Taller de cálculo

1) ∫ sen63 xcos63x dx

u=3x du=3dx dx=du3

Al remplazar en la integral original se tiene:

13∫ sen

6ucos6udu

Como coseno es impar conviene expresar todo en función seno asi:

13∫ sen

6ucos2ucosudu Se sabe que cos2u=1−sen2u luego:

13∫ sen

6u (1−sen2u )cosudu Hacemos cambio de variable

z=senudz=cos udu La integral se transforma en:

¿ 13∫ z6 (1−z2 )dz=1

3∫ ( z6−z8 )dz=¿ 1

3 {z77 − z9

9 }+C ¿

¿ 13 {sen73 x7

− sen93 x9 }+C

¿ 121sen73x− 1

27sen93 x+C

2) ∫ tan2 x sec2 x dx

u=tanx du=sec2 xdx

La integral se transforma en

∫u2du

Al resolver la integral se tiene:

u3

3+C= tan

3 x3

+C

3) ∫ sec3 x dx

Se reescribe para dejar un factor cuadrático e integrar por partes así:

∫ sec x sec2 x dx

u=secx dv=sec2 xdx

du=sec x tan x dx v=tanx

Luego:

∫ sec3 x dx=secx tanx−∫ sec x tan2 x dx

Pero se sabe que tan2 x=sec2 x−1 luego:

∫ sec3 x dx=secx tanx−∫ sec x ( sec2 x−1 )dx

∫ sec3 x dx=secx tanx+∫ sec x dx−¿∫ sec3 x dx ¿ Ordenando:

2∫ sec3 x dx=¿ secx tanx+∫ sec xdx ¿

Ahora se resuelve la integral ∫ sec xdx multiplicando numerador y denominador por sec x+ tan x así:

∫ sec x sec x+ tan xsec x+ tan x

dx=∫ sec2 x+sec xtanxsec x+tan x

dx

Si se sustituye a

u=sec x+ tanx du=( secx tanx+sec 2 x )dx

Así la integral es:

∫ duu =ln|sec x+tan x|+C

La integral queda entonces:

2∫ sec3 x dx=¿ secx tanx+ ln|sec x+tan x|+C ¿

Finalmente:

∫ sec3 x dx=¿ 12

{secx tanx+ ln|sec x+ tan x|+C }¿

4) ∫√tanx sec4 xdx

Se expresa de la siguiente manera para facilitar su obtención:

¿∫ ( tan x )12 sec4 x dx

¿∫ ( tan x )12 sec2 x sec2 xd x

Ahora se expresa la primera secante cuadrática en función de tangentes

Recordemos que sec2 x=1+ tan2 x

¿∫ ( tan x )12 (1+ tan2 x ) sec2 xd x

Ahora hacemos cambio de variable: u=tanx du=sec2 xdx

La integral queda:

¿∫ (u )12 (1+u2 )du

¿∫ (u )12 du+∫ (u )

52 du

¿ 23u32+ 27u72+C

¿23

( tanx )32+27

(tanx )72+C

5) ∫ sec4 xdx

Ahora se rescribe para que quede aislado un factor cuadrático de secante al lado del diferencial

¿∫ sec2 x sec2 xdx

Se recuerda que sec2 x=1+ tan2 x luego:

¿∫ (1+ tan2 x ) sec 2 x dx

Ahora se hace el siguiente cambio de variable

u=tanx du=sec2 xd x

La integral queda ahora:

¿∫ (1+u2 )du

¿u+ u3

3+C

Finalmente:∫ sec4 xdx=tanx+ tan3 x3

+C

6) ∫ tan3 x sec3 x dx

Se rescribe para dejar el factor sec x tanx al lado del diferencial así:

¿∫ tan2 x sec2 x sec x tanx dx

Recordemos que:tan2 x=sec2 x−1

¿∫ ( sec2 x−1 ) sec2 x sec x tan xdx

Luegou=sec x Entonces du=sec x tan xdx

La integral queda entonces:

¿∫ (u2−1 )u2d u

Luego ∫ tan3 x sec3 x dx=u5

5−u

3

3+C

Finalmente:

¿ sec5 x5

− sec3 x3

+C

7) ∫ cos3 x

sen4 xdx

Se reescribe de tal forma que el diferencial quede al lado del factor coseno así:

¿∫ cos2 xcos xsen4 x

d x

Ahora se expresa el resto de los factores en términos de seno

¿∫ (1−sen2 x)cos xsen4 x

d x

Ahora se hace el siguiente cambio de variable:

u=senx du=cos x dx

Entonces la integral queda así:

¿∫ (1−u2 )u4

du

¿∫u−4du−∫u−2du

¿ u−3

−3−u

−1

−1+C

¿−13 ( 1u3 )+( 1u )+C

¿−13 ( 1

sen3 x )+( 1senx )+C

¿−13csc3 x+csc x+C

8) ∫ ( sec x )32 tan 3 x dx

Se reescribe para que quede un factor de la tangente junto al diferencial así:

¿∫ ( sec x )32 tan2 x tan x dx

Ahora se expresa el resto de las expresiones en función de secante así:

¿∫ ( sec x )32 ( sec2 x−1 ) tanx d x

¿∫ ( sec x )52 sec x tanx dx−∫ (sec x )

32 tan x dx

Lasegundaintegral semultiplica y divide por secante

¿∫ ( sec x )52 sec x tanx dx−∫ (sec x )

32 tan x ( sec xsec x )dx

¿∫ ( sec x )52 sec x tanx dx−∫ (sec x )

12 sec x tan x dx

Luego :

u=sec x du=sec x tan x dx

¿∫u52 du−∫u

12du=2

7u72−23u32+C

Finalmente:

¿27

( sec x )72−23

(sec x )32+C