TEMA 5. Funcions 1. Introducció a les funcions S’entén per funció la relació entre dues variables.

Sempre hi ha una variable que podem escollir lliurement, aquesta s’anomena variable

independent, i moltes vegades (però no sempre) s’expressa amb la lletra 𝑥.

L’altra variable en principi no la podem escollir, depèn de l’anterior, i per això s’anomena

variable dependent, moltes vegades s’expressa amb la lletra 𝑦, tot i que també és comú dir-li

𝑓(𝑥) és a dir, funció de x.

Una funció es pot expressar de quatre maneres:

- Mitjançant una fórmula

- Mitjançant una expressió verbal

- Mitjançant una taula de valors

- Mitjançant una gràfica

Exemples de funcions. L’expressió verbal pot ser considerat l’enunciat i pot tenir dades sobre el

context.

Fórmula Expressió verbal Taula de valors Gràfica

y= 4x2 + 2x

La variable 𝑦 és la suma entre quatre vegades el quadrat d’𝑥 i el doble d’𝑥

𝑥 0 1 -1 2

𝑦 0 6 2 20

y = 2x − 4

La variable dependent és quatre menys que el doble de la variable independent

𝑥 0 1 -1 2

𝑦 -4 -2 -6 0

n = 2m + 1 𝑛 és un nombre

que resulta de multiplicar 𝑚 per dos i sumar-li un al resultat

𝑚 0 1 -1 2

𝑛 1 3 -1 5

2. Per a què serveixen les funcions? Les funcions són una eina molt utilitzada en totes les branques de la matemàtica i en la ciència

en general. Gairebé sempre que veiem una gràfica, el que estem observant és una

representació gràfica d’una funció.

Exercici 1. Per a la classe de ciències heu obtingut experimentalment les següents dades al

pesar i veure el volum de peces de ferro de distintes grandàries: [Aquest exercici pot ser

contestat aquí al full]

Volum (dm³)

Massa (kg)

0.05 0.393

0.45 3.537

0.55 4.323

0.8 6.288

1.25 9.825

1.35 10.611

La Rosaura, que és molt eixerida, de seguida se n’ha adonat que aquestes dues variables són

directament proporcionals. Per què ho són?

Llavors s’ha posat a calcular la raó de proporcionalitat. Ajuda-la a calcular-la.

Però, un moment, tot això és del tema 3: raó i proporció, ara hi som al tema 5: funcions. Què té

tot això a veure amb les funcions?

Com ja hem dit, una funció és una relació entre dues variables. La massa i el volum són dues

variables que es poden relacionar, així que podem formar una funció amb elles.

Encara podríem dir més, totes les relacions de proporcionalitat (directa i inversa) sempre es

poden expressar com a funcions!

Per fer la segona part de l’exercici 1 hauràs agafat la massa i l’hauràs dividit pel volum en

qualsevol de les dades:

0.393𝑘𝑔

0.05𝑑𝑚3= 7.86

𝑘𝑔

𝑑𝑚3

4.323𝑘𝑔

0.55𝑑𝑚3= 7.86

𝑘𝑔

𝑑𝑚3

Sempre dóna el mateix que és la raó de proporcionalitat. En el món físic anomenem densitat a

aquest valor, i és una propietat de cada material.

Exercici 2. [Aquest exercici pot ser contestat aquí al full]

a) Què he de fer per a saber la massa d’una barra que ocupa 1 dm³?

b) Què he de fer per a saber la massa d’una barra que ocupa 10dm³?

c) Què he de fer per a saber la massa d’una barra que ocupa 1.25dm³?

d) Què he de fer per a saber la massa d’una barra que ocupa 𝑉dm³?

Amb aquest últim exercici ja estem molt a prop de trobar la nostra funció. Hem trobat un

patró. Anem ara a escriure aquest últim exercici de la següent manera: Utilitzant les lletres que

hem vist al tema anterior: l’àlgebra.

Diem que:

𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 (𝑒𝑛 𝑑𝑚3)

𝑀 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 (𝑒𝑛 𝑘𝑔)

Per tant podem dir que: 𝑀 = 7.86𝑉

Ja tenim la fórmula de la funció. Anem a analitzar les seves parts.

- El volum ( 𝑉 ) és la variable independent. Nosaltres triem aquesta variable.

- La massa ( 𝑀 ) és la variable dependent. Només després d’haver triat un volum podem

calcular la seva massa.

- El 7.86 és una constant. No varia mai en aquesta funció.

Tot seguit farem la resta de representacions de la mateixa funció:

Expressió verbal: La massa ( 𝑀) expressada en kilograms és 7.86 vegades el volum ( 𝑉 )

expressat en dm³

Taula: La taula ja la tenim a l’enunciat!

Gràfica:

Aquesta gràfica no és del tot correcta ja que no té sentit que el volum o la massa siguin

nombres negatius, en aquestos casos el que fem és només representar el primer quadrant de

la gràfica:

Exercici 3: [A la llibreta]

a) Escull un parell de variables d’entre les que s’ofereixen tot seguit:

El costat d’un quadrat i la seva àrea.

El nombre de kilòmetres que fa un cotxe i els litres de gasolina que consumeix.

Consumeix a raó de 0.057 litres cada kilòmetre.

Sabent que les cebes valen 0.78€/kg. Relaciona massa amb el preu.

El preu del parquímetre i les hores d’estacionament. Aquest parquímetre cobra 1€

només per entrar i després cada minut et cobra 5 cèntims.

V (dm³)

M (kg)

V (dm³)

M (kg)

b) Considerem que ja tenim l’expressió verbal, troba la fórmula del parell de variables que has

triat.

c) Digues quina és la variable independent i quina la dependent.

d) Fes una taula de valors. Indica si els valors poden o no ser negatius.

e) Intenta representar els valors de la taula a una gràfica feta a mà. Utilitza els quadres petits

de la llibreta. Si no et surt mira les pàgines següents d’aquest dossier.

3. Com podem fer taules? Les taules es poden fer a partir de qualsevol altra representació d’una funció. El més habitual,

però, és que necessitem fer taules mitjançant la informació donada per una fórmula o una

expressió verbal.

Exemple: Un cotxe que està a 5 metres de la teva casa i va a una velocitat de 4m/s allunyant-se

d’ella. Estudia la funció de la distància del cotxe a casa teva respecte el temps.

Ens han proporcionat un enunciat, és a dir, una expressió verbal. Per fer la taula primer

identifiquem les dues variables i diem quina és la independent i quina la dependent. També és

útil donar-los un nom algebraic (una sola lletra) per a referir-nos a la cada variable. En aquest

cas tenim:

t=temps transcorregut, en segons. Variable independent.

d=distància del cotxe a casa teva, en metres. Variable dependent.

Com a regla general, si el temps està involucrat en una funció, aquesta serà la variable

independent. Normalment ens interessa estudiar un fenomen donat el temps transcorregut i no

a l’inrevés.

Seguidament construïm la taula. Deixant suficient espai per a anar omplint de valors a sota.

Temps transcorregut (t)

Distància a casa teva (m)

Com comencem a omplir valors? Recordem que la variable independent pot ser triada, sempre

que tingui sentit físic, així que podem triar valors que ens facin fàcil esbrinar o calcular la

distància. Per exemple si comencem amb 0 segons. Sabem que a l’inici la distància era de 5 m

així que podem començar a posar els primers valors.

Temps transcorregut (t)

Distància a casa teva (m)

0 5

Què ocorre quan ha passat 1 sol segon. Bé, el cotxe s’està movent a una distància de 4m/s, dit

d’una altra manera, cada segon s’allunya 4 m. Per tant al segon 1 s’ha allunyat 4 metres

addicionals i està a 9 metres. Afegim les noves dades.

Temps transcorregut (t)

Distància a casa teva (m)

0 5

1 9

De segur que no necessites massa explicació per saber que als 2 segons la distància és 13m.

Temps transcorregut (t)

Distància a casa teva (m)

0 5

1 9

2 13

Anem a afegir unes quantes dades més. Esbrina per què són certes. Adona’t que no s’han posat

nombres negatius degut a què el temps transcorregut no els admet.

Temps transcorregut (t)

Distància a casa teva (m)

0 5

1 9

2 13

3 17

5 25

10 45

3. 5 19

2.25 14

4. Com podem fer gràfiques?

4.1 A mà Per poder fer una gràfica hem d’estar en possessió d’una taula. Si no la tenim, l’haurem de fer

en base a la fórmula. Si no es disposa de fórmula i només es disposa d’una expressió verbal

podem provar de construir la taula directament o simplement esbrinar la fórmula.

Seguim amb l’exemple anterior on ja tenim una taula.

Primer pas: Dibuixar els eixos.

Hem de ser curosos i pensar abans de dibuixar-los ja que hi ha gràfics que utilitzen els quatre

quadrants (els positius i els negatius) i n’hi ha que no. Aquesta gràfica només utilitza els

nombres positius i per tant només necessitem el primer quadrant. Per això deixem l’origen de

coordenades (on s’uneixen els eixos) a baix a l’esquerra.

Procureu fer sempre totes les línies possibles utilitzant les guies de la quadrícula, així us sortiran

més acurades. És més important utilitzar les pautes de la quadrícula que no pas el regle.

Segon pas: Etiquetar els eixos.

La variable independent sempre es col·loca a l’eix d’abscisses mentre que la dependent es

col·loca en l’eix d’ordenades.

Una gràfica no és res si no es diu quines variables s’estan relacionant així que etiquetar els

eixos és fonamental. Posarem t(s) que vol dir que la variable és t i les unitats són en segons. De

la mateixa manera posarem d(m).

Tercer pas: Graduar els eixos.

Aquest pas de vegades és difícil perquè hem de previsualitzar la gràfica abans que estigui feta.

En aquest cas, si jo assigno un quadret a cada segon ho estaré fent bé, però si faig el mateix

amb els metres, de seguida me n’adonaré que em falta gràfica per dalt. Com a truc, hem de

mirar el valor més gran de cada variable i intentar que aquest valor ens quedi el més allunyat

possible de l’origen sense que se’n surti de l’espai que anem a donar-li a la gràfica.

Per a aquesta gràfica he posat cada segon separat per dos quadrets en l’eix d’abscisses i 10

metres separats per dos quadrets a l’eix d’ordenades.

Quart pas: Representar els punts de la taula.

Cada punt he de posar-se segons les dues variables.

Cinquè pas: Unir els punts.

Si la funció pot prendre qualsevol valor com és en el cas del temps i de la distància, la funció és

una línia, així que podem unir tots els punts acuradament.

Si s’observa algun punt que està desviat del seu lloc, haurem de mirar la taula i veure si està

mal posat o si realment la funció té aquesta forma.

4.2 Amb eines informàtiques Hi ha molts recursos gratuïts a internet per poder fer gràfics de qualitat. Tot seguit te’n

presento uns quants. L’única cosa que es necessita és tenir la fórmula. En qualsevol d’aquestes

eines, si amb el nom de les variables que heu triat no us fa la gràfica, proveu de donar-li el nom

𝑥 a la variable independent i 𝑦 a la dependent.

- Cercador de google: El propi cercador fa la gràfica si li poses a la barra de cerca la

fórmula.

- Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/graphing] Fa gràfiques i després les pots

moure, observant com canvia la fórmula quan ho fas.

- Mathway: Aquesta eina és com si li enviessis un whatsapp a un professor de mates. De

seguida et dona la resposta que cercaves. Fa les gràfiques i molt més.

- Wolfram|Alpha: Et permet de buscar la gràfica i et diu tota la informació sobre la

fórmula.

Exercici 4. De la funció que has triat en l’exercici 3 fes la gràfica en algun dels programes que

s’han presentat.

5. Característiques de les funcions

5.1 Domini i recorregut. Domini: conjunt de tots els valors que pot prendre la variable independent.

Recorregut: conjunt de tots els valors que pren la variable dependent.

En el cas del problema anterior, el domini són tots els nombres positius i el recorregut, aquells

nombres positius majors o iguals a 5.

Exercici 5. De la funció que has triat en l’exercici 3 indica’n el domini i el recorregut.

5.2 Punts de tall amb els eixos.

Exercici 6: Intenta esbrinar els punts de tall amb els eixos de la següent funció:

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) · (𝑥 − 1)

Recorda que 𝑓(𝑥) és sols una altra manera de dir la variable 𝑦

Si no saps com fer-ho segueix llegint i veuràs com es fa.

Pista 1: El tall en l’eix 𝑋:

Quin és el valor de la variable 𝑦 [o en 𝑓(𝑥)]?

Pista 2: El tall en l’eix 𝑌:

Quin és el valor de la variable 𝑥?

Per a calcular els punts de tall amb l’eix 𝑋, hem de fer que la 𝑦 = 0

Per a calcular els punts de tall amb l’eix 𝑌, hem de fer que la 𝑥 = 0

Fer que la 𝑥 = 0 i obtenir la 𝑦 és tan fàcil com:

𝑦 = (0 + 1) · (0 − 1) = 1 · (−1) = −1

Normalment quan utilitzem la nomenclatura 𝑓(𝑥) el que diem és que cerquem 𝑓(0)

No obstant fer que la 𝑦 = 0 i obtenir la 𝑥 és més complicat:

0 = (𝑥 + 1) · (𝑥 − 1)

Podríem fer la multiplicació però això no ens acosta a la solució:

0 = 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1

Aquí hem obtingut una equació (i una que no és tan fàcil de resoldre). Com resoldre equacions

ho veurem en el següent tema. Però sí que podem esbrinar què val la 𝑥 si raonem una mica.

Com que el resultat ha de ser zero, necessitem dos nombres que multiplicats donin zero. Prova

amb nombres que multiplicats donin zero.

Si ho has fet t’hauràs adonat d’una cosa: només les multiplicacions que tenen algun zero poden

donar zero. Així que o bé

𝑥 + 1 = 0

O bé

𝑥 − 1 = 0

Per tant o bé:

𝑥 = −1

O bé

𝑥 = 1

I aquestos són els valors que cerquem.

Exercici 7: Troba el domini, el recorregut i el punt de tall amb els eixos de les següents funcions:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4

𝑔(𝑥) = 𝑥²

ℎ(𝑎) =𝑎

2− 1

𝑗(𝑎) = 𝑎2 + 𝑎

Si tens problemes, et permet que facis “trampa” i que miris la gràfica primer mitjançant els

programes que hem vist a classe.