Guia de Seminario Con Derive

5/15/2018 Guia de Seminario Con Derive - slidepdf.com

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ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACION PUBLICA - ESAP

FACULTAD DE PREGRADO

Curso Básico de Derive

Objetivo: Esta sesión del Seminario curso está orientada a la aplicación de “DeriveTM

6 ” a la docencia, para que los Estudiantes puedan hacer las prácticas con lautilización de “DeriveTM

6 ”, como complemento a las enseñanzas recibidas en elaula,

Ingrese al programa Derive, haciendo doble clic en el icono de Derive:

Llegamos a la interfase de Álgebra, en la cual podemos ingresar las ecuaciones,inecuaciones, valores, matrices, etc., para lo cual usamos la barra de ingreso de datos queaparece en la parte inferior de la pantalla:

Observe además que está acompañada de dos barras de símbolos que nos serán muyútiles en la escritura de ecuaciones de todo tipo.

E je r c i c i o 1 .

Gra f i c ac i ón Bás i c a con Der i ve

Probemos por ejemplo ingresar unas ecuaciones que no usen los tan tradicionales X y Y,

sino otros valores. Por ejemplo, en economía se usa la función de ingreso R que varía enfunción de la cantidad q.

Digite entonces la ecuación MR=50000 - q , donde MR es el ingreso marginal

Diagonal 44 No. 53 – 37 CAN - www.esap.edu.co - 2202790 EXT. 7002-7061-

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Observe que Derive la ha interpretado como m·r = 50000 – q , es decir no toma a MR como un solo símbolo sino como el producto de m por r. Por lo que debemos abreviar laexpresión: Digite ahora la ecuación M = 5 0 00 0 – q , pulse [Enter]. Como no nos quedo

escrito lo que queríamos ver, entonces Derive nos ofrece otra solución.

Digite ahora “MR”=50000 - q y pulse [Enter]. ¡Lo logramos!

Haga clic en el icono Ventana 2D y luego en el icono Representar Expresión .Note que los dos íconos son iguales pero cumplen funciones diferentes, el primero aparececuando está activada la ventana de ecuaciones y el segundo cuando está activada laventana de gráficos en dos dimensiones.

Lo mas probable es que en este momento no vea nada representado en el plano,

entonces debe hacer clic en el icono Zoom hacia afuera o pulse F10 , si siente que

se excedió pulse zoom hacia dentro o pulsar repetidamente la tecla F9 hasta que lagráfica sea visible dentro del rango en pantalla.

Cuando la gráfica sea visible, optimice la presentación de la gráfica con los íconos

o con las teclas: F10 Zoom hacia fuera, F8 Reducción vertical, F6

Reducción horizontal, F9 Zoom hacia dentro, F7 Ampliación vertical y F5 Ampliaciónhorizontal.

Con los íconos puede centrar y demarcar el área a visualizar, hastaobtener un resultado como el de la figura 1.

Hubiéramos podido evitar la molestia de ajustar el rango por tanteo (usando los botonesde zoom), usando a cambio la activación en el menú Opc i o nes de Au to e s c a l a r an t e s

de d i bu j a r .


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Sin embargo, el ejercicio de ajustar el rango de la gráfica resulta de mucha utilidad paraefectos pedagógicos ya que exige al estudiante el proceso de aclarar la importancia de lasescalas de los ejes de coordenadas.


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Figura 1. Gráfica de ingreso marginal.

Note que en la figura 1 se han reemplazado los valores x y y que usted tiene en pantallapor MR y q, lo cual se logra seleccionando Opciones – Pantalla – Ejes – Títulos , dondeusted hace la sustitución respectiva. Véase la figura 2.

Para ver simultáneamente la ventana de ecuaciones y la de gráficos seleccione Ventana –

Mosaico vertical . Tenga en cuenta que son distintas las funciones que están disponibles


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cuando se activa una u otra ventana. Practique haciendo clic de forma alternada entre lasdos ventanas y verifique como cambian los dos menús.

Figura 2. Títulos de los ejes de la gráfica

Ahora posicionado en la ventana de ecuaciones y con la formula que introducimos activa,hacemos clic en el icono integrar o seleccionamos Cálculo – Integrales , o pulsamosControl+Shift+I , nos aparecerá la ventana de la figura 3, en la que seleccionamos lavariable q, integral indefinida, supongamos que el costo fijo es de 10.000 y anotémoslocomo constante.


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Figura 5. Ventana de parámetros de integración.

Haga clic en simplificar y obtendrá como resultado la integración de ambos términos de laecuación, sin embargo nos interesa sólo el termino de la derecha.

Pruebe ahora ingresando solamente la expresión 50.000-q y luego repita el proceso de

integración indefinida. Derive dará como resultado: 000.10000.502

2

+⋅+− qq


Máximos y mínimos

El ejercicio de calcular los máximos mínimos y puntos de inflexión en una clase aún concalculadora, puede tardarnos más de una hora. Con derive lo hacemos en segundos y

podemos dedicar el resto del tiempo a analizar la viabilidad de la respuesta y su aplicacióna otros casos.

Por ejemplo ingrese la función: 502105 23 ++−= x x x y , grafíquela como se indicó en el

taller anterior. Luego usamos la función Cálculo →Derivadas para encontrar la derivada de


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1 orden respecto de la variable x, y luego a partir de la misma función inicial encuentre laderivada de segundo orden.

Note que en ambos casos Derive ha calculado derivadas parciales ya que a y lo asumiócomo constante. Aprovechemos este hecho para revolver la ecuación de segundo gradoque me sale como primera derivada, encontrando así las coordenadas de los máximos y/omínimos. Seleccione en el menú resolver la opción Resolver Expresión.

Para poder volver a graficar los resultados, edítelos reemplazando el cero a la izquierdadel igual por una letra que puede ser y nuevamente. Grafique los dos resultados.

Obtendrá tres gráficas superpuestas como la siguiente:


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Esto solo ha tardado segundos y ya podemos estar mostrando a los estudiantes como larecta que representa la segunda derivada, se encuentra por encima del eje horizontalcuando la función primitiva es cóncava hacia arriba y viceversa. Además que la gráfica dela primera derivada se encuentra sobre el eje horizontal mientras la gráfica de la funciónprimitiva tenga pendiente positiva, es decir sea creciente; y por debajo del eje cuando seadecreciente.

En la ventana de álgebra, debe aparecer ya algo parecido a lo siguiente:


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E je r c i c i o 3

I n t eg r a c ió n de f i n id a U s ando D e r i v e .

Digite la ecuación x²+3 en la ventana de ecuaciones como: xˆ2+3 y pulse Enter.

El objeto de esta actividad es representar y obtener con Derive ∫ +5

1

2 )3( dx x que

representa el área limitada por y=x²+3, y=0, x=1, y x=5, como se ilustra en la figura 18generada por derive.


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Genere la gráfica correspondiente, siguiendo el mismo procedimiento de la actividad conDerive del capítulo anterior. Seleccione del menú “Seleccionar ” la opción “Rango de la

gráfica ” o simplemente pulse Control + R . Como rango de la gráfica los siguientes:

Horizontal desde -1 hasta 6 con 7 divisiones, vertical desde -2 hasta 30 con 16 divisiones.

Ahora posicionado en la ventana de ecuaciones de Derive seleccione del menú “Cálculo” laopción “Integrales” o pulse Control + Shift + I. Seleccione la opción integral definida ydigite los límites del intervalo de integración como se muestra en la figura 3 y haga clic enel botón “Simplificar”, debe obtener el valor 160/3 y al hacer clic en el icono ≈ obtendráel valor 53,33.

Figura 3. Parámetros de integración definida.

Seleccione la opción del menú Opc i o nes →Ap ro x ima r an t e s de d i bu j a r. Ahora, desdela ventana de ecuaciones introduzca la orden P lo tI nt (x ^ 2 + 3 , x , 1 , 5 ) y pulse[Enter ], luego grafique esa expresión, y deberá obtener un resultado similar al de la figura

4.


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Figura 4. Grafica de un área generada por Derive.


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Ope ra c i o ne s c on ma t r i ce s

Ubíquese en la ventana de Algebra. Borre todo su contenido, en Ed i c i ón → Se l ec c i ona r

t o do y luego teclee [Sup r ].

Ingrese lo siguiente: [1,3,4,2;3,1,0,-1;5,7,8,3;1,-1,1,-1]

Con la anterior instrucción habrá ingresado una matriz 4x4, cuyos elementos de fila fueroningresados separados por comas y las filas separadas entre sí por columnas. Después depulsar [En te r], aparecerá en la pantalla la matriz en su formato tradicional frente a laetiqueta de ecuación #1:. Esta etiqueta sirve para hacer referencia a la ecuación y en estecaso a la matriz sin necesidad de volver a escribirla. Si usted ingresó otra expresión antes,la etiqueta de la matriz no será #1: sino una similar con otro número, por lo que deberátener en cuenta ello para el desarrollo del ejercicio.

Otra forma de ingresar la matriz es usando la opción Mat r i z del menú desplegableEd i ta r (Au to r ) , el cual le presentará un cuadro de diálogo preguntándole por el númerode filas y columnas, a partir de ello presenta otra ventana en la que aparecen las casillasde la matriz en forma de tabla para ser llenadas.

Ingrese ahora la matriz siguiente: [5,1,0,6;2,0,4,9;0,0,8,3;0,0,1,-3] y pulse [En te r].

Aparecerá la matriz en pantalla con la etiqueta #2.


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Ahora ingrese la instrucción #1+#2 y pulse el ícono ≈ aproximar. Habrá entoncesobtenido en pantalla otra matriz que representa la suma de las dos matrices anteriores.

Ahora practique las siguientes actividades:

1. Resta de matrices: #1 - #2 y pulse el ícono ≈ aproximar.

2. Producto de Matrices: #1*#2 y pulse el ícono ≈ aproximar.

3. Determinantes: DET (#1) + DET (#2) y pulse el ícono ≈ aproximar.

4. Transpuesta: #1` y pulse el ícono ≈ aproximar.

5. Inversa de una matriz: #1^ -1 y pulse el ícono = simplificar. Note que esta matriz notiene inversa. Podrá verificar que su determinante es cero. Pruebe entonces ahora con#2^ -1.

6. Bloques de una matriz: #1 ROW [3,4] y pulse el ícono = simplificar.

7. Bloques de una matriz: #1 COL [1,3] y pulse el ícono = simplificar.

Siga probando con Derive hasta que domine estas funciones.


So lu c i ón de s i s temas de ecuac i ones l i nea l es


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Digite la siguiente instrucción:

SOLVE([2·x - 2·y + z = 3, 3·x + y - z = 7, x - 3·y + 2·z = 0], [x, y, z])

Otra forma mucho más práctica, de ingresar al programa este sistema de ecuaciones, seda usando la opción Sistema del menú Resolver, o pulsar las teclas Control+Shift+Y. Aparecerá la siguiente ventana que pregunta el número de ecuaciones del sistema:

Luego de que seleccione el número de ecuaciones (3) y haga clic en Sí, aparece unaventana con un campo para cada ecuación.

Si hacemos clic en resolver, Derive, habrá encontrado la solución del sistema.


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Rep re s en t a c i ó n G r á f i ca A van zada :

Digite la ecuación22 y x z −=. Luego haga clic en el icono Ventana 3D , cuando se

despliegue la ventana gráfica en tres dimensiones haga clic en el icono representar gráfica

, no sin antes verificar que está activada la opción Au to e s c a l a r an t e s de d i bu j a rdel menú Opciones .

Haga clic en el icono para que la gráfica comience a girar.

Pruebe los siguientes iconos para acercar o alejar la imagen:

Para cambiar el sentido de la rotación pruebe:

Y para cambiar la escala de la gráfica use el zoom con:


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Entonces, ya le debe ser familiar esta figura:

Borre la gráfica con [Control]+D.

Pruebe ahora otras siguientes figuras a partir de las siguientes ecuaciones:

• Z=cos(xy)

Luego de representarla pulse y deberá obtener algo como esto:


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Pulse una vez más y hágala girar. ¿Como le parece?

Practique generando las siguientes imágenes interesantes:

Una Montaña: 229

1

y x ++Una montaña y un cráter: 229 y x

y

++−

Dos montañas:

( ) ( ) 2222 39

1

39

1

++++

−++ y x y x

Valle pellizcado:

10

1

10

1

22

2

++

+

y x

y

Otra silla de montar: x y

35

2

−Un valle colgante:

327 y x −

La silla del mono: ( )223 y x y − Meseta del padoga: y x −−


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Valles que se cruzan:

• xy−

• y x −

• x y−

Silla de montar del mono:

10

1

2

10

1

22

22

++

++

+

y x

y y x xSIGN xy

Un volcán: ( )1

10

3750

502

22 21

−

−++ y x

Un sombrero:22

22

3

4cos

y x

y x

++

+

Una ola perfecta para surfear:

−⋅

− )(

29 y ATAN x EXP π

Nace el acantilado:

+−

101, x y ATAN

Dos montañas con un cráter:

⋅

⋅

⋅⋅

−1010

3 yCOS

xCOS

π π

Tres montañas:

⋅

⋅

⋅⋅

−510

3 ySIN

xCOS

π π

Esto es una muestra de lo que puede observar:

E je r c i c i o 7


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Tab l a s de ve r dad

Una tabla de verdad muestra cada uno de los valores de verdad de una expresiónBooleana cuando a sus variables se les asignan todos las posibles permutaciones de esosvalores. Use la función TRUTH_TABLE para generar una tabla de verdad con una o másexpresiones Booleanas. Así, si p1, p2, ... son proposiciones,

TRUTH_TABLE(p1, p2, ..., boolean1, boolean2, ...)

genera una a tabla de verdad en forma de matriz. Por ejemplo,

TRUTH_TABLE(p, q, p AND q, p OR q, p XOR q, p IMP q, p IFF q)

Genera lo siguiente:

E je r c i c i o 8

Ingen i e r í a F i nanc i e ra


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DERIVE usa distintas funciones relativas a pagos periódicos con interés compuesto

(préstamos, anualidades, etc.) basadas en la ecuación

v(1+i)^n + p(1+i·t)((1+i)^n-1)/i + f = 0

que se aplica a una anualidad con valor actual v en el que un pago fijo p se paga en nperiodos regulares con una tasa de interés i y con valor futuro f. Los números positivosrepresentan dinero que se recibe; los números negativos representan dinero que hay quepagar.

Las funciones financieras tienen como quinto argumento opcional t, el tiempo de pago. Anule este argumento si los pagos se hacen al final de cada periodo, 1 si los pagos sehacen al comienzo de cada periodo, o una fracción entre 0 y 1 según corresponda. Elvalor por omisión es 0.

La precisión por defecto de 6 dígitos es, generalmente, insuficiente para la mayoría de los

cálculos. Por tanto, es mejor usar 10 o más dígitos (ver Precisión en Def i n i r >Pre fe renc i as de S imp l i f i c ac i ón ).

PVAL(i, n, p, f, t) es el valor presente v. El valor de futuro de f es por defecto 0.

FVAL(i, n, p, v, t) es el valor de futuro f. El valor presente v es por defecto 0.

PMT(i, n, v, f, t) es el pago periódico p. V y f se toman 0 por defecto.

NPER(i, p, v, f, t) es el número de pagos n. V y f se toman 0 por defecto.


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RATE(n, p, v, f, t) es la tasa de interés i. Nótese que RATE devuelve la tasa por periodo y

no necesariamente la tasa anual. Tanto v como f se toman 0 por defecto.

Caso: Si saco un préstamo de $ 4.000.000, a un año en una cooperativa que cobra uninterés del 21% anual, liquidado mes vencido, que debe ser cancelado en cuotasmensuales.

¿Cuanto pago de cuota mensual?

Caso 2: Si pido un préstamo de $ 5000000 pagadero en cuotas mensuales, interés de1.8% mensual anticipado, y tengo capacidad de pago de $ 420000 ¿en cuantos pagospuedo saldar la deuda?

Listo! 14 pagos.

Caso 3. Si ahorro $ 50000 al final de cada mes en una cuenta que paga el 1.5% mensual,sin retirar los intereses. ¿Cuanto tendré ahorrado al final de dos años?

Caso 4. Si la tasa de interés es del 1.2% mensual. ¿Cuanto dinero debo consignar hoy,para que dentro de un mes, comience a recibir mensualidades de $ 500000 durante unaño?


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Guía elaborada por: José Miguel Cubillos Munca

Profesor Catedrático Titular


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ANEXO

Información sobre el programa De r i ve

De r i ve es uno de los llamados "Programasde Cálculo Simbólico", que podemos definircomo programas para ordenadorespersonales (PC) que sirven para trabajarcon matemáticas usando las notacionespropias (simbólicas) de esta ciencia. Así, enun programa de cálculo simbólico el número

‘pi' se trata como tal, a diferencia demuchas calculadoras que consideran sólouna aproximación (3'1415...).

Los programas de cálculo simbólico soncapaces de hacer derivadas, integrales,límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener capacidades gráficas(representación de curvas y funciones) y, por supuesto, capacidades numéricas quesuplen sobradamente a la mejor de las calculadoras.

Naturalmente, los segundos miembrosde las igualdades del gráfico anterior,tomado de una pantalla de De r i ve ,han sido calculados directamentepor el programa y, además, en

unas décimas de segundo.De r i ve es uno de esos programas decálculo simbólico, quizá el más difundidoy popular porque en su modalidad mássencilla (De r i ve para DOS ‘classic')funcionaba en cualquier PC, sinnecesidad de que tuviera disco duro yocupaba sólo un diskette. Hoy, De r i ve

5 sigue siendo un "pequeño" programa,que ocupa poco más de 3 Mb., y que

sigue siendo muy accesible e intuitivo.Siempre ha sorprendido que siendo tansencillo tenga una gran potencia yversatilidad, por lo que es idóneo para

iniciarse con este tipo de programas. De r i ve es el programa preferido en el ámbito


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http://www.esap.edu.co/

http://www.esap.edu.co/





docente, en la enseñanza secundaria y en los primeros años de Universidad, porquees muy fácil de utilizar, de modo que la ‘informática' se supera muy pronto y, portanto, es casi inmediato empezar a trabajar con ‘matemáticas'.

Capacidades

¿Qué se puede hacer con De r i ve? Lo mejor es experimentarlo, usándolo. Para eso,se puede descargar una "demo".No nos olvidamos de que conocer las capacidades del programa sirve para pensaren sus aplicaciones docentes, que son el origen de este Grupo o Asociación deUsuarios. Cuanto mejor se conozca el programa, incluyendo sus novedades, tantomejor se puede incorporar a diversos aspectos de la enseñanza.Aquí sólo señalamos algunas de esas posibilidades: Operaciones con

vectores, matrices y determinantes. Resolución de ecuaciones y de sistemas deecuaciones.

Derivadas, integrales (definidas e indefinidas), series, límites,polinomios deTaylor.


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http://www.upv.es/derive/parche

http://www.upv.es/derive/asocia




http://www.upv.es/derive/parche





Representación gráfica de funciones en forma explícita, implícita,paramétrica y en coordenadas polares.


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Representación gráfica de funciones de dos variables.


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Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas


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... y muchas otras. Pero, además, es posible programar funciones que usen lasdistintas capacidades del programa, de modo que aumenta así sensiblemente elespectro de sus aplicaciones. De r i ve se suministra con varios ficheros de funciones

para propósitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales, trabajar en ÁlgebraLineal, etc.Utilización.Derive se aprende a usar con mucha facilidad: En menos de una hora es posibleexperimentar con casi todas las aplicaciones del programa. Cualquiera que tengaque usar las matemáticas es un potencial usuario de Derive, pero, sin duda, suprincipal aplicación es la docente. La incorporación de Derive en los primeros cursosde las asignaturas de matemáticas en la Universidad y en los últimos de lasecundaria, es algo casi generalizado en muchos países y, además, tiene una graninfluencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Nota: este anexo a la guía corresponde a material proporcionado por el fabricante

del software.


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Guia de Seminario Con Derive

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