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FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

SEMESTRE 2010-2

1 http://dcb.fi-c.unam.mx

TEMA 4. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

1.- Sean y t= sen( ) ; t p= ; ( )p tan q= π 2 y q x= +π4

; obtener dydx x=0

2011A1AE.C1E

2.- En una alberca cuya geometría se muestra en la figura, se vierte agua a razón de 10mmin

3

¿Con qué rapidez crece el nivel del agua dentro de la alberca cuando la profundidad es de 2 m?

2011A3AE.C1E

3.-De la función dada en forma paramétrica

x t

y t

= +

= +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3

13

obtener la ecuación de la o las rectas

tangentes a su gráfica que sean paralelas a la recta y x= +34

3

2011A6AE.C1E

4.- De la expresión x angtan ty t== +

⎧⎨⎪

⎩⎪

( )1 2 obtener

dydx

3.- Para la curva definida por yxx

=+−

11

obtener la ecuación de la recta tangente a la curva en

el punto para el cual x = 4

2003C3AE.C1E 4.- De un tinaco, cuya geometría se muestra en la figura se está extrayendo agua a razón de 500 litros por minuto ¿Con qué rapidez esta disminuyendo el nivel del agua dentro del tinaco en el momento que la altura del nivel es de 1 metro?

1.5 m 20 m

15 m

5 m


SEMESTRE 2010-2


2003C4AE.C1E

5.- Dada la expresión 3 22cos ( )x y+ = demostrar que dydx

= 1

2003A1AE.C1E

6.- Obtener la ecuación de las rectas tangentes a la curva de ecuación x y x2 3 6 0− + − = que

pasan por el punto P ( , )2 1

2021A2AE.C1E

7.- La diagonal de un cuadrado aumenta a razón de 0.5 centímetros por minuto. Calcula con qué rapidez aumenta el área del cuadrado, cuando la diagonal mide 5 cm.

2003A3AE.C1E 8.- Calcular el ángulo de intersección entre las gráficas de las funciones:

g xx

( ) = −1

y f x x( ) = −13

2972B3AE.C1E

9.- Obtener dydx

de:

( )sen ( ) cos4 2 3 7x y x y+ + =

2021B4AE.C1E


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10.- La cuerda de un papalote se desenrolla de manera uniforme a razón de 50 centímetros por segundo. Si a una altura de 40 metros el viento arrastra al papalote horizontalmente, ¿cuál es la rapidez con que se mueve el papalote cuando se han desenrollado 60 metros de cuerda?

2972B6AE.C1E

11.- Para la función yx

x=

+1 cotcos

, calcular:

′

=y x

π4

2981B1AE.C1E

12.- Obtener todos los puntos que pertenecen a la gráfica de la función f xxx

( ) =+−

11

donde la

recta tangente es paralela a la recta − + + =x y2 10 0 .

2981B2AE.C1E 13.- Calcular el o los ángulos de intersección entre las curvas de ecuaciones x y2 2 7+ = y

y x2 1= +

2981B4AE.C1E 14.- Una persona de 1.8 metros de estatura camina sobre un piso horizontal con una rapidez de 1.4 metros por segundo, hacia la ubicación de un poste cuya lámpara se localiza a 4 metros de altura. Calcular con qué rapidez está disminuyendo la longitud de la sombra que proyecta la persona sobre el piso cuando se encuentra a una distancia de 4 metros del poste.

15.- Calcular D yx y=π4

para la función:

fx t

t

y ang tan t:

= +

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

23

4


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2981B5AE.C1E

15.-Obtener la derivada de la función f x x( ) =13 por el método de los cuatro pasos

2981C1AE.C1E

16.- Calcular los valores de a, b y c tales que las curvas cuyas ecuaciones son y x ax b= + +2

y y cx x= − 2 , tengan la misma recta tangente en el punto (3,3).

2981C2AE.C1E 17.- Por medio de diferenciales calcular un valor aproximado de tan 46°

2981C3AE.C1E

18.- En una fábrica de cemento desde una banda transportadora se vierte 1 mmin

3 de cemento

formando un cono en el piso cuyo diámetro de la base es tres veces su altura ¿Con qué rapidez está creciendo la altura del cono cuando su altura es de 2 metros?

2981C4AE.C1E

19.- Calcular D yx y=π4

para la función:

fx t

t

y ang tan t:

= +

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

23

4 2991B1AE.C1E

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