Taller de Derive Cinvestav

Curso-Taller de Derive

Sistemas de Cálculo simbólico

El objetivo de este módulo es proporcionar al alumno-docente una cultura

computacional enfocada a su quehacer didáctico, específicamente en el uso de

manipuladores simbólicos como Derive, para resolver problemas de: aritmética,

álgebra y funciones.

Introducción al programa Derive

Uno de los programas de manipulación simbólica más comerciales en el

mundo es el Derive, el cual permite realizar múltiples operaciones de tipo

matemático, por lo cual se emplea como un auxiliar para realizar operaciones

complejas. como: realizar productos, factorizaciones, solución de ecuaciones,

solución de desigualdades, límites y derivadas de funciones, integrales, cálculo de

áreas, de volúmenes de revolución, de superficies, etc. Solución de ecuaciones

diferenciales de primero y segundo orden, series de Taylor y de Fourier,

Transformadas de Laplace, realiza operaciones entre vectores y matrices, calcula

determinantes, resuelve sistemas de ecuaciones lineales contemplando los tres

casos posibles (solución única, infinidad de soluciones y sin solución), calcula los

valores y vectores propios de una matriz. El Derive trabaja con números reales,

con números complejos, funciones de Bessel, Función Z, polinomios ortogonales

de Chevichev, de Legendre etc. Se pueden realizar gráficas en dos y tres

dimensiones, gráficas en coordenadas polares, de funciones paramétricas, etc.

Además de lo anterior el Derive, da opción a la creación de sus propios

macrocomandos para enriquecer más su potencial, cabe señalar que el Derive por

si solo no es suficiente para el aprendizaje, se necesita la elaboración de una serie

de actividades bien diseñadas para llevar a cabo el proceso enseñanza-

aprendizaje de las matemáticas.

Algunos de los campos de las matemáticas en los cuales se puede utilizar el

Derive son:

Dr. en C. Salvador Moreno Guzmán 1


Aritmética

Trigonometría

Álgebra (campo de los números reales)

Álgebra (campo de los números complejos)

Álgebra de vectores

Operaciones con funciones

Álgebra lineal

Cálculo Diferencial

Cálculo integral

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos iterativos

Distribuciones de probabilidad

Etc.

Algunos de los recursos del programa que serán utilizados en el curso-taller

estarán contenidos en el campo de la aritmética, el álgebra y operaciones con

funciones, así como el uso de la interfaz gráfica para la visualización y exploración

de sus gráficas.

La interfaz gráfica de Derive permite visualizar la gráfica de una a n

funciones en un mismo sistema cartesiano, inserta el cursor en la trayectoria de la

gráfica lo que permite explorarla haciendo un recorrido por ella, así también

proporciona los valores de su posición, se puede cambiar de escala, de rango, se

pueden modificar los colores tanto de la gráfica como de la ventana de trabajo, y

tiene la opción de copiar los gráficos en algún procesador de texto.

Pasos para trabajar con el programa Derive

Para iniciar una sesión de trabajo se da doble clic en el icono que se

encuentra en el escritorio (ver figura 1) de inmediato aparece la figura 2, si se

trabaja con una versión de prueba se da clic en el botón Probar, si la versión no es

de prueba, aparece una imagen similar con los créditos de los autores y de

inmediatos sigue una imagen con una pregunta y dos botones que indica si se



desea utilizar la configuración determinada en la sesión anterior o la que el

programa proporciona por default. Esto es debido a que en el programa Derive se

pueden modificar los tipos de letras sus tamaños y colores, así como, la alineación

de los objetos.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Cuando se da clic a cualquiera de las dos opciones de la figura 3 aparece la

pantalla de Derive (ver figura 4) la cual está integrada por los elementos que en

seguida se indican, mencionándolos de arriba hacia abajo.

Barra de títulos (Derive 6 Álgebra 1)

Barra de Menú

Barra de órdenes



Ventana de álgebra

Barra de estado

Barra de introducción de expresiones, también llamada línea de edición

Barra de letras griegas y de símbolos matemáticos.

Debido a la importancia que tienen los comandos, para trabajar con el

ambiente computacional Derive, se muestran los iconos con sus respectivos

nombres de las acciones que ejecutan.

Los comandos anteriores se van a utilizar a través de una serie de

ejercicios inscritos en diferentes temas de las matemáticas como aritmética,



álgebra, trigonometría, funciones, tabla de valores de funciones, gráfica de

funciones, funciones por secciones (trozos), límites de funciones continuidad de

funciones etc.

Ejercicios

Ejercicios 1

Sumar 12 + 5

La expresión anterior se captura dando clic en la barra de edición o en el icono

editar expresión

Se presiona la tecla Intro o Enter del teclado para pasar la expresión a la

ventana de álgebra, donde el programa automáticamente la numera. En está

ventana es donde se procesan las expresiones simplificando, factorizando,

resolviendo, derivando, graficando, etc. Para nuestro caso se da un clic en el

comando dando el programa el resultado en el centro de la siguiente

línea, numerando la expresión en forma consecutiva.

Ejercicios 2

Obtener

El símbolo de la raíz cuadrada se puede insertar en la barra de edición de

dos formas, presionando las teclas ctrl + Q o dando clic en la barra de edición y

luego, en la barra de símbolos , y se teclea 36, después se da clic en Enter

para procesar la expresión en la ventana de álgebra, finalmente dando clic en el

icono se obtiene la expresión #4



Ejercicios 3

Obtener

Se captura la expresión y se pasa a la ventana de álgebra y se simplifica,

pero, el resultado es la misma expresión, esto resulta por el programa trabaja en

dos modos, en el modo exacto por default y en el aproximado. Dado que el valor

exacto de es, , este es el valor que da el programa.

Pero si se desea determinar su valor aproximado se selecciona la expresión

#5, dando en ella un clic con el puntero del ratón y luego en el icono

Se puede configurar el programa para que siempre se encuentre en el

modo aproximado o donde la salida de las relaciones trigonométricas se de en

grados o radianes con un determinado número de dígitos. Esto se puede hacer de

la siguiente forma:

Se da un clic para abrir la ventana del menú Definir y otro en Preferencias

de Simplificación que a su vez abre la ventana Opciones de Simplificación, en

ellas se pueden hacer los cambios como se muestra en las figuras siguientes.



Sin embargo, se recomienda tener el programa en el modo exacto y si es

necesario obtener el valor aproximado de una expresión, esta deberá

determinarse bajo la acción del comando .

Ejercicios 4

Sumar + +

Tener configurado el programa en el modo exacto tiene sus ventajas como

se puede ver en el ejercicio anterior, donde el programa lleva las expresiones a la

simplificación de los radicandos más simples y realiza la suma de los términos

semejantes.

Esto se puede realizar paso a paso seleccionando uno de los radicales y

simplificarlo, después otro radical del resultado anterior y simplificarlo, y así

sucesivamente (ver figura).



La forma de seleccionar una parte de una expresión es dando clics en la

misma expresión sobre el lugar que se quiere aislar (ver en la figura anterior que

únicamente está seleccionado ).

Otra de las ventajas que se tiene con el programa configurado en el modo

exacto es cuando se trabaja con los números racionales.

Ejercicios 5

Simplificar

Capturando la expresión y simplificando, se tiene el siguiente resultado

Ejercicio 6

Simplificar

En forma similar al ejercicio anterior, se obtiene el siguiente resultado

Uno de los recursos que ofrece el programa para formar expresiones

laboriosas de editar o de utilizar expresiones que se tienen en el programa, es a

través de seleccionar con el ratón la expresión requerida y dar clic en la tecla F3, y

cuando se requiere la expresión entre paréntesis se da clic en la tecla F4. las

acciones anteriores pegan la expresión en el menú de edición (ver figuras)



Pega la expresión sin paréntesis Pega la expresión con paréntesis

Ejercicios 7

Utilizando la tecla F4, construya la siguiente fracción y simplificarla

Se selecciona la expresión #13 y se da clic en la tecla F4, en seguida se

captura el símbolo de división, luego, se selecciona la expresión #15 y se da clic

en F4, finalmente se simplifica (ver figura)



Simplificar las siguientes expresiones

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10) 11)

Derive es un potente manipulador simbólico que permite realizar muchas

tareas propias del álgebra, como suma, resta multiplicación y división de

monomios y polinomios. Así como simplificación de radicales, resolución de

ecuaciones de primero, segundo grado, resolución de desigualdades también de

primero y segundo grado, factorización, resolución de sistemas de ecuaciones

lineales y no lineales, etc.

Los ejercicios que siguen van enfocados a estos temas

Resolución de ecuaciones con una o varias literales

Ejercicios 8

Resolver



Se captura en forma similar a las expresiones anteriores, solo que ahora se va a

resolver utilizando el comando del icono el cual abre la siguiente

ventana de dialogo.

Se da clic en resolver y se obtiene el resultado (ver figura)

Ejercicios 9

Resolver

El proceso es similar al ejercicio anterior, con la diferencia de que aparecen

en la ventana de dialogo tantas literales como variables tiene la expresión



Para indicarle al programa la variable que se desea despejar, esta se selecciona

dando un clic en ella y otro en la que aparece seleccionada para que no sea

tomada en cuenta (se cancela la selección) en la figura se muestra a la variable v0

para ser despejada.

Para introducir los símbolos como índices se

hace a través de que se encuentra en la barra de símbolos.



Nota.- para poner la potencia se hace a través del acento , que se encuentra en

la barra de símbolos. Se debe tener cuidado de no confundirlo con la conjunción

que se encuentra más abajo .

Ejercicios 10

Resolver 3x2-5x-2 = 0

Así se debe capturar 3x^2-5x-2 = 0

El proceso es el mismo que en el ejercicio anterior

Factorización

Ejercicio 11

Factorizar 3x2-5x-2

Se captura la expresión en la barra de edición y se abre la ventana del menú

Simplificar y se da clic en Factorizar de la cual se abre otra ventana donde se

solicita información sobre la expresión. En la cual se le da clic en el botón

Factorizar.



El resultado de la factorización se observa en la siguiente figura

Ejercicio 12

Factorizar 4x3 – 8x2 + 16x – 32 por medio de las opciones Trivial, Sin cuadrados,

Racional, Radicales y Complejos

Los resultados se muestran en la siguiente figura

Ejercicio 13

En forma similar al ejercicio anterior, factorizar 3x3y+ 9x2y- 6xy – 18y



Suma y resta de monomios y polinomios

Ejercicio 14

Simplificar la siguiente expresión (3ab –6) + (3a2 –8ab +5)

Se captura la expresión y se simplifica con el comando (ver figura)

Producto de monomios y polinomios

Ejercicio 15

Realizar el siguiente producto (3m + n)(m – 2n)



Los resultados de expandir respecto a m o a n se muestran en la figura

División de monomios y polinomios

La división entre monomios o entre monomios y polinomios se realiza con el

comando , y la división entre polinomios se determina con el comando

Expandir del menú Simplificar como se hace en el producto de polinomios, sólo

que hay que interpretar el resultado que proporciona el programa Derive.

La explicación de esta situación la realizamos a través de una división con

números enteros

Derive proporciona el resultado en una forma equivalente .

Ejercicio 16

Dividir 3a5 + 10a3b2 + 64a2b3 – 21a 4b + 32ab4 entre a3 – 4ab2 – 5a2b

En este caso el residuo es cero.



Ejercicio 17

Dividir 6m4 – 4m3n2 – 3m2n4 + 4mn6 – n8 entre 2m2 – n4

En este ejercicio Derive proporciona el residuo en dos fracciones propias respecto

a m, pero este se puede procesar para representarlo en una sola fracción como la

mostrada en la expresión anterior.

Funciones

Asignación de funciones

Para trabajar con funciones se recomienda que estas se simbolicen

definiéndolas a través del programa o en la línea de Edición.

Ejemplo: Si se requiere trabajar con la función esta se captura

anteponiendo dos puntos al signo de igualdad o también del

menú definir, si se da clic en Función abre una ventana solicitando el nombre y el

argumento en la primera línea y la expresión algebraica en la segunda (ver

figuras).

Al proceso de designar con dos puntos seguidos del signo de la igualdad, se llama

Asignar la expresión algebraica al símbolo que la va a representar.



Al dar un clic en el botón Si, el programa proporciona la expresión #59.

Algunas de las ventajas que se tienen al definir las funciones de esta forma,

son: evaluar la función al sustituir la variable del argumento por algún número o

expresión algebraica; al procesar la expresión f(x) es como si se procesara toda la

expresión que la define; determinar tabla de valores, graficar, derivar, integrar etc.

Ejercicio 18

Sea

Evaluar la función en x = 0, en x = 4 y en x = 2a + b

Para realizar lo anterior se editan las expresiones una por una f(0), f(4) y f(2a + b)

y en cada caso se da clic para simplificar.

Tabla de valores de la función

Ejercicio 19

Obtener dos tablas de valores para donde x tome valores de 1 a

4 y otra donde x inicie en –2 y termine en 3.



Con el comando Table (f(x), x, 4) y se da clic en Simplificar. El primer

término después de abrir el paréntesis corresponde a la función, esta se puede

poner por su símbolo de definición o por la expresión algebraica, el segundo lugar

lo ocupa el símbolo que se desea variar y el tercero el número de enteros que se

requieren en la tabla (ver figura #67). Por otro lado si se desea iniciar con un valor

como –2 y terminar en 3, la expresión a editar es la que se muestra en #68, lo cual

da como resultado la tabla #69.

Ejercicio 20

Con la función anterior construir una tabla donde x inicie con el valor –2,

termine en 3 y los incrementos entre valores sea de 0.5

Se puede cambiar el valor de los incrementos al designarlo en el quinto

lugar (ver figura).



Si se requieren los valores en notación decimal, lo que se hace es

seleccionar la tabla y dar clic en Aproximar

Gráfica de funciones y de los valores de tablas

Gráfica en dos dimensiones

Para graficar una función en dos dimensiones, lo que se hace es capturar la

expresión en la línea de edición y dar clic en el icono , esto hace que se

abra una ventana que muestra un sistema cartesiano y después se da clic en el

icono para que surja finalmente la gráfica de la función.



Ejercicio 21

Graficar

Aprovechando que se tiene definida la función basta con editar f(x) o seleccionarla

después se da clic en y luego en (ver figura)

Para regresar a la ventana de álgebra se da clic en el icono

. La interfaz gráfica del programa Derive es muy

versátil porque ofrece varios recursos para modificar los ejes del sistema, explorar

la función, insertar el cursor en la línea de la gráfica, amplificarla alejarla,

acercarla, etc

Gráfica de los puntos proporcionados por una tabla de valores

Para graficar los puntos de una tabla de valores, se selecciona esta y se

procede como en el caso anterior, pero si se desea que en la gráfica los puntos



aparezcan unidos, entonces se abre el menú Opciones luego se da clic en

Pantalla lo cual abre la ventana Opciones de Pantalla en ella se pueden hacer

los cambios pertinentes como modificar la configuración de los ejes, del cursor, el

color de la gráfica, el fondo de la pantalla y si los puntos se quieren presentar

unidos por segmentos de líneas o no, y el tamaño de ellos (ver figuras).

Ejercicio 22

Graficar los puntos de la tabla dada por la expresión #69 con los puntos unidos por

segmentos de líneas.

Expresión #69



Gráfica de la expresión #69

Para borrar las gráficas, una de las opciones que se puede utilizar es dando

clic en .

Gráfica en tres dimensiones

Los pasos a seguir para graficar en tercera dimensión son similares a los de dos

dimensiones.

Ejercicio 23

Graficar z = x2 – y2

Se edita la ecuación y se da clic en el icono , aparece una barra que

muestra las opciones que se pueden utilizar para editar la gráfica.

luego se da clic en , lo cual da como resultado la siguiente figura.



Gráfica en tercera dimensión

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, se abre el menú

resolver y se da clic en Sistema, donde aparece la ventana de dialogo

Introducción de un sistema, por default aparece el número 2 el cual se puede

cambiar según el numero de ecuaciones a resolver (ver figuras).



Si se da clic en Sí, aparece una ventana de dialogo con dos renglones en

blanco en los cuales se van a capturar las ecuaciones (ver figura).

Ejercicio 24

Resolver 2x + y – 3z = 12

5x – 4y + 7z = 27

10x + 3y – z = 40

Si el número de ecuaciones es tres, este es valor que se introduce y se da

clic en el botón Si, de lo cual aparece una ventana con tres líneas donde se editan

las ecuaciones del sistema y se da clic en el botón Si o Resolver



Se da clic en resolver y se obtiene la solución que se muestra en la expresión #75

(ver figura)

Editar texto para documentar los problemas

Para editar texto se da clic en y aparece una línea de edición

(un rectángulo) donde se captura el texto. Sí se desea cambiar el formato como el

tipo de letra, su tamaño, el color, su alineación, etc., entonces se abre la barra de

edición de texto abriendo el menú Ventana, dando clic en Barra de Herramientas y

Barra de formato, al realizar estas acciones aparece la barra de Formato ver

figuras



Solución paso a paso de un sistema de ecuaciones lineales con Derive

Los procesos algorítmicos se pueden desarrollar paso a paso y

documentarlos, un ejemplo se muestra en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 25

Resolver paso a paso el sistema anterior por el método de sustitución.

Se da clic en y se edita lo siguiente



Para realizar el paso 2 se selecciona la expresión #76 y se procede en forma

similar a lo realizado en el Ejercicios 8. Lo anterior da lugar a #80, luego se

selecciona #77 y se da clic en lo cual abre la ventana donde se

indica la variable y la expresión en que se va a sustituir y a continuación dar clic en

el botón Sí (ver figura)

Repetir el proceso despejando y de #81 de lo cual se obtiene #83, esta expresión

se sustituye seleccionando #78 y dando clic en luego se da clic en

Sí (ver figura)



Después

Después se da clic en Sí y se obtiene #84, en seguida se sustituye y de #83 en

#84 y se resuelve la ecuación #85 para obtener el valor de z, este valor se

sustituye en #83 para obtener el valor de y. Finalmente este ultimo valor se

sustituye en #80 para obtener el valor de x (ver figuras)



Trigonometría

Por dafault el programa se inicia configurado en radianes, pero se puede

cambiar la opción a grados se puede trabajar con las expresiones trigonométricas

o con sus inversas y realizar gráficas de sus funciones. los comandos son

similares a los que se manejan en el lenguaje español excepto el comando

seno(x) el cual se debe de llamar sin(x).

Ejercicio 26

Determinar a) sin(30º), b) cos (30º), c) tan(45º)

Se editan por separado las expresiones y se simplifican (ver imagen)

Se puede trabajar con identidades trigonométricas



Ejercicio 27

Simplificar a) (sin(x))2 + (cos(x))2, b) 1 – (cos(x))2 c) (cos(x))2 d) (tan(x))2



Derivada de funciones

Para derivar funciones, se edita la expresión que se desea derivar y se da clic en

el icono el cual abre la ventana de dialogo donde se tiene que

indicar la variable y el orden de la derivada.

Ejercicio 28

Derivar las siguientes funciones a) f(x) = 2x3 – 2x +4, b)

Ejercicio 29

Graficar



Problema sobre Máximos y Mínimos

Ejercicio 30

Determinar las dimensiones de los cuadrados de las esquinas que se deben de

cortar, de una lámina cuadrada de 13 cm de lado, para construir una caja de base

cuadrada sin tapa, que tenga volumen máximo (ver figura).



Figura

Simbolización

L – lado de la lámina cuadrada

x – lado de los cuadrados a recortar

de la lámina

(L – 2x) – lado de la base de la caja

L = 13 cm

Fórmula del volumen de la caja

Volumen = área de la base por la

altura

Dominio de la función 0 x L/2

Función del volumen

V(x) = (L –2x)2 x

Desarrollando el producto se tiene

V(x) = L2x – 4Lx2 + 4x3

Primera derivada de V(x)

V´(x) = 12x2 – 8Lx + L2

Se iguala acero V´(x) para obtener los

valores críticos

V´(x) = 12x2 – 8Lx + L2 = 0

Solución de la ecuación

Valores críticos

y

Segunda derivada de V(x)

Sí

Se tiene un mínimo cuando

Sí

Se tiene un máximo cuando

La tabla de valores y gráfica de la función volumen.

Figura . La gráfica de la función con dominio en los reales se denota con la línea delgada y la que modela el problema con la línea gruesa.


Como L = 13 cm se tiene el volumen máximo cuando

Valor que se encuentra en el dominio de la función (0 x L/2 )

Esto es V( ) = (13 – 2( ))2( ) =

Representando este resultado en su forma decimal y redondeando al

centésimo más próximo se tiene Vmáx =162.74 cm3, resultado que se puede

comparar con los valores de la tabla o con la gráfica de la función volumen.

Ejercicio 31

Resolver el problema anterior con el programa Derive


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