA

II= y

teniendo en cuenta que 21

22

22

21

rr

AA

= llegamos a la expresión:

Lo cual nos indica que:

- La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.

- La intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda.

A medida que la onda se aleja del centro emisor, su intensidad disminuye, debido, como hemos comentado antes, debido a la atenuación.

21

22

22

21

2

1

rr

AA

II

==

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- Absorción de una onda

Otra causa por la que se ve disminuida la intensidad de la onda a medida que se propaga es por la pérdida de energía debido al rozamiento con el medio de propagación, viscosidad de dicho medio, etc. Parte de la energía emitida por el foco es absorbida por el medio por el que se propaga la onda y, por tanto, la onda se va debilitando. Este fenómeno se conoce con el nombre de Absorción. Se verifica experimentalmente, que la variación de intensidad que sufre una onda al atravesar un espesor dx de cierto material, es proporcional a la intensidad de la onda, a la distancia atravesada, pero también, a una constante que depende de las características del medio denominada coeficiente de absorción del medio.

dxIdI ··β−=

donde el signo negativo indica que la intensidad disminuye a medida que aumenta el espesor (dx) a atravesar. Al integrar la expresión anterior obtenemos: x

o eII β−= · El decrecimiento de la intensidad con el espesor es entonces, de forma exponencial.

FENÓMENOS ONDULATORIOS

Los procesos en los cuales intervienen ondas dan lugar a una serie de fenómenos especiales, dada la naturaleza particular de las ondas, que son de interesante estudio, y que explican muchas de las asombrosas propiedades que tienen tanto la luz como el sonido. Explicaremos en este tema el fenómeno de superposición de ondas para explicar la interferencia y el caso particular de las ondas estacionarias. Es estudio de otros fenómenos ondulatorios (reflexión, refracción, difracción y polarización) lo dejaremos para la siguiente unidad donde se trata en profundidad la naturaleza ondulatoria de la luz. 6.- PRINCIPIO DE HUYGENS El principio de Huygens es una herramienta útil y bastante sencilla para entender muchos de los extraños procesos que suceden relacionados con las ondas. Básicamente este principio explica cómo tiene lugar la propagación de una onda: cuando cada uno de los puntos de un medio material es alcanzado por una onda, este punto se vuelve a comportar como un foco emisor de ondas, creando una serie de ondas

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secundarias. El resultado global de todos estos puntos emitiendo ondas a la vez será la de un nuevo frente de ondas similar al anterior, con lo que la onda se ira propagando sucesivamente. Esta forma de interpretar la propagación de las ondas resulta adecuada en el caso de las ondas materiales, en las que las vibraciones de las partículas del medio se transmiten de unas a otras, pero carece de significado físico si consideramos las ondas electromagnéticas que se propagan por el vació. También, si somos rigurosos con la idea de que cada punto del medio alcanzado por una onda se convierte en foco emisor de ondas secundarias, habría que admitir la propagación hacia atrás, que realmente no se observa. Una modificación posterior del principio de Huygens, debida a Kirchoff, permite resolver estos defectos: por un lado, modifica el enunciada original, de modo que el principio puede aplicarse a cualquier tipo de onda, y por otro, establece que las ondas de retroceso poseen energía nula, y por tanto no existen. Las dificultades matemáticas añadidas que suponen estas modificaciones harán que aceptemos sin más los resultados obtenidos por Huygens. 7.- INTERFERENCIA ENTRE ONDAS Definiremos interferencia como la superposición de dos ondas en un mismo punto del medio por el que se propagan. Este fenómeno se caracteriza por la propagación posterior de las ondas sin sufrir modificaciones. Para explicar qué sucederá haremos referencia al Principio de Superposición. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El principio de superposición establece que “cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la suma de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado”. Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva; cuando lo que ocurre es que la perturbación resultante es menor que las originales, se habla de interferencia destructiva. Vamos a utilizar el principio de superposición para estudiar algunos casos sencillos de interferencia entre ondas.

http://platea.cnice.mecd.es/~cpalacio/ondas2.htm

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El caso más sencillo que podemos estudiar es aquel en el que interfieren en un punto dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual dirección de vibración. Supongamos, por ejemplo, que un punto P está situado a una distancia x1 del foco de una onda armónica y a una distancia x2 del foco emisor de otra onda armónica de igual frecuencia. Si las amplitudes de esas dos ondas son distintas, las correspondientes ecuaciones de propagación para ese punto será:

)2222

1111

()(

θ

θ

+−⋅=

+−⋅=

kxwtsenAykxwtsenAy

Para facilitar los cálculos, supongamos que 021 ==θθ . Si hacemos ahora

2211 ; ϕϕ =⋅−=⋅− xkxk Las expresiones anteriores quedan en la forma:

)()(

222

111

ϕ

ϕ

+⋅=

+⋅=

wtsenAywtsenAy

De acuerdo con lo que establece el principio de superposición, el movimiento resultante de estos dos movimientos es su suma: 21 yyy += El resultado que obtenemos de esta suma es otro movimiento ondulatorio armónico:

)( 0ϕ+⋅= wtsenAy En esta expresión:

)cos(2 212122

21 ϕϕ −⋅⋅++= AAAAA

2211

22110 coscos ϕϕ

ϕϕϕ

⋅+⋅

⋅+⋅=

AAsenAsenA

arctg

El valor máximo de A se obtiene para 1)cos( 21 =−ϕϕ Lo que ocurre cuando )(221 Nnn ∈∀⋅=− πϕϕ

En este caso: 212

212122

21max )(2 AAAAAAAAA +=+=++=

Recordando las expresiones de 21 ϕϕ y , se obtiene:

)(22 1212 xxn −==−λπ

πϕϕ

En esos casos, la interferencia que se produce es constructiva y a los puntos en que se obtiene la amplitud máxima se les denomina vientres de la onda resultante:

)()( 12 Nnnxx ∈∀⋅=− λ

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21max AAA += Análogamente, el valor mínimo para la amplitud resultante se obtiene si:

1)cos( 21 −=−ϕϕ Es decir, cuando πϕϕ )12(21 +=− n ( )( Nn∈∀ Por tanto,

)(2)12( 12 xxn −==+λπ

π

En estos casos la interferencia que se produce es destructiva. A los puntos en los que la amplitud es mínima

21min AAA −= Se los denomina nodos de la onda resultante. La amplitud mínima puede llegar a ser nula si A1 = A2.

http://www.walter-fendt.de/ph11s/interference_s.htm

- ONDAS ESTACIONARIAS. Cuando interfieren dos ondas armónicas de la misma naturaleza, frecuencia, amplitud y dirección de propagación, aunque de sentidos opuestos, se producen ondas estacionarias. Estudiaremos este fenómeno a partir de la propagación de una onda por una cuerda.

- Cuerda con ambos extremos fijos:

Si suponemos dos ondas armónicas unidireccionales que se propagan sobre el eje de abscisas y las dos ondas vibran en fase y que, para ambas, la fase inicial es nula, entonces las ecuaciones del movimiento resultan

)()(

2

1

wtkxsenAywtkxsenAy

−⋅=

+⋅=

El movimiento resultante sobre el eje de abscisas es, de acuerdo con el principio de superposición:

)()(21 wtkxsenAwtkxsenAyyy −⋅++⋅=+= Si hacemos ahora: ;wtkxa += wtkxb −=

Y tenemos en cuenta que: 22

cos2 basenbasenbsena +−=+

))(12(2

)( 12 Nnnxx ∈∀+=−λ

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Al sustituir y operar obtenemos la expresión que corresponde a la ecuación del movimiento para una onda estacionaria:

)()·cos(222

22cos2

2)()(

2)()(cos2

twxksenAkxsenwtAy

wtkxwtkxsenwtkwwtkwAy

⋅⋅⋅⋅=⋅=

−++−−+⋅=

La ecuación anterior la podemos escribir en la forma: )cos()´( twxAy ⋅⋅= En la que la amplitud A´(x) es función periódica de la posición:

)(2)´( xksenAxA ⋅⋅= Como vemos, la amplitud con que oscila cada punto depende de la posición. Sin embargo, la frecuencia con que oscilan es la misma para todos los puntos que vibran, además con la misma fase sen (wt), aunque con distinta amplitud y, por tanto, con distinta elongación.

La amplitud máxima se produce cuando: 2)12(1)( π

+=⇒±= nkxkxsen

De donde resulta 4

)12(2

)12(2 λπλπ

⋅+=⇒⋅+=⋅ nxnx VIENTRE

La amplitud máxima se produce en puntos cuya distancia al origen es un número semientero de longitudes de onda. Esos puntos se denominan vientres de la oscilación. La amplitud mínima se produce cuando:

πnkxkxsen =⇒= 0)(

Es decir, cuando 2

2 λπ

λπ nxnx =⇒= NODO

La amplitud mínima se produce en puntos cuya distancia al origen es un número impar de cuartos de longitudes de onda. Esos puntos se denominan nodos de la oscilación.

- Cuerda fija por un solo extremo: En este caso, la ecuación de la onda estacionaria será: )()·cos(2 twsenxkAy ⋅⋅⋅=

En este caso la condición de vientre se verifica en los puntos en los que: 2λnx =

Y la condición de nodo se verifica en los puntos en los que: 4

)12( λ⋅+= nx

NODOS

VIENTRES

Tanto si la cuerda está fija por ambos extremos como si sólo está fija por un solo extremos, ocurre que, para que se puedan producir ondas estacionarias en una cuerda, la longitud de esta ha de contener un número entero de semilongitudes de onda:

2λ⋅= nL

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Las posibles longitudes de onda han de cumplir: nL⋅= 2λ

Recordando la relación que existe entre longitud de onda y frecuencia Lvnvf2

==λ

Donde v es la velocidad de propagación. A cada una de las frecuencias de vibración que dan lugar a las ondas estacionarias se denominan frecuencias de resonancia. De todas ellas, denominamos frecuencia fundamental de vibración a la más baja:

Lvf2

= (n=1)

Este estado de vibración recibe el nombre de primer armónico. Es segundo armónico se produce para una frecuencia doble de la frecuencia fundamental, y así sucesivamente. Esta es la razón fundamental de la existencia de los instrumentos de cuerda, como por ejemplo una guitarra. Como la frecuencia de la oscilación se propaga por el aire y se escucha como sonido, tendremos que podemos variar la nota bien cambiando la longitud de la cuerda L, por ejemplo, poniendo el dedo sobre un traste y acortando esta longitud en cierta cantidad determinada, o bien variando la velocidad de propagación de la onda en la cuerda, que dependía de la tensión y la densidad: es decir, bien afinando la guitarra, es decir, aumentando y disminuyendo la tensión de la cuerda, o bien variando la densidad de la cuerda poniendo una primera en vez de una segunda, o una tercera, etc. . .

http://members.tripod.com.co/fisica2um/Actividades/ACTIVIDADES_Cap3/ACT_N11/estacionarias.html

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Habrá, pues, tantos armónicos (o modos de vibración) como posibles valores de n, es decir, infinitos. La frecuencia no varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendo valores que se diferencia en v/2L. Podemos afirmar que estas ondas están cuantizadas, siendo ello consecuencia de las condiciones de contorno.

http://members.tripod.com.co/fisica2um/Actividades/ACTIVIDADES_Cap3/ACT_N10/estacionarias.html Observamos una conclusión importante: si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos que permanecen en reposo, es imposible transmitir energía más allá de esos nodos, por lo que la onda estacionaria no es una onda viajera; de ahí el nombre de estacionaria. La energía no se propaga por la cuerda. 8.- EFECTO DOPPLER Un fenómeno particular que ocurre cuando entre la fuente de la onda y el observador existe un movimiento relativo se denomina Efecto Doppler. En este caso, el observador detecta una frecuencia distinta de la frecuencia de emisión, denominada frecuencia aparente. Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia el otro, la frecuencia escuchada por el observador es mayor que la frecuencia de la fuente. Cuando la fuente y el observador se mueven alejándose uno del otro, el observador escucha una frecuencia que es menor que la frecuencia emitida por la fuente.

- Observador fijo: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Fvvvff∓

·´

- Foco fijo: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=

vvv

ff o·´

- Foco y observador móviles: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±=

F

o

vvvv

ff∓

·´

Este efecto es el que nos permite afirmar que el universo está en expansión, es decir, para cualquier astro en el universo, todos los demás se están alejando de él. Esto es debido a que la luz que nos llega presenta desviación hacia el rojo en el rango de las ondas electromagnéticas, es decir, hacia longitudes de onda mayores y por tanto, frecuencias menores. Según el efecto Doppler, esto es lo que ocurre cuando la fuente de luz y el observador se alejan mutuamente.

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9.- SONIDO COMO EJEMPLO DE ONDAS LONGITUDINALES. El sonido es un movimiento vibratorio longitudinal que se propaga en un medio elástico y como tal, goza de todas las propiedades de las ondas mecánicas. Así, tal como ya hemos comentado, las ondas sonoras no se propagarán por el vació. Sin embargo, a diferencia de las ondas transversales, que solo se propagan por los sólidos, las ondas sonoras se propagan por cualquier medio, sólido o fluido, ya que son longitudinales. Un foco sonoro origina al vibrar variaciones de presión en el medio elástico en que vibra. Esas variaciones de presión son las que, propagándose por dicho medio, alcanzan el oído humano y provocan en el tímpano vibraciones de idéntica frecuencia, originando, a través del cerebro, una sensación sonora. En el sonido caben distinguir tres cualidades: intensidad, tono y timbre. INTENSIDAD: ya hemos definido la intensidad como la energía transmitida por la onda a través de la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propagación en la unidad de tiempo que para una onda mecánica es:

vAwI ⋅⋅⋅= 22

21ρ

La intensidad de la onda, I, es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. La intensidad se mide normalmente en W/cm2. Las intensidades máxima y mínima que el oído humano puede tolerar son del orden de 10-4 y 10-16 W/cm2, respectivamente. Estos valores dan idea, por un lado, de la gran sensibilidad de nuestro oído, y por otro, de la pequeñez de la energía transmitida por las ondas sonoras. TONO: Es la cualidad del sonido asociada a su frecuencia y que distingue, por ejemplo, las notas musicales emitidas por un instrumento. Los tonos se clasifican como graves (baja frecuencia) y agudos (alta frecuencia). Como unidad e tono se toma el Hz. El oido humano percibe únicamente aquellos tonos comprendidos entre 20 y 20.000 Hz. Los sonidos con frecuencia superior a 20000 Hz reciben el nombre de ultrasonidos, y los de frecuencia inferior a 20 hz infrasonidos. TIMBRE: Permite distinguir dos sonidos en los que intensidad y frecuencia son iguales, pero que han sido emitidos por focos distintos (la misma nota emitida por dos instrumentos diferentes). La explicación del timbre de un sonido reside en el hecho de que, en general, los sonidos consisten en ondas periódicas no sinusoidales que, de acuerdo con el teorema de Fourier, pueden descomponerse en suma de funciones sinusoidales con amplitudes y fases perfectamente definidas, y cuyas frecuencias se encuentran en la proporción 1, 2, 3,..., n, Matemáticamente:

...)3()2()(),( 332211 ++++++= ϕϕϕ wtsenAwtAwtsenAtxy El primer término se denomina tono fundamental y los sucesivos reciben el nombre de armónicos del fundamental. Por tanto, el timbre de un sonido depende del numero de sus armónicos que acompañan al fundamental, sus amplitudes y frecuencias, y de demuestra que no depende del desfase.

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Un oído educado puede apreciar que una nota producida por un instrumento musical, no es una nota simple, es decir, que simultáneamente con ella se emiten un conjunto de sonidos más débiles, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la nota fundamental. Son los armónicos los que hacen agradable un sonido musical, ya que una nota pura, sin armónicos, resulta generalmente desagradable y puede decirse, de forma general, que resultan agradables los sonidos en los que el tono fundamental impera sobre los sonidos mas débiles. Ahora bien, existe una diferencia entre la intensidad sonora definida, inherente a la propia onda, y la sensación sonora a que dan lugar en el oído. La sensación sonora que percibe el oído humano depende de dos variables: - La frecuencia de la onda sonora que, como hemos señalado, para que sea audible debe estar comprendida entre 16 Hz y 20.000 Hz. - La intensidad de la onda sonora, cuya relación con la sensación sonora depende de la frecuencia. Para cada frecuencia podemos definir una intensidad mínima, por debajo de la cual no se produce sensación sonora y que delimita el umbral de audición. También podemos definir una intensidad máxima, por encima de la cual el oído experimenta una sensación dolorosa. Esta intensidad define, por tanto, el umbral de dolor. Para establecer una escala de sensaciones sonoras ligada a la intensidad física, la ley psico-física de Weber-Fechner establece que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

00 log

IIkSS

siendo S la sensación correspondiente al estimulo de intensidad I, So la sensación correspondiente al estimulo de intensidad patrón Io, y K una cte. Si se toma Io como la intensidad correspondiente al umbral de sensación sonora (So=0) y k igual a la unidad, puede escribirse

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

logIIS

que define una escala de sensaciones sonoras cuyo valor unidad, S1 = 1, corresponde a una intensidad sonora diez veces igual al valor umbral. Esta unidad se denomina bel, y se toma como valor umbral, Io, el definido anteriormente (10-16 W/cm2). Como el bel resulta una unidad demasiado grande, en la práctica se usa el decibel o decibelio, de modo que queda

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

0

log10IIS

La sensación sonora también podemos expresarla en función de la distancia, d, a que nos encontramos del foco sonoro. Para ello, basta recordar que:

2

20

0 dd

II=

y, por tanto, )(log20 0 dbdd

S ⋅=

En este caso, la distancia umbral es aquella para la que la sensación sonora, So, es nula. A una distancia del foco mayor que la distancia umbral, el sonido no se oye.

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La intensidad umbral, Io, varia con la frecuencia del sonido, lo que hace que disminuya la importancia del decibel como unidad de sensación sonora. Para evitar ese problema, se define el fon. La sensación sonora, el fon, de un sonido de frecuencia cualquiera se corresponde con los decibel de otro sonido, de 1000 hz, que produce en nuestro oído la misma sensación sonora. La intensidad umbral para un sonido de 1000 Hz es 10-16 W/cm2. Por tanto, la sensación sonora, expresada en fon, es:

1610

log10−

⋅=IS (fon)

Si un sonido de 4000 hz de frecuencia produce una sensación sonora de 75 fon, ello quiere decir que produce la misma sensación sonora que un sonido de 1000 hz de frecuencia cuya sensación sonora sea 75 db. La respuesta auditiva del oído humano en función de la intensidad de la onda sonora y de su frecuencia nos permite representar en un diagrama el campo de audición. Los resultados que se obtienen al realizar las medidas de sonoridad para un oído sano en toda la gama de frecuencias audibles proporcionan una familia de curvas de igual sensación, medida en fon. En ella se representa cada sonido por medio de un punto cuya abscisa es la frecuencia en hz y cuya ordenada es su intensidad, expresada en W/m2. Se observa que las escalas en que se miden la frecuencia y la intensidad de la onda sonora son logarítmicas: cada unidad es diez veces superior a la anterior; los valores crecen en progresión geométrica, siendo la razón de la progresión igual a 10.

La curva inferior, de 0 fon, corresponde a aquellos sonidos cuya sensación sonora es nula. Por su parte, la curva superior, de 120 fon, es la que corresponde a sonidos que producen en el oído una sensación dolorosa.

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De acuerdo con ello, tan solo resulta posible oír aquellos sonidos cuya sensación sonora esta comprendida entre 0 y 120 fon. El intervalo entre las intensidades sonoras a que corresponden el umbral de audición y el umbral de dolor varía en gran medida. La sensación dolorosa de 120 fon se produce a 1000 hz cuando la sensación sonora es 120 db:

dbdbS 120101log10 12 =⋅=−

Sin embargo, a 40 hz, la sensación dolorosa de 120 fon se produce cuando la sensación sonora es tan solo:

dbdbS 711068log10 7 =⋅

⋅=−

10.- CONTAMINACIÓN ACÚSTICA. De acuerdo con la ley de Weber-Fechner, la sensación sonora experimentada por el oído humano es función del estimulo preexistente. Los estímulos sonoros en la vida cotidiana varían en intensidad a lo largo del tiempo, pudiendo establecerse un nivel sonoro tipo el cual sirve para comparar las distintas variaciones que se produzcan. Lógicamente, este nivel sonoro será superior durante el día que durante la noche. Hasta 1972, en el Congreso de Medio Ambiente de Estocolmo, no se consideró el ruido como un agente contaminante. Al hablar de contaminación acústica nos referimos a aquellas sensaciones sonoras que sobrepasan de tal modo el nivel basal admisible que pueden llegar a afectar a corto o largo plazo la salud de las personas. Hay dos tipos de sensaciones sonoras incluidas en este concepto de contaminación acústica: - picos sonoros: incrementos breves y muy acusados sobre el nivel basal. Son especialmente dañinos durante la noche, cuando el nivel basal es menor. - ruidos prolongados sobre el nivel basal: se trata, por ejemplo, de lo que acontece en determinados lugares de trabajo de ambiente ruidoso, ya sea por el uso de maquinaria de elevado nivel acústico u otros motivos. En este caso no solo es importante la magnitud de la intensidad sonora, sino, principalmente, su duración. En general, el ruido consiste en una mezcla de un gran numero de frecuencias sin ninguna relación entre si. Para medir el ruido utilizamos un sonómetro. Se trata de un aparato que mide, con ayuda de un micrófono, la energía que posen las ondas sonoras que se propagan por el medio, y que, a partir de esa medida, proporciona la intensidad sonora, en decibelios. Como sabemos, la intensidad sonora, medida en decibelios, permite, de forma sencilla, cuantificar la molestia que supone determinado ruido. Si todas las frecuencias tienen la misma amplitud, el resultado es lo que se llama ruido blanco. Se ha encontrado que el ruido blanco tiene efecto relajante.

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Entre los efectos nocivos del ruido excesivo están: - provoca la pérdida gradual de la audición e interfiere en el sueño y capacidad de concentración. - puede originar alteraciones fisiológicas en el sistema cardiovascular (aumento de la tensión arterial, alteraciones del ritmo cardiaco). - Puede provocar trastornos en el aparato digestivo y aumento de secreción de adrenalina (conducta más agresiva). - daña el sistema nervioso. Las medidas que tienden a mitigar la contaminación sonora son: - usar, en ciertas profesiones, protectores del oído (audífonos). - planificar las vías de mayor circulación fuera de las zonas residenciales. - insonorizar los edificios. - instalar barreras acústicas (pantallas antirruidos y plantaciones densas de arboles) en zonas de mucho trafico rodado. - propiciar una educación ambiental que fomente el gusto por el silencia y por los sonidos naturales y musicales.

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MOVIMIENTO ONDULATORIO Velocidad de propagación:

fT

v ·λλ==

Velocidad de propagación en los sólidos:

E = módulo de Young o elasticidad de volumen (N/m2 ó Pa) d = densidad del sólido

Velocidad de propagación en los líquidos: Q = módulo de compresibilidad del líquido (N/m2 ó Pa) d = densidad del líquido

Velocidad de propagación en los gases: γ = coeficiente adiabático (γ (aire) = 1’4) P = presión del gas (Pa) R = constante universal de los gases (8’314 J/K·mol) M = masa molar del gas

d = densidad del gas Velocidad de propagación por una cuerda:

T = Tensión de la cuerda (N) µ = Densidad lineal (kg/m)

Relación Periodo-Frecuencia-Pulsación: wf

T π21==

Número de onda: λπ2

=K

Ecuación general de una onda armónica:

( )okxwtsenAtxy ϕ+−= ·),( Diferencia de fase entre dos puntos afectados por una onda armónica:

πϕ ··2 n=Δ à en fase πϕ )·1·2( +=Δ n à en oposición de fase.

Energía de una onda armónica:

E = ½ m w2 A2 = 2 m 2π f2 A2 Atenuación de una onda:

21

22

22

21

2

1

rr

AA

II

==

Absorción de una onda: x

o eII β−= ·

dEv =

dQv =

dP

dTRv ··· γγ==

µTv =

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FENÓMENOS ONDULATORIOS.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

)()(

222

111

ϕ

ϕ

+⋅=

+⋅=

wtsenAywtsenAy

à 21 yyy += à )( 0ϕ+⋅= wtsenAy

)cos(2 2121

22

21 ϕϕ −⋅⋅++= AAAAA

2211

22110 coscos ϕϕ

ϕϕϕ

⋅+⋅

⋅+⋅=

AAsenAsenA

arctg

VIENTRE: )()( 12 Nnnxx ∈∀⋅=− λ NODO: ))(12(2

)( 12 Nnnxx ∈∀+=−λ

ONDAS ESTACIONARIAS:

- Cuerda con ambos extremos fijos:

)()(21 wtkxsenAwtkxsenAyyy −⋅++⋅=+=

)cos()´( twxAy ⋅⋅= à )(2)´( xksenAxA ⋅⋅=

VIENTRE: 4

)12( λ⋅+= nx NODO:

2λnx =

- Cuerda fija por un solo extremo:

)()·cos(2 twsenxkAy ⋅⋅⋅=

VIENTRE: 2λnx = NODO:

4)12( λ⋅+= nx

Frecuencias de resonancia: Lvnvf2

==λ

(Armónicos)

Frecuencia fundamental: Lvf2

=

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NOTA IMPORTANTE: CUANDO UNA ONDA PASA DE UN MEDIO MATERIAL A OTRO, SU FRECUENCIA NO VARÍA.

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