Unidad 2 Metodo de Separacion Variales

UNIATLANTICO ECACUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE: JULIO ROMERO

15

CAPITULO II MÉTODOS QUE IMPLICA LA SEPARACIÓN DE VARIABLES EN UNA E.D

2.1 Ecuaciones de primer grado por variables separables Se dice que en una ecuación diferencial se pueden separar sus variables si es posible escribirla de la forma

( ) ( ) ( ) ( )

Multiplicando por el factor

( ) ( )

, se obtiene la expresión:

( )

( )

( )

( )

Lo cual resulta fácil de integrar siendo ( )

( ) una función de la variable y

( )

( )

una función de , sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.

Ejemplo 1. Encontremos la solución de la ecuación diferencial ( ) ( )

Solución: ( ) ( ) (1)

Multiplicando (1) por

( )( ):

(2)

Despejando e integrando (2)

∫

∫

(3)

De la integral

∫

∫

( )( ) ∫ [

]

Por fracciones parciales se obtiene que

( ) ( ) Haciendo uso de los ceros relativos que se obtienen de , y de

, se tiene que Si

( ( )) ( ( ))



16

Y si

( ) ( )

Luego la integral nos queda de la forma

∫

∫[

] ∫ [

]

Sustituyendo en (3)

∫[

] ∫

(

) ( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Donde (

)

Es la solución general de la EDO ( )

( ) Ejemplo 2. Encontremos la solución de la ecuación diferencial

( ) ( ) ( ) Solución:

Dividiendo por el factor ( ) ( ) obtenemos

( )

( )

( )

Y al integrar

∫

( ) ∫

( )

( ) | |

| | | ( )| | |



17

Simplificando

| | | ( )| | |

| ( )|

| | | |

( )

( )

Observe que el factor ( ) y ( ) son cero cuando y ( ) con , al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones,

pero se obtienen de la solución general tomando y , respectivamente. Ejemplo 3. La pendiente de una familia de curvas está dada por:

Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto ( ). Solución: Separando variables

Integrando

∫

∫

| | | | | | Simplificando

|| || || | | ( )( )

Evaluando en el punto ( ) obtenemos que , con lo cual el miembro de la familia buscado es

( )( )

Ejemplo 4. Resolver la ecuación diferencial

Solución: No es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable

.



18

Sustituyendo:

( )

( )

∫ ∫

Reemplazando

Obteniendo así la solución deseada.

2.1.1 Existencia y unicidad Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: Existencia: ¿Existirá una solución al problema ? Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ? Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.



19

Ejemplo 5: Dado el problema de valor inicial

√ , ( )

no resulta difícil comprobar que

es solución, pues separando variables e

integrando obtenemos que

√ √

Y usando la condición inicial ( ) obtenemos que , con lo cual la solución

sería

. Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por √ lo

cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

Teorema

Sea [ ] [ ] tal que ( ) . Si ( ) y

son continuas en

, entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una función ( ) definida en , que satisface el problema de valor inicial

{

( )

( )

Ejemplo 6: En el ejemplo anterior tenemos que ( ) √ y

√ , las

cuales son continuas en el semiplano definido por ; por consiguiente, el

teorema garantiza que para cada punto ( ) con de ese semiplano,

hay un intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

{

√

( )

tiene solución única, mientras que para los problemas en donde ( ) el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.



20

2.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen en ecuaciones de variables separables, como el ejemplo anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

Definición: Funciones homogéneas

Una función se dice homogénea de grado si ( ) ( )

Para todo y todo ( ) .

Ejemplo 7.

1. La función ( ) √ es homogénea de grado .

2. Las funciones ( )

y , ( )

, son homogéneas de

grado 0.

3. Las funciones ( ) , ( ) , ( ) son homogéneas de grado 2.

Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

Definición: Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ( ) , es homogénea si la función ( ), es homogénea de grado cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

( ) ( )

Sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes ( ) y ( ) son funciones homogéneas del mismo grado.



21

Teorema

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden ( )

Es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:

Al hacer la sustitución obtenemos

( )

Pero como ( ) es una función homogénea de grado cero tenemos que

( )

De donde

( )

( )

La cual es separable, como se quería.

Ejemplo 8. Resuelva la ecuación diferencial

( )

La ecuación diferencial es homogénea pues ( ) y ( ) son homogéneas de grado dos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Haciendo la sustitución



22

( ( ) ) ( )( )

( )

(

)

de donde

Integrando y volviendo a las variables a obtenemos

| |

| (

)

|

Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

( ) ( )

Conviene más rescribirla en la forma

( )

( )

y aplicar aquí el cambio de variable .

Ejemplo 9. Resuelva la ecuación diferencial

√

Factorizando

√ (

)



23

Haciendo la sustitución

√

Integrando

( ) | | | |

Sustituyendo y despejando

(

) | |

( | |)

Observación: al dividir por el factor √ se pudo haber perdido algunas

soluciones, pero no es solución y (

)

que son

soluciones singulares.

Ejemplo 10. Resolver por el método de las homogéneas, la siguiente E.D.

(

)

, con ( )

Solución:

( )

, es homogénea de grado 1

( )

, es homogénea de grado 1

Haciendo uso de las sustituciones

Sustituyendo en la E.D

( )

( )



24

O sea que

Separando variables e integrando se obtiene:

| |

La solución general es:

| |

Para obtener la solución particular que pasa por el punto ( ) , se sustituye

y en la solución general

| |

Por tanto, la solución particular es

| |



25

2.3 Ecuaciones de primer grado reducibles a homogéneas

Consideremos la ecuación:

(

)

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales hay que distinguir dos casos:

Caso I. Supongamos en primer lugar que las rectas y se cortan en el punto ( ) Así, tendremos que:

( ) ( ) ( ) ( )

Hagamos ahora el cambio de variable y de función

Con lo cual

( ( ) ( )

( ) ( )) (

) (

)

Es decir, hemos reducido la ecuación a homogénea.

Caso II. Supongamos que y son rectas

paralelas, con lo cual podrá ponerse ( ) ( ) para algún .

Efectuamos ahora el cambio de función . Derivando, ,

osea,

. Si sustituimos en la E.D. original obtenemos

(

)

Que es de variables separadas.

Ejemplo 11. Resolver

Solución:



26

Las rectas y se cortan en el punto

( ) ( ), con lo que efectuamos el cambio de variable

Sustituyendo en la E.D, se obtiene la ecuación homogénea

Para resolverla, se hace uso de la sustitución de donde se obtiene

. Sustituyendo se obtiene:

( )

Ahora se distinguirá cuando, y cuando no, se anula la expresión

Esto ocurre cuando , analizando para , se tiene

( )

| | | | | | | |



27

| | | |

| |

( )

( )

Sustituyendo

se llega a:

( ) ( )

Y volviendo a las variables originales que implican , , se

obtiene la solución de la ecuación diferencial.

(( ) ( )) (( ) ( ))

( ) ( )

Finalmente, con tenemos, respectivamente, las soluciones

e que, sustituyendo e por su valor, se traducen en

Ejemplo 12: Resolver

Solución:

Se efectúa el cambio de función , de donde . Sustituyendo,

se tiene



28

( )

∫( ) ∫

( )

Sustituyendo de nuevo y denotando se obtiene la solución

de las E.D. Original, que es:

( )



29

2.4 Aplicaciones

2.4.1 Crecimiento Y Decaimiento Naturales

La ecuación diferencial

ec. 2.1

Sirve como un modelo matemático para una amplia variedad de fenómenos naturales, cualquiera que implique una cantidad cuya tasa de cambio con respecto al tiempo sea proporcional a su tamaño actual. A continuación están algunos ejemplos:

2.4.1.1 Crecimiento Poblacional.

Suponga que ( ) es el número de individuos en una población (humanos,

insectos o bacterias) que tienen tasa de natalidad y mortalidad constante y (en el nacimiento o muerte de individuos por unidad de tiempo). Entonces, durante un breve intervalo de tiempo , ocurren ( ) nacimientos y ( ) muertes, aproximadamente, de modo que el cambio en ( ) esta dado en forma aproximada por

( ) ( )

Y por consiguiente

ec. 2.2

Donde ( )

2.4.1.2 Interés compuesto.

Sea ( ) la cantidad de dólares en una cuenta de ahorros en el instante años, y suponga que el interés es compuesto continuamente a una tasa de interés



30

anual . (Observe que el 10% de interés anual significa que ) Interés compuesto continuamente significa que durante un pequeño intervalo de tiempo , el monto de interés sumado a la cuenta es aproximadamente ( ) de manera que

ec. 2.3

2.4.1.3 Descomposición (o desintegración) radiactiva.

Considere una muestra de una material que contiene ( ) átomos de cierto

isótopo radiactivo en el instante . Se ha observado que una fracción constante de aquellos átomos radiactivos se descompone de manera espontánea (en átomos de otros elementos o en otros isótopos del mismo elemento) durante cada unidad de tiempo. En consecuencia, la muestra se comporta exactamente como una población con tasa de mortalidad constate y sin nacimientos, para escribir un modelo para ( ), utilizamos la ecuación 2.2 con ( ) en lugar de , con

en lugar de , y con . Así obtenemos la ecuación diferencial

El valor de depende del isótopo radiactivo particular.

La clave del método de fechado por medo de carbono radiactivo es que una proporción constante de átomos de carbón en cualquier criatura viviente está

formada por un isótopo radiactivo del carbono. Esta proporción permanece

constante ya que la fracción de en la atmósfera permanece casi constante, y la materia viva está tomando carbono continuamente del aire o está consumiendo otras materias vivientes que contienen la misma razón constante de

átomos de a los átomos de carbono ordinario . Esta misma proporción permanece toda la vida ya que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entre los dos isótopos.

La razón de al carbono normal permanece constante en la atmósfera pues

aunque es radiactivo y se descompone lentamente, la cantidad se repone de

manera continua mediante la conversión de (nitrógeno ordinario) a por el bombardeo de los rayos cósmicos en la atmosfera superior. Durante la larga historia del planeta, este proceso de desintegración y reposición se ha convertido en un estado casi estable.

Por supuesto, cuando un organismo vivo muere, su metabolismo de carbono cesa

y el proceso de descomposición radiactiva empieza a reducir su contenido de .

No hay reemplazo para el , y en consecuencia la razón de al carbono



31

normal empieza a disminuir. Midiendo esta razón, puede estimarse la cantidad de tiempo transcurrido desde la muerte del organismo. Para tales propósitos es

necesario medir la constante de desintegración . Para , se sabe que si es medida en años.

(La cuestión no es tan sencilla como hemos hecho parecer. La aplicación del fechado mediante carbono radiactivo debe tomarse con extremo cuidado evitando la contaminación de la muestra con materia orgánica o incluso con el aire fresco ordinario. Además, los niveles de los rayos cósmicos no han sido constantes, de

modo que la razón de en la atmósfera ha variado en los siglos pasado. Mediante el uso de métodos independientes de fechado de muestras, los investigadores en esta área han compilado tablas de factores de corrección para aumentar la precisión de este proceso).

2.4.1.4 Eliminación de medicamento.

En muchos casos la cantidad ( ) de cierto medicamento en la corriente

sanguínea, medida por el exceso sobre el nivel natural de la misma, disminuirá a una tasa proporcional a la cantidad excedente actual. Esto es,

Donde . El parámetro se denomina constante de eliminación del medicamento.

2.4.2 Enfriamiento y Calentamiento.

De acuerdo con la Ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio con respecto al tiempo de la temperatura ( ) de un cuerpo inmerso en un medio de

temperatura constante es proporcional a la diferencia . Esto es,

( )

Donde es una constante positiva, este es un caso de la ecuación diferencia de primer orden con coeficiente constante:



32

2.4.3 Ley de Torrricelli. Suponga que un tanque de agua tiene un agujero de área en el fondo, por el cual está saliendo el agua, denotamos con ( ) la profundidad de agua en el tanque en el instante , y con ( ) el volumen del agua en el tanque en ese

momento. Es plausible (y cierto en condiciones ideales) que la velocidad del agua

que sale a través del agujero es: √

Que es la velocidad que una gota de agua adquiría en caída libre desde la superficie del agua hasta el agujero. Esta fórmula se puede deducir comenzando con la suposición de que la suma de las energías cinética y potencial del sistema permanece constante. En condiciones reales, se debe tomar en cuenta la

contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, √ , donde

es una constante empírica entre 0 y 1 (por lo común 0.6 para una pequeña corriente de agua). Por simplicidad tomamos en el análisis siguiente:

√ ec. 2.4

O de manera equivalente

√ Donde √

Esta es una fórmula de la Ley de Torrecelli para un tanque desaguando. Si ( ) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura por encima del agujero, el método del volumen por secciones transversales da

∫ ( )

De modo que el teorema fundamental del cálculo implica que

( ) y por

consiguiente que

( )

ec. 2.5

Finalmente, de las (2.4) y (2.5)

( )

√ √

Agujero circular de área a

𝑉(𝑡)

y(t)

Velocidad de salida del agua 𝑣 √ 𝑔 𝑦



33

2.4.4 Solución de la ecuación del crecimiento natural.

El prototipo de la ecuación diferencial

(1)

con ( ) y una constante (ya sea positiva o negativa) se resuelve

con facilidad separando las variables.

∫

∫

( )

Ya que es una constante, también lo es . Es claro que ( ) , de esta manera la solución particular de la ecuación con la condición inicial

( ) es sencillamente,

Es importante anotar que:

Si hay un crecimiento natural

Si hay un decaimiento natural

EJEMPLO 13. Crecimiento de bacterias En un principio, un cultivo al inicio tiene

0P cantidad de bacterias. En hora se

determina que el número de bacterias es 0

2

3P . Si la rapidez de crecimiento es

proporcional al número de bacterias ( ) presentes en el tiempo , determine el

tiempo necesario para que se triplique el numero de bacterias.

Solución Primero se resuelve la ecuación diferencial en (1), donde el símbolo se reemplaza por . Con 00 t , la condición inicial es

0)0( PP . Entonces se

usa la observación empírica de que 0

2

3)1( PP para determinar la constante de

proporcionalidad .



34

Observe que la ecuación diferencial

es separable, y su solución general

es:

( )

Por tanto ktcetP )( . En se deduce que cceP 0

0, y en consecuencia

ktePtP 0)( . En se tiene kePP 002

3 o bien

2

3ke . De la última

ecuación se obtiene 4055.02

3ln k , entonces tePtP 4055.0

0)( . Para determinar

el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve tePP 4055.0

003 para t. Se deduce que , o

ht 71.24055.0

3ln

Observe en el ejemplo 13 que el número real 0P de bacterias presentes en el

tiempo no tuvo que ver en el cálculo del tiempo que se requirió para que se triplicara el número de bacterias en el cultivo. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por ejemplo 100 bacterias o 1.000.000 es aproximadamente 2.71 Horas. Observamos la grafica de crecimiento y decaimiento poblacional.

Como se ilustra en la grafica, la función exponencial kte se incrementa cuando

aumenta para y disminuye cuando aumenta para . Así, los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o

incluso capital) se caracterizan por un valor positivo de , mientras que los problemas relacionados con el decaimiento (Como en la desintegración radiactiva) generan un valor negativo. En consecuencia, se dice que es una constante de

crecimiento ( ) o una constante de decaimiento ( ).



35

Vida Media

En física, la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que tarda en desintegrarse, o transmutar en átomos de otro elemento, la mitad de los átomos de una cantidad

inicial oA . Mientras más grande sea la vida media de una sustancia, más estable

es ésta.

EJEMPLO 14. Vida Media del Plutonio Un reactor autor regenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043%

de la cantidad inicial oA de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la

rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente. Solución Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Como en el Ejemplo 1, la solución de problema de valor inicial

kAdt

dA , oAA )0(

es tK

oeAtA )( . Si 0.043% de los átomos de oA se ha desintegrado, entonces aún

queda 99.957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento k, se

utiliza )15(99957.0 AAo , esto es, K

oo eAA 1599957.0 . Al despejar de esta

ecuación el valor de la constante se obtiene que 00002867.099957.0ln15

1k .

Por consiguiente, t

oeAtA 0000286.0)( . Ahora la vida media es el valor del tiempo en

el que oAtA2

1)( . Al resolver para t se obtiene 00002867.0

02

1 t

o eAA ó

te 00002687.0

2

1 . La última ecuación genera:

sat ño2418000002867.0

2ln

EJEMPLO 15. Edad de un Fósil Se encuentra que un hueso fosilizado contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil. Solución:

De nuevo, el punto de partida es tK

oeAtA )( . Para determinar el valor de la

constante de decaimiento k, se usa el hecho de que )5600(2

1AAo ó



36

k

o eAA 5600

02

1 (5600 años es aproximadamente la vida media del reactivo C-14).

De 2ln2

1ln5600 k se obtiene 00012378.05600/)2(ln k . Por

consiguiente, t

oeAtA 0001237.0)( .

Luego para calcular el tiempo se usa: oAtA1000

1)( (milésima concentración de

C-14), se tiene t

oo eAA 00012378.0

1000

1 , de modo que

1000ln1000

1ln 00012378.0 t . Por consecuencia, la edad del fósil es cercana

a:

osat ñ5580000012378.0

1000ln

EJEMPLO 16. Torricelli Por un agujero circular de área , en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por

segundo, se reduce a √ , donde . Deduzca una ecuación

diferencial que exprese la altura del agua en cualquier momento , que hay en el tanque cúbico de la siguiente figura. El radio del agujero es de 2 pulgadas

(recuerde que

).

Solución: volumen del tanque

Arista del cubo

Base cuadrada del tanque=

Altura del agua en el tiempo De modo que;

(1)

Derivando, respecto al tiempo , ambos miembros de la ecuación (1), se halla la relación entre las razones de cambio del volumen y la altura del tanque:

(2)

10 ft

Agujero

circular

𝐴𝑤

h



37

Pero

√ ( ) √ ( (

)

) √ (

)

√

√ (3)

Sustituyendo (3) en (2), se obtiene:

√

√



38

TALLER 2. METODO DE VARIABLES SEPARABLES

I.- En los problemas de 1 al 18 determine las soluciones generales (implícitas si es

necesario, explicita si es conveniente) de las ecuaciones diferenciales.

1)

2)

3)

4) ( )

5) √

√

6)

√

7)

( )

8)

9) ( )

10) ( )

( )

11)

12) ( )

13)

( )

14)

√

√

15)

( )

( )

16) ( ) 17)

18) II.- Determine las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial en los problemas del 19 al 28

19)

, ( )

20)

( ), ( )

21)

√ , ( )

22)

, ( )

23)

, ( )



39

24)

, (

)

25)

( )

26)

, ( )

27)

, ( )

28) √

( )

III.- Determine las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales en los problemas 29 42. 29) ( )

30)

31) √

32) ( ) 33) ( ) ( ) 34) ( )

35)

36)

37)

38)

39) ( )

40) √

41) √

42) √

43) ( ) ( )

44) ( ) ( )

45) ( ) ( ) 46) ( ) ( )

47) ( ) ( ) 48) ( ) ( )

49) ( ) ( )

50) ( ) ( ) 51) ( ) ( )

52) ( ) ( ) 53) Demostrar que la ecuación diferencial

( )

Se puede transformar en una ecuación diferencial homogénea haciendo el

cambio de variable 54) Demostrar que la ecuación diferencial



40

( )

Se puede transformar en una ecuación homogénea haciendo el cambio de

variable de variable IV.- Analice y resuelva los siguientes problemas 55) Cierta ciudad tuvo una población de 25.000 en 1960 y una población de 30.000 en 1970. Suponga que su población continuará creciendo de forma exponencial a una tasa constante. ¿cuánta población pude esperar esta ciudad para el año 2000 y el 2050? 56) En cierto cultivo de bacterias, número de estas se sextuplico en 10 horas ¿Cuánto tardo la población en duplicarse?

57) El carbono extraído de un antiguo cráneo sólo contenía un sexto de que el carbono extraído de un hueso actual. ¿Qué edad tiene el cráneo? 58) El carbono extraído de una supuesta reliquia característica de los tiempos de

Cristo contenía átomos de por gramo. El carbono extraído de una

espécimen actual de la misma sustancia contiene átomos de por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia? 59) Cuando nació su primer hijo una pareja deposito $5000000 en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual de interés compuesto continuamente. Se dejó que se acumulara los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños del hijo? 60) La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radioactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? (ignore la presencia de otros elementos radiactivos). 61) Suponga que usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro: el perro queda anestesiado cuando su corriente sanguínea contiene por lo menos 45 mg de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, con una vida media de 5 horas. ¿Qué dosis única debe ser administrada para tener anestesiado durante 1 hora a un perro de 5º kg?



41

62) Un tarro de crema, inicialmente a 25 ºC, se va a enfriar colocándolo en el pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. Suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 min. ¿Cuándo estará a 5 ºC? 63) Un pastel es retirado del horno a 210 ºF y dejado enfriarse a la temperatura de la habitación, que está a 70 ºF. Después de 30 min. La temperatura del pastel es de 140 ºF. ¿Cuándo estará a 100 ºF?

Unidad 2 Metodo de Separacion Variales

Documents

Transcript of Unidad 2 Metodo de Separacion Variales